沪教版高二上期末数学试卷1(附答案及详细解析)

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上海市高二上学期期末数学试题(解析版)

一、填空题1．若（），则______．22311n n n C C C --=+*n ∈N n =【答案】5【分析】结合组合数的性质即可求解.【详解】由，所以，111m m m n n n C C C ---=+23n n C C =又因为，所以，所以，即，m n m n n C C -=22n n n C C -=23n -=5n =故答案为：5.2．总体是由编号为的30个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法01,02,,29,30 是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为__________.7816157208026315021643199714019832049234493682003623486969387181【答案】19【分析】根据随机数表选取编号的方法求解即可.【详解】随机数表第1行的第5列和第6列数字为15，则选取的5个个体依次为：15，，故选出来的第5个个体的编号为19.08,02,16,19故答案为:19.3．已知所在平面外一点，且两两垂直，则点在平面内的射影应为ABC :P ,,PA PB PC P ABC 的___________心.ABC :【答案】垂【分析】设点在平面内的射影为，由已知可证明，，根据线面垂直的P ABC 1P 1PP BC ⊥PA BC ⊥判定以及性质可得.同理可得，，即可得出答案. 1BC AP ⊥1AC BP ⊥1AB CP ⊥【详解】设点在平面内的射影为，则平面. P ABC 1P 1PP ⊥ABC 又平面，所以.BC ⊂ABC 1PP BC ⊥因为，，，平面，平面， PA PB ⊥PA PC ⊥PB PC P ⋂=PB ⊂PBC PC ⊂PBC 所以平面.又平面，所以.PA ⊥PBC BC ⊂PBC PA BC ⊥因为，平面，平面，所以平面. 1PA PP P =I PA ⊂1PAP 1PP ⊂1PAP BC ⊥1PAP 又平面，所以. 1AP ⊂1PAP 1BC AP⊥同理可证，，，所以是的垂心. 1AC BP ⊥1AB CP ⊥1PABC :所以，点在平面内的射影应为的垂心. P ABC ABC :故答案为：垂.4．某校要从高一、高二、高三共2023名学生中选取50名组成志愿团，若先用简单随机抽样的方法从2023名学生中剔除23名，再从剩下的2000名学生中按分层随机抽样的方法抽取50名，则每名学生入选的可能性___________. 【答案】502023【分析】应用随机抽样定义,每各个体被抽到的概率相等求解即可.【详解】先用简单随机抽样的方法从2023名学生中剔除23名，每各个体被抽到的概率相等，再从剩下的2000名学生中按分层随机抽样的方法抽取50名，则每名学生入选的可能性为 502023故答案为:5020235．在的二项展开式中，项的系数是___________.92x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭3x 【答案】672-【分析】由二项式的通项公式即可求解.【详解】二项式的通项为，92x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭9992192((C 2C )r r r r rr r T x x x --+-==-令，得，923r -=3r =所以项的系数是.3x 339(2)C 672-=-故答案为：.672-6．已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是_________. 2π【答案】1【分析】设出圆锥底面半径和母线长，利用侧面展开后，扇形弧长公式和面积公式进行求解.【详解】设圆锥的底面半径为r ，圆锥的母线长为l ，则，解得：，又21π2π2l =2l =2ππ2πr l ==，解得：. 1r =故答案为：17．如图所示：在直三棱柱中，，，则平面与平面ABC 111ABC A B C -AB BC ⊥1AB BC BB ==11A B C 所成的二面角的大小为_____.【答案】4π【分析】通过题意易得直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1即为正方体的一半，直接得出答案．【详解】根据题意，易得直三棱柱1即为正方体的一半，111ABC A B C -所求即为平面与平面所成的二面角，即为，∴11A B C 111A B C 11C B C ∠又△为等腰直角三角形，，11B C C 114C B C π∴∠=故答案为.4π【点睛】本题考查二面角的求法，发现“直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1即为正方体的一半”是解决本题的关键，属于中档题．8．有一道路网如图所示，通过这一路网从A 点出发不经过C 、D 点到达B 点的最短路径有___________种.【答案】24【分析】根据已知，要想避开C 、D 点，需分步考虑.得到每一步的方法种类，用分步计数原理乘起来即可得出答案.【详解】如图，由已知可得，应从点，先到点，再到点，最后经点到点即可.A E F GB 第一步：由点到点，最短路径为4步，最短路径方法种类为；A E 1343C C 4⋅=第二步：由点到点，最短路径为3步，最短路径方法种类为；E F 1232C C 3⋅=第三步：由点经点到点，最短路径为3步，最短路径方法种类为. F G B 111121C C C 2⋅⋅=根据分步计数原理可得，最短路径有种. 43224⨯⨯=故答案为：24.9．从本市某高中全体高二学生中抽取部分学生参加体能测试，按照测试成绩绘制茎叶图，并以，，，，为分组作出频率分布直方图，后来茎叶图受到了污[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100损，可见部分信息如图，则a 的值为___________.【答案】0.02【分析】根据频率分布图可得组内有2个数据.结合茎叶图和频率分布直方图可知样本容量[]90,100，即可得出组内的数据有4个，进而求出a 的值.20n =[)80,90【详解】由频率分布直方图可得，组内数据的频率等于组内数据的频率，所以[]90,100[)50,60组内有2个数据.[]90,100设样本容量为，则，所以. n 20.0110n=⨯20n =所以组内的数据有，所以组内数据的频率等于，所以[)80,902025724----=[)80,9040.220=. 0.20.0210a ==故答案为：.0.0210．如图，四边形为梯形，，，图中阴影部分绕旋转一周所形成的ABCD //AD BC 90ABC ∠=︒AB 几何体的体积为_________【答案】． 683π【分析】由题意知：旋转所得几何体为一个圆台，从上面挖去一个半球；利用球体、圆台的体积公式求几何体体积.【详解】由题意知，所求旋转体是一个圆台，从上面挖去一个半球；圆台的上底面面积，14S π=下底面面积，216S π=∴圆台的体积为，()114163283V πππ=⨯⨯=又半球的体积为， 3214162233V ππ=⨯⨯⨯=故旋转体的体积为． 1216682833V V πππ-=-=故答案为：． 683π11．斐波那契数列是由13世纪意大利斐波那契提出的，它的通项公式为：，若，则数列通项公式为*,N n nn a n ⎤⎥=-∈⎥⎦1212C C C nn n n n n S a a a =+++ {}n S ___________.*,N n nn ⎤⎥-∈⎥⎦【分析】根据已知数列的通项公式,结合二项式定理,计算可得.n S 【详解】因为, *,N n nn a n ⎤⎥=-∈⎥⎦又因为22121212C C CC C Cnn n n n nn nnn n nS a a a=+++⎤⎤⎤⎥⎥--+-⎥⎥⎥⎥⎦⎦⎦212122C C C C Cnnn n n n n⎤⎤⎤⎤⎤⎥⎥⎥=+⎥⎥-⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎦⎦⎦⎦121222C C C C C Cn nn nn n n n n n⎤⎤⎥⎥=++++⎥⎥+⎦+⎦0202 012012C+C C C C+C Cnnn n n n n n n⎤⎥=+++++⎥⎦11n n⎤⎤=++⎥⎥⎥⎥⎦⎦n n⎤⎥=-⎥⎦故答案为:n n⎤⎥⎥⎦-12．在棱长为的正方体中，分别为线段和平面上的动点，点11111ABCD A B C D-,F P1AC1111DCBA G为线段的中点，则周长的最小值为___________.1B C PGF:【答案】##43113【分析】若取得最小值，则在线段上，将平面绕旋转到与共面的情况，PF P11A C11AAC1AC1ABC可知过作于点，结合三角形三边关系可知的最小值为，可知所求三G11GP A C'⊥P'PF FG+P G'角形周长最小值为；利用二倍角公式可求得，在可求得，由此可得2P G'11sin AC B∠1Rt GP C':P G'结果.【详解】若取得最小值，则平面，又在平面上的投影为，PF PF ⊥1111D C B A 1AC 1111D C B A 11A C 在线段上，P ∴11A C 将平面绕旋转到与共面的情况，如图所示，11AAC 1AC 1ABC过作于点，交于点，G 11GP A C '⊥P '1AC F '（当且仅当重合，重合时取等号）， PF FG PG P G '∴+≥≥,F F ',P P '，， 1AB = 1BC =1AC =1GC =在中，∴1Rt ABC :1sin AC B ∠=1cos AC B ∠=11111sin sin 22sin cos A C B AC B AC B AC B ∴∠=∠=∠∠=则在中，， 1Rt GP C ':1112sin 3P G GC A C B '=∠==的周长.PGF ∴:423PG PF FG P G '++≥=故答案为：. 43【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中到定点和到动点的距离和的最值问题的求解，解题关键是能够通过旋转平面将立体几何中距离之和的问题，转化为平面几何中的距离之和的问题，进而结合三角形三边关系确定最值取得的情况.二、单选题13．设M ，N 为两个随机事件，如果M ，N 为互斥事件，那么（） A ．是必然事件 B ．是必然事件 M N ⋃M N ⋃C ．与一定为互斥事件 D ．与一定不为互斥事件M N M N 【答案】A【分析】根据对立事件和互斥事件的定义，再借助维恩图即可求解. 【详解】因为M ，N 为互斥事件，则有以下两种情况，如图所示（第一种情况）（第二种情况）无论哪种情况，均是必然事件．故A 正确．如果是第一种情况，不是必然事件，故M N ⋃M N ⋃B 不正确，如果是第一种情况，与不一定为互斥事件，故C 不正确，如果是第二种情况，M N M 与一定为互斥事件，故D 不正确. N 故选：A.14．已知平面两两垂直，直线满足：，则直线不可能满足αβγ、、a b c 、、,,a b c αβγ⊆⊆⊆a b c 、、以下哪种关系 A ．两两垂直 B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面【答案】B【分析】通过假设，可得平行于的交线，由此可得与交线相交或异面，由此不可能//a b ,a b ,αβc 存在，可得正确结果.////a b c 【详解】设，且与均不重合l αβ= l ,a b假设：，由可得：， ////a b c //a b //a β//b α又，可知， l αβ= //a l //b l 又，可得：////a b c //c l 因为两两互相垂直，可知与相交，即与相交或异面 ,,αβγl γl c 若与或重合，同理可得与相交或异面 l a b l c 可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行本题正确选项：B 【点睛】本题考查空间中的直线、平面之间的位置关系，关键在于能够通过线面关系得到第三条直线与前两条线之间的位置关系，从而得到正确结果.15．某种疾病可分为两种类型：第一类占70%，可由药物治疗，其每一次疗程的成功率为70%，A 且每一次疗程的成功与否相互独立；其余为第二类，药物治疗方式完全无效.在不知道患者所患A 此疾病的类型，且用药物第一次疗程失败的情况下，进行第二次疗程成功的概率最接近下列哪一A 个选项（） A ．0.25 B ．0.3 C ．0.35 D ．0.4【答案】B【分析】分别写出两次疗程概率,再应用独立事件概率是概率的积, 计算即可. 【详解】用药物A 第一次疗程失败的概率为0.70.3+0.3=0.51⨯用药物A 第一次疗程失败第二次疗程成功的概率为 0.70.30.7=0.3×0.49⨯⨯所以药物A 第一次疗程失败的情况下，进行第二次疗程成功的概率为，0.30.49490.30.290.5151⨯=⨯≈ 故选:B .16．已知随机变量，，，，记，其中，()2,B n p ξ:*n ∈N 2n ≥01p <<()()f t P t ξ==t ∈N 2t n ≤，现有如下命题：①；②若，则，下列判断正确的是011(2)(21)2nnt t f t f t ==<<-∑∑6np =()()12f t f ≤（）A ．①和②均为真命题B ．①和②均为假命题C ．①为真命题，②为假命题D ．①为假命题，②为真命题【答案】D【分析】根据已知得出.取，根据二项式定理求出奇数项和偶数项()()22C 1n tt t n f t p p -=⋅⋅-12p =和，即可判断命题①真假；先利用分布列的表达式得出，判断()()()()()()1211111f t n p t f t t p ++-+=++-()f t的增减性.讨论是否为整数，得出最大项.最后根据已知，即可判断命题②真假. ()21n p +【详解】由已知可得，.()()()22C 1n tt t n f t P t p p ξ-===⋅⋅-对于命题①，当时，. 12p =()()2222111C 1C 222tn tnt t n n f t P t ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⋅⋅-=⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为， ()()0221321222222C C C C C C n n n n n n n n -+++++++L L ()2012212222222C C C C C 112nn nn n n n n n -=+++++=+=L ()()221321222222CC C C C C n n nn n n n n -+++-+++L L ，所以()()()()()()0122122012212222221C 1C 1C 1C 1C 110n n nn nn n n n n --=-⨯+-⨯+-⨯++-⨯+-⨯=-=L . 022132121222222C C C C C C 2n n n n n n n n n--+++=+++=L L 所以，所以，所以()222222221111(2)2222C C Cn nnnnn t nnf t -=+⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++⋅⋅∑ 101(21)(2)2n nt t f t f t ==-==∑∑①为假命题；对于命题②，若.()~2,B n p ξ()()()()21112221C 1C 1n t t t n n tt t n f t p p f t p p --++-+⋅⋅⋅⋅-=-()()()211n t p t p -=+-()()()()()()2111111n p t t p t p +-+++-=+-.()()()()211111n p t t p +-+=++-当时，，随着的增加而增加；当时，()121t n p +<+()()1f t f t +>()f t t ()121t n p +>+，随着的增加而减小.()()1f t f t +<()f t t 当为整数时，或时，有最大值；当不为整数()21n p +()21t n p =+()211t n p =+-()f t ()21n p +时，为的整数部分时，有最大值.因为，，所以当t ()21n p +()f t ()2112n p p +=+01p <<12t =时，最大，所以有，所以②为真命题. ()f t ()()12f t f ≤故选：D.三、解答题17．如图，在直三棱柱中，，，，交于点111ABC A B C -2AB AC ==14AA =AB AC ⊥1BE AB ⊥1AA E ，D 为的中点.1CC(1)求证：平面；BE ⊥1AB C (2)求直线与平面所成角的大小. 1B D 1AB C 【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证明，从而可得平面，进而可得，再由线面垂直1AA AC ⊥AC ⊥11AA B B AC BE ⊥的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用向量法求解即可 1AB C 【详解】（1）因为三棱柱为直三棱柱， 111ABC A B C -所以平面， 1AA ⊥ABC 又平面， AC ⊂ABC 所以.1AA AC ⊥因为，，，平面，平面， AC AB ⊥1AA AC ⊥1AB AA A ⋂=AB ⊂11AA B B 1AA ⊂11AA B B 所以平面. AC ⊥11AA B B 因为平面， BE ⊂11AA B B 所以.AC BE ⊥因为，，，平面，平面， 1BE AB ⊥AC BE ⊥1AC AB A ⋂=AC ⊂1AB C 1AB ⊂1AB C 所以平面.BE ⊥1AB C （2）由（1）知，，两两垂直，如图建立空间直角坐标系. AB AC 1AA A xyz -则，，，，，()0,0,0A ()12,0,4B ()0,2,0C ()2,0,0B ()0,2,2D 设，，，，()0,0,E a ()12,0,4AB = ()2,0,BE a =-()0,2,0AC =因为，所以，即，则， 1AB BE ⊥440a -=1a =()2,0,1BE =- 由（1）平面的一个法向量为.1AB C ()2,0,1BE =-又()12,2,2B D =--设直线与平面所成角的大小为，则1B D 1AB C π20θθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭11πsin cos 2BE B DBE B D θθ⋅⎛⎫=-== ⎪⎝⎭因此，直线与平面所成角的大小为. 1B D 1ABC18．兰州牛肉面是人们喜欢的快餐之一，面条的宽度有细面、二细、毛细、韭叶、二宽、大宽等.现将体积为1000的面团经过第一次拉伸成长为100cm 的圆柱型面条，再经过第二次对折拉伸3cm 成长为的面条，……，小徐同学喜欢吃的面条的截面直径不超过0.5cm ，求至少经过多少2100cm ⨯次对折拉伸之后面条才符合小徐同学的要求？（单位：cm.每次对折拉伸相等的长度，面条的粗细是均匀的，拉面师傅拉完面后手中剩余面忽略不计）【答案】至少经过次对折拉伸之后面条才符合小徐同学的要求7【分析】拉伸之后面条数列为等比数列，可得拉伸后面条的数量；由圆柱的体积公式，结合等体积法即可求得拉伸后面条的截面半径，进而得解.【详解】经过次对折拉伸之后面条的数量成等比数列， n 因而可知经过次对折拉伸之后面条的长度为， n 12100n -⨯设拉伸次后面条的截面半径为，由面团体积为可得 n r 31000cm ，121002π1000n r -⨯⨯⨯=又因为直径， 122d r =≤即得,,是单调递增的 2121012π4n r -=≤⨯5102πn -≤52n y -=且当时,,当时, , 6n =102π>7n =104π≤所以至少经过次对折拉伸之后面条才符合小徐同学的要求719．一个随机变量的概率分布为：，其中A ，B ，C 为锐角三角形ABC 的三个ζ()12cos2sin x x A B C ⎛⎫⎪+⎝⎭内角.(1)求A 的值；(2)若，求数学期望的取值范围. 12cos sin x B x C ==，E ζ【答案】(1)π6(2)34⎫⎪⎪⎭【分析】(1)根据概率分布的概率性质计算即可;(2)把转化为三角函数,根据角的范围确定三角函数的值域可解. E ζ【详解】（1）由已知可知: cos2sin 1A A +=,,212sin sin 1A A -+=()sin 12sin 0A A -=又因为为锐角, ,所以,即得. A sin 0A >1sin 2A =π6A =（2）因为 12cos sin xB xC ==，所以cos cos2sin sin 11cos sin 22E B A C A B C ζ=+=+ 11πcos sin 226B B ⎛⎫=++⎪⎝⎭111cos sin cos 22213sin cos 22B B B B B ⎛⎫=++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫=⨯⎪ ⎪⎝⎭1sin cos 2π3B B B =⨯+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又因为是锐角三角形,且,所以ABC :π6A =ππ32B <<, 2ππ5π336B <+<π1sin 32B ⎛⎛⎫+∈ ⎪ ⎝⎭⎝π334B ⎫⎛⎫+∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭34E ζ⎫∈⎪⎪⎭20．《瀑布》（图1）是最为人所知的作品之一，图中的瀑布会源源不断地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至极，但又会让你百看不腻，画面下方还有一位饶有兴致的观察者，似乎他没发现什么不对劲.此时，他既是画外的观看者，也是埃舍尔自己.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”由三个正方体构成，右塔上的几何体是首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2）埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为2，定义正方形n n n n A B C D ，的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为，将极点1,2,3n =,n n P Q ，分别与正方形的顶点连线，取其中点记为，，，如（图3）.埃11,P Q 2222A B C D m E m F 1,2,3,4m =舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，图4我们构造了其中两个四棱锥与11122A PE P E -22131A P E P F -(1)求异面直线与成角余弦值； 12P A 12Q B (2)求平面与平面的夹角正弦值； 111P A E 122A E P (3)求埃舍尔体的表面积与体积（直接写出答案）. 【答案】(1)；13；(3)表面积为，体积为. 2【分析】（1）以点为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角O 221,,OP OQ OP u u u r u u u u r u u u r,,x y z 坐标系.写出点的坐标，求出，，根据向量即可结果；()121,1,1P A =--u u u r ()121,1,1Q B =u u u u r（2）根据坐标，求出平面与平面的法向量，根据向量法可以求出法向量夹角的余弦111P A E 122A E P 值，进而得出结果；（3）由已知可得，四边形为菱形.根据向量法求出四棱锥的体积以及表面积即1122PE P E 11122A PE P E -可得出结果.【详解】（1）解：由题意可知，两两垂直，且.以点为坐标原221,,OP OQ OP 2211OP OQ OP ===O 点，分别以的方向为轴的正方向，如图5，建立空间直角坐标系. 221,,OP OQ OP u u u r u u u u r u u u r,,x y z则由题意可得，，，，，，，()0,0,0O ()21,0,0P ()20,1,0Q ()10,0,1P ()21,1,0B ()11,0,1A ()21,1,0A -，.()10,0,1Q -又分别是的中点，所以，. 12,E E 1212,P A PB 1111,,222E ⎛⎫- ⎪⎝⎭2111,,222E ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，，()121,1,1P A =--u u u r ()121,1,1Q B =u u u u r 则，12121cos ,3P A Q B <=-u u u r u u u u ru u u r u u u u r 所以异面直线与成角余弦值为. 12P A 12Q B 13（2）解：由（1）可得，，，，.()111,0,0P A =u u u r11111,,222PE ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ()210,0,1P A =u u u r 22111,,222P E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r 设是平面的一个法向量，()1111,,n x y z =111P A E 则， 1111110n P A n PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即， 111101110222x x y z =⎧⎪⎨--=⎪⎩令，可得是平面的一个法向量. 11y =()10,1,1n =-111P A E 设是平面的一个法向量，()2222,,n x y z =122A E P 则， 22122200n P A n P E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即，取，可得是平面的一个法向量. 222201110222z x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩21x =()21,1,0n = 122A E P 则，1212121cos ,2n n n n n n ⋅<>===u r u u ru r u u r u r u u r所以平面与平面. 111P A E 122A E P =（3）解：由（1）（2）可得，，，，()121,0,1PP =-u u u r()120,1,0E E =u u u u r 11111,,222PE ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，，. 22111,,222P E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r ()111,0,0A P =-u u u r12111,,222PE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r 所以，2211P E PE =-u u u u r u u u r 所以∥且，所以四边形为平行四边形. 22P E 11PE 2211=P E PE 1122PE P E 又，()()12121,0,10,1,00PP E E ⋅=-⋅=u u u r u u u u r所以，即， 1212PP E E ⊥u u u r u u u u r1212PP E E ⊥所以四边形为菱形.1122PE P E ，， 121E E =u u u u r 所以. 112212112P E P E S PP E =⨯⨯u u u r u u u 设是平面的一个法向量，则，()3333,,n x y z = 1122PE P E 31231100n PP n PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即，取， 3333301110222x z x y z -=⎧⎪⎨--=⎪⎩31x =则是平面的一个法向量.()31,0,1n =u r1122PE P E 又，所以点到平面的距离()111,0,0A P =-u u u r 1A 1122PE P Ed 所以四棱锥的体积. 11122A PE P E -11221111336P E P E V S d =⨯⨯==因为，，. ()111,0,0A P =-u u u r12111,,222PE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r 11111,,222PE ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r 所以在方向上的投影为 11A P u u u r 12PE u u u u r 111212AP PE PE ⋅==u u u r u u u u r u u u u r 所以点到直线的距离. 1A 12PE 1h 同理可得点到直线的距离1A 11PE 2h =所以四棱锥的侧面积11122A PE P E -1121114422S PE h =⨯⨯⨯==u u u u r 所以埃舍尔体的表面积为，体积为.112S =1122V =21．随着网络的快速发展，电子商务成为新的经济增长点，市场竞争也日趋激烈，除了产品品质外，客服团队良好的服务品质也是电子商务的核心竞争力，衡量一位客服工作能力的重要指标—询单转化率，是指咨询该客服的顾客中成交人数占比，可以看作一位顾客咨诲该客服后成交的概率，已知某网店共有10位客服，按询单率分为，两个等级（见表），且视，等级客服的询单转A B A B 化率分别为对应区间的中点值.等级A B询单转化率70%%[90，） 50%%[70，）人数6 4(1)求该网店询单转化率的平均值；(2)现从这10位客服中任意抽取4位进行培训，求这4人的询单转化率的中位数不低于的概70%率；(3)已知该网店日均咨询顾客约为1万人，为保证服务质量，每位客服日接待顾客的数量不超过1300人.在网店的前期经营中，进店咨询的每位顾客由系统等可能地安排给任一位客服接待，为了提升店铺成交量，网店实施改革，经系统调整，进店咨询的每位顾客被任一位A 等级客服接待的概率为a ，被任一位B 等级客服接待的概率为b ，若希望改革后经咨询日均成交人数至少比改革前增加300人，则a 应该控制在什么范围？【答案】(1)； 72%(2)； 3742(3). 113,8100⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由已知分别求出、等级客服的询单转化率，根据平均数公式求出即可； A B （2）设A 等级客服的人数为，则的可能取值为，对应的询单转化率中位数分别为X X 0,1,2,3,4，进而利用超几何分布求出对应的概率，求出答案；60%,60%,70%,80%,80%（3）根据二项分布的期望公式计算出改革前的日均成交人数为7200，然后表示出改革后的日均成交人数，结合每位客服日接待顾客的数量不超过1300人，列出不等式组，即可求出120006000a +a 的取值范围.【详解】（1）解：由已知可得，等级客服的询单转化率为，等级客服的询单转化率为A 80%B 60%，所以该网店询单转化率的平均值为.80%660%472%10⨯+⨯=（2）解：由（1）知：、等级客服的询单转化率分别为. A B 80%,60%设抽取4位客服中，等级客服的人数为X ，则X 的可能取值为0,1,2,3,4. A 由题意可得，服从超几何分布.X 当时，4人转化率为，中位数为； X 0=60%,60%,60%,60%60%当时，4人转化率为，中位数为； 1X =60%,60%,60%,80%60%当时，4人转化率为，中位数为； 2X =60%,60%,80%,80%70%当时，4人转化率为，中位数为； 3X =60%,80%,80%,80%80%当时，4人转化率为，中位数为. 4X =80%,80%,80%,80%80%所以，当时，这4人的询单转化率的中位数不低于.2X ≥70%因为，服从超几何分布，所以的分布列为，. X X ()464410C C C k k P X k -⋅==0,1,2,3,4k =所以. ()()()2101P X P X P X ≥=-=-=04136464441010C C C C 371C C 42⋅⋅=--=（3）解：设改革前后等级客服的接待顾客人数分别为. A ,Y Z 则改革前，每位进店咨询顾客被等级客服接待的概率为， A 163105P ==所以，则.310000,5Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭()31000060005E Y =⨯=因为，等级客服的询单转化率分别为，A B 80%,60%所以改革前日均成交人数为； ()600080%10000600060%7200⨯+-⨯=改革后，每位进店咨询顾客被等级客服接待的概率为， A 26P a =所以，则，()10000,6Z B a ~()10000660000E Z a a =⨯=故改革后日均成交人数为. ()6000080%100006000060%120006000a a a ⨯+-⨯=+由得：，①1200060007200300a +≥+18a ≥因为每位顾客被一位等级客服接待的概率为，又，所以每位顾客被一位等级客服A a 641a b +=B 接待的概率为. 164ab -=又每位客服日接待顾客的数量不超过1300人，所以， 100001300161000013004a a≤⎧⎪⎨-⋅≤⎪⎩解得：，②13100225a a ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩由①②得：，所以应该控制在. 1138100a ≤≤a 113,8100⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

上海高二高中数学期末考试带答案解析

上海高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.________________ ．2.已知复数满足是虚数单位)，则_____________．3.已知是纯虚数，是实数，则4.已知，求=5.复数的值是．6.若关于x的一实系数元二次方程有一个根为，则______7.设复数，则=_____________．8.若且的最小值是_____________9.在复平面上，已知直线上的点所对应的复数满足，则直线的倾斜角为（结果用反三角函数值表示）|为直径的圆的面积为______．10.，那么以|z111.用一个平面去截正方体。

其截面是一个多边形，则这个多边形的边数最多是条12.已知空间四边形，、分别是、中点，，，，则与所成的角的大小为_________二、选择题1.若复数z=a+bi(a、b∈R),则下列正确的是（）A．>B．=C．<D．=z22.在复平面内，若复数对应的向量为，复数对应的向量为，则向量对应的复数是（）A．1B．C．D．3.如图，正方体中，若分别为棱的中点，、分别为四边形、的中心，则下列各组中的四个点不在同一个平面上的是（）（A）（B）（C）（D）4.若为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（）A．相交B．异面C．平行D．异面或相交三、解答题1.（本小题满分10分）已知复数z 1满足(1+i )z 1=－1+5i ， z 2=a －2－i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若<|z 1|，求a 的取值范围.2.（本小题满分12分）如图，长方体中，AD=2，AB=AD=4，，点E 是AB 的中点，点F 是的中点。

（1）求证：；（2）求异面直线与所成的角的大小；（本题满分12分）已知，且以下命题都为真命题：命题实系数一元二次方程的两根都是虚数；命题存在复数同时满足且.求实数的取值范围.3.（本小题满分14分）已知实系数一元二次方程x 2+px +q =0的两根分别为x 1，x 2。

上海重点高中高二上学期期末数学试题(解析版)

一、填空题1．“两条直线没有公共点”是“两条直线是异面直线”的__________条件．【答案】必要不充分【分析】两条直线没有公共点，得到异面或者平行，异面可以得到没有交点，得到答案.【详解】两条直线没有公共点，则两条直线平行或者异面两条直线是异面直线，则两条直线没有公共点“两条直线没有公共点”是“两条直线是异面直线”的必要不充分条件.故答案为必要不充分【点睛】本题考查了充分必要条件，属于基础题型.2．已知向量，则向量的坐标为______．()()()3,5,1,2,1,3,1,1,2a b c =-==-- 4a b c -+ 【答案】 ()5,012-，【分析】根据向量坐标运算法则即可求解.【详解】由题意可知，. ()()()()435121341,125012a b c -+=--+--=- ，，，，，，，故答案为： ()5,012-，3．已知球的体积是，则该球的半径为______． 9π2【答案】## 32 1.5【分析】根据球的体积公式，代入就可求得半径. 34π3V R =【详解】设球的半径为R ,根据球的体积公式,即，解得. 34π9π32V R ==3278R =32R =故答案为：. 324．从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是2的倍数的概率为______．【答案】##0.8 45【分析】列举出所有情况，及数字之积是2的倍数的情况，从而利用古典概型求概率公式求出答案.【详解】6张卡片中无放回随机抽取2张，有以下情况：，()()()()()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6，共有15种情况，()()()4,5,4,6,5,6其中数字之积是2的倍数的情况有，()()()()()()()()()()()()1,2,1,4,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,6,4,5,4,6,5,6共12种情况，故概率为. 124155=故答案为： 455．用斜二测画法画得的正方形的直观图的面积为______．【答案】16【分析】根据斜二测画法的原则得到直观图的对应边长关系，即可求出相应的面积．【详解】设原正方形的边长为，根据斜二测画法的原则可知，， a O C a ''=1122O A OA a ''==高， 1sin 452A D O A a '=''==∴对应直观图的面积为，故原正方形的面积为16，2a 216a =故答案为:16．6．将边长分别为和的矩形，绕边长为的一边所在直线旋转一周得到一个圆柱，则该3cm 2cm 3cm 圆柱的体积为______．3cm 【答案】12π【分析】确定圆柱的底面半径和母线长，利用侧面积求解公式可得.【详解】解：由题知，圆柱的底面半径为，母线长为，2cm r =3cm l =所以该圆柱的体积为2π12πV r l ==3cm 故答案为：．12π7．棱长为2的正四面体（所有棱长都相等）的侧棱与底面所成角的大小是______．【答案】【分析】设正四面体的顶点在平面中的投影为点，进而得是侧棱与底面所P ABC O PCO ∠PC ABC 成角，再根据几何关系求解即可.【详解】解：如图，设正四面体的顶点在平面中的投影为点，P ABC O 所以，由正四面体的性质可知，平面，且为等边三角形的中心，OP ⊥ABC O ABC 所以，是侧棱与底面所成角，且是等边三角形的边的中线，PCO ∠PC ABC OC ABC AB 因为正四面体的棱长为，-P ABC 2所以，OC=OP ==所以，在中，，Rt POC △tan OPPCO OC ∠==所以，侧棱与底面所成角的大小是故答案为：8．圆锥底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的侧面积为______． 2π3【答案】27π【分析】侧面积即为扇形面积，底面周长为扇形弧长，由此可得扇形半径，后可得答案.【详解】因底面半径为3，则底面周长即扇形弧长为，又圆心角为，则扇形半径为：2π36π⨯=2π3.则扇形面积即圆锥侧面积为：. 6923ππ=21292723ππ⨯⨯=故答案为：27π9．正三棱锥底面边长为4，则二面角的大小为______．-P ABC P BC A --【答案】【分析】根据题意分析可得二面角的平面角为，利用余弦定理运算求解.P BCA --PMA ∠【详解】取的中点，连接，BC M ,PM AM ∵，则，4,PB PC PA AB AC BC ======,PM BC AM BC ⊥⊥故二面角的平面角为，P BC A --PMA ∠由题意可得：，3,4PM AM PA ===∵，且， 222cos 2PM AM PA PMA PA AM +-∠==⋅[]0,πPMA ∠∈故二面角的大小为P BC A --故答案为：10．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为，母线（原圆雉母线在圆台中的1:4部分）长为9，则原圆锥的母线长______．【答案】12【分析】根据圆台的几何特征利用三角形相似即可求得结果.【详解】由题意可得，几何体如下图所示：取轴截面可知，圆台的上、下底面半径的比为，且， 14CD AB =//,9CD AB BD =设圆锥的母线长为，根据相似比可得，解得， l 914CD ED l AB EB l -===12l =即原圆锥的母线长为.12故答案为：.1211．在棱长为的正方体中，，分别是正方形、正方形的中a 1111ABCD A B C D -M N ABCD 11BB C C 心，则过点，，的平面截正方体的截面面积为______．A M N2【分析】连接AC ，, ,找到过点A 、、的平面截正方体的截面,确定其形状，求得截面1B C 1AB M N 边长，即可求得答案.【详解】如图连接AC ，则AC 过点M ,连接,则经过点N ,连接,1B C 1B C 1AB则过点A 、、的平面截正方体的截面为等边，M N 1ACB A 因为正方体棱长为，故， a 1ACBA22)= 212．设一组样本数据的方差为6，则数据的方差是______．128,,,x x x ⋅⋅⋅12831,31,,31x x x ++⋅⋅⋅+【答案】54【分析】设的平均数为，结合的方差为6，根据平均数和方差的计算公式得128,,,x x x ⋅⋅⋅x 128,,,x x x ⋅⋅⋅到的平均数和方差.12831,31,,31x x x ++⋅⋅⋅+【详解】设的平均数为，则，且128,,,x x x ⋅⋅⋅x 1288x x x x ⋅⋅+++=⋅，()()()2122288648x x x x x x ⋅⋅⋅-+-+-+=⨯=故的平均数为， 12831,31,,31x x x ++⋅⋅⋅+()128128383131313188x x x x x x x +⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅+=++=+方差为()()()8212223131313131318x x x x x x +--++--+⋅⋅⋅++--. ()()()22228194854898x x x x x x ⎡⎤⋅⋅⋅+⎢=-⎦+-+-⎥⨯⎣==故答案为：54二、单选题13．若直线的方向向量为，平面的法向量为，能使的是（）l r αn l α∥A ．B ． ()()1,0,0,1,0,0r n ==- ()()1,2,3,0,3,2r n =-=C ．D ． ()()0,1,1,1,0,1r n ==-- ()()1,3,5,1,0,1r n ==-【答案】B 【分析】由题意知，要使，则直线的方向向量与平面的法向量垂直，即.l α∥l r αn r ⋅n 0=【详解】若，则；l α∥r ⋅n 0=对于A ：，，故A 错误； ()()1,0,0,1,0,0r n ==- ()()1,0,01,0,010r n ⋅-=⋅=-≠ 对于B ：，，故B 正确；()()1,2,3,0,3,2r n =-= ()()1,2,30,3,20r n =-⋅⋅= 对于C ：，，故C 错误；()()0,1,1,1,0,1r n ==-- ()()0,1,11,0,110r n -⋅⋅-==-≠ 对于D ：，，故D 错误；()()1,3,5,1,0,1r n ==- ()()1,3,51,0,140r n =⋅-⋅=-≠ 故选：B.14．下列命题中真命题是（）A ．四边形一定是平面图形B ．相交于一点的三条直线只能确定一个平面C ．四边形四边上的中点可以确定一个平面D ．如果点，，平面，且，，平面，则平面与平面为同一平面A B C ∈αA B C ∈βαβ【答案】C【分析】利用平面的基本性质逐一判断即可．【详解】对于A ，四边形有平面四边形和空间四边形，由不共面的四个点构成的四边形为空间四边形，故A 错误；对于B ，三棱锥三条侧棱所在的直线相交于一点，但这三条直线不共面，故B 错误；对于C ，由四边形四边上的中点连线为平行四边形，平行四边形对边平行，所以四边形四边上的中点可以确定一个平面，故C 正确；下面证明四边形四边上的中点连线为平行四边形．证明：如图为四边形，其中，，，分别为，，，的中点，ABCD E F G H AD AB BC CD 连接，，，BD FE GH 由，为，，则，且，同理，且， E F AD AB FE BD ∥1=2FE BD GH BD ∥1=2GH BD 所以，且，所以四边形为平行四边形．FE GH A =FE GH EFGH对于D ，当点，，在一条直线上时，平面和与平面也可能相交，故D 错误．A B C αβ故选：C ．15．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为A ．B ．C ．D ． 7105838310【答案】B 【详解】试题分析：因为红灯持续时间为40秒,所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为，故选B. 40155408-=【解析】几何概型【名师点睛】对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．16．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A ．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B ．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C ．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D ．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间【答案】C【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为,故A 正确；0.020.040.066%+==该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为,故B 正确；0.040.0230.1010%+⨯==该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为,故D 正确；0.100.140.2020.6464%50%++⨯==>该地农户家庭年收入的平均值的估计值为30.0240.0450.1060.1470.2080.2090.10100.10110.04120.02130.02140.027.6⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(万元)，超过6.5万元，故C 错误.综上，给出结论中不正确的是C.故选：C.【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于. ⨯频率组距组距三、解答题17．某高中高一、高二、高三年级共有学生800名，各年级男、女生人数如下表：高一高二高三男生（人数）149 x y 女生（人数）143 130z已知在三个年级的学生中随机抽取1名，抽到高二年级男生的概率是0.16(1)求的值；x (2)现用分层抽样的方法在三个年级中共抽取32名学生，应从高三年级抽取多少名?【答案】(1)128.(2)10名.【分析】（1）根据抽到高二年级男生的概率是0.16，列式计算，可得答案.（2）求出高三年级的总人数，根据分层抽样的比例，列式计算，求得答案.【详解】（1）由题意可知. 0.16,128800x x =∴=（2）高三年级人数为，800(149143)(128130)250-+-+=故用分层抽样的方法在三个年级中共抽取32名学生，应从高三年级抽取人数为（名）. 2503210800⨯=18．甲乙两名射击运动员在某次选拔赛中的成绩的茎叶图为：甲乙 1 10 3 33 3 6 7 7 9 92 23 6 68 8 8 8 9如果以这个成绩为依据选择一个人参加正赛，从平均水平和稳定性的角度出发应该选择谁？用统计学相关数据说明你选择的理由．【答案】选择甲，理由见解析【分析】分别求出，和，，然后比较大小即可求解. x 甲x 乙2S 甲2S 乙【详解】依题意，， 888893939697979910129493x ++++++++==甲， 8889929293969610310329493x ++++++++==乙 2222212222889488949394939493333S ⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎣甲 222222222296949794979499941019416633333⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+-=⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎥⎦2222212222889489949294929493333S ⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎣乙， 2222222222939496949694103941039423633333⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+-=⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎥⎦所以，.x x =甲乙22S S <甲乙所以从平均水平和稳定性的角度出发应该选择甲.19．三棱锥中，，分别为，中点，，A BCD -O E BD BC 2CA CB CD BD ====AB AD ==(1)求证：平面；AO ⊥BCD (2)求异面直线与所成角的大小．AB CD 【答案】(1)证明见解析.(2).【分析】（1）连接，证明，,根据线面垂直的判定定理即可证明结论； OC AO BD ⊥AO OC ⊥（2）取的中点M ，连接，找到异面直线与所成角，求出相关线段长，AC OM ME OE 、、AB CD 解三角形，即可求得答案.【详解】（1）连接，∵ O 为的中点， OC AB AD ==BD∴，,且, AO BD ⊥112OD BD ==1AO ===又，O 为的中点，2CA CB CD BD ====BD∴，且，CO BD ⊥CO ===在中，，AOC A 2224AO CO AC =+=∴，即，=90AOC ∠︒AO OC ⊥又平面，,,OC BD O OC BD =⊂ BCD ∴平面.AO ⊥BCD （2）取的中点M ，连接， AC OM ME OE 、、由E 为的中点，知，BC ,ME AB OE DC ∥∥∴直线与所成的角就是异面直线与所成角或其补角，OE EM AB CD 在中，，， OMEV 12EM AB ==112OE DC ==由平面，平面,所以,AO ⊥BCD OC ⊂BCD AO OC ⊥∵是直角三角形斜边上的中线，∴, OM AOC 112OM AC ==在中，由余弦定理可得：OEM △222cos 2OE EM OM OEM OE EM +-∠=⋅==由于异面直线所成角的范围为， π(0,2所以异面直线与所成角的大小为. AB CD 20．如图所示的正四棱柱的底面边长为，侧棱,点在棱上，1111ABCD A B C D -112AA =E 1CC 且().1=CE CC λ 0λ>（1）当时，求三棱锥的体积； 1=2λ1D EBC -（2）当异面直线与所成角的大小为时，求的值. BE 1D C 2arccos 3λ【答案】(1) (2) 16λ=【详解】试题分析：（1）正四棱柱中，平面，可得1111ABCD A B C D -11D C ⊥EBC；（2）以为原点，射线、、作轴、11113D EBC Rt ECB V S D C -∆=⋅111326CE BC =⨯⋅=D DA DC 1DD x y 轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系，可得，，利用空间向量夹z ()10,1,2D C =- ()1,0,2BE λ=- 角余弦公式列方程求解即可.试题解析：（1）由，得，又正四棱柱，则平面， 11=2CE CC 1CE =1111ABCD A B C D -11D C ⊥EBC 则 . 11113D EBC Rt ECB V S D C -∆=⋅111326CE BC =⨯⋅=（2）以为原点，射线、、作轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系（如D DA DC 1DD x y z 图），则，，，，()1,1,0B ()0,1,2E λ()10,0,2D ()0,1,0C 即，()10,1,2D C =- ()1,0,2BE λ=- 又异面直线与所成角的大小为， BE 1D C2arccos 3则23化简整理得，又，即. 2165λ=0λ>λ=【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求异面直线所成的角角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 21．如图，等腰，，点是的中点，绕所在的边逆时针旋转一Rt AOB △2OA OB ==C OB AOB A BO 周．设逆时针旋转至，旋转角为，．OA OD θ[)0,2θ∈π(1)求旋转一周所得旋转体的体积和表面积；ABC A V S (2)当时，求点到平面的距离； π3θ=O ABD (3)若，求旋转角．AC BD ⊥θ【答案】(1)， . 4π3V =S =+(3)或. 2π3θ=4π3θ=【分析】(1) 旋转体的体积为圆锥与圆锥的体积之差; 表面积为圆锥与圆锥的侧面BO CO S BO CO 积之和;(2)三棱锥与三棱锥体积相等,使用等积转化法求点到平面的距离；B AOD -O ABD -O ABD (3) 取中点,连接,得,在求得,在中由余弦定理得OD E ,CE AE AC CE ⊥Rt ACE A AE AOE △cos AOE ∠,从而求得旋转角．θ【详解】（1）设底面半径为,圆锥底面面积为,底面周长, 母线R BO 2π4πS R '==4πL =.AB ==圆锥的体积，侧面积. BO 1118π4π2333V S BO '=⋅=⨯⨯=14π22L S AB =⨯=⨯=圆锥的体积，CO 1114π4π1333V S CO '=⋅=⨯⨯=AC ==. 24π22L S AC =⨯==旋转一周所得旋转体的体积. ABC A 124π3V V V =-=旋转一周所得旋转体表面积.ABC A 12S S S =+=+（2）,π,3OA OD AD θ=∴== 2AOD S R ∴=A, ∴11233B AOD AOD V S OB -=⋅==A 在中,连接,取的中点,连接, ABD △AD AD M BM,, 2BA BD AD ===BM ===所以11222ABD S AD BM =⋅⋅=⨯=A 设点到平面的距离为，O ABD h，13O ABD ABD B AOD V S h V --∴=⋅=A 13h ∴=h ∴=即点到平面O ABD （3）取中点,连接, OD E ,CE AE, 1//,2CE BD CE BD ∴==,,AC BD AC CE ⊥∴⊥在中,Rt ACE A AC CE ==AE ∴=在中,由余弦定理得, AOE △2,1,OA OE AE ==2224171cos 22212OA OE AE AOE OA OE +-+-∠===-⋅⋅⨯⨯，， ()0,AOE ∈π∠ 2π3AOE ∴∠=,或. [)0,2θπ∈ 2π3θ∴=4π3θ=。

上海市高二上学期数学期末考试试卷含答案

第一学期高二数学期末考试试卷注意事项：1．考试时间：90分钟试卷满分：100分；2．本试卷由填空题、选择题和解答题三大题组成，共19题；3．测试范围：必修三《第10章空间直线与平面》、《第11章简单几何体》、《第12 章概率初步》、第13章《统计》+选择性必修一《第3 章空间向量及其应用》、《第1章平面直角坐标系中的直线》、第2章《圆锥曲线》 2.1 圆；一、填空题（本大题共有10题，满分34分；其中1-6题每题3分，7-10题每题4分）1、某医院对某学校高三年级的600名学生进行身体健康调查，采用男女分层抽样法抽取一个容量为50的样本，己知女生比男生少抽了10人，则该年级的女生人数是_________．2、如图所示，下列空间图形中，①图(1)是圆柱；②图(2)是圆锥；③图(3)是圆台．上述说法正确的个数为________．3、三条两两相交的直线最多可确定的平面的个数为________．4、如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC.若所有的棱长都是2，则异面直线AC1与BC所成的角的正弦值为5、如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AA1，C1D1的中点，过D，M，N三点的平面与直线A1B1交于点P，则线段PB1的长为________．6、如图所示的正方体的棱长为4，E ，F 分别为A 1D 1，AA 1的中点，则过C 1，E ，F 的截面的周长为________．7、若三条直线OA ，OB ，OC 两两垂直，则直线OA 垂直于________．(填序号)①平面OAB ；②平面OAC ；③平面OBC ；④平面ABC .8、经过点A (1,1)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的直线方程是__________．9、已知点P 是直线x ＋y ＋6＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 为切点，C 为圆心，则当四边形P ACB 的面积最小时，点P 的坐标为________． 10、已知一组数据12,,,n x x x 的平均数6x =，方差221s =，去掉一个数据之后，剩余数据的平均数没有变，方差变为24，则这组数据的个数n =__________.二、选择题（本大题共有4题，满分16分；其中每题4分）11、下列命题中，正确的是( )A ．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的空间图形叫棱台C ．圆台的所有平行于底面的截面都是圆D ．棱柱的一条侧棱就是棱柱的高12、如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AM ＝2MA 1，BN ＝2NB 1，过MN 作一平面交底面三角形ABC 的边BC ，AC 于点E ，F ，则( )A ．MF ∥NEB ．四边形MNEF 为梯形C ．四边形MNEF 为平行四边形D ．A 1B 1∥NE13、若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且()2P A a =-，()45P B a =-，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．53,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．54,43⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．54,43⎛⎤ ⎥⎝⎦14、设实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，那么y x 的最大值是( ) A ．12 B ．33 C ．32D ． 3三、解答题（本大题共有5题，满分50分）15、（本题8分）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是弧AB 上的一点，D ，E 分别是VB ，VC 的中点，求异面直线DE 与AC 所成的角的大小为________．16、（本题8分）如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，P A ＝AB ，D 为PB 的中点，则下列结论正确的序号是；并说明理由；A ．BC ⊥平面P ABB ．AD ⊥PCC ．AD ⊥平面PBCD ．PB ⊥平面ADC17、（本题10分）从2名男生（记为1A,2A）和2名女生（记为1B,2B）这4人中一次性选取2名学生参加象棋比赛（每人被选到的可能性相同）.（1）请写出该试验的样本空间 ;（2）设事件M为“选到1名男生和1名女生”,求事件M发生的概率;（3）若2名男生1A,2A所处年级分别为高一、高二,2名女生1B,2B所处年级分别为高一、高二,设事件N为“选出的2人来自不同年级且至少有1名女生”,求事件N发生的概率.18、（本题12分）冬奥会的全称是冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行．为了弘扬奥林匹克精神，增强学生的冬奥会知识，某市某中学校从全校随机抽取50名学生参加冬奥会知识竞赛，并根据这50名学生的竞赛成绩，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间[40,50),[50,60),,[80,90),[90,100]．(1)求频率分布直方图中a的值：(2)求这50名学生竞赛成绩的众数和中位数．（结果保留一位小数）19、（本题12分）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．（1）求证：B1E⊥AD1；（2）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；（3）若平面AB1E与平面A1B1E夹角的大小为30°，求AB的长．参考答案注意事项：1．考试时间：90分钟试卷满分：100分；2．本试卷由填空题、选择题和解答题三大题组成，共19题；3．测试范围：必修三《第10章空间直线与平面》、《第11章简单几何体》、《第12 章概率初步》、第13章《统计》+选择性必修一《第3 章空间向量及其应用》、《第1章平面直角坐标系中的直线》、第2章《圆锥曲线》 2.1 圆；二、填空题（本大题共有10题，满分34分；其中1-6题每题3分，7-10题每题4分）1、某医院对某学校高三年级的600名学生进行身体健康调查，采用男女分层抽样法抽取一个容量为50的样本，己知女生比男生少抽了10人，则该年级的女生人数是_________．【答案】240【详解】抽取比例为50160012=，设该年级的女生人数是x，则男生人数为600x-，因为女生比男生少抽了10人，所以11(600)101212x x=--，解得240x=，故答案为：240.2、如图所示，下列空间图形中，①图(1)是圆柱；②图(2)是圆锥；③图(3)是圆台．上述说法正确的个数为________．【答案】0；【解析】图(1)不是圆柱，因为从其轴截面可以看出，该空间图形不是由矩形绕其一边所在直线旋转一周得到的；图(2)不是圆锥，因为该空间图形不是由直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周得到的；图(3)不是圆台，因为该空间图形的上、下底面所在的平面不平行，不是由平行于圆锥底面的平面截得的．3、三条两两相交的直线最多可确定的平面的个数为________．【答案】3【解析】在空间中，两两相交的三条直线最多可以确定3个平面，如图所示：PA ，PB ，PC 相交于一点P ，且PA ，PB ，PC 不共面，则PA ，PB 确定一个平面PAB ，PB ，PC 确定一个平面PBC ，PA ，PC 确定一个平面PAC .4、如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC .若所有的棱长都是2，则异面直线AC 1与BC 所成的角的正弦值为【答案】144；【解析】如图，连接AB 1，∵BC ∥B 1C 1，∴∠AC 1B 1就是异面直线AC 1与BC 所成的角．在△AC 1B 1中，AC 1＝AB 1＝22，B 1C 1＝2，∴cos ∠AC 1B 1＝122＝24.∴sin ∠AC 1B 1＝144. ∴异面直线AC 1与BC 所成的角的正弦值为144. 5、如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AA 1，C 1D 1的中点，过D ，M ，N 三点的平面与直线A 1B 1交于点P ，则线段PB 1的长为________．【答案】34a 【解析】延长DM 交D 1A 1的延长线于点G ，连接GN 交A 1B 1于点P .由M ，N 分别为AA 1，C 1D 1的中点知，P 在A 1B 1的14(靠近A 1)处，故线段PB 1的长为34a .6、如图所示的正方体的棱长为4，E ，F 分别为A 1D 1，AA 1的中点，则过C 1，E ，F 的截面的周长为________．【答案】45＋62；【解析】由EF ∥平面BCC 1B 1可知，平面BCC 1B 1与平面EFC 1的交线为BC 1，平面EFC 1与平面ABB 1A 1的交线为BF ，所以截面周长为EF ＋FB ＋BC 1＋C 1E ＝45＋6 2.7、若三条直线OA ，OB ，OC 两两垂直，则直线OA 垂直于________．(填序号)①平面OAB ；②平面OAC ；③平面OBC ；④平面ABC .【答案】③；【解析】由线面垂直的判定定理知OA 垂直于平面OBC ；8、经过点A (1,1)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的直线方程是__________．【答案】x －y ＝0或x ＋y －2＝0【解析】若直线在x 轴上的截距为0，可设直线方程为y ＝kx ，将A (1,1)代入，得k ＝1，∴直线方程为y ＝x .若直线在x 轴上的截距不为0，可设直线方程为x ＋y ＝a ，将A (1,1)代入，得a ＝2，∴直线方程为x ＋y ＝2.9、已知点P 是直线x ＋y ＋6＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 为切点，C 为圆心，则当四边形P ACB 的面积最小时，点P 的坐标为________．【答案】(－3，－3)【解析】如图所示，四边形PACB 的面积S ＝2S △PAC ＝|PA |·|AC |＝|PA |＝|PC |2－1，要使S 最小，需|PC |最小，当CP 与直线x ＋y ＋6＝0垂直时，|PC |取得最小值，此时直线PC 的方程为y －1＝x －1，即x －y ＝0，与方程x ＋y ＋6＝0联立得P (－3，－3)．10、已知一组数据12,,,n x x x 的平均数6x =，方差221s =，去掉一个数据之后，剩余数据的平均数没有变，方差变为24，则这组数据的个数n =__________.【答案】8【详解】因为去掉一个数据之后，数据的平均数没有变，所以去掉的数据为6，去掉6后方差变为24，故得到()24121-=n n ，解得：8n =故答案为：8；二、选择题（本大题共有4题，满分16分；其中每题4分）11、下列命题中，正确的是( )A ．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的空间图形叫棱台C ．圆台的所有平行于底面的截面都是圆D ．棱柱的一条侧棱就是棱柱的高【答案】A【解析】用一个平行于底面的平面截棱锥，底面与截面之间的部分组成的空间图形叫棱台，B 错误．圆台的所有平行于底面的截面都是圆面，C 错误．立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱，当把这摞书推倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，D 错误．12、如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AM ＝2MA 1，BN ＝2NB 1，过MN 作一平面交底面三角形ABC 的边BC ，AC 于点E ，F ，则( )A ．MF ∥NEB ．四边形MNEF 为梯形C ．四边形MNEF 为平行四边形D ．A 1B 1∥NE【答案】B【解析】∵在▱AA 1B 1B 中，AM ＝2MA 1，BN ＝2NB 1，∴AM ∥BN ，且AM ＝BN ，∴四边形ABNM 是平行四边形，∴MN ∥AB .又MN ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴MN ∥平面ABC .又MN ⊂平面MNEF ，平面MNEF ∩平面ABC ＝EF ，∴MN ∥EF ，∴EF ∥AB ，显然在△ABC 中，EF ≠AB ，∴EF ≠MN ，∴四边形MNEF 为梯形．故选B. 13、若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且()2P A a =-，()45P B a =-，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．53,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．54,43⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．54,43⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【详解】随机事件A 、B 互斥，A 、B 发生的概率均不等于0，且()2P A a =-，()45P B a =-， ∴0()10()1()()1P A P B P A P B <<⎧⎪<<⎨⎪+⎩，即021*******a a a <-<⎧⎪<-<⎨⎪-⎩，解得5443a <，即54,43a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．故选：D ．14、设实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，那么y x的最大值是( ) A ．12 B ．33 C ．32D ． 3【答案】D【解析】令yx＝k，则y＝kx，∴kx－y＝0，问题转化为直线kx－y＝0与圆有关系，则|2k－0|1＋k2≤3，∴k2≤3，∴－3≤k≤3，故yx的最大值为3，故选D．三、解答题（本大题共有5题，满分50分）15、（本题8分）如图，AB是圆O的直径，点C是弧AB上的一点，D，E分别是VB，VC的中点，求异面直线DE与AC所成的角的大小为________．【答案】90°【解析】∵在△VBC中，E，D分别为VC，VB的中点，∴DE∥BC，∴异面直线DE与AC所成的角即为BC与AC所成的角，即为∠ACB＝90°.16、（本题8分）如图，在三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，AB⊥BC，P A＝AB，D为PB的中点，则下列结论正确的序号是；并说明理由；A．BC⊥平面P ABB．AD⊥PCC．AD⊥平面PBCD．PB⊥平面ADC【答案】ABC【解析】∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，故A正确；由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，又PA＝AB，D是PB的中点，∴AD⊥PB，又PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC，∴AD⊥平面PBC，故C正确；∴AD ⊥PC ，故B 正确． 17、（本题10分）从2名男生（记为1A ,2A ）和2名女生（记为1B ,2B ）这4人中一次性选取2名学生参加象棋比赛（每人被选到的可能性相同）.（1）请写出该试验的样本空间Ω;（2）设事件M 为“选到1名男生和1名女生”,求事件M 发生的概率;（3）若2名男生1A ,2A 所处年级分别为高一、高二,2名女生1B ,2B 所处年级分别为高一、高二,设事件N 为“选出的2人来自不同年级且至少有1名女生”,求事件N 发生的概率.【答案】(1){}121112212212(,),(,),(,),(,),(,),(,)A A A B A B A B A B B B ；(2)23；(3)12【详解】（1）解:由题知,样本空间Ω为{}121112212212(,),(,),(,),(,),(,),(,)A A A B A B A B A B B B ;（2）由(1)知,所有的可能结果数为6个,其中满足事件M 得结果数有4个；故()4263M P ==; （3）由(1)知,所有的可能结果数为6个,其中满足事件N 得结果数有3个；故()3162N P ==.18、（本题12分）冬奥会的全称是冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行．为了弘扬奥林匹克精神，增强学生的冬奥会知识，某市某中学校从全校随机抽取50名学生参加冬奥会知识竞赛，并根据这50名学生的竞赛成绩，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间[40,50),[50,60),,[80,90),[90,100]．(1)求频率分布直方图中a 的值： (2)求这50名学生竞赛成绩的众数和中位数．（结果保留一位小数）【答案】(1)0.006a =；(2)众数75；中位数76.4(1)由(0.0040.0180.02220.028)101a +++⨯+⨯=,得0.006a =(2)50名学生竞赛成绩的众数为7080752+= 设中位数为m ,则0.040.060.22(70)0.0280.5m +++-⨯=，解得76.4m ≈ 所以这50名学生竞赛成绩的中位数为76.419、（本题12分）如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 的中点．（1）求证：B 1E ⊥AD 1；（2）在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由；（3）若平面AB 1E 与平面A 1B 1E 夹角的大小为30°，求AB 的长．【解析】（1）证明以A 为原点，AB →，AD →，AA 1→的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB ＝a ，则A (0,0,0)，D (0,1,0)，D 1(0,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫a 2，1，0，B 1(a,0,1)．故AD 1→＝(0,1,1)，B 1E —→＝⎝⎛⎭⎫－a 2，1，－1，AB 1→＝(a,0,1)，AE →＝⎝⎛⎭⎫a 2，1，0.∵AD 1→·B 1E —→＝－a 2·0＋1×1＋(－1)×1＝0， ∴B 1E ⊥AD 1.（2）解假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)(0≤z 0≤1)，使得DP ∥平面B 1AE ，此时DP →＝(0，－1，z 0)．设平面B 1AE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．则n ⊥AB 1→，n ⊥AE →，得⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋z ＝0，ax 2＋y ＝0. 取x ＝1，得平面B 1AE 的一个法向量n ＝⎝⎛⎭⎫1，－a 2，－a . 要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP →，即n ·DP →＝0，a 2－az 0＝0，解得z 0＝12. 又DP ⊄平面B 1AE ，∴存在点P ，使得DP ∥平面B 1AE ，此时AP ＝12. （3）连接A 1D ，B 1C ，由ABCD －A 1B 1C 1D 1为长方体及AA 1＝AD ＝1，得AD 1⊥A 1D . ∵B 1C ∥A 1D ，∴AD 1⊥B 1C ，又由(1)知B 1E ⊥AD 1，且B 1C ∩B 1E ＝B 1，B 1C ，B 1E ⊂平面DCB 1A 1， ∴AD 1⊥平面DCB 1A 1，∴AD 1→是平面DCB 1A 1即平面A 1B 1E 的一个法向量，且AD 1→＝(0,1,1)．设AD 1→与n 所成的角为θ，则cos θ＝n ·AD 1→|n |·|AD 1→|＝－a 2－a 2×1＋a 24＋a 2. ∵平面AB 1E 与平面A 1B 1E 夹角的大小为30°，∴|cos θ|＝cos 30°，即3a22×1＋5a 24＝32. 解得a ＝2，即AB 的长为2.。

上海市2021-2021年高二上期末数学试卷含答案解析

高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．椭圆x2+4y2=100的长轴长为______．2．已知直线l的一个方向向量的坐标是，则直线l的倾斜角为______．3．已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是______．4．行列式中﹣3的代数余子式的值为______．5．已知△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，1），C（3，6），则AC边上的中线BM 所在直线的方程为______．6．已知直线l1的方程为3x﹣y+1=0，直线l2的方程为2x+y﹣3=0，则两直线l1与l2的夹角是______．7．用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是______．8．执行如图所示的程序框图，若输入p的值是6，则输出S的值是______．9．若圆C的方程为x2+y2﹣2ax﹣1=0，且A（﹣1，2），B（2，1）两点中的一点在圆C的内部，另一点在圆C的外部，则a的取值范围是______．10．若，且存在，则实数a的取值范围是______．11．已知直线l1过点P（1，4）且与x轴交于A点，直线l2过点Q（3，﹣1）且与y轴交于B点，若l1⊥l2，且，则点M的轨迹方程为______．12．如图所示，△ABC是边长为4的等边三角形，点P是以点C为圆心、3为半径的圆上的任意一点，则的取值范围是______．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分.13．点（a ，b ）关于直线x +y=1的对称点的坐标是（）A ．（1﹣b ，1﹣a ）B ．（1﹣a ，1﹣b ）C ．（﹣a ，﹣b ）D ．（﹣b ，﹣a ） 14．若位于x 轴上方、且到点A （﹣2，0）和B （2，0）的距离的平方和为18的点的轨迹为曲线C ，点P 的坐标为（a ，b ），则“”是“点P 在曲线C 上”的（） A ．.充分不必要条件 B ．.必要不充分条件C ．.充要条件D ．既非充分又非必要条件15．在圆x 2+y 2﹣2x ﹣6y=15内，过点E （0，1）的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则|AC |•|BD |的值为（）A ．B ．C ．D ．16．对数列{a n }，{b n }，若对任意的正整数n ，都有[a n +1，b n +1]⊊[a n ，b n ]且，则称[a 1，b 1]，[a 2，b 2]，…为区间套．下列选项中，可以构成区间套的数列是（） A ． B ．C ．D ．三、解答题（本大题满分56分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤.17．已知两直线l 1：x +（m +1）y +m ﹣2=0，l 2：mx +2y +8=0．（1）当m 为何值时，直线l 1与l 2垂直；（2）当m为何值时，直线l1与l2平行．18．在直角△ABC中，∠C是直角，顶点A，B的坐标分别为（﹣4，4），（2，﹣4），圆E 是△ABC的外接圆．（1）求圆E的方程；（2）求过点M（4，10）且与圆E相切的直线的方程．19．已知是不平行的两个向量，k是实数，且．（1）用表示；（2）若，记，求f（k）及其最小值．20．在数列{a n}中，，且对任意n∈N*，都有．（1）计算a2，a3，a4，由此推测{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）若，求无穷数列{b n}的各项之和与最大项．21．已知点P是曲线上的动点，延长PO（O是坐标原点）到Q，使得|OQ|=2|OP|，点Q的轨迹为曲线C2．（1）求曲线C2的方程；（2）若点F1，F2分别是曲线C1的左、右焦点，求的取值范围；（3）过点P且不垂直x轴的直线l与曲线C2交于M，N两点，求△QMN面积的最大值．高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．椭圆x2+4y2=100的长轴长为20．【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的简单性质求解．【解答】解：椭圆x2+4y2=100化为标准形式，得：=1，∴a=10，b=5，∴椭圆x2+4y2=100的长轴长为2a=20．故答案为：20．2．已知直线l的一个方向向量的坐标是，则直线l的倾斜角为．【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π），则tanθ=﹣，即可得出．【解答】解：设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0，π），则tanθ=﹣，∴θ=．故答案为：．3．已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是．【考点】系数矩阵的逆矩阵解方程组．【分析】先利用增广矩阵，写出相应的二元一次方程组，然后再求解即得．【解答】解：由题意，方程组解之得故答案为4．行列式中﹣3的代数余子式的值为﹣5．【考点】三阶矩阵．【分析】写出行列式的﹣3的代数余子式，再计算，即可得到结论．【解答】解：由题意，行列式中﹣3的代数余子式为﹣=﹣（3+2）=﹣5故答案为：﹣55．已知△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，1），C（3，6），则AC边上的中线BM 所在直线的方程为3x﹣2y+2=0．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】由AC的中点M（2，4），利用两点式方程能求出AC边上的中线所在的直线方程．【解答】解：∵AC的中点M（2，4），∴AC边上的中线BM所在的直线方程为：=，整理，得3x﹣2y+2=0，故答案为：3x﹣2y+2=0．6．已知直线l1的方程为3x﹣y+1=0，直线l2的方程为2x+y﹣3=0，则两直线l1与l2的夹角是．【考点】两直线的夹角与到角问题．【分析】设直线l1与l2的夹角的大小为θ，求出直线的斜率，则由题意可得tanθ=||=1，由此求得θ的值．【解答】解：设直线l1与l2的夹角的大小为θ，则θ∈[0，π），由题意可得直线l1的斜率为3，直线l2的斜率为﹣2，tanθ=||=1，解得θ=，故答案为：．7．用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是2k．【考点】数学归纳法．【分析】观察不等式左侧的特点，分母数字逐渐增加1，末项为，然后判断n=k+1时增加的项数即可．【解答】解：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为；由n=k，末项为到n=k+1，末项为，∴应增加的项数为2k．故答案为2k．8．执行如图所示的程序框图，若输入p的值是6，则输出S的值是．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图及已知中p输入6，可得：进入循环的条件为n＜6，即n=1，2，…，5，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解答】解：当n=1时，S=0+2﹣1=；当n=2时，S=+2﹣2=；当n=3时，S=+2﹣3=；当n=4时，S=+2﹣4=；当n=5时，S=+2﹣5=；当n=6时，退出循环，则输出的S为：．故答案为：．9．若圆C的方程为x2+y2﹣2ax﹣1=0，且A（﹣1，2），B（2，1）两点中的一点在圆C的内部，另一点在圆C的外部，则a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）．【考点】点与圆的位置关系．【分析】根据A，B与圆的位置关系讨论列出不等式解出a．【解答】解：（1）若A在圆内部，B在圆外部，则，解得a＜﹣2．（2）若B在圆内部，A在圆外部，则，解得a＞1．综上，a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）．故答案为（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）．10．若，且存在，则实数a的取值范围是﹣1≤a ＜2．【考点】极限及其运算．【分析】根据得出﹣1＜＜1，再根据存在得出﹣1＜≤1，由此求出实数a的取值范围．【解答】解：∵，∴=，∴﹣1＜＜1，解得﹣4＜a＜2；又存在，∴﹣1＜≤1，解得﹣1≤a＜3；综上，实数a的取值范围是﹣1≤a＜2．故答案为：﹣1≤a＜2．11．已知直线l1过点P（1，4）且与x轴交于A点，直线l2过点Q（3，﹣1）且与y轴交于B点，若l1⊥l2，且，则点M的轨迹方程为9x+6y+1=0．【考点】轨迹方程；向量数乘的运算及其几何意义．【分析】先设M（x，y），可讨论l1是否存在斜率：（1）不存在斜率时，可求出A（1，0），B（0，﹣1），从而由可以求出x=，即点M（），（2）存在斜率时，可设斜率为k，从而可以分别写出直线l1，l2的方程，从而可以求出，这样根据便可用k分别表示出x，y，这样消去k便可得出关于x，y的方程，并验证点是否满足该方程，从而便得出点M的轨迹方程．【解答】解：设M（x，y），（1）若l1不存在斜率，则：l1垂直x轴，l2垂直y轴；∴A（1，0），B（0，﹣1）；∴由得，（x﹣1，y）=2（﹣x，﹣1﹣y）；∴；∴；即；（2）若l1斜率为k，l2斜率为，则：l1：y﹣4=k（x﹣1），令y=0，x=；∴；l2：，令x=0，y=；∴；∴由得，；∴；∴消去k并整理得：9x+6y+1=0；点满足方程9x+6y+1=0；综（1）（2）知，点M的轨迹方程为9x+6y+1=0．故答案为：9x+6y+1=0．12．如图所示，△ABC是边长为4的等边三角形，点P是以点C为圆心、3为半径的圆上的任意一点，则的取值范围是[﹣20，4]．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】首先建立平面直角坐标系：以C为原点，平行于AB的直线为x轴，这样便可建立坐标系，然后便可根据条件确定出A，B点的坐标，并根据题意设P（3cosθ，3sinθ），从而可求出的坐标，进行数量积的坐标运算便得出，这样根据﹣1≤cosθ≤1便可求出的取值范围．【解答】解：如图，以C为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴，垂直于AB的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则：；点P是以点C为圆心、3为半径的圆上的任意一点；∴设P（3cosθ，3sinθ）；∴；∴；∵﹣1≤cosθ≤1；∴﹣20≤﹣12cosθ﹣8≤4；∴的取值范围为[﹣20，4]．故答案为：[﹣20，4]．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分.13．点（a，b）关于直线x+y=1的对称点的坐标是（）A．（1﹣b，1﹣a）B．（1﹣a，1﹣b）C．（﹣a，﹣b）D．（﹣b，﹣a）【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】设出对称点的坐标列出方程组求解即可．【解答】解：点（a，b）关于直线x+y=1对称的点为（x，y），则，解得：，故选：A．14．若位于x轴上方、且到点A（﹣2，0）和B（2，0）的距离的平方和为18的点的轨迹为曲线C，点P的坐标为（a，b），则“”是“点P在曲线C上”的（）A．.充分不必要条件B．.必要不充分条件C．.充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由题意可得：（a+2）2+b2+（a﹣2）2+b2=18，化为a2+b2=5，（b＞0）．即可判断出结论．【解答】解：由题意可得：（a+2）2+b2+（a﹣2）2+b2=18，化为a2+b2=5，（b＞0）．∴“点P在曲线C上”⇒“”，反之也成立．∴“”是“点P在曲线C上”的充要条件．故选：C．15．在圆x2+y2﹣2x﹣6y=15内，过点E（0，1）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则|AC|•|BD|的值为（）A．B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径，根据图形可知，过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦BD，根据两点间的距离公式求出ME的长度，根据垂径定理得到E为BD的中点，在直角三角形BME中，根据勾股定理求出BE，则BD=2BE，即可求出AC与BD的乘积．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y﹣3）2=25，则圆心坐标为（1，3），半径为5，根据题意画出图象，如图所示：由图象可知：过点E最长的弦为直径AC，最短的弦为过E与直径AC垂直的弦，则AC=10，MB=5，ME=，所以BD=2BE=2=4，所以|AC|•|BD|=10•4=40．故选：C．16．对数列{a n }，{b n }，若对任意的正整数n ，都有[a n +1，b n +1]⊊[a n ，b n ]且，则称[a 1，b 1]，[a 2，b 2]，…为区间套．下列选项中，可以构成区间套的数列是（） A ． B ．C ．D ．【考点】数列的极限．【分析】对于A ，运用数列的极限，即可判断；对于B ，运用n=1时，两区间的关系，即可判断；对于C ，运用n=1时，判断两区间的关系，即可得到结论；对于D ，运用指数函数的单调性和数列的极限的公式，计算即可得到结论．【解答】解：对于A ，（b n ﹣a n ）=﹣=2﹣1=1≠0，故不构成区间套；对于B ，当n=1时，[a 1，b 1]=[，]，[a 2，b 2]=[，]，显然不满足[a 2，b 2]⊊[a 1，b 1]，故不构成区间套；对于C ，当n=1时，[a 1，b 1]=[，]，[a 2，b 2]=[，]，显然不满足[a 2，b 2]⊊[a 1，b 1]，故不构成区间套对于D ，由1﹣（）n ＜1﹣（）n +1＜1+（）n +1＜1+（）n ，满足[a n +1，b n +1]⊊[a n ，b n ]；又（b n ﹣a n ） =[1﹣（）n ]﹣[1+（）n ]=1﹣1=0，故构成区间套．故选：D ．三、解答题（本大题满分56分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤.17．已知两直线l 1：x +（m +1）y +m ﹣2=0，l 2：mx +2y +8=0．（1）当m 为何值时，直线l 1与l 2垂直；（2）当m 为何值时，直线l 1与l 2平行．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】（1）利用两直线垂直的充要条是 A 1A 2+B 1B 2=0，可得 1×m +（1+m ）•2=0，由此求得解得m 的值．（2）由两直线平行的充要条件是=≠，由此求得解得m 的值．【解答】解：（1）∵两条直线l 1：x +（1+m ）y +m ﹣2=0，l 2：mx +2y +8=0，由两直线垂直的充要条件可得 A 1A 2+B 1B 2=0，即1×m+（1+m）•2=0，解得m=﹣．（2）由两直线平行的充要条件可得=≠，即=≠，解得：m=1．18．在直角△ABC中，∠C是直角，顶点A，B的坐标分别为（﹣4，4），（2，﹣4），圆E 是△ABC的外接圆．（1）求圆E的方程；（2）求过点M（4，10）且与圆E相切的直线的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）根据直角三角形的性质，求出圆心坐标和半径即可得到结论．（2）根据直线和圆相切的性质，建立方程关系进行求解即可．【解答】解：（1）∵在直角△ABC中，∠C是直角，顶点A，B的坐标分别为（﹣4，4），（2，﹣4），∴AB是直径，则AB的中点（﹣1，0），即圆心E（﹣1，0），半径R=|BE|====5，则圆E的方程为（x+1）2+y2=25．（2）∵（4+1）2+102=125＞25，∴点M在圆外，当切线斜率不存在时，此时切线方程为x=4，到圆心的距离d=4﹣（﹣1）=5．此时满足直线和圆相切，当直线斜率存在时，设为k，则切线方程为y﹣10=k（x﹣4），即kx﹣y+10﹣4k=0，则圆心到直线的距离d===5，即|2﹣k|=，平方得4﹣4k+k2=1+k2，即4k=3，则k=，此时切线方程为3x﹣4y+28=0，综上求过点M（4，10）且与圆E相切的直线的方程为3x﹣4y+28=0或x=4．19．已知是不平行的两个向量，k是实数，且．（1）用表示；（2）若，记，求f（k）及其最小值．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）==k+=k（）+，（2）利用（1）的结论，对取平方，转化为二次函数求最值．【解答】解：（1）==k+=k（）+=（1﹣k）+k．（2）=2×=﹣1．∴||2=[（1﹣k）+k]2=4（1﹣k）2+k2﹣2k（1﹣k）=7k2﹣10k+4=7（k﹣）2+．∴f（k）=．f（k）的最小值为=．20．在数列{a n}中，，且对任意n∈N*，都有．（1）计算a2，a3，a4，由此推测{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明；（2）若，求无穷数列{b n}的各项之和与最大项．【考点】数学归纳法；数列的函数特性．【分析】（1）由，且对任意n∈N*，都有．可得a2==，a3=，a4=．由此推测{a n}的通项公式，a n=．再利用数学归纳法证明即可得出．（2），可得b n=+9，利用等比数列的前n项和公式可得：无穷数列{b n}的各项之和T n．【解答】解：（1）∵，且对任意n∈N*，都有．∴a2==，a3==，a4==．由此推测{a n}的通项公式，a n=．下面利用数学归纳法证明：①当n=1时，a1==成立；②假设当n=k∈N*时，a k=．===，则n=k+1时，a k+1因此当n=k+1时也成立，综上：∀n∈N*，a n=成立．（2），∴b n=（﹣2）n=+9，∴无穷数列{b n}的各项之和T n=+=﹣=+﹣．当n=2k（k∈N*）时，T n=+﹣，T n单调递减，因此当n=2时，取得最大值T2=．当n=2k﹣1（k∈N*）时，T n=×﹣﹣，T n单调递增，且T n＜0．综上可得：T n的最大项为T2=．21．已知点P是曲线上的动点，延长PO（O是坐标原点）到Q，使得|OQ|=2|OP|，点Q的轨迹为曲线C2．（1）求曲线C2的方程；（2）若点F1，F2分别是曲线C1的左、右焦点，求的取值范围；（3）过点P且不垂直x轴的直线l与曲线C2交于M，N两点，求△QMN面积的最大值．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）设Q（x，y），P（x′，y′），由=2，可得（x，y）=﹣2（x′，y′），可得，代入曲线C1的方程可得曲线C2的方程．（2）设P（2cosθ，sinθ），则Q（﹣4cosθ，﹣2sinθ）．利用数量积运算性质可得：=﹣6﹣，利用二次函数与三角函数的值域即可得出．（3）设P（2cosθ，sinθ），则Q（﹣4cosθ，﹣2sinθ）．设经过点P的直线方程为：y﹣sinθ=k （x﹣2cosθ），M（x1，y1），N（x2，y2）．与椭圆方程联立化为：（1+4k2）x2﹣8k（sinθ﹣2kcosθ）x+4（sinθ﹣2kcosθ）2﹣16=0，可得|MN|=，点Q到直=d|MN|，通过三角函数代换，利用二次函数的单调性即可得线l的距离d．可得S△QMN出．【解答】解：（1）设Q（x，y），P（x′，y′），∵=2，∴（x，y）=﹣2（x′，y′），可得，代入+（y′）2=1，可得+=1，∴曲线C2的方程为+=1．（2）F1（﹣，0），F2（，0）．设P（2cosθ，sinθ），则Q（﹣4cosθ，﹣2sinθ）．则=（2cosθ+，sinθ）•（﹣4cosθ﹣，﹣2sinθ）=（2cosθ+）（﹣4cosθ﹣）+sinθ（﹣2sinθ）=﹣6﹣，∵cosθ∈[﹣1，1]，∴∈．（3）设P（2cosθ，sinθ），则Q（﹣4cosθ，﹣2sinθ）．设经过点P的直线方程为：y﹣sinθ=k（x﹣2cosθ），M（x1，y1），N（x2，y2）．联立，化为：（1+4k2）x2﹣8k（sinθ﹣2kcosθ）x+4（sinθ﹣2kcosθ）2﹣16=0，∴x1+x2=，x1x2=，∴|MN|==，点Q到直线l的距离d==．=d|MN|=6|sinθ﹣2kcosθ|．∴S△QMN令|sinθ﹣2kcosθ|=|sinα|，=6|sinα|，令|sinα|=t∈[﹣1，1]，则S△QMN=6t=f（t），令|sinα|=t∈[﹣1，1]，∴S△QMN则f2（t）=﹣36t4+144t2=﹣36（t2﹣2）2+144，当且仅当t2=1时，f（t）取得最大值6．。

上海高二高中数学期末考试带答案解析

上海高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.过点，且垂直于OA的直线方程为_______________。

2.直线l的一个法向量（），则直线l倾角的取值范围是_______。

3.已知直线：与：平行，则k的值是____________。

4.直线l的一个方向向量，则l与的夹角大小为__________。

（用反三角函数表示）5.已知圆C与直线及都相切，圆心在直线上，则圆C的方程为________________________。

6.等轴双曲线C与椭圆有公共的焦点，则双曲线C的方程为____________。

7.有一抛物线形拱桥，中午12点时，拱顶离水面2米，桥下的水面宽4米；下午2点，水位下降了1米，桥下的水面宽_________米。

8.直线：绕原点逆时针旋转的直线，则与的交点坐标为_______。

9.已知方程表示圆，则___________。

10.已知过抛物线C：（）焦点F的直线l和y轴正半轴交于点A，并且l与C在第一象限内的交点M 恰好为A、F的中点，则直线的斜率_____________。

11.已知、是椭圆C：（）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且。

若的面积为9，则_________。

12.已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为切点，那么的最小值为_____________。

二、选择题1.已知圆：，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为 ( )A．B．C．D．2.若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是 ( )A．B．C．D．3.给出下列3个命题：①在平面内，若动点M到、两点的距离之和等于2，则动点M的轨迹是椭圆；②在平面内，给出点、，若动点P满足，则动点P的轨迹是双曲线；③在平面内，若动点Q到点和到直线的距离相等，则动点Q的轨迹是抛物线。

其中正确的命题有( )A．0个B．1个C．2个D．3个4.已知直线l：y=k(x+2)（k>0）与抛物线C：相交于A、B两点，F为C的焦点，若，则( )A．B．C．D．三、解答题1.已知直线l：与x轴交于点A；以O为圆心，过A的圆记为圆O。

上海高二高中数学期末考试带答案解析

上海高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.计算矩阵的乘积______________2.计算行列式=____________3.直线的倾斜角为，则的值是___________4.=___________5.已知直线与圆相切，则的值为___________6.以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为___________7.已知方程表示椭圆，则的取值范围为___________8.若向量，，且，那么的值为___________9.若直线经过原点，且与直线的夹角为，则直线方程为___________10.若三条直线，和只有两个不同的交点，则实数的值为__________11.执行右边的程序框图，则输出的结果是___________12.若点和点分别为双曲线的中心和左焦点，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为__________13.已知，是圆：(为圆心)上一动点，线段的垂直平分线交于，则动点的轨迹方程为___________14.双曲线的左、右焦点分别为，，点在其右支上，且满足，，则横坐标的值是___________二、选择题1.与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线标准方程为（）A．B．C．D．2.在等比数列中，，公比.若，则=( )A．9B．10C．11D．123.已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且，则有( )A．B．C．D．4.已知是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的，若成立，则成立，下列命题成立的是( )A．若成立，则对于任意，均有成立B．若成立，则对于任意的，均有成立C．若成立，则对于任意的，均有成立D．若成立，则对于任意的，均有成立三、解答题1.（12分）过椭圆的右焦点的直线L与圆相切，并且直线L过抛物线的焦点。

(1)求、的坐标；(2)求直线L的方程。

2.（12分）已知一个圆与轴相切，在直线上截得弦长为2，且圆心在直线上，求此圆的方程.3.（14分）已知，直线，为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，且．（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线交轨迹于两点，点O是直角坐标系的原点，求面积的最小值，并求出当的面积取到最小值时直线的方程。

上海高二高中数学期末考试带答案解析

上海高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.过点、的直线的斜率为______________．2.若是虚数单位，复数满足,则的虚部为_________．3.正四面体的所有棱长都为2，则它的体积为________．4.以为圆心且过原点的圆的方程为_____________．5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为__________．6.已知圆锥的高与底面半径相等，则它的侧面积与底面积的比为________．7.正方体中，二面角的大小为__________．8.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于_________．9.已知球的半径为1，、是球面上两点，线段的长度为，则、两点的球面距离为 ________．10.在长方体中，已知，为的中点，则直线与平面的距离是___________．11.从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有人的选派方法种数是___________(用数字作答)．12.已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为,则的方程为_________________．13.设实数满足则的最大值为____________.14.在棱长为1的正方体盒子里有一只苍蝇，苍蝇为了缓解它的无聊，决定要考察这个盒子的每一个角，它从一个角出发并回到原处，并且每个角恰好经过一次，为了从一个角到另一个角，它或直线飞行，或者直线爬行，苍蝇的路径最长是____________．（苍蝇的体积不计）二、选择题1.在正方体中任取两条棱，则这两条棱为异面直线的概率为（）A．B．C．D．2.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50),[50,60),[60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A．588B．480C．450D．1203..（）A．B．C．1D．4.若直线与曲线有且仅有三个交点，则的取值范围是（）A．B．C．D．三、解答题1.求的二项展开式中的第5项的二项式系数和系数.2.求半径为10，且与直线相切于的圆的方程.3.已知椭圆上存在两点、关于直线对称，求的取值范围.4.如图，四棱柱中, 侧棱底面，，，，为棱的中点.(1)证明：；(2)求异面直线与所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）5.下图是利用计算机作图软件在直角坐标平面上绘制的一列抛物线和一列直线，在焦点为的抛物线列中，是首项和公比都为的等比数列，过作斜率2的直线与相交于和（在轴的上方，在轴的下方）.证明：的斜率是定值；求、、、、所在直线的方程；记的面积为，证明：数列是等比数列，并求所有这些三角形的面积的和.上海高二高中数学期末考试答案及解析一、填空题1.过点、的直线的斜率为______________．【答案】2.【解析】由斜率公式得：.【考点】直线的斜率公式.2.若是虚数单位，复数满足,则的虚部为_________．【答案】.【解析】，，则的虚部为.【考点】复数的除法.3.正四面体的所有棱长都为2，则它的体积为________．【答案】.【解析】试题分析:过作，则是的中心，连接,则,,在中，,所以.【考点】多面体的体积.4.以为圆心且过原点的圆的方程为_____________．【答案】.【解析】由题意，得所求圆的半径，则所求圆的标准方程为.【考点】圆的标准方程.5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为__________．【答案】.【解析】由三视图可知，该几何体是一个侧放的圆柱，底面半径为1，高为5；则该几何体的体积.【考点】三视图、圆柱的体积.6.已知圆锥的高与底面半径相等，则它的侧面积与底面积的比为________．【答案】.【解析】设圆锥的底面半径和高为，则其母线长；所以圆锥的侧面积，底面面积，则它的侧面积与底面积的比为.【考点】圆锥的侧面积公式.7.正方体中，二面角的大小为__________．【答案】.【解析】二面角,即半平面与所成的图形，交线为,易知,所以是二面角的平面角，且，即二面角的大小为.【考点】二面角的平面角.8.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于_________．【答案】.【解析】双曲线的顶点为，渐近线方程为，即；则顶点到其渐近线的距离为.【考点】双曲线的性质、点到直线的距离公式.9.已知球的半径为1，、是球面上两点，线段的长度为，则、两点的球面距离为 ________．【答案】.【解析】设球心为O,连接,则是等腰三角形，且,则,所以、两点的球面距离为.【考点】两点的球面距离.10.在长方体中，已知，为的中点，则直线与平面的距离是___________．【答案】9.【解析】过作，因为，所以，则，的长度即为直线与平面的距离；在中，，；在中，，，，即直线与平面的距离为9.【考点】直线到平面的距离.11.从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有人的选派方法种数是___________(用数字作答)．【答案】590.【解析】骨科、脑外科和内科医生都至少有人的选派方法可分以下几类：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生，有种；1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，有种；1名骨科、1名脑外科和3名内科医生，有种；2名骨科、2名脑外科和1名内科医生，有种；1名骨科、2名脑外科和2名内科医生，有种；2名骨科、1名脑外科和2名内科医生，有种；由分类加法计数原理得，共有种.【考点】组合.12.已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为,则的方程为_________________．【答案】.【解析】设，则，两式相减，得，又因为的中点为，且斜率，所以，又，所以的方程为.【考点】点差法.13.设实数满足则的最大值为____________.【答案】.【解析】：画出不等式组表示的可行域和目标函数基准直线（如图）；设，则，当直线经过A点时，最小，即最大；联立，得,此时.【考点】简单的线性规划.14.在棱长为1的正方体盒子里有一只苍蝇，苍蝇为了缓解它的无聊，决定要考察这个盒子的每一个角，它从一个角出发并回到原处，并且每个角恰好经过一次，为了从一个角到另一个角，它或直线飞行，或者直线爬行，苍蝇的路径最长是____________．（苍蝇的体积不计）【答案】.【解析】根据题意，苍蝇需要8次完成，有两种方法：方法一：每次都到达相邻顶点，需经过8条棱，总路径长为8；方法二：每次到达不相邻的顶点，需爬行4次（面对角线），飞行4次（体对角线），总路径长是；又，所以苍蝇的路径最长是.【考点】正方体的面对角线与体对角线.二、选择题1.在正方体中任取两条棱，则这两条棱为异面直线的概率为（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】从正方体的12条棱中，任取两条棱，有种不同的方法，因为与已知棱成异面直线的有4条，所以共有对异面直线，则这两条棱为异面直线的概率.【考点】古典概型.2.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50),[50,60),[60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A．588B．480C．450D．120【答案】B.【解析】由频率分布直方图可知，该模块测试成绩不少于60分的频率为，所以该模块测试成绩不少于60分的学生人数为.【考点】频率分布直方图.3..（）A．B．C．1D．【答案】A.【解析】由，可得.【考点】二项式定理.4.若直线与曲线有且仅有三个交点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】由题意得，曲线C是由椭圆上半部分和双曲线上半部分组成，且双曲线的渐近线方程为，与直线平行；当直线过右顶点时，直线与曲线C有两个交点，此时，；当直线与椭圆相切时，直线与曲线C有两个交点，此时；由图像可知，时，直线与曲线C有三个交点.【考点】直线与圆锥曲线的位置关系.三、解答题1.求的二项展开式中的第5项的二项式系数和系数.【答案】．【解析】解题思路：利用二项式定理的通项公式写出，再求出二项式系数与系数.规律总结：涉及求二项展开式的二项式系数或系数或特定项时，往往先写出二项式的通项公式，再进行求解.注意点：要正确区分二项式系数与系数：二项式系数仅是一个组合数，系数是未知数的系数.试题解析：，所以二项式系数为，系数为.【考点】二项式定理.2.求半径为10，且与直线相切于的圆的方程.【答案】或【解析】解题思路：设出所求圆的圆心坐标，根据题意可得，进而求出圆的标准方程.规律总结：直线圆的位置关系，主要涉及直线与圆相切、相交、相离，在解决直线圆的位置关系时，要注意结合初中平面几何中的直线与圆的知识.试题解析：设圆心为，则由题意得解得或所以所求圆的方程为或【考点】直线与圆的位置关系.3.已知椭圆上存在两点、关于直线对称，求的取值范围.【答案】．【解析】解题思路：利用直线与直线垂直，设出直线的方程，联立直线与椭圆方程，消去，整理成关于的一元二次方程，利用中点公式和判别式求出的范围.规律总结：涉及直线与椭圆的位置关系问题，往往采用“设而不求”的方法进行求解..试题解析：设直线方程为，联立得从而则中点是，则解得由有实数解得即于是则的取值范围是.【考点】1.直线与椭圆的位置关系；2.对称问题.4.如图，四棱柱中, 侧棱底面，，，，为棱的中点.(1)证明：；(2)求异面直线与所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】解题思路：（1）利用勾股定理证明垂直；（2）作出平行线，构造异面直线所成的角，再利用三角形进行求角.规律总结：对于空间几何体中的垂直、平行关系的判定，要牢牢记住并灵活进行转化，线线关系是关键；涉及空间中的求角问题，往往利用角的定义作出辅助线，转化为平面中的线线角.试题解析：（1）证明：连结.在中，即，所以又因为，所以；解：取的中点为，连结.又因为为中点，则所以即为异面直线与所成角.在中，，所以为直角三角形，.所以异面直线与所成角为【考点】1.直线的垂直关系的证明；2.直线与平面所成的角的求法.5.下图是利用计算机作图软件在直角坐标平面上绘制的一列抛物线和一列直线，在焦点为的抛物线列中，是首项和公比都为的等比数列，过作斜率2的直线与相交于和（在轴的上方，在轴的下方）.证明：的斜率是定值；求、、、、所在直线的方程；记的面积为，证明：数列是等比数列，并求所有这些三角形的面积的和.【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】解题思路：（1）联立直线与抛物线方程，整理成关于，的方程，进而求出的斜率；（2）利用直线的点斜式方程写出直线方程即可；（3）联立直线与抛物线方程，求弦长与点到直线的距离，进而求三角形的面积.规律总结：锥曲线的问题一般都有这样的特点：第一小题是基本的求方程问题，一般简单的利用定义和性质即可；后面几个小题一般来说综合性较强，用到的内容较多，大多数需要整体把握问题并且一般来说计算量很大，学生遇到这种问题就很棘手，有放弃的想法,所以处理这类问题一定要有耐心..试题解析：（1）由已知得，抛物线焦点，抛物线方程为，直线的方程为于是，抛物线与直线在轴上方的交点的坐标满足则有而直线的斜率为，则解得又点在第一象限，则；直线方程为；由得则，而到直线的距离为，于是的面积，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.由于，所以所有三角形面积和为.【考点】1.直线的方程；2.直线与抛物线的位置关系.。

上海高二上学期期末数学试题(解析版)

一、填空题1．从中随机选取一个数为，从中随机选取一个数为，则的概率是______． {}1,2,3,4a {}1,2,3b b a >【答案】##0.25 14【分析】首先根据题意用列举法写出全部基本事件，再利用古典概型公式求解即可. 【详解】从中随机选取一个数为，从中随机选取一个数为， {}1,2,3,4a {}1,2,3b 共有：，，，，，，，，，()1,1()1,2()1,3()2,1()2,2()2,3()3,1()3,2()3,3，，，共12个基本事件，()4,1()4,2()4,3则有，，，共有3个基本事件， b a >()1,2()1,3()2,3所以的概率为. b a >31124=故答案为：142．正方体中，分别为的中点，则与面所成的角是：_____ 1111ABCD A B C D -,E F 1,AA AB EF 11A C CA 【答案】30°【分析】作出线面角，根据等比三角形的性质求出线面角的大小.【详解】由于分别是的中点，所以，直线和平面所成的角的大小,E F 1,AA AB 1//EF A B EF 11A C CA 等于直线和平面所成的角.根据正方体的几何性质可知平面，所以1A B 11A C CA BD ⊥11A C CA 1OA B∠即直线和平面所成的角.在等边三角形中，是的中点，故，所以1A B 11A C CA 1A BD O BD 1AO BD ⊥.1160302OA B ∠=⨯=【点睛】本小题主要考查线面角的大小的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.3．已知三角棱O -ABC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在MN 上，且MN ＝2GN ，设OA＝，＝，＝，则＝__________________（用基底（，，）表示）a OBb OC cOG a b c 【答案】1()4a b c ++【分析】画出几何体图形，根据条件知G 为MN 的中点，连接ON ，从而可得，1()2OG OM ON =+根据M ，N 是OA ，BC 的中点即可用表示出．,,a b c OG【详解】∵如上图，点G 在MN 上，且MN ＝2GN ，∴G 为MN 的中点，连接ON ，且M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，则：.1()2OG OM ON =+ 1()4OA OB OC =++1()4a b c =++ 故答案为：.1()4a b c ++4．如图,在正方体中,M 是的中点,O 是底面ABCD 的中心,P 是上的任意点,1111ABCD A B C D -1C C 11A B 则直线BM 与OP 所成的角为__________ .【答案】90︒【分析】本题考查异面直线所成的角,涉及线面垂直的判定与性质,关键是找到OP 所在的某个平面,利用正方体的结构特征和线面垂直的判定定理证明直线BM 与此平面垂直. 【详解】如图,取AD ,BC 的中点分别为E ,F ,连接EF ,FB 1,EA 1, 易得,∴BM ⊥B 1F ,1Rt BFB Rt CMB ≅A A 又∵AB ‖EF ,AB ⊥平面BCC 1B 1,∴EF ⊥平面BCC 1B 1, ∵BM ⊂平面BCC 1B 1,∴EF ⊥BM , 又∵EF ∩B 1F =F ,∴BM ⊥平面A 1B 1FE , 又∵OP ⊂平面A 1B 1FE , ∴BM ⊥OP ,∴BM 与OP 所成的角为90°, 故答案为：90°.5．已知一组数据4，，，5，7的平均数为4，则这组数的方差是________． 2a 3a -【答案】3.6【分析】先根据这组数据的平均数为4，求得a ，再利用方差公式求解.【详解】因为一组数据4，，，5，7的平均数为4， 2a 3a -所以， ()14235745a a ++-++=解得，1a =所以这组数据为，4,2,2,5,7所以这组数据的方差为 ()()()()()22222214424245474 3.65S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦故答案为：3.66．已知数列中，，则__．{}n a 111,n n a a a n +==+n a =【答案】222n n -+【分析】利用累加法求解即可．【详解】当时，，2n ≥11n n n a a -=--所以，121321()()()112(1)n n n a a a a a a a a n -=+-+-++-=++++- 222n n -+=又，符合，所以．11a =222n n n a -+=7．对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中使三条直线共面的充分条件有．【答案】①④【分析】利用三棱柱与三棱锥，可得判定②、③错误，利用平面的基本性质与推理证明正确结论①、④正确，即可求解.【详解】由三棱柱的三条侧棱两两平行，可得②错误；由三棱锥的三条侧棱，两两相交于一点，可得③错误；选项①中，如图①所示，由题意可设直线m 与点A 所确定的平面为， α则再由平面的基本性质，可得直线、也在内．l n α选项④中，如图④所示，由题意可设直线m 与直线n 所确定的平面为， α则点A 与点B 均在平面内，则再由平面基本性质，可得直线也在平面内， αl α综合可得，①④正确；故答案为：①④．8．某单位制作了一个热气球用于广告宣传．已知热气球在第一分钟内能上升米，以后每分钟上30升的高度都是前一分钟的，则该气球上升到米至少要经过__分钟． 2370【答案】4【分析】设热气球在第分钟上升的高度为米，分析可知数列为等比数列，确定该()n n *∈N n a {}n a 数列的首项和公比，求出数列的前项和，利用数列的单调性可得出，由此可{}n a n {}n S 3470S S <<得出结果.【详解】设热气球在第分钟上升的高度为米，()n n *∈N n a 则数列是首项为，公比为的等比数列，{}n a 3023经过分钟，热气球上升的总高度米，n 2301329012313n n n S ⎡⎤⎛⎫⨯- ⎪⎢⎥⎡⎤⎝⎭⎛⎫⎣⎦==⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-则数列单调递增，{}n S 因为，， 3321909017033S ⎡⎤⎛⎫=⨯-=<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦4426509017039S ⎡⎤⎛⎫=⨯-=>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以该气球至少要经过分钟才能上升到米． 470故答案为：.49．棱长为的正方体的8个顶点都在球的表面上，，分别是棱，a 1111ABCD A B C D -O E F 1AA 1DD 的中点，则直线被球截得的线段长为__．EF O【分析】先求正方体外接球的半径R ，再根据过球心和点,的大圆的截面图，可得直线被O E F EF 球截得的线段为，进而可求解．QR 【详解】因为正方体内接于球，所以， 2R=R =过球心和点,的大圆的截面图如图所示，O E F则直线被球截得的线段为，过点作于点， QR O OP QR ⊥P 所以在中，． QPOA 2QR QP ===10．某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品中按质量分为一等品，二等品，三等品.从这些产品中随机抽取一件产品测试，已知抽到一等品或二等品的概率为0.86，抽到二等品或三等品的概率为0.35，则抽到二等品的概率为___________. 【答案】0.21##21100【分析】设抽到一等品，二等品，三等品的事件分别为，利用互斥事件加法列出方程组即可,,A B C 求解.【详解】设抽到一等品，二等品，三等品分别为事件A ，B ，C则，则 ()()0.86()()0.35()()()1P A P B P B P C P A P B P C +=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩()0.21P B =故答案为：0.2111．设数列的前n 项之积为，且．则数列的前n 项和{}n a n T *2(1)log ,2n n n T n N -=∈{}n a n S =_______．【答案】21n -【分析】由的定义求得，然后由等比数列的前项和公式计算． n T n a n 【详解】因为，所以，2(1)log 2n n n T -=(1)22n n n T -=则，1121a T ===时，，也适合． 2n ≥()()()1212112222n n n n n n n n T a T -----===11a =所以，为等比数列，．12n n a -=122112nn n S -==--故答案为：．21n -12．已知数列满足，若不等式恒成立，则实{}n a *111,()2(1)(1)n n n na a a n N n na +==∈++2410n ta n n ++≥数的取值范围是__________ t 【答案】[9,)-+∞【分析】根据题意化简得到，利用等差数列的通项公式化简得，把1111(1)n n n a na +-=+1(1)n a n n =+不等式，转化恒成立，结合基本不等式，即可求解. 2410nta n n++≥(4)(1)n n t n ++≥-【详解】由数列满足， {}n a *111,()2(1)(1)n n n na a a n N n na +==∈++可得，且，1111(1)n n n a na +-=+112a =所以数列表示首项为，公差为的等差数列，1n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭21所以，所以， 111=+(1)1n n n na a -=+1(1)n a n n =+又由恒成立，即对恒成立，2410n ta n n++≥(4)(1)n n t n ++≥-n N *∈因为，(4)(1)4(5)5)9n n n n n ++-=-++≤-=-当且仅当时取等号，所以， 2n =9t ≥-即实数的取值范围是.t [9,)-+∞二、单选题13．已知、是两条不同直线，、是两个不同平面，给出下列说法： m l αβ①若垂直于内两条相交直线，则； l αl α⊥②若且，则； ,m l αβ⊂⊂l m ⊥αβ⊥③若，则； ,l l βα⊂⊥αβ⊥④若且，则． ,m l αβ⊂⊂//αβ//l m 其中正确的序号是（） A ．①③ B ．①②③ C ．①③④ D ．②④【答案】A【分析】根据线面垂直的判定定理，面面的位置关系，面面垂直的判定定理及面面平行的性质逐项分析即得.【详解】①若垂直于内两条相交直线，根据线面垂直的判定易知，正确；l αl α⊥②若且，则可能相交或平行，错误 ,m l αβ⊂⊂l m ⊥,αβ③由，，根据面面垂直的判定有，正确； l β⊂l α⊥αβ⊥④若且，则或异面都有可能，错误； ,m l αβ⊂⊂//αβ//l m ,l m 因此正确命题的序号为①③. 故选：A ．14．已知正数数列为等比数列，公比为，又为任意正整数，且数列严格递{}n a q 2log ,n n b a n ={}n b 减，则的取值范围是（） q A ． B ． (0,1)(0,2)C ． D ．(0,1)(1,2) (1,)+∞【答案】A【分析】利用数列的单调性及等比数列的定义，结合对数的运算及对数不等式的解法即可求解. 【详解】因为数列严格递减，所以，即，即， {}n b 1n n b b +<212log log n n a a +<12log 0n na a +<即，解得, 22log 0log 1q <=01q <<所以的取值范围为. q (0,1)故选: A.15．在无穷等比数列中，，则的取值范围是（） {}n a 121lim()2n n a a a →∞+++=1a A ．B ．1(0,)211(0,)(,1)22C ．D ．(1,1)-(1,0)(0,1)- 【答案】B【分析】根据无穷等比数列的极限存在条件及不等式的性质即可求解. 【详解】在无穷等比数列中，，得，，且， {}n a 121lim()2n n a a a →∞+++=1112a q =-||1q <0q ≠即，，且， ()1112a q =-11q -<<0q ≠因为，且，所以，且， 11q -<<0q ≠101a <<112a ≠所以的取值范围是.1a 11(0,(,1)22故选：B.16．已知正方体的棱长为M ，N 为体对角线的三等分点，动点P 在三角1111ABCD A B CD -1BD 形内，且三角形的面积P 的轨迹长度为（） 1ACB PMN PMN S =△A B C D 【答案】B【分析】先通过位置关系的证明说明在平面内，然后根据已知条件求解出的长度，根据N 1ACB PN 的长度确定出在平面内的轨迹形状，由此求解出对应的轨迹长度.PN P 1ACB 【详解】如图所示：连接，因为四边形是正方形，所以， 11BC B C O = 11BCC B 11BC B C ⊥因为平面，平面，所以， 11D C ⊥11BCC B 1B C ⊂11BCC B 11D C ⊥1B C 又平面，平面， 11111,BC D C C BC =⊂ 11BC D 11D C ⊂11BC D 所以平面，所以， 1B C ⊥11BC D 11B C D B ⊥同理可知：，11B A D B ⊥又因为平面，平面，， 1B C ⊂1ACB 1B A ⊂1ACB 111B C B A B = 所以平面，1D B ⊥1ACB根据题意可知：为正三角形，所以1116,D B AB B C AC =====1ACB A ，160∠=︒B AC所以，设到平面的距离为，112ACB S =⨯=A B 1ACB h 因为，所以，所以，11B ACB B ABC V V --=111133ACB ACB S h S BB ⋅⋅=⋅⋅A A 11ACB ACB S h S BB ⋅=⋅A A，所以，(2h ⨯=1123h D B ==h BN =所以即为与平面的交点，由题意可知：平面，所以， N 1D B 1ACB 1D B ⊥1ACB MN PN ⊥所以 11222PMN S MN PN PN PN =⋅=⋅⋅==A在正三角形中，高 1ACB sin 60AO AC =︒==所以内切圆的半径，13r AO ==<AN <=取的两个三等分点，连接，所以，1B C ,E F ,EN FN 1//,//NE AB NF AC所以是以长度为边长的正三角形，所以的轨迹是以的圆，圆NEF A PN P N，在内部的轨迹是三段圆弧，每一段圆弧的圆心角为，所以对应的轨迹长度是圆周长的一1ACB A 60︒，故选：B.【点睛】思路点睛：空间中轨迹问题的解答思路：（1）根据已知条件确定和待求点相关的平行、垂直关系；（2）通过数量关系定量分析待求点的轨迹的形状；（3）根据轨迹形状即可求解出轨迹的长度等其他量.三、解答题17．如图，在四棱锥中，底面，四边形为正方形，，分别为P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD M N ，的中点．AB PD(1)求证：平面；MN ∥PBC (2)若，求直线与平面所成角． PA AD =MN PCD 【答案】(1)证明过程见详解(2)【分析】（1）取中点，构造平行四边形，根据线面平行的判定定理证明即可； PC （2）根据题意建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值，进而可求得线面角．【详解】（1）取中点为，连接，， PC E BE NE 因为，分别为，的中点， E N PC PD 所以，．EN CD ∥12EN CD =又四边形为正方形，所以，， ABCD CD AB ∥CD AB =又因为为的中点，所以，， M AB EN BM ∥EN BM =所以四边形为平行四边形，所以，BMNE MN BE ∥又平面，平面，所以平面．BE ⊂PBC MN ⊂PBC MN ∥PBC （2）以点A 为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系．AB AD AP x y z设，则，||||2PA AD ==(0,2,0),(2,2,0),(0,0,2),(1,0,0),(0,1,1)D C P M N ，，，(1,1,1)MN =- (2,2,2)PC =- (0,2,2)PD =-u u u r设平面的法向量为，PCD (,,)m x y z =则，即，令，则，00m PC m PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 2220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩1y =(0,1,1)m = 设直线与平面所成角为， MN PCD θ则||sin ||||MN m MN m θ⋅===⋅所以直线与平面所成角为． MNPCD 18．在某市高三教学质量检测中，全市共有名学生参加了本次考试，其中示范性高中参加考5000试学生人数为人，非示范性高中参加考试学生人数为人.现从所有参加考试的学生中随机20003000抽取人，作检测成绩数据分析.100（1）设计合理的抽样方案（说明抽样方法和样本构成即可）；（2）依据人的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，据此估计本次检测全市学生数学成100绩的平均分；【答案】（1）见解析；（2）92.4【分析】（1）根据总体的差异性选择分层抽样，再结合抽样比计算出非示范性高中和示范性高中所抽取的人数；（2）将每个矩形底边的中点值乘以相应矩形的面积所得结果，再全部相加可得出本次测验全市学生数学成绩的平均分．【详解】（1）由于总体有明显差异的两部分构成，故采用分层抽样，由题意，从示范性高中抽取人， 2000100405000⨯=从非师范性高中抽取人； 3000100605000⨯=（2）由频率分布直方图估算样本平均分为(600.005800.0181000.021200.0051400.002)2092.4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=推测估计本次检测全市学生数学平均分为92.4【点睛】本题考查分层抽样以及计算频率分布直方图中的平均数，着重考查学生对几种抽样方法的理解，以及频率分布直方图中几个样本数字的计算方法，属于基础题．19．2020年是充满挑战的一年，但同时也是充满机遇､蓄势待发的一年.突如其来的疫情给世界带来了巨大的冲击与改变，也在客观上使得人们更加重视科技的力量和潜能.某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.假设该企业第一年年初有资金5000万元，并将其全部投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第年年底企业上缴资金后的剩(2500)t t …n 余资金为万元n a （1）判断是否为等比数列？并说明理由； {}2n a t -（2）若企业每年年底上缴资金，第年年底企业的剩余资金超过万元，求1500t =()m m N*∈21000的最小值.m (lg 20.3010;lg 30.4771)≈≈【答案】（1）答案见解析；（2）6.【解析】（1）由题意得，从而得15000(150%)7500,a t t =+-=-13(150%)2n n n a a t a t +=+-=-，而当，即时，所以不是等比数列；133232222n n n n a t a t a t a t +--==--2500t =120a t -={}2n a t -（2）由（1）可知，，由可得，13300030002n n a -⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭133000()3000210002m m a -=+>1362m -⎛⎫> ⎪⎝⎭然后利用单调递增，可得答案32xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【详解】解：（1）由题意得， 15000(150%)7500,a t t =+-=-. 13(150%)2n n n a a t a t +=+-=-当时，即时，2500t <12750030a t t -=->133232222n n n n a ta t a t a t +--∴==--是以为首项，为公比的等比数列.{}2n a t ∴-1275003a t t -=-32当，即时，不是等比数列2500t =120a t -={}2n a t -（2）当时，由（1）知，1500t =13300030002n n a -⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，即，133000()3000210002m m a -∴=+>1362m -⎛⎫> ⎪⎝⎭法一：易知单调递增，32xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭又，， 4381()6216=< 53243()6232=>，，15m ∴-≥6m ≥的最小值为6 m ∴法二：， 32lg 6lg 2lg 30.30100.47710.77811log 6 4.423lg 3lg 20.47710.30100.1761lg 2m ++∴->==≈=≈--，的最小值为6.6m ≥m ∴【点睛】易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合应用问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.20.解：构造一个棱长为1的正方体，如图1：则四面体11ACB D .11111111111133B ACB A AB DC B CD D ACD ACB D V V V V V V V ----=----==四面体正方体正方体（1）类似此解法，如图2，求此四面体的体积；（2）对棱分别相等的四面体中，，，.求证：这个四面体的四个ABCD AB CD =AC BD =AD BC =面都是锐角三角形；（3）有4条长为2的线段和2条长为的线段，用这6条线段作为棱且长度为的线段不相邻，m m 构成一个三棱锥，问为何值时，构成三棱锥体积最大，最大值为多少？m [及变形，当且仅(),,03a b c a b c ++≤>()3,,03a b c abc a b c ++⎛⎫≤> ⎪⎝⎭当时取得等号]a b c ==【答案】（1）2；（2）证明见解析；（3）时,. m =【分析】（1）类比已知条件中的解法，构造一个长方体，求出长方体的棱长，在由长方体的体积减去四个三棱锥体积即可得到答案；（2）在四面体ABCD 中，由已知可得四面体ABCD 的四个面为全等三角形，设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，证明△ABC 为锐角三角形，即可证明这个四面体的四个面都是锐角三角形；（3）当2条长为m的线段不在同一个三角形中，写出三棱锥体积的表达式，利用基本不等式求最值.【详解】（1）类似地，构造一个长方体，1111-ABCD A B C D设从同一个顶点出发的三条棱的棱长分别为，则有：1AB x AD y AA z ===、、，解得： 22222251013x y x z y z ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以1111111111B ACB A AB D C B CD D ACD ACB D V V V V V V ----=----四面体长方体11111111123123123123123232323232=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=即此四面体的体积为2. （2）证明：在四面体中，因为，，，ABCD AB CD =AC BD =AD BC =所以四面体的四个面都是全等的三角形，只需证明一个面为锐角三角形即可. ABCD 设长方体的长、宽、高分别为abc ，则，，， 222AB a c =+222BC b c =+222AC a b =+所以， 222222222AB BC b c a c AC a b +=+++>=+即，所以B 为锐角；222AB BC AC +>同理可证：A 为锐角，C 为锐角，所以△ABC 为锐角三角形. 所以这个四面体的四个面都是锐角三角形.（3）因为长度为的线段不相邻，所以2条长为m 的线段不在同一个三角形中，如图，m不妨设AD = BC = m ，AB =BD =CD =AC =2，取BC 的中点E ，连接AE ，DE ，则AE ⊥BC ，DE ⊥BC ，而AE ∩DE =E ，∴BC ⊥平面AED ，则三棱锥的体积，1·3AED V S BC =A 在△AED 中,AD =m ，AE DE==所以1122AEDS m m ==A所以11·36AED V S BC m m ====A， ≤当且仅当，即时等号成立. 22=162m m-m 即时,. m 【点睛】（1）求几何体体积的常用的方法有：①直接法；②等体积法；③补形法；④向量法；（2）利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”① “一正”就是各项必须为正数；②“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；③“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．21．设数列的前n 项和为，已知，（）． {}n a n S 11a =121n n S S +-=*n ∈N （1）求证：数列为等比数列； {}n a （2）若数列满足：，． {}n b 11b =1112n n n b b a ++=+① 求数列的通项公式；{}n b ② 是否存在正整数n ，使得成立？若存在，求出所有n 的值；若不存在，请说明理14ni i b n ==-∑由．【答案】（1）数列为等比数列，首项为1，公比为2．（2）， {}n a 12n n nb -=2n =【分析】（1）由题设的递推关系式，得到（），即可证得数列为等比数列． 12n na a +=2n ≥{}n a （2）① 由（1）知，，化简得，则数列是首项为1，公差为1的12n n a -=11221n n n n b b -+-={}12n n b -等差数列，即可求得． 12n n nb -=②利用乘公比错位相减法，求得，进而得到，显然当 14(24)(2nn T n =-+⨯122n n n-+=2n =时，上式成立，设，由，所以数列单调递减，进而得到结12()2n n f n n-+=-(1)()0f n f n +-<{}()f n 论.【详解】（1）解：由，得（）， 121n n S S +-=121n n S S --=2n ≥两式相减，得，即（）． 120n n a a +-=12n na a +=2n ≥因为，由，得，所以， 11a =()12121a a a +-=22a =212a a =所以对任意都成立， 12n na a +=*n N ∈所以数列为等比数列，首项为1，公比为2．{}n a （2）① 由（1）知，，12n n a -=由，得， 1112n n n b b a ++=+1122n n n b b +=+即，即， 11221n n n n b b -+=+11221n n n n b b -+-=因为，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．11b ={}12n n b -所以，()12111n n b n n -=+-⨯=所以． 12n n nb -=② 设，1n n i i T b ==∑则，12111111232222n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，1231111112322222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减，得，0121111111222222n n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11121212nnn ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-⨯ ⎪⎝⎭-()1222n n ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭所以．()14242nn T n ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭由，得，即． 14ni i b n ==-∑()142442nn n ⎛⎫-+⨯=- ⎪⎝⎭122n n n -+=显然当时，上式成立， 2n =设（），即． ()122n n f n n-+=-*n N ∈()20f =因为， ()()()113221222011n n n n n f n f n n n n n --⎡⎤++⎛⎫⎛⎫+-=---=-+<⎢⎥⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以数列单调递减， (){}f n 所以只有唯一解，()0f n =2n =所以存在唯一正整数，使得成立．2n =14ni i b n ==-∑【点睛】点睛：本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.。

上海市2021-2021学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)

上海市2021-2021学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一、填空题1.椭圆2212x y +=的左焦点的坐标为________.【答案】(1,0)- 【解析】【分析】由椭圆标准方程求得椭圆的c ，可求得椭圆的左焦点坐标.【详解】根据椭圆2212x y +=的标准方程得2222,1,1,1a b c c ==∴=∴=，所以左焦点的坐标为(1,0)-，故答案为：(1,0)-.【点睛】本题考查椭圆基本几何性质，属于基础题. 2.若12z i =+，则||z =________. 【解析】【分析】根据复数的模的计算公式可得值.【详解】∵12z i =+，∴||z == 【点睛】本题考查复数的模的计算，属于基础题.3.若(2,1)n =-是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为________（结果用反三角函数值表示）【答案】arctan 2 【解析】【分析】根据直线的法向量求出直线的一个方向向量，从而得到直线的斜率，根据tan k α=，即可求解直线的倾斜角。

【详解】由(2,1)n =-是直线l 的一个法向量，所以可知直线l 的一个方向向量为(1,2)，直线l 的倾斜角为α，可得tan 2k α==，所以直线的倾斜角为tan 2arc α=。

故答案为：tan 2arc 。

【点睛】本题主要考查了直线的方向向量，以及直线的斜率与倾斜角的应用，其中解答中根据直线的方向向量求得直线的斜率是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题。

4.双曲线221x y a+=的虚轴长是实轴长的2倍，则a =________.【答案】4- 【解析】【分析】利用虚轴长和实轴长的定义，建立方程可求得参数的值。

【详解】双曲线221x y a +=的标准方程为 221x y a-=-，虚轴的长是，实轴长 2，由题意知，∴4a =-，故答案为：4-．【点睛】本题考查双曲线的标准方程和简单的几何性质，关键在于分清双曲线标准方程中的,a b ，属于基础题.5.圆心为(1,2)C -且经过点(5,1)P 的圆的方程为________. 【答案】22(1)(2)25x y -++= 【解析】【分析】求出圆的半径,即可写出圆的标准方程.【详解】圆心为(1,2)C -,则圆的半径为5=，所以所求的圆的方程为: 22(1)(2)25x y -++=，故答案为: 22(1)(2)25x y -++=.【点睛】本题考查圆的标准方程的求得，关键在于根据已知条件：圆过点，求得圆的半径，属于基础题. 6.倾斜角为4π的直线过抛物线22y x =的焦点F ，交抛物线于A 、B 两点，则||AB =______. 【答案】4 【解析】【分析】由抛物线22y x =得焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，再求得直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立得出交点的坐标的关系123x x +=，再由抛物线的定义可求得线段的长.【详解】由抛物线22y x =得焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，∴倾斜角为4π的直线过焦点F 的方程为：12y x =-，与抛物线22y x =联立得21304x x -+=，令()11,A x y ，()22,B x y ，则123x x +=，由抛物线的定义得1211||,||22AF x BF x =+=+， ∴22111141||22AB x x x x =+++++==，故答案为：4.【点睛】本题考查抛物线的定义和直线与抛物线的位置关系,关键在于运用抛物线的定义转化了求线段的长的关系，属于基础题.7.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值为__________．【答案】43【解析】【详解】∵圆C 的方程为x 2+y 2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y 2=1，即圆C 是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴只需圆C ′：（x-4）2+y 2=4与直线y=kx-2有公共点即可．设圆心C （4，0）到直线y=kx-2的距离为d，2d =≤即3k 2≤4k，∴0≤k≤43，故可知参数k 的最大值为43.8.在△ABC 中，2AB =，3C π∠=，则AB AC ⋅的最大值为_______.2+ 【解析】【分析】根据向量的数量积运算和余弦定理得2cos AB AC b A ⋅=⋅⋅22222b c a b bc+-=+，再由正弦定理和三角函数的恒等变换得,33a Ab B ==，()222216sin sin 3b a B A -=-23A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可求得最值.【详解】在△ABC 中，2AB =，3C π∠=，由正弦定理得2sin AB R C ==, R ∴=, ∴2cos AB AC b A ⋅=⋅⋅22222b c a b bc +-=⋅222222242222b ac b a b a -+-+-===+,2sin sin sin a b c R AB C ===， ,a A b B ∴==，()222216sin sin 3b a B A ∴-=-161cos 21cos 2322B A --⎛⎫=- ⎪⎝⎭8(cos 2cos 2)3A B =-82cos 2cos 233A A π⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦81cos 2cos 2232A A A ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭ sin 233A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ()22maxb a ∴-=， 22max222b a ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭，所以AB AC⋅最大值为23+， 2+. 【点睛】此题考查了正弦定理,余弦定理和三角形的面积公式，以及向量的数量积运算，熟练掌握正弦定理进行三角形的边角互化，运用三角函数求最值是解本题的关键，属于中档题．9.已知椭圆22:143x y Γ+=的右焦点为F ，过原点O 的直线与椭圆Γ交于A 、B 两点，则11||||AF BF +的取值范围为________. 【答案】4[1,]3【解析】【分析】利用椭圆的定义设|AF |＝x ∈[1，3]，则|BF |＝4﹣x ，构造函数()[]11134f x x x x=+∈-，，，利用导数求其范围即可．【详解】取椭圆左焦点F ′，连接AF ，BF ，AF ′，BF ′，易知四边形AFBF ′为平行四边形，即有|AF |+|BF |＝|AF |+|AF ′|＝2a ＝4，设|AF |＝x ∈[1，3]，则|BF |＝4﹣x ，故11114AF BF x x+=+-，令()[]11134f x x x x=+∈-，，，则()()222222228211(4)'(4)(4)(4)x x x f x x x x x x x ---=-==---，易知函数f （x ）在[1，2）上单调递减，在[2，3]上单调递增， ∴()()()4()13()213max min f x f f f x f =====，，即11AF BF +的取值范围为413⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．故答案为：413⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，关键在于由中心对称的转化，考查椭圆的定义及导数的运用，考查转化思想及函数思想，属于中档题．10.已知点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，且23AOB π∠=，若OC OA OB x y =+，则23x y +的取值范围为________.【答案】257【解析】【分析】设OA 为直角坐标系的x 轴，建立平面直角坐标系.记OC 与OA 夹角为203πθθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭,求出三个向量坐标,进而利用同角三角函数的平方关系,可得到()25723x y θϕ+=+(其中3tan ϕ=),结合三角函数的图象和性质,可得答案. 【详解】设OA 为直角坐标系的x 轴,建立平面直角坐标系如下图所示，记OC 与OA 夹角为203πθθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭, 则(cos ,sin ),(1,0)OC OA θθ==，13,22OB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，代入OC OA OB x y =+,有3(cos ,sin )(,0)2y y x θθ⎛=+- ⎝⎭,∴3cos,sin2y yxθθ-==，∴323sin cos,sinx yθθθ=+=，故()25723sin3x yθϕ+=+(其中3tan4ϕ=),23πθ≤≤,23πϕθϕϕ∴≤+≤+，而57sin19ϕ=，235757sin33819πϕ⎛⎫+=>⎪⎝⎭,当2πθϕ+=时，23x y+取最大值257，当θϕϕ+=,即0θ=时,23x y+取最小值2，∴23x y+的取值范围为257[2,]3，故答案为:257[2,].【点睛】本题考查向量的线性关系,运用三角函数的恒等变换和性质求最值,关键在于建立合适的平面直角坐标系,将所求的式子转化为关于角的三角函数,属于中档题.二、选择题11.若12i是关于x的实系数方程20x bx c++=的一个复数根，则（）A. 2,3b c== B. 2,1b c==- C. 2,1b c=-=- D.2,3b c=-=【答案】D【解析】分析】由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c＝0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a，b 的方程组102220b cb-++=⎧⎪⎨=⎪⎩，解方程得出a，b的值即可选出正确选项【详解】由题意12+i是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0∴1+22i﹣2+b2+bi+c＝0，即()12220b c b i-++++=∴102220b cb-++=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得b＝﹣2，c＝3故选：D．【点睛】本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题12.设x，y满足约束条件2330233030x yx yy+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩则z＝2x＋y的最小值是（）A. －15B. －9C. 1D. 9【答案】A【解析】【分析】作出不等式组表示的可行域，平移直线z＝2x＋y，当直线经过B（－6，－3）时，取得最小值.【详解】作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义得函数在点B（－6，－3）处取得最小值z min＝－12－3＝－15.故选：A【点睛】此题考查二元一次不等式组表示平面区域，解决线性规划问题，通过平移目标函数表示的直线求得最值.13.若直线10x y-+=与圆22()2x a y-+=有公共点，则实数a的取值范围是（）A. [3,1]-- B. [1,3]- C. [3,1]- D.(,3][1,)∞-+∞【答案】C 【解析】由题意得圆心为(,0)a ．圆心到直线的距离为d =，由直线与圆有公共点可得≤12a +≤，解得31a -≤≤．∴实数a 取值范围是[3,1]-．选C ．14.已知直线:1l x y +=与双曲线2221x y a -=（0a >）交于A 、B 两点，与y 轴交于点D ，若512DA DB =，则a 的值为( ) A. 1713B. 1913C.2113D. 2【答案】A 【解析】【分析】首先由直线方程与双曲线方程联立得出A 、B 两点的坐标关系，再由512DA DB =找到A 、B 两点横坐标的关系，结合根与系数的关系得到关于a 的方程，从而求得选项.【详解】由直线方程与双曲线方程联系222201x a y a y x ⎧--=⎨=-+⎩得()22221220x a x a α-+-=，设()()()1122,,,,0,1A x y B x y D ，∵512DA DB =，∴()()11225,1,112x y x y -=-，∴12512x x =，212221a x x a -+=-，212221a x x a -⋅=-，∴1212x x x x +=⋅，2222551212x x x +=，211731717,512512x x ∴==⨯=，∴2122171725121a x x a -⋅=⨯=-，解得1713a =，故选：A.【点睛】本题是考查双曲线和直线位置关系的综合题目，解题的关键是如何利用已知的向量条件构造关于a 的方程，还考查了一元二次方程根与系数的关系，并且对学生的运算能力要求较高，属于中档题. 三、解答题15.设关于x 的方程2236(1)10x m x m --++=的两根的绝对值的和为2，求实数m 的值. 【答案】0m = 【解析】【分析】设关于x 的方程2236(1)10x m x m --++=的两根为12,x x ，根据根与系数的关系得212m 103x x +⋅=>,12,x x 同号,分两根全为正,和两根全为负分别求解可得值.【详解】设关于x 的方程2236(1)10x m x m --++=的两根为12,x x ，则212m 103x x +⋅=>,12,x x ∴同号,要么全为正,要么全为负.若全为正，则122(1)2x x m +=-=,解得2m =,此时方程为23650x x -+=,方程无解,所以舍去;若全为负，则122(1)2x x m +=-=-,解得0m =,此时方程为23610x x ++=方程有两个负根,且绝对值的和为2, 综上所述,m 的值为0.【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，求解时，注意带回验证是否有根，是否满足题意，属于基础题.16.已知点(1,)P a 在双曲线22:14yx Γ-=上.(1)求双曲线的两条渐近线方程； (2)求点(1,)P a 到两条渐近线距离的乘积.【答案】(1)2y x =±；(2)45. 【解析】【分析】(1)由双曲线22:14y x Γ-=得，1,2a b ==，可求得双曲线的渐近线的方程；(2)由点(1,)P a 在双曲线22:14yx Γ-=上，求得0a =，再根据点到直线的距离公式可求得点(1,0)P 到两条渐近线距离的乘积.【详解】(1)由双曲线22:14y x Γ-=得，1,2a b ==，所以双曲线的渐近线的方程为：2y x =±，(2)∵点(1,)P a 在双曲线22:14yx Γ-=上，∴2114a -=，0a ∴=，∴(1,0)P ， (1,0)P 到2y x =的距离为1d =，(1,0)P 到2y x =-的距离为2d =，1245d d ∴⋅==，所以点(1,0)P 到两条渐近线距离的乘积为45. 【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，和双曲线上的点到两渐近线的距离之积，属于基础题.17.已知椭圆222:1y x a Γ+=（0a >）经过点，直线l 与椭圆交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，11(,)p ax y =，22(,)q ax y =. (1)求椭圆的方程；(2)若p q ⊥，直线l 经过点F ，求直线l 的方程.【答案】(1)2214y x +=；(2)y =.【解析】【分析】(1) 根据椭圆222:1y x a Γ+=（0a >）经过点，代入可求得 a 得椭圆的方程；(2)显然直线l 的斜率存在，设直线l的方程为y kx =()22410k x++-=，可得出根与系数的关系，再根据向量的垂直关系可得到关于k的方程，可求得k ，从而得到直线l 的方程.【详解】(1) ∵椭圆222:1y x a Γ+=（0a >）经过点，21314a ∴+=， 24a ∴=， 0,2a a >∴=，∴椭圆的方程为： 2214y x +=；(2)当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为：0x =，(0,2),(0,2),(0,2),(0,2)A B p q -==-，显然不满足p q ⊥，∴直线l 的斜率存在，设直线l的方程为y kx =+，由2214y x y x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得()22410k x ++-=，∵11(,)A x y 、22(,)B x y，则1212221416160x x x x k k ⎧+=⎪⎪⎪⋅=-⎨+⎪∆=+>⎪⎪⎩，又()()11222,,2,,p x y q x y p q ==⊥，121240p q x x y y ∴⋅=+=，即(121240x x kx kx +=，()()21212430,k x x x x ∴+++=()()224(1)()340k k ∴+⨯-⋅-++=，解得22,k k =∴=，所以直线l的方程为y =.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，直线与椭圆的位置关系，以及向量的垂直关系的数量积表示，关键在于将目标条件转化为直线与椭圆的交点的坐标的韦达定理上，属于常考题，难度题.18.已知抛物线2:2y px Γ=（0p >）经过点(1,2)P ，直线l 与抛物线Γ有两个不同的交点A 、B ，直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N .(1)若直线l 过点(0,1)Q ，求直线l 的斜率的取值范围；(2)若直线l 过点(0,1)Q ，设(0,0)O ，QM QO λ=，QN QO μ=，求11λμ+的值；(3)若直线l 过抛物线Γ的焦点F ，交y 轴于点D ，DA AF λ=，DB BF μ=，求λμ+的值. 【答案】(1)(,1)-∞且3k ≠-且0k ≠；(2)112λμ+=；(3)1-.【解析】【分析】(1)由题意易得直线斜率存在且不为0，且直线PA 、PB 斜率存在，设出直线方程，并联立抛物线方程，根据交点有两个，得出>0∆，解不等式即可得直线斜率的范围.(2)根据QM QO λ=，QN QO μ=，得出λ、μ与点,M N 坐标之间的关系，再根据,,M A P 在同一直线上，,,N B P 在同一直线上，得出λ,μ与点,A B 坐标之间的关系，根据（1）中联立所得的方程得出点,A B 横坐标之间的关系，对原式进行化简，即可得11λμ+的值.(3) 设直线l 的方程为：()10,x my m =+≠联立直线与抛物线的方程得出点,A B 纵坐标之间的关系，再由DA AF λ=，DB BF μ=，得出λ、μ与点,A B 坐标之间的关系，对λμ+化简可求得λμ+的值.【详解】（1）因为抛物线2:2y px Γ=经过点(1,2)P ，所以42p =，所以2p =，所以抛物线Γ的解析式为24y x =。

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沪教版高二（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分；第7～12题每题5分.考生应在答题纸的相应位置直接填写结果）1．（4分）已知两点A（﹣1，2）、B（3，6），则直线AB的倾斜角为．2．（4分）向量在上的投影为．3．（4分）直线x+y+1＝0与直线2x﹣y+1＝0的夹角的大小等于（用反三角函数式表示）．4．（4分）如图为中国古籍《尚书》中记载的“洛书”，关于其传说被列为国家级非物质文化遗产．依据此数阵所示的行列式的元素2的代数余子式的值为．5．（4分）在平面直角坐标系中，以点为直径的圆的方程可以化为x2+y2+Dx+Ey+F＝0的形式，则D+E+F＝．6．（4分）平面直角坐标系xOy中，点A（4，﹣2），动点P满足，则动点P的轨迹方程是．7．（5分）某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是．8．（5分）已知数列的通项公式为，则＝．9．（5分）已知数轴上分别对应实数m、n（m＞n）的两个点E、F的距离用行列式可以表示为，类比于此，平面上三个成逆时针顺序的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）形成的三角形面积用行列式可表示为S＝．10．（5分）等比数列{a n}前n项和S n，首项为10，公比为2，则方程|x﹣S3|+|y+a3|＝10所表示的图形的面积为．11．（5分）平面上线段|GH|＝4，如果三角形GPH上的顶点P永远保持，那么随着P的运动，三角形GPH面积的最大值等于．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点O是坐标原点，点A（2，1），B（0，2），点P在圆（x﹣1）2+y2＝1上运动，若，则2x+y的最小值为．二、选择题（本大题满分20分.本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，每题选对得5分，否则一律得零分）13．（5分）已知过定点（4，5）的直线m的一个法向量是，则直线m的点方向式方程可以为（）A．3（x﹣4）＝2（y﹣5）B．C．3（x﹣4）﹣2（y﹣5）＝0D．14．（5分）用数学归纳法证明：，在第二步证明当n＝k+1成立时，通常要将12+22+32+…+k2+（k+1）2最终变形为（）A．B．C．D．15．（5分）列向量与不平行是二元一次方程组存在唯一解的_____条件（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．非充分非必要16．（5分）已知，由抛物线y＝x2、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域的面积为S．如图可以通过计算区域内多个等宽的矩形的面积总和来估算S．所谓“分之弥细，所失弥少”，这就是高中课本中的数列极限的思想．由此可以求出S的值为（）A．B．C．D．三、解答题（本大题满分76分.本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤）17．（14分）用行列式讨论关于x、y的二元一次方程解的情况并求解．18．（14分）已知向量的夹角为120°，且，设．（1）试用t来表示的值；（2）若与的夹角为钝角，试求实数t的取值范围．19．（14分）定义“矩阵”的种运算，该运算的意义为点（x，y）在矩阵变换下成点（ax+cy，bx+dy），设矩阵．（1）已知点P在矩阵A的变换后得到的点Q的坐标为（3，1），试求点P的坐标；（2）是否存在这样的直线：它上面的任一点经矩阵A变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这样的直线；若不存在，则说明理由．20．（16分）已知圆C：x2+y2＝4与坐标轴的正半轴交于A、B两点．（1）求坐标原点到直线AB的距离；（2）圆C上有两个动点S、T，使得，证明：点O到直线ST的距离为定值；（3）在圆D：x2+y2＝r2上任取一点U，在圆C上任取一点V，保持，点O到直线UV的距离为d，求出d关于r的函数d＝f（r），并求出其值域．21．（18分）平面直角坐标系xOy中，设P1（x1，y1），P2（x2，y2），…P n（x n，y n）（n≥3，n∈N）是圆C：（x﹣a）2+y2＝r2（r＞0）上的点，且构成了一个公差d不为零的等差数列{a n}．记S n＝a2+a2+…+a n．（1）若a＝r＝10，n＝3，P1（20，0）及S3＝1140，求点P3的坐标；（2）若a＝r，P1（0，0），对于给定的自然数n写出符合条件的点P1、P2、…、P n存在的充要条件，并说明理由；（3）若C：（x﹣a）2+y2＝r2（a＞0），点P1（a+r，0），对于给定的自然数n，当公差d变化时，求S n 的最小值．沪教版高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分；第7～12题每题5分.考生应在答题纸的相应位置直接填写结果）1．（4分）已知两点A（﹣1，2）、B（3，6），则直线AB的倾斜角为45° ．【解答】解：∵A（﹣1，2）、B（3，6），∴，由斜率等于倾斜角的正切值可得，直线AB的倾斜角为45°．故答案为：45°．2．（4分）向量在上的投影为．【解答】解：向量在上的投影为＝＝，故答案为：3．（4分）直线x+y+1＝0与直线2x﹣y+1＝0的夹角的大小等于arctan3（用反三角函数式表示）．【解答】解：直线x+y+1＝0与直线2x﹣y+1＝0的斜率分别为﹣1 和2，设直线x+y+1＝0与直线2x﹣y+1＝0的夹角为θ，则tanθ＝＝3，∴θ＝arctan3，故答案为：arctan3．4．（4分）如图为中国古籍《尚书》中记载的“洛书”，关于其传说被列为国家级非物质文化遗产．依据此数阵所示的行列式的元素2的代数余子式的值为﹣37．【解答】解：由中国古籍《尚书》中记载的“洛书”，得，∴依据此数阵所示的行列式的元素2的代数余子式的值为：（﹣1）1+3＝＝﹣37．故答案为：﹣37．5．（4分）在平面直角坐标系中，以点为直径的圆的方程可以化为x2+y2+Dx+Ey+F＝0的形式，则D+E+F＝﹣6+4．【解答】解：以点为直径的圆的圆心为（0，），半径为||＝＝，故该圆的方程为x2+＝，即x2+y2﹣（5+）y﹣1+5＝0．而已知圆的方程可以化为x2+y2+Dx+Ey+F＝0的形式，故D＝0，E＝﹣5﹣，F＝﹣1+5，∴D+E+F＝﹣6+4，故答案为：﹣6+4．6．（4分）平面直角坐标系xOy中，点A（4，﹣2），动点P满足，则动点P的轨迹方程是（x﹣2）2+（y+1）2＝9．【解答】解：设动点P（x，y），∵点A（4，﹣2），动点P满足，∴（x，y）•（x﹣4，y+2）＝4，整理得：x2﹣4x+y2+2y＝4，即动点P的轨迹方程为（x﹣2）2+（y+1）2＝9．故答案为：（x﹣2）2+（y+1）2＝9．7．（5分）某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是2047．【解答】解：模拟程序的运行，可得a＝1，a＝3不满足判断框内的条件，执行循环体，a＝7不满足判断框内的条件，执行循环体，a＝15不满足判断框内的条件，执行循环体，a＝31不满足判断框内的条件，执行循环体，a＝63不满足判断框内的条件，执行循环体，a＝127不满足判断框内的条件，执行循环体，a＝255不满足判断框内的条件，执行循环体，a＝511不满足判断框内的条件，执行循环体，a＝1023不满足判断框内的条件，执行循环体，a＝2047此时，满足判断框内的条件，退出循环，输出a的值为2047．故答案为：2047．8．（5分）已知数列的通项公式为，则＝﹣5．【解答】解：要求，即求，而＝＝．故答案为：﹣5．9．（5分）已知数轴上分别对应实数m、n（m＞n）的两个点E、F的距离用行列式可以表示为，类比于此，平面上三个成逆时针顺序的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）形成的三角形面积用行列式可表示为S＝||．【解答】解：由题意可类比得：平面上三个成逆时针顺序的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）形成的三角形面积用行列式可表示为S＝||．故答案为：||．10．（5分）等比数列{a n}前n项和S n，首项为10，公比为2，则方程|x﹣S3|+|y+a3|＝10所表示的图形的面积为200．【解答】解：等比数列{a n}前n项和S n，首项为10，公比为2，∴a3＝10×22＝40，S3＝＝70．则方程|x﹣S3|+|y+a3|＝10即|x﹣70|+|y+40|＝10，分类讨论：x≥70，y≥﹣40时，化为：x+y＝40．x＞70，y＜﹣40时，化为：x﹣y＝120．x＜70，y＞﹣40时，化为：x﹣y＝100．x＜70，y＜﹣40时，化为：x+y＝20．画出图形：所表示的图形正方形ABCD的面积＝＝200．故答案为：200．11．（5分）平面上线段|GH|＝4，如果三角形GPH上的顶点P永远保持，那么随着P的运动，三角形GPH面积的最大值等于．【解答】解：设P（x，y），以GH中点为原点，GH为x轴，GH的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，∵平面上线段|GH|＝4，三角形GPH上的顶点P永远保持，∴G（﹣2，0），H（2，0），＝2，y≠0，整理，得x2+y2﹣+4＝0，y≠0，圆心坐标（，0），半径r＝＝＝，∴三角形GPH面积的最大值S＝＝．故答案为：．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点O是坐标原点，点A（2，1），B（0，2），点P在圆（x﹣1）2+y2＝1上运动，若，则2x+y的最小值为1．【解答】解：点P在圆（x﹣1）2+y2＝1上运动，转换为参数方程为：（θ为参数），所以：，，，由于：，（2，1）＝x（0，2）+y（1+cosθ，sinθ），故：y＝，2x＝1﹣则：2x+y＝1+﹣，＝1+2（），设，故：t+t cosθ＝1﹣sinθ，t cosθ+sinθ＝1﹣t，所以：，由于，故：t≥0整理得：2x+y的最小值为1+2×0＝1．故答案为：1二、选择题（本大题满分20分.本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，每题选对得5分，否则一律得零分）13．（5分）已知过定点（4，5）的直线m的一个法向量是，则直线m的点方向式方程可以为（）A．3（x﹣4）＝2（y﹣5）B．C．3（x﹣4）﹣2（y﹣5）＝0D．【解答】解：∵直线m的一个法向量是，∴直线的一个方向向量为（3，2），∴直线的斜率为：．又∵直线过点A（4，5），∴直线的点方向式方程为：．故选：D．14．（5分）用数学归纳法证明：，在第二步证明当n ＝k+1成立时，通常要将12+22+32+…+k2+（k+1）2最终变形为（）A．B．C．D．【解答】解：用数学归纳法证明：，在第二步证明当n＝k+1成立时，通常要将12+22+32+…+k2+（k+1）2最终变形为，故选：D．15．（5分）列向量与不平行是二元一次方程组存在唯一解的_____条件（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．非充分非必要【解答】解：二元一次方程组存在唯一解充要条件为⇔a1b2≠a2b1，⇔向量与不平行，即列向量与不平行是二元一次方程组存在唯一解的充要条件，故选：C．16．（5分）已知，由抛物线y＝x2、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域的面积为S．如图可以通过计算区域内多个等宽的矩形的面积总和来估算S．所谓“分之弥细，所失弥少”，这就是高中课本中的数列极限的思想．由此可以求出S的值为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，令S＝x2dx＝x3＝×（1﹣0）＝，∴由抛物线y＝x2、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域的面积为S＝．故选：B．三、解答题（本大题满分76分.本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤）17．（14分）用行列式讨论关于x、y的二元一次方程解的情况并求解．【解答】解：由题意，可知：此二元一次方程组对应的系数行列式为：．①系数行列式＝0，即m2﹣4＝0，m＝±2．当m＝2时，二元一次方程组即为：，此时二元一次方程组无解；当m＝﹣2时，二元一次方程组即为：，此时二元一次方程组无解；②系数行列式≠0，即m2﹣4≠0，m≠±2．此时二元一次方程组有唯一解，此时唯一解为：．18．（14分）已知向量的夹角为120°，且，设．（1）试用t来表示的值；（2）若与的夹角为钝角，试求实数t的取值范围．【解答】解：（1）由已知有：＝||||cos120°＝1×＝﹣1，又，则＝（3﹣）•（t+2）＝3t2﹣22+（6﹣t）＝4t﹣14，故答案为：＝4t﹣14，（2）由与的夹角为钝角，则＝4t﹣14＜0且≠λ，即t且t≠﹣6，故答案为：（﹣∞，﹣6）．19．（14分）定义“矩阵”的种运算，该运算的意义为点（x，y）在矩阵变换下成点（ax+cy，bx+dy），设矩阵．（1）已知点P在矩阵A的变换后得到的点Q的坐标为（3，1），试求点P的坐标；（2）是否存在这样的直线：它上面的任一点经矩阵A变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这样的直线；若不存在，则说明理由．【解答】解：（1）由题意，可设点P的坐标（x，y），则有：（x，y）•＝（3，1），即：（x+3y，2x﹣y）＝（3，1）．∴，解得：．∴点P的坐标为：（）．（2）由题意，可假设这样的直线l存在，且直线方程为ax+by+c＝0．设直线l上任意一点P（x，y）经矩阵A变换后得到的点为P′（x′，y′）仍在该直线l上．则有：（x，y）•＝（x′，y′），即：（x+3y，2x﹣y）＝（x′，y′）．∴，∵任意一点P（x，y）在该直线l上，∴ax+by+c＝0．又∵点P′（x′，y′）仍在该直线l上，∴ax′+by′+c＝0．即：a（x+3y）+b（2x﹣y）+c＝0．整理，得：（a+2b）x+（3a﹣b）y+c＝0．∴，解得：．∴不存在这样的直线．20．（16分）已知圆C：x2+y2＝4与坐标轴的正半轴交于A、B两点．（1）求坐标原点到直线AB的距离；（2）圆C上有两个动点S、T，使得，证明：点O到直线ST的距离为定值；（3）在圆D：x2+y2＝r2上任取一点U，在圆C上任取一点V，保持，点O到直线UV的距离为d，求出d关于r的函数d＝f（r），并求出其值域．【解答】解：（1）圆C：x2+y2＝4与坐标轴的正半轴交于A、B两点，∴△AOB为等腰直角三角形，∴点O到直线AB的距离为，（2）证明：∵圆C上有两个动点S、T，使得，∴⊥，∴△SOT为等腰直角三角形，∴点O到直线ST的距离为，即点O到直线ST的距离为定值，（3）在圆D：x2+y2＝r2上任取一点U，在圆C上任取一点V，保持，∴⊥，∴OU＝r，OV＝2，∴|UV|＝，∴d•＝2r，∴d＝，∴d＝f（r）＝，∴d＝f（r）＝2•＝2∈（0，2）．21．（18分）平面直角坐标系xOy中，设P1（x1，y1），P2（x2，y2），…P n（x n，y n）（n≥3，n∈N）是圆C：（x﹣a）2+y2＝r2（r＞0）上的点，且构成了一个公差d不为零的等差数列{a n}．记S n＝a2+a2+…+a n．（1）若a＝r＝10，n＝3，P1（20，0）及S3＝1140，求点P3的坐标；（2）若a＝r，P1（0，0），对于给定的自然数n写出符合条件的点P1、P2、…、P n存在的充要条件，并说明理由；（3）若C：（x﹣a）2+y2＝r2（a＞0），点P1（a+r，0），对于给定的自然数n，当公差d变化时，求S n 的最小值．【解答】（1）由a1＝|OP1|2＝400，由S3＝（a1+a3）＝1140，得出a3＝360，联立方程：X2+Y2＝360，（X﹣10）2+Y2＝100，求得X＝18，Y＝±6，∴P3的坐标为（18，±6）（2）对于每个自然数k，1≤k≤n，|OP k|2＝（k﹣1）d，对于递增数列来说，最大值为k＝n时，（2r）2＝4r2∴|OP n|2＝（n﹣1）d＜4r2∴0＜d＜（3）由a1＝|OP1|2＝（a+r）2，∴OP k的最大值为a+r，最小值为|a﹣r|，∴d＜0∴a n＝|OP n|2＝（a+r）2+（n﹣1）d≥（a﹣r）2，得到0＞d≥﹣∵n≥3，∴＞0∴S n＝na2+在区间0＞d≥﹣递增，∴S n的最小值为n（a+r）2+＝n（a+r）2+（﹣）＝n（a2+r2）。