2019-2020年高考数学异构异模复习第十五章数系的扩充与复数的引入15.2复数的运算撬题理
2020年浙江高考数学一轮复习：数系的扩充与复数的引入
••＞必过教材美1. 复数的有关概念 (1) 复数的概念：形如a + bi(a , b € R )的数叫复数，其中a ,b 分别是它的实部和虚部.若 b = 0,贝U a +bi 为实数；若 b z 0,则a + bi 为虚数；若 a = 0且0，则a + bi 为纯虚数.(2) 复数相等：a + bi = c + di ? a = c 且 b = da , b , c , d € R ). (3) 共轭复数：a + bi 与 c + di 共轭? a = c , b =- d(a , b , c , d € R ). (4) 复数的模：向量OZ ＞的模r 叫做复数 z = a + bi(a , b € R )的模，记作|z|或|a + bi|，即|z|= |a +圳= a 2+ b 2.2. 复数的几何意义一一対宜(1) 复数z = a + br •复平面内的点 Z(a , b)(a , b € R ). ——讨丈 一＞ (2) 复数 z = a + bi(a , b € 0 ------- ■:•平面向量 OZ .3. 复数的运算(1) 复数的加、减、乘、除运算法则设 Z 1 = a + bi , z 2= c + di(a , b , c , d € R ),贝U ① 加法：Z 1 + Z 2= (a + bi) + (c + di) = (a + c)+ (b + d)i ; ② 减法：Z 1 — Z 2= (a + bi) — (c + di) = (a — c)+ (b — d)i ; ③ 乘法：z 1 z 2= (a + bi) (c + di) = (ac — bd) + (ad + bc)i ; —人， z 1 a + bi fa + bi'fc — di \ ac + bd bc — ad④ 除法：Z1= a +bi = a +c =爭专+ ^7—ad i(c + di z 0).Z 2 c + di (c + di ]c — di) c + d c + d ''(2) 复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 Z 1, Z 2,爲€ C,有Z 1+ Z 2= Z 2+ Z j , (Z 1+ Z 2)+ Z 3= Z 1+ (Z 2+ Z 3［小题体验］51. ________________________________________________________________________ （2019杭州高三质检）设复数z =—（其中i 为虚数单位），则复数z 的实部为 _______________________-H-第2 —i虚部为__________ .解析：因为z=芒厂普廿=2+「所以复数z的实部为2,虚部为1.答案：2 12. (2019浙江名校联考)设(a+ i)(1 —bi) = 3- i(a, b€ R, i是虚数单位)，则a + b= _________ ; 若z= a + bi,则|z|= ________ .解析：因为(a+ i)(1 —bi) = (a + b) + (1 —ab)i = 3 —i,所以a+ b= 3,1 —ab=—1，贝U ab = 2,所以|z|= ,a2+ b2= a+ b 2—2ab= 9—4= 5.答案：3 53. (教材习题改编)四边形ABCD 是复平面内的平行四边形，A, B, C三点对应的复数分别是1 + 3i,—i,2 + i，则点D对应的复数为______________ .答案：3+ 5i1•判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2. 两个虚数不能比较大小.3•注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来•例如，若Z1, z2€ C, z j+ z2= 0,就不能推出可=z2= 0; z2v 0在复数范围内有可能成立.［小题纠偏］1 .设复数Z1= 2—i, Z2= a + 2i(i 是虚数单位，a€R),若Z1 z2^ R,贝V a = _______ .解析：依题意，复数Nz2= (2 —i)(a+ 2i) = (2a+ 2)+ (4 —a)i 是实数，因此4 —a= 0, a =4.答案：42 •设i是虚数单位，若复数(2 + ai)i的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为____________解析：因为(2 + ai)i = —a + 2i,又其实部与虚部互为相反数，所以一a+ 2= 0, 即卩a= 2.答案：2考点一复数的有关概念基础送分型考点一一自主练透［题组练透］1. (2018台州二模)复数(a2—3a+ 2)+ (a —1)i是纯虚数，则实数a的值为()A. 2B. 1C. —2D. 1 或2解析：选A 由a2—3a+ 2= 0,得a = 1或2.因为复数是纯虚数，所以a^ 1，所以可知A .第一象限B .第二象限a = 2.2 — i2.已知i 为虚数单位，a € R,若 为纯虚数，则复数 z = 2a + 2i 的模等于（ ）a 十iA. 2B. 11C. 3D. 62 — i解析：选C 由题意得， -------- i = ti （t ^ 0）,a 十i…2 — i = — t + tai ,t =—2,解得*i1f=2，••• z = 2a + 2i = 1十 2i , |z|= 3，故选 C.3.（2019镇海中学模拟）已知i 是虚数单位，复数z = 2— i ,则z （1十2i ）的共轭复数为（ ）A . 2+ iB . 4十 3iC . 4— 3iD . — 4 — 3i解析：选C 因为z = 2— i ,所以z （1十2i ）= （2 — i ）（1十2i ）= 4十3i ,所以其共轭复数为 4 —3i.4.已知复数Z 1满足（Z 1— 2）（1十i ） = 1— i （i 为虚数单位），复数z 2的虚部为2,且可Z 2是 实数，则Z 2= _____________ .解析：（Z 1— 2）（1 十 i ） = 1— i ? Z 1= 2— i. 设 z 2= a 十 2i , a € R,则 Z z 2= （2 — i ）（a + 2i ） = （2a + 2）十（4 — a ）i.T Z 1 Z 2 € R ,「. a = 4.• Z 2= 4+ 2i. 答案：4十2i［谨记通法］求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关， 所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即 a 十bi （a , b € R ）的形式，再根据题意求解.考点二复数的几何意义基础送分型考点一一自主练透［题组练透］1. （2019杭二模拟）在复平面内，复数 z = 古对应的点位于（ ）—1= 2,ta =— 1,C•第三象限 D •第四象限解析：选A z= i~^-i =〔；［ 1_ j = 2+*i,其在复平面内对应的点为1，~2，位于第一象限.2 .2i(2019河北“五校联盟”质检)在复平面内与复数z—j所对应的点关于实轴对称的点为A,贝U A对应的复数为()A.1+ i B. 1 —iC.—1 —i D. —1 + i解析：选B 因为z—I —2i 1 i . —i(1 —i) —1+ i，所以A 点坐标为(1, —1),1+ i 1 + i 1-i对应的复数为1-i.3. (2019浙江十校联盟适考)复数z= ^(i为虚数单位)的虚部为____________________ ，其共轭复数在复平面内对应的点位于第_____________ 象限.解析：因为z^-2^ = 2^^一i一= 1 + i,所以z的虚部为1, z = 1- i，故复数z的共1 + i (1+ i］1 —i)轭复数在复平面内对应的点为(1, —1),位于第四象限.答案：1四［谨记通法］对复数几何意义的理解及应用(1) 复数z、复平面上的点Z及向量—O Z相互联系，即z= a + bi(a, b€R)? Z(a, b)? 1O Z.(2) 由于复数、点、向量之间建立了--- 对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.考点三复数的代数运算基础送分型考点一一自主练透［题组练透］1. (2019浙江名校协作体联考)汙=( )B. 10故选D.法二：1+ i -X署晁故选D.C. 102D. .5解析：选D ㈡=(3—i ]1—i L 2—4i=1 —2i1 + i 1+ i 1 —i2 '|1—2i|= .5,即〒；=5, A.222. （2019嘉兴模拟）设复数z = 1—i （i 是虚数单位），则匚+ z 等于（ ）A . 2B .— 2C . 2iD . — 2i解析：选 A * z =右+1-=1八1+「+1八2.B .4 4—— ——解析：选 B 由 一^ = 1— i ,得乙二亠—1 = 1 + 2i ,所以 z = 1 — 2i ,贝 U z-z = (1 + 2i)(11 + z 1 — i—2i) = 5,故选 B.4. (2018 全国卷n )1++2i =()1 — 2i4 3. 5— 5i 3 4.一—一 i5 5［谨记通法］复数代数形式运算问题的解题策略（1）复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可.⑵复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把 i 的幕写成最简形式.［提醒］在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度. （1）（1 ±= ±2i ；匸=i ； ¥+；=— i ； (2) — b + ai = i(a + bi);4n4n +14n + 24n + 3(3) i = 1, i = i , i =— 1, i =— i , .4n4n +14n + 24n + 3*i + i + i + i = 0, n € N .一抓基础，多练小题做到眼疾手快z - z3. （2019浙江期初联考）已知i 是虚数单位, 4— 若复数z 满足1-i ，则z ・z =（）B .1+ 2i1 + 2i2 解析：选 D 1— 2i 1 — 2i 1 + 2i 5—3 + 4i 34 3+4i .1. （2019浙江9+ 1期中）已知i为虚数单位，z表示复数的共轭复数，若z= 1+ i，则一"2复数z 为（）B.2—2i1 1C . -2+ 2i1 1以由条件可知z = 2 +尹故选A.a + i4. （2019金丽衢十二校联考）设a € R,若复数z = 帚（i 为虚数单位）的实部和虚部相等,贝H a= _______ , | z |= _________ .a + i = (a + i (1 — i = (a + 1 +(1 — a)1 + i=( 1+ i (1 — i = 2所以a + 1= 1 — a ，解得a = 0.1 1 — 1 1所以 z = 2+ 2i ，所以 I z|= 2 — 2答案：05.设复数 a + bi(a , b € R )的模为 衍，则(a + bi)(a — bi)= __________ .解析：T |a + bi|= "：Ja 2+ b 2=,•••(a + bi)(a — bi) = a 2 + b 2= 3.答案：3A . — 2B .— 1C . 0D . 2解析：选Aa + 2i a + 2i 1 — ia + 2 + 2 — ai 匚= =是纯虚数，所以a + 2= 0,解得a1 + i1 + i 1 — i 2a -k 2i2. （2019湖州模拟）已知复数 辛y （i 是虚数单位）是纯虚数，则实数 a =（ ）=—2.z 和亡表示的点关于虚轴对称，则解析：选BB .— 2i D . — 23. （2018杭州名校协作体二模）在复平面内，复数1 1, —2 — 2i解析：选A因为1—= R1+ i)= (1 —叩 + i =1 1 一2+刁，其在复平面内对应的点为 2,2)z -z—保咼考，全练题型做到咼考达标i11. (2019杭州质检)设z = 百(i 为虚数单位)，则£厂( )A ~2 B. 2 1 C.2 D . 2|7|= 2.所以(2019宁波模拟)已知复数z 满足z(1+ i) = 2 — i ,贝U z 的虚部为( )2i解析：选B因为z =-—=1 — ii 1+ i1 — i 1 + i」+ 1i 2 2i ，2. 所以|z| =2解析：选C2 — 因为屮+ D = 2- i ，所以z = 1— iJ=彳—十=2■―予,所以其虚部为一23.定义运算=ad — be ,则符合条件—i 2i=0的复数z 的共轭复面内对应的点在(A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限—if 1 + i 1 1 1 ——1解析：选 B 由题意得，2zi — [ — i(1 + i)] = 0，则 z = 材 =—2 —刁，二 z = — ~ +1 一2i ，其在复平面内对应的点在第二象限，故选B.2i4.已知复数 z = 1+-—，则 1 + z + z 2+-+ z 2 018 =()1 — i A . 1+ i B . 1 — iC . iD . 02 019解析：选 C •/ z = 1 +严=1 + 红宁=i 」1+ z + /+••• + z 2018=d 严=1 — i 21 — z2 0194X 504 31 — i 1 — i•==i.5. (2019杭州七校联考)已知复数z = 2+ ai(a € R ),|(— 1+ i)z|= 3电，则a 的值是( A . ±.5 B. 5C . 土 3 D. 3解析：选 A 法 : |(— 1 + i)z|= |( — 2 — a)+ (2 — a)i| =寸(—2 - a(+( 2 - a f =寸 2a ?+ 8 =3 2，则 a = ± 5,故选 A.法二：|(— 1+ i)z|= |— 1+ i| |z|= , 2 • 22+ a 2= 3 ,2,则 a = 土, 5，故选 A.6. (2018嘉兴4月)若复数z 满足(3 + i)z = 2 — i(i 为虚数单位)，贝U z = ____________ ,|z| = 解析：竺=〔+ 叮‘ =2 +讦严—a =与+ 曾i ,解析： 因为(3 + i)z = 2— i ,所以 z = 2^ = 2— i 3— i =匸—'，所以 |z| =¥•3 + i (3+ i]3—i) 2 2答案： 1 — i 22 2z + 2z — 2解析： z + 2 — 2 — 2i |— 2— 2i| 2 2由 c= i 知，z + 2 = zi — 2i ,即卩 z = ，所以 |z|=匕一= 2.z — 2 1 — i |1 — i| 2答案： 21 + ai2— i••• 口为实数, 2 — i1 + 2a5=0, a =— 12. 所以 1 + ai 2— i 12.=i （其中i 是虚数单位），则忆|=7•已知复数z 满足 1 + a i8.已知a € R,若二一7为实数，则 a =2— i9.已知复数z= x+ yi,且|z—2|= 3，则y的最大值为解析：•/ |z—2|= . x —2 2+ 3,2 2•••(X —2)2+ y2= 3.由图可知；max= ~^= 3.答案：3I —1 + i 2 + i10.计算：(1)⑵1+ 2宀3口；(2) 2 + i ；B .解析：选 B g I = 3 2=— i(1 + 2i)= 2- i.故选 B.1 + i (1+ i (1 — i ) 2. (2018湖丽衢三地期末联考)已知a , b € R, i 是虚数单位，Z 1= a + i , z 2= b — i ,若可z 2 是纯虚数，则 ab = 纯虚数，所以 ab =— 1.忆1 z 2| =寸(b - a $ = \|^a 2+ b 2— 2ab = y/a 2+ b 2+ 2— 2ab + 2 = 2,当 且仅当a =— b 时，等号成立.答案：—1 21 — i 1+ i ⑶k +1— i 2；(4) 1— 3i3+ i'解: (1) =— 3+ i =-1-3i.—3+ 4i + 3— 3i2+ i1 — i 1+ i⑶ 7+T + 1—= 2i — 2i — 21— 3i3 + i — i (4)&+厅=討『=—i = —L J —L=3+ i = 4厂=—1. i.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1. (2018杭州二模)已知i 是虚数单位，则-1+2L 1—1 =() 1+ i ,|z 1 Z 21的最小值为 __________ . 解析：因为 Z 1 = a + i , z 2 = b — i ，所以 Z 1 z 2= (a + i)( b —i) = ab + 1 + (b —a)i.Z z3.复数Z1 =琵+ (10 - a2)i, Z2 =亡+ (2a - 5)i,若N+ Z2是实数，求实数a的值._ 3 2解：z 1+ z2= + (a2—10)i + + (2a—5)ia+5 1 —aa —13 计(a+ 5I a—1)2(a2+ 2a—15)i.Z 1+ Z2是实数,a? + 2a —15= 0, 解得a = —5或a = 3.•/ a+ 5丰 0,a z —5,故a= 3.[(a2—10) + (2a —5)] i。
2024年高考数学总复习第十五章数系的扩充与复数的引入
a＋b＝0， 2a－2＝0，
解得ab＝ ＝1－，1.
故选 A.
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真题分类53 数系的扩充与复数的引入
高考·数学
2．(2022·浙江，2，4 分)已知 a，b∈R，a＋3i＝(b＋i)i(i 为虚数单位)，则( )
A．a＝1，b＝－3
B．a＝－1，b＝3
C．a＝－1，b＝－3
真题分类53 数系的扩充与复数的引入
高考·数学
Ⅰ.复数的实部和虚部
1．(2022·全国乙卷(文)，2，5 分)设(1＋2i)a＋b＝2i，其中 a，b 为实数，则( )
A．a＝1，b＝－1
B．a＝1，b＝1
C．a＝－1，b＝1
D．a＝－1，b＝－1
答案：A 由(1＋2i)a＋b＝2i，得 a＋2ai＋b－2i＝0，即(a＋b)＋(2a－2)i＝0，所以
命题者说：(1)理解复数的概念．(2)熟练掌握共轭复数的概念与性质，复数相等的充要条件．
第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 第6题 第7题 第8题 第9题 第10题 第11题 第12题 第13题 第14题 第15题 第16题 第17题 第18题 第19题 第20题 第21题 第22题
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C．110
D．130
答案：D 是130 .故选 D.
因为1－1 3i ＝（1－3i1）＋（3i1＋3i） ＝110 ＋130 i，所以复数1－1 3i 的虚部
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真题分类53 数系的扩充与复数的引入
高考·数学
5．(2017·课标全国Ⅰ，3，5 分)设有下面四个命题： p1：若复数 z 满足1z ∈R，则 z∈R； p2：若复数 z 满足 z2∈R，则 z∈R； p3：若复数 z1，z2 满足 z1z2∈R，则 z1＝ z 2； p4：若复数 z∈R，则 z∈R. 其中的真命题为( ) A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4
2020届高考理科数学一轮复习讲义：第十五章 数系的扩充与复数的引入
２０１６ 课标Ⅰ，２
５分
选择题
易
复数的运算
复数模的运算
公式法
数学运算
２０１５ 课标Ⅰ，１
５分
选择题
易
复数的运算
复数模的运算
公式法
数学运算
命题规律与趋势
０１ 核心考点 复数的 概 念、 复 数 的 运 算、 复 数 的 几 何 意义．
０２ 考频赋分 复数一般以选择题或填空题的形式考查， 分值为 ５ 分．
Ｏ→Ｚ（ Ｏ（ ０，
０） ，Ｚ（ ａ，ｂ） ） ．
考点二 复数的运算
高频考点
１．复数的加、减、乘、除运算法则
设 ｚ１ ＝ ａ＋ｂｉ，ｚ２ ＝ ｃ＋ｄｉ（ ａ，ｂ，ｃ，ｄ∈Ｒ） ，则
加法：ｚ１ ＋ｚ２ ＝ （ ａ＋ｂｉ） ＋（ ｃ＋ｄｉ）＝ （ ａ＋ｃ） ＋（ ｂ＋ｄ） ｉ；
减法：ｚ１ －ｚ２ ＝ （ ａ＋ｂｉ） －（ ｃ＋ｄｉ）＝ （ ａ－ｃ） ＋（ ｂ－ｄ） ｉ；
乘法：ｚ１ ·ｚ２ ＝ （ ａ＋ｂｉ） ·（ ｃ＋ｄｉ） ＝ （ ａｃ－ｂｄ） ＋（ ａｄ＋ｂｃ） ｉ；
除法： ｚ１ ｚ２
＝ ａ＋ｂｉ ＝ （ａ＋ｂｉ）（ｃ－ｄｉ）＝ ｃ＋ｄｉ （ｃ＋ｄｉ）（ｃ－ｄｉ）
ａｃ＋ｂｄ ｃ２ ＋ｄ２
＋ｂｃ ｃ２
－＋ａｄｄ２ ｉ（
ｃ＋ｄｉ≠０）
．
２．复数加法的运算律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任意 ｚ１ 、ｚ２ 、ｚ３ ∈Ｃ，有 ｚ１ ＋ｚ２ ＝ ｚ２ ＋ｚ１ ，（ ｚ１ ＋ｚ２ ） ＋ｚ３ ＝ ｚ１ ＋（ ｚ２ ＋ｚ３ ） ．
最新真题示例
２ ５ 年高考 ３ 年模拟 Ｂ 版（ 教师用书）
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2019-2020年高考数学异构异模复习第十四章数系的扩充与复数的引入课时撬分练14数系的扩充与复数的引入文
2019-2020年高考数学异构异模复习第十四章数系的扩充与复数的引入课时撬分练14数系的扩充与复数的引入文1.[xx·冀州中学期末]设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z＝( )A ．iB ．2－iC ．1－iD ．0答案 C解析 因为2z ＝21＋i＝－＋－＝1－i ，故选C.2．[xx·衡水中学周测]i 为虚数单位，若a 1－i ＝1＋ii，则a 的值为( )A ．iB ．－iC ．－2iD ．2i答案 C解析 由已知a 1－i ＝1＋i i 得，a i ＝(1－i)(1＋i)，a i ＝2，a ＝2i＝－2i ，故选C.3．[xx·冀州中学月考]设复数z ＝2－1－i (i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则在复平面内i z 对应的点的坐标为( )A ．(1,1)B ．(－1,1)C ．(1，－1)D ．(－1，－1)答案 C 解析 ∵z ＝2－1－i＝－1＋i ，∴i z ＝i(－1－i)＝1－i ，其在复平面内对应的点的坐标为(1，－1)．4．[xx·武邑中学周测]在复平面内，复数z 和2i2－i表示的点关于虚轴对称，则复数z ＝( )A.25＋45i B ．25－45i C ．－25＋45iD ．－25－45i答案 A 解析 由2i 2－i ＝－25＋45i 可知该复数对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－25，45，其关于虚轴的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，45，故复数z ＝25＋45i ，故选A. 5．[xx·衡水中学月考]已知i 是虚数单位，则2＋i3－i＝( )A.12－12i B ．72－12i C.12＋12i D ．72＋12i 答案 C 解析2＋i3－i＝＋＋－＋＝5＋5i 10＝12＋12i.6．[xx·枣强中学猜题]若复数z ＝(2－i)i(其中i 为虚数单位)，则z ＝( ) A ．2－i B ．1＋2i C ．－1＋2i D ．1－2i答案 D解析 z ＝(2－i)i ＝1＋2i ，∴z ＝1－2i ，选D.7．[xx·衡水中学期中]已知复数z ＝3＋4i ，z 表示复数z 的共轭复数，则|zi|＝( )A. 5 B ．5 C. 6 D ．6答案 B解析 由z ＝3＋4i ，得z ＝3－4i ，所以|zi|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－4i i ＝|(3－4i)(－i)|＝|－4－3i|＝－2＋－2＝5.8. [xx·武邑中学期中]复数z ＝2i20141－2i (i 是虚数单位)在复平面内的对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 C 解析 ∵i xx＝(i 2)1007＝(－1)1007＝－1，∴z ＝2i20141－2i ＝－21－2i ＝－2＋2－2＋2＝－2＋2i3， ∴z 在复平面内的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－23，故选C. 9．[xx·衡水中学期末]若(1＋2a i)i ＝1－b i ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋b i|＝( ) A.12＋i B ． 5 C.52D ．54答案 C解析 因为(1＋2a i)i ＝1－b i ，所以－2a ＋i ＝1－b i ，a ＝－12，b ＝－1，所以|a ＋b i|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12－i ＝52，选C.10．[xx·衡水二中期中]复数z ＝1－i ，则1z＋z ＝( )A.12＋32i B ．12－32i C.32－32i D ．32－12i 答案 D解析 ∵z ＝1－i ，∴1z ＋z ＝11－i ＋1－i ＝1＋i －＋＋1－i ＝1＋i 2＋1－i ＝32－12i ，故选D.11. [xx·枣强中学模拟]设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则|(1－z )·z |＝( )A.10 B ．2 C. 2 D ．1答案 A解析 解法一：|(1－z )·z |＝|1－z ||z |＝|2＋i||－1＋i|＝22＋12·－2＋2＝10.解法二：|(1－z )·z |＝|z －z ·z |＝|－1＋i －2|＝|－3＋i|＝－2＋12＝10.12．[xx·衡水二中期末]若a 为实数，i 为虚数单位，2＋a i1＋2i ＝－2i ，则a 等于________．答案 － 2解析 由已知2＋a i1＋2i＝－2i ，得2＋a i ＝－2i(1＋2i)，即2＋a i ＝－2i ＋2，∴a ＝－ 2.能力组13.[xx·武邑中学猜题]复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤916，7 答案 C解析 由复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ4－m 2＝λ＋3sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ，因为sin θ∈[－1,1]，所以4sin 2θ－3sin θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7.14. [xx·冀州中学仿真]已知复数z ＝1＋2i 1－i，则1＋z ＋z 2＋…＋z xx为( )A ．1＋iB ．1－iC ．iD ．1答案 C解析 z ＝1＋2i1－i ＝1＋＋2＝i ，∴1＋z ＋z 2＋…＋z xx＝－z 20151－z＝1－i 20151－i ＝1－i 4×503＋31－i＝1＋i1－i＝＋2－＋＝2i2＝i. 15．[xx·武邑中学预测]已知x 1＝1－i(i 是虚数单位)是关于x 的实系数一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0的一个根，则实数a ＝________，b ＝________.答案 －2 2解析 由题意，知x 2＝1＋i 是方程的另一根，因此－a ＝x 1＋x 2＝2，a ＝－2，b ＝x 1x 2＝(1－i)(1＋i)＝2.16．[xx·衡水二中模拟]已知复数 z ＝4＋2i＋2(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x －2y ＋m ＝0上，则m ＝________.答案 －5 解析 z ＝4＋2i ＋2＝4＋2i2i＝＋2i2＝1－2i ，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x －2y ＋m ＝0，得m ＝－5.2019-2020年高考数学异构异模复习第十章圆锥曲线与方程课时撬分练10.1椭圆及其性质文1.[xx·冀州中学仿真]若曲线ax 2＋by 2＝1为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ，b 满足( )A ．a 2>b 2B.1a <1bC ．0<a <bD ．0<b <a答案 C解析 由ax 2＋by 2＝1，得x 21a＋y 21b＝1，因为焦点在x 轴上，所以1a >1b>0，所以0<a <b .2．[xx·武邑中学预测]设F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．1答案 D解析 ∵(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝(OP →＋F 1O →)·PF 2→＝F 1P →·PF 2→＝0，∴PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°. 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12,2mn ＝4，∴S △F 1PF 2＝12mn ＝1，故选D.3．[xx·衡水二中模拟]已知点P 是椭圆x 216＋y 28＝1(x ≠0，y ≠0)上的动点，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的平分线上一点，且F 1M →·MP →＝0，则|OM →|的取值范围是( )A ．[0,3)B ．(0,22)C ．[22，3)D ．(0,4]答案B解析 延长F 1M 交PF 2或其延长线于点G . ∵F 1M →·MP →＝0，∴F 1M →⊥MP →，又MP 为∠F 1PF 2的平分线，∴|PF 1|＝|PG |且M 为F 1G 的中点，∵O 为F 1F 2的中点，∴OM 綊12F 2G .∵|F 2G |＝|PG |－|PF 2|＝||PF 1|－|PF 2||，∴|OM →|＝12|2a －2|PF 2||＝|4－|PF 2||.∵4－22<|PF 2|<4或4<|PF 2|<4＋22，∴|OM →|∈(0,22)．4．[xx·枣强中学期末]在△ABC 中，AB ＝BC ，cos B ＝－718.若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率为( )A.34B.37C.38D.318答案 C解析 依题意知AB ＝BC ＝2c ，AC ＝2a －2c ，在△ABC 中，由余弦定理得(2a －2c )2＝8c 2－2×4c 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－718，故16e 2＋18e －9＝0，解得e ＝38.5．[xx·衡水二中仿真]如图，F 1，F 2是双曲线C 1：x 2－y 23＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A是C 1，C 2在第一象限的公共点．若|F 1F 2|＝|F 1A |，则C 2的离心率是( )A.13B.23C.15D.25答案 B解析 由题知|AF 1|＋|AF 2|＝2a (设a 为椭圆的长半轴)，|AF 1|－|AF 2|＝2，而|F 1F 2|＝|F 1A |＝4，因此可得2×|F 1A |＝2a ＋2，∴8＝2a ＋2，∴a ＝3，又c ＝2，故C 2的离心率e ＝23.6．[xx·枣强中学期中]已知F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点，A 是椭圆上一动点，圆C 与F 1A 的延长线、F 1F 2的延长线以及线段AF 2相切，若M (t,0)为一个切点，则( )A ．t ＝2B ．t >2C ．t <2D ．t 与2的大小关系不确定 答案 A 解析 如图，P ，Q 分别是圆C 与F 1A 的延长线、线段AF 2相切的切点，|MF 2|＝|F 2Q |＝2a －(|F 1A |＋|AQ |)＝2a －|F 1P |＝2a －|F 1M |，即|F 1M |＋|MF 2|＝2a ，所以t ＝a ＝2.故选A.7．[xx·冀州中学猜题]椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π4，则该椭圆离心率的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，63 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，32 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫63，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 答案 A解析 由题知AF ⊥BF ，根据椭圆的对称性，AF ′⊥BF ′(其中F ′是椭圆的左焦点)，因此四边形AFBF ′是矩形，于是|AB |＝|FF ′|＝2c ，|AF |＝2c sin α，根据椭圆的定义，|AF |＋|AF ′|＝2a ，∴2c sin α＋2c cos α＝2a ，∴e ＝c a ＝1sin α＋cos α＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4，而α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π4，∴α＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1，故e ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，63，故选A.8. [xx·武邑中学仿真]已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)、F 2(c,0)，若椭圆上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，则该椭圆离心率的取值范围为( )A ．(0，2－1) B.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 D ．(2－1,1)答案 D解析 根据正弦定理得|PF 2|sin ∠PF 1F 2＝|PF 1|sin ∠PF 2F 1，所以由a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1可得a|PF 2|＝c |PF 1|，即|PF 1||PF 2|＝c a＝e ，所以|PF 1|＝e |PF 2|，又|PF 1|＋|PF 2|＝e |PF 2|＋|PF 2|＝|PF 2|·(e ＋1)＝2a ，则|PF 2|＝2ae ＋1，因为a －c <|PF 2|<a ＋c (不等式两边不能取等号，否则分式中的分母为0，无意义)，所以a －c <2a e ＋1<a ＋c ，即1－c a <2e ＋1<1＋c a ，所以1－e <2e ＋1<1＋e ，即⎩⎪⎨⎪⎧－e ＋e ，＋e2，解得2－1<e <1，选D.9．[xx·衡水中学模拟]已知椭圆的焦点在x 轴上，一个顶点为A (0，－1)，其右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3，则椭圆的方程为________．答案x 23＋y 2＝1解析 据题意可知椭圆方程是标准方程，故b ＝1.设右焦点为(c,0)(c >0)，它到已知直线的距离为|c ＋22|2＝3，解得c ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2＝3，故椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.10．[xx·冀州中学期中]如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点．则PF →·PA →的最大值为________．答案 4解析 设P 点坐标为(x 0，y 0)．由题意知a ＝2，∵e ＝c a ＝12，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3.故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.∴－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3. ∵F (－1,0)，A (2,0)， PF →＝(－1－x 0，－y 0)，PA →＝(2－x 0，－y 0)，∴PF →·PA →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2.即当x 0＝－2时，PF →·PA →取得最大值4.11．[xx·衡水中学仿真]已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1和F 2，且|F 1F 2|＝2，点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在该椭圆上． (1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的面积为1227，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程．解 (1)由题意知c ＝1,2a ＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝4，a ＝2，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)①当直线l ⊥x 轴时，可取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，△AF 2B 的面积为3，不符合题意．②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，代入椭圆方程得(3＋4k 2)x2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，显然Δ>0成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k2，可得|AB |＝k 2＋3＋4k2，又圆F 2的半径r ＝2|k |1＋k 2，∴△AF 2B 的面积为12|AB |r ＝12|k |k 2＋13＋4k 2＝1227，化简得：17k 4＋k 2－18＝0，得k ＝±1，∴r ＝2，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.12．[xx·枣强中学预测]如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .(1)若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．解 设椭圆的焦距为2c ，则F 1(－c,0)，F 2(c,0)．(1)因为B (0，b )，所以|BF 2|＝b 2＋c 2＝a . 又|BF 2|＝2，故a ＝ 2.因为点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13在椭圆上，所以169a 2＋19b 2＝1.解得b 2＝1.故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)因为B (0，b )，F 2(c,0)在直线AB 上， 所以直线AB 的方程为x c ＋y b＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x c ＋yb＝1，x 2a 2＋y2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a 2c a 2＋c2，y 1＝bc 2－a 2a 2＋c 2，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝b .所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b c 2－a 2a 2＋c 2.又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b a 2－c 2a 2＋c 2.因为直线F 1C 的斜率为b a 2－c 2a 2＋c 2－02a 2c a 2＋c 2－－c ＝b a 2－c 23a 2c ＋c 3，直线AB 的斜率为－bc，且F 1C ⊥AB ，所以b a 2－c 23a 2c ＋c 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ＝－1. 又b 2＝a 2－c 2，整理得a 2＝5c 2.故e 2＝15.因此e ＝55.能力组13. [xx·冀州中学一轮检测]过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)左焦点F ，且斜率为1的直线交椭圆于A ，B 两点，向量OA →＋OB →与向量a ＝(3，－1)共线，则该椭圆的离心率为( )A.33B.63C.34D.23答案 B解析 设椭圆的左焦点为F (－c,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，直线AB 的方程为y ＝x ＋c ，代入椭圆方程并整理得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2c 2－a 2b 2＝0.由韦达定理得x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，所以y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2c ＝2b 2ca 2＋b2.根据OA →＋OB →与a ＝(3，－1)共线，得x 1＋x 2＋3(y 1＋y 2)＝0， 即－2a 2c a 2＋b 2＋3×2b 2c a 2＋b 2＝0，解得b 2a 2＝13，所以e ＝1－b 2a 2＝63，故选B. 14．[xx·武邑中学一轮检测]已知点A ，D 分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点和上顶点，点P 是线段AD 上的任意一点，点F 1，F 2分别是椭圆的左，右焦点，且PF 1→·PF 2→的最大值是1，最小值是－115，则椭圆的标准方程为________．答案x 24＋y 2＝1解析 设点P (x ，y )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF 1→＝(－c －x ，－y )，PF 2→＝(c －x ，－y )，所以PF 1→·PF 2→＝x 2＋y 2－c 2.因为点P 在线段AD 上，所以x 2＋y 2可以看作原点O 至点P 的距离的平方，易知当点P与点A 重合时，x 2＋y 2取最大值a 2，当OP ⊥AD 时，x 2＋y 2取最小值a 2b 2a 2＋b 2.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－c 2＝1a 2b 2a 2＋b2－c 2＝－115，解得a 2＝4，b 2＝1.即椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.15．[xx·武邑中学月考]已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点A (3，0)，以线段AB 为直径的圆内切于圆O ，记点B 的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程；(2)直线AB 交圆O 于C ，D两点，当B 为CD 的中点时，求直线AB 的方程．解 (1)设AB 的中点为M ，切点为N ，连接OM ，MN ，则|OM |＋|MN |＝|ON |＝2，取A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′B ，故|A ′B |＋|AB |＝2(|OM |＋|MN |)＝4.所以点B 的轨迹是以A ′，A 为焦点，4为长轴长的椭圆． 其中，a ＝2，c ＝3，b ＝1，则曲线Γ的方程为x 24＋y 2＝1.(2)因为B 为CD 的中点，所以OB ⊥CD ， 则OB →⊥AB →.设B (x 0，y 0)， 则x 0(x 0－3)＋y 20＝0.又x 204＋y 20＝1，解得x 0＝23，y 0＝±23 则k OB ＝±22，所以k AB ＝±2， 则直线AB 的方程为2x ＋y －6＝0或2x －y －6＝0.16. [xx·衡水中学热身]已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P (－2，1)在椭圆上，线段PF 2与y 轴的交点M 满足PM →＋F 2M →＝0.(1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆C 上任一动点N (x 0，y 0)关于直线y ＝2x 的对称点为N 1(x 1，y 1)，求3x 1－4y 1的取值范围．解 (1)点P (－2，1)在椭圆上， ∴2a 2＋1b2＝1.①又∵PM →＋F 2M →＝0，M 在y 轴上， ∴M 为PF 2的中点， ∴－2＋c ＝0，c ＝ 2. ∴a 2－b 2＝2，②联立①②，解得b 2＝2(b 2＝－1舍去)， ∴a 2＝4.故所求椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)∵点N (x 0，y 0)关于直线y ＝2x 的对称点为N 1(x 1，y 1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ y 0－y 1x 0－x 1×2＝－1，y 0＋y 12＝2×x 0＋x12.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝4y 0－3x 05，y 1＝3y 0＋4x5.∴3x 1－4y 1＝－5x 0.∵点N (x 0，y 0)在椭圆C ：x 24＋y 22＝1上，∴－2≤x 0≤2，∴－10≤－5x 0≤10， 即3x 1－4y 1的取值范围为[－10,10]．。
数系的扩充与复数的引入 (2).
课堂教学单元教案科目：高二数学课题：数系的扩充与复数的引入一．数学分析：（1）复数系是在实数系的基础上扩充儿得到的，为了帮助学生了解学习复数的必要性，了解实际需求和数学内部的矛盾在数系扩充中的作用，本章从一个思考问题开始，在问题情境中简单介绍了由实数系扩到复数系的过程，这样不仅可以激发学生的学习复数的欲望，而且也可以比较自然的引入复数的学习之中。
复数的概念是整个复数内容的基础，复数的有关概念都是围绕复数的代数形式展开的，虚数单位、实部、虚部、复数相等的充要条件、以及虚数，纯虚数等概念的理解都应促进对复数实质的理解，即复数实际上一有序的实数对。
类比实数可以用数轴上的点表示，把复数在直角坐标系中表示出来，就得到了复数的集合表示。
用复平面内的点或平面向量表示复数，不仅使抽象的复数得到直观形象的表示，而且也使数和形得到了有机的结合。
（2）复数代数形式的四个运算，及复数代数形式的加法，减法，乘法和除法，重点是加法和乘法。
复数加法和乘法的法则是规定的，是具有其合理性的；这种规定与实数的加法，乘法的法则是一致的，而且实数的加法，乘法的有关运算仍然成立的。
二．学情分析：1.知识掌握上，高二年级的学生已经学过实数的扩充，已经有一定基础，但是扩充的过程可能会有所遗忘，所以首先应该进行适当的引入复习，同时高二的学生已经掌握了一些分析思考的能力，所以教学中通过问题的提出到解决过程有意识地进一步应用、提高学生的这些能力；2.心理上，多数学生感觉到数学过于枯燥繁琐，而且刚刚学的一章内容“推理与证明”又是数学中的难点，所以学生对新的一块内容可能也带有异样情绪，因此在引入、学习时要能让学生们能够感兴趣并且愿意去了解；3.学生学习本节内容可能存在的知识障碍：学生学习本节内容可能会遇到一些障碍，如对复数的理解，复数的引入是否具有实际意义，复数的引入是否具有实际应用，复数相等条件的理解等。
所以教学中对复数概念的讲解中尽量以简单明白、深入浅出的分析为主，在引入后花少许时间对复数的实际意义、复数的实际应用作以解释。
【2020年】全国高考数学(理)总复习汇编-第十五章《数系的扩充与复数的引入》含解析
第十五章 数系的扩充与复数的引入题型155 复数的概念及分类1.（2019天津理9）已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i 2ia -+为实数，则a 的值为 . 1.解析 ()()()()()()i 2i 212i i 212i 2i 2i 2i 555a a a a a a ----+--+===-++-为实数，则205a +=，解得2a =-.2.（2019全国1卷理科3）设有下面四个命题：1:p 若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2:p 若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3:p 若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4:p 若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为（ ）.A.13,p pB.14,p pC.23,p pD.24,p p2. 解析 1:p 设i z a b =+，则2211i i a b z a b a b -==∈++R ，得到0b =，所以z ∈R .故1p 正确；2:p 若z 1=-2，满足2z ∈R ，而z i =，不满足2z ∈R ，故2p 不正确；3:p 若1z 1=，2z 2=，则12z z 2=，满足12z z ∈R ，而它们实部不相等，不是共轭复数，故3p 不正确；4:p 实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确.故选B.题型156 与共轭复数、复数相等有关的问题3.（2019山东理2）已知a ∈R ，i 是虚数单位，若z a =，4z z ⋅=，则a =（ ）.A.1或1- 或 C.3. 解析 由z a =，4z z ⋅=，得234a +=，所以1a =±.故选A.4．（2017浙江11）已知a ，b ∈R ，()2i 34i a b +=+（i 是虚数单位），则22a b += ，ab = .4.解析 由222(i)2i a b a b ab +=-+，()2i 34i a b +=+，所以223,2a b ab -==， 解得2,1a b ==，所以225a b +=，2ab =．题型157 复数的模5.（2018江苏02）已知复数()()1i 12i z =++，其中i 是虚数单位，则z 的模是 ．5.解析 解法一：()()1i 12i z =++13i =-+，所以z =．解法二：()()1i 12i z =++1i 12i =+⋅+=．6.（2019全国3卷理科2）设复数z 满足()1i 2i z +=，则z =（ ）.A ．12B ．2CD ．26．解析 由题意得()()()2i 1i 2i 2i 21i 1i 1i 1i 2z -+====+++-，则z 故选C. 题型158 复数的四则运算7.（2018全国2卷理科1）3i 1i+=+（ ）. A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 7．解析 ()()()()3i 1i 3i 2i 1i 1i 1i +-+==-++-.故选D. 题型159 复数的几何意义8.（2018北京理2）若复数()()1i i a -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ）.A.()–1∞，B.()––1∞，C.()1+∞，D.()–1+∞， 8. 解析 由()()()()1i i i i 111i a a a a a -+=+-+=++-，则1010a a +<⎧⎨->⎩，即1a <-.故选B.。
2020版高考数学北师大版(理)一轮复习课件：5.4 数系的扩充与复数的引入
-6-
(3)复数加、减法的几何意义 若复数 z1,z2 对应的向量������������1 , ������������2 不共线,则复数 z1+z2 是以������������1 , ������������2 为两邻边的平行四边形的对角线������������所对应的复数;复数 z1-z2 是 ������������1 − ������������2 = ������2 ������1 所对应的复数.
i
-11考点1
考点2
考点3
解题心得求解复数的分类、复数的相等、复数的模、共轭复数 以及求复数的实部、虚部时都与复数的实部与虚部有关,通常需先 把所给复数化为代数形式,即a+bi(a,b∈R)的形式,再根据题意求解.
-12考点1
考点2
考点3
对点训练1(1)(2018衡水中学押题二,2)若复数z=x+yi(x,y∈R)满 足(1+z)i=3-i,则x+y的值为 ( C ) A.-3 B.-4 C.-5 D.-6
备 注 实轴上的点都表示实数; 除原点外,虚轴上的点都 表示纯虚数,各象限内的 点都表示虚数 |z|=|a+bi|= ������2 + ������2 (a,b ∈R)
随堂巩固
知识梳理
考点自诊Βιβλιοθήκη -4-2.复数的几何意义
随堂巩固
知识梳理
考点自诊
-5-
3.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 ①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)= (a+c)+(b+d)I ; ②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)I ; ③乘法:z1· z2=(a+bi)· (c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)I ;
2024年新高考版数学专题1_专题十二 数系的扩充与复数的引入(分层集训)
答案 B
B.5i
C.-5
D.5
)
9.(2020课标Ⅱ文,2,5分)(1-i)4= (
A.-4
答案 A
B.4
C.-4i
D.4i
)
3
1
10.(多选)(2022湖南师大附中二模,9)设复数z=- + i,则下列命题中正确
2 2
的是 (
)
A.|z|2=z·z
B.z2= z
C.z的虚部是 3 i
)
6.(2022全国甲理,1,5分)若z=-1+ 3 i,则
A.-1+ 3 i
1
3
C.- +
3
i
3
答案 C
B.-1- 3 i
1 3
i
3 3
D.- -
z
=
z z 1
(
)
2i
=
1 2i
7.(2020新高考Ⅰ,2,5分)
A.1
B.-1
答案 D
C.i
D.-i
(
)
8.(2020新高考Ⅱ,2,5分)(1+2i)(2+i)= (
2
D.若zn∈R,则正整数n的最小值是3
答案 ABD
11.(2019浙江,11,4分)复数z=
答案
2
2
1
(i为虚数单位),则|z|=
1 i
.
综合篇
考法 复数代数形式的四则运算的解题方法
1.(2023届山西长治质量检测,1)设复数z满足(1+i)z=i,则|z|= (
A.1
B.
答案 B
2
2
C.
2
A.-
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＝ i ，所以 | z| ＝ 1.
2．若 a 为实数，且 (2 ＋ ai)( a－ 2i) ＝－ 4i ，则 a＝ ( )
A．－ 1
B． 0
C． 1
D． 2
答案 B
解析
由于 (2 ＋ ai)(
a－ 2i) ＝ 4a＋ ( a2－4)i
＝－ 4i ，所以
4a＝0 a2－ 4＝－ 4
，解得 a＝ 0. 故
选 B.
z
3. 若复数 z 满足 1－ i ＝ i ，其中 i 为虚数单位，则 z＝ (
)
A． 1－ i
B． 1＋ i
C．－ 1－ i
D．－ 1＋ i
答案 A
解析 由已知 z ＝ i(1 － i) ＝i － i 2＝ i ＋1，所以 z＝ 1－ i. 故选 A.
4. 设 i 是虚数单位，则复数
i
3－
a2＋ b2＝ 3，则 a2＋ b2＝ 3，则 ( a＋ bi)( a－ bi) ＝a2
1
9．若复数 z＝ 1＋ 2i ，其中 i 是虚数单位，则
z＋ z
· z ＝ ________.
答案 6
解析 ∵ z＝ 1＋ 2i ，∴ z ＝ 1－ 2i.
1 ∴ z＋ z · z ＝ z· z ＋ 1＝ 5＋1＝ 6.
2－ 2i 10．复数 1＋ i ＝ ________.
答案 － 2i
2－ 2i
2－2i
解析 1＋i ＝ 1＋i
1－i 1－ i
2－2－ 4i ＝ 2 ＝－ 2i.
6. 1－ i 2＝ (
2 － 2i
－ 2i
＝ 1＋ i ＝ 1＋ i
)
1－ i 1－ i
＝－ 1－ i.
A． 1＋ i
C．－ 1＋ i
答案 D
1＋i
解析
1－ i
3
1＋ i 2 1＋ i
2＝
1－ i 2
B． 1－ i D．－ 1－ i
2i 1＋ i ＝ － 2i ＝－ 1－ i. 故选 D.
z
7．设 i 是虚数单位， z 表示复数 z 的共轭复数．若 z＝ 1＋i ，则 i ＋i · z ＝(
2019-2020 年高考数学异构异模复习第十五章数系的扩充与复数的引入
15.2 复数的运算撬题理
1＋ z
1．设复数 z 满足 1－ z＝ i ，则 | z| ＝ (
)
A． 1 i －1
由题意知 1＋z＝ i － zi ，所以 z＝i ＋ 1＝
i －1 2 i ＋1 i －1
2 i
＝
(
)
A．－ i
B．－ 3i
C． i
D． 3i
答案 C
解析
i
3
－
2 i ＝－
i
－
2i i2
＝－
i
＋
2i
＝
i
，选
C.
1－i 2
5. 已知
z ＝ 1＋ i(i 为虚数单位 ) ，则复数 z＝ (
)
A． 1＋ i
B． 1－ i
C．－ 1＋ i
D．－ 1－ i
答案 D 1－ i
解析 z＝ 1＋ i 1＋ i 3
)
A．－ 2
B．－ 2i
C． 2
D． 2i
答案 C
解析
1＋ i 原式＝ ＋ i(1
－ i)
＝－ (i
＋i 2) ＋ i(1
－i)
＝ 1－i ＋ i ＋ 1＝2.
i
8．设复数 a＋ bi( a， b∈ R) 的模为 3，则 ( a＋ bi)( a－ bi) ＝ ________.
答案 3
解析 复数 a＋ bi( a， b∈R) 的模为 － ( bi) 2＝ a2－ b2·ｉ2＝a2＋b2＝ 3.