弧度制习题(含答案)
弧度制习题
1．已知6
π
α=
，则下列各角中与角α终边相同的是（ ）
A ．
56
π B ．56
π-
C ．136
π
-
D ．
256
π
2．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．
3
π B ．3
π-
C ．
23
π D ．23
π-
3．已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是（ ） A ．1
B ．4
C ．1或4
D ．2或4
4．已知扇形的半径为R ，面积为22R ，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ）
A B ．C ．2
D ．4
5．下列各命题中，假命题的是（ ）
A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B ．一度的角是周角的
1360
，一弧度的角是周角的1
2π C ．根据弧度的定义，180一定等于π弧度
D ．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关
6．把下列弧度化成角度：（1）
12
π
；（2）43π-
；（3）
310
π
. 7．把下列角度化成弧度：（1）2230︒'；（2）210︒-；（3）1200︒.
8．填表（弧度数用含π的代数式表示），并在平面直角坐标系中作出角的终边.
9．已知扇形AOB 的圆心角为
23
π
,AB =
（1）求扇形AOB 的弧长;（2）求图中阴影部分的面积. 10．已知角2010α︒=.
（1）把α改写成()2,02k k πββπ⋅+∈≤<Z 的形式，并指出它是第几象限角； （2）求θ，使θ与α终边相同，且360720θ︒︒-≤<. 11． 写出终边在下列各图所示阴影部分内的角的集合．
12．将下列各角写成2k π＋α(0≤α<2π)的形式，并指出角的终边所在的象限. (1)
π； (2)1580°； (3)－π.
参考答案1．D
2．B
3．C
4．D
5．D
6．(1)
180
15 1212
ππ
π
︒
︒
⎛⎫
=⨯=
⎪
⎝⎭
.
(2)
41804
240 33
ππ
π
︒
︒
⎛⎫⎛⎫
-=⨯-=-
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
.
(3)31803
54 1010
ππ
π
︒
︒
⎛⎫⎛⎫
=⨯=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
.
7．
(1)
45 2230
18028
ππ︒'=⨯=.
(2)
7 210210
1806
ππ︒
-=-⨯=-.
(3)
20 12001200
1803
ππ
︒=⨯=.
8．如表，
如图：
对应的角的终边分别为图中的射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，OG ，OH ，OI. 9．（1）
43π
；（2）
433
π- 解:（1）如图,作⊥OD AB 于D ,则1
32
AD AB ==. 因为扇形AOB 的圆心角为23
π, 所以3
AOD π
∠=
,则2OA =,
故扇形AOB 的弧长24233
ππ
⨯
=
.
（2）由（1）可得,扇形AOB 的半径为2r ,
弧长为43l π=
,则扇形AOB 的面积为24233
ππ
⨯=
AOB ∆的面积为1
23132
⨯=故图中阴影部分的面积为433
π
-10．
（1）易知20105360210︒︒︒=⨯+，7
2106π︒
=，故7526
παπ=⨯+
. 其中72106
π
β︒=
=，是第三象限角，α是第三象限角.
（2）根据题意及第（1）题的结果，得()360360210720k k ︒
︒
︒
︒
-≤⋅+<∈Z ，解得
570510
360360
k -
≤<，又k ∈Z ，1k ∴=-，0，1； 将1k =-，0，1依次代入360210k ︒︒⋅+，得角θ的值为150︒-，210︒，570︒. 11．先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得 (1){α|30°＋k ·360°≤α≤150°＋k ·360°，k ∈Z }； (2){α|150°＋k ·360°≤α≤390°＋k ·360°，k ∈Z }．
点睛：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成集合：
{}{}
|2,|360,S k k Z k k Z ββαπββα==+∈==+⨯∈.即任何一个与角α的终边相
同的角都可以表示为角α与周角的整数倍的和. 12．(1)π＝
，为第三象限角；
(2)1580°＝1440°
+＝，为第二象限角；
(3) －π＝－4π＋，为第一象限角.。
第5章 培优练习：5.1.2 弧度制(答案版)
一、角度制与弧度制1.用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，1度的角等于周角的3601。
2.规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad 表示，读作弧度。
3.半径为1的圆叫做单位圆。
4.角的弧度数的求法正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0。
如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值|α|=rl 。
二、角度与弧度的换算三、扇形的面积和弧长公式设扇形的半径为R ，弧长为l ，α为其圆心角，则一、选择题5.2.1 弧度制知识讲解 同步练习1.下列说法中，错误的是( )。
A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.1°的角是周角的1360，1rad 的角是周角的12πC.l rad 的角比1°的角要大D.用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关【答案】D【解析】由角度制和弧度制的定义，知A ，B ，C 说法正确.用弧度制度量角时，角的大小与所对圆弧长与半径的比有关，而与圆的半径无关，故D 说法错误。
2.-225°化为弧度为( )。
A.π43 B.π47- C.π45- D.π43- 【答案】C【解析】-225°=-ππ45-2360225=•︒︒，故选C 。
3.若a=5 rad ，则角α的终边所在的象限为( )。
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】∵π23<5<2π，∵α=5rad 为第四象限角，其终边位于第四象限。
故选D 。
4.已知k∵Z ，下列各组角中，终边相同的是( )。
A.2k π与k πB.2k π+π与4k π±πC.k π+6π与2k π±6π D.2πk 与k π±2π 【答案】B【解析】2k π(k∵Z)表示终边在x 轴非负半轴上的角的集合，k π(k∵Z)表示终边在x 轴上的角的集合，两组角终边不同；2k π+π与4k π±π(k∵Z)都表示终边在x 轴非正半轴上的角的集合，两组角终边相同；k π+6π(k∵Z)表示终边与6π和π67终边相同的角的集合，2k π±6π(k∵Z)表示终边与6-6ππ和终边相同的角的集合，两组角终边不同；)(2Z k k ∈π表示终边在坐标轴上的角的集合，k π±2π(k∵Z)表示终边在y 轴上的角的集合，两组角终边不同；故选B 。
弧度制练习含答案
2弧度制F 列各组角中,终边相同的角是2 B .sin 1C . 2sin 1D . sin 28 .某扇形的面积为 1 cm 5 6，它的周长为4cm9. 一个半径为 R 的扇形，它的周长是4R ,则这个扇形所含弓形的面积是 (1 2 A (2 -sin 1 cos 1) R 2、填空题:11、7弧度的角在第 _______ 象限，与7弧度角终边相同的最小正角为 __12 .已知:-是第二象限角，且| ：：£亠2 \< 4,则〉的范围是 ________________ .10. 下列命题中正确的命题是 ( A. 若两扇形面积的比是 1 : 4，则两扇形弧长的比是 1 : 2 B. 若扇形的弧长一定，则面积存在最大值 C. 若扇形的面积一定，则弧长存在最小值 D. 任意角的集合可以与实数集 R 之间建立一种 --- 对应关系5 2 c. —R6一、选择题 1、 若〉是第四象限角，则 A 、第一象限角 2、 若 a =— 3, A.第一象限则角 二-「是( B 、第二象限角 a 的终边在( B.第二象限 C 、第三象限角 C.第三象限3.求值:—ta n Jl-sin — 3 cos —等于 3 D 、第四象限角D.第四象限1A.-43B.-4C.-D.•、3Jl Ji + —2(k • Z)B .(k • Z)C . (2 k 1)二与(4k _1)二(k Z)JI± —6(k • Z)5.若角 a 与角B 的终边关于y 轴对称，则A . JI=2k 二——(k^Z)2 B.: C.:- 6、集合》与B =丿社严』,ny61 '. 3 4 5 6 :aA D 、 A BC 、 B 、 A _：BA =B 的关系是=k : + — ( k € Z3)27.已知弧度数为 2的圆心角所对的弦长也是2, 则这个圆心角所对的弧长是A . 2°B . 2C . 4 ° ，那么该扇形圆心角的度数为1 2 B. 一 sin 1 cos 1 R 2D.(1 -si n 1 cos 1) R13 •已知扇形的半径为R,所对圆心角为：•，该扇形的周长为定值c,则该扇形最大面积为14、在半径为2米的圆中，1200的圆心角所对的弧长为 _______________________15、一个扇形OAB的面积是1,它的周长为4，求中心角的弧度数为____________三、解答题：HIT K n Ji Ji16、求值：sin — tan —- tan — cos —-tan —cos —3 3 6 64 217、已知集合A={a| 2k nWaWn + 2 k n, k€Z}, B ={a| —4< a < 4}, 求A n B.18、单位圆上两个动点M、N，冋时从P (1, 0)点出发，沿圆周运动，M点按逆时针方向旋转弧6度/秒，N点按顺时针转一弧度/秒，试求它们出发后第三次相遇时的位置和各自走过的弧度319、圆周上点A (1, 0)依逆时针方向作匀速圆周运动，已知A点1分钟转过刃0 ：：： v ：：：二)角，2分钟第一次到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求二20、已知一扇形的中心角是a，所在圆的半径是R。
弧度制好题训练含详解
弧度制好题训练一、单选题1．1860°转化为弧度数为（ ） A ．163 B ．313 C ．163πD ．313π2．用弧度制表示与150角的终边相同的角的集合为（ ）A ．52,6k k Z πβπ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭ B ．5180,6k k Z πββ⎧⎫=+⋅∈⎨⎬⎩⎭ C ．22,3k k Z πββπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D ．52,6k k Z πββπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭3．下列说法中，错误的是（ ）A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1︒的角是周角的1,1rad 360的角是周角的12πC ．1rad 的角比1︒的角要大D ．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关 4．已知角5α=，则α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角5．设集合,,{}23k M k N ππαααπαπ⎧⎫==-∈=-<<⎨⎬⎩⎭Z ∣∣，则M N =（ ）A ．52,,,6363ππππ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭B ．20,,63ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．52,,,6223ππππ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭D ．∅6．若角α和β的终边关于y 轴对称，则有（ ） A ．2παβ=-B ．12()2k k Z απβ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭C ．2απβ=-D ．(21)()k k Z απβ=+-∈7．若一个扇形的半径为2，圆心角为45，则该扇形的弧长等于（ ） A ．4πB ．2π C ．45π D ．90π8．电影《长津湖》中，炮兵雷公牺牲的一幕看哭全网，他的原型是济南英雄孔庆三．因为前沿观察所距敌方阵地较远，需要派出侦察兵利用观测仪器标定目标，再经过测量和计算指挥火炮实施射击．为了提高测量和计算的精度，军事上通常使用密位制来度量角度，将一个圆周分为6000等份，每一等份的弧所对的圆心角叫做1密位．已知我方迫击炮连在占领阵地后，测得敌人两地堡之间的距离是54米，两地堡到我方迫击炮阵地的距离均是1800米，则我炮兵战士在摧毁敌方一个地堡后，为了快速准确地摧毁敌方另一个地堡，需要立即将迫击炮转动的角度α=（ ）．注：（ⅰ）当扇形的圆心角小于200密位时，扇形的弦长和弧长近似相等； （ⅰ）取π等于3进行计算． A ．30密位B ．60密位C ．90密位D ．180密位9．如图所示的时钟显示的时刻为10：10，将时针与分针视为两条线段，则该时刻的时针与分针（ ）A ．23πB ．2336πC ．1118πD ．712π 10．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把郑铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，郑铁饼者的手臂长约为4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，则郑铁饼者双手之间的距离约为)1.41≈（ ）A ．1.01米B ．1.76米C ．2.04米D ．2.94米11．已知扇形OAB 的面积为1，周长为4，则弦AB 的长度为（ ）A ．2sin1B ．2sin1 C ．1sin 2D ．sin 212．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.按如下方法剪裁，扇面形状较为美观.从半径为r的圆面中剪下扇形OAB ，使剪下扇形OAB ，再从扇形OAB 中剪下扇环形ABDC 制作扇面，使扇环形ABDC 的面积与扇形OAB 的面积比.则一个按上述方法制作的扇环形装饰品（如图）的面积与圆面积的比值为（ ）A B C 352D 2二、多选题13．在360360-︒︒范围内，与410-︒角终边相同的角是（ ） A ．50-︒B ．40-︒C ．310︒D ．320︒14．（多选）若α是第三象限的角，则1802α-可能是（ ） A ．第一象限的角 B ．第二象限的角 C ．第三象限的角D ．第四象限的角15．[多选题]下列说法正确的有（ ） A ．终边相同的角一定相等 B ．钝角一定是第二象限角 C ．第一象限角可能是负角 D ．小于90°的角都是锐角16．下列说法正确是（ ） A ．42403π︒=B ．1弧度的角比1︒的角大C ．用弧度制量角时，角的大小与圆的半径有关D ．扇形的周长为6厘米，面积为2平方厘米，则扇形的圆心角的弧度数为4第II 卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明三、填空题-=_______．17．若角α与角β的终边相同，则αβ18．角α的终边落在第一、三象限角平分线上，则角α的集合是_______．19．已知角,αβ的终边关于原点对称，则,αβ间的关系为_________．20．用弧度制表示终边落在第二象限的角的集合为______．21．终边在x轴正半轴上所有角α的集合为____________________．（用弧度制表示）22．若角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系式为____________.23．你在忙着答题，秒针在忙着“转圈”，现在经过了1小时，则分针转过的角的弧度数是_______.24．若圆的一条弧长等于这个圆的内接正三角形边的一半，则这条弧所对的圆心角的弧度数为__________．25．给出下列说法：（1）弧度角与实数之间建立了一一对应；（2）终边相同的角必相等；（3）锐角必是第一象限角；（4）小于的角是锐角；（5）第二象限的角必大于第一象限角，其中正确的是__________(把所有正确说法的序号都填上).四、双空题26．如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是________度，分针所转成的角度是________度．27．若角α和β的终边满足下列位置关系，试写出α和β的关系式：(1)重合：________________；(2)关于x轴对称：________________.28．(1)若角θ的终边与角α的终边关于x轴对称,则θα+=________;+=________.(2)若角γ的终边与角α的终边关于y轴对称,则γα29．与2 019°角的终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________．30．已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍,则该扇形圆心角的弧度数为________,若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为________.五、解答题31．将下列角度与弧度进行互化. (1)20 (2)15- (3)7d 12ra π (4)11rad 5π-32．把下列各角化成2πk α+（02πα<，k ∈Z ）的形式，并分别指出它们是第几象限角： （1）23π6； （2）-1500°； （3）18π7-； （4）672°．33．用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示).34．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2kπ(k ⅰZ ,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2)求γ，使γ与α的终边相同，且,22ππγ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.35．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R . （1）若45α=︒，10R =，求扇形的弧长l 及面积S ；（2）若扇形的周长是一定值C （0C >），当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？并求最大面积；（3）若扇形的面积是一定值S （0S >），当α为多少弧度时，该扇形有最小周长？并求最小周长.36．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.（1）当圆心角AOB ∠为23π，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积；（2）已知如图该扇形圆心角AOB ∠是α，半径为r ，若该扇形周长是一定值()0c c >当α为多少弧度时，该扇形面积最大？参考答案：1．D 【解析】 【分析】根据弧度与角度间的互化即可求出答案. 【详解】因为1860536060︒=⨯︒+︒，所以1860°转化为弧度数为52rad 3ππ⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭，即313πrad. 故选：D. 2．D 【解析】 【分析】将150化为弧度，利用终边相同的角的定义可得结果. 【详解】 因为51501501806ππ=⨯=，故与150角的终边相同的角的集合为52,6k k Z πββπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 故选：D. 3．D 【解析】 【分析】利用角度和弧度的定义及转化关系分别进行判断即可. 【详解】根据角度和弧度的概念可知二者都是角的度量单位，1︒的角是周角的1360，1rad 的角是周角的12π，故A 、B 正确； 1rad 的角是180()57.301π︒︒︒≈>，故C 正确； 无论哪种角的度量方法，角的大小都与圆的半径无关，只与角的始边和终边的位置有关，故D 错误. 故选：D 4．D 【解析】【分析】把弧度制化成角度制，再判断其所在象限. 【详解】因为5557.30286.5≈⨯=，所以α是第四象限角． 故选：D ． 5．A 【解析】 【分析】将集合M 中的α代入集合N 中的不等式中，得到关于k 的不等式，解不等式得出k 的范围，进而可得α的值. 【详解】 由23k ππππ-<-<， 得4833k -<<，因为k Z ∈，所以1012k =-，，，， 即526363ππππα=--，，，， 则={MN 52}6363ππππ--，，，， 故选：A 6．D 【解析】 【分析】根据题意得到π2π,k k αβ+=+∈Z ，即可求解. 【详解】由题意，角α和β的终边关于y 轴对称，可得π2π,k k αβ+=+∈Z ， 即(21)()k k Z απβ=+-∈. 故选：D. 7．B 【解析】 【分析】求圆心角的弧度数，再由弧长公式求弧长. 【详解】 ⅰ圆心角为45， ⅰ 圆心角的弧度数为4π，又扇形的半径为2， ⅰ 该扇形的弧长242l ππ=⨯=，故选：B. 8．A 【解析】 【分析】求出1密位对应的弧度，进而求出转过的密位. 【详解】有题意得：1密位=2π160001000=，因为圆心角小于200密位，扇形的弦长和弧长近似相等，所以5431800100α==，因为31301001000÷=，所以迫击炮转动的角度为30密位. 故选：A 9．B 【解析】 【分析】根据钟表求出“10”至“2”所夹的钝角，再求出时针偏离“10”的度数，进而即可得出结果. 【详解】因为“10”至“2”所夹的钝角为2463ππ⨯=，时针偏离“10”的角度为16636ππ⨯=，所以时针与分针的夹角应为22333636πππ-=， 故选：B ． 10．B 【解析】 【分析】先由题意求出“弓”所在的弧长所对的圆心角，然后利用三角函数求弦长 【详解】由题意得，“弓”所在的弧长为54488l ππππ=++=， 所以其所对的圆心角α的绝对值为58524ππ=，所以两手之间的距离2sin 1.25 1.764d R π==≈．故选：B11．A 【解析】 【分析】由题意代入扇形的面积与周长公式列式计算得扇形的半径与弧长，从而得圆心角，再利用三角函数计算弦长. 【详解】设扇形的半径为r ，弧长为l ，则1212124l lr r l r ⎧==⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪+=⎩，所以可得圆心角为2l r =，过点O 作OH AB ⊥于H ，则1AOH rad ∠=，所以221sin12sin1AB AH ==⨯⨯=.故选：A12．D 【解析】 【分析】记扇形OAB 的圆心角为α，扇形OAB 的面积为1S ，扇环形ABDC 的面积为2S ，圆的面积为S ，根据扇形面积公式，弧长公式，以及题中条件，即可计算出结果. 【详解】记扇形OAB 的圆心角为α，扇形OAB 的面积为1S ，扇环形ABDC 的面积为2S ，圆的面积为S ，由题意可得，2112S r α=，21S S =，2S r π=，所以)122124S Sr αππ==， 因为剪下扇形OAB，所以22r r r παπ-=(3απ=，所以))(2113244S S απππ====.故选：D. 13．AC 【解析】 【分析】利用终边相同的角的定义求解. 【详解】因为50410360︒︒-=-+︒，3104102360=-+⨯︒︒︒， 所以与410-︒角终边相同的角是50-︒和310︒， 故选：AC ． 14．AC 【解析】 【分析】根据角限角的定义得出角的范围，再运用不等式的性质可得选项. 【详解】解：由于α是第三象限的角，故180360270360,k k k Z α，所以90180135180,2k k k Z α+⋅<<+⋅∈，所以4518018090180,2k k k Z α-⋅<-<-⋅∈.当k 为偶数时，1802α-为第一象限角； 当k 为奇数时，1802α-为第三象限角.所以1802α-可能是第一象限角，也可能是第三象限角.故选：AC. 15．BC 【解析】 【分析】对于A ：取特殊角30°和390°.即可否定结论； 对于B ：由第二象限角的范围直接判断； 对于C ：取特殊角－330°即可判断； 对于D ：取特殊角－45°角进行否定结论. 【详解】对于A ：终边相同的角不一定相等，比如30°和390°.故A 不正确；对于B ：因为钝角的大小在()90,180︒︒，所以钝角一定是第二象限角，故B 正确； 对于C ：如－330°角是第一象限角，所以C 正确； 对于D ：4590-︒<︒，－45°角它不是锐角，所以D 不正确. 故选：BC ． 16．AB 【解析】 【分析】根据角度制与弧度制的相互转化即可判断AB ，根据弧度制的定义即可判断C ，根据扇形的弧长公式和面积公式即可判断D. 【详解】解：对于A ，24042401803ππ︒==，故A 正确； 对于B ，18011rad π︒=>︒，故B 正确；对于C ，用弧度制量角时，角的大小与圆的半径无关，故C 错误； 对于D ，设扇形的圆心角为α，半径为R ， 因为扇形的周长为6厘米，面积为2平方厘米，则有226122R R R αα+=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得21R α=⎧⎨=⎩或14R α=⎧⎨=⎩，即扇形的圆心角的弧度数为4或1，故D 错误. 故选：AB.17．360()k k ⋅︒∈Z ## ()2πk k ∈Z 【解析】 【分析】根据终边相同的角的定义直接写出即可. 【详解】因与角β终边相同连同角β在内的角的集合为{|360()}k k θθβ=+⋅︒∈Z ， 而角α与角β的终边相同，则360()k k αβ=+⋅︒∈Z ，即360()k k αβ⋅︒=∈-Z ， 所以360()k k αβ⋅︒=∈-Z . 故答案为：360()k k ⋅︒∈Z 18．{}45180,k k αα=︒+⋅︒∈Z 【解析】 【分析】分别写出终边落在第一、三象限角平分线上的角α的集合，再求这两个集合的并集即可. 【详解】终边落在第一象限角平分线上的角α的集合为{}{}45360,452180,k k k k αααα=︒+⋅︒∈==︒+⋅︒∈Z Z ，终边落在第三象限角平分线上的角α的集合为{}{}225360,45(21)180,k k k k αααα=︒+⋅︒∈==︒++⋅︒∈Z Z ，于是有{}{}{}45360,225360,45180,k k k k k k αααααα=︒+⋅︒∈⋃=︒+⋅︒∈==︒+⋅︒∈Z Z Z ，所以角α的集合是{}45180,k k αα=︒+⋅︒∈Z . 故答案为：{}45180,k k αα=︒+⋅︒∈Z 19．(21)180()k k Z αβ-⋅︒∈-= 【解析】 【分析】由题设αβ-是180︒的奇数倍，写出αβ-的集合即可. 【详解】由题意，αβ-为180︒的奇数倍， ⅰ(21)180()k k Z αβ-⋅︒∈-=. 故答案为：(21)180()k k Z αβ-⋅︒∈-= 20．+2,22k k ππππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()k Z ∈【解析】 【分析】根据第二象限的角的特点进行求解即可. 【详解】终边落在第二象限的角的集合为：+2,22k k ππππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()k Z ∈，故答案为：+2,22k k ππππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()k Z ∈21．{}|2,Z k k ααπ=∈ 【解析】 【分析】根据终边相同的角的特征即可得到答案. 【详解】终边在x 轴正半轴上所有角α的集合为{}{}|02,Z |2,Z x x k k x x k k ππ=+∈==∈. 故答案为：{}|2,Z x x k k π=∈ 22．()2k k Z αβππ+=+∈【解析】 【分析】由角πα-与角α终边关于y 轴对称可得角πα-与角β的终边相同，再结合终边相同的角的关系即可得解. 【详解】因角πα-与角α终边关于y 轴对称，而角α与角β的终边关于y 轴对称， 则角πα-终边与角β的终边相同，于是得()2,k k Z βπαπ=-+∈，即π2π,k k αβ+=+∈Z ，所以α与β的关系式为()2k k Z αβππ+=+∈. 故答案为：()2k k Z αβππ+=+∈ 23．2π- 【解析】 【分析】根据1小时，分针针转过1周，一个周角为2π，即可得到答案. 【详解】由于经过1小时，分针转过1个周角，因周角为2π，又顺时针旋转得到的角是负角，故分针转过的角的弧度数是2π-. 故答案为：2π-. 【点睛】本题考查的知识点是弧度制，属于基础题.24 【解析】 【详解】设圆的半径为r ，正三角形的边长为a ，则23r =⨯=，a ∴=，ⅰ这条弧所对的圆心角的弧度数12a r α==25．（1）（3） 【解析】 【详解】ⅰ角的弧度数是与实数一一对应的，（1）正确；终边相同的角有无数个，它们的关系可能相等，也可能不等，（2）不正确；锐角一定是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角，（3）正确；小于的角可能是负角，（4）不正确；象限角不能比较大小，（5）不正确.ⅰ（1）（3）是正确的.考点：弧度制；终边相同的角；象限角、轴线角. 26． －5 －60 【解析】 【详解】由题意结合任意角的定义可知，钟表拨快10分钟， 则时针所转成的角度是1036056012-⨯=-， 分针所转成的角度是103606060-⨯=-. 点睛：角的概念中要注意角的正负，特别是表的指针所成的角要分清楚究竟是顺时针问题还是逆时针问题.27．α＝k ·360°＋β(k ⅰZ) α＝k ·360°－β(k ⅰZ) 【解析】 【详解】据终边相同角的概念，数形结合可得： (1)α＝k ·360°＋β(k ⅰZ)， (2)α＝k ·360°－β(k ⅰZ)．28． 360k ⋅︒,k ∈Z ()21180k +⋅︒,k ∈Z 【解析】(1) 设角β与角α的终边相同，用角β表示α，β-表示角θ，根据终边相同的角即可求出（2）设角β与角α的终边相同,则180β︒-与β关于y 轴对称，根据终边相同的角写出γα，即可求解.【详解】(1)设角β与角α的终边相同,则β-与β关于x 轴对称,根据终边相同角的表示,可得1360k αβ=+⋅︒,1k Z ∈,2360k θβ=-+⋅︒,2k Z ∈,故()()()2112360360360360k k k k k θαββ+=-+⋅︒++⋅︒=+⋅︒=⋅︒,k Z ∈. 故答案为：360k ⋅︒,k Z ∈.(2)设角β与角α的终边相同,则180β︒-与β关于y 轴对称.根据终边相同角的表示,可得3360k αβ=+⋅︒,3k Z ∈,4180360k γβ=︒-+⋅︒,4k Z ∈. 故()()()()43341803603602118021180k k k k k γαββ⎡⎤+=︒-+⋅︒++⋅︒=++⋅︒=+⋅︒⎣⎦,k Z ∈. 故答案为：()21180k +⋅︒,k Z ∈ 【点睛】本题主要考查了终边相同的角及角的终边的对称性，属于中档题. 29． 219° －141° 【解析】 【分析】利用终边相同的角求解. 【详解】与2 019°角的终边相同的角为2 019°＋k ·360°(k ⅰZ )． 当k ＝－5时，219°为最小正角； 当k ＝－6时，－141°为绝对值最小的角． 故答案为：219°，－141° 30． 2 1 【解析】根据弧度制的定义以及扇形面积公式，求得圆心角的弧度数以及扇形的面积. 【详解】根据弧度制的定义可知该扇形圆心角的弧度数为2，由扇形的面积公式得221121122S r α=⋅⋅=⨯⨯=.故答案为：(1). 2 (2). 1 【点睛】本小题主要考查弧度制的定义和扇形面积公式，属于基础题.31．(1)20=rad 9π(2)15=rad 12π--(3)rad 7=10512π(4)11rad=3965π-- 【解析】 【分析】对于（1）、（2）根据1=rad 180π，可将角度转化为弧度； 对于（3）、（4）根据1801rad=π，可将弧度转化为角度.(1)20=20rad=rad 1809ππ⨯;(2)15=15rad rad 18012ππ--⨯=-;(3)77180==1051212rad πππ⨯; (4) 1111180rad==39655πππ--⨯-; 32．答案见解析 【解析】 【分析】先化为2πk α+的形式，再判断象限. 【详解】 （1）2311266πππ=+ 116π是第四象限角，236π∴是第四象限角. （2）515005360300103ππ︒︒︒-=-⨯+=-+1500︒∴-是第四象限角.（3）1841024777πππππ-=--=-+ 10318,727ππππ<<∴-是第三象限角. （4）266723603122,67215ππ︒︒︒︒=+=+∴是第四象限角. 33．π5π|2π2π,Z 612k k k αα⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，ππ|ππ,Z 62k k k αα⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】先利用弧度制写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角即可. 【详解】 因为5π7512rad =，由图（1）知：以射线OA 为终边的角的集合为15π|2π,1Z 2k S k α∈⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，330角的终边与30-即π6rad -的角的终边相同，以OB 为终边的角为2π|2π,6Z S k k α⎧∈⎫=-⎨⎬⎩⎭，所以终边落在阴影部分内的角的集合为：π5π|2π2π,Z 612k k k αα⎧⎫-≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.因为π306rad =，7π2106rad =， 由图（2）知：以射线OA 为终边的角为3πZ 6|2π,n S n ββ∈⎧⎫==+⎨⎬⎩⎭，以射线OB 为终边的角为47πZ 6|2π,S n n ββ∈⎧⎫==+⎨⎬⎩⎭，所以终边在直线AB 上的角为：()πππ2π,Z 21π|||666,Z π,Z n n n n k k S ββββββ+∈++⎧⎫∈+⎧⎫⎧⎫==⋃===⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩∈⎭⎩⎭⎩⎭，同理终边在y 轴上的角为ππ,Z |2k k ββ+∈⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，所以终边落在阴影部分内的角的集合ππ|ππ,Z 62k k k αα⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. 34．(1)()14329αππ=+-⨯,α是第四象限角；(2)49γπ=-. 【解析】 【详解】 试题分析：(1)由题意－800°＝－3×360°＋280°，而280°＝149π，据此可得：()14329αππ=+-⨯,α是第四象限角；(2)由题意结合(1)的结论可知γ＝2kπ＋149π，k ⅰZ ，结合题意，则取k ＝－1得49γπ=-.试题解析：(1)ⅰ－800°＝－3×360°＋280°，280°＝π， ⅰα＝－800°＝＋(－3)×2π.ⅰα与角终边相同，ⅰα是第四象限角．(2)ⅰ与α终边相同的角可写为2kπ＋，k ⅰZ 的形式，而γ与α的终边相同，ⅰγ＝2kπ＋，k ⅰZ . 又γⅰ，ⅰ－<2kπ＋<，k ⅰZ ， 解得k ＝－1，ⅰγ＝－2π＋＝－.35．13.（1）5π2l =，25π2S =；（2）当2α=弧度时，扇形面积最大，为216C ；（3）当2α=弧度时，扇形周长最小，为【解析】 【分析】（1）首先将圆心角化为弧度制，由已知结合扇形的面积公式与弧长公式即可直接求解； （2）扇形周长22C R l R R α=+=+，可得2CR α=+，利用扇形的面积公式，基本不等式即可求解．（3）依题意212S R α=，则R =(2C α=+【详解】解：（1）若45α=︒，10R =，则451804ππα=︒⨯=︒，所以扇形的弧长25104l R ππα==⨯=，扇形的面积21152510222S lR ππ==⨯⨯=； （2）扇形周长22C R l R R α=+=+，2CR α∴=+，2222111()42222164C C C S R ααααα∴=⋅==⋅+++扇．当且仅当24α=，即2α=时，扇形面积有最大值216C ．（3）扇形的面积212S R α=，所以R =所以()(222C R l R αα≥=+=+=+2α=时周长取得最小值36．（1）163π-（2）2α=. 【解析】【分析】（1）令圆弧的半径为R ，由定义知cos22AOB R R ∠-=求R ，进而由弧田面积OACB AOB S S S =-，即可求其面积；（2）由题意得2r r c α+=，扇形面积22r S α=，利用基本不等式求其最大值，确定最大值时α的值即可. 【详解】 （1）由题意，如下图示2CD =，令圆弧的半径为R ，23AOB π∠=，ⅰcos 32R OD R π==，即22R CD OC OD R =-=-=，得4R =，ⅰ弧田面积21132OACB AOB S S SR OD AB π=-=-⋅⋅，而AB =，ⅰ163S π=- （2）由题意知：弧长AOB 为r α，即该扇形周长2r r c α+=，而扇形面积22r S α=，ⅰ2222242(2)162()8c c c S αααα===+++当且仅当2α=时等号成立. ⅰ当2α=时，该扇形面积最大.【点睛】关键点点睛：（1）根据“矢”的定义，结合扇形中弦、半径、圆心角的关系求其半径，进而由面积关系求弧田面积即可；（2）由扇形周长、面积公式列出扇形面积S 关于圆心角α的函数，应用基本不等式求最值并确定等号成立的条件.。
《弧度制》同步练习及答案(共四套)
《5.1.2 弧度制》分层同步练习（一）基础巩固1．已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的半径为（ ） A ．7B ．6C ．5D ．42．若是三角形的最小内角，则的取值范围是（ ）A. B.C. D. 3．下列各角中，终边相同的角是 ( )A.和B.和C.和D.和4．已知，则角的终边在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．下列转化结果错误的是（ ） A.化成弧度是B.化成角度是C.化成弧度是D.化成角度是6．将化为形式为_____. 7．若，且与的终边互相垂直，则________. 8．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB.能力提升9．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为，圆面中剩余部分的面积为，150︒()5rad πA A 0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦23π2405π-31479π-299π332rad α=-α6730'38π103π-600-150-76π-12π5259π-()2,02,k a a k Z ππ+≤<∈παπ-<<2α54π-α=1S 2S当与时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A. B. C.D.10．若角的终边落在如图所示的阴影部分内，则角的取值范围是（ ）A ．B ． C． D ． 11．走时精确的钟表，中午时，分针与时针重合于表面上的位置，则当下一次分针与时针重合时，时针转过的弧度数的绝对值等于_______.12．已知．（1）写出所有与终边相同的角；（2）写出在内与终边相同的角； （3）若角与终边相同，则是第几象限的角？素养达成13．扇形AOB 的周长为8cm ．（1）若这个扇形的面积为3cm 2，求圆心角的大小；1S 2S (3π-1)π1)π2)παα,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭27,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦272,2()36k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 12123πα=α(4,2)ππ-αβα2β（2）求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB ．【答案解析】基础巩固1．已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的半径为（ ） A ．7 B ．6 C ．5 D ．4【答案】B【解析】依题意为，所以．故选B. 2．若是三角形的最小内角，则的取值范围是（ ）A. B.C. D. 【答案】D【解析】设是三角形的最小内角，则即，解得.故选：D.3．下列各角中，终边相同的角是 ( )A.和B.和C.和D.和【答案】C【解析】对于A 选项，，，不合乎要求； 对于B 选项，，，不合乎要求；150︒()5rad π1505π65656lr ππα===A A 0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦A ABC 0ππA ABC A B A C<<⎧⎪++=⎪⎨≤⎪⎪≤⎩0ππ3A A B C A <<⎧⎨=++≥⎩π03A <≤23π2405π-31479π-299π3342403π=422333πππ-=365π-=-()31436350--=对于C 选项，，合乎要求； 对于D 选项，，，不合乎要求。
2024-2025年北师大版数学必修第二册1.3.1-2弧度制(带答案)
§3 弧度制 3．1 弧度概念 3．2 弧度与角度的换算必备知识基础练知识点一 弧度制与角度制1．下列说法中，错误的是( ) A ．半圆所对的圆心角是π rad B ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径长D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 2．将下列角度与弧度进行互化．(1)20°；(2)－15°；(3)7π12 ；(4)－11π5.知识点二 用弧度制表示角3．把角－570°化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式为( )A ．－3π－π6B ．－4π＋150°C ．－3π－30° D．－4π＋5π64．把下列各角化成2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角．(1)－1 500°；(2)236π；(3)－4.知识点三 扇形的弧长与面积的计算5．已知扇形的半径为10 cm ，圆心角为165°，则扇形的弧长为( )A ．10π cm B．11π cm C ．55π6 cm D ．28π3cm6．某扇形的圆心角为60°，所在圆的半径为6，则它的面积是( ) A ．6π B ．3π C．12π D ．9π 7．已知扇形的圆心角为α，α>0，半径为R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求该弧所在的弓形的面积． (2)若扇形的周长为20 cm ，则当扇形的圆心角α等于多少时，这个扇形的面积最大？关键能力综合练一、选择题1．(易错题)亲爱的考生，本场考试需要2小时，则在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为( )A ．π3B ．－π3C ．5π3D ．－5π32．将－1 485°化成α＋2k π(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式是( )A ．－π4 －8π B．74 π－8πC ．π4 －10π D．74π－10π3．若α＝－2π3＋k π，k ∈Z ，则α终边所在象限为( )A ．第一象限B ．第一、三象限C ．第二象限D ．第二、四象限4．若扇形的周长是16，圆心角是360π度，则扇形的面积是( )A ．16B ．32C ．8D ．64 5．下列结论错误的是( )A ．67°30′化成弧度是3π8radB ．－10π3rad 化成度是－600°C ．－150°化成弧度是－7π6radD ．π12rad 化成度是15° 二、填空题6．已知α＝1 690°，把α写成2k π＋β(其中k ∈Z ，β∈[0，2π))的形式为________________，θ与α的终边相同，且θ∈(－4π，－2π)，则θ＝________．7．(探究题)已知2k π＋2π3 <α<2k π＋5π6 (k ∈Z )，则α2为第________象限角．8．折扇(如图1)是我国传统文化的延续，已有四千年左右的历史．图2为其结构简化图，在扇面ABCD 中，延长DA ，CB 交于点O ，已知OC ＝3OB ＝30 cm ，弧CD 的长度为60 cm ，则该扇面ABCD 的面积为________ cm 2.三、解答题9．设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5 rad ，β2＝－π3rad.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自是第几象限角；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们终边分别相同的所有角．学科素养升级练1.(多选题)已知某扇形的圆心角为π10，半径为5，则( )A ．该扇形的弧长为π2B ．该扇形的弧长为π4C ．该扇形的面积为5π2D ．该扇形的面积为5π42．(学科素养——数学运算)在一块顶角为2π3，腰长为2的等腰三角形钢板废料OAB中裁剪扇形，现有如图所示的两种方案．(1)求两种方案中扇形的周长之差的绝对值； (2)比较两种方案中的扇形面积的大小．§3 弧度制 3．1 弧度概念3．2 弧度与角度的换算必备知识基础练1．答案：D解析：由弧度制的定义可知：长度等于半径的弧所对的圆心角的大小是1弧度，而长度等于半径的弦所对的圆心角的大小不是1弧度，选项D 的说法错误，很明显选项A 、B 、C 的说法正确．故选D.2．解析：(1)20°＝20×π180 ＝π9 .(2)－15°＝－15×π180 ＝－π12；(3)7π12 ＝7π12 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π °＝105°；(4)－11π5 ＝－11π5 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π °＝－396°.3．答案：D解析：－570°＝－2×360°＋150°，而150°＝150×π180 ＝5π6，所以－570°可化为－4π＋5π6.故选D.4．解析：(1)－1 500°＝－1 800°＋300°＝－10π＋5π3，∴角－1 500°与角5π3终边相同，是第四象限角．(2)23π6 ＝2π＋11π6 ，∴角23π6 与角11π6终边相同，是第四象限角．(3)－4＝－2π＋(2π－4)，∴角－4与角2π－4终边相同，是第二象限角． 5．答案：C解析：∵165°＝π180 ×165＝11π12 ，∴扇形的弧长l ＝11π12 ×10＝55π6(cm).故选C.6．答案：A解析：60°＝60×π180 ＝π3 rad ，扇形面积S ＝12 ×π3×62＝6π.故选A.7．解析：(1)设弧长为l ，弓形面积为S .∵α＝60°＝π3，R ＝10 cm ，∴S ＝12 ×π3 ×102－34 ×100＝⎝ ⎛⎭⎪⎫50π3－253 cm 2. (2)设扇形的弧长为l ，则l ＋2R ＝20，∴l ＝20－2R (0<R <10).∴扇形的面积S ＝12 lR ＝12(20－2R )R ＝－R 2＋10R ，∴当R ＝5 cm 时，S 有最大值25 cm 2， 此时，l ＝10 cm ，α＝l R＝2 rad. ∴当α＝2 rad 时，扇形的面积最大．关键能力综合练1．答案：B解析：因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为2π，按顺时针转所形成的角为负角，所以经过2小时，时针所转过的弧度数为－16 ×2π＝－13π.故选B.2．答案：D解析：∵－1 485°＝－5×360°＋315°，2π rad＝360°，315°＝74π rad.∴－1 485°化成α＋2k π(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式是74π－10π.故选D.3．答案：B解析：∵－2π3 角的终边在第三象限，则反向延长其终边在第一象限，故α＝－2π3＋k π，k ∈Z 在一、三象限．故选B.4．答案：A解析：因为360π度等于2弧度，所以扇形的弧长l ＝2r ，因为扇形的周长是16，所以l ＋2r ＝16，所以r ＝4，l ＝8.因此扇形的面积是12 lr ＝12×8×4＝16.故选A.5．答案：C解析：对于A ，67°30′＝67.5×π180 ＝3π8 ，结论正确；对于B ，－10π3＝(－10π3 )×180°π ＝－600°，结论正确；对于C ，－150°＝－150×π180 ＝－5π6，结论错误；对于D ，π12 ＝π12 ×180°π＝15°，结论正确．故选C.6．答案：4×2π＋25π18 －47π18解析：α＝1 690°＝1 440°＋250°＝8π＋25π18，所以α＝4×2π＋25π18.依题意，有θ＝2k π＋25π18(k ∈Z )，由θ∈(－4π，－2π)，得－4π<2k π＋25π18 <－2π.又k ∈Z ，所以k ＝－2，所以θ＝－47π18.7．答案：一或三解析：由已知，得k π＋π3 <α2 <k π＋5π12 (k ∈Z )，当k 为偶数时，α2 为第一象限角，当k 为奇数时，α2 为第三象限角，故α2为第一或三象限角．8．答案：800解析：因为OC ＝3OB ＝30 cm ，弧CD 的长度为60 cm ，则弧AB 的长度为20 cm ，则该扇面ABCD 的面积为S ＝S 扇形OCD －S 扇形OAB ＝12 ×60×30－12 ×10×20＝800 cm 2.9．解析：(1)α1＝－570°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－570×π180 rad ＝－19π6 rad ＝⎝⎛⎭⎪⎫－2×2π＋5π6 rad ，α2＝750°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫750×π180 rad ＝25π6 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π＋π6 rad ， ∴α1是第二象限角，α2是第一象限角．(2)β1＝3π5 rad ＝3π5 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π °＝108°，与108°角终边相同的角的集合S ＝{β|β＝108°＋k ·360°，k ∈Z }． S 中适合－720°<β<0°的元素是108°－2×360°＝－612°，108°－1×360°＝－252°，∴在－720°～0°之间与β1终边相同的角为－612°和－252°.β2＝－π3rad ＝－π3 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π °＝－60°，与－60°角终边相同的角的集合T ＝{β|β＝－60°＋k ·360°，k ∈Z }．T 中适合－720°<β<0°的元素是－60°－1×360°＝－420°， ∴在－720°～0°之间与β2终边相同的角为－420°.学科素养升级练1．答案：AD解析：由题意得该扇形的弧长为π10 ×5＝π2 ，面积为12 ×π2 ×5＝5π4，故A ，D 正确，B ，C 错误．故选AD.2．解析：(1)∵△OAB 是顶角为2π3、腰长为2的等腰三角形，∴∠A ＝∠B ＝π6，OM ＝ON ＝1.方案一中扇形的周长L 1＝2＋2＋2×π6 ＝4＋π3 ，方案二中扇形的周长L 2＝1＋1＋1×2π3 ＝2＋2π3，∴两种方案中扇形的周长之差的绝对值为|(4＋π3 )－(2＋2π3 )|＝2－π3.(2)方案一中扇形的面积S 1＝12 ×π6 ×22＝π3 ，方案二中扇形的面积S 2＝12 ×2π3 ×12＝π3，∴S 1＝S 2，即两种方案中扇形的面积相等．。
高中数学 第一章 三角函数 1.1.2 弧度制练习(含解析)新人教A版必修4(2021年整理)
1.1。
2 弧度制一、选择题:1。
与角错误!π终边相同的角是（)A．错误!π B．2kπ－错误!π（k∈Z)C．2kπ－103π(k∈Z） D．(2k＋1）π＋错误!π(k∈Z)【答案】C【解析】选项A中错误!＝2π＋错误!π,与角错误!π终边相同，故A错；2kπ－错误!π，k∈Z，当k＝1时,得［0，2π)之间的角为错误!π，故与错误!π有相同的终边，B错；2kπ－错误!π，k∈Z，当k＝2时，得[0，2π)之间的角为错误!π,与错误!π有相同的终边,故C 对；（2k＋1）π＋错误!π,k∈Z，当k＝0时,得[0，2π）之间的角为错误!π，故D错．2.若α是第三象限的角，则π－错误!是( ）A．第一或第二象限的角 B．第一或第三象限的角C．第二或第三象限的角 D．第二或第四象限的角【答案】B【解析】因为α为第三象限的角，所以有2kπ＋π〈α〈2kπ＋错误!π,k∈Z，kπ＋π2〈错误!〈kπ＋错误!π，k∈Z，－kπ－错误!π<－错误!〈－kπ－错误!,k∈Z，故－kπ＋错误!〈π－错误!<－kπ＋错误!，k∈Z。
当k为偶数时,π－错误!在第一象限；当k为奇数时，π－α2在第三象限，故选B．3。
设扇形的周长为8 cm,面积为4 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】设扇形半径为r，弧长为l，由题意得错误!解得错误!则圆心角α＝错误!＝2 rad。
故选B4．－错误!的角是（)A．第一象限的角B．第二象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角【答案】D【解析】因为－错误!＝－错误!－4π，所以－错误!与－错误!的终边相同，为第四象限的角．故选D。
5. 圆的半径是6 cm，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是（)A．错误! cm2B．错误! cm2C．π cm2D．3π cm2【答案】B【解析】15°＝错误!，则S＝错误!｜α｜r2＝错误!×错误!×62＝错误!(cm2)．故选B。
人教版高中数学必修四二弧度制 含解析
课时达标检测（二） 弧 度 制一、选择题1．下列命题中，正确的是( )A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧B ．1弧度是长度为半径长的弧C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角答案：D2．1 920°化为弧度数为( )A.163B.323C.16π3D.32π3 答案：D3.29π6是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 答案：B4．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( ) A.π3B.2π3C. 3D ．2答案：C5．集合P ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z}，Q ＝{α|－4≤α≤4}，则P ∩Q 等于( )A ．∅B ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}C ．{α|－4≤α≤4}D ．{α|0≤α≤π}答案：B二、填空题6．用弧度制表示终边落在x 轴上方的角的集合为________．答案：{α|2k π<α<2k π＋π，k ∈Z}7．如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的32倍，则该弧所对的圆心角是原来的________倍．答案：38．若角α的终边与85π的终边相同，则在[0,2π]上，终边与α4的终边相同的角有________． 答案：2π5，9π10，7π5，19π10三、解答题 9．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角；(2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2. 解：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝149π， ∴α＝－800°＝14π9＋(－3)×2π. ∵α与角14π9终边相同，∴α是第四象限角． (2)∵与α终边相同的角可写为2k π＋14π9，k ∈Z 的形式，而γ与α的终边相同，∴γ＝2k π＋14π9，k ∈Z. 又γ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴－π2<2k π＋14π9<π2，k ∈Z ， 解得k ＝－1，∴γ＝－2π＋14π9＝－4π9.10．如图，动点P ，Q 从点A (4,0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P ，Q 第一次相遇时所用的时间及P ，Q 点各自走过的弧长．解：设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪－π6＝2π， 所以t ＝4(s)，即P ，Q 第一次相遇时所用的时间为4 s.P 点走过的弧长为4π3×4＝16π3，Q 点走过的弧长为2π3×4＝8π3.11．如图，已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB 的面积．解：∵120°＝120180π＝23π， ∴l ＝6×23π＝4π， ∴AB 的长为4π.∵S 扇形OAB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π， 如图所示，作OD ⊥AB ，有S △OAB ＝12×AB ×OD ＝12×2×6cos 30°×3＝9 3. ∴S 弓形ACB ＝S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－9 3.∴弓形ACB 的面积为12π－9 3.附赠材料答题六注意 ：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点:第一,考前做好准备工作。
任意角与弧度制过关测试题(含解析)
任意角与弧度制过关测试题1.若扇形AOB的圆心角为3π，周长为10+3π，则该扇形的面积为．52.已知扇形弧长为20cm，圆心角为100°，则该扇形的面积为________cm2．3.已知扇形弧长为10cm，圆心角为5π，则该扇形的面积为cm2．94.半径为2cm，圆心角为120∘的扇形面积为．5.将−1890°化为2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式是．6.角α的终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合为．7.和3π角的终边相同的角的集合中，最大的负角是___________(用弧度表示)．48.已知角α的终边在图中阴影部分表示的范围内(不包括边界)，则所有角α构成的集合是_________．9.若α为第四象限的角，则180°+α为第象限角．10.如图，终边落在阴影处(包括边界)的角的集合可表示为．11.若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为_______________________．12.将−1485∘化成2kπ+α(0≤α<2π,k∈Z)的形式为．13.时钟走过了40分钟，时针所转过的弧度数是．14.将时钟拨快30分钟，则时针所转过的弧度数是_______．15.时钟的分针经过15分钟所转过的角度是．16.将67°30′化为弧度，结果是17.在与2010∘角终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为．18.已知扇形OAB的圆心角为4，其面积是2cm2，则该扇形的周长是__________cm．答案和解析1.解：设扇形AOB 的的弧长为l ，半径为r ，∴l r =3π5，l +2r =10+3π， ∴l =3π，r =5，∴该扇形的面积S =12lr =15π2，故答案为：15π2． 2.解：设扇形的半径是R ，弧长为l ，由题意得：l =100°πR 180°=20， 解得：R =36πcm ，因此扇形的面积S =12lR =12×20×36π=360πcm 2．故答案为360π． 3.解：设扇形的半径为rcm ，∵圆心角为5π9，∴弧长l =5π9r =10，解得r =905π， ∴这条弧所在的扇形面积为S =12×10×905π=90πcm 2，故答案为90π．4.解：120∘=2π3rad ，所以扇形的面积公式为12α·r²=12×2π3×22=4π3，故答案为4π3cm 2． 5.解：−1890°=−1890×π180=−21π2=−12π+3π2．故答案为−12π+3π2．6.解：落在第一象限时，表示为k ·360°+45°.k ∈ Z ，落在第三象限时，表示为k ·360°+180°+45°，k ∈ Z ，故可合并为{α|α=k ·180°+45°,k ∈Z}故答案为{α|α=k ·180°+45°,k ∈Z} . 7.解：因为和3π4终边相同的角为x =3π4+2kπ,k ∈Z,当k =−1时，x =3π4−2π=−5π4， 故与3π4终边相同的最大负角是−5π4，故答案为−5π4． 8.解：由图知，将x 轴绕原点分别旋转45°与135°得边界，∴终边在阴影内的角的集合为(k ·180°+45°,k ·180°+135°)(k ∈Z )．故答案为(k ·180°+45°,k ·180°+135°)(k ∈Z )．9.解：k ⋅360°−90°<α<k ⋅360°，k ∈Z ，则k ⋅360°+90°<α+180°<k ⋅360°+180°，k ∈Z ，即α+180°在第二象限．故答案为二．10.解：与150°，60°终边相同的角为150°+k ·360°,k ∈Z ，60°+k ·360°,k ∈Z ， 因此终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合可表示为{α|60°+k ·360°≤α≤150°+k ·360°,k ∈Z }．故答案为{α|60°+k ·360°≤α≤150°+k ·360°,k ∈Z }．11.解：在(0,2π)内第二象限角平分线的度数为135∘，所以和135∘终边相同的角的集合为{α|α=135∘+k ⋅360∘,k ∈Z }．故答案为：{α|α=135∘+k ⋅360∘,k ∈Z }．12.解：因为−1485∘=−5×360∘+315∘，所以−1485∘可以表示为−10π+74π．13.解：时针每小时走360°÷12=30°，所以时针每分钟走30°÷60=0.5°，经过40分钟， 那么它转过的角度是0.5°×40=20°．所以，经过40分钟，时针所转过的弧度数是20·π180=π9． 故答案为： π9． 14.解：∵时针12小时转动2π弧度，∴时针每小时转动π6，∴时针30min 转动π12，∵拨快30min ，∴转动的弧度为−π12．故答案为−π12．15.解：∵时钟上的分针匀速顺时针旋转一周的度数为−360°，时钟上的分针匀速旋转一周需要60分钟，∴时钟上的分针匀速顺时针旋转一分钟的度数是(−360°)÷60=−6°，∴经过15分钟所转过的角度是−6°×15=−90∘．故答案为−90∘． 16.解：67°30′=67.5°×π180∘=3π 8. 故答案为3π 8． 17.解：2010°=5×360°+210°=6×360°−150°，而−150∘=−5π6，故答案为−5π6．18.解：设扇形的弧长为l ，半径为r ，∵扇形圆心角的弧度数是4，∴l =4r ，∵S 扇=12lr =2，∴12×4r ×r =2，则r 2=1，∴r =1，则l =4，∴该扇形的周长C =l +2r =4+2=6．故答案为：6．。
任意角和弧度制练习题有答案
任意角和弧度制练习题一、选择题1、下列角中终边与330°相同的角是（）A ．30°B ．-30°C ．630°D ．-630°2、－1120°角所在象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3、把－1485°转化为α＋k ·360°（0°≤α＜360°,k ∈Z ）的形式是（）A ．45°－4×360°B ．－45°－4×360°C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360°4.在“①160°②480°③-960°④-1600°”这四个角中，属于第二象限的角是（)A.5A ．B ．C ．D.6.Α.{α|C.{α|7.Α.8. A.C.9AB C D ．{10 A ．B=A ∩C B ．B ∪C=C C ．A ⊂C D ．A=B=C11.若α是第一象限的角，则-2α是() A.第一象限的角 B.第一或第四象限的角C.第二或第三象限的角D.第二或第四象限的角12.集合A={α｜α=k ·90°,k ∈N +}中各角的终边都在()A.x 轴的正半轴上B.y 轴的正半轴上C.x 轴或y 轴上D.x 轴的正半轴或y 轴的正半轴上13.α是一个任意角，则α与-α的终边是()A.关于坐标原点对称B.关于x 轴对称C.关于直线y=x 对称D.关于y 轴对称14．设k ∈Z ，下列终边相同的角是 （）A ．（2k +1）·180°与（4k ±1）·180°B ．k ·90°与k ·180°+90°C ．k ·180°+30°与k ·360°±30°D ．k ·180°+60°与k ·60°15．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A ．2B ．1sin 2C ．1sin 2D ．2sin16．一钟表的分针长10 cm ，经过35分钟，分针的端点所转过的长为：（）A ．70 cmB ．670cm C ．(3425-3π)cm D ．3π35cm 17．180°－α与α的终边（）A 18A ．C ．} 19 A ．220A ．C ．21A ．M N N 22.23．与24225.若角α、β的终边互为反向延长线，则α与β之间的关系是___________．26．已知α是第二象限角，且,4|2|≤+α则α的范围是.27.在0与360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？（1）120-（2）640（3）95012'-28．中心角为60°的扇形，它的弧长为2π，求它的内切圆的面积29．已知扇形的周长为20 cm ，当扇形的中心角为多大时，它有最大面积，最大面积是多少？ 答案:1.B2.D3.D4.D5.D6.C7.B8.C9.D 10.B11.D 12.C 13.B 14.A 15.B16.D 17.B 18.C 19.B 20.C 21.C22.试题分析：在上第一个出现终边在第二象限角平分线的角为，之后每隔个单位出现一个终边23.与24.,给这八个,因为25.26.k=0时k=1时]227.（（2）（3）度12分28.由2πR∴S=4扇形面积=1/2*半径*弧长=1/2*x*(20-2x)=-x2+10x对称轴是x=5∴x=5时,扇形面积最大值=-25+50=25平方厘米弧长为=10cm圆心角=弧长/半径=10/5=2rad。
北师大高中数学必修第二册1.3弧度制-专项训练【含解析】
北师大高中数学必修第二册1.3弧度制-专项训练【原卷版】1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确命题的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．42．(2024·福建联考)时钟的分针在8点到10点20分这段时间里转过的弧度数为()A ．143πB ．－143πC ．718πD ．－718π3．若α是第二象限角，则()A ．cos(－α)>0B ．tan α2>0C ．sin(π＋α)>0D ．cos(π－α)<04．平面直角坐标系xOy 中，若角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，其终边上一点P 绕原点顺时针旋转π6到达点Q (3,4)的位置，则()A ．－35B ．35C ．－45D ．455．(2024·淄博模拟)sin 2·cos 3·tan 4的值()A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在6．(多选)下列条件中，能使α和β的终边关于y 轴对称的是()A ．α＋β＝540°B ．α＋β＝360°C ．α＋β＝180°D ．α＋β＝90°7．(多选)中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形(如图)的面积为S 1，圆心角为α1，圆面中剩余部分的面积为S 2，圆心角为α2，当S 1与S 2的比值为5－12≈0．618(黄金分割比)时，折扇看上去较为美观，那么()A ．α1≈127．5°B ．α1≈137．5°C ．α2＝(5－1)πD ．α1α2＝5－128．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝________．9．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M 35，m，且OM ＝1(O 为坐标原点)，求m 及sin α的值．10．在平面直角坐标系中，已知点P (cos t ，sin t )，A (2,0)，当t 由π3变化到2π3时，线段AP 扫过形成图形的面积等于()A ．2B ．π3C ．π6D ．π1211．已知点P (sin θ，cos θ)是角α终边上的一点，其中θ＝2π3，则与角α终边相同的最小正角为________．12.在平面直角坐标系中，劣弧AB ︵，CD ︵，EF ︵，GH ︵是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段弧上，角α以Ox 为始边，OP 为终边．若tanα<cos α<sin α，则P 所在的圆弧是________．答案：EF︵13．若角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)．(1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．14．(多选)在平面直角坐标系xOy 中，已知任意角θ以坐标原点为顶点，x 轴的非负半轴为始边，若终边经过点p (x 0，y 0)，且|OP |＝r (r >0)，定义：sos θ＝y 0＋x 0r，称“sos θ”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数y ＝sos x ”，有同学得到以下性质，其中正确的是()A．该函数的值域为[－2，2]B．该函数的图象关于原点对称C．该函数的图象关于直线x＝3π4对称D．该函数为周期函数，且最小正周期为2π15．某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角(正角)为θ(弧度)．(1)求θ关于x的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？北师大高中数学必修第二册1.3弧度制-专项训练【解析版】1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确命题的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4解析：C①中－3π4是第三象限角，从而①错．②中4π3＝π＋π3，则4π3是第三象限角，从而②正确．③中－400°＝－360°－40°，从而③正确．④中－315°＝－360°＋45°，从而④正确．2．(2024·福建联考)时钟的分针在8点到10点20分这段时间里转过的弧度数为()A ．143πB ．－143πC ．718πD ．－718π解析：B 分针每分钟转6°，则分针在8点到10点20分这段时间里转过度数为－6°×(2×60＋20)＝－840°，∴－840°×π180°＝－143π，故选B ．3．若α是第二象限角，则()A ．cos(－α)>0B ．tan α2>0C ．sin(π＋α)>0D ．cos(π－α)<0解析：B若α是第二象限角，则cos(－α)＝cos α<0，故A 错误；α2为第一、三象限角，则tan α2>0，故B 正确；sin(π＋α)＝－sin α<0，故C 错误；cos(π－α)＝－cos α>0，故D 错误．故选B ．4．平面直角坐标系xOy 中，若角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，其终边上一点P 绕原点顺时针旋转π6到达点Q (3,4)的位置，则()A ．－35B ．35C ．－45D ．45解析：D依题意可知Q (3,4)在角α－π6的终边上，所以＝432＋42＝45，故选D ．5．(2024·淄博模拟)sin 2·cos 3·tan 4的值()A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在解析：A∵π2<2<3<π<4<3π2，∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，∴sin 2·cos 3·tan 4<0．6．(多选)下列条件中，能使α和β的终边关于y 轴对称的是()A ．α＋β＝540°B ．α＋β＝360°C ．α＋β＝180°D ．α＋β＝90°解析：AC假设α，β为0°～180°内的角，如图所示，由α和β的终边关于y 轴对称，所以α＋β＝180°，又根据终边相同的角的概念，可得α＋β＝k ·360°＋180°＝(2k ＋1)180°，k ∈Z ，所以满足条件的为A 、C ．故选A 、C ．7．(多选)中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形(如图)的面积为S 1，圆心角为α1，圆面中剩余部分的面积为S 2，圆心角为α2，当S 1与S 2的比值为5－12≈0．618(黄金分割比)时，折扇看上去较为美观，那么()A ．α1≈127．5°B ．α1≈137．5°C ．α2＝(5－1)πD ．α1α2＝5－12解析：BCD设扇形的半径为R ，由S 1S 2＝12α1R212α2R 2＝α1α2＝5－12，故D 正确；由α1＋α2＝2π，所以5－12α2＋α2＝2π，解得α2＝(5－1)π，故C 正确；由5－12≈0．618，则5－1≈1．236，所以α2＝(5－1)π≈1．236×180°≈222．5°，所以α1≈360°－222．5°＝137．5°，故B 正确．故选B 、C 、D ．8．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝________．解析：依题意，得cos α＝xx 2＋5＝24x <0，由此解得x ＝－3．答案：－39．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点OM ＝1(O 为坐标原点)，求m 及sin α的值．解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，得sin α<0，由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，所以α是第四象限角．(2)因为OM ＝1，所以＋m 2＝1，解得m ＝±45．又α为第四象限角，故m <0，所以m ＝－45，sin α＝y r ＝m OM ＝－45．10．在平面直角坐标系中，已知点P (cos t ，sin t )，A (2,0)，当t 由π3变化到2π3时，线段AP 扫过形成图形的面积等于()A ．2B ．π3C ．π6D ．π12解析：C当t ＝π3时，设点P 在B t ＝2π3时，设点P 在C －12，如图所示，线段AP 扫过形成图形为坐标系中的阴影部分，因为BC ∥x 轴，所以S △COA ＝S △BOA ⇒S △COD ＝S △BDA ，所以线段AP 扫过形成图形的面积等于扇形BOC 的面积，S 扇形BOC ＝12×12×π3＝π6C ．11．已知点P (sin θ，cos θ)是角α终边上的一点，其中θ＝2π3，则与角α终边相同的最小正角为________．解析：因为θ＝2π3，故α为第四象限角且cos α＝32，所以α＝2k π＋11π6，k ∈Z ，所以与角α终边相同的最小正角为11π6．答案：11π612.在平面直角坐标系中，劣弧AB ︵，CD ︵，EF ︵，GH ︵是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段弧上，角α以Ox 为始边，OP 为终边．若tanα<cos α<sin α，则P 所在的圆弧是________．解析：因为tanα<cos α，所以P 所在的圆弧不是GH ︵，因为tanα<sin α，所以P 所在的圆弧不是CD ︵，又cos α<sin α，所以P 所在的圆弧不是AB ︵，所以P 所在的圆弧是EF ︵.答案：EF︵13．若角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)．(1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．解：(1)因为角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)，所以x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |，当a >0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝35－45＝－15；当a <0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝－35＋45＝15．综上，sin θ＋cos θ＝±15．(2)当a >0时，sin θ＝35∈cos θ＝－45∈－π2，则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos 35；当a <0时，sin θ＝－35∈－π2，cos θ＝45∈则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝45>0．综上，当a >0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a <0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．14．(多选)在平面直角坐标系xOy 中，已知任意角θ以坐标原点为顶点，x 轴的非负半轴为始边，若终边经过点p (x 0，y 0)，且|OP |＝r (r >0)，定义：sos θ＝y 0＋x 0r，称“sos θ”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数y ＝sos x ”，有同学得到以下性质，其中正确的是()A ．该函数的值域为[－2，2]B ．该函数的图象关于原点对称C ．该函数的图象关于直线x ＝3π4对称D ．该函数为周期函数，且最小正周期为2π解析：ADA 中，由三角函数的定义可知x 0＝r cos x ，y 0＝r sin x ，所以y ＝sos x ＝y 0＋x 0r＝sin x ＋cos x ＝2sin[－2，2]，所以是正确的；B 中，y ＝sos x ＝2sin f (0)＝2sin 1≠0，所以函数关于原点对称是错误的；C 中，当x ＝3π4时，＝2sin ＝2sin π＝0≠±2，所以图象关于直线x ＝3π4对称是错误的；D 中，y ＝sos x ＝2sin 2π，所以是正确的．故选A 、D ．15．某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角(正角)为θ(弧度)．(1)求θ关于x 的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最大值？解：(1)由题意得，30＝θ(10＋x )＋2(10－x )，∴θ＝10＋2x10＋x(0<x <10)．(2)花坛的面积为12θ(102－x 2)＝(5＋x )(10－x )＝－x 2＋5x ＋50，装饰总费用为9θ(10＋x )＋8(10－x )＝170＋10x ，∴花坛的面积与装饰总费用的比y ＝－x 2＋5x ＋50170＋10x (0<x <10)．令t ＝17＋x ，则t ∈(17,27)，则y ＝3910－≤3910－210t ·324t ＝310，当且仅当t ＝324t ，即t ＝18时，y 取得最大值，最大值为310，此时x ＝1，θ＝1211．故当x ＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．。