1.4.1-2《空间图形基本关系的认识与空间图形的公理(1、2、3)》课件(北师大版必修2)
【证明】EF∥DB,确定平面EFDB.
∵EF 平面EFDB，P∈EF, ∴P∈平面EFDB.
同理Q∈平面EFDB.∴P、H、Q∈平面EFDB.
∵A1C1∥AC,确定平面A1C， P∈A1C1,Q∈AC,H∈A1C, ∴P、H、Q∈平面A1C. 根据公理3，P、H、Q三点一定在平面EFDB与平面A1C的交线上，
一、选择题（每题4分，共16分） 1.（2010·深圳高一检测）下列说法正确的是( (A)三点确定一个面 (B)四边形一定是平面图形 )
(C)梯形一定是平面图形
(D)两个平面有不在同一条直线上的三个交点 【解析】选C.由公理2知A错，B错.
三、解答题（每题8分，共16分）
7.（2010·西安高一检测）正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长 为8 cm，M,N,P分别是AB,A′D′,BB′棱的中点.
（1）画出过M,N,P三点的平面与平面A′B′C′D′及平面
BB′C′C的交线，并说明画法的依据； （2）设过M,N,P三点的平面与B′C′交于点Q，求PQ的长. 【解析】（1）如图，延长MP、 A′B′相交于点E，连接NE,交 B′C′于点Q，连接QP，则NE为 平面MNP与平面A′B′C′D′的 交线，PQ为平面MNP与平面 BB′C′C的交线.
3
所以，PQ＝ 4 10 cm.
3
8.如图所示，在正方体
ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是
B1C1和D1C1的中点，P、Q分别为 EF和BD的中点，对角线A1C与平面 EFDB交于H点，求证：P、H、Q三 点共线. 【解题提示】据公理3可知两个 平面的公共点都在两面的交线上，故可证三点共线.
故P、H、Q三点共线.
9.(10分)右图是一个正方体的展开图，如果
将它还原为正方体，那么AB、CD、EF、GH这
四条线段所在直线是异面直线的有哪几对？ 【解析】还原为正方体如图所示，可判断AB 与CD异面，AB与GH异面，EF与GH异面.
【解析】由公ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1知（1）正确；由公理3知（2）正确.由公理
2知（4）正确.对于（3），若l α,则有可能l∩α=A.此时
A∈l,也有A∈α.故（3）不正确. 答案：3
6.如图，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点， 则表示直线GH、MN是异面直线的图形是______.
【解析】①中GH∥MN,②中MN与GH异面，③中MN与GH相交，④ 中MN与GH异面. 答案：②④
【解析】选B.
连接BP并延长交B1A1的延长线于E， 连接BQ并延长交B1C1的延长线于F，连接EF. 则D1在直线EF上，连接QD1,PD1， 则四边形BQD1P为经过P、B、Q三点的截面. 可证BQ=QD1=D1P=PB但∠PD1Q≠90°. 因此四边形BQD1P是菱形但不是正方形.
二、填空题（每题4分，共8分） 5.(2010·豫东三校联考)给出以下四种说法：（设α 、β 表
理由：∵E∈直线MP，
且E∈直线A′B′,∴E∈平面MNP， 且E∈平面A′B′C′D′,易知，N∈平面MNP，
且N∈平面A′B′C′D′，所以，NE为平面MNP与平面
A′B′C′D′的交线，显然，PQ为平面MNP与平面BB′C′C的 交线; （2）由已知和（1）得MB=B′E=4 cm,又△EB′Q∽△EA′N， 所以，B′Q= 4 cm，又B′P＝4 cm,
4.（2010·湛江高一检测）正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q分别
是棱AA1与CC1的中点,则经过P、B、Q三点的截面是(
(A)邻边不相等的平行四边形 (B)菱形但不是正方形 (C)矩形 (D)正方形
)
【解题提示】画截面的关键在于画面与面的交线，交线只 要有两个公共点就能画出.画出截面后可计算边长判断其形状.
3.平面α ∩平面β =l,点A∈α ,B∈α ,C∈β ,且Cl,AB∩l=R,
过A、B、C三点确定平面γ ,则β ∩γ =(
(A)直线AC (C)直线CR (B)直线BC (D)以上都不对
)
【解析】选C.由AB∩l=R知R∈AB,R∈l,又α∩β=l, ∴lβ,∴R∈β,R∈γ. 又C∈β,C∈γ,∴β∩γ=CR.
示平面， l表示直线，A、B、C表示点）
（1）若A∈l,A∈α ,B∈l,B∈α ，则l α ; （2）A∈α ,A∈β ,B∈α ,B∈β ,则α ∩β =AB； （3）若l α ,A∈l,则Aα ; （4）若A、B、C∈α ,A、B、C∈β ,且A、B、C不共线，则α
与β 重合.
则上述说法中正确的个数是__________.
由公理2的推论及梯形有一组对边平行知C正确.
由公理3知D错.
2.a，b是异面直线，b,c是异面直线，则a、c的位置关系
是(
)
（B）相交或平行 （D）平行或异面
（A）相交、平行或异面 （C）异面 【解析】选A.如图所示在正方体中， a与b异面，直线c可在图中c1、c2、 c3三个位置,与a分别平行、异面、 相交.
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1.4.1-2《空间图形基本关系的认识与空间图形的公理(1、2、3)》课件(北师大版必修2)
3.平面α ∩平面β =l,点A∈α ,B∈α ,C∈β ,且Cl,AB∩l=R,
过A、B、C三点确定平面γ ,则β ∩γ =(
(A)直线AC (C)直线CR (B)直线BC (D)以上∈AB,R∈l,又α∩β=l, ∴lβ,∴R∈β,R∈γ. 又C∈β,C∈γ,∴β∩γ=CR.
示平面， l表示直线，A、B、C表示点）
（1）若A∈l,A∈α ,B∈l,B∈α ，则l α ; （2）A∈α ,A∈β ,B∈α ,B∈β ,则α ∩β =AB； （3）若l α ,A∈l,则Aα ; （4）若A、B、C∈α ,A、B、C∈β ,且A、B、C不共线，则α
与β 重合.
则上述说法中正确的个数是__________.
将它还原为正方体，那么AB、CD、EF、GH这
四条线段所在直线是异面直线的有哪几对？ 【解析】还原为正方体如图所示，可判断AB 与CD异面，AB与GH异面，EF与GH异面.
4.（2010·湛江高一检测）正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q分别
是棱AA1与CC1的中点,则经过P、B、Q三点的截面是(
(A)邻边不相等的平行四边形 (B)菱形但不是正方形 (C)矩形 (D)正方形
)
【解题提示】画截面的关键在于画面与面的交线，交线只 要有两个公共点就能画出.画出截面后可计算边长判断其形状.
一、选择题（每题4分，共16分） 1.（2010·深圳高一检测）下列说法正确的是( (A)三点确定一个面 (B)四边形一定是平面图形 )
(C)梯形一定是平面图形
(D)两个平面有不在同一条直线上的三个交点 【解析】选C.由公理2知A错，B错.
3
8.如图所示，在正方体
ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是
空间图形的基本关系与公理(2) ppt课件
内，又在面 α 内，再利用公理 3 从而证得三点共线．
点评证∴明P证∈A明∵B，A多BP∩点∈α平共＝面P线，α的. 方法：利用公理 3，只需说 明这又些A点B 都 平是面两A个BC平，∴面P的∈平公面共A点BC，. 则必在这两个面
∴由公理 3 可知：点 P 在平面 ABC 与平面 α 的交线上，
点评 证明多线共面的方法是先由公理 2 确定一个平面， 再利用公理 1 依次证明其余各线也在这个平面内．
PPT课件
11
知识探究: 公理定理的简单应用
证明多点共线问题
例 2 已知△ABC 在平面 α 外，AB∩α＝P，
AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图所示． 求证：P、Q、R 三点共线．
分析 解答本题可先证明 P，Q，R 三点在面 ABC
推论3 经过两条平行直线唯一确定一个平面.
作用：确定平面的依据
PPT课件
7
知识探究：平面的基本性质3 观察下图，你能得到什么结论？
天花板
墙面 P 墙面
P
a
PPT课件
8
知识探究：平面的基本性质3
文字语言
公理3如果两个不重合的平面有一
个公共点，那么这两个平面有且只 有一条通过这个点的公共直线.
的交线上． 同理可证 Q、R 也在平面 ABC 与平面 α 的交线上．
∴P、Q、R 三点共线．PPT课件
12
空间四边形的有关概念：
（1）顺次连结不共面的四点A、B、C、D
所构成的图形，叫做空间四边形；
（2）四个点中的各个点叫做空间四边形
的顶点；
（3）所连结的相邻顶点间的线段叫做空
间四边形的边；
（4）连结不相邻的顶点的线段叫做空间
符号语言 公理作用
空间图形的基本关系与公理 PPT
ED2 2，CE CD2 ED2 3，
故cosCED ED 2 2， CE 3
所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为2 2. 3
链接高考
(2010·湖南)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中 AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点．求异面直线A1M和C1D1 所成的角的正值．
知识准备：1. 会找异面直线所成的角；
∴E、F、H、C四点共面，∵点D∈直线FH，
∴D点在EF、CH确定的平面内，
∴C、D、F、E四点共面．
题型三 证明三线共点
【例3】 已知四面体ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，
G、H分别是BC、CD上的点B，G 且 DH
AC相交于同一点P.
GC HC
=2.求证：直线EG、FH、
证明：如图，∵E、F分别是AB、AD的中点， ∴EF∥BD且EF=1/2BD.
题型四 异面直线及其所成角的问题 【例4】 (2010×天津改编)如图，在五面体ABCDEF中，四边 形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，CD=12 ，2 AD= ，求异面直 线CE与AF所成角的余弦值．
解：因为四边形ADEF是正方形，所以 FA∥ED.
故∠CED为异面直线CE与AF所成的角． 因为FA⊥平面ABCD， 所以FA⊥CD，故ED⊥CD. 在Rt△CDE中，CD=1，
答案：
1. A∈l，B∈l，A∈a，B∈a⇒l⊂a 不在同一条直线上 A、 B、C不共线⇒A、B、C∈平面a且a是唯一的 如果不重合的两
个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共
直线 P∈a a∥c 经过一条直线和直线外一点，有且只有一 个平面 a∩b=P⇒有且只有一个平面a，使a⊂a，b⊂a
故cosCED ED 2 2， CE 3
所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为2 2. 3
链接高考
(2010·湖南)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中 AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点．求异面直线A1M和C1D1 所成的角的正值．
知识准备：1. 会找异面直线所成的角；
∴E、F、H、C四点共面，∵点D∈直线FH，
∴D点在EF、CH确定的平面内，
∴C、D、F、E四点共面．
题型三 证明三线共点
【例3】 已知四面体ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，
G、H分别是BC、CD上的点B，G 且 DH
AC相交于同一点P.
GC HC
=2.求证：直线EG、FH、
证明：如图，∵E、F分别是AB、AD的中点， ∴EF∥BD且EF=1/2BD.
题型四 异面直线及其所成角的问题 【例4】 (2010×天津改编)如图，在五面体ABCDEF中，四边 形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，CD=12 ，2 AD= ，求异面直 线CE与AF所成角的余弦值．
解：因为四边形ADEF是正方形，所以 FA∥ED.
故∠CED为异面直线CE与AF所成的角． 因为FA⊥平面ABCD， 所以FA⊥CD，故ED⊥CD. 在Rt△CDE中，CD=1，
答案：
1. A∈l，B∈l，A∈a，B∈a⇒l⊂a 不在同一条直线上 A、 B、C不共线⇒A、B、C∈平面a且a是唯一的 如果不重合的两
个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共
直线 P∈a a∥c 经过一条直线和直线外一点，有且只有一 个平面 a∩b=P⇒有且只有一个平面a，使a⊂a，b⊂a
1412《空间图形基本关系的认识与空间图形的公理(123)》(北师大版必修2)PPT课件
三、解答题（每题8分，共16分） 7.（2010·西安高一检测）正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长 为8 cm，M,N,P分别是AB,A′D′,BB′棱的中点. （1）画出过M,N,P三点的平面与平面A′B′C′D′及平面 BB′C′C的交线，并说明画法的依据； （2）设过M,N,P三点的平面与B′C′交于点Q，求PQ的长. 【解析】（1）如图，延长MP、 A′B′相交于点E，连接NE,交 B′C′于点Q，连接QP，则NE为 平面MNP与平面A′B′C′D′的 交线，PQ为平面MNP与平面 BB′C′C的交线.
【解析】由公理1知（1）正确；由公理3知（2）正确.由公理 2知（4）正确.对于（3），若l α,则有可能l∩α=A.此时 A∈l,也有A∈α.故（3）不正确. 答案：3
6.如图，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点， 则表示直线GH、MN是异面直线的图形是______.
【解析】①中GH∥MN,②中MN与GH异面，③中MN与GH 相交，④中MN与GH异面. 答案：②④
2.a，b是异面直线，b,c是异面直线，则a、c的位置关系
是( )
（A）相交、平行或异面
（B）相交或平行
（C）异面
（D）平行或异面
【解析】选A.如图所示在正方体中，
a与b异面，直线c可在图中c1、c2、 c3三个位置,与a分别平行、异面、 相交.
3.平面α∩平面β=l,点A∈α,B∈α,C∈β,且C l,AB∩l=R,
理由：∵E∈直线MP， 且E∈直线A′B′,∴E∈平面MNP， 且E∈平面A′B′C′D′,易知，N∈平面MNP， 且N∈平面A′B′C′D′，所以，NE为平面MNP与平面A′B′C′D′ 的交线，显然，PQ为平面MNP与平面BB′C′C的交线; （2）由已知和（1）得MB=B′E=4 cm,又△EB′Q∽△EA′N，
空间图形的基本关系与公理PPT精品课件
• 生态系统是生物与环境之间形成的统一整 体，生物之间形成的统一整体，生物之间 存在着既相互依存又相互制约的关系。人 类的各种活动必需尊重生态系统，爱护生 物，保护生物的多样性，是人类与自然界 能和谐发展。
3 食物链和食物网
几条食物链？怎么数？ 假如蛇大量减少，哪些生 物的数量会发生变化？
4 生态系统具有一定的自动调节能力
• 2.分析过度放牧对草原生态系统的影响。 • （1）在草原上湿度放牧，草原会由于牧草
的不断生长而基本维持原状。如果放养的 牲畜太多了，草原会发生什么变化呢？ • （2）这个例子又说明什么问题？
2 生态系统的组成
• 4.在生态系统中，除了有各种生物以外，还 有哪些组成成分？它们各自有什么作用？
• 生态系统中，除了生物以外，还有非生物 部分，如阳光、空气、水、土壤等，它们 也是生态系统中不可缺少的成分。无机环 境为生物提供生存空间、阳光、空气等。
第三节 空间图形的基本关系与公理
基础梳理
1.平面的基本性质
名称
图形Βιβλιοθήκη 公理1公理2 公理3 公理4
文字语言
符号语言
如果一条直线上 有两个点在一个 平面内，那么这 条直线在这个平 面内
经过________的 三个点确定一个 平面
若P∈α，P∈β， 则α∩β＝a，且 ______
平行于同一条直 线的两条直线互 相平行
3 食物链和食物网
• 这些食物链为什么会出现交叉？
2 生态系统的组成 思考？
1、树与昆虫幼虫之间，
资料分析（书20页） 昆虫幼虫与啄木鸟之 间是什么关系？
吃与被吃的关系(捕食)
2、腐烂的树桩最终会 消失吗？
会消失
啄木鸟在树 上找虫子吃
3 食物链和食物网
几条食物链？怎么数？ 假如蛇大量减少，哪些生 物的数量会发生变化？
4 生态系统具有一定的自动调节能力
• 2.分析过度放牧对草原生态系统的影响。 • （1）在草原上湿度放牧，草原会由于牧草
的不断生长而基本维持原状。如果放养的 牲畜太多了，草原会发生什么变化呢？ • （2）这个例子又说明什么问题？
2 生态系统的组成
• 4.在生态系统中，除了有各种生物以外，还 有哪些组成成分？它们各自有什么作用？
• 生态系统中，除了生物以外，还有非生物 部分，如阳光、空气、水、土壤等，它们 也是生态系统中不可缺少的成分。无机环 境为生物提供生存空间、阳光、空气等。
第三节 空间图形的基本关系与公理
基础梳理
1.平面的基本性质
名称
图形Βιβλιοθήκη 公理1公理2 公理3 公理4
文字语言
符号语言
如果一条直线上 有两个点在一个 平面内，那么这 条直线在这个平 面内
经过________的 三个点确定一个 平面
若P∈α，P∈β， 则α∩β＝a，且 ______
平行于同一条直 线的两条直线互 相平行
3 食物链和食物网
• 这些食物链为什么会出现交叉？
2 生态系统的组成 思考？
1、树与昆虫幼虫之间，
资料分析（书20页） 昆虫幼虫与啄木鸟之 间是什么关系？
吃与被吃的关系(捕食)
2、腐烂的树桩最终会 消失吗？
会消失
啄木鸟在树 上找虫子吃
2014-2015学年高一数学：1.4.1 1.4.2《空间图形基本关系的认识》《空间图形的公理1》
2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)点M在直线l上，用符号可表示为________. (2)直线m在平面β内，用符号可表示为________. (3)若平面α与平面β相交且交线为l，用符号可表示为 ________.
【解析】(1)点M在直线l上，则用符号可表示为M∈l. 答案：M∈l (2)直线m在平面β内，用符号可表示为m β. 答案：m β (3)平面α与平面β相交，且交线为l，可记为α∩β=l. 答案：α∩β=l
【解析】1.点M在直线a上可表示为M∈a，a在平面α内，可表
示为a α，
所以M，a，α间的关系可记为M∈a α.
答案：M∈a α
2.点A∈平面ABC，A∉平面BCD，BD 平面ABC，
平面ABC∩平面ACD=AC.
答案：∈ ∉
AC
知识点2 空间图形的三个公理(公理1，公理2，公理3) 1.三个公理的意义和作用 (1)公理1是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平 面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立 体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来 解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法.
(2)公理2说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直”来 刻画平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的 “无限延展性”，它既是判断直线在平面内的方法，又是检验 平面的方法.
(3)公理3揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平 面交线的方法.可从以下三个方面解释： ①如果两个相交平面有两个公共点，那么过这两点的直线就是 它们的交线； ②如果两个相交平面有三个公共点，那么这三点共线； ③如果两个平面相交，那么两平面的交点必在这两个平面的交 线上.
(2)公理2 ①文字语言： 条件：一条直线上的_两__点__在一个平面内. 结论：该直线上_所__有__的__点__都在这个平面内(即直线_在__平__面__内__).
1.4.1空间图形的基本关系和公理 课件
空间图形的基本关系和 公理
空间图形基本关系的认识
一、温故知新
（1）一个投影面水平放置,
三视图包括
叫做水平投影面, 投影到这 个平面的图形叫做俯视图;
（2）一个投影面放置在正前 方, 这个投影面叫做直立投影 面, 投影到这个平面的图形叫 做主视图;
（3）和直立、水平两个投影面
都垂直的投射面叫做侧立投影
D
C
异面直线.
A
a
Bb
D
C
A
bB
（4）空间直线与平面的位置关系有_3_种:
①直线a与平面β有无数公共点
直线在平面内. a≠ β
②直线c与平面β只有一个公共点 直线与平面相交. c I A
③直线a与平面α没有公共点
直线与平面平行. a //
D A
a
C B
c
Dα
C
A
B
（5）空间平面与平面的位置关系有_2_种:
面, 通常把这个平面放在直立投
影面的右面, 投影到这个平面内
的图形叫做左视图.
绘制三视图时, 要注意:
（1）主、俯长对正;
主视图 左视图
（2）主、左高平齐;
（3）俯、左宽相等.
（4）分界线和可见轮 廓都用实线画出, 被遮 挡部分用虚线画出.
俯视图
高平齐
长对正
长高 主视图
左视图 宽相等
宽
俯视图
二、新知学习
（2）空间点与平面的位置关系有_2_种:
①点P在平面α内, 记作: P D
C
②点P在平面α外, 记作: P A
a P
B
Dα
C
A
B
（3）空间两直线的位置关系有_3_种:
空间图形基本关系的认识
一、温故知新
（1）一个投影面水平放置,
三视图包括
叫做水平投影面, 投影到这 个平面的图形叫做俯视图;
（2）一个投影面放置在正前 方, 这个投影面叫做直立投影 面, 投影到这个平面的图形叫 做主视图;
（3）和直立、水平两个投影面
都垂直的投射面叫做侧立投影
D
C
异面直线.
A
a
Bb
D
C
A
bB
（4）空间直线与平面的位置关系有_3_种:
①直线a与平面β有无数公共点
直线在平面内. a≠ β
②直线c与平面β只有一个公共点 直线与平面相交. c I A
③直线a与平面α没有公共点
直线与平面平行. a //
D A
a
C B
c
Dα
C
A
B
（5）空间平面与平面的位置关系有_2_种:
面, 通常把这个平面放在直立投
影面的右面, 投影到这个平面内
的图形叫做左视图.
绘制三视图时, 要注意:
（1）主、俯长对正;
主视图 左视图
（2）主、左高平齐;
（3）俯、左宽相等.
（4）分界线和可见轮 廓都用实线画出, 被遮 挡部分用虚线画出.
俯视图
高平齐
长对正
长高 主视图
左视图 宽相等
宽
俯视图
二、新知学习
（2）空间点与平面的位置关系有_2_种:
①点P在平面α内, 记作: P D
C
②点P在平面α外, 记作: P A
a P
B
Dα
C
A
B
（3）空间两直线的位置关系有_3_种:
空间图形基本关系的认识-课件ppt
∴B、Q、D1三点共线.
忽视平面的确定性致误 已知：空间中A，B，C，D，E五点，A，B， C，D共面，B，C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点一 定共面吗？
【错解】 ∵A，B，C，D共面， ∴点A在点B，C，D所确定的平面内． ∵点B，C，D，E四点共面， ∴点E也在点B，C，D所确定的平面内， ∴点A，E都在点B，C，D所确定的平面内， 即点A，B，C，D，E一定共面．
【提示】 1.顶点与棱所在直线的关系是在棱上，不在 棱上；顶点和六个面的关系是在面内，在面外．
2．相交，平行，既不平行也不相交． 3．棱在平面内，棱所在直线与平面平行和棱所在直线 与平面相交． 4．平行和相交．
2．异面直线 不同在任何一个平面内 的两条直线，叫作异面直线．
空间图形的公理
【问题导思】 1．一把直尺两端放在桌面上，直尺在桌面上吗？ 2．教室的墙面与地面有公共点，这些公共点有什么规 律？ 3．照相机支架只有三个脚支撑，为什么？ 【提示】 1.直尺在桌面上.2.这些公共点在同一直线 上.3.不在同一直线上的三点确定一个平面．
【解】 AC在平面α内． ∵AB在平面α内． ∴A∈α. 又BC在平面α内． ∴C∈α， ∴AC在平面α内．
图1－4－5
如图，三个平面α、β、γ两两相交于三条直线，即α∩β ＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行．
求证：a、b、c三条直线必过同一点． 【思路探究】 解答本题可先证明两条直线相交于一 点，再证明该交点也在另外一条直线上．
【自主解答】 ∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a γ，b γ. 由于直线 a 和 b 不平行，∴a、b 必相交． 设 a∩b＝P，则 P∈a，P∈b.∵a⊂β，b⊂α，∴P∈β，P∈α. 又 α∩β＝c，∴P∈c，即交线 c 经过点 P. ∴a、b、c 三条直线相交于同一点．
忽视平面的确定性致误 已知：空间中A，B，C，D，E五点，A，B， C，D共面，B，C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点一 定共面吗？
【错解】 ∵A，B，C，D共面， ∴点A在点B，C，D所确定的平面内． ∵点B，C，D，E四点共面， ∴点E也在点B，C，D所确定的平面内， ∴点A，E都在点B，C，D所确定的平面内， 即点A，B，C，D，E一定共面．
【提示】 1.顶点与棱所在直线的关系是在棱上，不在 棱上；顶点和六个面的关系是在面内，在面外．
2．相交，平行，既不平行也不相交． 3．棱在平面内，棱所在直线与平面平行和棱所在直线 与平面相交． 4．平行和相交．
2．异面直线 不同在任何一个平面内 的两条直线，叫作异面直线．
空间图形的公理
【问题导思】 1．一把直尺两端放在桌面上，直尺在桌面上吗？ 2．教室的墙面与地面有公共点，这些公共点有什么规 律？ 3．照相机支架只有三个脚支撑，为什么？ 【提示】 1.直尺在桌面上.2.这些公共点在同一直线 上.3.不在同一直线上的三点确定一个平面．
【解】 AC在平面α内． ∵AB在平面α内． ∴A∈α. 又BC在平面α内． ∴C∈α， ∴AC在平面α内．
图1－4－5
如图，三个平面α、β、γ两两相交于三条直线，即α∩β ＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行．
求证：a、b、c三条直线必过同一点． 【思路探究】 解答本题可先证明两条直线相交于一 点，再证明该交点也在另外一条直线上．
【自主解答】 ∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a γ，b γ. 由于直线 a 和 b 不平行，∴a、b 必相交． 设 a∩b＝P，则 P∈a，P∈b.∵a⊂β，b⊂α，∴P∈β，P∈α. 又 α∩β＝c，∴P∈c，即交线 c 经过点 P. ∴a、b、c 三条直线相交于同一点．
1.4.1 空间图形基本关系的认识与公理1~3 课件(北师大必修2)
[通一类] 1．已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C，求证： 直线a，b，c和l共面．
证明：∵a∥b，∴直线a与b确定一个平面，设为α ，
∵l∩a＝A，l∩b＝B， ∴A∈a，B∈b，则A∈α ，B∈α . 而A∈l，B∈l， ∴由公理1可知：lα . Þ ∵b∥c，∴直线b与c确定一个平面，设为β ， 同理可知lβ . Þ
Þ ∴A∈α ，B∈α ，∴ABα . Þ 即aα ，
∵b∥c，∴直线b与c确定
∴a，b，c三线共面．
[悟一法]
证明点线共面的常用方法：
①纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线 在此平面内． ②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α ，再 证明其余元素确定平面β ，最后证明平面α 、β 重合．
[通一ห้องสมุดไป่ตู้] 2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段
A1C与平面ABC1D1交于Q，求证：B，Q，D1三点共线．
证明：∵D1∈平面ABC1D1，
D1∈平面A1D1CB，
B∈平面ABC1D1， B∈平面A1D1CB，
∴平面ABC1D1∩平面A1D1CB＝BD1. ∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，
[读教材·填要点]
一、空间图形的基本位置关系
点在直线上 点与直线 点在直线外 (1)点 点在平面内 点与平面点在平面外
(2)空间两条直线的位置关系. 位置关系 相交直线 共面情况 在同一个平面内 公共点个数 1个 没有 没有
平行直线
异面直线
在同一个平面内
[错因]
在证明共面问题时，必须注意平面是确
定的．上述错解中， 由于没有注意到B，C，D三点不 一定确定平面，即默认了B，C，D三点一定不共线， 因而出错．也即题知条件由B，C，D三点不一定确定 平面，因此就使得五点的共面失去了基础．
2018-2019学年北师大版必修2 1-4-1,4-2 空间图形基本关系的认识 空间图形的公理(一) 课件(33张) (1)
∴Q∈直线AD，即D、A、Q三点共线．
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方向3 线共点问题
【例3-3】 如图所示，在四面体A－BCD 中，E，G分别为BC，AB的中点，F 在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝ DH∶HA＝2∶3，求证：EF，GH，BD
交于一点．
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证明 ∵E，G分别为BC，AB的中点，∴GE∥AC. 又∵DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3， ∴FH∥AC，从而FH∥GE.
可记为 A．M∈a，a∈α C．M 解析 a，a α B．M∈a，a D．M α ( a，a∈α )
点与直线的关系为元素与集合的关系，能用
“∈” ，直线与平面的关系为集合间的关系 ，不能用 “∈”．
答案 B
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3．设平面α与平面β相交于l，直线a 则M________l.
α，直线b
所以P∈直线DE.
答案 P∈直线DE
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5．已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c
和l共面． 证明 如图，
∵a∥b， ∴a与b确定一个平面α. ∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α. 又∵A∈l，B∈l，∴l α.
∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理l
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一是确定平 经过不在同一 公 条直线上的三 A，B，C三 点不共线⇒ 面；二是证 明点、线共
有且只有 一 理 点，
2 个平面(即可以 确定一个平面)
存在唯一的
面问题；三
平面α，使A， 是判断两个 B，C∈α 平面重合的 依据
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方向3 线共点问题
【例3-3】 如图所示，在四面体A－BCD 中，E，G分别为BC，AB的中点，F 在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝ DH∶HA＝2∶3，求证：EF，GH，BD
交于一点．
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证明 ∵E，G分别为BC，AB的中点，∴GE∥AC. 又∵DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3， ∴FH∥AC，从而FH∥GE.
可记为 A．M∈a，a∈α C．M 解析 a，a α B．M∈a，a D．M α ( a，a∈α )
点与直线的关系为元素与集合的关系，能用
“∈” ，直线与平面的关系为集合间的关系 ，不能用 “∈”．
答案 B
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3．设平面α与平面β相交于l，直线a 则M________l.
α，直线b
所以P∈直线DE.
答案 P∈直线DE
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5．已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c
和l共面． 证明 如图，
∵a∥b， ∴a与b确定一个平面α. ∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α. 又∵A∈l，B∈l，∴l α.
∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理l
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一是确定平 经过不在同一 公 条直线上的三 A，B，C三 点不共线⇒ 面；二是证 明点、线共
有且只有 一 理 点，
2 个平面(即可以 确定一个平面)
存在唯一的
面问题；三
平面α，使A， 是判断两个 B，C∈α 平面重合的 依据