第一章 一元线性回归分析基础 (2)[53页]
一元线性回归
由图10 - 1(a)可看出散点大致地围绕一条直线散布，而图10 1(b)中的散点大致围绕一条抛物线散布，这就是变量间统计规律性 的一种表现.
如果图中的点像图10 - 1(a)中那样呈直线状,则表明y 与x 之间有 线性相关关系,我们可建立数学模型
y a bx
（10.1）
因为x 不能严格地确定y ，故带有一随机误差项ε ，一般假设 ε~N(0 , σ2)，因而y也是随机变量，对于x的每一个值有y ~N(a+bx ， σ 2)，其中未知数a ， b ， σ2 不依赖于x ，(10.1) 式称为一元线性 回归模型(Univariable linear regreesion model). 特别地，由于y 是随 机变量，a ， b 为未知数，x 一般是非随机变量，对(10.1)两边求 数学期望，则有
对回归方程进行假设 检验.
利用回归方程进行预 测和控制.
先考虑两个变量的情形. 设随机变量y 与x 之间存在着某种相 关关系. 这里x 一般是可以控制或可精确观察的变量，看作是非随 机变量，如在产量与施肥量的关系中,施肥量是能控制的，可以随 意指定几个值x1 ， x2 ，… ， xn ，故可将它看成普通变量，称为自 变量，而产量y 是随机变量，无法预先作出产量是多少的准确判 断，称为因变量. 本章只讨论这种情况
y b0 b1x1 bp xp ， N (0 ， 2 ) （10.3）
其中b0，b1，…，bp，σ2 都是与x1，x2，…，xp 无关的未知参数. (10.3)式称为多元线性回归模型，和前面一个自变量的情形类似， 进行n次独立观测，得样本
(x11 ，x12 ， ，x1p ，y1) ， ，(xn1 ，xn2 ， ，xnp ，yn )
有了这些数据之后,我们可用最小二乘法获得未知参数的最小二
《一元线性回归》课件
使用评价指标对模型的性能进行评估。
《一元线性回归》PPT课 件
一元线性回归是一种用于探索变量之间关系的统计方法。本课件将介绍一元 线性回归的基本概念、模型、参数估计、模型评估以及Python实现。
一元线性回归-简介
一元线性回归是一种分析两个变量之间线性关系的方法。在这一节中，我们 将介绍一元线性回归的定义、使用场景以及它的重要性。
决定系数
4
方的平均值。
衡量模型对观测值的解释能力，取值范 围从0到1。
一元线性回归-Python实现
导入数据
使用Python的pandas库导入数据集。
划分数据集
将数据集划分为训练集和测试集。
预测结果
使用测试集数据对模型进行预测。
特征工程
选择合适的特征并对其进行处理。
训练模型
使用训练集数据训练线性Байду номын сангаас归模型。
一元线性回归-线性回归模型
1
简单线性回归模型
一个自变量和一个因变量之间的线性关
多元线性回归模型
2
系。
多个自变量和一个因变量之间的线性关
系。
3
线性回归模型的假设
包括线性关系、平均误差为零、误差具 有相同的方差、误差相互独立等。
一元线性回归-模型参数估计
1
最小二乘法
通过最小化观测值和模型预测值之间的平方误差来估计模型参数。
2
矩阵求导
使用矩阵求导的方法来计算模型参数的最优解。
3
梯度下降法
通过迭代的方式逐步优化模型参数，使得模型预测值与观测值之间的差距最小。
一元线性回归-模型评估
1
对模型误差的描述
通过各种指标来描述模型预测值和观测
一元线性回归
12．9 一元线性回归以前我们所研究的函数关系是完全确定的，但在实际问题中，常常会遇到两个变量之间具有密切关系却又不能用一个确定的数学式子表达，这种非确定性的关系称为相关关系。
通过大量的试验和观察，用统计的方法找到试验结果的统计规律，这种方法称为回归分析。
一元回归分析是研究两个变量之间的相关关系的方法。
如果两个变量之间的关系是线性的，这就是一元线性回归问题。
一元线性回归问题主要分以下三个方面：（1）通过对大量试验数据的分析、处理，得到两个变量之间的经验公式即一元线性回归方程。
（2）对经验公式的可信程度进行检验，判断经验公式是否可信。
（3）利用已建立的经验公式，进行预测和控制。
12．9．1 一元线性回归方程 1．散点图与回归直线在一元线性回归分析里，主要是考察随机变量y 与普通变量x 之间的关系。
通过试验，可得到x 、y 的若干对实测数据，将这些数据在坐标系中描绘出来，所得到的图叫做散点图。
例1 在硝酸钠（NaNO 3）的溶解度试验中，测得在不同温度x （℃）下，溶解于100解 将每对观察值（x i ，y i ）在直角坐标系中描出，得散点图如图12.11所示。
从图12.11可看出，这些点虽不在一条直线上，但都在一条直线附近。
于是，很自然会想到用一条直线来近似地表示x 与y 之间的关系，这条直线的方程就叫做y 对x 的一元线性回归方程。
设这条直线的方程为yˆ=a+bx 其中a 、b 叫做回归系数（y ˆ表示直线上y 的值与实际值y i 不同）。
图12.11下面是怎样确定a 和b ，使直线总的看来最靠近这几个点。
2．最小二乘法与回归方程在一次试验中，取得n 对数据（x i ，y i ），其中y i 是随机变量y 对应于x i 的观察值。
我们所要求的直线应该是使所有︱y i －yˆ︱之和最小的一条直线，其中i y ˆ=a+bx i 。
由于绝对值在处理上比较麻烦，所以用平方和来代替，即要求a 、b 的值使Q=21)ˆ(i ni iyy-∑=最小。
一元线性回归分析
模型评估指标
模型评估指标用于衡量回归模型的拟合优度和预测精度。常用的指标包括均 方误差、决定系数和标准化残差等，可以帮助我们评估模型的有效性和适用 性。
参数估计方法
参数估计是确定回归模型中各个参数的取值的过程。常用的参数估计方法包括最小二乘法、最大似然估 计法和贝叶斯估计法等，可以帮助我们找到最优的参数估计结果。
一元线性回归分析
回归分析是一种用于建立变量之间关系的统计方法。本演示将介绍一元线性 回归模型的构建、参数估计、模型假设检验以及模型预测和应用。
回归分析的概述
回归分析是一种通过建立变量之间的关系来描述和预测现象的统计方法。它 可以帮助我们理解变量之间的因果关系，并从中推断出未知的检验
模型假设检验用于验证回归模型的假设是否成立。常见的假设检验包括检验回归系数的显著性、整体模 型的显著性以及模型的线性关系等，可以帮助我们判断模型是否可靠。
回归诊断和残差分析
回归诊断和残差分析通过检查模型的残差来评估模型的拟合优度和假设的满 足程度。常用的诊断方法包括残差图、QQ图和离群值分析等，可以帮助我们 发现模型的不足和改进方向。
模型预测和应用
回归模型可以用于预测未知观测值，并帮助我们做出决策和制定策略。它在经济学、社会科学、医学等 领域具有广泛的应用，可以为决策者提供有力的数据支持。
一元线性回归分析
一元线性回归分析（1）基本概念回归分析：通过大量的观测发现变量之间存在的统计规律性，并用一定的数学模型表示变量相关关系的方法只有一个自变量并且统计量成大体一次函数的线性关系的回归分析叫一元线性回归分析。
在一元线性回归中，我们用 Ya bX =+作为回归方程，代表X 与Y 的线性关系其中：a 表示该直线在Y 轴的截距b 表示该直线的斜率也就是 Y的变化率 X 为自变量，通常是研究者事先选定的数值Y为对应于X 对变量Y 的估计值（2）最小二乘法所谓最小二乘法，就是如果散点图中每一点沿Y 轴方向到直线的距离的平方和最小，则认为这条直线的代表性最好，即使用其作为回归方程。
这样我们使得 ()2Y Y =-∑总误差最小。
Ya bX =+ 其中()()()2X X Y Y b X X --=-∑∑；a Y bX =- 2．一元线性回归方程的检验（1）方差分析法R EMS F MS = 其中()()222T Y SS Y Y Y n =-=-∑∑∑而其1T df n =- ()()2222R X SS Y Y b X n ⎡⎤⎢⎥=-=-⎢⎥⎣⎦∑∑∑其1R df = E T R SS SS SS =-其2E df n =-（2）回归系数检验bb t SE =其中b SE = 而XY s = Y为中心Y值上下波动的标准差（在知道相关系数时XY Y s s =）一元线性回归方程的应用回归分析的目的，就是在测定自变量X 与因变量Y 的关系为显著相关后，借助于你和的较优回归模型来预测在自变量X 为一定值时因变量Y 的发展变化。
当我们根据给出的X 值而预测得到点估计Y 时，Y 只代表了预测值的中点，而计算在特定置信区间内的区间估计则依靠以下公式：2p XY Y t s α±⋅n 很大时近似为1其中t 的自由度取 n-2，p Y 为对应该P X 的方程解出的点估计Y 值文章来源：博仁教育。
计量经济学(第四版)课件：一元线性回归分析基础
一元线性回归分析基础
第三节 最小二乘估计量的性质
β*1= - β1 =(1/n)∑Yt- ∑btYt =∑[(1/n)- bt]Yt 令 at= [(1/n)- bt] 由于和bt均为非随机变量，所以at也是非随机变量。 因此 β*1 =∑atYt 即β*1是Yt的线性组合。
一元线性回归分析基础
第三节 最小二乘估计量的性质
二、无偏性 指β*1和β*2 的期望值分别等于总体参数β1和β2。 即E(β*1)=β1 E(β*2 )=β2 E(β*2 )=E(β2+∑btut) =β2+∑btE(ut) =β2 E(β*1)=E(β1+∑atut) =β1
总体
有限总体
无限总体
任何样本都是有限的
一元线性回归分析基础
第三节 最小二乘估计量的性质
一、线性特性
是指参数估计值β*1和β*2分别为观察值Yt或扰动项ut的线性组合。
证： β*2 =∑Xtyt/ ∑Xt2 =∑Xt(Yt- )/∑X2t =∑（Xt/∑Xt2）Yt 令 bt= （Xt/∑Xt2） 得 β*2 = ∑ bt Yt 即β*2 是Yt的线性组合
一元线性回归分析基础
第三节 最小二乘估计量的性质
2.证明最小方差性 假设β**2是其他方法得到的关于β2的线性无偏估计 β**2=∑ctYt 其中，ct=bt+dt，dt为不全为零的常数 则容易证明 var(β**2)≥ var(β*2) 同理可证明β1的最小二乘估计量β*1具有最小方差。 高斯—马尔可夫定理(Gauss-Markov theorem)： 满足性质1、2、3的最小二乘估计量是最优线性无偏估计量（best linear unbiased estimator：BLUE）
一元线性回归分析
一元线性回归分析摘要：一元线性回归分析是一种常用的预测和建模技术，广泛应用于各个领域，如经济学、统计学、金融学等。
本文将详细介绍一元线性回归分析的基本概念、模型建立、参数估计和模型检验等方面内容，并通过一个具体的案例来说明如何应用一元线性回归分析进行数据分析和预测。
1. 引言1.1 背景一元线性回归分析是通过建立一个线性模型，来描述自变量和因变量之间的关系。
通过分析模型的拟合程度和参数估计值，我们可以了解自变量对因变量的影响，并进行预测和决策。
1.2 目的本文的目的是介绍一元线性回归分析的基本原理、建模过程和应用方法，帮助读者了解和应用这一常用的数据分析技术。
2. 一元线性回归模型2.1 模型表达式一元线性回归模型的基本形式为：Y = β0 + β1X + ε其中，Y是因变量，X是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
2.2 模型假设一元线性回归模型的基本假设包括：- 线性关系假设：自变量X与因变量Y之间存在线性关系。
- 独立性假设：每个观测值之间相互独立。
- 正态性假设：误差项ε服从正态分布。
- 同方差性假设：每个自变量取值下的误差项具有相同的方差。
3. 一元线性回归分析步骤3.1 数据收集和整理在进行一元线性回归分析之前，需要收集相关的自变量和因变量数据，并对数据进行整理和清洗，以保证数据的准确性和可用性。
3.2 模型建立通过将数据代入一元线性回归模型的表达式，可以得到回归方程的具体形式。
根据实际需求和数据特点，选择适当的变量和函数形式，建立最优的回归模型。
3.3 参数估计利用最小二乘法或最大似然法等统计方法，估计回归模型中的参数。
通过最小化观测值与回归模型预测值之间的差异，找到最优的参数估计值。
3.4 模型检验通过对回归模型的拟合程度进行检验，评估模型的准确性和可靠性。
常用的检验方法包括：残差分析、显著性检验、回归系数的显著性检验等。
4. 一元线性回归分析实例为了更好地理解一元线性回归分析的应用，我们以房价和房屋面积之间的关系为例进行分析。
第一节一元线性回归分析-
一元线性回归模型
x的线性函数 随机误差
二、未知参数的估计
Y x , ～ N (0 ,2 ).
对 于 样 本 ( x 1 , Y 1 ) , ( x 2 , Y 2 ) ,, ( x n , Y n ) , 它 满 足
n
x2
] 2
(xi x)2
i 1
则ˆ ~N(,[1
n
n
x2
]2)
(xi x)2
i1
3 .对 x x 0 , 回 归 方 程 Y ˆ 0 = ˆ ˆ x 0 的 分 布
n
Y ˆ0ˆˆx0i n1(n 1n (x(ixi x)xx)2)Yi in 1((xxiixx))x20Yi
(
n i 1
xi
n
( xi
i 1
)ˆ (
) ˆ
n i 1
xi2
n i 1
)ˆ
yi
n i 1
xi
yi
12ˆ 800ˆ 811 800ˆ 53418ˆ 54107
求解得
ˆ＝ 35.82 ˆ0.476
则 Y 关 于 x 的 线 性 回 归 方 程 为
i 1
i 1
2. (,)的最大似然估 根 计 Y 据 1,Y2, ,Yn的独立性可度 得函 到数 联
Li n 11 2πexp 2 12(yixi)2
(1 2π)nexp 2 12i n 1(yixi)2 .
观 察 散 点 图 ,( x ) 具 有 线 性 函 数 x 的 形 式 .
2.建立回归模型
(x)x一元线性回归问题
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计量经济学
（第三版）
赵国庆
中国人民大学出版社
一元线性回归分析基础
计量经济学 第一章
重点问题
2021年3月10日星期三
❖ 参数的最小二乘估计 ❖ 最小二乘估计的性质 ❖ 参数估计的检验 ❖ 预测
第一章 一元线性回归分析基础
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
主要内容
(1—12)
假设5 ut为服从正态分布的随机变量，即
ut～N(0, σu2)
以上五个假设条件称为经典假设条件。
综上所述，一元线性回归模型可以归结为
Yt=β1+β2Xt+ut(t=1, 2, …， n)
(1—13)
第一章 一元线性回归分析基础
第一节 模型的假定
2021年3月10日星期三
E(ut)=0 cov(ut, us)=0 var(ut)=σu2 cov(Xt, ut)=0
2
(Yt Yˆt )
t 1
达到最小值 达到最小值 达到最小值 达到最小值
第4种准则，由于逐项平方，不存在正负抵消的问题。 它不仅考虑了所有点的影响，而且具有无偏性，是一个很 好的准则。这个准则称为最小二乘准则。用最小二乘准则 寻找拟合直线的方法称为最小二乘法。
第一章 一元线性回归分析基础
第二节 参数的最小二乘估计
第一节 模型的假定
2021年3月10日星期三
(t≠s; t=1, 2, …, n; s=1, 2, …, n)
或 E(utus)=0
(1—11)
假设4 解释变量Xt与误差项ut不相关，即
cov(Xt, ut)=E((Xt-E(Xt))(ut-E(ut)))
=E((Xt-E(Xt))ut)
=0 (t=1, 2, …， n)
第一章 一元线性回归分析基础
第一节 模型的假定
2021年3月10日星期三
❖ “线性”一词在这里有两重含义。它一方
面指被解释变量Y与解释变量X之间为线性关系， 另一方面也指Y与参数β1、β2之间为线性关系。
❖ 在数理统计学中，“回归”通常指散布点 分布在一条直线(或曲线)附近，并且越靠近该 直线(或曲线)，点的分布越密集的情况。
2021年3月10日星期三
为简化表达式，从本节起，在不会发生误解的情况下，略
去求和指标t求和的上下限。只要求和符号没有上下限，
就表示为从t=1到t=n求和。即用求和符号∑代替符号
n
t 1
假设估计直线：Y= а* + β*X
а*，β*为参数估计
当X=Xt Yt= а* + β*Xt (Xt,Yt)→(Xt, а* + β*Xt) 残差：et= Yt-( а* + β*Xt) 误差：ut= Yt-( а+ βXt) 残差平方和：Q=∑ et2= ∑ [Yt-( а* + β*Xt)]2
第一章 一元线性回归分析基础
第二节 参数的最小二乘估计
2021年3月10日星期三
最小二乘法(OLS )(ordinary least squares):求出参
数估计量使Q达到最小值.
正规方程: Q
0,
Q
0
即: 2 Yt Xt 0
Y X
2 Xt Yt Xt 0
❖ “模型”一词通常指满足某些假设条件的 方程或方程组。
第一章 一元线性回归分析基础
第一节 模型的假定
2021年3月10日星期三
二、 误差项的性质
与精密数学中的函数关系相比，回归模型式 (1—4),式 (1—5),式 (1—6) 中的显著特点是多了
误差项u。产生误差项的原因主要有以下几方面：
1.忽略掉的影响因素造成的误差 2.模型关系不准确造成的误差 3.变量观察值的计量误差 4.随机误差 误差项的存在是计量经济学模型的特点，是计 量经济学模型与精密数学中完全确定的函数关系的 主要区别。
ut～N(0, σu2)
(t≠s； t, s=1, 2, …, n)
(常数)
第一章 一元线性回归分析基础
第二节 参数的最小二乘估计
2021年3月10日星期三
一、 拟合准则与最小二乘估计
拟合准则：
n
1 使 (Yt Yˆt ) t 1
2 使n
Yt Yˆt
t 1
3 使 max Yt Yˆt
4 使n
2021年3月10日星期三
❖第一节 ❖第二节 ❖第三节 ❖第四节 ❖第五节
模型的假定 参数的最小二乘估计 最小二乘估计量的性质 系数的显著性检验 预测和预测区间
第一章 一元线性回归分析基础
第一节 模型的假定
2021年3月10日星期三
一、一元线性回归模型
❖ 各种经济变量之间的关系，可以划分为两
种类型。一类是变量之间有惟一确定的关系， 即函数关系，可表示为：
假设2 误差项ut的方差与t无关，为一个常数，即
var(ut)=E((ut-E(ut))2)
= E(ut2)
=σu2 (t=1, 2, …， n)
(1—9)
假设3 不同的误差项ut和us之间互相独立，即
cov(ut,us)=E((ut-E(ut))(us-E(us)))=0 (1—10)
第一章 一元线性回归分析基础
XtYt nXY
X
2 t
nX
2
第一章 一元线性回归分析基础
或 Y=f(X1，X2，…，Xn，u)
(1—5)
其中最简单的形式为一元线性回归模型
Y=β1+β2X+u
(1—6)
❖ 计量经济学只讨论变量之间不完全确定的关系，
如式(1—4)或式(1—5)所表示的关系。
❖ 如式(1—6)所表示的关系式，称为一元线性回归 模型。
❖ “一元”是指只有一个自变量X，这个自变量X可 以解释引起因变量Y变化的部分原因。因此，X称为解 释变量，Y称为被解释变量，β1和β2为参数。
F(X1，X2，…，Xn，Y)=0
(1—1)
或 Y=f(X1，X2，…，Xn)
(1—2)
其中，最简单的形式为一元线性函数关系
Y=PX
(1—3)
另一类关系为不完全确定的相关关系,表示为：
F(X1，X2，…，Xn，Y，u)=0 (1—4)
第一章 一元线性回归分析基础
第一节 模型的假定
2021年3月10日星期三
第一章 一元线性回归分析基础
第一节 模型的假定
2021年3月10日星期三
三、 经典假设条件
经典的一元线性回归模型
Yt=β1+β2Xt+ut (t=1, 2, …， n) (1—7)
通常要满足五个假设条件：
假设1 误差项ut的数学期望(均值)为零，即
E(ut)=0 (t=1, 2, …， n)
(1—8)