(完整版)历年高考数学向量分类汇编,推荐文档
高考数学试题分类汇编向量含详解
20XX年高考数学试题分类汇编——向量含详解（2010江苏卷）15、（本小题满分14 分）在平面直角坐标系xOy 中，点 A( － 1,－ 2) 、 B(2,3) 、C(－ 2,－ 1) 。
(1)求以线段 AB 、 AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2) 设实数 t 知足 ( AB tOC )·OC =0，求t的值。
[ 分析 ] 本小题考察平面向量的几何意义、线性运算、数目积，考察运算求解能力。
满分14分。
（1）（方法一）由题设知AB (3,5), AC ( 1,1)，则AB AC (2,6), AB AC (4, 4).因此 |AB AC | 2 10,| AB AC | 4 2.故所求的两条对角线的长分别为 4 2 、2 10。
（方法二）设该平行四边形的第四个极点为 D ，两条对角线的交点为E，则 : E为 B、C 的中点， E（0，1）又 E（0， 1）为 A、D 的中点，因此D（1，4）故所求的两条对角线的长分别为BC= 4 2 、AD= 2 10 ；（2 ）由题设知：OC =( －2,－ 1) ，AB tOC (3 2t ,5 t ) 。
由(AB tOC )·=0 ，得：(3 2t,5 t ) ( 2, 1) 0，OC进而 5t 11, 因此 t 11 。
52AB OC 11或许： AB·OC tOC ，AB (3,5), t 25|OC|（2010 江苏卷） 15 、（本小题满分 14 分）在平面直角坐标系xOy 中，点 A( － 1,－ 2)、 B(2,3) 、C(－ 2,－ 1)。
(3) 求以线段AB 、 AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；(4) 设实数t 知足 ( AB tOC )·OC =0 ，求t 的值。
[ 分析 ] 本小题考察平面向量的几何意义、线性运算、数目积，考察运算求解能力。
满分14 分。
（1）（方法一）由题设知AB (3,5), AC ( 1,1)，则AB AC (2,6), AB AC (4, 4).因此 |AB AC | 2 10,| AB AC | 4 2.故所求的两条对角线的长分别为 4 2 、2 10。
2011-2019高考数学向量分类汇编
2011-2019新课标向量分类汇编一、理科【2011新课标】（10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈⎥⎝⎦3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦其中的真命题是（ A ）（A ）14,P P （B ）13,P P （C ）23,P P （D ）24,P P【答案】得，，。
由得。
【2012新课标】（13）已知向量夹角为45︒ ，且；则【答案】【2013新课标1】13、已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t)b ，若b ·c =0，则t =__2___. 【答案】【解析】 b i c =[(1)]t t •+-b a b =2(1)t t •+-a b b =112t t +-=112t -=0，解得t =2. 【2013新课标2】13．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则＝__________.【答案】以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A 的坐标为(0,0)，点B 的坐标为(2,0)，点D 的坐标为(0,2)，点E 的坐标为(1,2)，则＝(1,2)，＝(－2,2)，所以.【2014新课标1】15．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若=（+），则与的夹角为 _____90°____ ．【答案】在圆中若=（+），即2=+，即+的和向量是过A ，O 的直径， 则以AB ，AC 为临边的四边形是矩形，则⊥，即与的夹角为90°。
【2014新课标2】3. 设向量a,b 满足|a+b |a-b ，则a ⋅b = ( A ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5【2015新课标1】（7）设D 为△ABC 所在平面内一点BC ®=3CD ®，则（ A ）（A ）→→→+-=AC AB AD 3431 (B)→→→-=AC AB AD 3431（C ）→→→+=AC AB AD 3134 (D)→→→-=AC AB AD 3134【答案】CD=AD-AC ，所以AC –AB =3CD ，所以 AC-AB=3(AD-AC) 【2015新课标2】（13）设向量，不平行，向量与平行，则实数_________． 【答案】因为向量与平行，所以，则所以．【2016新课标1】(13)设向量a =(m ，1)，b =(1，2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m = 2- . 【答案】解法1（几何法）由向量加法的几何意义知，故，所以2m =-；解法2（代数法）22(1)9114m m ++=+++，解得2m =-【2016新课标2】已知向量，且，则m =（ D ）（A ）8-（B ）6-（C ）6（D ）8【答案】，∵，∴，m=8【2016新课标3】(3)已知向量BA ®＝(12，22)，BC®＝(32，12)，则∠ABC ＝（ A ） (A )30°(B )45°(C )60° (D )120°【2017新课标1】13．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= 23 . 【2017新课标2】12.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则的最小值是（ B ）A.2-B.32-C. 43- D.1- 【解析】几何法： 如图，（D 为BC 中点），则，要使最小，则，方向相反，即P 点在线段AD 上，则，即求最大值，又，则，则。
向量题型归纳(全)精选全文
精选全文完整版（可编辑修改）向量题型归纳(全)平面向量部分常见的题型类型（一）：向量共线问题1.设向量a=(2,1)，b=(2,3)，若向量λa+b与向量c=(-4,-7)共线，则λ=?2.已知A(1,3)，B(-2,-3)，C(x,7)，设AB=a，BC=b且a∥b，则x=?3.已知a=(1,2)，c=25，且a∥c，求c的坐标。
4.n为何值时，向量a=(n,1)与向量b=(4,n)共线且方向相同？5.已知a,b不共线，c=ka+b，d=a-b，如果c∥d，那么k=？c与d的方向关系是？类型（二）：向量的垂直问题1.已知向量a=(1,n)，b=(-1,n)，若2a-b与b垂直，则a=?2.已知a=2,b=4，且a与b的夹角为π/3，若ka+2b与ka-2b垂直，求k的值。
3.已知单位向量m和n的夹角为π/3，求证：(2n-m)⊥m。
4.已知a=(4,2)，求与a垂直的单位向量的坐标。
5.已知a∥b，c⊥(a+b)，则c=？类型（三）：向量的夹角问题1.平面向量a,b，满足a=1,b=4且满足a·b=2，则a与b的夹角为？2.已知非零向量a,b满足a=b，(a-b)·(2a+b)=-4且a=2，b=4，则a与b的夹角为？3.已知平面向量a,b满足|a|=|b|，a+b=c，则⟨a,b⟩=？4.设非零向量a、b、c满足|a|=|b|=|c|，a+b=c，则⟨a,b⟩=？5.已知a=2,b=3,a+b=7，求a与b的夹角。
6.若非零向量a,b满足a=b，(2a+b)·b=0，则a与b的夹角为？类型（四）：求向量的模的问题1.已知零向量a=(2,1)，a·b=10，a+b=5，求b=？2.已知向量a=1,b=2，a-b=2，则a+b=？3.已知向量a=(1,3)，b=(-2,x)，则a+b=？4.已知向量a=(1,sinθ)，b=(1,cosθ)，则a-b的最大值为？5.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC=16，AB+AC=AB-AC，则AM=？平面向量部分常见的题型类型（一）：向量共线问题1.已知向量a=(2,1)，b=(2,3)，若向量λa+b与向量c=(-4,-7)共线，则λ=？2.已知A(1,3)，B(-2,-3)，C(x,7)，设AB=a，BC=b且a∥b，则x=？3.已知a=(1,2)，c=25，且a∥c，求c的坐标。
2016—2020年新高考数学分类汇编平面向量
北京【2020北京卷13】已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，则|PD⃗⃗⃗⃗⃗ |= ；PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PD ⃗⃗⃗⃗⃗ = .1-【解析】根据题意作图，如下图所示，易知P 点是BC 中点，|PD⃗⃗⃗⃗⃗ |=√22+12=√5，如图建立平面直角坐标系，PB⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−1)，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1天津【2020天津卷15】如图，在四边形ABCD 中，∠B =60°,AB =3，BC =6，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ , AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32，则实数λ的值为_________，若M,N 是线段BC 上的动点，且|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为_________．【答案】113,62【解析】利用数量积的定义，计算得到 33cos1202AD AB AD ⋅=-=⨯⨯o uuu r uu u r uuu r 利用极化恒等式，取MN 中点为O , 22222111[()()](4)444DM DN DM DN DM DN DO NM DO ⋅=+--=-=-uuu u r uuu r uuu u r uuu r uuu u r uuu r uuu r uuu r 14DO 为平行线间距离时，为最小值代入最小值为上海【2020上海卷12】已知a 1⃗⃗⃗⃗ ,a 2⃗⃗⃗⃗ ,b 1⃗⃗⃗ ,b 2⃗⃗⃗⃗ ,......,b k ⃗⃗⃗⃗ (k ∈N ∗ )是平面内两两互不相等的向量，满足|a 1⃗⃗⃗⃗ −a 2⃗⃗⃗⃗ |=1,且|a i ⃗⃗⃗ −b j ⃗⃗⃗ |∈{1,2}(其中i =1,2，j =1,2......,k ),则k 的最大值为___________.【答案】6【解析】根据平面向量模的几何意义，121a a -=表示1a ，2a 对应的终点间的距离为1；将j b 的起点平移到到i a 的终点处，则{}1,2i j a b -∈表示任意的j b 的终点到i a 的终点的距离都为1或2，因此可将转化为：以向量1a ，2a 的终点为圆心，1r =或2r =的作圆，则j b 的终点在圆的交点处，由图可知k 的最大值为6.浙江【2020浙江卷17】设12,e e u r u r 为单位向量，满足12|2|e e -≤u r u r 12a e e =+r u r u r ,123b e e =+r u r u r ，设,a b r r 的夹角为θ，则 cos 2θ的最小值为 ▲ .【答案】2928 ,233213【解析】设1e 与2e 夹角为α，则2cos 4142|2|21≤-+⇒≤-αe e ， 解得43cos ≥α，而αααθcos 610cos 22cos 44||||cos +⋅++=⋅=b a 化简得：ααθcos 610cos 222cos ++=， 所以2928cos 915834cos 35cos 44cos 2≥+-=++=θααθ，当且仅当43cos =α时，等号成立山东【2020山东7】已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 A.(-2，6) B.(-6，2) C.(-2.4) D.(-4，6)【答案】A【解析】：设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cosθ=2·|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cosθ，|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cosθ为AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影，投影范围为：（-1，3），故AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的范围为：（-2，6），故选A.海南【2020海南3】在△ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB⃗⃗⃗⃗⃗ = A ．2CD⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ D ．CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 【答案】C 【解析】()1,2CD CA CB =+所以2,CB CD CA =-故选.C。
(整理)高考数学复习详细资料(精品)——向量.
2010高考数学复习详细资料(精品)——向量知识清单一、向量的有关概念1.向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度).2.向量的表示方法:a b c等.⑴字母表示法:如,,,⑵几何表示法:用一条有向线段表示向量.如AB,CD等.⑶坐标表示法:在平面直角坐标系中,设向量OA的起点O为在坐标原点,终点A坐标为(),x y,则(),x y称为OA的坐标,记为OA=(),x y.注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具.3.相等向量:长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量a=.与b相等,记为a b注:向量不能比较大小,因为方向没有大小.4.零向量:长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个,其方向是任意的.5.单位向量:长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量.6.共线向量:方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定:0与任一向量共线.注:共线向量又称为平行向量.7.相反向量: 长度相等且方向相反的向量.二、向量的运算(一)运算定义①向量的加减法，②实数与向量的乘积，③两个向量的数量积,这些运算的定义都是“自然的”，它们都有明显的物理学的意义及几何意义.其中向量的加减法运算结果仍是向量，两个向量数量积运算结果是数量。
研究这些运算,发现它们有很好地运算性质,这些运算性质为我们用向量研究问题奠定了基础,向量确实是一个好工具.特别是向量可以用坐标表示,且可以用坐标来运算,向量运算问题可以完全坐标化.cos a b a b =⋅(二)运算律加法：①a b b a +=+(交换律); ②()()a b c a b c ++=++(结合律) 实数与向量的乘积：①()a b a b λλλ+=+; ②()a a a λμλμ+=+;③()()a a λμλμ= 两个向量的数量积: ①a →·b →=b →·a →; ②(λa →)·b →=a →·(λb →)=λ(a →·b →);③(a →+b →)·c →=a →·c →+b →·c →注：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算， 例如(a →±b →)2=222a a b b →→→→±⋅+ (三)运算性质及重要结论⑴平面向量基本定理:如果12,e e 是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任一向量a ,有且只有一对实数12,λλ,使1122a e e λλ=+，称1122e e λλ+为12,e e 的线性组合。
(完整版)高考文科数学向量专题讲解及高考真题精选(含答案),推荐文档
．
① a
a
；
②当
0
时，
a
的方向与
a
的方向相同；当
0
时，
a
的方向与
a
的方向相反；当
0
时，
a
0
．
⑵运算律：①
a
a
；②
a
a
a
；③
a
b
a
b
．
⑶坐标运算：设
a
x,
y
，则
a
x,
y
x,
y
．
6.向量共线定理：向量 a
a
0
与
b
共线，当且仅当有唯一一个实数
，使
b
a
．
设
a
x1 y1
x2 y2
(6) 相反向量：a=-b b=-a a+b=0 (7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作 a∥b.平行向量也称为共线向量.
2..向量的运算
运算类型
几何方法
坐标方法
运算性质
ab ba
向量的 1.平行四边形法则 加法 2.三角形法则
a b (x1 x2 , y1 y2 )
(a b) c a (b c)
向量的 三角形法则
减法
数 乘
1. a 是一个 向量,满足: | a || || a |
向
2. >0 时, a与a 同向;
量
<0 时, a与a异向;
=0 时, a 0 .
a b 是一个数
向
量
1. a 0或b 0 时，
的
数
ab 0.
量
积
a 0且b时，0 2.
【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 向量(精解精析)
2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 向量（精解精析）一、选择题1．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=+a a b ( )A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．1935【答案】D 解析：5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=．()2222257a b a ba ab b +=+=+⋅+=-=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+． 故选：D ．【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题．2．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知()2,3AB =，()3,AC t =，1BC =，则AB BC ⋅=( )A ．3-B ．2-C ．2D ．3【答案】C【解析】∵()2,3AB =，()3,AC t =，∴()1,3BC AC AB t =-=-,∴211BC ==，解得3t =，即()1,0BC =，则AB BC ⋅=()()2,31,021302⋅=⨯+⨯=．【点评】本题考查平面向量数量积的坐标运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法，利用转化与化归思想解题．本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．学生易在处理向量的法则运算和坐标运算处出错，借助向量的模的公式得到向量的坐标，然后计算向量数量积．3．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为( )A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π【答案】B 解析：()()222,0,a b b a b b a b b a b b b-⊥∴-⋅=⋅-=∴⋅==，所以221cos ,22ba b a b a bb⋅===⋅， 所以,3a bπ=．4．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比为120.618≈，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美 ．若某人满足上述两个黄金 分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是( )A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm【答案】B解析：如图，0.618,0.618,0.618c aa b c d d b==∴==，26c <，则42.070.618c d =<，68.07a c d =+<，110.150.618ab =<，所以身高178.22h a b =+<，又105b >，所以0.61864.89a b =>，身高64.89105169.89h a b =+>+=故(169.89,178.22)h ∈，故选B ．5．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则a ( )A ．4B ．3C ．2D ．0【答案】B解析：2(2)2||213⋅-=-⋅=+=a a b a a b ，故选B ．6．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)在ABC ∆中,AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =( )头顶咽喉肚脐足底A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 【答案】A解析：在ABC△中，AD 为BC 边上的中线，E为AD 的中点，()11312244EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC =-=-=-+=-，故选A ． 7．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为 ( ) A ． B ．CD ．【答案】A【解析】法一：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图则，，，，连结，过点作于点 在中，有即所以圆的方程为 可设由可得 ABCD 1AB =2AD =P C BDAP AB AD λμ=+λμ+32A AB x AD y ()0,0A ()1,0B ()0,2D ()1,2C BD C CE BD ⊥E Rt BDC∆BD =1122ACD S BC CD BD CE =⨯⨯=⨯⨯△111222CE CE ⨯⨯=⇒=C ()()224125x y -+-=1,2P θθ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭AP AB AD λμ=+()1,2,255θθλμ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭所以，所以 其中， 所以的最大值为，故选A ．法二：通过点作于点，由，，可求得又由，可求得由等和线定理可知，当点的切线（即）与平行时，取得最大值又点到的距离与点到直线而此时点到直线151λθμθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2λμθθ+=()2sin θϕ=++sin ϕ=cos ϕ=λμ+3C CE BD ⊥E 1AB =2AD =BD =1122ACD S CD CB BD CE =⨯⨯=⨯⨯△CE =P FH DB λμ+A BD C BD A FH 22r +=+=所以，所以的最大值为，故选A ． 另一种表达：如图，由“等和线”相关知识知，当点在如图所示位置时，最大，且此时若，则有，由三角形全等可得，知，所以选A ．法三：如图，建立平面直角坐标系设，即圆的方程是，若满足即 ， ，所以，设 ，即，3AFAB ==λμ+3P λμ+AG xAB yAD =+x y λμ+=+2AD DF FG ===3,0x y ==()()()()0,1,0,0,2,1,,A B D P x y ()22425x y -+=()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=AP AB AD λμ=+21x y μλ=⎧⎨-=-⎩,12x y μλ==-12x y λμ+=-+12x z y =-+102x y z -+-=点在圆上，所以圆心到直线的距离，，解得，所以的最大值是，即的最大值是，故选A ． 法四：由题意，画出右图．设与切于点，连接．以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系则点坐标为．∵，．∴．切于点．∴⊥．∴是中斜边上的高． 即在上．∴点的轨迹方程为．设点坐标，可以设出点坐标满足的参数方程如下：而，，． ∵ ∴，． 两式相加得：(),P x y ()22425x y -+=d r ≤≤13z ≤≤z 3λμ+3BD C E CE A AD x AB y C (2,1)||1CD =||2BC=BD BD C E CEBDCERt BCD△BD12||||22||||||BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△C P C P 224(2)(1)5x y -+-=P 00(,)x y P 0021x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩00(,)AP x y =(0,1)AB =(2,0)AD =(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=0112x μθ==01y λθ==(其中，当且仅当，时，取得最大值3． 【考点】平面向量的坐标运算；平面向量基本定理【点评】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．8．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【命题意图】本题主要考查等边三角形的性质及平面向量的线性运算﹑数量积，意在考查考生 转化与化归思想和运算求解能力 【解析】解法一：建系法连接，，，．，∴∴ ∴，∴ ∴最小值为 解法二：均值法∵，∴112)2sin()3λμθθθϕθϕ+=+++=++=++≤sin ϕ=cos ϕ=π2π2k θϕ=+-k ∈Z λμ+ABC ∆P ABC ()PA PB PC ⋅+2-32-43-1-OP (OA =()1,0OB =-()1,0OC =2PC PB PO +=()(),PO PA x y x y ⋅=--⋅-222234PO PA x y x y ⎛⋅=+=+- ⎝⎭34PO PA ⋅≥-()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-32-2PC PB PO +=()2PA PC PB PO PA ⋅+=⋅由上图可知：；两边平方可得∵ ，∴ ∴ ，∴最小值为解法三：配凑法 ∵∴∴最小值为【知识拓展】三角形与向量结合的题属于高考经典题，一般在压轴题出现，解决此类问题的通 法就是建系法，比较直接，易想，但有时计算量偏大． 【考点】 平面向量的坐标运算，函数的最值【点评】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式我解集，方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决． 9．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知向量1(,)22BA =,31()22BC =,则ABC ∠= ( )A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒【答案】A【解析】由题意,得112222cos 112BA BC ABC BA BC⨯⋅∠===⨯⋅,所以30ABC ∠=︒,故选A . 10．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)已知向量(1,)(3,2)a m b =-，=，且()a b b ⊥+，则m = ( )A ．8-B ．6-C ．6D ．8【答案】D【解析】由()a b b ⊥+可得：()0a b b +=，所以20a bb，又(1,)(3,2)a m b =-，= 所以2232+(3(2))0m -+-=，所以8m ，故选D ．11．(2015高考数学新课标1理科)设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则 ( )OA PA PO =-()()2232PA PO PA PO =+-⋅()()222PA POPA PO +≥-⋅322PO PA ⋅≥-()322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥-32-2PC PB PO +=()()()()()222232222PO PA PO PA PO PA AO PA PC PB PO PA +--+-⋅+=⋅==≥-32-A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =- 【答案】A解析：由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-==1433AB AC -+，故选A ． 考点：平面向量的线性运算12．(2014高考数学课标2理科)设向量a ,b 满足|a +b，|a -b，则a b = ( )A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】A解析：因为222||()210,a b a b a b a b +=+=++⋅=222||()26,a b a b a b a b -=-=+-⋅= 两式相加得：228,a b +=所以1a b ⋅=，故选A ． 考点：（1）平面向量的模；（2）平面向量的数量积难度：B 备注：常考题 二、填空题13．(2021年高考全国甲卷理科)已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+．若a c ⊥，则k =________．【答案】103-． 解析：()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+,(),33110a c a c k ⊥∴⋅=++⨯=，解得103k =-, 故答案为：103-． 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量()()1122,,,p x y q x y ==垂直的充分必要条件是其数量积12120x x y y +=．14．(2021年高考全国乙卷理科)已知向量()()1,3,3,4a b ==，若()a b b λ-⊥，则λ=__________．【答案】35解析：因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=--，所以由()a b b λ-⊥可得，()()3134340λλ-+-=，解得35λ=．⋅故答案为：35． 【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设()()1122,,,a x y b x y ==，121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=，注意与平面向量平行的坐标表示区分．15．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设,a b 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=______________．【解析】因为,a b 为单位向量，所以1a b == 所以()2222221a b a ba ab b a b +=+=+⋅+=+⋅=解得：21a b ⋅=- 所以()22223a b a ba ab b -=-=-⋅+=【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题．16．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________．【答案】2解析：由题意可得：211cos 452a b →→⋅=⨯⨯=， 由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即：202k a a b k →→→⨯-⋅=-=，解得：2k =．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．17．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知a ，b 为单位向量，且·=0a b ，若25c a b =-，则cos ,a c 〈〉=___________．【答案】23． 【解析】因为25c a b =-，·=0a b ，所以225=2a c a a b ⋅=-⋅，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c 〈〉=22133a c a c ⋅==⨯⋅． 【点评】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．18．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)已知向量()1,2a =，()2,2b =-，()1,c λ=，若()//2c a b +，则λ= ．【答案】12解析：依题意可得()()()22,42,24,2a b +=+-=，又()1,c λ=，()//2c a b +所以4210λ⨯-⨯=，解得12λ=． 19．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知向量,的夹角为,,,则__________．【答案】【解析】法一:所以．法二(秒杀解法):利用如下图形,可以判断出的模长是以为边长的菱形对角线的长度,则为法三:坐标法a b 60︒2a =1b =2a b +=222|2|||44||4421cos60412a b a a b b +=+⋅+=+⨯⨯⨯+=|2|23a b +=2a b +2依题意,可设,,所以 所以．【考点】平面向量的运算【点评】平面向量中涉及到有关模长的问题,用到的通法是将模长进行平方,利用向量数量积的知识进行解答,很快就能得出答案;另外,向量是一个工具型的知识,具备代数和几何特征,在做这类问题时可以使用数形结合的思想,会加快解题速度．20．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)设向量(),1a m =，()1,2b =，且222a b a b +=+，则m = ． 【答案】2m =-【解析】由已知得：()1,3a b m +=+∴()22222222213112a b a b m m +=+⇔++=+++，解得2m =-． 21．(2015高考数学新课标2理科)设向量a ，b 不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________． 【答案】12解析：因为向量a b λ+与2a b +平行，所以2a b k a b λ+=+（），则12,k k λ=⎧⎨=⎩，所以12λ=． 考点：向量共线．22．(2014高考数学课标1理科)已知A ,B ,C 是圆O 上的三点,若,则与的夹角为______．【答案】解析:∵,∴O 为线段BC 中点,故BC 为的直径, ∴,∴与的夹角为．考点:(1)平面向量在几何中的应用(2)向量的夹角(3)化归与转化思想难度:B备注:高频考点23．(2013高考数学新课标2理科)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅＝________．【答案】2解析：由题意知：2211402222AE BD AD AD AB AB ⋅=-⋅-=--= 考点：（1）5．1．2向量的线性运算；（2）5．3．1平面向量的数量积运算()2,0a=13,22b ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭()((22,0a b +=+=(223a b +=+=1()2AO AB AC =+AB AC 0901()2AO AB AC =+O 090BAC ∠=AB AC 090难度： A备注：高频考点24．(2013高考数学新课标1理科)已知两个单位向量,a b 的夹角为60°，(1)c ta t b =+-，若0b c •=，则t =_____．【答案】 2解析：•b c =[(1)]t t •+-b a b =2(1)t t •+-a b b =112t t +-=112t -=0，解得t =2． 考点: (1）5．3．1平面向量的数量积运算．难度：Ａ备注：高频考点。
高考数学《向量》专题复习
高考《向量》专题复习1.向量的有关概念：（1）向量的定义：既有大小又有方向的量。
向量可以任意平移。
（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0.（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量。
任意向量的单位化：与AB共线的单位向量是.（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量。
（5）平行向量又叫共线向量，记作：∥.①向量)0(→→→≠a a 与→b 共线，则有且仅有唯一一个实数λ，使→→=a b λ； ②规定：零向量和任何向量平行；④平行向量无传递性！（因为有)；（6）向量的加法和减法满足平行四边形法则或三角形法则；2.平面向量的坐标表示及其运算：（1）设),(11y x a =→，),(22y x b =→，则),(2121y y x x b a ++=+→→； （2）设),(11y x a =→，),(22y x b =→，则),(2121y y x x b a --=-→→；（3）设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则=),(1212y y x x --； （4）设),(11y x a =→，),(22y x b =→，向量平行→→b a //1221y x y x =⇔； （5）设两个非零向量),(11y x a =→，),(22y x b =→，则2121y y x x b a +=⋅→→， 所以002121=+⇔=⋅⇔⊥→→→→y y x x b a b a ； （6）若),(y x a =→，则22y x a +=→；（7）定比分点：设点P 是直线21,p p 上异于21,p p 的任意一点，若存在一个实数λ，使 21PP P P λ=，则λ叫做点P 分有向线段21P P 所成的比，P 点叫做有向线段21P P 的以定比为λ的定比分点；当P 分有向线段21P P 所成的比为λ，则点P 分有向线段21P P 所成的比为1λ. 注意：①设111(,)P x y 、222(,)P x y ，(,)P x y 分有向线段21P P 所成的比为λ，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， 在使用定比分点的坐标公式时，应明确(,)x y ，11(,)x y 、22(,)x y 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。
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2011-2017新课标向量分类汇编
一、理科
【2011新课标】（10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题
θ 12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈ ⎥⎝⎦
3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦
其中的真命题是（ A ）
（A ） （B ） （C ） （D ）14,P P 13,P P 23,P P 24
,P P
【2012新课标】（13夹角为 45︒【2013新课标1】13、已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t)b ，若b ·c =0，则t =__2___.
【2013新课标2】13．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，
__________.
【2014新课标1】15．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若
=（+），则与的夹角为 _________ ．
【2014新课标2】3. 设向量a,b 满足|a+b |a-b a b = ( A )
⋅A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
【2015新课标1】（7）设D 为△ABC 所在平面内一点，则（ A ）
BC →=3CD →
（A ） (B)→→→
+-=AC AB AD 3431→
→→-=AC AB AD 3
431（C ） (D)→→→+=AC AB AD 3134→
→→-=AC AB AD 3134【2015新课标2】（13）设向量a ，b 不平行，向量a b λ+ 与2a b + 平行，则实数λ=______
12
___．【2016新课标1】(13)设向量a =(m ，1)，b =(1，2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m = .
2-
【2016新课标2
m =（ D ）（A ）（B ）（C ）6
（D ）88-6- 【2016新课标3】(3)已知向量
＝(，)，＝(，)，则∠ABC ＝（ A ）
BA →12 BC →1
2 【2017新课标1】13．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b
】12.已知是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则
ABC ∆ B ）
A. B. C. D.2-32-43-1-【2017新课标3】12. 在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相ABCD 1AB =2AD =P C BD ，则的最大值为（ A
）λμ+A ．3B C D ．2
二、文科
【2011新课标】13．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，
k 为实数，若向量a +b 与向量ka -b 垂直，则k
= 1 .
【2012新课标】15．已知向量a ，b 夹角为45º，且|a |=1|b
【2013新课标1】13. 已知两个单位向量a ,b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝___2__.
【2013新课标2】14. 已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD ____2____.
【2014新课标1】6. 设分别为的三边的中点，则 A F E D ,,ABC ∆AB CA BC ,,）
【2014新课标2】4. 设向量,满足a·b=（ A ）
a b （A ）1 （B ） 2 （C ）3 (D) 5
【2015新课标1】2. 已知点A （0,1），B （3,2）（-4，-3）（ A ）
（A ）（-7，-4） （B ）（7,4） （C ）（-1,4） （D ）（1，4）【2015新课标2】4．向量，，则 ( B )(
)1,1-=a ()2,1-=b ()=⋅+a b a 2A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2
【2016新课标1】13. 设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x = 23
- .【2016新课标2】13. 已知向量a =(m ,4)，b =(3,-2)，且a ∥b ，则m =______-6_____.
【2016新课标3】3. （，，），则∠ABC =（ A ）1212
（A ）30°（B ）45°（C ）60°（D ）120°
【2017新课标1】13．已知向量a =（–1，2），b =（m ，1）.若向量a +b 与a 垂直，则m =________7______.
【2017新课标2】4.设非零向量，满足则（ A ）
a b +=-b b a a A ⊥ B. C. ∥ D. a b =b a a b >b
a
【2017新课标3】13．已知向量，且a ⊥b ，则m = 2 .
(2,3),(3,)a b m =-=。