四结构和性能的关系分析PPT课件

特鲁德模型的基本假设 II
碰撞是电子突然改变速度的瞬时事件，正 如硬橡皮球从固定的物体上反弹回来一样， 它是由于运动中的电子碰到不可穿透的离 子实而反弹所造成的。
运动电子的轨迹
特鲁德模型的基本假设 III
单位时间内电子发生碰撞的几率是 1/。这 里的时间 称为驰豫时间 (或平均自由时
间)，它意味着一个电子在前后两次碰撞之
nk
B
c
u T
3 2
nk
B
也就是说：金属的比热与温度无关。
2. 索末菲理论
索末菲理论的出发点是：金属中电子的运动具有 波粒二象性。电子的波长可以表示为
h / mv
通常采用波矢 k 来描述电子的运动，k 定义为
k 2 2 mv h
先来讨论一维的情况
电子被束缚在金属晶体内运动，就好像处在 一个很深的势箱中。晶体试样的长度 L 就是势箱 的边界。
(r) Aeikr
考虑到势箱的深度应该大大超过电子的动能，因此 电子在边界以外出现的几率为零。这一边界条件可 以写成
(X L) (X )
4.1 能带理论
材料按电性能分类: 导体、半导体、绝缘体
导 体 纯金属的电阻率在108 ～ 107 m 金属合金的电阻率为107 ~ 105 m
半导体 电阻率为103 ~ 10+5 m 绝缘体 电阻率为10+9 ~ 10+17 m
电阻率的大小取决于材料的结构。
我们从金属开始
在材料电性能研究中，金属处于相当特殊 的地位
v l
ne2l
mv
❖ 只有电子的平均自由程与材料结构有关；平均自由 程是电子在两次碰撞之间的平均运动距离
❖ 碰撞 (电子的散射) 导致导体发热
❖ 散射分为两类：与温度有关的热振动散射和与温度 无关的缺陷散射
❖ 热振动散射的平均自由程约为100个原子间距
❖ 在所有缺陷中，杂质对电阻率影响最大，0.1%的掺 杂就能产生显著的效果。
物理学家曾经为以下两个问题绞尽脑汁
金属为什么容易导电？ 金属为什么是良好的热导体？
4.1.1 金属电子论概念
1897 年， 汤姆逊 (J.J. Thomson) 首先发 现了金属中电子的存在
1900 年，特鲁德 (P. Drude) 提出了一个 关于金属的简单模型
最后，索末菲 (A.J.W. Sommerfeld) 提出 了金属电子论
在这个势箱中，电子运动的动能为：
E 1 mv 2 h 2 k 2
2
8 2 m
k 2 2 mv h
E 1 mv 2 h 2 k 2
2
8 2 m
即电子的动能与波矢之间呈抛物线关系。
电子运动的薛定锷方程为 (r) 为电子的波函数
h 2 2 (r) E (r) 8 2 m
我们直接给出这个方程的解
价电子层：电子数 量为 Z
特鲁德模型认为：这些传导电子构成自由电 子气系统，可以用运动学理论进行处理
每摩尔金属元素包含有 6.022 1023 个原 子；每立方厘米金属具有的摩尔数为 D / A；每 个原子提供 Z 个传导电子，因此每立方厘米金 属中传导电子的数量为
n N 6.022 1023 ZD
V
A
特鲁德模型的基本假设 I
在没有发生碰撞时，电子与电子、电子与 离子之间的相互作用可以忽略。在无外场 作用时，电子作匀速直线运动；在外场作 用下，电子的运动服从牛顿定律。
忽略了电子与电子之间相互作用的近似称为 独立电子近似
忽略了电子与离子之间相互作用的近似称为 自由电子近似
所以这样假设称为独立自由电子近似
E j
其中 为金属的电阻率。
根据特鲁德模型即可解释这一现象。
设金属导体中每单位体积中含有 n 个自由电子， 其平均运动速度为 v平均，则电流密度为
j nev平均
考虑一个自由电子，从上次碰撞发生起，可有 t 时
间行程。如果无外场作用，其速度为 v0，在外电场 作用下，碰撞后将立即附加一个速度 eEt / m，也
特鲁德模型
当金属原子凝聚在一起形成金属时， 原来孤立原子封闭壳层内的电子 (芯电子) 仍然能够紧紧地被原子核束缚着，它们和 原子核一起在金属中构成不可移动的离子 实；而原来孤立原子封闭壳层外的电子 (价电子) 则可以在金属中自由地移动。
孤立原子示意图
原子核：具有电荷 eZa
芯电子层：电子 数量为 Za Z
但是，特鲁德模型在解释金属的比热、磁 化率等方面则出现了困难。
特鲁德模型的局限性举例
金属的比热
特鲁德模型把金属电子处理为经典的理想气体，
遵循波尔兹曼统计规律：每个电子有 3 个自由度，
每个自由度对应平均能量为 kBT / 2。令 u 为内能密
度，则
u
3 2
nk BT
相应地，金属的比热为
c
u T
3 2
纯铜的电阻率随温 度的变化关系曲线
m ne 2
v l
❖在低温时，电阻率通常很小
❖温度升高后，电阻率随温度的变化基本上呈线性： 温度越高，电阻率越大
❖当然，对这一现象的解释不是特鲁德模型能够完 成的。
特鲁德模型可以很好地解释欧姆定律，此 外，在解释金属热导与电导之间的联系、 金属电子的驰豫时间和平均自由程等方面 也取得了成功。
间平均而言将有 时间的行程。驰豫时间
与电子的位置和速度无关。
特鲁德模型的基本假设 IV
电子和周围环境达到热平衡仅仅是通过碰 撞实现的，碰撞前后电子的速度毫无关联， 方向是随机的，其速率是和碰撞发生处的 温度相适应的。
特鲁德模型的应用举例
金属的直流电导
根据欧姆定律，金属导体的电流密度 j 和施加在导体上的电场强度 E 成正比，即：
就是说，该电子的速度将为
v
v0
eEt m
一个电子的运动速度为
v
v0
eEt m
所有电子的平均运动速度为
v平均
v0 n
eEt mn
v平均
eE
m
j nev平均
j
ne 2
m
E
这就是欧姆定律
关于金属的电阻率
j
ne 2
m
E
E j ne 2
v l
m
ne 2
m ne 2
第四章 结构与性能的关系
经典的化学结构理论指出，物质的内部 结构完全决定了它的典型的化学和物理性能。 因此，探索晶体的结构与性能之间的关系是 材料科学中重要的基础性研究课题之一。
本章推荐参考书
曾兆华，杨建文编，材料化学，化学工业出版社 C.Kittel著，项金钟，吴兴惠译，固体物理导论，
化学工业出版社