北京市海淀区2014届高三上学期期中考试数学理
北京市海淀区2014届高三上期中考试数学试题(文)(有答案)AKwMll
海淀区高三年级第一学期期中练习(答案)数学（文科） 2013.11一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
BDCA B A AB二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9. (,1][0,)-∞-+∞U 10.111. 312.2π3,π613. 314.3；6(31)n -（说明：第12和14题的两空，第一空3分，第二空2分）三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分14分）解：（I ）π()3cos 2cos(2)2f x x x =+- ---------------------------------------2分 3cos 2sin 2x x =+ -------------------------------------------------4分π2sin(2)3x =+ -------------------------------------------------6分 ()f x 最小正周期为T π=， -------------------------------------------------8分（II ）因为ππ32x -≤≤，所以ππ4π2333x -≤+≤ --------------------------------------10分 所以3πsin(2)123x -≤+≤ ---------------------------------------12分 所以π32sin(2)23x -≤+≤，所以()f x 取值范围为[3,2]-.---------------14分 16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由60A =o 和332ABC S ∆=可得133sin6022bc =o , ---------------------------2分 所以6bc =，--------------------------------------3分又32,b c =所以2,3b c ==. ------------------------------------5分（Ⅱ）因为2,3b c ==,60A =o ,由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得 ------------------------------------7分2222367a =+-=，即7a =. ------------------------------------9分由正弦定理sin sin a b A B =可得72sin sin60B=o ，---------------------------------12分 所以21sin 7B =.------------------------------------13分 17.（本小题满分13分） 解：（I ）设等比数列{}n a 的公比为q ，由313a a -=得21(1)3a q -=① ----------------------------------2分由123a a +=得1(1)3a q +=②----------------------------------4分两式作比可得11q -=，所以2q =， ----------------------------------5分把2q =代入②解得11a =，----------------------------------6分所以12n n a -=. ----------------------------------7分（II ）由（I ）可得21141n n n b a -=+=+ ----------------------------------8分易得数列1{4}n -是公比为4的等比数列，由等比数列求和公式可得141(41)143n n n S n n -=+=-+-.------------------------------13分 （说明：未舍1q =-扣1分，若以下正确，给一半分；两个求和公式各2分，化简结果1分）18.（本小题满分13分） 解：（I ）由已知可得1x t +=，所以点P 的横坐标为21t -,----------------------------2分 因为点H 在点A 的左侧，所以2111t -<，即2323t -<<.由已知0t >，所以023t <<， -------------------------------------4分所以2211(1)12,AH t t =--=-所以APH ∆的面积为21()(12),0232f t t t t =-<<.---------------------------6分（II ）233'()6(2)(2)22f t t t t =-=-+- --------------------------7分由'()0f t =，得2t =-（舍）,或2t =. --------------------------8分 函数()f t 与'()f t 在定义域上的情况如下：(0,2) 2 (2,23)'()f t + 0 -()f t ↗ 极大值 ↘------------------------------------12分 所以当2t =时，函数()f t 取得最大值8. ------------------------------------13分19.（本小题满分14分）解：（I ）当1a =时，()ln f x x x =+，1'()1(0)f x x x =+>------------------------------1分(1)1f =，'(1)2f = -------------------------------3分所以切线方程为210x y --= --------------------------------5分（II ）'()(0)x af x x x +=> -----------------------------6分当0a ≥时，在(0,)x ∈+∞时'()0f x >，所以()f x 的单调增区间是(0,)+∞；-8分当0a <时，函数()f x 与'()f x 在定义域上的情况如下：x (0,)a - a - (,)a -+∞'()f x - 0 +()f x ↘ 极小值 ↗分 （III ）由（II ）可知①当0a ≥时，(0,)+∞是函数()f x 的单调增区间，且有11()1110a a f e e --=-<-=，(1)10f =>，---------------11分所以，此时函数有零点，不符合题意；---------------12分②当0a <时，()f a -是函数()f x 的极小值，也是函数()f x 的最小值，所以，当()(ln()1)0f a a a -=-->，即e a >-时，函数()f x 没有零点，-------13分 综上所述，当e 0a -<<时，()f x 没有零点.-----------------14分20.（本小题满分13分）解：（I ）集合A 的所有元素为：4,5,6,2,3,1. ----------------------3分（说明：学生若写成{4,5,6,2,3,1}A =，不扣分，写不全的两个元素给1分）（II ）不妨设成等比数列的这连续7项的第一项为k a ，如果k a 是3的倍数，则113k k a a +=；如果k a 是被3除余1，则由递推关系可得22k k a a +=+，所以2k a +是3的倍数，所以3213k k a a ++=；如果k a 被3除余2，则由递推关系可得11k k a a +=+，所以1k a +是3的倍数，所以2113k k a a ++=. 所以，该7项的等比数列的公比为13. 又因为*n a ∈N ，所以这7项中前6项一定都是3的倍数，而第7项一定不是3的倍数（否则构成等比数列的连续项数会多于7项），设第7项为p ，则p 是被3除余1或余2的正整数，则可推得63k a p =⨯ 因为67320143<<，所以63k a =或623k a =⨯.由递推关系式可知，在该数列的前1k -项中，满足小于2014的各项只有：1k a -=631,-或6231⨯-,2k a -=632,-或6232⨯-,所以首项a 的所有可能取值的集合为{663,23⨯,6631,231,-⨯-6632,232-⨯-}. -----------------------8分（III ）若k a 被3除余1，则由已知可得11k k a a +=+,2312,(2)3k k k k a a a a ++=+=+；若k a 被3除余2,则由已知可得11k k a a +=+,21(1)3k k a a +=+,31(1)13k k a a +≤++； 若k a 被3除余0，则由已知可得113k k a a +=,3123k k a a +≤+； 所以3123k k a a +≤+， 所以312(2)(3)33k k k k k a a a a a +-≥-+=- 所以，对于数列{}n a 中的任意一项k a ，“若3k a >，则3k k a a +>”. 因为*k a ∈N ，所以31k k a a +-≥.所以数列{}n a 中必存在某一项3m a ≤（否则会与上述结论矛盾！）若1m a =,结论得证.若3m a =,则11m a +=；若2m a =,则123,1m m a a ++==,所以1A ∈. -----------------------------------------13分说明：对于以上解答题的其它解法，可对照答案评分标准相应给分。
数学理卷·2014届北京市海淀区高三上学期期末考试(2014.01)扫描版
---------------------------------------------4 分
（Ⅱ）由题意可得点 A(−2,0), M (1, 3) , 2
------------------------------------------6 分
所以由题意可设直线 l : y = 1 x + n , n ≠ 1 .------------------------------------------7 分 2Leabharlann +1>0
，解得
a > −e2 ,-------------------9 分
所以此时 −e2 < a < 0 ；
-----------------------------------------------10 分
②当 a > 0 时， F(x), F '(x) 的情况如下表：
第 8 页 共 11 页
=
1 2
x1
+
n
−
3 2
+
1 2
x2
+n− 3 2
=1+
n −1
+
n −1
x1 − 1
x2 −1
x1 − 1 x2 − 1
= 1 + (n − 1)(x1 + x2 − 2) x1x2 − ( x1 + x2 ) + 1
=1−
(n − 1)(n + 2) n2 + n − 2
=
0，
---------------------------------13 分
所以 sin A = 1 − cos2 A = 4 ,------------------------------------7 分 5
2014海淀高三理科数学期中14题
2014海淀高三理科数学期中14题
这道题难度还是比较大的。
涉及到绝对值函数，周期函数，等比数列等一系列的动系
没有办法画图，我简单的说一下吧
首先在[1,3)上面是个绝对值函数，开口向下的折线，这里f（3）=f （1）=0，根据周期性得到的
其实你就会发现f（3^N）都是零，当然N是需要取整数的，然后我们发现x=1和x=3是取最小值0，当x=2时取得最大值1
这个周期（3^N是周期）不规律的函数极大值就是2*3^N，最小值就是0
对已a=1，就可以算出来其实是x1=2，x2=4，x3=8
第一问就是14
然后第二问的话是比较难的，首先可以知道在[1,3]之间是没有根的，然后在[3,9]包括以后的区间内必有两根（画图吧，数形结合思想很重要，我给你算一下答案就好了具体想弄明白可以加扣口）
其实你会发现跟a是没有多大关系，就是一个首项为12，公比为3
的等比数列
答案就是6（3^n-1）
1。
2014年海淀区高三数学理科期中试题(答案)
海淀区高三年级第一学期期中练习数学（理）答案及评分参考 2014.11一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）D （3）C （4）B （5）B （6）A （7）D （8）A 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。
有两空的小题，第一空2分，第二空3分）（9 （10）0 （11）0 （12）2 （13）2- （14）2；12三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）ππππ11()sin sin()1222322f =-+=-=. ……………… 3分 （Ⅱ）π()sin sin()3f x x x =-+ππsin (sin cos cos sin )33x x x =-+ ……………… 5分11πsin (sin )sin sin()223x x x x x x =-+==-. ……………… 9分 函数sin y x =的单调递增区间为ππ[2π,2π]()22k k k -+∈Z ， 由πππ2π2π()232k x k k --+∈Z ≤≤， ……………… 11分 得π5π2π2π()66k x k k -+∈Z ≤≤.所以 ()f x 的单调递增区间为π5π[2π,2π]()66k k k -+∈Z . ……………… 13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）因为 132,,a a a -成等差数列，所以 3122a a a =-. ……………… 2分 设数列{}n a 的公比为(0)q q >，由112a =可得21112222q q ⨯=-， ……………… 4分即2210q q +-=.解得：12q =或1q =-（舍）. ……………… 5分 所以 1111()222n n n a -=⨯=. ………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：12n n a n n -=-.所以 2311111232222n n S n =-+-+-++- ………………8分2311111232222n n =++++----- ………………9分11(1)(1)1(1)221122212n n n n n n -++=-=---. ……………… 13分（17）（共13分）解：（Ⅰ）因为 2D B ∠=∠，cos 3B =， 所以 21cos cos 22cos 13D B B ==-=-.……………… 3分因为 (0,π)D ∠∈，所以 sin 3D ==. ……………… 5分因为 1,3AD CD==，所以 △ACD 的面积11sin 13223S AD CD D =⋅⋅=⨯⨯⨯= ……………… 7分（Ⅱ）在△ACD 中，2222cos 12AC AD DC AD DC D =+-⋅⋅=.所以 AC =……………… 9分 因为 BC =sin sin AC ABB ACB=∠， ……………… 11分所以sin(2)sin 22sin cos 3AB AB AB B B B B ====π-. 所以 4AB =. ……………… 13分 （18）（共14分）解：（Ⅰ）当1a =时，2()2ln 1f x x x =-+.222(1)()2x f x x x x--'=-=，0x >. ……………… 2分令22(1)()0x f x x--'=<. 因为 0x >，所以 1x >. ……………… 3分 所以 函数()f x 的单调递减区间是(1,)+∞. ……………… 4分（Ⅱ）xa x x x a x f )(222)(2--=-=',0>x . 令'()0f x =，由0a >，解得1x =2x =. ……………… 5分 ①1≤，即01a <≤时，在区间[1,)+∞上'()0f x ≤，函数()f x 是减函数. 所以 函数()f x 在区间[1,)+∞上的最大值为(1)0f =； ……………… 7分 ②1>，即1a >时，x 在[1,)+∞上变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表1a所以 函数()f x 在区间[1,)+∞上的最大值为)ln 1f a a a a =-+.……………… 10分 综上所述：当01a <≤时，函数()f x 在区间[1,)+∞上的最大值为(1)0f =； 当1a >时，函数()f x 在区间[1,)+∞上的最大值为ln 1f a a a =-+.（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：当01a <≤时，0)1()(=≤f x f 在区间),1[+∞上恒成立；……………… 11分当1a >时，由于)(x f 在区间],1[a 上是增函数，所以 0)1()(=>f a f ,即在区间),1[+∞上存在x =()0f x >.……………… 13分 综上所述，a 的最大值为1. ……………… 14分（19）（共13分）（Ⅰ）解：由题意知：1112a S +=，即1112a a +=. 解得：11a =. ……………… 2分（Ⅱ）证明：因为 (1)(1,2,3,)2n n n a S n +==， 所以 11(1)(1)2n n n a S ---+=（2n ≥）. ……………… 4分因为 1n n n a S S -=-（2n ≥）. ……………… 6分 所以 11(1)2n n n na n a a -+--=，即1(2)1(1)(2)n n n a n a n --+=-≥.……………… 7分（Ⅲ）数列{}n a 是等差数列.理由如下： ……………… 8分又22(2)(1)2n n n a S ---+=（3n ≥），由（Ⅱ）可得：112n n n a S S ---=-12(1)1(2)2n n n a n a ---+--=（3n ≥）. ……………… 9分所以 1212(1)(2)2n n n n n na n a n a a a -----+--=，即12(2)2(2)(2)0n n n n a n a n a -----+-=. ……………… 11分 因为 3n ≥，所以 1220n n n a a a ---+=，即112n n n n a a a a ----=-（3n ≥）. 所以 数列{}n a 是以1为首项，21a -为公差的等差数列. ……………… 13分（20）（共14分）解：（Ⅰ）221016()(51623)x f x x x +'=-++.所以 1(1)24f '-=-. 所以 L 的方程为11(1)1224y x -=-+，即112424y x =-+． ……………… 3分（Ⅱ）要证除切点1(1,)12-之外，曲线C 在直线L 的下方，只需证明1(,1)(1,)5x ∀∈-∞---，2111516232424x x x <-+++恒成立. 因为 2516230x x ++>，所以 只需证明1(,1)(1,)5x ∀∈-∞---，32511710x x x +++<恒成立即可．……………… 5分设321()5117 1 ().5g x x x x x =+++-≤则2()15227(1)(157)g x x x x x '=++=++. 令()0g x '=，解得11x =-，2715x =-. ……………… 6分 当x 在1(,]-∞-上变化时，()'(),g x g x 的变化情况如下表71571(,)155-0+↗所以 1(,1)(1,)5x ∀∈-∞---，32511710x x x +++<恒成立. ……………… 8分（Ⅲ）（ⅰ）当1211,,55x x <-<-且315x <-时，由（Ⅱ）可知：11211111()516232424f x x x x =-+++≤， 22222111()516232424f x x x x =-+++≤，33233111()516232424f x x x x =-+++≤. 三式相加，得12312311()()()()248f x f x f x x x x ++≤-+++. 因为 1233x x x ++=-，所以 1231()()()4f x f x f x ++≤，且当1231x x x ===-时取等号． ……………… 11分（ⅱ）当123,,x x x 中至少有一个大于等于15-时，不妨设115x -≥，则2221118511851516235(5()2055555x x x ++=++-++=)≥，因为 2222285151516235()555x x x ++=++≥，2233385151516235()555x x x ++=++≥，所以 1231551()()()2051514f x f x f x ++++<≤． 综上所述，当1231x x x ===-时123()()()f x f x f x ++取到最大值14.……………… 14分。
2014北京市海淀区高三第一学期期末数学理科试有答案
海淀区高三年级第一学期期末练习 数学 （理科2）2014.1本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 复数21i-化简的结果为 A.1i + B.1i -+ C. 1i - D.1i --2.已知直线2,:2x t l y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）与圆2cos 1,:2sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则直线l 的倾斜角及圆心C 的直角坐标分别是A.π,(1,0)4 B.π,(1,0)4- C.3π,(1,0)4 D.3π,(1,0)4- 3.向量(3,4),(,2)x ==a b , 若||⋅=a b a ,则实数x 的值为 A.1- B.12-C.13- D.1 4.某程序的框图如图所示, 执行该程序，若输入的p 为24，则输出 的,n S 的值分别为A.4,30n S ==B.5,30n S ==C.4,45n S ==D.5,45n S ==5.如图，PC 与圆O 相切于点C ，直线PO 交圆O 于,A B 两点，弦CD 垂直AB 于E . 则下面结论中，错误．．的结论是 Ａ.BEC ∆∽DEA ∆ B.ACE ACP ∠=∠ C.2DE OE EP =⋅ D.2PC PA AB =⋅6.数列{}n a 满足111,n n a a r a r +==⋅+（*,n r ∈∈N R 且0r ≠），则“1r =”是“数列{}n a 成等差数列”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 用数字0,1,2,3组成数字可以重复的四位数, 其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为A. 144B.120C. 108D.72B8. 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P ∆为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是A.12(,)33B.1(,1)2C. 2(,1)3D.111(,)(,1)322二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 以y x =±为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为______.10.数列{}n a 满足12,a =且对任意的*,N m n ∈，都有n mn ma a a +=，则3_____;a ={}n a 的前n 项和n S =_____.11. 在261(3)x x+的展开式中，常数项为______.(用数字作答)12. 三棱锥D ABC -及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱BD 的长为_________.13. 点(,)P x y 在不等式组 0,3,1x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥+⎩表示的平面区域内，若点(,)P x y 到直线1y kx =-的最大距离为___.k =14. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -表面上运动，且PA r =（0r <<，记点P 的轨迹的长度为()f r ，则1()2f =______________;关于r 的方程()f r k =的解的个数可以为________.（填上所有可能的值）.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. （本小题满分13分）已知函数21()cos cos 2222x x x f x =+-，ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .（I ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()1,f B C +=1a b ==，求角C 的大小.DABC左视图16.（本小题满分13分）汽车租赁公司为了调查A,B 两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表:（I ）从出租天数为3天的汽车（仅限A,B 两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A 型车的概率；（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率； （Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A ，B 两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.17. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，12,AB AC AA ===E 是BC 中点.（I ）求证：1//A B 平面1AEC ；（II ）若棱1AA 上存在一点M ，满足11B M C E ⊥，求AM 的长； （Ⅲ）求平面1AEC 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.18. （本小题满分13分）已知函数e ().1axf x x =-（I ） 当1a =时,求曲线()f x 在(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.EC 1B 1A 1CBA19. （本小题满分14分）已知()2,2E 是抛物线2:2C y px =上一点，经过点(2,0)的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点（不同于点E ），直线,EA EB 分别交直线2x =-于点,M N . （Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；（Ⅱ）已知O 为原点，求证：MON ∠为定值.20. （本小题满分13分）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若()f x y x=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”；若2()f x y x =在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”. 我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为1Ω，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2Ω. (Ⅰ)已知函数32()2f x x hx hx =--，若1(),f x ∈Ω且2()f x ∉Ω，求实数h 的取值范围； (Ⅱ)已知0a b c <<<，1()f x ∈Ω且()f x 的部分函数值由下表给出，求证：(24)0d d t +->；(Ⅲ)定义集合{}2()|(),,(0,)(),f x f x k x f x k ψ=∈Ω∈+∞<且存在常数使得任取,请问：是否存在常数M ，使得()f x ∀∈ψ，(0,)x ∀∈+∞，有()f x M <成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，说明理由.。
北京市海淀区2014届高三上学期期中考试数学文
2
2
---------------------------2 分
所以 bc 6 ，--------------------------------------3
分
又 3b 2c,
所
以
. b 2,c 3
------------------------------------5 分
（Ⅱ）因为 b 2,c 3 , A 60 ,
① a1(q2 1) 3
----------------------------------2 分
由 a1 a2 3 得 a1(1 q) 3 ② ----------------------------------4
分
两 式 作 比 可 得 ， q 11 所 以 ， q 2
----------------------------------5 分
由 余 弦 定 理 可 得 a2 b2 c2 2bccos A
------------------------------------7 分
， a2 22 32 6 7
即
. a 7
------------------------------------9 分
由 正 弦 定 理 可 得 ， a b sin A sin B
函数 f (t) 与 f '(t) 在定义域上的情况如下：
(0, 2)
2
(2, 2 3)
f '(t)+0f (t)↗ 极大
↘
值
------------------------------------12 分 所 以 当 时 t 2 ， 函 数 取 f (t) 得 最 大 值 8. ------------------------------------13 分
北京市海淀区2014届高三数学上学期期中试题 文(含解析)
北京市海淀区2014届高三数学上学期期中试题 文（含解析）新人教A 版第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合{1,0,1,2}A =-，{|1}B x x =≥，则A B =( )A. {2}B. {1,2}C. {1,2}-D. {1,1,2}-2.下列函数中，为奇函数的是( )A. ()f x =B. ()ln f x x =C. ()2xf x =D. ()sin f x x =3.已知向量(1,2),(,1)m =-=-a b ，且//a b ，则实数m 的值为( )A. 2-B. 12-C. 12D. 2【答案】C 【解析】试题分析：因为，向量(1,2),(,1)m =-=-a b ，且//a b ，所以，11,122m m -==-，选C. 考点：平面向量的坐标运算，共线向量.4.“π6α=”是“1sin2α=”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知数列{}na的前n项和为n S，且*1110,3()n na a a n+=-=+∈N，则nS取最小值时，n的值是（）A. 3B. 4C. 5D. 66.若函数tan,0,()2(1)1,0x xf xa x xπ⎧-<<⎪=⎨⎪-+≥⎩在π(,)2-+∞上单调递增，则实数a的取值范围( )A. (0,1]B. (0,1)C. [1,)+∞ D. (0,)+∞【答案】A7.若函数()sin f x x kx =-存在极值，则实数k 的取值范围是( ) A.(1,1)-B.[0,1)C.(1,)+∞D.(,1)-∞-8.已知点(1,0)B ，P 是函数e xy =图象上不同于(0,1)A 的一点.有如下结论：①存在点P 使得ABP ∆是等腰三角形； ②存在点P 使得ABP ∆是锐角三角形； ③存在点P 使得ABP ∆是直角三角形. 其中，正确的结论的个数为( ) A. 0 B.1 C. 2 D. 3【答案】B第Ⅱ卷（共90分）二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市海淀区2014-2015学年度高三第一学期期中试卷(理)-含答案
数 学（理） 2014.11本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合1{|}A x x >=∈R ，{|12}B x x =∈-R ≤≤，则A B =（ ）（A ）[1,)-+∞（B ）(1,)+∞（C ）(1,2]（D ）[1,1)-（2）已知向量(2,1)=-a ，(3,)x =b . 若3⋅=a b ，则x =（ ） （A ）6（B ）5（C ）4（D ）3（3）若等比数列{}n a 满足135a a +=，且公比2q =，则35a a +=（ ） （A ）10（B ）13（C ）20（D ）25（4）要得到函数πsin(2)3y x =+的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ） （A ）向左平移3π个单位 （B ）向左平移6π个单位 （C ）向右平移3π个单位 （D ）向右平移6π个单位 （5）设131()2a =，21log 3b =，2log 3c =，则（ ）（A ）a b c >>（B ）c a b >>（C ）a c b >>（D ）c b a >>（6） 设,a b ∈R ，则“0ab >且a b >”是“11a b<”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7）已知函数,0,()0.x x f x x -<⎧⎪=≥若关于x 的方程()(1)f x a x =+有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）1[,)2+∞（B ）(0,)+∞ （C ）(0,1) （D ）1(0,)2（8）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .在同一个坐标系中，()n a f n =及()n S g n =的部分图象如图所示，则（ ）（A ）当4n =时，n S 取得最大值 （B ）当3n =时，n S 取得最大值 （C ）当4n =时，n S 取得最小值（D ）当3n =时，n S 取得最小值二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
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海淀区高三年级第一学期期中练习数学(理科) 答案2013.11一、选择题1、A2、C3、B4、C5、B6、B7、D8、C二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9.210..211. a b c >> 12..2π3,π613..2λ>14. 4；6(31)n -三、解答题: 本大题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。
15.解：（Ⅰ）由60A = 和332ABC S ∆=可得133sin6022bc = , ---------------------------2分 所以6bc =， --------------------------------------3分又32,b c =所以2,3b c ==. ------------------------------------5分（Ⅱ）因为2,3b c ==,60A = ,由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得 ------------------------------------7分2222367a =+-=，即7a =. ------------------------------------9分 由正弦定理sin sin a b A B=可得------------------------------------11分 72sin sin60B= ，------------------------------------12分 所以21sin 7B =.------------------------------------13分 16. 解：（I ）π()3cos4cos(4)2f x x x =-+------------------------------------2分 3cos4sin 4x x =+------------------------------------4分π2sin(4)3x =+------------------------------------6分()f x 最小正周期为πT 2=，------------------------------------8分 （II ）因为ππ64x -≤≤，所以ππ4π4333x -≤+≤-----------------------------------10分 所以3πsin(4)123x -≤+≤-----------------------------------12分 所以π32sin(4)23x -≤+≤， -----------------------------------13分 所以()f x 取值范围为[3,2]-. ------------------------------------14分 17.解：（I ）由已知11,1AH t PH t =-=+ -------------------------------------1分所以APH ∆的面积为1()(11)1,1112f t t t t =-+-<<. ---------------------4分 （II ）解法1. 111'()1(11)2221f t t t t =-++⨯-⨯+ 3(3)41t t -=+ -------------------------------------7分 由'()0f t =得3t =， -------------------------------------8分 函数()f t 与'()f t 在定义域上的情况下表： t(1,3)- 3 (3,11) '()f t+ 0 - ()f t ↗ 极大值 ↘-----------------------------------12分所以当3t =时，函数()f t 取得最大值8. ------------------------------------13分解法2.由211()(11)1(11)(1),11122f t t t t t t =-+=-+-<< 设2()(11)(1),111g t t t t =-+-<<， -------------------------------------6分 则2'()2(11)(1)(11)(11)(1122)3(3)(11)g t t t t t t t t t =--++-=--++=--.-------7分 函数()g t 与'()g t 在定义域上的情况下表： t(1,3)- 3 (3,11) '()g t+ 0 - ()g t ↗ 极大值 ↘------------------------------------11分所以当3t =时，函数()g t 取得最大值， -----------------------------------12分所以当3t =时，函数()f t 取得最大值1(3)82g =.------------------------------------13分 18.解：（I ）由②可得2112a a ⋅=，3122a a ⋅= -------------------------------2分由①可得12a =. -------------------------------3分（II ）由②可得112n n a a +⋅=， ------------------------------6分所以数列{}n a 的通项公式2n n a =. ------------------------------7分（III ）由（II ）可得21(1)421n n n n b a +=+=++，易得1{4},{2}n n +分别为公比是4和2的等比数列，------------------------------8分 由等比数列求和公式可得124(14)4(12)1(416)214123n n n n n S n n ++--=++=-++--.--13分19.解：（I ）因为1a =，2()42ln f x x x x=-+, 所以2242'()(0)x x f x x x-+=>, ------------------------------1分 (1)3f =-，'(1)0f =, ------------------------------3分 所以切线方程为3y =-. ------------------------------4分(II ）222(1)22(1)()'()(0)x a x a x x a f x x x x-++--==>, ----------------------------5分 由'()0f x =得12,1x a x ==, ------------------------------6分 当01a <<时，在(0,)x a ∈或(1,)x ∈+∞时'()0f x >，在(,1)x a ∈时'()0f x <,所以()f x 的单调增区间是(0,)a 和(1,)+∞，单调减区间是(,1)a ； ---------------7分 当1a =时，在(0,)x ∈+∞时'()0f x ≥，所以()f x 的单调增区间是(0,)+∞；-----8分 当1a >时，在(0,1)x ∈或(,)x a ∈+∞时'()0f x >，在(1,)x a ∈时'()0f x <.所以()f x 的单调增区间是(0,1)和(,)a +∞，单调减区间是(1,)a . ---------------10分 (III ）由（II ）可知()f x 在区间[1,e]上只可能有极小值点，所以()f x 在区间[1,e]上的最大值在区间的端点处取到，-------------------------12分 即有(1)12(1)0f a =-+≤且2(e)e 2(1)e 20f a a =-++≤, 解得2e 2e 2e 2a -≥-. ---------------------14分 20.解：（I ）27,9,3；8,9,3；6,2,3. --------------------------------------3分（II ）若k a 被3除余1，则由已知可得11k k a a +=+,2312,(2)3k k k k a a a a ++=+=+； 若k a 被3除余2,则由已知可得11k k a a +=+,21(1)3k k a a +=+,31(1)13k k a a +≤++；若k a 被3除余0，则由已知可得113k k a a +=,3123k k a a +≤+； 所以3123k k a a +≤+， 所以312(2)(3)33k k k k k a a a a a +-≥-+=- 所以，对于数列{}n a 中的任意一项k a ，“若3k a >，则3k k a a +>”. 因为*k a ∈N ，所以31k k a a +-≥.所以数列{}n a 中必存在某一项3m a ≤（否则会与上述结论矛盾！）若3m a =,则121,2m m a a ++==；若2m a =,则123,1m m a a ++==,若1m a =,则122,3m m a a ++==, 由递推关系易得{1,2,3}A ⊆. ---------------------------------------8分 （III ）集合A 中元素个数()Card A 的最大值为21.由已知递推关系可推得数列{}n a 满足：当{1,2,3}m a ∈时，总有3n n a a +=成立，其中,1,2,n m m m =++ .下面考虑当12014a a =≤时，数列{}n a 中大于3的各项：按逆序排列各项，构成的数列记为{}n b ，由（I ）可得16b =或9，由（II ）的证明过程可知数列{}n b 的项满足：3n n b b +>，且当n b 是3的倍数时，若使3n n b b +-最小，需使2112n n n b b b ++=-=-， 所以，满足3n n b b +-最小的数列{}n b 中，34b =或7，且33332k k b b +=-， 所以33(1)13(1)k k b b +-=-，所以数列3{1}k b -是首项为41-或71-的公比为3的等比数列， 所以131(41)3k k b --=-⨯或131(71)3k k b --=-⨯，即331k k b =+或3231k k b =⨯+， 因为67320143<<，所以，当2014a ≤时，k 的最大值是6，所以118a b =，所以集合A 重元素个数()Card A 的最大值为21.---------------13分。