公式大全(高数、线代、概率论应有尽有) (修复的)

梯形法： f ( x)
a b
b
抛物线法： f ( x)
a
定积分应用相关公式：
功：W F s 水压力：F p A mm 引力：F k 1 2 2 , k为引力系数 r b 1 函数的平均值： y f ( x)dx ba a 均方根： 1 f 2 (t )dt ba a
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·倍角公式：

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sin 2 2 sin cos cos 2 2 cos 2 1 1 2 sin 2 cos 2 sin 2 ctg 2 1 ctg 2 2ctg 2tg tg 2 1 tg 2
多元函数微分法及应用
全微分：dz
u u u z z dx dy du dx dy dz x y x y z
全微分的近似计算：z dz f x ( x, y )x f y ( x, y )y 多元复合函数的求导法： dz z u z v z f [u (t ), v(t )] dt u t v t z z u z v z f [u ( x, y ), v( x, y )] x u x v x 当u u ( x, y )，v v( x, y )时， du v v u u dx dy dv dx dy y x y x
隐函数的求导公式： F F F dy dy d2y 隐函数F ( x, y ) 0， x ， 2 ( x )＋ ( x ) y Fy dx dx Fy dx x Fy Fy F z z 隐函数F ( x, y, z ) 0， x ， x y Fz Fz
sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin tg ( ) tg tg 1 tg tg ctg ctg 1 ctg ( ) ctg ctg
x x
sec 2 xdx tgx C csc 2 xdx ctgx C
dx
2
a
sec x tgxdx sec x C csc x ctgxdx csc x C
x a dx
2
ax C ln a
shxdx chx C chxdx shx C
dx x a
2 2
ln( x x 2 a 2 ) C

2 n

2
I n sin xdx cos n xdx
0 0
n 1 I n2 n

sin x
x 2 a2 x a 2 ln( x x 2 a 2 ) C 2 2 x 2 a2 x 2 a 2 dx x a 2 ln x x 2 a 2 C 2 2 x 2 a2 x a 2 x 2 dx a x 2 arcsin C 2 2 a x 2 a 2 dx
cos cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα cosα cosα
tg -tgα ctgα -ctgα -tgα tgα ctgα -ctgα -tgα tgα
ctg -ctgα tgα -tgα -ctgα ctgα tgα -tgα -ctgα ctgα
·和差化积公式：
dx 1 x arctg C 2 a a x dx 1 xa x 2 a 2 2a ln x a C dx 1 ax a 2 x 2 2a ln a x C dx x a 2 x 2 arcsin a C
cos sin
dx
2
平面的方程：
x x0 mt x x0 y y 0 z z 0 空间直线的方程： t , 其中s {m, n, p}; 参数方程： y y0 nt m n p z z pt 0 二次曲面： x2 y2 z 2 1、椭球面： 2 2 2 1 a b c 2 2 x y 2、抛物面： , p, q同号） z（ 2 p 2q 3、双曲面： x2 y2 z 2 单叶双曲面： 2 2 2 1 a b c 2 2 x y z2 1 双叶双曲面： 2 2 2 （马鞍面） a b c
三角函数的有理式积分：
2u 1 u 2 x 2du ， cos x ， u tg ， dx 2 2 1 u 1 u 2 1 u 2
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一些初等函数：
两个重要极限：
e x ex 2 x e ex 双曲余弦 : chx 2 shx e x e x 双曲正切 : thx chx e x e x 双曲正弦 : shx arshx ln( x x 2 1） archx ln( x x 2 1) 1 1 x arthx ln 2 1 x
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高等数学公式
导数公式：
(tgx) sec 2 x (ctgx) csc x (sec x) sec x tgx
2
(arcsin x)
1
(csc x) csc x ctgx (a x ) a x ln a 1 (log a x) x ln a
直线：K 0; 1 半径为a的圆：K . a
定积分的近似计算：
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矩形法： f ( x)
a
b
ba ( y0 y1 y n1 ) n ba 1 [ ( y0 y n ) y1 y n1 ] n 2 ba [( y0 y n ) 2( y 2 y 4 y n2 ) 4( y1 y3 y n1 )] 3n
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1、点法式：A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z 0 ) 0，其中n { A, B, C}, M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) 2、一般方程：Ax By Cz D 0 x y z 3、截距世方程： 1 a b c 平面外任意一点到该平面的距离：d Ax0 By0 Cz 0 D A2 B 2 C 2
三角函数公式： ·诱导公式： 函数 角A -α 90°-α 90°+α 180°-α 180°+α 270°-α 270°+α 360°-α 360°+α ·和差角公式： sin -sinα cosα cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα
lim
x 0
sin x 1 x 1 lim(1 ) x e 2.718281828459045... x x
·半角公式：
sin 3 3 sin 4 sin 3 cos 3 4 cos3 3 cos 3tg tg 3 tg 3 1 3tg 2
sin tg

2

1 cos 1 cos cos 2 2 2 1 cos 1 cos sin 1 cos 1 cos sin ctg 1 cos sin 1 cos 2 1 cos sin 1 cos
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中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：f (b) f (a ) f ( )(b a ) f (b) f (a ) f ( ) 柯西中值定理： F (b) F (a ) F ( ) 当F( x) x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
曲率：
弧微分公式：ds 1 y 2 dx, 其中y tg 平均曲率： K . : 从M点到M 点，切线斜率的倾角变化量；s：MM 弧长。 s y d M点的曲率：K lim . s 0 s ds (1 y 2 ) 3
b
空间解析几何和向量代数：
空间2点的距离：d M 1 M 2 ( x2 x1 ) 2 ( y 2 y1 ) 2 ( z 2 z1 ) 2 Pr ju AB AB cos ,是 AB与u轴的夹角。 向量在轴上的投影： Pr ju (a1 a 2 ) Pr ja1 Pr ja2 a b a b cos a x bx a y b y a z bz , 是一个数量, cos 两向量之间的夹角： i c a b ax bx j ay by a x b x a y b y a z bz a x a y a z bx b y b z

2
·正弦定理：
a b c 2R sin A sin B sin C
·余弦定理： c a b 2ab cos C
2 2 2
·反三角函数性质： arcsin x

2
arccos x arctgx

2
arcctgx
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：
k ( nk ) ( k ) u v (uv) ( n ) C n k 0 n
u ( n ) v nu ( n1) v
n(n 1) ( n2 ) n(n 1)(n k 1) ( nk ) ( k ) u v u v uv ( n ) k! 2!
sin sin 2 sin

2 2 sin sin 2 cos sin 2 2 cos cos 2 cos cos 2 2 cos cos 2 sin sin 2 2