2017-2018学年上海市黄浦区大同中学高二(下)期末数学试卷及答案
2017-2018学年上海市黄浦区大同中学高二（下）期末数学试卷一、填空题（30分）1．（3分）﹣3的平方根是．2．（3分）已知方程x2﹣（2i﹣1）x+3m﹣i＝0有实数根，则实数m为．3．（3分）已知直线a，b和平面α，若a∥b，且直线b在平面α上，则a与α的位置关系是．4．（3分）一个高为1的正三棱锥的底面正三角形的边长为6，则此三棱锥的侧面积为．5．（3分）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为．6．（3分）已知（1﹣2x）7＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，则a1+a3+a5+a7＝7．（3分）8人排成前后两排，前排3人后排5人，甲、乙在后排，且不相邻的排法有几种8．（3分）已知复数z和ω满足|z|﹣＝，且ω2＝z，则复数ω＝．9．（3分）如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点，∠ABC＝90°，BA＝BC，球心O 到平面ABC的距离是，则B、C两点的球面距离是．10．（3分）在体积为9的斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，S是C1C上的一点，S﹣ABC的体积为2，则三棱锥S﹣A1B1C1的体积为二、选择题（16分）：11．（3分）从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，在取出的3台中至少有甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有（）A．140种B．80种C．70种D．35种12．（3分）下列四个命题中真命题是（）A．同垂直于一直线的两条直线互相平行B．底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱C．过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条D．过球面上任意两点的大圆有且只有一个13．（3分）已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A．cm3B．cm3C．2 000 cm3D．4 000 cm3 14．（3分）从一批苹果中抽出5只苹果，它们的质量分别为125 a 121 b 127（单位：克）；若该样本的中位数和平均值均为124，则该样本的标准差s是（）A．4B．5C．2D．三、解答题（54分）：15．已知（+）n的展开式前三项中的系数成等差数列．（1）求n的值和展开式系数的和；（2）求展开式中所有x的有理项．16．有5人进入到一列有7节车厢的地铁中，分别求下列情况的概率（用数字作最终答案）：（1）恰好有5节车厢各有一人；（2）恰好有2节不相邻的空车厢；（3）恰好有3节车厢有人．17．已知复数z＝a+bi（a，b∈R），若存在实数t，使＝﹣3ati成立．（1）求证：2a+b为定值；（2）若|z﹣2|＜a，求|z|的取值范围．18．如图，圆锥的顶点是S，底面中心为O，OC是与底面直径AB垂直的一条半径，D是母线SC的中点．（1）设圆往的高为4，异面直线AD与BC所成角为arccos，求圆锥的体积；（2）当圆锥的高和底面半径是（1）中的值时，求二面角B﹣AD﹣C的大小．19．如图四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G 在AD上，且PG＝4，AG＝GD，BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中点．（1）求异面直线GE与PC所成的角的余弦值；（2）求点D到平面PBG的距离；（3）若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求的值．2017-2018学年上海市黄浦区大同中学高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（30分）1．【考点】A1：虚数单位i、复数．【解答】解：设（a+bi）2＝﹣3，其中a，b∈R．化为a2﹣b2+2abi＝﹣3，∴，解得a＝0，b＝．∴﹣3的平方根为：i．故答案为：．【点评】本题考查了复数的平方根、复数的运算法则、复数相等，属于基础题．2．【考点】A5：复数的运算．【解答】解：设方程的实根为x0，则，∵x0、m∈R，∴方程变形为，由复数相等的充要条件得，解得．则实数m为．故答案为：．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系问题的应用，考查了复数相等的充要条件，是基础题．3．【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【解答】解：直线a，b和平面α，若a∥b，且直线b在平面α上，则a与α的位置关系是：a∥α或a⊂α．如图：故答案为：a∥α或a⊂α．【点评】本题考查直线与平面的位置关系的判断，基本知识的考查．4．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【解答】解：由题意作出图形如图：因为三棱锥P﹣ABC是正三棱锥，顶点在底面上的射影D是底面的中心，在三角PDF中，∵三角形PDF三边长PD＝1，DF＝，∴PF＝2则这个棱锥的侧面积S侧＝3××6×1＝18．故答案为：18．【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积，棱锥的结构特征，还考查计算能力，是基础题．5．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【解答】解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，因为4π＝πl2，所以母线长为l＝2，又半圆的弧长为2π，圆锥的底面的周长为2πr＝2π，所以底面圆半径为r＝1，所以该圆锥的高为h＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了圆锥体的侧面展开图的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力的应用问题，是基础题目．6．【考点】DA：二项式定理．【解答】解：根据题意，（1﹣2x）7＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，令x＝1可得：（﹣1）7＝a0+a1+a2+…+a7，即a0+a1+a2+…+a7＝﹣1，①令x＝﹣1可得：（3）7＝a0﹣a1﹣a2+…+a7，即a0﹣a1+a2+…+a7＝2187②①﹣②可得：2（a1+a3+a5+a7）＝﹣2188；则a1+a3+a5+a7＝﹣1094；故答案为：﹣1094．【点评】本题考查二项式定理的应用，注意用特殊值的使用，属于基础题．7．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，在除甲乙之外的6人中任选3人，与甲乙一起排在后排，由于甲乙不能相邻，则有××＝1440种情况，②，将剩下的三人全排列，安排在前排，有A33＝6种情况，则有1440×6＝8640种排法；故答案为：8640．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意优先分析受到限制的元素，属于基础题．8．【考点】A5：复数的运算；A8：复数的模．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），由|z|﹣＝，得，∴，则a＝0，b＝2．∴z＝2i．令ω＝m+ni（m，n∈R），由ω2＝z，得（m+ni）2＝m2﹣n2+2mni＝2i，∴，则m＝n＝1或m＝n＝﹣1．∴ω＝1+i或﹣1﹣i．故答案为：1+i或﹣1﹣i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是中档题．9．【考点】L*：球面距离及相关计算．【解答】解答：解：∵AC是小圆的直径．所以过球心O作小圆的垂线，垂足O’是AC的中点．O’C＝，AC＝3 ，∴BC＝3，即BC＝OB＝OC．∴，则B、C两点的球面距离＝．故答案为：π．【点评】点评：高考中时常出现与球有关的题目的考查，这类题目具有一定的难度．在球的问题解答时，有时若能通过构造加以转化，往往能化难为易，方便简洁．解有关球面距离的问题，最关键是突出球心，找出数量关系．10．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【解答】解：如图，设三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面积为S′，高为h，则S′h＝9，S′＝，再设S到底面ABC的距离为h′，则，得，∴，则S到上底面A1B1C1的距离为．∴三棱锥S﹣A1B1C1的体积为．故答案为：1．【点评】本题考查棱柱、棱锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．二、选择题（16分）：11．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【解答】解：甲型电视机2台和乙型电视机1台，取法有C42C51＝30种；甲型电视机1台和乙型电视机2台，取法有C41C52＝40种；共有30+40＝70种．故选：C．【点评】本题考查组合及组合数公式，考查分类讨论思想，是基础题．12．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【解答】解：对于A，同垂直于一直线的两条直线不一定互相平行，故错；对于B，底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是直四棱柱，不一定是正四棱柱，故错；对于C，两条异面直线的公垂线是唯一的，所以过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条，正确；对于D，过球面上任意两点的大圆有无数个，故错；故选：C．【点评】本题考查了命题真假的判定，属于基础题．13．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【解答】解：由三视图可知，该几何体为四棱锥，底面ABCD为边长为20cm的正方体，OE⊥CD且E是CD的中点，所以棱锥的高OE＝20cm．所以四棱锥的体积为．选B．故选：B．【点评】本题主要考查三视图的应用，以及空间几何体的体积，要求熟练掌握空间几何体的体积公式．14．【考点】BB：众数、中位数、平均数；BC：极差、方差与标准差．【解答】解：从一批苹果中抽出5只苹果，它们的质量分别为125 a 121 b 127（单位：克），该样本的中位数和平均值均为124，∴a，b中一个是124，另一个是：5×124﹣125﹣124﹣121﹣127＝123，∴样本方差s2＝（12+02+32+12+32）＝4，∴该样本的标准差s是2．故选：C．【点评】本题考查样本的标准差的求法，考查平均数、中位数、方差、标准差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．三、解答题（54分）：15．【考点】DA：二项式定理．（+）n的展开式的通项为T r+1＝∁n r（）n﹣r（）（1）根据题意，【解答】解：r，r，其系数为×∁n其第一项的系数为∁n0＝1，第二项的系数为∁n1＝，第三项的系数为∁n2＝，若其展开式前三项中的系数成等差数列，则2×＝1+，解可得：n＝8或n＝1，又由n≥3，则n＝8，在（+）8中，令x＝1可得：（+）8＝（）8＝；（2）由（1）的结论，n＝8，则（+）8的展开式的通项为T r+1＝C8r（）8﹣r（）r＝×C8r，当r＝0时，有T1＝x4，当r＝4时，有T5＝x，当r＝8时，有T9＝x﹣2；则展开式中所有x的有理项为x4，x，x﹣2．【点评】本题考查二项式定理的应用，关键是掌握二项式定理的形式，属于基础题．16．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【解答】解：（1）5人进入到一列有7节车厢的地铁中，基本事件总数n＝75＝16807，恰好有5节车厢各有一人包含的基本事件的个数m1＝＝2520，∴恰好有5节车厢各有一人的概率p1＝＝＝．（2）恰好有2节不相邻的空车厢包含的基本事件的个数m2＝＝3600，∴恰好有2节不相邻的空车厢的概率P2＝＝．（3）恰好有3节车厢有人包含的基本事件个数m3＝＝5250．∴恰好有3节车厢有人的概率p3＝＝＝．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17．【考点】A5：复数的运算．【解答】解：（1）证明：∵复数z＝a+bi（a、b∈R），若存在实数t使a﹣bi＝﹣3ati 成立，则ta﹣tbi＝2+（4﹣3at2）i，可得ta＝2，﹣tb＝4﹣3at2，∴﹣b•＝4﹣3a•，即﹣2b ＝4a﹣12，化简可得2a+b＝6，即2a+b为定值．（2）若|z﹣2|＜a，则＜a，∴a＞0，且＞a．化简可得（a﹣2）（a﹣5）＞0，求得0＜a＜2，或a＞5．而|z|＝＝＝，当0＜a＜2 时，|z|∈（2，6）；当a＞5 时，|z|＞．综上可得，|z|的取值范围为（2，6）∪（，+∞）．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相等的充要条件，二次函数的性质，属于基础题．18．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；MJ：二面角的平面角及求法．【解答】解：（1）建立如图坐标系，设底面半径为r，由高为4．得：D（，0，2），B（0，r，0），C（r，0，0），A（0，﹣r，0），S（0，0，4），则＝（，r，2），＝（r，﹣r，0），∵异面直线AD与BC所成角为arccos，∴＝＝，解得r＝2，∴圆锥的体积V＝＝．（2）A（0，﹣2，0），B（0，2，0），D（1，0，2），C（2，0，0），＝（0，4，0），＝（2，2，0），＝（1，2，2），设平面ABD的法向量＝（x，y，z），则，取z＝1，得＝（﹣2，0，1），设平面ACD的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣1，），设二面角B﹣AD﹣C的大小为θ，则cosθ＝＝＝，∴θ＝arccos，∴二面角B﹣AD﹣C的大小为arccos．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．【考点】LM：异面直线及其所成的角；MK：点、线、面间的距离计算．【解答】解：（1）以G点为原点，GB，GC，GP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，4），故E（1，1，0）＝（1，1，0），＝（0，2，4）．cos＝，∴GE与PC所成的余弦值为（2）平面PBG的单位法向量＝（0，±1，0）∵，∴点D到平面PBG的距离为|•|＝（3）设F（0，y，z），则∵，∴∴，∴y＝，又，即（0，，z﹣4）＝λ（0，2，﹣4），∴z＝1，故F（0，，1），，，∴＝3．【点评】本题考查空间几何量的计算，准确把握立体几何的最新发展趋势：这样可以减低题目的难度，坚持向量法与公理化法的“双轨”处理模式，在复习备考时应引起高度注意．。
2017-2018年上海市大同中学高二下期末
2018年大同中学高二下期末数学试卷一、填空题1.3-的平方根是____________2.已知方程()22130x i x m i --+-=有实根，则实数m =____________3.已知直线,a b 和平面α，若a //b ，则直线b 在平面α上，则a 与α的位置关系是____________4.一个高为1的正三棱锥的底面正三角形的边长为6，则此三棱锥的侧面积为____________5.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为____________6.已知()727012712x a a x a x a x -=++++，则1357a a a a +++=____________7.8人排成前后两排，前排3人后排5人，甲、乙在后排，且不相邻的排法有几种____________8.已知复数z 和ω满足41z z i-=-且2z ω=，则复数ω=____________ 9.如图，在半径为3的球面上有A 、B 、C 三点，∠ABC =90°，BA =BC ，球心O 到平面ABC 的距离是2，则B 、C 两点的球面距是____________10.在体积为9的斜三棱柱111ABC A B C -中，S 是1C C 上的一点，S -ABC 的体积为2，则三棱锥111S A B C -的体积为____________二、选择题11.从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，在取出的3台中至少有甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有（ ）A .140种B .80种C .70种D .35种12.下列四个命题中真命题是（ ）A .同垂直于一直线的两条直线互相平行B .底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱C .过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且仅有一条D .过球面上任意两点的大圆有且只有一个13.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（ ）A . 400033cm B . 800033cm C .20003cm D .40003cm 14.从一批苹果中抽出5只苹果，它们的质量分别为125 a 121 b 127（单位：克）；若该样本的中位数和平均值均为124，则该样本的标准差s 是（ ）A .4B .5C .2D .三、解答题15.已知n的展开式前三项中的系数成等差数列. （1）求n 的值和展开式系数的和；（2）求展开式中所有x 的有理项. 16.有5人进入到一列有7节车厢的地铁中，分别求下列情况的概率（用数字作最终答案）：（1）恰好有5节车厢各有一人；（2）恰好有2节不相邻的空车厢；（3）恰好有3节车厢有人.17.已知复数(),z a bi a b R =+∈，若存在实数t ，使243i z ati t+=-成立. （1）求证：2a b +为定值；（2）若2z a -<，求z 的取值范围. 18.如图，圆锥的顶点是S ，底面中心为O ，OC 是与底面直径AB 垂直的一条半径，D 是母线SC 的中点.（1）设圆锥的高为4，异面直线AD 与BC所成角为arccos 6，求圆锥的体积； （2）当圆锥的高和底面半径是（1）中的值时，求二面角B -AD -C 的大小.19.如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且PG=4，13AG GD，BG⊥CG，GB=GC=2，E是BC的中点.（1）求异面直线GE与PC所成的角的余弦值；（2）求点D到平面PBG的距离；（3）若F点时棱PC上一点，且DF⊥GC，求PFFC的值.参考答案一、填空题1. 2. 112 3.a //α或a α=⊂ 4. 18 5. 6. 1094-7.86408.1i +或1i -- 9.π10. 1二、选择题11.C 12. B 13. B 14. C三、解答题15.（1）n =8时，系数和为6561256；（2）有理项为：4x 、358x 、21256x-16.（1）概率为2520；（2）概率为3600；（3）概率为525017.（1）26a b +=，证明略；（2）())⋃+∞18.（1）163π；（2）2π19.（1）10；（2）32；（3）3。
高二数学下学期期末考试试题理(含解析)
2017—2018学年度第二学期期末教学质量检测高二理科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.1.已知复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据复数的除法法则求解可得结果．详解：∵，∴．故选C．点睛：本题考查复数的除法运算，考查学生的运算能力，解题时根据法则求解即可，属于容易题．2.2.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以，是函数的极值点.以上推理中（）A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 结论正确【答案】A【解析】分析：根据极值定义得导数为零的点不一定为极值点，得大前提错误.详解：因为根据极值定义得导数为零的点不一定为极值点，所以如果f ' (x0)=0，那么x=x0不一定是函数f(x)的极值点，即大前提错误.选A.点睛：本题考查极值定义以及三段论概念，考查对概念理解与识别能力.3.3.在回归分析中，的值越大，说明残差平方和（）A. 越小B. 越大C. 可能大也可能小D. 以上都不对【答案】A【解析】分析：根据的公式和性质，并结合残差平方和的意义可得结论．详解：用相关指数的值判断模型的拟合效果时，当的值越大时，模型的拟合效果越好，此时说明残差平方和越小；当的值越小时，模型的拟合效果越差，此时说明残差平方和越大．故选A．点睛：主要考查对回归分析的基本思想及其初步应用等知识的理解，解题的关键是熟知有关的概念和性质，并结合条件得到答案．4.4.用火柴棒摆“金鱼”，如图所示，按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得，第1个“金鱼”需要火柴棒的根数为；第2个“金鱼”需要火柴棒的根数为；第3个“金鱼”需要火柴棒的根数为，构成首项为，公差为的等差数列，所以第个“金鱼”需要火柴棒的根数为，故选C.5.5.如果函数y＝f(x)的图象如图所示，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由原函数图像可知函数单调性先增后减再增再减，所以导数值先正后负再正再负，只有A正确考点：函数导数与单调性及函数图像6.6.某产品的广告费用万元与销售额万元的统计数据如下表：根据以上数据可得回归直线方程，其中，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为65.5万元，则，的值为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】分析：根据回归直线过样本中心和条件中给出的预测值得到关于，的方程组，解方程组可得所求．详解：由题意得，又回归方程为，由题意得，解得．故选C．点睛：线性回归方程过样本中心是一个重要的结论，利用此结论可求回归方程中的参数，也可求样本数据中的参数．根据回归方程进行预测时，得到的数值只是一个估计值，解题时要注意这一点．7.7.利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变到时，左边增加了（）A. 1项B. 项C. 项D. 项【答案】C【解析】分析：先表示出、，通过对比观察由变到时，项数增加了多少项. 详解：因为，所以当，当，所以由变到时增加的项数为.点睛：本题考查数学归纳法的操作步骤，解决本题的关键是首先观察出分母连续的整数，当，，由此可得变化过程中左边增加了多少项，意在考查学生的基本分析、计算能力．8.8.如图，用、、三类不同的元件连接成一个系统.当正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知、、正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为（）A. 0.960B. 0.864C. 0.720D. 0.576【答案】B【解析】试题分析：系统正常工作当①正常工作，不能正常工作，②正常工作，不能正常工作,③正常工作，因此概率.考点：独立事件的概率.9.9.设复数，若，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】若则，则的概率为：作出如图，则概率为直线上方与圆的公共部分的面积除以整个圆的面积，即：10.10.设函数的定义域为，若对于给定的正数，定义函数，则当函数，时，定积分的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据的定义求出的表达式，然后根据定积分的运算法则可得结论．详解：由题意可得，当时，，即．所以．故选D．点睛：解答本题时注意两点：一是根据题意得到函数的解析式是解题的关键；二是求定积分时要合理的运用定积分的运算性质，可使得计算简单易行．11.11.已知等差数列的第项是二项式展开式的常数项，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：二项式展开中常数项肯定不含，所以为，所以原二项式展开中的常数项应该为，即，则，故本题的正确选项为C.考点：二项式定理.12.12.已知函数的定义域为，为的导函数，且，若，则函数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据题意求得函数的解析式，进而得到的解析式，然后根据函数的特征求得最值．详解：由，得，∴，设（为常数），∵，∴，∴，∴，∴，∴当x=0时，；当时，，故当时，，当时等号成立，此时；当时，，当时等号成立，此时．综上可得，即函数的取值范围为．故选B．点睛：解答本题时注意从所给出的条件出发，并结合导数的运算法则利用构造法求出函数的解析式；求最值时要结合函数解析式的特征，选择基本不等式求解，求解时注意应用不等式的条件，确保等号能成立．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.13.已知随机变量服从正态分布，若，则等于__________．【答案】0.36【解析】.14.14.从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答）【答案】660【解析】【详解】第一类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有种；第二类，先选女男，有种，这人选人作为队长和副队有种，故有种，根据分类计数原理共有种，故答案为.15.15.的展开式中的系数是__________．【答案】243【解析】分析：先得到二项式的展开式的通项，然后根据组合的方式可得到所求项的系数．详解：二项式展开式的通项为，∴展开式中的系数为.点睛：对于非二项式的问题，解题时可转化为二项式的问题处理，对于无法转化为二项式的问题，可根据组合的方式“凑”出所求的项或其系数，此时要注意考虑问题的全面性，防止漏掉部分情况．16.16.已知是奇函数，当时，，（），当时，的最小值为1，则的值等于__________．【答案】1【解析】试题分析：由于当时，的最小值为，且函数是奇函数，所以当时，有最大值为-1，从而由，所以有；故答案为：1．考点：1．函数的奇偶性；2．函数的导数与最值．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.17.复数，，若是实数，求实数的值.【答案】【解析】分析：由题意求得，进而得到的代数形式，然后根据是实数可求得实数的值．详解：.∵是实数，∴，解得或，∵，∴，∴．点睛：本题考查复数的有关概念，解题的关键是求出的代数形式，然后根据该复数的实部不为零虚部为零得到关于实数的方程可得所求，解题时不要忽视分母不为零的限制条件．18.18.某险种的基本保费为（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次0 1 2 3 4数保费设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次0 1 2 3 4数概率0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（2）已知一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出的概率.【答案】（1）0.55（2）【解析】分析：（1）将保费高于基本保费转化为一年内的出险次数，再根据表中的概率求解即可．（2）根据条件概率并结合表中的数据求解可得结论．详解：（1）设表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于1，故．（2）设表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出”，则事件发生当且仅当一年内出险次数大于3，故．又，故，因此其保费比基本保费高出的概率为．点睛：求概率时，对于条件中含有“在……的条件下，求……发生的概率”的问题，一般为条件概率，求解时可根据条件概率的定义或利用古典概型概率求解．19.19.在数列，中，，，且，，成等差数列，，，成等比数列（）.（1）求，，及，，；（2）根据计算结果，猜想，的通项公式，并用数学归纳法证明.【答案】(1) ，，，，， (2) 猜想，，证明见解析【解析】分析：（1）根据条件中，，成等差数列，，，成等比数列及所给数据求解即可．（2）用数学归纳法证明．详解：（1）由已知条件得，，由此算出，，，，，.（2）由（1）的计算可以猜想，，下面用数学归纳法证明：①当时，由已知，可得结论成立.②假设当（且）时猜想成立，即，.则当时，，，因此当时，结论也成立.由①②知，对一切都有，成立．点睛：用数学归纳法证明问题时要严格按照数学归纳法的步骤书写，特别是对初始值的验证不可省略，有时可能要取两个(或两个以上)初始值进行验证，初始值的验证是归纳假设的基础；第二步的证明是递推的依据，证明时必须要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．20.20.学校为了对教师教学水平和教师管理水平进行评价，从该校学生中选出300人进行统计.其中对教师教学水平给出好评的学生人数为总数的，对教师管理水平给出好评的学生人数为总数的，其中对教师教学水平和教师管理水平都给出好评的有120人.（1）填写教师教学水平和教师管理水平评价的列联表：对教师管理水平不满合计对教师管理水平好评意对教师教学水平好评对教师教学水平不满意合计请问是否可以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关？（2）若将频率视为概率，有4人参与了此次评价，设对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数为随机变量.①求对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数的分布列（概率用组合数算式表示）；②求的数学期望和方差.0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828（，其中）【答案】(1) 可以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关. (2) ①见解析②，【解析】分析：（1）由题意得到列联表，根据列联表求得的值后，再根据临界值表可得结论．（2）①由条件得到的所有可能取值，再求出每个取值对应的概率，由此可得分布列．②由于，结合公式可得期望和方差．详解：（1）由题意可得关于教师教学水平和教师管理水平评价的列联表：对教师管理水平好评对教师管理水平不满意合计对教师教学水平好评120 60 180对教师教学水平不满意105 15 120合计225 75 300由表中数据可得，所以可以在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关.（2）①对教师教学水平和教师管理水平全好评的概率为，且的取值可以是0，1，2，3，4，其中；；；；，所以的分布列为：0 1 2 3 4②由于，则，.点睛：求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算，对于二项分布的均值和方差可根据公式直接计算即可．21.21.已知函数，（为自然对数的底数，）.（1）判断曲线在点处的切线与曲线的公共点个数；（2）当时，若函数有两个零点，求的取值范围.【答案】(1)见解析(2)【解析】分析：（1）根据导数的几何意义可得切线方程，然后根据切线方程与联立得到的方程组的解的个数可得结论．（2）由题意求得的解析式，然后通过分离参数，并结合函数的图象可得所求的范围．详解：（1）∵，∴，∴.又，∴曲线在点处的切线方程为．由得.故，所以当，即或时，切线与曲线有两个公共点；当，即或时，切线与曲线有一个公共点；当，即时，切线与曲线没有公共点.（2）由题意得，由，得，设，则.又，所以当时，单调递减；当时，单调递增．所以.又，，结合函数图象可得，当时，方程有两个不同的实数根，故当时，函数有两个零点．点睛：函数零点个数（方程根的个数、两函数图象公共点的个数）的判断方法：（1）结合零点存在性定理，利用函数的性质确定函数零点个数；（2）构造合适的函数，判断出函数的单调性，利用函数图象公共点的个数判断方程根的个数或函数零点个数．请考生在22～23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点的直角坐标为，曲线的极坐标方程为，直线过点且与曲线相交于，两点.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若，求直线的直角坐标方程.【答案】(1) (2) 直线的直角坐标方程为或【解析】分析：（1）根据极坐标和直角坐标间的转化公式可得所求．（2）根据题意设出直线的参数方程，代入圆的方程后得到关于参数的二次方程，根据根与系数的关系和弦长公式可求得倾斜角的三角函数值，进而可得直线的直角坐标方程．详解：（1）由，可得，得，∴曲线的直角坐标方程为.（2）由题意设直线的参数方程为（为参数），将参数方程①代入圆的方程，得，∵直线与圆交于，两点，∴．设，两点对应的参数分别为，，则，∴，化简有，解得或，∴直线的直角坐标方程为或.点睛：利用直线参数方程中参数的几何意义解题时，要注意使用的前提条件，只有当参数的系数的平方和为1时，参数的绝对值才表示直线上的动点到定点的距离．同时解题时要注意根据系数关系的运用，合理运用整体代换可使得运算简单．23.23.已知函数的定义域为.（1）若，解不等式；（2）若，求证：.【答案】(1) (2)见解析【解析】分析：（1）由可得，然后将不等式中的绝对值去掉后解不等式可得所求．（2）结合题意运用绝对值的三角不等式证明即可．详解：（1），即，则，∴，∴不等式化为．①当时，不等式化为，解得；②当时，不等式化为，解得.综上可得．∴原不等式的解集为.（2）证明：∵，∴.又，∴.点睛：含绝对值不等式的常用解法（1）基本性质法：当a>0时，|x|＜a⇔－a＜x＜a，|x|＞a⇔x＜－a或x＞a．（2）零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．（3）几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．（4）数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．。
上海市浦东新区2017-2018学年高二下学期期末考试数学试题(含精品解析)
2017-2018学年第二学期高二数学期末质量检测一、填空题（本大题共有12小题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1. 抛物线的准线方程是________.【答案】【解析】分析：利用抛物线的准线方程为，可得抛物线的准线方程.详解：因为抛物线的准线方程为，所以抛物线的准线方程为，故答案为.点睛：本题考查抛物线的准线方程和简单性质，意在考查对基本性质的掌握情况，属于简单题.2. 设复数满足，则＝__________.【答案】【解析】分析：由可得，再利用两个复数代数形式的除法法则化简，结合共轭复数的定义可得结果.详解：满足，，所以，故答案为.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3. 若一个球的体积为，则该球的表面积为_________.【答案】【解析】由题意，根据球的体积公式，则，解得，又根据球的表面积公式，所以该球的表面积为.4. 在正四面体P-ABC，已知M为AB的中点，则PA与CM所成角的余弦值为____.【答案】【解析】分析：取的中点，连接，由三角形中位线定理可得即为与所成的角或其补角，利用余弦定理可得结果.详解：取的中点，连接，由三角形中位线定理可得，，故即为与所成的角或其补角，因为是正四面体，不妨设令其棱长为，则由正四面体的性质可求得，故，故答案为.点睛：本题主要考查余弦定理的应用以及异面直线所成角的求法，求异面直线所成的角的做题步骤分为三步，分别为：作角、证角、求角，尤其是第二步证明过程不可少，是本题易失点分，切记.5. 若复数满足，则的取值范围是________【答案】【解析】分析：由复数的几何意义解得点的轨迹为以为端点的线段，表示线段上的点到的距离，根据数形结合思想，结合点到直线距离公式可得结果.详解：因为复数满足，在复平面内设复数对应的点为，则到的距离之和为，所以点的轨迹为以为端点的线段，表示线段上的点到的距离，可得最小距离是与的距离，等于；最大距离是与的距离，等于；即的取值范围是，故答案为.点睛：本题考查复数的模，复数的几何意义，是基础题.复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若，则表示点与点的距离，表示以为圆心，以为半径的圆.6. —个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是(0,0,0)、(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)，则该四面体的体积为________.【答案】【解析】分析：满足条件的四面体为正方体的一个角，利用三棱锥的体积计算公式即可得出结果.详解：如图所示，满足条件的四面体为正方体的一个角，该四面体的体积，故答案为.点睛：本题主要考查空间直角坐标系与三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象力、推理能力与计算能力，属于中档题.7. 若复数为纯虚数，则实数=______.【答案】【解析】分析：纯虚数的表现形式是中，且，根据这个条件，列出关于的方程组，从而可得结果.详解：复数为纯虚数，且，，故答案为.点睛：本题主要考查纯虚数的定义，意在考查对基本概念掌握的熟练程度，属于简单题.8. 以椭圆的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线方程的标准方程是_______.【答案】【解析】分析：由椭圆的焦点为，顶点为，可得双曲线的焦点与顶点，从而可得双曲线方程.详解：椭圆的焦点为，顶点为，双曲线的顶点与焦点分别为，可得，所以双曲线方程是，故答案为.点睛：本题考查椭圆与双曲线的简单性质应用，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力，解题时要认真注意审题，特别注意考虑双曲线的焦点位置.9. 将圆心角为，面积为的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为___．【答案】【解析】分析：由扇形的面积公式求出扇形的半径，得到圆锥的母线长，由弧长公式得圆锥底面半径，由勾股定理求得圆锥的高，由圆锥的体积公式可得结果.详解：如图，设扇形的半径为，则，即，圆锥的母线长为，设圆锥底面半径为，由，解得，则圆锥的高为，圆锥的体积为，故答案为.点睛：本题考查圆锥的体积公式，圆锥的侧面展开图、考查数形结合的解题思想方法，明确圆锥侧面展开图中的量与圆锥中的量之间的关系是解题的关键，本题属于中档题.10. 球的半径为，被两个相互平行的平面所截得圆的直径分别为和，则这两个平面之间的距离是_______.【答案】7或1【解析】分析：两条平行的平面可能在球心的同旁或两旁，应分两种情况进行讨论，分别利用勾股定理求解即可.详解：球心到两个平面的距离分别为，，故两平面之间的距离（同侧）或（异侧），故答案为或.点睛：本题考查球的截面性质，属于中档题.在解答与球截面有关的问题时，一定要注意性质的运用.11. 三棱锥V-ABC的底面ABC与侧面VAB都是边长为a的正三角形，则棱VC的长度的取值范围是_________.【答案】【解析】分析：设的中点为，连接，由余弦定理可得，利用三角函数的有界性可得结果.详解：设的中点为，连接，则是二面角的平面角，可得，在三角形中由余弦定理可得，，即的取值范围是，为故答案为.点睛：本题主要考查空间两点的距离、余弦定理的应用，意在考查空间想象能力、数形结合思想的应用，属于中档题.12. 给出下列几个命题：①三点确定一个平面；②一个点和一条直线确定一个平面；③垂直于同一直线的两直线平行；④平行于同一直线的两直线平行.其中正确命题的序号是____.【答案】④【解析】分析：由三点可能共线可判断①错；由点可能在直线上可判断②错；由两直线可能相交、异面判断③错；根据公理可判定④正确.详解：①不共线的三点确定一个平面，故①错误；②一条直线和直线外一点确定一个平面，故②错误；③垂直于同一直线的两直线相交、平行或异面，故③错误；④平行于同一直线的两直线平行，故④正确，故答案为④.点睛：本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意平面的基本性质及推理的合理运用. 空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.二、选择题(本大题共有4小题，满分12分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分．13. 在空间中，“直线平面”是“直线与平面内无穷多条直线都垂直”的( )．A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】A【解析】若“直线平面”则“直线与平面内无穷多条直线都垂直”，正确；反之，若“直线与平面内无穷多条直线都垂直”则“直线平面”是错误的，故直线平面”是“直线与平面内无穷多条直线都垂直”的充分非必要条件.故选A.14. 已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，=3，那么直线与平面所成角的正弦值为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】略视频15. 设直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是（）.A. 垂直B. 平行C. 直线在平面内D. 直线在平面内或平行【答案】D【解析】∵直线的一个方向向量，平面的一个法向量∴∴直线在平面内或平行故选D.16. 对于复数，给出下列三个运算式子：（1），（2），（3）.其中正确的个数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：根据复数的几何意义可得（1）正确；根据复数模的公式计算可得到（2）正确；根据复数乘法运算法则可判断（3）正确，从而可得结果.详解：根据复数的几何意义，由三角形两边之和大于第三边可得，（1）正确；设，则，，（2）正确；根据复数乘法的运算法则可知，（3）正确，即正确命题的个数是，故选D.点睛：本题主要考查复数模的公式、复数的几何意义、复数乘法的运算法则，意在考查基础知识掌握的熟练程度，以及综合运用所学知识解决问题的能力，属于难题.三、解答题（本大题共有5小题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤．17. 已知关于的方程x2+kx+k2﹣2k=0有一个模为的虚根，求实数k的值．【答案】1【解析】分析：设两根为、，则，，得，利用韦达定理列方程可求得的值，结合判别式小于零即可得结果.详解：由题意，得或，设两根为、，则，，得，．所以．18. 如图，正四棱柱的底面边长，若异面直线与所成角的大小为，求正四棱柱的体积.【答案】16【解析】分析：由正四棱柱的性质得，从而，进而，由此能求出正四棱柱的体积.详解：∵∴为与所成角且∵，∴点睛：本题主要考查异面直线所成的角、正四棱柱的性质以及棱柱的体积的公式，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养. 求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角.19. 已知双曲线，为上的任意点。
2017年高二第二学期数学期末考试试题
第1页 共4页 第2页 共4页高二第二学期数学期末试题（卷）一、 选择题（每小题3分，共30分）1、长轴长为6，短轴长为4，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为（ ）A 、13422=+y x B 、14322=+y x 6 C 、14922=+y x D 、19422=+y x 2、=9798C （ ）A.96B.97C.98D.993、=5.22cos 5.22sin ( )A 、22B 、2C 、22D 、424、若212cos=α，则=αcos （ ） A 、21- B 、21C 、1-D 、15、在△ABC 中，已知∠A=45，2=a ，2=b ，那么∠C 为（ ）A 、 60B 、 30C 、 105D 、15030或 6、抛物线241x y -=的准线方程为（ ） A 、1=y B 、1-=y C 、161-=x D 、161=x 7、顶点在原点，对称轴是x 轴，焦点在直线01234=--y x 上的抛物线方程是 ( )A 、x y 162= B 、x y 122= C 、x y 162-= D 、x y 122=8、双曲线191622=-y x 的离心率是（ ） A 、45 B 、54 C 、34 D 、916 9、在△ABC 中，已知ac c a b -222+=则B ∠= ( )A 、 120B 、 60C 、 30D 、15010、抛物线2ax y =的准线方程是2=y ，则a 的值为（ ） A 、81 B 、81- C 、8 D 、-8二、填空题（每题4分，共32分）1、()51224转化为十进制数为_________。
2、=-8sin 8cos22ππ____________。
3、函数x x y cos sin 3=的最小正周期是_______。
4、双曲线364922=y x -的渐近线方程为 。
5 、抛物线)0(22>=p px y 的顶点到准线的距离为3，则p = 。
上海大同中学数学高二下期末经典练习(专题培优)
一、选择题1．已知,a b 是单位向量，且,a b 的夹角为3π，若向量c 满足22c a b -+=，则||c 的最大值为（ ）A ．2B ．23+C ．72+D ．72-2．已知关于x 的方程20ax bx c ++=，其中,,a b c 都是非零向量，且,a b 不共线，则该方程的解的情况是（ ） A ．至少有一个解 B ．至多有一个解 C ．至多有两个解D ．可能有无数个解3．在ABC ∆中，已知角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1a n =+，b n =，1c n =-，n ∈+N ，且2A C =，则ABC ∆的最小角的余弦值为（ ）A ．25B ．35C ．12D ．344．ABC ∆中，M 是AC 边上的点，2AM MC =，N 是边的中点，设1AB e =，2AC e =，则MN 可以用1e ，2e 表示为（ ）A ．121126e e - B ．121126e e -+ C ．121126e e + D ．121726e e + 5．已知函数()()π2sin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的周期为π，则下列选项正确的是 A ．函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 B ．函数()f x 的图象关于点π,012⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．函数()f x 的图象关于直线π3x =对称 D ．函数()f x 的图象关于直线π12x =-对称 6．已知角x 的终边上一点的坐标为(sin 56π，cos56π)，则角x 的最小正值为( ) A ．56π B ．53πC ．116πD ．23π 7．函数()sin()A f x x ωϕ=+(0,)2πωϕ><的部分图象如图所示，则()f π=（ ）A ．4B ．23C ．2D ．38．在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点(3,1)P --，则sin(2)2πα-=（ ）A ．32B ．32-C ．12D ．12-9．在中，,,A B C ∠∠∠所对的边长分别是,,a b c ，若sin sin()sin 2C B A A +-=，则的形状为A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形10．已知向量(3,4),(sin ,cos )a b αα==，且//a b ，则tan α=（ ） A ．34B ．34-C ．43D ．43-11．若O 为ABC ∆所在平面内一点，()()20OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆形状是（ ）． A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．正三角形D ．以上答案均错12．已知函数()sin 3cos f x x x =+，将函数()f x 的图象向左平移()0m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 13．已知函数()sin()(0,0,)f x A x A ωϕωφπ=+>><的一段图象如图所示，则函数的解析式为( )A ．2sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．2sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭或32sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．32sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．32sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭14．在平面直角坐标系中，,,,AB CD EF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以O x 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是A ．AB B ．CDC ．EFD ．GH15．设sin1+=43πθ（），则sin 2θ=（ ） A ．79-B ．19-C ．19D ．79二、填空题16．已知12,e e 是夹角为3π的两个单位向量，1212,a e e b e e =-=+，则2a b +=___． 17．已知平面向量,,a b c 满足21a b a ⋅==，1b c -=，则a c ⋅的最大值是____． 18．求()22sin cos 2,,63f x x x x ππ⎡⎤=-+∈-⎢⎥⎣⎦的值域____. 19．已知向量(1,2)a =，(2,)b λ=，(2,1)c =．若//(2)c a b +，则λ=________． 20．已知角α的终边上一点)3,1A-，则()sin tan 2παπα⎛⎫-++= ⎪⎝⎭__________．21．已知函数()2cos sin 2=-f x x x ，则()f x 的最大值是__________． 22．已知3(,),sin 25παπα∈=，则tan()4πα-=___________ . 23．设(1,3,2)a =-，(2,+1,1)b m n =-，且a //b ，则实数m n -=_____． 24．若()1sin 3πα-=，且2παπ≤≤，则cos α的值为__________．25．在三角形ABC 所在平面内有一点H 满足222222HA BC HB CA HC AB +=+=+,则H 点是三角形ABC 的___________.三、解答题26．已知3sin 5α=-，,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. （1）求sin 2α的值； （2）求3tan 4πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值.27．已知函数())0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-≤≤⎪⎝⎭的图象关于直线3x π=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. （1）求ω与ϕ的值；（2）若22463f αππα⎛⎫⎛⎫=<<⎪⎪⎝⎭⎝⎭，求3cos 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 28．设函数f (x )=cosx −cos (x −π3),x ∈R .（1）求f (x )的最大值，并求取得最大值时x 的取值集合；（2）记ΔABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (B )=0，b=1，c=√3，求a 的值.29．平面内有向量(1,7)OA =，(5,1)OB =，(2,1)OC =（其中O 为坐标原点），点P 是直线OC 上的一个动点. （1）若//PA PB ，求OP 的坐标；（2）当PA PB ⋅取最小值时，求cos APB ∠的值.30．已知A(1,2),B(a,1),C(2,3),D(-1,b)(a,b ∈R)是复平面上的四个点,且向量,AB CD 对应的复数分别为z 1,z 2. (1)若z 1+z 2=1+i,求z 1,z 2;(2)若|z 1+z 2|=2,z 1-z 2为实数,求a,b 的值.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．B3．D4．A5．B6．B7．A8．D9．D10．A11．A12．A13．C14．C15．A二、填空题16．【解析】【分析】先计算得到再计算然后计算【详解】是夹角为的两个单位向量故答案为【点睛】本题考查了向量的计算和模属于向量的常考题型意在考查学生的计算能力17．2【解析】【分析】根据已知条件可设出的坐标设利用向量数量积的坐标表示即求的最大值根据可得出的轨迹方程从而求出最大值【详解】设点是以为圆心1为半径的圆的最大值是2故填：2【点睛】本题考查了向量数量积的18．【解析】【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系化简函数解析式再利用正弦函数的定义域和值域二次函数的性质求得函数在上的值域【详解】设故在上值域等价于在上的值域即的值域为【点睛】本题考查同角三角函数的19．【解析】【分析】首先由的坐标利用向量的坐标运算可得接下来由向量平行的坐标运算可得求解即可得结果【详解】因为所以因为所以解得即答案为【点睛】该题是一道关于向量平行的题目关键是掌握向量平行的条件20．【解析】分析：先根据三角函数定义得再根据诱导公式化简求值详解：因为角的终边上一点所以因此点睛：本题考查三角函数定义以及诱导公式考查基本求解能力21．【解析】分析：对函数求导研究函数的单调性得到函数的单调区间进而得到函数的最值详解：函数设函数在故当t=时函数取得最大值此时故答案为：点睛：这个题目考查了函数最值的求法较为简单求函数的值域或者最值常用22．【解析】∵∴∴∴故答案为23．8【解析】由题意得24．【解析】由题意得25．垂心【解析】【分析】根据向量运算用表示出向量可得从而可得【详解】因为所以整理得即;同理可得所以可知为垂心【点睛】本题主要考查平面向量的运算三角形垂心的向量表示考查转化化归思想三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．B解析：B不妨设(1,0)a =，13(,22b =，(,)c x y =，则2(,c a b x y -+=+，所以22(2c a b x -+=+=，即22(4x y +=，点(,)x y 在以(0,为圆心，2为半径的圆上，所以2c x =+2+．故选B ．2．B解析：B 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理可知(),c a b R λμλμ=+∈，从而将方程整理为()()20x a x b λμ+++=，由,a b 不共线可得200x x λμ⎧+=⎨+=⎩，从而可知方程组至多有一个解，从而得到结果. 【详解】由平面向量基本定理可得：(),c a b R λμλμ=+∈则方程20ax bx c ++=可变为：20ax bx a b λμ+++= 即：()()20xa xb λμ+++=,a b 不共线 200x x λμ⎧+=∴⎨+=⎩可知方程组可能无解，也可能有一个解∴方程20ax bx c ++=至多有一个解本题正确选项：B 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，关键是能够利用定理将方程进行转化，利用向量和为零和向量不共线可得方程组，从而确定方程解的个数.3．D解析：D 【解析】 【分析】利用余弦定理求出cos A 和cos C 的表达式，由2A C =，结合正弦定理sin sin c aC A= 2sin cos aC C=得出cos C 的表达式，利用余弦定理得出cos C 的表达式，可解出n 的值，于此确定ABC ∆三边长，再利用大边对大角定理得出C 为最小角，从而求出cos C ．2A C =，由正弦定理sin sin c a C A=，即sin sin 22sin cos c a aC C C C ==， ()1cos 221a n C c n +∴==-， ()()()()222222114cos 22121n n n a b c n C ab n n n ++--+-+===++，()()142121n n n n ++∴=-+， 解得5n =，由大边对大角定理可知角C 是最小角，所以，63cos 244C ==⨯，故选D ． 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查大边对大角定理，在解题时，要充分结合题中的已知条件选择正弦定理和余弦定理进行求解，考查计算能力，属于中等题．4．A解析：A 【解析】 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】由题, ()12111111322626MN MC CN AC AB AC AB AC e e =+=+-=-=-.故选：A 【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算,属于基础题型.5．B解析：B 【解析】 【分析】根据函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的周期为π，求解ω可得解析式，对各选项逐一考察即可．函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则 即22T ππωω=∴=＝， ，则()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由对称轴方程：262x k k Z πππ+=+∈，（）得：126x k ππ=+，（k∈Z） 经考查C ，D 选项不对．由对称中心的横坐标：26x k k Z ππ+=∈，（），得：1212x k k Z ππ=-∈，（） 当k=0时，可得图象的对称中心坐标为,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭． 故选B ． 【点睛】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，求出解析式是解决本题的关键．属于中档题．6．B解析：B 【解析】 【分析】先根据角x 终边上点的坐标判断出角x 的终边所在象限，然后根据三角函数的定义即可求出角x 的最小正值． 【详解】 因为5sin06π>，5cos 06π<，所以角x 的终边在第四象限，根据三角函数的定义，可知5sin cos 6x π==x 的最小正值为5233x πππ=-=． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查利用角的终边上一点求角，意在考查学生对三角函数定义的理解以及终边相同的角的表示，属于基础题．7．A解析：A 【解析】试题分析：根据题意，由于函数()sin()A f x x ωϕ=+(0,)2πωϕ><，那么根据图像可知周期为2π，w=4，然后当x=6π,y=2，代入解析式中得到22sin(4)6πϕ=⨯+，6πϕ=-，则可知()f π=4，故答案为A.考点：三角函数图像点评：主要是考查了根据图像求解析式，然后得到函数值的求解，属于基础题．8．D解析：D 【解析】 试题分析：因,则,故sin(2)2πα-,选D ．考点：三角函数的定义．9．D解析：D 【解析】试题分析：由sinC ＋sin(B －A)＝sin2A再注意到：，所以有，故知△ABC 是等腰三角形或直角三角形，故选D. 考点：三角恒等变形公式.10．A解析：A 【解析】 【分析】直接利用向量平行的充要条件列方程求解即可. 【详解】由//a b 可得到sin 34sin 3cos 0tan cos 4ααααα-=⇒==. 故选A 【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答.11．A解析：A【分析】根据向量的减法运算可化简已知等式为()0CB AB AC ⋅+=，从而得到三角形的中线和底边垂直，从而得到三角形形状. 【详解】()()()20OB OC OB OC OA CB AB AC -⋅+-=⋅+= ()CB AB AC ∴⊥+∴三角形的中线和底边垂直 ABC ∆∴是等腰三角形本题正确选项：A 【点睛】本题考查求解三角形形状的问题，关键是能够通过向量的线性运算得到数量积关系，根据数量积为零求得垂直关系.12．A解析：A 【解析】 【分析】利用函数的平移变换得π2sin 3y x m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根所图象关于y 轴对称，得到角的终边落在y 轴上，即π2π3πm k +=+，k Z ∈，即可得答案. 【详解】()sin 2s πin 3f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向左平移m 个单位长度后，得到函数π2sin 3y x m ⎛⎫=++⎪⎝⎭的图象， 又所得到的图象关于y 轴对称，所以π2π3πm k +=+，k Z ∈， 即ππ6m k =+，k Z ∈， 又0m >，所以当0k =时，m 的最小值为π6. 故选：A. 【点睛】本题考查三角函图象的变换、偶函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.13．C解析：C【分析】由图观察出A 和T 后代入最高点，利用φπ<可得ϕ，进而得到解析式． 【详解】由图象可知2A =，因为884πππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 所以T π=，2ω=. 当8x π=-时，2sin 228πφ⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭， 即sin 14πφ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又φπ<， 解得34πφ=.故函数的解析式为32sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 故选C. 【点睛】本题考查由()y sin A x ωϕ=+的部分图象确定函数表达式，属基础题．14．C解析：C 【解析】分析：逐个分析A 、B 、C 、D 四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论. 详解：由下图可得：有向线段OM 为余弦线，有向线段MP 为正弦线，有向线段AT 为正切线.A 选项：当点P 在AB 上时，cos ,sin x y αα==，cos sin αα∴>，故A 选项错误；B 选项：当点P 在CD 上时，cos ,sin x y αα==，tan y xα=， tan sin cos ααα∴>>，故B 选项错误；C 选项：当点P 在EF 上时，cos ,sin x y αα==，tan y xα=， sin cos tan ααα∴>>，故C 选项正确；D 选项：点P 在GH 上且GH 在第三象限，tan 0,sin 0,cos 0ααα><<，故D 选项错误.综上，故选C.点睛：此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到sin ,cos ,tan ααα所对应的三角函数线进行比较.15．A解析：A 【解析】 试题分析：，两边平方后得，整理为，即，故选A.考点：三角函数二、填空题16．【解析】【分析】先计算得到再计算然后计算【详解】是夹角为的两个单位向量故答案为【点睛】本题考查了向量的计算和模属于向量的常考题型意在考查学生的计算能力7【解析】 【分析】 先计算得到1212e e ⋅=，再计算1223a b e e +=-，然后计算2(2)727a b a b +=⇒+=. 【详解】12,e e 是夹角为3π的两个单位向量1212e e ⇒⋅=12121222()3a b e e e e e e +=-++=-2222121122(2)(3)96931727a b e e e e e e a b +=-=-⋅+=-+=⇒+=7 【点睛】本题考查了向量的计算和模，属于向量的常考题型，意在考查学生的计算能力.17．2【解析】【分析】根据已知条件可设出的坐标设利用向量数量积的坐标表示即求的最大值根据可得出的轨迹方程从而求出最大值【详解】设点是以为圆心1为半径的圆的最大值是2故填：2【点睛】本题考查了向量数量积的解析：2 【解析】 【分析】根据已知条件可设出,,a b c 的坐标，设()1,0a =，()1,b k =，(),c x y =，利用向量数量积的坐标表示a c x ⋅=，即求x 的最大值，根据1b c -=，可得出(),x y 的轨迹方程，从而求出最大值. 【详解】设()1,0a =，()1,b k =，(),c x y =()1,b c x k y -=-- ，1b c -=()()2211x y k ∴-+-=，∴点(),x y 是以()1,k 为圆心，1为半径的圆，02x ≤≤，a c x ⋅=，02x ≤≤ a c ∴⋅的最大值是2. 故填：2. 【点睛】本题考查了向量数量积的应用，以及轨迹方程的综合考查，属于中档题型，本题的关键是根据条件设出坐标，转化为轨迹问题.18．【解析】【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系化简函数解析式再利用正弦函数的定义域和值域二次函数的性质求得函数在上的值域【详解】设故在上值域等价于在上的值域即的值域为【点睛】本题考查同角三角函数的解析：3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系化简函数解析式，再利用正弦函数的定义域和值域、二次函数的性质，求得函数()f x 在2,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域。
最新上海浦东高二下学期期末数学试卷附答案资料
2017学年第二学期高二数学期末质量检测2018．6注意：1． 答卷前，考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚．2． 本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟．一、填空题（本大题共有12小题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1．抛物线216y x =的准线方程是________.4=-x2．设复数z 满足32=-+zi i ，则z ＝__________.23-i3．若一个球的体积为323π，则该球的表面积为___16π______. 4．在正四面体P-ABC ，已知M 为AB 的中点，则PA 与CM 所成角的余弦值为5. 若复数z满足2z i z i -++=，则1z i --的取值范围是________ 6. —个四面体的顶点在空间直角坐标系xyz O -中的坐标分别是(0,0,0)、(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)，则该四面体的体积为________.167. 若复数22(2)(32)z a a a a i =--+-+为纯虚数，则实数a =__1-__ . 8．以椭圆1162522=+y x 的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线方程的标准方程是_______.116922=-y x 9．将圆心角为32π，面积为π3的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为__π322_． 10. 球的半径为5㎝，被两个相互平行的平面所截得圆的直径分别为6㎝和8㎝，则这两个平面之间的距离是_______cm. 7或111. 三棱锥V-ABC 的底面ABC 与侧面VAB 都是边长为a 的正三角形，则棱VC 的长度的取值范围是_________.) .12. 给出下列几个命题：①三点确定一个平面；②一个点和一条直线确定一个平面；③垂直于同一直线的两直线平行；④平行于同一直线的两直线平行.其中正确命题的序号是___④__.二、选择题(本大题共有4小题，满分12分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分．13. 在空间中，“直线m ⊥平面α”是“直线m 与平面α内无穷多条直线都垂直 ”的 ( A )．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件14. 已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA =3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为( D )（A ）4 （B ）4 （C ）4 （D ）3415. 设直线l 的一个方向向量()3,2,6=d ，平面α的一个法向量()0,3,1-=n ，则直线l 与平面α的位置关系是（ D ）.A ．垂直B ．平行C ．直线l 在平面α内D ．直线l 在平面α内或平行16. 对于复数123、、z z z ，给出下列三个运算式子：（1）1212z z z z +≤+，（2）1212z z z z ⋅=⋅，（3）123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅.其中正确的个数是（ D ） A ． 0 B ．1 C.2 D ．3三、解答题（本大题共有5小题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤．17.（本题满分8分）已知关于的方程有一个模为的虚根，求的值． 【解】由题意，得或，……2分 设两根为1z 、2z ，则21=z z ，………………3分 21==1z z ，得12=1⋅z z ，…………5分212=2⋅-z z k k7分 所以8分18.（本题满分8分）如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长2=AB，若异面直线A A 1与C B 1所成角的大小为21arctan ，求正四棱柱1111D C B A ABCD -的体积.【解】∵11A A//BB∴1∠CB B 为A A 1与C B 1所成角且………………………………………4分 ∵=2BC ，∴1=4BB ………………………………6分………………………8分 x ()2220x kx k k k R ++-=∈1k ()222423800k k k k k k ∆=--=-+<⇒<83k >221k k ⇒-=1211k k ⇒==1k =21tan 1=∠B CB 16==∴sh V 第18题19.（本题满分10分，本题共有2个小题，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分5分） 已知双曲线22: 14x C y -=，P 为C 上的任意点。
2017-2018学年上海市浦东新区高二(下)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年上海市浦东新区高二（下）期末数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1．（3分）抛物线y2＝16x的准线为．2．（3分）设复数z满足zi＝﹣3+2i，则＝．3．（3分）若一个球的体积为，则该球的表面积为．4．（3分）在正四面体P﹣ABC，已知M为AB的中点，则P A与CM所成角的余弦值为5．（3分）若复数z满足|z﹣i|+|z+i|＝2，则|z﹣1﹣i|的取值范围是6．（3分）﹣个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，0）、（1，0，0）、（0，1，0）、（0，0，1），则该四面体的体积为．7．（3分）如果复数z＝a2﹣a﹣2+（a2﹣3a+2）i为纯虚数，那么实数a的值为．8．（3分）以椭圆+＝1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线方程的标准方程是．9．（3分）将圆心角为，面积为3π的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为．10．（3分）球的半径为5cm，被两个相互平行的平面所截得圆的直径分别为6cm和8cm，则这两个平面之间的距离是cm．11．（3分）三棱锥V﹣ABC的底面ABC与侧面VAB都是边长为a的正三角形，则棱VC的长度的取值范围是12．（3分）给出下列几个命题：①三点确定一个平面；②一个点和一条直线确定一个平面；③垂直于同一直线的两直线平行；④平行于同一直线的两直线平行．其中正确命题的序号是二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分．13．（3分）在空间中，“直线m⊥平面α”是“直线m与平面α内无穷多条直线都垂直”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件14．（3分）已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．15．（3分）设直线l的一个方向向量＝（6，2，3），平面α的一个法向量＝（﹣1，3，0），则直线l与平面α的位置关系是（）A．垂直B．平行C．直线l在平面α内D．直线l在平面α内或平行16．（3分）对于复数z1、z2、z3，给出下列三个运算式子：（1）|z1+z2|≤|z1|+|z2|，（2）|z1•z2|≤|z1|•|z2|，（3）（z1•z2）•z3＝z1•（z2•z3）．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3三、解答题（本大题共有5小题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤．17．（8分）已知关于x的方程x2+kx+k2﹣2k＝0（k∈R）有一个模为1的虚根，求k的值．18．（8分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长AB＝2，若异面直线A1A与B1C 所成角的大小为arctan，求正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积．19．（10分）已知双曲线C：﹣y2＝1，P为C上的任意点．（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点A的坐标为（3，0），求|P A|的最小值；20．（12分）如图，AO为圆锥的高，B、C为圆锥底面圆周上两个点，∠OAB＝，∠BOC ＝，AB＝4，D是AB的中点．（1）求该圆锥的全面积；（2）求异面直线AO与CD所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）21．（14分）已知抛物线C的顶点为原点，焦点F与圆x2+y2﹣2x＝0的圆心重合．（1）求抛物线C的标准方程；（2）设定点A（3，2），当P点在C上何处时，|P A|+|PF|的值最小，并求最小值及点P的坐标；（3）若弦MN过焦点F，求证：+为定值．2017-2018学年上海市浦东新区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12小题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1．（3分）抛物线y2＝16x的准线为x＝﹣4．【解答】解：抛物线y2＝16x焦点在x轴的正半轴，2p＝16，∴＝4∴抛物线y2＝16x的准线为x＝﹣4故答案为：x＝﹣42．（3分）设复数z满足zi＝﹣3+2i，则＝2﹣3i．【解答】解：由zi＝﹣3+2i，得z＝，∴．故答案为：2﹣3i．3．（3分）若一个球的体积为，则该球的表面积为16π．【解答】解：一个球的体积V＝π×r3＝，设这个球的半径r＝2，则4πr2＝16π，故答案为：16π．4．（3分）在正四面体P﹣ABC，已知M为AB的中点，则P A与CM所成角的余弦值为【解答】解：如图，取PB中点N，连接CM、CN、MN．∠CMN为P A与CM所成的角（或所成角的补角），设P A＝2，则CM＝，MN＝1，CN＝，由余弦定理得：∴cos∠CMN＝＝＝．故答案为：．5．（3分）若复数z满足|z﹣i|+|z+i|＝2，则|z﹣1﹣i|的取值范围是[1，]【解答】解：∵复数z满足|z﹣i|+|z+i|＝2，∴坐标系中，一个点到（0，1）和（0，﹣1）的距离和为2，这个点在y轴两个点之间，设点Z为（0，m），则﹣1≤m≤1，|z﹣1﹣i|＝|mi﹣1﹣i|＝，m＝1时，|z﹣1﹣i|min＝＝1，m＝﹣1时，|z﹣1﹣max＝＝．∴|z﹣1﹣i|的取值范围是[1，]．故答案为：[1，]．6．（3分）﹣个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，0）、（1，0，0）、（0，1，0）、（0，0，1），则该四面体的体积为．【解答】解：如图所示，满足条件的四面体为正方体的内接正四面体O﹣ABC．∴该四面体的体积V＝＝．故答案为：．7．（3分）如果复数z＝a2﹣a﹣2+（a2﹣3a+2）i为纯虚数，那么实数a的值为﹣1．【解答】解：复数z＝a2﹣a﹣2+（a2﹣3a+2 ）i为纯虚数，则a2﹣a﹣2＝0且a2﹣3a+2≠0 解得a＝﹣1故答案为：﹣18．（3分）以椭圆+＝1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线方程的标准方程是．【解答】解：∵椭圆的焦点为F（±3，0），顶点为A（±5，0），∴以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是．故答案为：．9．（3分）将圆心角为，面积为3π的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为．【解答】解：如图，设扇形的半径为R，则，即R＝3．∴圆锥的母线长为3，设圆锥的底面半径为r，由，解得r＝1．则圆锥的高为．∴圆锥的体积为V＝．故答案为：．10．（3分）球的半径为5cm，被两个相互平行的平面所截得圆的直径分别为6cm和8cm，则这两个平面之间的距离是1或7cm．【解答】解：球的半径为R＝5cm，设两个截面圆的半径别为r1，r2，球心到截面的距离分别为d1，d2；则r1＝3cm，r2＝4cm．如图①所示，当球的球心在两个平行平面的外侧时，这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之差；即d2﹣d1＝＝4﹣3＝1（cm）；如图②所示，当球的球心在两个平行平面的之间时，这两个平面间的距离为球心与两个截面圆的距离之和．即d2+d1＝＝4+3＝7（cm）．∴这两个平面间的距离为1cm或7cm．故答案为：1或7．11．（3分）三棱锥V﹣ABC的底面ABC与侧面VAB都是边长为a的正三角形，则棱VC的长度的取值范围是（0，a）【解答】解：∵三棱锥V﹣ABC的底面ABC与侧面VAB都是边长为a的正三角形，取AB的中点D，连接VD，CD，则VD＝CD＝，在△VCD中VC∈（﹣，+）＝（0，），故答案为：（0，）12．（3分）给出下列几个命题：①三点确定一个平面；②一个点和一条直线确定一个平面；③垂直于同一直线的两直线平行；④平行于同一直线的两直线平行．其中正确命题的序号是④【解答】解：①三点确定一个平面不正确，应为不共线的三点确定一个平面；②一个点和一条直线确定一个平面不正确，应为一条直线和直线外一个点确定一个平面；③垂直于同一直线的两直线平行不正确，空间里还可能相交或异面；④平行于同一直线的两直线平行正确．故答案为：④．二、选择题（本大题共有4小题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分．13．（3分）在空间中，“直线m⊥平面α”是“直线m与平面α内无穷多条直线都垂直”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【解答】解：直线m⊥平面α，则直线m与平面α内所有直线，即直线m与平面α内无穷多条直线都垂直成立，若平面α内无穷多条直线都是平行的，则当直线m与平面α内无穷多条直线都垂直时，直线m⊥平面α也不一定成立，即“直线m⊥平面α”是“直线m与平面α内无穷多条直线都垂直”的充分不必要条件，故选：A．14．（3分）已知三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，∵正三角形ABC，∴E为BC中点，∵BC⊥AE，SA⊥BC，∴BC⊥面SAE，∴BC⊥AF，AF⊥SE，∴AF⊥面SBC，∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长2，∴AE＝，AS＝3，∴SE＝2，AF＝，∴sin∠ABF＝．故选：D．15．（3分）设直线l的一个方向向量＝（6，2，3），平面α的一个法向量＝（﹣1，3，0），则直线l与平面α的位置关系是（）A．垂直B．平行C．直线l在平面α内D．直线l在平面α内或平行【解答】解：∵＝﹣6+2×3+0＝0，∴⊥．∴直线l与平面α的位置关系是直线l在平面α内或平行．故选：D．16．（3分）对于复数z1、z2、z3，给出下列三个运算式子：（1）|z1+z2|≤|z1|+|z2|，（2）|z1•z2|≤|z1|•|z2|，（3）（z1•z2）•z3＝z1•（z2•z3）．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：对于（1），在复平面内，根据复数模长的几何意义知，|z1+z2|、|z1|和|z2|分别对应三角形的三边，则|z1+z2|＜|z1|+|z2|，若z1或z2＝0，或z1、z2对应的向量方向相同时，有|z1+z2|＝|z1|+|z2|，综上，|z1+z2|≤|z1|+|z2|成立，（1）正确；对于（2），复平面内，设z1、z2对应的向量分别为、，则|z1•z2|＝|•|＝||×||×|cos＜，＞|≤||×||＝||•||，（2）正确；对于（3），设z1＝r1（cosθ1+sinθ1），z2＝r2（cosθ2+i sinθ2），z3＝r3（cosθ3+i sinθ3），则（z1•z2）•z3＝{r1r2[cos（θ1+θ2）+i sin（θ1+θ2）]}•r3（cosθ3+i sinθ3）＝r1r2r3[cos（θ1+θ2+θ3）+i sin（θ1+θ2+θ3）]．z1•（z2•z3）＝r1（cosθ1+i sinθ1）•{r2r3[（cos（θ2+θ3）+i sin（θ2+θ3）]}＝r1r2r3[cos（θ1+θ2+θ3）+i sin（θ1+θ2+θ3）]．∴（z1•z2）•z3＝z1•（z2•z3），（3）正确；综上，正确命题的个数是3个．故选：D．三、解答题（本大题共有5小题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤．17．（8分）已知关于x的方程x2+kx+k2﹣2k＝0（k∈R）有一个模为1的虚根，求k的值．【解答】解：由题意可得：△＝k2﹣4（k2﹣2k）＜0，化为：3k2﹣8k＞0，解得k＜0，或k．设两根为：z 1，，|z1|＝||，则＝1＝k2﹣2k，解得k＝1+，或k＝1﹣．因此k＝1﹣．18．（8分）如图，正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长AB＝2，若异面直线A1A与B1C 所成角的大小为arctan，求正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积．【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长AB＝2，异面直线A1A与B1C所成角的大小为arctan，∴AA1∥BB1，∴∠CB1B为AA1、B1C所成的角，且tan∠CB1B＝＝，…（4分）∵BC＝AB＝2，∴BB1＝4，…（6分）∴正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的体积V＝Sh＝22×4＝16．…（8分）19．（10分）已知双曲线C：﹣y2＝1，P为C上的任意点．（1）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（2）设点A的坐标为（3，0），求|P A|的最小值；【解答】解：（1）证明：设P（x1，y1）是双曲线上任意一点，可得x12﹣4y12＝4，该双曲的两条渐近线方程分别是x﹣2y＝0和x+2y＝0，点P到两条渐近线的距离分别是和，它们的乘积是•＝＝．点P到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数；（2）设点P的坐标为（x，y），则|P A|2＝（x﹣3）2+y2＝（x﹣3）2+﹣1＝（x﹣）2+，由|x|≥2，当x＝时，|P A|2的最小值为，即|P A|的最小值为．20．（12分）如图，AO为圆锥的高，B、C为圆锥底面圆周上两个点，∠OAB＝，∠BOC ＝，AB＝4，D是AB的中点．（1）求该圆锥的全面积；（2）求异面直线AO与CD所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【解答】解：（1）在Rt△AOB中，由∠OAB＝，AB＝4，得OB＝2，即圆锥底面半径为2，圆锥的侧面积S侧＝πrl＝8π，故圆锥的全面积S全＝S侧+S底＝8π+4π＝12π；（2）过D作DM∥AO交BO于M，连CM，则∠CDM为异面直线AO与CD所成角．∵AO⊥平面OBC，∴DM⊥平面OBC，则DM⊥MC，在Rt△AOB中，∵AO＝，∴DM＝．∵D是AB的中点，∴M是OB的中点，则OM＝1，可得CM＝．在Rt△CDM中，tan，∴，即异面直线AO与CD所成角的大小为arctan．21．（14分）已知抛物线C的顶点为原点，焦点F与圆x2+y2﹣2x＝0的圆心重合．（1）求抛物线C的标准方程；（2）设定点A（3，2），当P点在C上何处时，|P A|+|PF|的值最小，并求最小值及点P的坐标；（3）若弦MN过焦点F，求证：+为定值．【解答】解：（1）由已知圆x2+y2﹣2x＝0，易得F（1，0），则抛物线的标准方程C为y2＝4x；（2）设点P在抛物线C的准线上的射影为点B，根据抛物线定义知|PF|＝|PB|，要使|P A|+|PF|的值最小，必P，A，B三点共线，可得P（x0，2），22＝4x0可得x0＝1．即P（1，2），此时|P A|+|PF|＝3+1＝4；（3）证明：F（1，0），准线方程为x＝﹣1，设MN的方程为x＝my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立抛物线方程y2＝4x可得y2﹣4my﹣4＝0，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，由抛物线的定义可得+＝+＝+＝＝＝1．。
上海市上海中学2017-2018学年高二下学期期末数学试题(解析版)
2018年上海中学高二下期末数学试卷一、填空题（36分）：1. 关于x 的方程222424x x C C =的解为_________. 【答案】0或2或4【解析】【分析】因为222424x x C C =，所以：22x x =或2224x x +=，解方程可得． 【详解】解：因为222424x x C C =， 所以：22x x =或2224x x +=，解得：0x =，2x =，4x =，6x =-（舍）故答案为：0或2或4【点睛】本题考查了组合及组合数公式．属于基础题．2. 从总体中抽取一个样本是5，6，7，8，9，则总体方差的估计值是____________.【答案】2【解析】【分析】先求出样本平均数，由此能求出样本方差，由此能求出总体方差的估计值．【详解】解：从总体中抽取一个样本是5，6，7，8，9， 样本平均数为1(56789)75x =++++=， ∴样本方差2222221[(57)(67)(77)(87)(97)]25S =-+-+-+-+-=， ∴总体方差的估计值是2．故答案为：2．【点睛】本题考查总体方差的估计值的求法，考查平均数、总体方差等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．3. 5(31)x -的展开式中，设各项的系数和为a ，各项的二项式系数和为b ，则a b=________. 【答案】1【解析】【分析】分别求得各项系数和a 与各项的二项式系数和b ，从而求得a b的值． 【详解】解：在5(31)x -的展开式中，令1x =可得设各项的系数和为5232a ==，而各项的二项式系数和为5232b ==， ∴1a b=， 故答案为：1．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意各项系数和与各项的二项式系数和的区别，属于基础题． 4. 从长度为2、3、5、6的四条线段中任选三条，能构成三角形的概率为_______. 【答案】12【解析】试题分析：这是的道古典概率题，其基本事件有()()()()2,3,5,2,3,6,2,5,6,3,5,6共4个，由于是任意选取的，所以每个基本事件发生的可能性是相等的，记事件A 为“所选三条线段能构成三角形”，则事件A 包含()()2,5,6,3,5,62个基本事件，根据概率公式得：()2142P A ==． 考点：古典概率的计算5. 从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为___【答案】76【解析】【分析】确定系统抽样间隔16k =，根据样本中含编号为28的产品，即可求解，得到答案． 【详解】由系统抽样知，抽样间隔80165k ==， 因为样本中含编号为28的产品，则与之相邻的产品编号为12和44，故所取出的5个编号依次为12，28，44，60，76，即最大编号为76．【点睛】本题主要考查了系统抽样的应用，其中解答中熟记系统抽样的方法，确定好抽样的间隔是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．6. 如果三个球的表面积之比是1:2:3，那么它们的体积之比是__________．【答案】1:【解析】∵三个球的表面积之比是1:2:3，∴三个球的半径之比是∴三个球的体积之比是1:7. 北纬45︒圈上有A ，B 两点，该纬度圈上劣弧AB R （R 为地球半径），则A ，B 两点的球面距离为________. 【答案】3R π 【解析】【分析】先求出北纬45︒圈所在圆的半径，是A 、B 两地在北纬45︒圈上对应的圆心角，得到线段AB 的长，设地球的中心为O ，解三角形求出AOB ∠的大小，利用弧长公式求A 、B 这两地的球面距离．【详解】解：北纬45︒圈所在圆的半径为2R (R R 为地球半径），∴(R θθ=是A 、B 两地在北纬45︒圈上对应的圆心角）， 故2πθ=，∴线段AB R =，3AOB π∴∠=，A ∴、B 这两地的球面距离是3R π， 故答案为：3R π． 【点睛】本题考查球的有关经纬度知识，球面距离，弧长公式，考查空间想象能力，逻辑思维能力，属于基础题．8. 一个口袋中装有2个白球和3个红球，每次从袋中摸出两个球，若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖，则中奖的概率为_________． 【答案】25【解析】试题分析：口袋中五个球分别记为1,2,,,a b c 从中摸出两球的方法有：1,2;1,;1,;1,;2,;2,;2,;,;,;,a b c a b c a b a c b c 共10种，其中颜色相同的有1,2;,;,;,a b a c b c 共四种，有古典概率的求法可知42105P ==． 考点：古典概率的求法．9. 设n A 为1(1)n x ++的展开式中含1n x -项的系数，n B 为1(1)n x -+的展开式中二项式系数的和，则能使n n A B ≥成立的n 的最大值是________．【答案】4【解析】【分析】由题意可得，A n ＝11n n C -+＝21n C +，12n n B -=，若使得A n ≥B n ，即n （n+1）≥2n ，可求n .【详解】∵（1+x ）n+1的展开式的通项为T r+11r r n C x +=，由题意可得，A n ＝11n n C -+＝21n C +，又∵n B 为1(1)n x -+的展开式中二项式系数的和，∴12n n B -=， ∵A n ≥B n ，∴2112n n C -+，即n （n+1）≥2n当n ＝1时，1×2≥2，满足题意；当n ＝2时，2×3≥22，满足题意；当n ＝3时，3×4≥23，满足题意；当n ＝4时，4×5≥24，满足题意；当n ＝5时，5×6＜25，不满足题意，且由于指数函数比二次函数增加的快，故当n≥5时，n （n+1）＜2n ，∴n ＝4. 故答案为4【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项公式的应用，二项展开式的性质应用及不等式、指数函数与二次函数的增加速度的快慢的应用，属于中档题．10. 将4个不同的小球任意放入3个不同的盒子中，则每个盒子中至少有1个小球的概率为________． 【答案】49【解析】试题分析：将4个不同的小球任意放入3个不同的盒子中，每个小球有3种不同的放法，共有4381＝种放法，每个盒子中至少有1个小球的放法有12234236C C C =种，故所求的概率P =3681=49. 考点：1、排列组合；2、随机变量的概率.11. 若对于任意实数x ，都有1021001210(2)(2)(2)xa a x a x a x =+++++++，则3a 的值为_________.【答案】15360-【解析】【分析】 根据题意，分析可得1010[(2)2]x x =+-，求出其展开式，可得3a 为其展开式中含3(2)x +项的系数，由二项式定理求出3(2)x +项，分析可得答案．【详解】解：根据题意，1010[(2)2]x x =+-，其展开式的通项为10110(2)(2)r r r r T C x -+=+⨯-， 又由1021001210(2)(2)(2)x a a x a x a x =+++++⋯++，则3a 为其展开式中含3(2)x +项的系数，令7r =可得：7373810(2)(2)15360(2)T C x x =+⨯-=-+； 即315360a =-；故答案为：15360-．【点睛】本题考查二项式定理的应用，注意二项式定理的形式，属于基础题．12. 校园某处并排连续有6个停车位，现有3辆汽车需要停放，为了方便司机上下车，规定：当有汽车相邻停放时，车头必须同向；当车没有相邻时，车头朝向不限，则不同的停车方法共有__________种．（用数学作答）【答案】528【解析】(1)当三辆车都不相邻时有3348192A ⨯=(种)(2)当两辆车相邻时有33333333333424242434288A A A A A ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(种)(3)当三辆车相邻时有334248A ⨯=(种)则共有19228848528++=(种)点睛：本题考查了排列组合问题，由于本题里是三辆车有六个位置，所以情况较多，需要逐一列举出来，注意当三辆车都不相邻时的情况要考虑周全，容易漏掉一些情况，然后利用排列组合进行计算即可．二、选择题（16分）：13. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A. 43π+B. 23π+C. 43π+D. 423π+ 【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是半个圆柱和以圆柱轴截面为底面的四棱锥组成的组合体，其中半圆柱底面半径为1，高为2，体积为21122ππ⨯⨯⨯=，四棱锥体积为144133⨯⨯=，所以该几何体体积为43π+，故选A.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.14. 设A ，B ，C 是三个事件，给出下列四个事件： （Ⅰ）A ，B ，C 中至少有一个发生；（Ⅱ）A ，B ，C 中最多有一个发生；（Ⅲ）A ，B ，C 中至少有两个发生；（Ⅳ）A ，B ，C 最多有两个发生；其中相互为对立事件的是（ ）A. Ⅰ和ⅡB. Ⅱ和ⅢC. Ⅲ和ⅣD. Ⅳ和Ⅰ【答案】B【解析】【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．【详解】解：A ，B ，C 是三个事件，给出下列四个事件：（Ⅰ）A ，B ，C 中至少有一个发生；（Ⅱ）A ，B ，C 中最多有一个发生；（Ⅲ）A ，B ，C 中至少有两个发生（Ⅳ）A ，B ，C 最多有两个发生；在A 中，Ⅰ和Ⅱ能同时发生，不是互斥事件，故A 中的两个事件不能相互为对立事件；在B 中，Ⅱ和Ⅲ既不能同时发生，也不能同时不发生，故B 中的两个事件相互为对立事件；在C 中，Ⅲ和Ⅳ能同时发生，不是互斥事件，故C 中的两个事件不能相互为对立事件；在D 中，Ⅳ和Ⅰ能同时发生，不是互斥事件，故D 中的两个事件不能相互为对立事件．故选：B ．【点睛】本题考查相互为对立事件的判断，考查互斥事件、对立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．15. 由曲线24x y =，24x y =-，4x =，4x =-围成图形绕y 轴旋转一周所得为旋转体的体积为1V ，满足2216x y +≤，22(2)4x y +-≥，22(2)4x y ++≥的点(,)x y 组成的图形绕y 轴旋一周所得旋转体的体积为2V ，则（ ） A. 1212V V = B. 1223V V = C. 12V V =D. 122V V =【答案】C【解析】【分析】由题意可得旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，用任意一个与y 轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为||y ，求出所得截面的面积相等，利用祖暅原理知，两个几何体体积相等．【详解】解：如图，两图形绕y 轴旋转所得的旋转体夹在两相距为8的平行平面之间， 用任意一个与y 轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为||y ，所得截面面积21(44||)S y π=-， 22222(4)[4(2||)](44||)S y y y πππ=----=-12S S ∴=，由祖暅原理知，两个几何体体积相等，故选：C ．【点睛】本题主要考查祖暅原理的应用，求旋转体的体积的方法，体现了等价转化、数形结合的数学思想，属于基础题．16. a ，b 为空间两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以AC 为旋转轴选择，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；④直线AB 与a 所成角的最大值为60°；其中正确的是_______.（填写所以正确结论的编号）.A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④ 【答案】C【解析】【分析】由题意知，a 、b 、AC 三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为1的正方体，||1AC =，||2AB =斜边AB 以直线AC 为旋转轴，则A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，以C 坐标原点，以CD 为x 轴，CB 为y 轴，CA 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．【详解】解：由题意知，a 、b 、AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图，不妨设图中所示正方体边长为1，故||1AC =，||2AB =斜边AB 以直线AC 为旋转轴，则A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，以C 坐标原点，以CD 为x 轴，CB 为y 轴，CA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(1D ，0，0)，(0A ，0，1)，直线a 的方向单位向量(0a =，1，0)，||1a =，直线b 的方向单位向量(1b =，0，0)，1b ||=，设B 点在运动过程中的坐标中的坐标(cos B θ'，sin θ，0)，其中θ为B C '与CD 的夹角，[0θ∈，2)π，AB ∴'在运动过程中的向量，(cos AB θ'=，sin θ，1)-，||2AB '=， 设AB '与a 所成夹角为[0α∈，]2π， 则2cos |||sin |[012αθ==∈⨯，2]， [4πα∴∈，]2π，∴③正确，④错误．设AB '与b 所成夹角为[0β∈，]2π，2cos |||cos |12βθ==⨯， 当AB '与a 夹角为60︒时，即3πα=， 22|sin |cos 2cos 3πθα===， 22cos sin 1θθ+=，21cos |cos |22βθ∴==， [0β∈，]2π，3πβ∴=，此时AB '与b 的夹角为60︒，∴②正确，①错误．故选：C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．三、解答题（48分）17. 已知矩形ABCD 内接于圆柱下底面的圆O ，PA 是圆柱的母线，若6AB =，8AD =，异面直线PB 与CD 所成的角为2arctan ，求此圆柱的体积.【答案】300π【解析】【分析】根据底面圆的内接矩形的长和宽求出圆的半径，再由母线垂直于底面和“异面直线PB 与CD 所成的角为2arctan ”求出母线长，代入圆柱的体积公式求出值．【详解】解：设圆柱下底面圆O 的半径为r ，连AC ，由矩形ABCD 内接于圆O ，可知AC 是圆O 的直径， ∴2226810r AC ==+=，得=5r ，由//AB CD ，可知PBA ∠就是异面直线PB 与CD 所成的角，即arctan2PBA ∠=，tan 2PBA ∴∠=．在直角三角形PAB 中，tan 12PA AB PBA =∠=，∴圆柱的体积22512300V r PA πππ==⨯⨯=．【点睛】本题考查了圆柱的体积求法，主要根据圆内接矩形的性质、母线垂直于底面圆求出它的底面圆半径和母线，即关键求出半径和母线长即可．18. 求二项式500(12)x +的展开式中项系数最大的项的系数.【答案】3333335002C ⋅或3343345002C ⋅【解析】【分析】根据题意，求出500(12)x +的展开式的通项，求出其系数，设第1r +项的系数最大，则有11500500115005002222r r r r r r r r C C C C --++⎧⎨⎩，解可得r 的值，代入通项中计算可得答案．【详解】解：根据题意，500(12)x +的展开式的通项为1500(2)r r r T C x +=，其系数为5002r r C ⨯，设第1r +项的系数最大，则有11500500115005002222r r r r r r r r C C C C --++⎧⎨⎩， 即11500499(5001)500499(5002)22!(1)!500499(5001)500499(500)22!(1)!r r r r r r r r r r r r -+⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯-+⎧⎪-⎪⎨⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯-⎪⎪+⎩解可得：333334r ，故当333r =或334r =时，展开式中项系数最大，则有4334334333355002T C x =，3333333333345002T C x =； 即系数最大的项的系数为3335003332C 或4335004332C ． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，注意项的系数与二项式系数的区别，属于基础题．19. 如图，弧AEC 是半径为r 的半圆，AC 为直径，点E 为弧AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，线段ED 与弧EC 交于点G ，平面AEC 外一点F 满足FC ⊥平面BED ，2FC r =.（1）求异面直线ED 与FC 所成角的大小；（2）将FCG ∆（及其内部）绕FC 所在直线旋转一周形成一几何体，求该几何体的体积.【答案】（1）90︒；（2）3415r π； 【解析】【分析】 （1）由FC ⊥平面BED ，利用线面垂直的性质定理可得FC ED ⊥，即可得到异面直线ED 与FC 所成角的大小为90︒．（2）连接GC ，在BGC ∆中，利用余弦定理得：2222222cos 5CG r r r CBG r =+-∠=，由题设知，所得几何体为圆锥，分别计算其其底面积及高为F ，即可得到该圆锥的体积V ．【详解】解：（1）FC ⊥平面BED ，ED ⊂平面BED ，FC ED ∴⊥，∴异面直线ED 与FC 所成角的大小为90︒．（2）连接GC ，在BGC ∆中，由余弦定理得：2222222cos 5CG r r r CBG r =+-∠=， 由题设知，所得几何体为圆锥，其底面积为2225CG r ππ=，高为2FC r =． 该圆锥的体积为2312423515V r r r ππ=⨯⨯=． 【点睛】熟练掌握线面垂直的性质定理、余弦定理、圆锥的体积计算公式是解题的关键．20. 老况、老王、老顾、小周、小郭和两位王女士共7人要排成一排拍散伙纪念照.（1）若两位王女士必须相邻，则共有多少种排队种数？（2）若老王与老况不能相邻，则共有多少种排队种数？（3）若两位王女士必须相邻，若老王与老况不能相邻，小郭与小周不能相邻，则共有多少种排队种数？【答案】（1）26261440A A =；（2）52563600A A =；（3）2222352116720C A A A A =； 【解析】【分析】（1）利用捆绑法即可求出，（2）利用插空法即可求出，（3）利用捆绑和插空法，即可求出．【详解】解：（1）首先把两位女士捆绑在一起看做一个符合元素，和另外5人全排列，故有26261440A A =种，（2）将老王与老况插入另外5人全排列所形成的6个空的两个，故有52563600A A =种，（3）先安排老王与老况，在形成的3个空中选2个插入小郭与小周，在形成的5个空中选1个插入老顾，最后将两位女士捆绑在一起看做一个符合元素，选1个位置插入到其余5人形成的6个空中故有2222352116720C A A A A =种． 【点睛】本题考查了简单的排列组合，考查了相邻问题和不相邻问题，属于中档题.21. 在一个圆锥内作一个内接等边圆柱（一个底面在圆锥的底面上，且轴截面是正方形的圆柱），再在等边圆柱的上底面截得的小圆锥内做一个内接等边圆柱，这样无限的做下去.（1）证明这些等边圆柱的体积从大到小排成一个等比数列；（2）已知这些等边圆柱的体积之和为原来圆锥体积的37，求最大的等边圆柱的体积与圆锥的体积之比. 【答案】（1）证明见解析；（2）38 【解析】【分析】（1）求出第一个等边圆柱的体积，设第n 个等边圆柱的底面半径为a ，其外接圆锥的底面半径为r ，高为h ，则其体积3322()2n rh V a r h ππ==+，进一步求得第1n +个等边圆柱的体积，作比可得这些等边圆柱的体积从大到小排成一个等比数列；（2）由这些等边圆柱的体积之和为原来圆锥体积的37可得r 与h 的关系，则答案可求． 【详解】（1）证明：如图，设圆锥的底面半径为r ，高为h ，内接等边圆柱的底面半径为a ，则由三角形相似可得：2a r a h r -=，可得2rh a r h=+． 其体积233222()2rh V a a a r h πππ===+． 设第n 个等边圆柱的底面半径为a ，其外接圆锥的底面半径为r ，高为h ， 则其体积3322()2n rh V a r hππ==+，再设第1n +个等边圆柱的底面半径为b ，则其外接圆锥的底面半径为2rh a r h =+， 高为22ah h r r h =+， 则第1n +个等边圆柱的体积223331222222()()2(2)22n rh h rh r h r h V b rh h r h r h r h ππ+++===++++． ∴31()2n n V h V r h +=+为定值， 则这些等边圆柱的体积从大到小排成一个以312()2rh V r h π=+为首项，以3()2h r h +为公比的等比数列； （2）解：原来圆锥的体积为213r h π， 这些等边圆柱的体积之和为32312232()214631()2rh V r h r h h q r rh h r h ππ+==-++-+． 由232223146373r h r h r rh h ππ=++，得222320r rh h +-=， 2h r ∴=．则最大的等边圆柱的体积为34r π，圆锥的体积为323r π，体积之比为38．【点睛】本题考查圆柱、圆锥体积的求法，考查等比数列的确定及所有项和公式的应用，是中档题．。
2017-2018学年高二年级数学期末试卷(理数)含答案
2．若 x 2m2 3 是 1 x 4 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是（ ）
10．已知函数 f x 1 x3 1 mx2 4x 3 在区间 1,2上是增函数，则实数 m 的取值范围是（
32
A . 3,3
B . ,3 3, C . ,1 1,
，则满足
11．已知函数
f
x
3|x1| , x2 2x
x 1,
0, x
0
若关于
x
的方程 f
x2
a
1f
x
a
0有
7
个不
等实根，则实数 a 的取值范围是(
)
A . 2,1
B .2,4
C . 2,1
D . ,4
12.
已知函数
A . loga c logb c B . logc a logc b C . a c bc
D . ca cb
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 9．已知函数 f x 2 xm 1 为偶函数，记 a f log0.5 3 ， b f log2 5 ， c f 2m，则
由题设知
，
则
解得 的横坐标分别是 则 有 又
，又 于是
， ，
，
，即 l 与直线 平行， 一定相交，分别联立方
设
是平面
的法向量，则
，即
。
对任意
，要使
与
的面积之比是常数，只需 t 满足
可取
，故，所以 与平面
20. （1）依题意可得
所成角的正弦值为 ---------12 分 ，
上海市高二下学期期末考试数学试题(带答案)
高二下学期期末考试数学试题（考试时间：120分钟 满分：150分 ）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.过点)2,1(、)6,3(的直线的斜率为______________．2.若i 是虚数单位，复数z 满足5)43(=-z i ,则z 的虚部为_________．3.正四面体ABC S -的所有棱长都为2，则它的体积为________．4.以)2,1(-为圆心且过原点的圆的方程为_____________．5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为__________．6.已知圆锥的高与底面半径相等，则它的侧面积与底面积的比为________．7.正方体1111D C B A ABCD -中，二面角111C D A B --的大小为__________． 8.双曲线1422=-y x 的顶点到其渐近线的距离等于_________． 9.已知球的半径为1，A 、B 是球面上两点，线段AB 的长度为3，则A 、B 两点的球面距离为 ________．10.在长方体1111D C B A ABCD -中，已知36,91==BC AA ，N 为BC 的中点，则直线11C D 与 平面N B A 11的距离是___________．11.从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派6人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是___________(用数字作答)．12. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为_________________．13.设实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤--,032,042,02y y x y x 则y x z -=2的最大值为____________.14.在棱长为1的正方体盒子里有一只苍蝇，苍蝇为了缓解它的无聊，决定要考察这个盒子的每一 个角，它从一个角出发并回到原处，并且每个角恰好经过一次，为了从一个角到另一个角，它或直 线飞行，或者直线爬行，苍蝇的路径最长是____________．（苍蝇的体积不计）二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编 号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.在正方体1111D C B A ABCD -中，任取两条棱，则这两条棱为异面直线的概率为（ ）A ．112B ．114C ．116D ．11816.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50),[50,60),[60,70), [70,80),[80,90), [90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）A ．588B ．480C ．450D ．12017.=++-+++-+1)1(4)1(6)1(4)1(234x x x x （ ）A ．4xB ．4x -C ．1D ．1- 18.若直线m x y l +-=2:与曲线|4|21:2x y C -=有且仅有三个交点，则m 的取值范围是（） A ．)12,12(+- B ．)2,1( C ．)12,1(+ D ．)12,2(+三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域写出必要的步骤．19.（12分）求8)32(xx +的二项展开式中的第5项的二项式系数和系数.20.（14分）求半径为10，且与直线07034=-+y x 相切于)10,10(的圆的方程.21.（14分）已知椭圆13422=+y x 上存在两点A 、B 关于直线m x y +=4对称，求m 的取值范围.22.（16分）如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中, 侧棱⊥A A 1底面ABCD ，AD AB DC AB ⊥,//， 1==CD AD ，21==AB AA ，E 为棱1AA 的中点.(1) 证明：CE C B ⊥11；(2) 求异面直线E C 1与AD 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）23.（18分）下图是利用计算机作图软件在直角坐标平面xOy 上绘制的一列抛物线和一列直线，在焦点为n F 的抛物线列x p y C n n 4:2=中，n p 是首项和公比都为)10(<<p p 的等比数列，过n F 作斜率2的直线n l 与n C 相交于n A 和n B （n A 在x 轴的上方，n B 在x 轴的下方）.（1）证明：n OA 的斜率是定值；（2）求1A 、2A 、Λ、n A 、Λ所在直线的方程；（3）记n n OB A ∆的面积为n S ，证明：数列}{n S 是等比数列，并求所有这些三角形的面积的和.第23题图第二学期高二年级数学学科期末考试卷参考答案19.（12分）解：4485)32)((x x C T =， 所以二项式系数为7048=C ，系数为811120.21.（14分）解：设直线AB 方程为b x y +-=4，联立 ⎪⎩⎪⎨⎧+-==+,4,124322b x y y x 得,0481681322=-+-b bx x 从而,138b x x B A =+ ,13242)(41b b x x y y B A B A =++-=+则B A ,中点是)1312,134(b b， 则,013121344=+-⋅m b b 解得.134b m -= 由0481681322=-+-b bx x 有实数解得,0)4816(526422≥--=∆b b 即.4132≤b 于是.413)413(2≤-m 则m 的取值范围是.1313213132≤≤-m23.（18分）解：（1）由已知得n n p p =，抛物线焦点)0,(n n p F ，抛物线方程为x p y n42=，直线n l 的方程为).(2n p x y -=于是，抛物线n C 与直线n l 在x 轴上方的交点),(11y x A n 的坐标满足⎪⎩⎪⎨⎧-==),(2,411121n n p x y x p y 则有,042211121=-+x y x y而直线n OA 的斜率为11x y k n OA =，则,042112=-+OA OA k k 解得,51±-=n OA k 又,0>k 点n A 在第一象限，则51+-=n OA k ；（2）直线方程为x y )51(+-=；（3）由⎪⎩⎪⎨⎧-==),(2,42n n p x y x p y 得,04222=--n n p y p y 则n p AB 10||=， 而O 到直线n l 的距离为52np ，于是n n OB A ∆的面积n n p S 252=，所以数列}{n S 是以252p 为首项，2p 为公比的等比数列.由于10<<p ， 所以所有三角形面积和为22152p p -.。