2021北京海淀高三第一学期期末数学(理)试题与答案
2020-2021北京市高中必修一数学上期末试题含答案
2020-2021北京市高中必修一数学上期末试题含答案一、选择题1．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则A ．()f x 在（0，2）单调递增B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．()y =f x 的图像关于直线x=1对称D ．()y =f x 的图像关于点（1，0）对称2．已知函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a=（ ） A ．12B ．2C ．22D ．23．函数y ＝a |x |(a >1)的图像是( ) A ．B ．C ．D ．4．若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]5．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦6．把函数()()2log 1f x x =+的图象向右平移一个单位，所得图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称；已知偶函数()h x 满足()()11h x h x -=--，当[]0,1x ∈时，()()1h x g x =-；若函数()()y k f x h x =⋅-有五个零点，则正数k 的取值范围是（ ） A ．()3log 2,1B ．[)3log 2,1C ．61log 2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．61log 2,2⎛⎤ ⎥⎝⎦7．[]x 表示不超过实数x 的最大整数，0x 是方程ln 3100x x +-=的根，则0[]x =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．已知函数()2log 14x f x x ⎧+=⎨+⎩ 00x x >≤，则()()3y f f x =-的零点个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．69．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为0ktP P e -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，则正整数n 的最小值为（ ）（参考数据：取5log 20.43=） A ．8B ．9C ．10D ．1410．已知函数()2x xe ef x --=，x ∈R ，若对任意0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，都有()()sin 10f f m θ+->成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()0,2C ．(),1-∞D ．(]1-∞， 11．已知()y f x =是以π为周期的偶函数，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1sin f x x =-，则当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x =（ ） A ．1sin x +B ．1sin x -C ．1sin x --D ．1sin x -+12．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，min t 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线nt y ae =，假设过5min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过min m 甲桶中的水只有4a升，则m 的值为（ ） A ．10B ．9C ．8D ．5二、填空题13．已知函数241,(4)()log ,(04)x f x xx x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩．若关于x 的方程，()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是____________．14．已知函数()1352=++f x ax bx （a ，b 为常数），若()35f -=，则()3f 的值为______15．如果函数()22279919mm y m m x--=-+是幂函数，且图像不经过原点，则实数m =___________.16．已知a ，b R ∈，集合()(){}2232|220D x x a a x a a =----+≤，且函数()12bf x x a a -=-+-是偶函数，b D ∈，则220153a b -+的取值范围是_________. 17．已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x 成立，则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝ ．18．对于复数a bc d ，，，，若集合{}S a b c d =，，，具有性质“对任意x y S ∈，，必有xy S ∈”，则当221{1a b c b===，，时，b c d ++等于___________19．已知函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则m的取值范围为______．20．高斯是德国的著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[3,4]4-=-，[2,7]2=.已知函数21()15x xe f x e =-+，则函数[()]y f x =的值域是_________. 三、解答题21．已知函数()2log f x x =（1）解关于x 的不等式()()11f x f x +->；（2）设函数()()21xg x f kx =++，若()g x 的图象关于y 轴对称，求实数k 的值.22．计算221(1).log 24lglog lg 2log 32+--32601(8)9⎛⎫--- ⎪⎝⎭－ 23．设函数()()2log xxf x a b =-，且()()211,2log 12f f ==.（1）求a b ，的值； （2）求函数()f x 的零点；（3）设()xxg x a b =-，求()g x 在[]0,4上的值域.24．随着我国经济的飞速发展，人们的生活水平也同步上升，许许多多的家庭对于资金的管理都有不同的方式.最新调查表明，人们对于投资理财的兴趣逐步提高.某投资理财公司做了大量的数据调查，调查显示两种产品投资收益如下： ①投资A 产品的收益与投资额的算术平方根成正比； ②投资B 产品的收益与投资额成正比.公司提供了投资1万元时两种产品的收益，分别是0.2万元和0.4万元.（1）分别求出A 产品的收益()f x 、B 产品的收益()g x 与投资额x 的函数关系式； （2）假如现在你有10万元的资金全部用于投资理财，你该如何分配资金，才能让你的收益最大？最大收益是多少？25．某上市公司股票在30天内每股的交易价格P （元）关于时间t （天）的函数关系为12,020,518,2030,10t t t P t t t ⎧+≤≤∈⎪⎪=⎨⎪-+<≤∈⎪⎩N N ，该股票在30天内的日交易量Q （万股）关于时间t（天）的函数为一次函数，其图象过点(4,36)和点(10,30). （1）求出日交易量Q （万股）与时间t （天）的一次函数关系式；（2）用y （万元）表示该股票日交易额，写出y 关于t 的函数关系式，并求在这30天内第几天日交易额最大，最大值为多少？26．若()221x x a f x +=-是奇函数.（1）求a 的值；（2）若对任意()0,x ∈+∞都有()22f x m m ≥-，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，故C 正确，D 错误；又()ln[(2)]f x x x =-（02x <<），由复合函数的单调性可知()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以A ，B 错误，故选C ．【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2a b+． 2．A解析：A 【解析】 【分析】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，得0<a<1，把x=1代入即可求出a 的值．【详解】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数， 但在[0，1]上为减函数，∴0<a<1，当x=1时，1(1)log ()=-log 2=111a a f =+, 解得1=2a ， 故选A ．本题考查了函数的值与及定义域的求法，属于基础题，关键是先判断出函数的单调性． 点评：做此题时要仔细观察、分析，分析出(0)=0f ，这样避免了讨论．不然的话，需要讨论函数的单调性.3．B解析：B 【解析】因为||0x ≥，所以1x a ≥，且在(0,)+∞上曲线向下弯曲的单调递增函数，应选答案B ．4．B解析：B 【解析】 由f(1)=得a 2=, ∴a=或a=-(舍), 即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.5．B解析：B 【解析】 【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】(0,1]x ∈Q 时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m∴∈-∞时，8 ()9f x≥-成立，即73m≤，7,3m⎛⎤∴∈-∞⎥⎝⎦，故选B．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．6．C解析：C【解析】分析：由题意分别确定函数f(x)的图象性质和函数h(x)图象的性质，然后数形结合得到关于k的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.详解：曲线()()2log1f x x=+右移一个单位，得()21logy f x x=-=，所以g(x)=2x，h(x-1)=h(-x-1)=h(x+1)，则函数h(x)的周期为2.当x∈[0,1]时，()21xh x=-，y=kf(x)-h(x)有五个零点，等价于函数y=kf(x)与函数y=h(x)的图象有五个公共点.绘制函数图像如图所示，由图像知kf（3）<1且kf（5）>1，即：22log41log61kk<⎧⎨>⎩，求解不等式组可得：61log22k<<.即k的取值范围是612,2log⎛⎫⎪⎝⎭．本题选择C选项.点睛：本题主要考查函数图象的平移变换，函数的周期性，函数的奇偶性，数形结合解题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．B解析：B 【解析】 【分析】先求出函数()ln 310f x x x =+-的零点的范围，进而判断0x 的范围，即可求出[]0x . 【详解】由题意可知0x 是()ln 310f x x x =+-的零点， 易知函数()f x 是（0，∞+）上的单调递增函数，而()2ln2610ln240f =+-=-<，()3ln3910ln310f =+-=->， 即()()230f f <n 所以023x <<，结合[]x 的性质，可知[]02x =. 故选B. 【点睛】本题考查了函数的零点问题，属于基础题．8．C解析：C 【解析】 【分析】 由题意，函数()()3y ff x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根，进而可得答案. 【详解】 由题意，函数()()3y ff x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，如图所示，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根11t =-，214t =，34t =， 则()1f x =- 有一个解，()14f x =有一个解，()4f x =有三个解， 故方程()()3ff x =有5个解.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中合理利用换元法，结合图象，求得方程()3f t =的根，进而求得方程的零点个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用.9．C解析：C 【解析】 【分析】根据已知条件得出415ke-=，可得出ln 54k =，然后解不等式1200kt e -≤，解出t 的取值范围，即可得出正整数n 的最小值. 【详解】由题意，前4个小时消除了80%的污染物，因为0ktP P e -=⋅，所以()400180%kP Pe --=，所以40.2k e -=，即4ln0.2ln5k -==-，所以ln 54k =， 则由000.5%ktP P e -=，得ln 5ln 0.0054t =-， 所以()23554ln 2004log 2004log 52ln 5t ===⨯5812log 213.16=+=， 故正整数n 的最小值为14410-=.故选：C. 【点睛】本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.10．D解析：D 【解析】试题分析：求函数f （x ）定义域，及f （﹣x ）便得到f （x ）为奇函数，并能够通过求f′（x ）判断f （x ）在R 上单调递增，从而得到sinθ＞m ﹣1，也就是对任意的0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都有sinθ＞m ﹣1成立，根据0＜sinθ≤1，即可得出m 的取值范围． 详解：f （x ）的定义域为R ，f （﹣x ）=﹣f （x ）； f′（x ）=e x +e ﹣x ＞0； ∴f （x ）在R 上单调递增；由f （sinθ）+f （1﹣m ）＞0得，f （sinθ）＞f （m ﹣1）； ∴sin θ＞m ﹣1； 即对任意θ∈0,2π⎛⎤⎥⎝⎦都有m ﹣1＜sinθ成立； ∵0＜sinθ≤1； ∴m ﹣1≤0；∴实数m 的取值范围是（﹣∞，1]． 故选：D ．点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集.11．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为()y f x =是以π为周期，所以当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()3πf x f x =-， 此时13,02x -π∈-π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,又因为偶函数，所以有()()3π3πf x f x -=-, 3π0,2x π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,所以()()3π1sin 3π1sin f x x x -=--=-,故()1sin f x x =-，故选B.12．D解析：D 【解析】由题设可得方程组()552{4n m n ae aa ae +==，由55122n nae a e =⇒=，代入(5)1142m n mn ae a e +=⇒=，联立两个等式可得512{12mn n e e ==，由此解得5m =，应选答案D 。
2020-2021年北京海淀高三期末数学试卷(附答案)
海淀区2020-2021学年第一学期期末考试高三数学试题本试卷共8奴, 150分）考试时常120分钟。
考生务必将若案答在答胧抵上.在试卷上作答无效。
考试结火后. 本试卷和空四纸•并文回，笫•海分］选择遐共40分）丁选择题共10小题.每小超4分，共40分.在街小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（I ）抛物线/ 二 X 的准线力邪兄（A ） X = --（ B ） X （C ）V =（D ） V =--24 '2' 4（2）在梵平面内.竟数一一对应的点也广1+/（A ）第 %fR （B ）第二软限（C>第，象眼（D ）第四象限⑶ 在&-2丫的展开式中,内的系数为（A ）5（B ） -5（C ） 10（D ） 10（4）已知代线，：x +町，+ 2 = 0 , （A ） 1U（5）某三桎惟的三视图如用所示.止（1>徒《专》1X1点 A (-1,-1)和点B (2,2),若〃/力8,则实数。
的值为i) -1 (C> 2(D)-2该三板维的体积为J KM,J) 4 (C)6 (D) 12b = (-2,D, rt|a-6| = 2,则a ・6 =（B ）0(A) -1(C) 1 (D) 2(7)己如a, 3是例个不同的平面，“a 〃夕的•个充分条件是(A)以内有无数11线平行J "(B)存在牛血丫, arr. P±r(C)存隹TihiL aDr = /n t夕Dy = 〃ll掰〃”(D)存在酉线7, Ila. Ilfi(8)L!知函数/(x)= l-2sirf(x + 2)则4(A) /(x)是偶函数函数/(x)的地小正阖期为2*(C)曲线F = /(.t)关J x = 一1对核：4(D) /0)>/(2)(9)数列SJ的通项公式为勺=“2-3〃・N・前〃比和为s.・给出下列三个结论：①存在止整数加,〃(〃”〃)，使母Z-Z；②存在正施数初〃(m*府•使得q, = 2百♦•③记,4=4%…，。
北京市海淀区2023-2024学年高三上学期期末考试 数学含答案
海淀区2023—2024学年第一学期期末练习高三数学（答案在最后）2024.01本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,5A =，{}1,2,3B =，则()U A B = ð（）A ．{}2,4,5,6B ．{}4,6C ．{}2,4,6D ．{}2,5,62．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，则复数12z z ⋅的虚部为（）A ．i-B ．1-C ．3i -D ．3-3．已知直线1:12yl x +=，直线2:220l x ay -+=，且12l l ∥，则a =（）A ．1B ．1-C ．4D ．4-4．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点M 在C 上，4MF =，O 为坐标原点，则MO =（）A ．B ．4C ．5D ．5．在正四棱锥P ABCD -中，2AB =，二面角P CD A --的大小为4π，则该四棱锥的体积为（）A ．4B ．2C ．43D ．236．已知22:210C x x y ++-= ，直线()10mx n y +-=与C 交于A ，B 两点．若ABC △为直角三角形，则（）A ．0mn =B ．0m n -=C ．0m n +=D ．2230m n -=7．若关于x 的方程log 0xa x a -=（0a >且1a ≠）有实数解，则a 的值可以为（）A ．10B ．eC ．2D ．548．已知直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，倾斜角分别为1α，2α，则“()12cos 0->αα”是“120k k >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知{}n a 是公比为q （1q ≠）的等比数列，n S 为其前n 项和．若对任意的*N n ∈，11n a S q<-恒成立，则（）A ．{}n a 是递增数列B ．{}n a 是递减数列C ．{}n S 是递增数列D ．{}n S 是递减数列10．蜜蜂被誉为“天才的建筑师”．蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构．下图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱AG ，BH ，CI ，DJ ，EK ，FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形PGHI ，PIJK ，PKLG 构成．设1BC =，GPI IPK ∠=∠KPG =∠=θ10928'≈︒，则上顶的面积为（）（参考数据：1cos 3=-θ，tan2=θ）A ．B ．2C ．2D ．4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．在51x ⎫-⎪⎭的展开式中，x 的系数为______．12．已知双曲线221x my -=0y -=，则该双曲线的离心率为______．13．已知点A ，B ，C 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则AB BC ⋅=______；点C 到直线AB 的距离为______．14．已知无穷等差数列{}n a 的各项均为正数，公差为d ，则能使得1n n a a +为某一个等差数列{}n b 的前n 项和（1n =，2，…）的一组1a ，d 的值为1a =______，d =______．15．已知函数()cos f x x a =+．给出下列四个结论：①任意a ∈R ，函数()f x 的最大值与最小值的差为2；②存在a ∈R ，使得对任意x ∈R ，()()π2f x f x a +-=；③当0a ≠时，对任意非零实数x ，ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝+⎭≠；④当0a =时，存在()0,πT ∈，0x ∈R ，使得对任意n ∈Z ，都有()()00f x f x nT =+．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11ABB A 是正方形，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，AB CD ∥，12AD DC AB ==，M 为线段AB 的中点，1AD B M ⊥．（Ⅰ）求证：1C M ∥平面11ADD A ；（Ⅱ）求直线1AC 与平面11MB C 所成角的正弦值．17．（本小题14分）在ABC △中，2cos 2c A b a =-．（Ⅰ）求C ∠的大小；（Ⅱ）若c =ABC △存在，求AC 边上中线的长．条件①：ABC △的面积为条件②：1sin sin 2B A -=；条件③：2222b a -=．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题13分）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：场次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911（Ⅰ）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；（Ⅱ）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设X 表示乙得分大于丙得分的场数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（Ⅲ）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率．甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设1Y 为甲获胜的场数，2Y 为乙获胜的场数，3Y 为丙获胜的场数，写出方差()1D Y ，()2D Y ，()3D Y 的大小关系．19．（本小题15分）已知椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）过点()3,0A ，焦距为（Ⅰ）求椭圆E 的方程，并求其短轴长；（Ⅱ）过点()1,0P 且不与x 轴重合的直线l 交椭圆E 于两点C ，D ，连接CO 并延长交椭圆E 于点M ，直线AM 与l 交于点N ，Q 为OD 的中点，其中O 为原点．设直线NQ 的斜率为k ，求k 的最大值．20．（本小题15分）已知函数()2sin f x ax x x b =-+．（Ⅰ）当1a =时，求证：①当0x >时，()f x b >；②函数()f x 有唯一极值点；（Ⅱ）若曲线1C 与曲线2C 在某公共点处的切线重合，则称该切线为1C 和2C 的“优切线”．若曲线()y f x =与曲线cos y x =-存在两条互相垂直的“优切线”，求a ，b 的值．21．（本小题15分）对于给定的奇数m （3m ≥），设A 是由m m ⨯个实数组成的m 行m 列的数表，且A 中所有数不全相同，A 中第i 行第j 列的数{}1,1ij a ∈-，记()r i 为A 的第i 行各数之和，()c j 为A 的第j 列各数之和，其中{},1,2,,i j m ∈⋅⋅⋅．记()()()()2212m r r m f r A -++⋅⋅⋅+=．设集合()()(){}{},00,,1,2,,ij ij H i j a r a c j i m i j =⋅<⋅<∈⋅⋅⋅或，记()H A 为集合H 所含元素的个数．（Ⅰ）对以下两个数表1A ，2A ，写出()1f A ，()1H A ，()2f A ，()2H A 的值；1A 2A （Ⅱ）若()1r ，()2r ，…，()r m 中恰有s 个正数，()1c ，()2c ，…，()c m 中恰有t 个正数．求证：()2H A mt ms ts ≥+-；（Ⅲ）当5m =时，求()()H A f A 的最小值．海淀区2023—2024学年第一学期期末练习高三数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．A 2．D 3．B 4．D 5．C 6．A7．D8．B9．B10．D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．5-12．213．1-514．11（答案不唯一）15．②④三、解答题（共6小题，共85分）16．（共13分）解：（Ⅰ）连接1AD ．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11CDD C 为平行四边形，所以11C D CD ∥，11C D CD =．因为AB CD ∥，12CD AB =，M 为AB 中点，所以CD AM ∥，CD AM =．所以11C D AM ∥，11C D AM =．所以四边形11MAD C 为平行四边形．所以11MC AD ∥．因为1C M ⊄平面11ADD A ，所以1C M ∥平面11ADD A ．（Ⅱ）在正方形11ABB A 中，1AA AB ⊥．因为平面11ABB A ⊥平面ABCD ，所以1AA ⊥平面ABCD ．所以1AA AD ⊥．因为1AD B M ⊥，1B M ⊂平面11ABB A ，1B M 与1AA 相交，所以AD ⊥平面11ABB A ．所以AD AB ⊥．如图建立空间直角坐标系A xyz -．不妨设1AD =，则()0,0,0A ，()11,2,1C ，()10,2,2B ，()0,0,1M ．所以()11,2,1AC = ，()111,0,1C B =- ，()11,2,0MC =．设平面11MB C 的法向量为(),,n x y z = ，则1110,0,n C B n MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,20.x z x y -+=⎧⎨+=⎩令2x =，则1y =-，2z =．于是()2,1,2n =-．因为1116cos ,9AC n AC n AC n⋅==⋅，所以直线1AC 与平面11MB C 所成角的正弦值为69．17．（共14分）解：（Ⅰ）由正弦定理sin sin sin a b cA B C==及2cos 2c A b a =-，得2sin cos 2sin sin C A B A =-．①因为πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+．②由①②得2sin sin sin 0A C A -=．因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠．所以1cos 2C =．因为()0,πC ∈，所以π3C =．（Ⅱ）选条件②：1sin sin 2B A -=．由（Ⅰ）知，π2ππ33B A A ∠=--∠=-∠．所以2πsin sin sin sin 3B A A A -=--⎛⎫⎪⎝⎭31cos sin sin 22A A A =+-31cos sin 22A A =-πsin 3A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．所以π1sin 32A ⎛⎫-=⎪⎝⎭．因为2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以πππ,333A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭．所以ππ36A -=，即π6A =．所以ABC △是以AC 为斜边的直角三角形．因为c =2πsin sin 3AB AC C ===．所以AC 边上的中线的长为1．选条件③：2222b a -=．由余弦定理得223a b ab +-=．设AC 边上的中线长为d ，由余弦定理得2222cos 42b ab d a C =+-⋅2242b ab a =+-2222342b a b a +-=+-1=．所以AC 边上的中线的长为1．18．（共13分）解：（Ⅰ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场．设A 表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则()310P A =．（Ⅱ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，分别是第2场、第5场、第8场、第9场．所以X 的所有可能取值为0，1，2．()202426C C 10C 15P X ===，()112426C C 81C 15P X ⋅===，()022426C C 22C 5P X ===．所以X 的分布列为X 012P11581525所以()1824012151553E X =⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）()()()213D Y DY D Y >>．19．（共15分）解：（Ⅰ）由题意知3a =，2c =．所以c =，2224b a c =-=．所以椭圆E 的方程为22194x y +=，其短轴长为4．（Ⅱ）设直线CD 的方程为1x my =+，()11,C x y ，()22,D x y ，则()11,M x y --．由221941x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()22498320m y my ++-=．所以122849m y y m -+=+．由()3,0A 得直线AM 的方程为()1133y y x x =-+．由()11331y y x x x my ⎧=-⎪+⎨⎪=+⎩，得11123y y x my -=+-．因为111x my =+，所以12y y =-，112122y my x m ⎛⎫⎭-=⎪⎝- =+．所以112,22my y N --⎛⎫ ⎪⎝⎭．因为Q 为OD 的中点，所以221x my =+，所以221,22my y Q +⎛⎫⎪⎝⎭．所以直线NQ 的斜率()212212221212884922128112912249m y y y y m m k my my m m y y m m -+++====+--+-+--+．当0m ≤时，0k ≤．当0m >时，因为912m m+≥=，当且仅当2m =时，等号成立．所以281299m k m =≤+．所以当2m =时，k取得最大值9．20．（共15分）解：（Ⅰ）①当1a =时，()()2sin sin f x x x x b x x x b =-+=-+．记()sin g x x x =-（0x ≥），则()1cos 0g x x '=-≥．所以()g x 在[)0,+∞上是增函数．所以当0x >时，()()00g x g >=．所以当0x >时，()()sin f x x x x b b =-+>．②由()2sin f x x x x b =-+得()2sin cos f x x x x x '=--，且()00f '=．当0x >时，()()1cos sin f x x x x x '=-+-．因为1cos 0x -≥，sin 0x x ->，所以()0f x '>．因为()()f x f x ''-=-对任意x ∈R 恒成立，所以当0x <时，()0f x '<．所以0是()f x 的唯一极值点．（Ⅱ）设曲线()y f x =与曲线cos y x =-的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为1x ，2x ，其斜率分别为1k ，2k ，则121k k =-．因为()cos sin x x '-=，所以1212sin sin 1x x k k ⋅==-．所以{}{}12sin ,sin 1,1x x =-．不妨设1sin 1x =，则1π2π2x k =+，k ∈Z ．因为()1111112sin cos k f x ax x x x '==--，由“优切线”的定义可知111112sin cos sin ax x x x x --=．所以1124ππa x k ==+，k ∈Z ．由“优切线”的定义可知2111111sin cos x x x b x x ⋅-+=-，所以0b =．当24ππa k =+，k ∈Z ，0b =时，取1π2π2x k =+，2π2π2x k =--，则()11cos 0f x x =-=，()22cos 0f x x =-=，()11sin 1f x x ='=，()22sin 1f x x ='=-，符合题意．所以24ππa k =+，k ∈Z ，0b =．21．（共15分）解：（Ⅰ）()110f A =，()112H A =；()212f A ，()215H A =．由定义可知：将数表A 中的每个数变为其相反数，或交换两行（列），()H A ，()f A 的值不变．因为m 为奇数，{}1,1ij a ∈-，所以()1r ，()2r ，…，()r m ，()1c ，()2c ，…，()c m 均不为0．（Ⅱ）当{}0,s m ∈或{}0,t m ∈时，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,i m =⋅⋅⋅．若0t =，结论显然成立；若0t ≠，不妨设()0c j >，1,2,,j t =⋅⋅⋅，则(),i j H ∈，1,2,,i m =⋅⋅⋅，1,2,,j t =⋅⋅⋅．所以()H A mt ≥，结论成立．当{}0,s m ∉且{}0,t m ∉时，不妨设()0r i >，1,2,,i s =⋅⋅⋅，()0c j >，1,2,,j t =⋅⋅⋅，则当1s i m +≤≤时，()0r i <；当1t j m +≤≤时，()0c j <．因为当1,2,,i s =⋅⋅⋅，1,2,,j t t m =++⋅⋅⋅时，()0r i >，()0c j <，所以()()()()()()20ij ij ij a r i a c j a r i c j ⋅=⋅⋅⋅<⋅．所以(),i j H ∈．同理可得：(),i j H ∈，1,2,,m i s s =++⋅⋅⋅，1,2,,j t =⋅⋅⋅．所以()()()2H A s m t m s t mt ms st ≥-+-=+-．（Ⅲ）当5m =时，()()H A f A 的最小值为89．对于如下的数表A ，()()89H A f A =．下面证明：()()89H A f A ≥．设()1r ，()2r ，…，()r m 中恰有s 个正数，()1c ，()2c ，…，()c m 中恰有t 个正数，{},0,1,2,3,4,5s t ∈．①若{}0,5s ∈或{}0,5t ∈，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,5i =⋅⋅⋅．所以当1ij a =时，(),i j H ∈．由A 中所有数不全相同，记数表A 中1的个数为a ，则1a ≥，且()()()()251252r r r f A +++⋅⋅⋅+=()252252a a a +--==，()H A a ≥．所以()()819H A f A ≥>．②由①设{}0,5s ∉且{}0,5t ∉．若{}2,3s ∈或{}2,3t ∈，不妨设2s =，则由（Ⅱ）中结论知：()51041011H A t t t ≥+-=+≥．因为()()()()251250122r r r f A -++⋅⋅⋅+<=≤，所以()()118129H A f A ≥>．③由①②设{}0,2,3,5s ∉且{}0,2,3,5t ∉．若{}{},1,4s t =，则由（Ⅱ）中结论知：()25817H A ≥-=．因为()012f A <≤，所以()()178129H A f A ≥>．若s t =，{}1,4s ∈，不妨设1s t ==，()10r >，()10c >，且()()1H A f A<，由（Ⅱ）中结论知：()8H A ≥．所以()()8f A H A >≥．若数表A 中存在ij a （{},2,3,4,5i j ∈）为1，将其替换为1-后得到数表A '．因为()()1H A H A '=-，()()1f A f A '≥-，所以()()()()()()11H A H A H A f A f A f A '-≤<'-．所以将数表A 中第i 行第j 列（,2,3,4,5i j =）为1的数替换为1-后()()H A f A 值变小．所以不妨设1ij a =-（,2,3,4,5i j =）．因为()5528H A ≥+-=，()9f A ≤，。
2021 1海淀区高三上学期期末数学理试题
2021 1海淀区高三上学期期末数学理试题20211海淀区高三上学期期末数学理试题海淀区，三年级，期末练习数学（理科）2021.1一、共有8道选择题，每道题得5分，共计40分。
从每个子主题中列出的符合主题要求的四个选项中选择一个。
1.已知（1？BI）I？？1.I（B？R），那么B的值是a.1b.?1c.id.?i2.抛物线x2?4y的准线与y轴的交点的坐标为a、（0，？）b、（0,1）c.（0,2）d.（0,4）123.如图，正方形abcd中，e为dc的中点，若ad??ac??ae，那你能吗价值在于a.3b.2c.1d.?34.某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的a值为1，则输出的a值为a、 1b。
2c。
3d。
55.已知序列a:A1、A2、A3、A4、A5，AI在哪里？{？1,0,1}，我？1,2,3,4,5，然后decab开始输入满足a1?a2?a3?a4?a5?3的不同数列a一共有编号A.15B.25C.30D.356已知圆圈C:（x？2）2？y2？4.直线L1:y？3x，l2:y？kx？1如果L1和L2的字符串被圆C切割的长度比为1:2，则K的值为a是输出结束3b.1c.31d。
32?x?y+2?0,?7.若x,y满足?x?y?4?0,则z?y?2|x|的最大值为Y0 a。
？8b。
？4c。
1d。
二8.已知正方体abcd?a'b'c'd'，记过点a与三条直线ab,ad,aa'所成角都相等的直线条数为m,过点a与三个平面．．ab',ac,ad'所成角都相等的直线的条数为n，则下面结论正确的是a.m?1,n?1b.m?4,n?1c.m?3,n?4d.m?4,n?4一二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
y29。
已知双曲线x？2.如果1（B？0）的渐近线通过点（1,2），那么B？0，它的怪癖是_b110.在(x?2)6的展开式中，常数项为____.（用数字作答）x211。
【数学】北京市海淀区2021届高三上学期期末考试练习试题(解析版)
11. 在“互联网+”时代，国家积极推动信息化技术与传统教学方式的深度融合，实现线上、线下融合式教学模式变革.某校高一、高二和高三学生人数如图所示.采用分层抽样的方法调查融合式教学模式的实施情况，在抽取样本中，高一学生有16人，则该样本中的高三学生人数为__________.
三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16. 在三棱柱 中，侧面 为矩形， 平面 ， ， 分别是棱 ， 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： 平面 ；
（3）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
（1）证明：在三棱柱 中， ，且 .
因为点 ， 分别是棱 ， 的中点，
（2）因为点 在 轴下方，
所以点 在线段 （不包括端点）上.
由（1）可知 ， .
所以 的面积为 .
因为 的面积比 的面积大 ，
所以点 在线段 （不包括端点）上，且 的面积等于 的面积.
所以 的面积等于 的面积.
所以 .
设 ， ，则 ①.
因为点 在椭圆 上，所以 ②.
由①②解得： ，所以 的坐标为 .
另一方面，当 时，直线 .
故点 到直线 的距离 .此时 .
当且仅当 为点 在直线 上的射影时等号成立，此时直线 的斜率为 .
对比发现， ，但两处等号无法同时取到，矛盾.故表述③错误.
对于④： 为圆 上的一个动点.若 ，设 ，
则 .
注意到 ，
故
当且仅当 且点 在点 正上方时，等号成立.故表述④正确.
故答案为：①②④.
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
北京市海淀区2021届高三第一学期期末理科数学试题
北京市海淀区2018届高三第一学期期末理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．复数12ii+= A ．2i -B ．2i +C ．2i --D ．2i -+2．在极坐标系中Ox ，方程2sin ρθ=表示的圆为A ．B ．C ．D ．3．执行如图所示的程序框图，输出的k 值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．74．某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中： ① 三棱锥的体积为16② 三棱锥的四个面全是直角三角形③ 所有正确的说法是A ．①B ．①②C ．②③D ．①③5．已知点F 为抛物线()2:20C y px p =>的焦点，点K 为点F 关于原点的对称点，点M 在抛物线C 上，则下列说法错误的是（ ） A ．使得MFK ∆为等腰三角形的点M 有且仅有4个 B ．使得MFK ∆为直角三角形的点M 有且仅有4个 C ．使得4MFK π∠=的点M 有且仅有4个 D ．使得6MFK π∠=的点M 有且仅有4个二、填空题6．点(2,0)到双曲线2214x y -=的渐近线的距离是___________.7．已知公差为1的等差数列{}n a 中，1a ，2a ，4a 成等比数列，则{}n a 的前100项和为__________.8．设抛物线2:4C y x =的顶点为O ，经过抛物线C 的焦点且垂直于x 轴的直线和抛物线C 交于,A B 两点，则OA OB +=________.9．已知()51nx -展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64:1，则n =__________．10．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为M 是棱BC 的中点，点P在底面ABCD 内，点Q 在线段11A C 上，若1PM =，则PQ 长度的最小值为_____.三、双空题11．对任意实数k ，定义集合20(,)20,0k x y D x y x y x y R kx y ⎧⎫-+≥⎧⎪⎪⎪=+-≤∈⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≤⎩⎩⎭.①若集合k D 表示的平面区域是一个三角形，则实数k 的取值范围是______； ②当0k =时，若对任意的(,)k x y D ∈，有(3)1y a x ≥+-恒成立，且存在(,)k x y D ∈，使得x y a -≤成立，则实数a 的取值范围为_______.四、解答题12．如图，在ABC ∆中，点D 在AC 边上，且3AD DC =，AB =，3ADB π∠=，6C π∠=.（Ⅰ）求DC 的值； （Ⅱ）求tan ABC ∠的值.13．如图1，梯形ABCD 中，//,,1,2,AD BC CD BC BC CD AD E ⊥===为AD中点.将ABE ∆沿BE 翻折到1A BE ∆的位置，如图2.（Ⅰ）求证：平面1A DE ∆⊥平面BCDE ； （Ⅱ）求直线1A B 与平面1A CD 所成角的正弦值；（Ⅲ）设,M N 分别为1A E 和BC 的中点，试比较三棱锥1M A CD -和三棱锥1N A CD -（图中未画出）的体积大小，并说明理由.14．已知椭圆22:29C x y +=，点(2,0)P（Ⅰ）求椭圆C 的短轴长和离心率；（Ⅱ）过(1,0)的直线l 与椭圆C 相交于两点,M N ，设MN 的中点为T ，判断TP 与TM 的大小，并证明你的结论.15．已知函数2()222x f x e ax x =---．（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）当0a ≤时，求证：函数()f x 有且仅有一个零点； （3）当0a >时，写出函数()f x 的零点的个数．(只需写出结论)16．无穷数列{}n a 满足：1a 为正整数，且对任意正整数n ，1n a +为前n 项1a ，2a ，⋯，n a 中等于n a 的项的个数.（Ⅰ）若12a =，请写出数列{}n a 的前7项；（Ⅱ）求证：对于任意正整数M ，必存在*k N ∈，使得k a M >； （Ⅲ）求证:“11a =”是“存在*m N ∈，当n m ≥时，恒有2n a +≥n a 成立”的充要条件。
2021年北京海淀区高三一模数学试题及答案
2021 北京海淀高三一模数学2021. 04 本试卷共6 页，150 分。
考试时长120 分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题共40 分）一、选择题共10 小题，每小题 4 分，共40 分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合A＝{1}，B＝{x | x≥a）。
若A∪B＝B，则实数a 的取值范围是（A）（－∞、1）（B）（－∞，1] （C）（1，＋∞）（D）[1，＋∞）z（2）如图，在复平面内，复数z 对应的点为P.则复数i（A）1 （B）－1（C）2 （D）－2的虚部为（3）已知{a n}为等差数列，S n为其前n 项和.若a5＝S5＝5，则a1＝（A）－5 （B）－4 （C）－3 （D）－2（4）在(x -a)6的展开式中，x4的系数为12，则a 的值为x（A）2 （B）－2 （C）1 （D）－1（5）函数① f (x) = sin x + cos x ，② f (x) = sin x cos x ，③ f (x) = cos2 (x +π) -1中，周期是π且为奇函数的4 2所有函数的序号是（A）①②（B）②（C）③（D）②③（6）已知函数f (x) 满足f (1+x) =f (1-x) ，且当x＞1 时，f（x）＝log2x，则f (8) -f (-2) =（A）－2 （B）－1 （C）1 （D）3（7）已知a，b 是单位向量，c＝a＋2b，若a⊥c，则|c|＝（A）3 （B）2 2（C）1（D）（8）已知点A(x1, x1 ) ，B(x2 , x2 )，C(0,4) ，则“△ABC 是等边三角形”是“直线AB 的斜率为0”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（9）设无穷等比数列{a n}的前n 项和为S n若－a1＜a2＜a1，则（A）{S n}为递减数列（B）{S n}为递增数列（C）数列{S n}有最大项（D）数列{S n}有最小项（10）我国魏晋时期的数学家刘徽创造了一个称为“牟合方盖”的立体图形来推算球的体积，如图1，在一个棱长为2a 的立方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分就是牟合方盖，如图2，设平行于水平面且与水平面距离为h 的平面为a，记平面a 截牟合方盖所得截面的面积为s，则函数S＝f（h）的图象是第二部分（非选择题共110 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共25 分.（11）已知函数f（x）＝x3＋at 若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为 2.则实数 a 的值是。
北京市海淀区2021届高三一模数学答案
北京市海淀区2021届高三一模数学试题参考答案1．B 【思路点拨】将A B B ⋃=转化为A B ⊆，根据子集关系列式可得结果. 【解析】因为A B B ⋃=，所以A B ⊆， 因为{1}A =,{|}B x x a =≥， 所以1a ≤. 故选：B2．A 【思路点拨】写出点P 的坐标，可得点P 对应的复数，根据复数的除法运算化简z i，即可得其虚部.【解析】复数z 对应的点P 的坐标为(1,2)-，所以复数12z i =-+，所以12i i i i i 221z -+--===+-，所以复数z i的虚部为1. 故选：A3．C 【思路点拨】由等差数列的性质计算． 【解析】因为{a n }为等差数列， 所以5355==S a ，31a =，且135,,a a a 成等差数列所以13522153a a a =-=⨯-=-． 故选：C ．4．B 【思路点拨】先写出通项公式，即可求出a .【解析】6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()()66216611r r r r r r r r rr T C x a x a C x---+=-=-， ∵4x 的系数为12， ∴当6-2r =4时，解得r =1，有()61=12rr ra C -，即-6a =12，解得：a =-2.故选：B【名师指导】二项式定理类问题的处理思路：利用二项展开式的通项进行分析． 5．D 【思路点拨】对三个函数化简后分别讨论.【解析】对于①()sin cos f x x x =+，()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，周期为π，但不是奇函数；对于②()sin cos f x x x =，1()sin 22f x x =，周期为22T ππ==； 又()()11()sin 2=sin 222f x x x f x =-=---，故()sin cos f x x x =符合题意； 对于③21()cos 42f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，211()cos cos 2sin 24222f x x =x =x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由②推导过程可知：21()cos 42f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭周期是π且为奇函数，符合题意. 故选：D【名师指导】三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于sin y x =或cos y x =的性质解题；(1) 求周期用2T πω=;(2)判断奇偶性，一般用()()f x f x =-或()()f x f x =-.6．C 【思路点拨】根据解析式求出(8)f ，根据(1)(1)f x f x +=-将(2)f -化为(4)f ，再根据解析式求出(4)f ，然后相减可得答案. 【解析】2(8)log 83f ==，2(2)(13)(13)(4)log 42f f f f -=-=+===，所以(8)(2)f f --=321-=. 故选：C7．C 【思路点拨】由a ⊥c 求得a b ⋅，再由求向量模的公式即可得解. 【解析】因a ，b 是单位向量，c ＝a ＋2b ，a ⊥c ， 则2211(2)2022a c a ab a a b a b a ⋅=⋅+=+⋅=⇒⋅=-⋅=-，所以22222||(2)4414c c a b a b a b ==+=++⋅=+⋅=故选：C8．A 【思路点拨】根据三个点的坐标可知，点,A B 在抛物线2x y =上，C 为抛物线的焦点，利用抛物线的定义，结合充分不必要条件的定义可得结果.【解析】由()211,A x x ，()222,B x x ，10,4C ⎛⎫ ⎪⎝⎭可知，点,A B 在抛物线2x y =上，C 为抛物线的焦点，若ABC 是等边三角形，则||||AC BC =，根据抛物线的定义可知，,A B 两点到准线的距离相等，所以直线AB 与x 轴平行，其斜率为0，若直线AB 的斜率为0，则,A B 两点到准线的距离相等，则||||AC BC =，只能得到ABC 是等腰三角形，不能推出ABC 是等边三角形，所以“ABC 是等边三角形”是“直线AB 的斜率为0”的充分不必要条件. 故选：A【名师指导】利用抛物线的定义以及充分不必要条件的定义求解是解题关键.9．D 【思路点拨】根据已知求得q 的范围，然后根据q 的正负分类讨论确定{}n S 的单调性． 【解析】因为121a a a -<<，所以10a >，2111a a -<<，即11q -<<， 若01q <<，110n n a a q-=>，11n n n n S S a S ++=+>，{}n S 是递增数列，排除AC ，若10q -<<，则21n a -0>，20n a <，易知212n n S S +>，221n n S S -<，{}n S 是摆动数列，排除B ，当01q <<时，{}n S 是递增数列，1S 是最小项． 当10q -<<时，21S S <，2334(1)01n n a q a a a q--+++=>-，所以2342()n n S S a a a S =++++>(2)n >，所以{}n S 中2S 是最小项．D 正确．故选：D ．【名师指导】本题考查数列的单调性，解题关键是通过n S 与1n S +的关系进行判断，难点是摆动数列的最小项问题，需要利用2340n n S S a a a -=+++>(2)n >进行证明．10．D 【思路点拨】首先由图1得正方体的内切球也是“牟合方盖”内切球，由图2可知截面均为正方形，此正方形是平面截内切球的截面圆的外接正方形，由此计算得到函数解析式，判断选项.【解析】正方体的内切球也是“牟合方盖”内切球，用任意平行于水平平面的平面去截“牟合方盖”，截面均为正方形，并且此正方形是平面截内切球的截面圆的外接正方形，内切球的半径为a ，设截面圆的半径为r ，则()222a h r a -+=，解得：222r h ah =-+， 设截面圆的外接正方形的边长为b ，则2b r =，正方形的面积222448S b r h ah ===-+，[]0,2h a ∈，由函数形式可知，图象应是开口向下的抛物线.故选：D【名师指导】本题的关键是空间想象能力的考查，关键得到截面是一个正方形，以及与“牟合方盖”内切球的关系.11．1-【思路点拨】根据导数的几何意义进行解题即可.【解析】因为3()f x x ax =+，所以'2()3f x x a =+，又因为曲线y ()f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率为2，根据导数的几何意义知：'(1)32f a =+=所以1a =-.【名师指导】导数的几何意义为切线的斜率是解决本题的关键. 12【解析】解析过程略13．0(答案不惟一)【思路点拨】消去α并利用恒等变换公式得到1sin()62πβ+=，进一步得到2k βπ=或223k πβπ=+，k Z ∈，再去一个值即可得解. 【解析】由12cos 2cos 2sin 2sin αβαβ+=⎧⎪=得2cos 2cos 12sin 2sin αβαβ=-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以2222(2cos )(2sin )(2cos 1)(2sin ααββ+=-+，所以2244cos 4cos 14sin 3ββββ=-++-+，cos 1ββ+=， 所以1sin()62πβ+=，所以266k ππβπ+=+或5266k ππβπ+=+，k Z ∈，即2k βπ=或223k πβπ=+，k Z ∈. 所以β可以取0.14．②③④【思路点拨】根据分类直线的定义判断.【解析】由图象知：()()()()()()()12341231.5,2,1,3,2,3,2,4,3,1,3,2,4,3P P P P Q Q Q ，①当直线 2.5x =为分类直线时，3 2.50.5l d =-=，当直线350x y --=为分类直线时0.5l d ==>，所以直线350x y --=分类效果好，故错误； ②由图知定位L 的位置由()()()1321.5,2,2,3,3,2P P Q 确定，所以直线L 过点()()()1321.5,2,2,3,3,2P P Q 的外心，设直线方程为y kx b =+ 则=，解得2k =，故正确； ③当3P 到L 的距离与2Q 到L 的距离相等时为L 的临界值，此时点()3,3在L 的右侧，故正确；④去掉点1P=，解得1k =，故正确；【名师指导】本题关键是理解分类直线的定义，如本题L 的位置由()()()1321.5,2,2,3,3,2P P Q 确定.155 【思路点拨】①根据向量的夹角公式，直接求解即可； ②根据已知可得0OA AB ⋅=，求出相应的坐标代入即可求出m 的值.【解析】①因为(0,0)O ，(1,2)A ，(,0)(0)B m m >，所以(1,2)OA =，(,0)OB m =，所以cos ,5||||5OA OB OA OB OA OB ⋅<>===②(1,2)AB m =--，若B 是以OA 为边的矩形的顶点，则0OA AB ⋅=, 即140OA AB m ⋅=--=，所以5m =.16．【思路点拨】（1）计算出sin A 、sin ADB ∠，利用两角和的余弦公式可求得cos cos BDC ABD ∠=∠的值；（2）在ABD △中，利用正弦定理可求出BD 的长，然后在BCD △中利用余弦定理可求得BC 的长.【解析】（1）因为cos 3A =，1cos 3ADB ∠=，则A 、ADB ∠均为锐角，所以，sin 3A ==，sin 3ADB ∠==， ()()cos cos cos sin sin cos cos ABD A ADB A ADB A ADB A ADBπ∠=--∠=-+∠=∠-∠133339=-=， //AB CD ，则BDC ABD ∠=∠，因此，cos cos BDC ABD ∠=∠=； （2）在ABD △中，由正弦定理可得sin sin AB BDADB A=∠，可得sin 3sin 3AB ABD ADB===∠，在BCD △中，由余弦定理可得2222cos 962311BC BD CD BD CD BDC =+-⋅∠=+-⋅=，因此，BC =【名师指导】在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有a 、b 、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.17．【思路点拨】（1）根据四边形ACFE 为矩形，得到//AE CF ，利用线面平行的判定定理得到//AE 平面CDF ，同理//AB 平面CDF ，然后利用面面平行的判定定理证明； （2）选条件①：AB AD ⊥；条件②：AE ⊥平面ABCD ，则以A 为原点，以AB ，AD ，AE 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，分别求得平面CDF 的一个法向量和平面EBF 的一个法向量，利用cos n m n mθ⋅=⋅求解.【解析】（1）因为四边形ACFE 为矩形，所以//AE CF ， 又AE ⊄平面CDF ；CF ⊂平面CDF ； 所以//AE 平面CDF ；又//AB CD ，AB ⊄平面CDF ；CD ⊂平面CDF ； 所以//AB 平面CDF ； 又ABAE A =，所以平面//ABE 平面CDF ；（2）选条件①：AB AD ⊥；条件②：AE ⊥平面ABCD ；以A 为原点，以AB ，AD ，AE 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系；则()()()()()()0,0,0,1,0,0,1,0,0,2,2,1,0,2,0,2,2,0A B E F D C ， 所以()()1,01,2,21EB EF =-=-，设平面CDF 的一个法向量为 (),,n x y z =，即()0,1,0n =， 设平面EBF 的一个法向量为(),,m x y z =，则00EB m EF m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即0220x z x y -=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1,1y z =-=，则()1,1,1m =-， 设二面角B l C --为θ ， 所以3cos 3n m n mθ⋅===-⋅选条件①：AB AD ⊥；条件③：平面AED ⊥平面ABCD . 因为AB AD ⊥，平面AED ⊥平面ABCD . 所以AB ⊥平面AED 因为//AB CD ， 所以CD ⊥平面AED ， 所以CD DE ⊥ 因为222,3CD EC AE AC ==+=，所以225ED EC CD =-=，即222AE AD ED +=，所以AE AD ⊥，因为平面AED ⊥平面ABCD . 所以AE ⊥平面ABCD ，以A 为原点，以AB ，AD ，AE 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系；则()()()()()()0,0,0,1,0,0,1,0,0,2,2,1,0,2,0,2,2,0A B E F D C ， 所以()()1,01,2,21EB EF =-=-，设平面CDF 的一个法向量为 (),,n x y z =，即()0,1,0n =， 设平面EBF 的一个法向量为(),,m x y z =，则00EB m EF m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即0220x z x y -=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1,1y z =-=，则()1,1,1m =-， 设二面角B l C --为θ ，所以cos 33n m n mθ⋅===-⋅【名师指导】向量法求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．18．【思路点拨】（1）根据题意，利用频率分布直方图，概率和为1求a ；（2）由分层抽样知，从阅读时间在(12,14]，(14,16]，(16,18]中分别抽取5，4，1人，则X 的可能取值为0,1,2,3，计算概率，列出分布列；（3）学生日平均阅读时间在(10,12]的概率0.2P =，则202020()(0.2)(0.8)k k kP k C -=，可知20()P k 最大，k 的取值.【解析】（1）由概率和为1得：20.0220.0320.0520.0520.15220.05a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯20.0420.011+⨯+⨯=，解得：0.1a =.（2）由分层抽样性质知，从阅读时间在(12,14]中抽取5人，从阅读时间在(14,16]中抽取4人，从阅读时间在(16,18]中抽取1人，从该10人中抽取3人，则X 的可能取值为0,1,2,3，()36310106C P X C ===，()2164310112C C P X C ===，()12643103210C C P X C ===，()343101330C P X C ===，则X 的分布列为（3）学生日平均阅读时间在(10,12]的概率0.120.2P =⨯=，则202020()(0.2)(0.8)kk k P k C -=，当4k =时，20()P k 最大.【名师指导】本题考查频率分布直方图，超几何分布概率以及离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列，组合，概率知识求出X 取各个值时对应的概率，对应服从某种特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，考查学生逻辑推理能力与计算能力，属于中档题. 19．【思路点拨】（1）求导，利用导数的符号判断可得结果； （2）利用导数，根据极值点的定义可证结论正确；（3）根据()1f x +在x π=时取得最小值，ln x 在x π=时取得最大值，可得()g x 在x π=时取得最小值.【解析】（1）因为()sin f x x x =，所以()sin cos f x x x x '=+⋅， 因为02x π<<，所以()0f x '>，所以函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数. （2）设()()h x f x '=，则()cos cos sin 2cos sin h x x x x x x x x '=+-⋅=-⋅，当2x ππ<<时，()0h x '<，所以()h x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，又()102h π=>，()0h ππ=-<，所以存在唯一0(,)2x ππ∈，使得0()0h x =，即存在唯一0(,)2x ππ∈，使得0()0f x '=， ()f x 与()'f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内的变化情况如下：所以函数()f x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内有且只有一个极值点. （3）由（1）（2）知，()f x 在0(1,)x 内单调递增，在0(,)x π内单调递减，又因为(1)sin10f =>，()0f π=，所以当(1,]x π∈时，()11f x +≥，又因为当(1,]x π∈时，0ln ln x π<≤，所以()11()ln ln f x g x x π+=≥，当且仅当x π=时等号成立， 所以()g x 在(1,]π上的最小值为1ln π. 【名师指导】利用导数研究函数的单调性、极值和最值是解题关键.20．【思路点拨】（1）由已知两点坐标得,a b ，求得c 后可得离心率；（2）直线AB 方程为22x y =-，设00(,)P x y （00y ≠，01y ≠±），(22,)Q Q Q y y -，(,0)S S x ．由,,C P Q 三点共线求得Q 点坐标（用P 点坐标表示），由,,B P S 共线求得S 点坐标（用P 点坐标表示），写出直线QS 的方程，把220044x y =-代入化简对方程变形可得定点坐标．【解析】（1）因为点(2,0)A -，(0,1)B 都在椭圆M 上，所以2a =，1b =．所以c ==所以椭圆M 的离心率c e a == （2）由（1）知椭圆M 的方程为2214x y +=，(2,0)C ． 由题意知：直线AB 的方程为22x y =-．设00(,)P x y （00y ≠，01y ≠±），(22,)Q Q Q y y -，(,0)S S x ．因为,,C P Q 三点共线，所以有//CP CQ ，00(2,),(222,)Q Q CP x y CQ y y =-=--， 所以00(2)(24)Q Q x y y y -=-． 所以000422Q y y y x =-+． 所以00000004244(,)2222y x y Q y x y x +--+-+． 因为,,B S P 三点共线， 所以0011s y x x -=-，即001s x x y =-． 所以00(,0)1x S y -． 所以直线QS 的方程为000000000004242214122y x x y x y x x y y y y x +---+-=+--+， 即2200000000044844(1)1x y x y y x x y y y y --+-=+--． 又因为点P 在椭圆M 上，所以220044x y =-．所以直线QS 的方程为00022(1)21y x x y y --=-+-． 所以直线QS 过定点(2,1)．【名师指导】本题考查求椭圆的离心率，考查椭圆的直线过定点问题，解题方法是设椭圆上的点坐标00(,)P x y ，利用三点共线变为向量平行，求得直线交点,Q S 的坐标，得出直线QS 方程，再由P 在椭圆上，代入化简凑配出定点坐标．21．【思路点拨】（1）根据性质()P m 的定义求解；（2）用反证法，假设存在具有性质P （1）的数列{a n }，则21++=+n n n a a a ，得数列{}n a 递增，然后证明322n n a a a ++>+，n 个不等式相加得332n a a na +-≥，这时取32T a n a ->，则得到3n a T +>，出现矛盾，完成证明；（3）确定1m ≠，若2m =，则有211()2n n n a a a ++=+，变形为2111()2n n n n a a a a +++-=--， 这样可以得出212112n n n a a a a ++-=-，然后说明12*a a c N ==∈适合，12a a ≠不适合；在3m ≥时，取1max{,}n n n b a a +=，利用不等式性质可得2n n a b +<，3n n a b +<，于是有2n n b b +<，数列{}n b 的奇数项递减（偶数项也递减），而1b 是确定的正整数，这样可推导出矛盾的结论，从而得出结论．【解析】（1）2m =；答案不唯一．如6T =．理由如下：1422n ⎛⎫⨯-≥- ⎪⎝⎭（1n =时取等号），*n N ∈，所以154302nn a ⎛⎫=+⨯-≥> ⎪⎝⎭； 1412n ⎛⎫⨯-≤ ⎪⎝⎭（2n =时取等号），*n N ∈，所以1545162n n a ⎛⎫=+⨯-≤+= ⎪⎝⎭，不小于6的实数都可以是T ； 121211115454102102422222n n n n n n n a a a ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⨯-++⨯-=+⨯-=+⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2m =． （2）不存在具有性质(1)P 的数列{}n a ，理由如下：假设存在具有性质(1)P 的数列，设为{}n a ，则1m =．所以21n n n a a a ++=+，1,2,n =．因为0n a >（1,2,n =）， 所以21n n a a ++>，即234a a a <<<⋅⋅⋅．所以32122n n n n a a a a a ++++=+≥+，即432a a a -≥，542a a a -≥，⋅⋅⋅，322n n a a a ++-≥．累加得，332n a a na +-≥．对于常数0T >，当32T a n a ->时，323n a na a T +≥+>，与②矛盾．所以不存在具有性质(1)P 的数列{}n a ．（3）因为数列{}n a 具有性质()P m ，由（2）知1m ≠．①当2m =时，211()2n n n a a a ++=+，即2111()2n n n n a a a a +++-=--，1,2,n =． 所以212112n n na a a a ++-=-． 若12a a c ==（c 为常数，且*c ∈N ），则n a c =，1,2,n =． 经检验，数列{}c （*c ∈N ）具有性质(2)P ．若12a a ≠，当221log n a a >-时，21211(0,1)2n n na a a a ++-=-∈， 与*n a ∈N 矛盾．②当3m ≥时，令{}*1max n n n b a a +=∈N ，，则 211111()()()33n n n n n n n n a a a a a b b b m +++=+≤+≤+<，1,2,n =． 所以32121111()()()33n n n n n n n n a a a a a b b b m +++++=+≤+<+<． 所以{}223max n n n n b a a b +++=<，．所以21n n b b +≤-，1,2,n =． 所以311b b -≤-，531b b -≤-，⋅⋅⋅，21211n n b b +--≤-．所以211n b b n +-≤-．当1n b ≥时，2110n b b n +≤-≤，与*21n b +∈N 矛盾．综上所述，数列{}n a 的通项公式为n a c =（c 为常数，且*c ∈N ）．【名师指导】本题考查数列新定义，解题关键是理解新定义，并能应用新定义解题．解题时由于新定义提供的理论根据较少，因此在证明与之有关的命题时可能应用反证法思想．本题中的矛盾的出现主要是把已知性质()P m 的等式转化为不等式，推导出*n a N ∉．。