2020年吉林省吉林市高一(下)期中数学试卷解析版
【解析】解：由 sin ，
得 cos（2α-π）=-cos2α=2sin2α-1= ，
故选：A． 直接利用诱导公式和倍角公式 cos（2α-π）=-cos2α=2sin2α-1，即可求解． 本题考查：诱导公式和倍角公式．主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型 ．
3.【答案】C
【解析】解：∵ = + + =-8 -6 ，∴ =2 ．
0，π）． （1）求 a，θ 的值； （2）若 f（ ）=- ，α∈（ ，π），求 sin（α+ ）的值．
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1.【答案】D
答案和解析
【解析】【分析】 本题考查了象限角，属于基础题． 将 k 分偶数，奇数讨论，结合终边相同的角求解即可． 【解答】 解：角 α＝﹣60°+k•180°（k∈Z） 当 k 为偶数时，令 k=2n(n∈Z)，α=-60°+n•360°，在第四象限； 当 k 为奇数时，令 k=2n+1(n∈Z)，α=120°+n•360°，在第二象限； 综上，角 α＝﹣60°+k•180°（k∈Z）的终边落在第二、四象限. 故选：D．
若
=-6，则 λ 等于（ ）
A. -1
B. 2
C. -1 或 2
D. 1 或-2
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11. 角 A，B，C 是△ABC 三内角，且满足 sinCsinA= 值是（ ）
A. 2
B.
C.
AcosC，则 sinA+sinB 的最大
D.
12. 对任意两个非零的平面向量 和 ，定义 = ．若平面向量 ， 满足| |≥| |＞0， 与
16. 设 α 为第四象限的角，若 = ，则 cos2α-sin2α=______． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分） 17. 设两向量 ， 满足| |= ，| |=2， ， 的夹角为 45°．若向量 2t
与向量
的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围．
18. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量 =（2，1），A（1，0），B（cosθ ，t）． （1）若 ∥ ，且| |= | |，求向量 的坐标； （2）若 ，求 y=cos2θ-cosθ+t2 的最小值．
∴AD∥BC，且 AB≠CD， ∴四边形 ABCD 是梯形． 故选：C．
由 = + + =-8 -6 ，可得 =2 ．即可得出结论．
本题考查了向量的线性运算、梯形的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由于：tan
，
所以：
=
，
故选：D．
化简
，再利用切化弦的方法求解即可．
本题考查三角函数切化弦的求值问题，难点在于分母要化成弦的 2 次式的形态．主要考 察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
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5.【答案】D
【解析】解． 故选：D．
可求出
，根据
即可得出
，进行数量积的坐标
运算即可求出 λ． 考查向量垂直的充要条件，向量减法、数乘和数量积的坐标运算．
期中数学试卷
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 角 α＝﹣60°+k•180°（k∈Z）的终边落在（）
A. 第四象限
B. 第一、二象限 C. 第一象限
2. 已知 sinα= ，则 cos（2α-π）=（ ）
A.
B.
C.
D. 第二、四象限 D.
3. 在四边形 ABCD 中， ＝
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19. 已知函数 f（x）=sin（2x+ ）+sin（2x- ）+2cos2x-1，x∈R．
（1）求函数 f（x）的最小正周期；
（2）求函数 f（x）在区间[
]上的最大值和最小值．
20. 已知 A，B，C 的坐标分别为 A（3，0），B（0，3），C（cos α，sin α），α∈（0， 2π）．
， ＝﹣4 ， ＝﹣5
的形状是（）
A. 矩形
B. 平行四边形 C. 梯形
4. 已知 tan
，则
的值为（ ）
A.
B.
C. 4
，那么四边形 ABCD
D. 以上都不对 D.
5. 已知向量 =（1，λ）， =（1，0）， =（8，4）．若 λ 为实数，（ ） ，则 λ=
（ ）
A. -2
B. 2
C. 5
D. 8
14. 如图，在矩形 ABCD 中，AB= ，BC=2，点 E 为 BC 的中点，
点 F 在直线 CD 上．若
=-2，则
的值为______．
15. 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 =（cos ，sin ）， =（
cos ，sin ），且满足| |= ．则∠A=______．
的夹角 θ∈（0， ），且 和 都在集合{ |n∈Z}中，则 =（ ）
A. 1， ，
B. 1， ，
C. 2， ，
D. ， ，
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 定义域在 R 上的函数 f（x）既是奇函数又是周期函数，若 f（x）的最小正周期是 π
，且当 x∈[0， ]时，f（x）=-4sin2x，则 f（ ）的值为______．
（1）若 = ，求角 α 的值；
（2）若 • =0，求
的值．
21. 函数 f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣ ＜φ＜ ）的部分图象如图所示．
（1）求 f（x）的解析式．
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（2）若不等式|f（x）﹣m|＜3，对任意 x∈[ ]恒成立，求实数 m 的取值范围．
22. 已知函数 f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且 f（ ）=0，其中 a∈R，θ∈（
A.
B.
），θ∈（- ）是奇函数，则 θ 的值为（ ）
C.
D.
9. 已知函数 f（x）=-2sin（3x+φ）（0＜φ＜2π），若（
增区间，则 φ 的值为（ ）
A.
B. -π
C. -
）是 f（x）的一个单调递
D. π
10. 已知△ABC 为等边三角形，AB=2．设点 P，Q 满足 = ， =（1-λ） ，λ∈R．
6. 要得到函数 y=cos（2x-2）的图象，只要将函数 y=sin2x 的图象（ ）
A. .向左平移个单位
B. 向右平移 1- 个单位
C. 向左平移 1- 个单位
D. 向右平移 1 个单位
7. 设非零向量 与 的夹角是 ，且| |=| |，则
A.
B.
C.
的最小值为（ ）
D. 1
8. 已知函数 f（x）=2xsin（x
2019-2020学年吉林市舒兰市高一下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年吉林市舒兰市高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知α=56π，则点P(cosα,sinα)所在象限是()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.将函数y=cos2x的图象先向左平移π2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是()A. y=−sin2xB. y=−cos2xC. y=2sin2xD. y=−2cos2x3.已知向量a⃗=(4,−2)，b⃗ =(m,3)，若a⃗//b⃗ ，则m=()A. −6B. 6C. 32D. −324.在△ABC中，a=3，b=√5，A=60°，则cosB=()A. ±√156B. √156C. ±√216D. √2165.已知，是两个向量，，，且，则，的夹角为()A. B. C. D.6.将函数y=sin2x图象上的每一个点按向量a⃗=(φ,m)(其中φ和m为常数，且|φ|<π2)移动后，所得图象关于直线x=π12对称，则φ的值可能为()①π3；②π6；③−π6；④−π3．A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④7.已知，，若，则()A. B. C. D.8.已知sin2α=，则cos2=()．A. B. C. D.9.将函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ(φ>0)个单位后得到函数g(x)的图象，对于满足|f(x1)−g(x2)|=2的x1，x2，如果|x1−x2|min=π3，则φ的一个值是()A. 5π12B. π3C. π4D. π610. 已知P 为△ABO 所在平面内的一点，满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OA|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，则P 点在( ) A. ∠AOB 的平分线所在的直线上 B. 线段AB 的中垂线上 C. AB 边所在的直线上D. AB 边的中线上11. 已知sin(α−β)=√1010，α−β是第一象限角，tanβ=12，β是第三象限角，则cosα的值等于( )A. 7√210B. −7√210C. √22D. −√2212. 已知a ⃗ ，b ⃗ 是平面内互不相等的两个非零向量，且|a ⃗ |=1，a ⃗ −b ⃗ 与b ⃗ 的夹角为150°，则|b ⃗ |的取值范围是( )A. (0,√3]B. [1,√3]C. (0,2]D. [√3,2]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知是定义在上的奇函数，当时，，函数.如果对于，，使得，则实数的取值范围是 ．14. 已知单位向量e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ 的夹角为60°，则|e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ |= ______ ．15. 已知M(2,0)，圆C ：(x −a −1)2+(y −√3a)2=1上存在点P ，PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PO ⃗⃗⃗⃗⃗ =8，(O 坐标原点)，则实数a 的取值范围为______． 16. 已知∣∣∣sinαcosα21∣∣∣=0，则sin2α= ______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知向量，，记．(Ⅰ)求函数的单调递增区间；(Ⅱ)若方程在区间内有两个零点，，求的值．18.已知向量a⃗=(2,0)，b⃗ =(1,4)．(Ⅰ)求|a⃗+b⃗ |的值；(Ⅱ)若向量k a⃗+b⃗ 与a⃗+2b⃗ 平行，求k的值．19.已知函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)的最小正周期为4π．(1)若函数y=f(x+θ)(0<θ<2π)为偶函数，求θ的值；(2)若f(α)=45，0<α<π，求sin(α−π3)的值．20.已知单位向量m⃗⃗⃗ 和n⃗的夹角为60°，求证：(2n⃗−m⃗⃗⃗ )⊥m⃗⃗⃗ ，并解释其几何意义．21. 已知函数f(x)=2√3sinxcosx +2cos 2x −1．(1)求函数f(x)的最小正周期； (2)当x ∈[0,π2]时，求函数f(x)的值域．22. 已知函数f(x)=ax 2+bx +1(a,b 为实数)，x ∈R ，F(x)={f(x),x >0−f(x),x <0，设m >0，n <0，m +n >0，a >0且f(x)为偶函数，判断F(m)+F(n)能否大于零？【答案与解析】1.答案：B解析：本题主要考查通过诱导公式求三角函数的值并判断角的象限，属于基础题．利用诱导公式求三角函数的值，故求得点P的坐标，可得点P所在象限．解：∵α=56π，，，则点P(cosα,sinα)即(−√32,12 )，故点P所在象限为第二象限，故选：B．2.答案：C解析：本题考查三角函数的图象变换，掌握三角平移变换的规律是关键，属于中档题．利用函数y=cos(ωx+φ)+k的图象变换即可获得答案．解：∵函数y=f(x)=cos2x的图象先向左平移π2个单位长度，得到f(x+π2)=cos2(x+π2)=−cos2x，再向上平移1个单位长度，函数为y=f(x+π2)+1=−cos2x+1=2sin2x.故选C．3.答案：A解析：解：∵向量a⃗=(4,−2)，b⃗ =(m,3)，a⃗//b⃗ ，∴m4=3−2，解得m=−6．故选：A．利用向量平行的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：D解析：本题主要考查正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题．由已知及正弦定理可得：sinB=bsinAa =√156，由a>b，可得B为锐角，利用同角三角函数基本关系式即可求得cos B的值．解：∵a=3，b=√5，A=60°，∴由正弦定理可得：sinB=bsinAa =√5×√323=√156，∵a>b，所以B为锐角，∴cosB=√1−sin2B=√216．故选：D．5.答案：C解析：本题考查求平面向量的夹角，属于基础题目．解：∵，∴，即，所以，又因为，所以．故选C．6.答案：A解析：解：函数y=sin2x图象上的每一个点按向量a⃗=(φ,m)移动后得到y=sin[2(x−φ)]+m，∵所得图象关于直线x=π12对称，∴2(π12−φ)=π2+kπ，k∈Z，∴φ=−π6−kπ2，k∈Z，又|φ|<π2，∴当k=0时，φ=−π6；当k=−1时，φ=π3，∴φ的值可能为π3，−π6．故选：A．平移后得到y=sin[2(x−φ)]+m，再结合正弦函数的轴对称，可得φ=−π6−kπ2，k∈Z，然后根据φ的范围限制，即可得解．本题考查三角函数图象的平移变换，正弦函数的轴对称，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．7.答案：B解析：试题分析：因为，所以，所以。
2020年吉林省吉林市舒兰市高一(下)期中数学试卷
期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.角α＝﹣60°+k•180°（k∈Z）的终边落在（）A. 第四象限B. 第一、二象限C. 第一象限D. 第二、四象限2.已知sinα=，则cos（2α-π）=（）A. B. C. D.3.在四边形ABCD中，＝，＝﹣4，＝﹣5，那么四边形ABCD的形状是（）A. 矩形B. 平行四边形C. 梯形D. 以上都不对4.已知tan，则的值为（）A. B. C. 4 D.5.已知向量=（1，λ），=（1，0），=（8，4）．若λ为实数，（），则λ=（）A. -2B. 2C. 5D. 86.要得到函数y=cos（2x-2）的图象，只要将函数y=sin2x的图象（）A. .向左平移个单位B. 向右平移1-个单位C. 向左平移1-个单位D. 向右平移1个单位7.设非零向量与的夹角是，且||=||，则的最小值为（）A. B. C. D. 18.已知函数f（x）=2x sin（x），θ∈（-）是奇函数，则θ的值为（）A. B. C. D.9.已知函数f（x）=-2sin（3x+φ）（0＜φ＜2π），若（）是f（x）的一个单调递增区间，则φ的值为（）A. B. -π C. - D. π10.已知△ABC为等边三角形，AB=2．设点P，Q满足=，=（1-λ），λ∈R．若=-6，则λ等于（）A. -1B. 2C. -1或2D. 1或-211.角A，B，C是△ABC三内角，且满足sin C sin A=A cos C，则sin A+sin B的最大值是（）A. 2B.C.D.12.对任意两个非零的平面向量和，定义=．若平面向量，满足||≥||＞0，与的夹角θ∈（0，），且和都在集合{|n∈Z}中，则=（）A. 1，，B. 1，，C. 2，，D. ，，二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.定义域在R上的函数f（x）既是奇函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f（x）=-4sin2x，则f（）的值为______．14.如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在直线CD上．若=-2，则的值为______．15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（cos，sin），=（cos，sin），且满足||=．则∠A=______．16.设α为第四象限的角，若=，则cos2α-sin2α=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设两向量，满足||=，||=2，，的夹角为45°．若向量2t与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围．18.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量=（2，1），A（1，0），B（cosθ，t）．（1）若∥，且||=||，求向量的坐标；（2）若，求y=cos2θ-cosθ+t2的最小值．19.已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x-）+2cos2x-1，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间[]上的最大值和最小值．20.已知A，B，C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cos α，sin α），α∈（0，2π）．（1）若=，求角α的值；（2）若•=0，求的值．21.函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式．（2）若不等式|f（x）﹣m|＜3，对任意x∈[]恒成立，求实数m的取值范围．22.已知函数f（x）=（a+2cos2x）cos（2x+θ）为奇函数，且f（）=0，其中a∈R，θ∈（0，π）．（1）求a，θ的值；（2）若f（）=-，α∈（，π），求sin（α+）的值．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查了象限角，属于基础题．将k分偶数，奇数讨论，结合终边相同的角求解即可．【解答】解：角α＝﹣60°+k•180°（k∈Z）当k为偶数时，令k=2n(n∈Z)，α=-60°+n•360°，在第四象限；当k为奇数时，令k=2n+1(n∈Z)，α=120°+n•360°，在第二象限；综上，角α＝﹣60°+k•180°（k∈Z）的终边落在第二、四象限.故选：D．2.【答案】A【解析】解：由sin，得cos（2α-π）=-co s2α=2sin2α-1=，故选：A．直接利用诱导公式和倍角公式cos（2α-π）=-cos2α=2sin2α-1，即可求解．本题考查：诱导公式和倍角公式．主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．3.【答案】C【解析】解：∵=++=-8-6，∴=2．∴AD∥BC，且AB≠CD，∴四边形ABCD是梯形．故选：C．由=++=-8-6，可得=2．即可得出结论．本题考查了向量的线性运算、梯形的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：由于：tan，所以：=，故选：D．化简，再利用切化弦的方法求解即可．本题考查三角函数切化弦的求值问题，难点在于分母要化成弦的2次式的形态．主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．5.【答案】D【解析】解：；∵；∴；∴λ=8．故选：D．可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出λ．考查向量垂直的充要条件，向量减法、数乘和数量积的坐标运算．6.【答案】B【解析】解：将函数y=sin2x=cos（-2x）=cos（2x-）=cos2（x-）的图象向右平移1-个单位，可得y=cos2（x-1+-）=cos（2x-2）的图象，可得，故选：B．由题意利用诱导公式，函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查诱导公式、三角函数图象的平移问题，难点在于平移时要一步一步进行平移，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：∵||=||，∴=++2，即=-2=-2||||cos=||||，∴||=||=||．∴=-||2，∴（）2===（t-1）2+，∴当t=-1时，取得最小值=．故选：B．对||=||两边平方化简得出||=||，计算的平方，得到只含t的二次函数，然后利用二次函数的特性来求出最值．本题考查平面向量的综合运用，解题的关键点在于把的化成只含有t为自变量的二次函数形态，进而求最值．8.【答案】B【解析】解：f（x）为奇函数，可对x=，则有：，，由于：-f（）=f（-），所以：，化简得．解得：故选：B．利用奇函数的特性构造等式关系，为方便计算可对x取特殊值，最后根据θ的范围即可求出答案．本题考查三角函数的奇偶性问题，解题关键点在于利用函数的奇偶性构造等式进行运算，为方便运算，可对x选择方便运算的值进行求解．9.【答案】D【解析】解：当x∈（）时，，∵（）是f（x）的一个单调递增区间，∴（k∈Z），∴（k∈Z），∵0＜φ＜2π，∴ϕ=（2k-1）π，k∈Z，∴故选：D．利用函数的单调性，先求出3x+φ的范围，然后再把这个范围放到正弦函数的单调增区间内，即可求解．本题考查正弦函数的单调性问题，解题关键点在于求出3x+φ的范围，属基础题．10.【答案】C【解析】解：以BC为x轴，以BC边上的高为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，），B（-1，0），C（1，0），∴=（-1，-），=（1，-），故=（-λ，-λ），=（1-λ，-），∴P（-λ，λ），Q（1-λ，），∴=（2-λ，），=（-λ-1，），∴=（2-λ）（-λ-1）+（）=-2λ2+2λ-2=-6，解得λ=-1或λ=2．故选：C．建立坐标系，用λ表示出各点坐标，根据=-6列方程解出λ的值．本题考查平面向量的数量积运算，建系转化为坐标运算是常用方法，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：角A，B，C是△ABC三内角，且满足sin C sin A=A cos C，由于：sin A≠0，则：，解得：C=，=，=故选：B．先求出∠C=，利用，得出，进而利用合一定理即可求出sin A+sin B的最大值．本题考查三角函数的恒等变换问题，解题关键点在于利用合一定理即可求出sin A+sin B 的最大值．主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．12.【答案】D【解析】解：==∈{|n∈Z}，==∈{|n∈Z}．又由||≥||＞0，可设m∈z，t∈z，则=，=，得cos2θ=∈，对m，t进行赋值即可得出：＜mt＜9，∴mt=7，或mt=8，可对m取4，7，8三个值即可求出的值为：，，．故选：D．==∈{|n∈Z}，同理可得=∈{|n∈Z}．可设m∈z，t∈z，=，=，得cos2θ=∈，对m，t进行赋值即可得出：＜mt＜9，进而得出结论．本题考查了向量数量积新定义迁移题目及其应用、集合性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】2【解析】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，周期为π，且时，f（x）=-4sin2x；∴=．故答案为：．根据条件可得出，然后根据x∈[0，]时，f（x）=-4sin2x即可求出，从而得出的值．考查奇函数和周期函数的定义，以及已知函数求值的方法．14.【答案】-2【解析】解：以A为原地，以AB，AD为轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（，0），E（，1），设F（m，2），则=（，0），=（m，2），=（，1），=（m-，2），∴=m=-2，故m=-，∴=（m-）+2=-4+2=-2．故答案为：-2．建立平面坐标系，根据=-2得出F的坐标，再计算的值本题考查向量的线性运算和四则运算，解题关键点在于通过向量的线性运算转化为合适的向量，再进行求解运算．15.【答案】【解析】解：由||=得，++2=3，即1+1+2（cos cos+sin sin）=3，∴cos cos+sin sin=，即cos A=，∵0＜A＜π，∴A=．故答案为：．对式子||=两边平方，化简可得cos A=，从而得出A的大小．本题考查向量的模与三角函数问题，属于综合题，解题的关键在于对向量的模进行转化运算．16.【答案】【解析】解：，=1+2cos2α-2sin2α，=1+2cos2α，=，所以：，由于α为第四象限的角，所以：4kπ+3π≤2α≤4kπ+4π（k∈Z），，所以：答案：．化简，化简得，进而求出cos2α，再判断2α的所在的象限，求出sin2α，即可得到答案．本题考查三角函数的倍角公式和象限角问题，使用倍角公式求值，再利用诱导公式求解即可．17.【答案】解：由已知得：2=2，2=4，==2，∴（2t）•（）=2t+（2t2+6）+6t2=4t2+28t+12．令4t2+28t+12＜0，解得：＜t＜，设2t+6=λ（+t）（λ＜0），∴，解得t=-，λ=-2，此时，向量2t与向量的夹角为π．∴当两向量夹角为钝角时，t的取值范围是（，-）∪（-，）．【解析】用t表示出向量2t与向量的数量积，令其小于零解得t的范围，再排除掉两向量方向相反时对应的t的值即可．本题考查了平面向量的数量积的运算，属于中档题．18.【答案】解：（1）=（cosθ-1，t）．∵∥，且||=||，∴，化为cosθ=0，t=-．∴．（2）∵，∴cosθ-1-2t=0．∴cosθ=1+2t∈[-1，1]，解得t∈[-1，0]．∴y=cos2θ-cosθ+t2=（1+2t）2-（1+2t）+t2=5t2+2t=，∵t∈[-1，0]，∴当t=-时，y取得最小值-．【解析】（1）利用向量共线定理、模的计算公式即可得出；（2）利用向量共线定理、二次函数的单调性即可得出．本题考查了向量共线定理、模的计算公式、二次函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．19.【答案】解：（1）∵f（x）=sin2x•cos+cos2x•sin+sin2x•cos-cos2x•sin+cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+），∴函数f（x）的最小正周期T==π．（2）∵函数f（x）在区间[]上是增函数，在区间[，]上是减函数，又f（-）=-1，f（）=，f（）=1，∴函数f（x）在区间[]上的最大值为，最小值为-1．【解析】（1）利用正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式将f（x）=sin（2x+）+sin（2x-）+2cos2x-1化为f（x）=sin（2x+），即可求得函数f（x）的最小正周期；（2）可分析得到函数f（x）在区间[]上是增函数，在区间[，]上是减函数，从而可求得f（x）在区间[]上的最大值和最小值．本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦函数的两角和与差的公式与辅助角公式的应用，考查正弦函数的性质，求得f（x）=sin（2x+）是关键，属于中档题．20.【答案】解：（1）∵=（cosα-3，sinα），=（cosα，sinα-3）．∴||==，||==，∴sinα=cosα，又α∈（0，2π），∴α=或；（2）由•=0，知：（cosα-3）cosα+（sinα-3）sinα=0．∴sinα+cosα=，∴2sinα•cosα=-，又α∈（0，2π），∴α∈（，）或α∈（，2π）．若α∈（，），则sinα-cosα==．联立，解得sinα=，cosα=，tanα=．∴==；若α∈（，2π），则sinα-cosα=-．联立，解得sinα=，cosα=，tanα=．∴==．【解析】（1）由已知求出的坐标，再由=列式求角α的值；（2）由•=0，可得sinα+cosα=，结合α的范围分别求得sinα，cosα的值，则的值可求．本题考查平面向量数量积的性质及其应用，考查计算能力，属中档题．21.【答案】解：（1）因为，所以，所以ω=2，又因为φ=（k∈Z），且-＜φ＜，故f（x）=．（2）由（1）知，当时，，所以：，即：-1，又对任意，函数|f（x）-m|＜3等价于恒成立，，即，故m的取值范围是（）．【解析】本题考查的图象与性质，属于中档题．（1）利用，求出T、ω，再代点求出φ即可；（2）由，得，|f（x）-m|＜3等价于，最后求出m的取值范围．22.【答案】解：（1）f（）=-（a+1）sinθ=0，∵θ∈（0，π）．∴sinθ≠0，∴a+1=0，即a=-1∵f（x）为奇函数，∴f（0）=（a+2）cosθ=0，∴cosθ=0，θ=．（2）由（1）知f（x）=（-1+2cos2x）cos（2x+）=cos2x•（-sin2x）=-，∴f（）=-sinα=-，∴sinα=，∵α∈（，π），∴cosα==-，∴sin（α+）=sinαcos+cosαsin=．【解析】（1）把x=代入函数解析式可求得a的值，进而根据函数为奇函数推断出f（0）=0，进而求得cosθ，则θ的值可得．（2）利用f（）=-和函数的解析式可求得sin，进而求得cos，进而利用二倍角公式分别求得sinα，cosα，最后利用两角和与差的正弦公式求得答案．本题主要考查了同角三角函数关系，三角函数恒等变换的应用，函数奇偶性问题．综合运用了所学知识解决问题的能力．。
吉林省五校2020-2021学年高一下学期期中考试 数学 试题(含答案)
吉林省五校协作体2020－2021学年度第二学期期中试卷高一数学注意事项：本试卷分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共3页，总分150分，考试时间120分钟。
第I卷(选择题)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z＝3＋i，那么复数1z在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)，若c//(3a＋b)，则λ的值为A.12B.45C.－54D.－23.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面面积为4的正方形，则该圆柱的表面积与体积分别是A.6π，2πB.16π，8πC.4π，πD.4π，2π4.如图，一个用斜二测画法画出来的三角形是一个边长为a的正三角形，则原三角形的面积是3 a23a262625.对于非零向量a，b，下列命题中正确的是A.a·b＝0⇒a∥bB.a∥b⇒a在b上的投影向量为|a|e(e是与b方向相同的单位向量)C.0·a＝0D.a⊥b⇒a·b＝(a·b)26.已知△ABC的顶点坐标为A(1，1)，B(4，1)，C(3，3)，则cosA＝A.12 B.14 C.22D.35 7.如图是正方体的平面展开图。
关于这个正方体，有以下判断：①CN 与BM 是异面直线 ②CN//平面AFB ③BM//DE ④平面BDE//平面NCF 其中正确判断的序号是A.①③B.②③C.①②④D.②③④8.如图，已知OA a =，OB b =，任意点M 关于点A 的对称点为S ，点S 关于点B 的对称点为N ，则向量MN ＝A.MN 2b 2a =-B.MN 2a 2b =-C.MN a b =-D.MN b a =- 9.在△ABC 中，角A ，，BC 所对的边分别为a ，b ，c ，若a －c ＝bcosC －bcosA ，则△ABC 的形状为A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形 10.已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内的一点，则()PA PB PC ⋅+的值可能为A.－4B.－3C.－2D.－1二、多项选择题：本大题共2个小题，每小题5分，共10分。
2020-2021学年吉林省实验中学高一(下)期中数学试卷
2020-2021学年吉林省实验中学高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共36.0分）1.直线x+√3y+1=0的倾斜角为()A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°2.若|a−b|≤c，则下列不等式不成立的是()A. |a|≤|b|+|c|B. |b|≤|a|+|c|C. c≥||b|−|a||D. c≤||a|−|b||3.在△ABC中，若(sin A+sin B)(sin A−sin B)≤sin C(sin C−sin B)，则A的取值范围是()A. (0,π6] B. [π6,π] C. (0,π3] D. [π3,π)4.若∃x∈[−1,2]，使得不等式x2−2x+a<0成立，则实数a的取值范围为()A. a<−3B. a<0C. a<1D. a>−35.圆心为C(−1,2)，且一条直径的两个端点分别落在两坐标轴上的圆的方程是()A. (x−1)2+(y+2)2=5B. (x−1)2+(y+2)2=20C. (x+1)2+(y−2)2=5D. (x+1)2+(y−2)2=206.等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S11=121，则a6=()A. 1B. 110C. 11D. 1327.等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a2a4=()A. 6B. 9C. 36D. 818.点P在椭圆7x2+4y2=28上，则点P到直线3x−2y−16=0的距离的最大值为()A. √13B. 1613√13 C. 2413√13 D. 2813√139.在ΔABC中，a,b,c分别为A,B,C的对边，如果a,b,c成等差数列，B=30∘，ΔABC的面积为32，那么b=()A. 1+√32B. 1+√3 C. 2+√32D. 2+√310.若点P在直线l：x−y−1=0上运动，且A(4,1)，B(2,0)，则|PA|+|PB|的最小值是()A. √5B. √6C. 3D. 411.若数列{a n}的前n项的和为S n，则下列错误的是()A. 若数列{a n}为等差数列，则S n一定可转化为S n=pn2+qn(p,q∈R)B. 若S n=pn2+qn(p,q∈R)，则数列{a n}为等差数列(a1≠0)，则数列{a n}为等比数列C. 若实数a1,q满足S n=a1(1−q n)1−qD. 若数列{a n}为等比数列，q为公比，则S n=a1(1−q n)1−q12.当函数f(x)=x+1，(x>1)取得最小值时，相应的自变量x等于()x−1A. 2B. 3C. 4D. 5二、单空题（本大题共4小题，共12.0分）13.不论a为任何实数，直线(a−3)x+ay+1=0恒过定点______．14.已知数列{a n}为等比数列，若a1+a3=1,a4+a6=8，则a2=____________．15.若圆C的方程是x2+y2−4x−4y+4=0，则圆C的半径为_______．16.在等差数列{a n}中，a1=1，其前n项和为S n，数列{b n}为等比数列，b1=1，且b2+S3=11，a3=2b2+1.若c n=(a n+1)b n，则数列{c n}的前n项和T n=_________2三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知直线l1：x+a2y+1=0和直线l2：(a2+1)x−by+3=0．(1)若b=−12，l1//l2，求a的值；(2)若l1⊥l2，则|a⋅b|的最小值．18.在等差数列{a n}中，a10=23，a25=−22，求数列{|a n|}的前n项和T n．19.设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b+acosC=0，sinA=2sin(A+C)．(1)求角C的大小；(2)求ca的值．20.已知函数f(x)=x2+3x+m，(1)当m=−4时，解不等式f(x)⩽0；(2)若m>0,f(x)<0的解集为(b,a)，求1a +4b的最大值．21.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2A−sin2B+sin2C=2sinAsinBsinC．(1)求角B的大小；(2)若b=√2，且A∈(π4,π2)，求边长c的取值范围．a n(n∈N∗)，且a3=1．22.已知数列{a n}满足a n+1=13(1)求a1及a n；(2)设b n=log3a n求数列{b n}的前n项和S n．答案和解析1.【答案】D【解析】解：设直线的倾斜角为α，由题意直线的斜率为−√33，即tanα=−√33所以α=150° 故选：D ．设出直线的倾斜角，求出斜率，就是倾斜角的正切值，然后求出倾斜角． 本题考查直线的倾斜角、直线的斜率，考查计算能力，是基础题．2.【答案】D【解析】 【分析】本题考查绝对值不等式，根据|a −b|≤c ，结合绝对值不等式的性质逐一判断即可． 【解答】解：因为|a|−|b|≤|a −b|≤c =|c|，所以|a|≤|b|+|c|，选项A 成立， 因为|b|−|a|≤|a −b|≤c =|c|，所以|b|≤|a|+|c|，选项B 成立， 因为||b|−|a||≤|a −b|≤c ，所以c ≥||b|−|a||，选项C 成立， 选项D 不成立． 故选D ．3.【答案】C【解析】 【分析】本题考查正余弦定理的综合应用，考查计算能力，属于基础题．由正弦定理可得a 2−b 2≤c 2−bc ，由余弦定理得cosA ≥12，即可求解得到答案． 【解答】解：由正弦定理：(sin A +sin B)(sin A −sin B)≤sin C(sin C −sin B)， 则a 2−b 2≤c 2−bc ，由余弦定理：a 2=b 2+c 2−2bccos A ≤b 2+c 2−bc ， 可得cosA ≥12，解得0<A ≤π3，4.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及存在性问题的应用，同时考查了转化的思想，属于基础题．∃x∈[−1,2]使得不等式x2−2x+a<0成立可转化成∃x∈[−1,2]使得不等式x2−2x<−a成立，即(x2−2x)min<−a，解不等式可求出所求．【解答】解：∵∃x∈[−1,2]使得不等式x2−2x+a<0成立，∴∃x∈[−1,2]使得不等式x2−2x<−a成立，即(x2−2x)min<−a；∵x2−2x=(x−1)2−1≥−1∴−1<−a，即a<1．故选C．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查圆的标准方程的求解问题，属于基础题．由题意知一条直径的两个端点分别落在两坐标轴上，因此圆一定过原点，所以可求出半径，继而写出结果．【解答】解：因为一条直径的两个端点分别落在两坐标轴上，所以该圆一定过原点，所以半径r=√(−1−0)2+(2−0)2=√5，又圆心为C(−1,2)，故圆的方程为(x+1)2+(y−2)2=5，故选C．6.【答案】C【解析】解：∵数列{a n}为等差数列，∴S11=11(a1+a11)2=11a6，又∵S11=121，∴a6=S1111=12111=11，利用S11=11a6，进而计算即可．本题考查等差数列的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，属于基础题．由已知结合等比数列通项公式可求出公比，则答案可求．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a1=3，a1+a3+a5=21，∴3(1+q2+q4)=21，化为：q4+q2−6=0，解得q2=2．则a2a4=a12q4=32×22=36．故选C．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查椭圆的参数方程，点到直线的距离，三角函数中的最值问题，解题时要认真审题，注意椭圆的方程、点到直线的距离公式、三角函数的性质的灵活运用，属于一般题．设P点坐标是(2cosα,√7sinα)，点P到直线3x−2y−16=0的距离d=|6cosα−2√7sinα−16|√9+4，由此能求出点P到直线3x−2y−16=0的距离的最大值．【解答】解：∵P在椭圆7x2+4y2=28上，椭圆7x2+4y2=28的标准方程是x24+y27=1，可设P点坐标是(2cosα,√7sinα)，∴点P到直线3x−2y−16=0的距离，其中tanθ=−3√77，∴当时，d max=2413√13．故选C．9.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了余弦定理的运用，三角形面积公式运用，涉及等差数列性质，考查了学生分析问题和基本的运算能力，属于一般题．先根据等差中项的性质可求得2b=a+c，两边平方求得a，b和c的关系式，利用三角形面积公式求得ac的值，进而把a，b和c的关系式代入余弦定理求得b的值．【解答】解：∵a，b、c成等差数列，∴2b=a+c，得a2+c2=4b2−2ac，又∵△ABC的面积为32，∠B=30°，故由，得ac=6．∴a2+c2=4b2−12．由余弦定理，得cosB=a2+c2−b22ac =b2−44=√32，解得b2=4+2√3．又b为边长，∴b=1+√3．故选B．10.【答案】C【解析】 【分析】本题考查动点到两定点的距离的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对称性及两点间距离公式的合理运用，求出A(4,1)关于直线x −y −1=0的对称点为A′，|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|，当P 、A′、B 三点共线时，|PA|+|PB|取得最小|A′B|，由此能求出结果． 【解答】解：∵设A(4,1)关于直线x −y −1=0的对称点为A′(x,y)，则{y−1x−4=−1x+42−y+12−1=0，解得x =2，y =3，∴A′(2,3)，∴|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|， 当P 、A′、B 三点共线时，|PA|+|PB|取得最小|A′B|=√(2−2)2+(3−0)2=3， 故选C ．11.【答案】D【解析】 【分析】本题考查等差数列和等比数列的判定，以及等差数列与等比数列的前n 项和公式，属于中档题．根据等差数列和等比数列的性质，依次判断即可． 【解答】解：A.若数列{a n }为等差数列，则S n =na 1+n(n−1)2d =d 2n 2+(a 1−n2)d =pn 2+qn ，故A 正确；B .若S n =pn 2+qn(p,q ∈R)，则a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ⩾2={p +q,n =12pn −p +q,n ⩾2⇒a n =2pn −p +q,∴a n+1−a n =2p ，∴数列{a n }为等差数列，故B 正确； C .若实数a 1,q 满足S n =a 1(1−q n )1−q(a 1≠0)，a n =a 1q n−1，故a n+1a n=q.则数列{a n }为等比数列，故C 正确；D .若数列{a n }为等比数列，q 为公比，当q ≠1时则S n =a 1(1−q n )1−q，当q =1时，S n =na 1，故D 错误． 故选D ．12.【答案】A【解析】解：函数f(x)=x +1x−1，(x >1)， 可得f(x)=(x −1)+1x−1+1≥2√(x −1)⋅1x−1+1=3，当且仅当x −1=1x−1，即x =2时，取得最小值3． 故选：A ．函数f(x)=(x −1)+1x−1+1，且x −1>0，运用基本不等式可得f(x)的最小值3，由等号成立的条件，可得x =2．本题考查函数的最值的求法，注意运用基本不等式，以及满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于基础题．13.【答案】(13,−13)【解析】 【分析】本题主要考查直线经过定点问题，属于基础题．先分离参数，再让参数的系数等于零，求得x 、y 的值，可得直线经过的定点的坐标． 【解答】解：直线(a −3)x +ay +1=0，即a(x +y)+(1−3x)=0， 令x +y =0，1−3x =0， 可得x =13，y =−13，故直线(a −3)x +ay +1=0经过定点(13,−13)， 故答案为：(13,−13).14.【答案】25【解析】【分析】本题考查了等比数列的通项公式的应用．由条件和等比数列通项公式得到方程组，解得q =2,a 1=15，从而得到结果．【解答】解：∵数列{a n }为等比数列，设公比为q ，a 1+a 3=1,a 4+a 6=8，∴{a 1+a 1q 2=1a 1q 3+a 1q 5=8， ∴q =2,a 1=15， ∴a 2=a 1q =25．故答案为25．15.【答案】2【解析】【分析】本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属于基础题．把圆的一般方程化为标准方程，可得圆的半径．【解答】解：圆C 的方程是x 2+y 2−4x −4y +4=0，即圆C ：(x −2)2+(y −2)2=4， 故圆的半径为2，故答案为：2．16.【答案】(n −1)2n +1【解析】【分析】本题考查等差数列，等比数列的通项及错位相减法求和，属基础题．依题意，设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，列出关于d ，q 的方程组，解得d ，q ，即可求得数列的通项公式，进而求得，利用错位相减法求和计算即可．【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，依题意，{q +3+3d =111+2d =2q +1，解得d =q =2， 所以a n =2n −1,b n =2n−1， 所以， T n =1×20+2×21+3×22+⋯+n ×2n−1，2T n =1×21+2×22+3×23+⋯+n ×2n ，两式作差得−T n =20+2+22+⋯+2n−1−n ×2n =(1−n )2n −1， 所以．故答案为(n −1)2n +1．17.【答案】解：(1)由l 1//l 2得：a 2(a 2+1)+b =0，即a 4+a 2−12=0，…(2分) 解得：a =±√3…(4分)(2)由l 1⊥l 2得：(a 2+1)−a 2b =0，(显然a ≠0)…(6分)∴b =a 2+1a 2，…(8分)|a ⋅b|=|a ⋅a 2+1a 2|=|a +1a|…(10分) 由双勾函数可得：|a +1a |≥2，故|ab|min =2…(12分)【解析】(1)由l 1//l 2得：a 2(a 2+1)+b =0，即a 4+a 2−12=0，解出即可得出．(2)由l 1⊥l 2得：(a 2+1)−a 2b =0，(显然a ≠0)，可得b =a 2+1a 2，利用双勾函数或基本不等式的性质即可得出．本题考查了直线相互平行垂直与斜率截距之间的关系、方程的解法、双勾函数或基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：设数列{a n }的公差为d ，由已知得{a 1+9d =23,a 1+24d =−22,解得{a 1=50,d =−3,∴a n =a 1+(n −1)d =−3n +53，∴当n ≤17时，a n >0，当n ≥18时，a n <0．当n ≤17时，|a 1|+|a 2|+⋯+|a n |=a 1+a 2+⋯+a n=na 1+n(n −1)2d =−32n 2+1032n; 当n ≥18时，|a 1|+|a 2|+⋯+|a n |=a 1+a 2+⋯+a 17−a 18−a 19−⋯−a n=2(a 1+a 2+⋯+a 17)−(a 1+a 2+⋯+a n )=2×(−32×172+1032×17)−(−32n 2+1032n) =32n 2−1032n +884．综上，当n ≤17，n ∈N ∗时，{|a n |}的前n 项和为−32n 2+1032n ， 当n ≥18，n ∈N ∗时，{|a n |}的前n 项和为32n 2−1032n +884． 所以T n ={−32n 2+1032n,n ≤17,32n 2−1032n +884,n ≥18.【解析】本题考查了等差数列的通项公式和等差数列的求和，设等差数列{a n }中，公差为d ，由题意得：a 1+9d =23，a 1+24d =−22.联立解得a 1，d 可得a n =a 1+(n −1)d =−3n +53，分类讨论利用求和公式即可得出．19.【答案】解：(1)sinA =2sin(A +C)=2sin(π−B)=2sinB ，由正弦定理可知：， ∴a =2b ，由cosC =−b a =−12，由0<C <π，则(2)由余弦定理可知：c2=a2+b2−2abcosC=4b2+b2+2b2=7b2，则c=√7b，因为a=2b，所以ca =√72，∴ca 的值为√72．【解析】本题考查了正弦定理与余弦定理的应用，属于基础题．(1)由题意可得sinA=2sinB，由正弦定理可知a=2b，由cosC=−ba =−12，由0<C<π，可求得角C的大小；(2)由余弦定理可知c=√7b，因为a=2b，所以ca =√72，可得结果．20.【答案】解：(1)当m=−4时，不等式f(x)≤0，即为x2+3x−4≤0，可得：(x+4)(x−1)≤0，即不等式f(x)≤0的解集为[−4,1]．(2)由题f(x)=0的根即为a，b，故a+b=−3，ab=m>0，故a，b同负，则1a +4b=−13(1a+4b)(a+b)=−13(5+4ab+ba)⩽−13×(5+2√4)=−3，当且仅当a=−1,b=−2时等号成立．故1a +4b的最大值为−3．【解析】本题考查了一元二次不等式的解法，考查基本不等式求最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)当m=−4时，不等式f(x)≤0，即为x2+3x−4≤0，可得：(x+4)(x−1)≤0，解出即可得．(2)由二次方程的根与不等式的关系得a+b=−3，ab=m>0，结合基本不等式求最值即可．21.【答案】解：(1)在△ABC中，根据余弦定理a2+c2−b2=2accosB，由已知及正弦定理得a 2+c 2−b 2=2acsinB ，得2accosB =2acsinB ，所以tanB =1，又因为0<B <π，所以B =π4;(2)因为A +B +C =π，所以C =π−A −B =34π−A ，由正弦定理，得c sinC =b sinB =√2√22=2， 所以c =2sinC =2sin(3π4−A)，因为π4<A <π2，所以π4<3π4−A <π2， 所以√22<sin(3π4−A)<1，所以c ∈(√2,2)．【解析】本题考查正弦定理余弦定理及正弦函数的性质．(1)由已知结合正弦定理和余弦定理即可求解;(2)由正弦定理得c =2sinC =2sin(3π4−A)，然后由正弦函数的性质求解即可． 22.【答案】解：(1)数列{a n }满足a n+1=13a n (n ∈N ∗)，且a 3=1．∴a 1≠0，∴数列{a n }是公比为13的等比数列，a 3=a 1×(13)2=1，∴a 1=9，∴a n =9×(13)n−1=(13)n−3．(2)由(1)知：b n =log 3a n =3−n ，∴数列{b n }是首项为2，公差为−1的等差数列，∴S n =n(2+3−n)2=−n 2+5n2．【解析】(1)数列{a n }满足a n+1=13a n (n ∈N ∗)，且a 3=1.可得a 1≠0，数列{a n }是公比为13的等比数列，利用通项公式即可得出．(2)由(1)知：b n=log3a n=3−n，利用等差数列的求和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
2020年吉林市高一数学下期中一模试题及答案
2020年吉林市高一数学下期中一模试题及答案一、选择题1．圆224470x y x y +--+=上的动点P 到直线0x y +=的最小距离为（ ） A ．1 B ．221- C ．22 D ．2 2．陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗，北方叫做“打老牛”.陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成.如图画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为（ ）A ．1073π B ．32453π+ C ．16323π+ D ．32333π+ 3．已知两点()A 3,4-，()B 3,2，过点()P 1,0的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．()1,1-B ．()(),11,∞∞--⋃+C ．[]1,1-D ．][(),11,∞∞--⋃+ 4．三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，P A =2，AB =BC =1，则其外接球的表面积为（ ）A ．6πB ．5πC ．4πD ．3π5．已知直线m 、n 及平面α，其中m ∥n ，那么在平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集。
其中正确的是（ ）A ．（1）（2）（3）B ．（1）（4）C ．（1）（2）（4）D ．（2）（4） 6．已知圆M ：2220x y y =++与直线l ：350ax y a +-+=，则圆心M 到直线l 的最大距离为（ ）A ．5B ．6C ．35D 417．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A ．310cmB ．320cmC ．330cmD ．340cm8．设有两条直线m ，n 和三个平面α，β，γ，给出下面四个命题：①m αβ=I ，////n m n α⇒，//n β②αβ⊥，m β⊥，//m m αα⊄⇒；③//αβ，//m m αβ⊂⇒；④αβ⊥，//αγβγ⊥⇒其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．已知实数,x y 满足250x y ++=，那么22x y +的最小值为（ ） A ．5 B ．10 C ．25 D ．21010．如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．3πB ．3πC ．4πD ．3π 11．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )．A ．130B ．140C ．150D ．160 12．如图在正方体中，点为线段的中点. 设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题13．设P ，A ，B ，C 是球O 表面上的四个点，PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA PB PC ===，则球O 的表面积为____________.14．已知平面α与正方体的12条棱所成角相等，设所成角为θ，则sin θ=______.15．经过两条直线2310x y ++=和340x y -+=的交点，并且平行于直线3470x y +-=的直线方程是________.16．过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线l ，使l 与棱AB 、AD 、1AA 所成的角都相等，这样的直线l 可以作_________条.17．若直线l ：-3y kx =与直线23-60x y +=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是___________.18．在平面直角坐标系内，到点A （1，2），B （1，5），C （3，6），D （7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是 ．19．已知双曲线的半焦距为，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线的准线被双曲线截得的弦长是（为双曲线的离心率），则的值为__________．20．已知点(,)P x y 是直线4(0)y kx k =-->上的一个动点，PA ，PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的面积的最小值为2，则实数k 的值为__________．三、解答题21．如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，BA ＝BD 2，AD ＝2，PA ＝PD 5E ，F 分别是棱AD ，PC 的中点．（1）证明：EF ∥平面PAB ；（2）若二面角P －AD －B 为60°．①证明：平面PBC ⊥平面ABCD ；②求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值．22．如图，正方形ABCD 所在平面与三角形CDE 所在平面相交于CD ，AE ⊥平面CDE ，且1AE =,2AB =.(Ⅰ)求证：AB ⊥平面ADE ；(Ⅱ)求凸多面体ABCDE 的体积.23．在梯形ABCD 中，//AD BC ，AC BD ⊥于点O ，2BC AD =，9AC =，将ABD ∆沿着BD 折起，使得A 点到P 点的位置，35PC =.（Ⅰ）求证：平面PBD ⊥平面BCD ；（Ⅱ）M 为BC 上一点，且2BM CM =，求证：//OM 平面PCD .24．已知圆C 的圆心坐标()1,1，直线l ：1x y +=被圆C 2.（1）求圆C 的方程；（2）从圆C 外一点()2,3P 向圆引切线，求切线方程.25．如图，在Rt AOB V 中，30OAB ∠=︒，斜边4AB =，Rt AOC V 可以通过Rt AOB V 以直线AO 为轴旋转得到，且平面AOB ⊥平面AOC ．动点D 在斜边AB 上．（1）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（2）当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的正切值．26．如图，正方体1111ABCDA B C D 的棱长为2，E F M 、、分别是1111C B C D ，和AB 的中点．（1）求证：1//MD 平面BEFD ．（2）求M 到平面BEFD 的距离．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】先求出圆心到直线0x y +=的距离，根据距离的最小值为d r -，即可求解.【详解】由圆的一般方程可得22(2)(2)1x y -+-=， 圆心到直线的距离222d == 所以圆上的点到直线的距离的最小值为221.故选B.【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，圆的方程，属于中档题.2．D解析：D【解析】【分析】由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成.根据柱体、锥体的体积计算公式即得该陀螺模型的体积.【详解】由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成. 所以该陀螺模型的体积222113242333233333V πππ=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=+. 故选：D .【点睛】本题考查三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题. 3．D解析：D【解析】分析：根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．详解：∵点A （﹣3，4），B （3，2），过点P （1，0）的直线L 与线段AB 有公共点， ∴直线l 的斜率k≥k PB 或k≤k PA ，∵PA 的斜率为4031--- =﹣1，PB 的斜率为2031--=1， ∴直线l 的斜率k≥1或k≤﹣1，故选：D ．点睛：本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．直线的倾斜角和斜率的变化是紧密相联的，tana=k,一般在分析角的变化引起斜率变化的过程时，是要画出正切的函数图像，再分析.4．A解析：A【解析】分析：将三棱锥的外接球转化为以,,AP AB BC 为长宽高的长方体的外接球，从而可得球半径，进而可得结果.详解：因为PA ⊥平面AB ，,AB BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥，,PA AB AB BC ⊥⊥Q ，所以三棱锥的外接球，就是以,,AP AB BC 为长宽高的长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的对角线， 即24116R =++=，所以外接球的表面积为：246R ππ=，故选A.点睛：本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径） ③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.5．C解析：C【解析】【分析】根据题意，对每一个选项进行逐一判定，不正确的只需举出反例，正确的作出证明，即可得到答案.【详解】如图（1）所示，在平面内不可能由符合题的点；如图（2），直线,a b 到已知平面的距离相等且所在平面与已知平面垂直，则已知平面为符合题意的点；如图（3），直线,a b 所在平面与已知平面平行，则符合题意的点为一条直线， 综上可知（1）（2）（4）是正确的，故选C.【点睛】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟记空间中点、线、面的位置关系是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与论证能力，属于基础题. 6．A解析：A【解析】【分析】计算圆心为()0,1M -，350ax y a +-+=过定点()3,5N -，最大距离为MN ，得到答案.【详解】圆M ：2220x y y =++，即()2211x y ++=，圆心为()0,1M -， 350ax y a +-+=过定点()3,5N -，故圆心M 到直线l 的最大距离为5MN =. 故选：A .【点睛】本题考查了点到直线距离的最值问题，确定直线过定点()3,5N -是解题的关键.7．B解析：B【解析】【分析】【详解】试题分析：. 由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，∴几何体的体积V ＝×3×4×5﹣××3×4×5＝20（cm 3）．考点：1.三视图读图的能力；2.几何体的体积公式.8．B解析：B【解析】【分析】根据直线与平面、平面与平面的位置关系的性质和定理，逐项判断，即可得到本题答案.【详解】对于选项①，,//m n m αβ⋂=不能得出,////n n αβ，因为n 可能在α或β内，故①错误；对于选项②，由于,,m m αββα⊥⊥⊄，则根据直线与平面平行的判定，可得//m α，故②正确；对于选项③，由于//αβ，m α⊂，则根据面面平行的性质定理可得//m β，故③正确； 对于选项④，由于,αβαγ⊥⊥，则,βγ可能平行也可能相交，故④错误.故选：B【点睛】本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系的性质和定理，考查学生的空间想象能力和推理判断能力.9．A解析：A【解析】(,)x y 到坐标原点的距离，又原点到直线250x y ++=的距离为d ==A.10．A解析：A【解析】【分析】设BC 的中点是E ，连接DE ，由四面体A′BCD 的特征可知，DE 即为球体的半径.【详解】设BC 的中点是E ，连接DE ，A′E，因为AB ＝AD ＝1，BD 由勾股定理得：BA⊥AD又因为BD⊥CD，即三角形BCD 为直角三角形所以DE 为球体的半径2DE =2432S ππ== 故选A【点睛】 求解球体的表面积、体积的问题，其实质是求球体的半径，解题的关键是构造关于球体半径R 的方程式，构造常用的方法是构造直角三角形，再利用勾股定理建立关于半径R 的方程.11．D解析：D【解析】设直四棱柱1111ABCD A B C D -中，对角线119,15AC BD ==， 因为1A A ⊥平面,ABCD AC Ì,平面ABCD ，所以1A A AC ⊥，在1Rt A AC ∆中，15A A =，可得221156AC AC A A =-=, 同理可得2211200102BD D B D D =-==，因为四边形ABCD 为菱形，可得,AC BD 互相垂直平分，所以2211()()1450822AB AC BD =+=+=，即菱形ABCD 的边长为8， 因此，这个棱柱的侧面积为1()485160S AB BC CD DA AA =+++⨯=⨯⨯=， 故选D.点睛：本题考查了四棱锥的侧面积的计算问题，解答中通过给出的直四棱柱满足的条件，求得底面菱形的边长，进而得出底面菱形的底面周长，即可代入侧面积公式求得侧面积，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，其中正确认识空间几何体的结构特征和线面位置关系是解答的关键.12．B解析：B【解析】【分析】【详解】设正方体的棱长为，则，所以，.又直线与平面所成的角小于等于，而为钝角，所以的范围为，选B.【考点定位】空间直线与平面所成的角.二、填空题13．【解析】【分析】利用条件两两垂直且把三棱锥扩展为正方体球的直径即是正方体的体对角线长由球的表面积公式求解【详解】先把三棱锥扩展为正方体则正方体的体对角线的长为所以球的半径为所以球的表面积为【点睛】本 解析：3π【解析】 【分析】利用条件PA ，PB ，PC 两两垂直，且1PA PB PC ===把三棱锥P ABC -扩展为正方体，球的直径即是正方体的体对角线长，由球的表面积公式求解． 【详解】先把三棱锥P ABC -3,所以球的半径为3 所以球的表面积为234π3π2⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查了球的体积公式：343V r π=球（其中r 为球的半径）及长方体的体对角线长公式：222l a b c =++,,a b c 分别是长方体的长、宽、高）．14．【解析】【分析】棱与平面所成的角相等所以平面就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面之一设出棱长即可求出【详解】因为棱与平面所成的角相等所以平面就是与正方体的条棱的夹角均为的平面设棱长为：易知故答案 3【解析】 【分析】棱11111,,A A A B A D 与平面11AB D 所成的角相等，所以平面11AB D 就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面之一，设出棱长，即可求出sin θ. 【详解】因为棱11111,,A A A B A D 与平面11AB D 所成的角相等，所以平面11AB D 就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面，1A AO θ∠=，设棱长为：1，126AO AO ==，易知232sin 36θ==. 故答案为：33【点睛】本题考查了线面所成的角，解题的关键是作出线面角，属于基础题.15．【解析】【分析】先求出两相交直线的交点设出平行于直线的直线方程根据交点在直线上求出直线方程【详解】联立直线的方程得到两直线的交点坐标平行于直线的直线方程设为则所以直线的方程为：故答案为：【点睛】本题 解析：1934011x y ++= 【解析】 【分析】先求出两相交直线的交点，设出平行于直线3470x y +-=的直线方程，根据交点在直线上，求出直线方程. 【详解】联立直线的方程23103470x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，得到两直线的交点坐标135(,)1111-，平行于直线3470x y +-=的直线方程设为340x y c ++=， 则1353()4()+01111c ⋅-+⋅= 所以直线的方程为：1934011x y ++= 故答案为：1934011x y ++= 【点睛】本题考查了直线的交点，以及与已知直线平行的直线方程，考查了学生概念理解，转化与划归的能力，属于基础题.16．【解析】【分析】将小正方体扩展成4个小正方体根据直线夹角的定义即可判断出符合条件的条数【详解】解：设ABCD ﹣A1B1C1D1边长为1第一条：AC1是满足条件的直线；第二条：延长C1D1到C1且D1 解析：4【解析】 【分析】将小正方体扩展成4个小正方体，根据直线夹角的定义即可判断出符合条件的条数． 【详解】解：设ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1边长为1． 第一条：AC 1是满足条件的直线；第二条：延长C 1D 1到C 1且D 1C 2＝1，AC 2是满足条件的直线； 第三条：延长C 1B 1到C 3且B 1C 3＝1，AC 3是满足条件的直线； 第四条：延长C 1A 1到C 4且C 4A 12=，AC 4是满足条件的直线．故答案为4． 【点睛】本题考查满足条件的直线条数的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查分类与整合思想，是基础题．17．【解析】若直线与直线的交点位于第一象限如图所示：则两直线的交点应在线段上（不包含点）当交点为时直线的倾斜角为当交点为时斜率直线的倾斜角为∴直线的倾斜角的取值范围是故答案为解析：(,)62ππ【解析】若直线:3l y kx =2360x y +-=的交点位于第一象限，如图所示：则两直线的交点应在线段AB 上（不包含,A B 点）, 当交点为()0,2A 时，直线l 的倾斜角为2π，当交点为()3,0B 时，斜率()03330k --==-，直线l 的倾斜角为6π ∴直线的倾斜角的取值范围是,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭． 故答案为,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭ 18．（24）【解析】【分析】【详解】取四边形ABCD 对角线的交点这个交点到四点的距离之和就是最小值可证明如下：假设在四边形ABCD 中任取一点P 在△APC 中有AP ＋PC ＞AC 在△BPD 中有PB ＋PD ＞BD解析：（2，4） 【解析】 【分析】 【详解】取四边形ABCD 对角线的交点，这个交点到四点的距离之和就是最小值．可证明如下： 假设在四边形ABCD 中任取一点P ，在△APC 中，有AP ＋PC ＞AC ，在△BPD 中，有PB ＋PD ＞BD ，而如果P 在线段AC 上，那么AP ＋PC ＝AC ；同理，如果P 在线段BD 上，那么BP ＋PD ＝BD.如果同时取等号，那么意味着距离之和最小，此时P 就只能是AC 与BD 的交点． 易求得P(2,4)．19．62【解析】试题分析：由题意得抛物线的准线为x=-c 它正好经过双曲线的左焦点所以准线被双曲线截得的弦长为2b2a 所以2b2a=223be2即ba=23e2所以整理得2e4-9e2+1=0解得e=62 解析：【解析】试题分析：由题意，得抛物线的准线为，它正好经过双曲线的左焦点，所以准线被双曲线截得的弦长为，所以，即，所以，整理，得，解得或．又过焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，所以．考点：1、抛物线与双曲线的几何性质；2、直线与双曲线的位置关系．【方法点睛】关于双曲线的离心率问题，主要是有两类试题：一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的范围．基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中的关系式，求值问题就是建立关于的等式，求取值范围问题就是建立关于的不等式．20．【解析】分析：画出图形（如图）根据圆的性质可得然后可将问题转化为切线长最小的问题进而转化为圆心到直线距离的最小值的问题处理详解：根据题意画出图形如下图所示由题意得圆的圆心半径是由圆的性质可得四边形的解析：【解析】分析：画出图形（如图），根据圆的性质可得2PBC PACB S S =V 四边形，然后可将问题转化为切线长最小的问题，进而转化为圆心到直线距离的最小值的问题处理． 详解：根据题意画出图形如下图所示．由题意得圆22:20C x y y +-=的圆心()0,1，半径是1r =，由圆的性质可得2PBC PACB S S =V 四边形，四边形PACB 的最小面积是2， ∴PBC S V 的最小值112S rd ==（d 是切线长）， ∴2d =最小值，∵圆心到直线的距离就是PC 的最小值，==又0k >， ∴2k =．点睛：本题考查圆的性质、切线长定理的运用，解题时注意转化思想方法的运用，结合题意将问题逐步转化为点到直线的距离的问题处理．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②11． 【解析】试题分析：（1）要证明//EF 平面PAB ，可以先证明平面//EF MA ，利用线面平行的判定定理，即可证明//EF 平面PAB ；（2）①要证明平面PBC ⊥平面ABCD ，可用面面垂直的判定定理，即只需证明PB ⊥平面ABCD 即可；②由①BE ⊥平面PBC ，所以FEB ∠为直线EF 与平面PBC 所成的角，由PB =ABP ∠为直角，即可计算,AM EF 的长度，在Rt EBF ∆中，即计算直线EF 与平面PBC 所成的角的正弦值．试题解析：（1）证明：如图，取PB 中点M ，连接MF ，AM ． 因为F 为PC 中点，故MF ∥BC 且MF ＝12BC ．由已知有BC ∥AD ，BC ＝AD ． 又由于E 为AD 中点，因而MF ∥AE 且MF ＝AE ，故四边形AMFE 为平行四边形， 所以EF ∥AM ．又AM ⊂平面PAB ，而EF ⊄平面PAB ，所以EF ∥平面PAB ． （2）①证明：如图，连接PE ，BE ．因为PA ＝PD ，BA ＝BD ，而E 为AD 中点，故PE ⊥AD ，BE ⊥AD ， 所以∠PEB 为二面角P －AD －B 的平面角．在△PAD 中，由PA ＝PD AD ＝2，可解得PE ＝2．在△ABD 中，由BA ＝BD ，AD ＝2，可解得BE ＝1．在△PEB 中，PE ＝2，BE ＝1，∠PEB ＝60°，由余弦定理，可解得PB 从而∠PBE ＝90°，即BE ⊥PB ．又BC ∥AD ，BE ⊥AD ，从而BE ⊥BC ，因此BE ⊥平面PBC ． 又BE ⊂平面ABCD ，所以平面PBC ⊥平面ABCD ．②连接BF ．由①知，BE ⊥平面PBC ，所以∠EFB 为直线EF 与平面PBC 所成的角．由PB 及已知，得∠ABP 为直角．而MB ＝12PB ＝2，可得AM ＝2，故EF ＝2．又BE ＝1，故在Rt △EBF 中，sin ∠EFB ＝BE EF ＝11．所以直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值为21111．考点：直线与平面平行的判定及直线与平面垂直的判定与性质；直线与平面所成角的求解．【方法点晴】本题主要考查了直线与平面平行的判定及直线与平面垂直的判定与性质，直线与平面所成角的求解，熟练掌握线面位置关系的判定定理与性质定理是解答基础，同时根据题设条件确定直线与平面所成的角是解答的关键，本题的第二问的解答中，根据BE ⊥平面PBC ，可以确定FEB ∠为直线EF 与平面PBC 所成的角，可放置在Rt EBF ∆中，即计算直线EF 与平面PBC 所成的角的正弦值．22．(Ⅰ)见解析； (Ⅱ) 23ABCDE V = 【解析】 【分析】（1）推导出AE ⊥CD ，CD ⊥AD ，从而CD ⊥平面ADE ，再由AB ∥CD ，能证明AB ⊥平面ADE ．（2）凸多面体ABCDE 的体积V=V B-CDE +V B-ADE ，由此能求出结果． 【详解】（1）证明：,AE CDE CD CDE ⊥⊂平面平面,AE CD ∴⊥又在正方形ABCD 中，CD AD ⊥AE AD A ⋂= CD ADE ∴⊥平面,又在正方形ABCD 中，//AB CD∴ //AB 平面ADE .(2) 连接BD ，设B 到平面CDE 的距离为h ，//,,AB CD CD CDE ⊂Q 平面//AB CDE ∴平面，又AE CDE ⊥平面， ∴ h AE = 1=又11241322CDE S CD DE ∆=⨯=⨯-=133133B CDE V -∴==又111123323B ADE ADE V S AB -∆=⨯⨯=⨯⨯=所以ABCDE V = 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查多面体的体积的求法，是中档题，注意空间思维能力的培养．23．（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）见证明 【解析】 【分析】（Ⅰ）先证明PO ⊥平面BCD ，再证明平面PBD ⊥平面BCD ；（Ⅱ）先证明//OM DC .再证明//OM 平面PCD . 【详解】（Ⅰ）因为//AD BC ，2BC AD =，所以2CO AO =， 所以6CO =，3AO =.即3PO =，又因为PC =PO CO ⊥ . 因为AC BD ⊥于点O ，所以PO BD ⊥. 又因为BD OC O ⋂=，所以PO ⊥平面BCD . 又因PO ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面BCD . （Ⅱ）因为//AD BC ，2BC AD =，所以2BODO=， 又因为2BM CM =，因此BO BMDO CM=，所以//OM DC . 又因为OM ⊄平面PCD ，DC ⊂平面PCD ， 所以//OM 平面PCD . 【点睛】本题主要考查线面平行和面面垂直的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.24．（1）()()22111x y -+-=；（2）2x =和3460x y -+=. 【解析】 【分析】()1设圆C 的半径为r ，根据圆心坐标写出圆的标准方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l 的距离即为弦心距，然后根据垂径定理得到其垂足为弦的中点，由弦长的一半，圆心距及半径构成的直角三角形，根据勾股定理列出关于r 的方程，求出方程的解即可得到r 的值，从而确定圆C 的方程；()2当切线方程的斜率不存在时，显然得到2x =为圆的切线；当切线方程的斜率存在时，设出切线的斜率为k ，由p 的坐标和k 写出切线方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到所设直线的距离d ，根据直线与圆相切，得到d 等于圆的半径，列出关于k 的方程，求出方程的解即可得到k 的值，从而确定出切线的方程，综上，得到所求圆的两条切线方程. 【详解】（1）设圆C 的标准方程为： ()()22211x y r -+-= (0)r > 圆心()1,1C 到直线10x y +-=的距离：d ==则22211122r d =+=+=⎝⎭∴圆C 的标准方程： ()()22111x y -+-=（2）①当切线斜率不存在时，设切线： 2x =，此时满足直线与圆相切. ②当切线斜率存在时，设切线： ()32y k x -=-，即23y kx k =-+ 则圆心()1,1C 到直线230kx y k --+=的距离：1d ==解得： 43k =，即34k =则切线方程为： 3460x y -+=综上，切线方程为： 2x =和3460x y -+= 25．（1）证明见解析；（2）3. 【解析】 【分析】（1）平面AOB ⊥平面AOC ，OC OA ⊥，可证OC ⊥平面AOB ，即可证明结论； （2）取OB 中点E ，连DE ，则//DE AO ，CDE ∠（或补角）为异面直线AO 与CD 所成的角，解Rt CDE ∆，即可求出结论. 【详解】（1）平面AOB ⊥平面AOC ，平面AOB I 平面AOC OA =，,OC OA OC ⊥⊂平面,AOC OC ∴⊥平面AOB ，OC ⊂Q 平面,COD ∴平面COD ⊥平面AOB ；（2）取OB 中点E ，连DE ，D 为AB 的中点，//DE AO ∴，CDE ∠（或补角）为异面直线AO 与CD 所成的角，,,,OA OB OA OC OB OC O OA ⊥⊥=∴⊥Q I 平面BOC ，DE ∴⊥平面BOC ，CE ⊂平面,BOC DE CE ∴⊥，在Rt AOB V 中，30OAB ∠=︒，斜边4AB =，2223,2,3,()52OB OA OB OC DE CE OC ∴===∴==+=， 15tan 3CE CDE DE ∴∠==， 所以异面直线AO 与CD 所成角的正切值为153.【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面垂直，注意空间垂直间的相互转化，求异面直线所成的角，要掌握空间角的解题步骤，“做”“证”“算”缺一不可，考查直观想象能力，属于中档题. 26．（1）见解析（2）23【解析】 【分析】（1）连接BF ，证明四边形1BMD F 是平行四边形即可得出1//D M BF ，故1//MD 平面BEFD ；（2）根据M BDE E BDM V V --=求出M 到平面BEFD 的距离．【详解】解：（1）证明：连接BF ， ∵111111111111////22D F A B D F A B BM A B BM A B ==，，，， ∴11//D F BM D F BM =，， ∴四边形1BMD F 是平行四边形， ∴1//D M BF ，又1D M ⊄平面BEFD ，BF ⊂平面BEFD ， ∴1//MD 平面BEFD ． （2）解：连接ED EM DM ，，， 则112122323E BDM V -=⨯⨯⨯⨯=， 又22221111122253BD BE BB B E DE D C C E ===+==+=，，，∴22210cos210BD BE DEDBEBD BE+-∠==⋅，∴310sin10DBE∠=．∴131022532BDES=⨯⨯⨯=V，设M到平面BEFD的距离为d，则12333M BDEV d-=⨯⨯=，∴23d=．即M到平面BEFD的距离为23．【点睛】本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．。
2019-2020学年吉林省长春市高一(下)期中数学试卷(附详解)
2019-2020学年吉林省长春市高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.直线3x−√3y+1=0的倾斜角是()A. 30°B. 60°C. 120°D. 135°2.下列不等式中成立的是()A. 若a>b，则ac2>bc2B. 若a>b，则a2>b2C. 若a<b<0，则a2<ab<b2D. 若a>b，则a3>b33.在△ABC中，若sin2A+sin2B<sin2C，则△ABC的形状是()A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定4.不等式x(4−x)<3的解集为()A. {x|x<1或x>3}B. {x|x<0或x>4}C. {x|1<x<3}D. {x|0<x<4}5.已知圆的一条直径的端点分别是A(0,0)，B(2,4)，则此圆的方程是()A. (x−1)2+(y−2)2=5B. (x−1)2+(y−2)2=25C. (x−5)2+y2=5D. (x−5)2+y2=256.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=4，a4=2，则S5=()A. 0B. 10C. 15D. 307.设等比数列{a n}满足a1+a2=3，a1−a3=−3，则a4=()A. 8B. 16C. 24D. 488.点A(cosθ,sinθ)到直线3x+4y−4=0距离的最大值为()A. 15B. 45C. 1D. 959.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果2b=a+c，B=30°，△ABC面积为32，那么b等于()A. 1+√32B. 1+√3 C. 1+√22D. 2√310.己知两点A(1,2)，B(3,6)，动点M在直线y=x上运动，则|MA|+|MB|的最小值为()A. 2√5B. √26C. 4D. 511.已知数列{a n}中，a n+1=3S n，则下列关于{a n}的说法正确的是()A. 一定为等差数列B. 一定为等比数列C. 可能为等差数列，但不会为等比数列D. 可能为等比数列，但不会为等差数列12.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则3a+c的最小值为()A. 6B. 4+2√3C. 9D. 6+4√3二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.直线y=kx−2k+3必过定点，该定点为______．14.设数列{b n}为等比数列．若b n>0，且b5b6+b4b7=4，则b1b2…b10=______．15.已知圆C的方程为x2+y2−4x+2my+2m2−2m+1=0.则实数m的取值范围______．16.已知数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，数列{a n b n}的前n项和为n⋅3n+1.若a1=3，则数列{a n}的通项公式为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知直线l1：ax+2y+6=0，直线l2：x+(a−1)y+a2−1=0．(Ⅰ)求a为何值时，l1//l2；(Ⅱ)求a为何值时，l1⊥l2．18.已知等差数列{a n}中a1=−12，a3=−8．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式a n；(Ⅱ)当n取何值时，数列{a n}的前n项和S n取得最值，并求出最值．19.在△ABC中，a=3，b−c=2，cosB=−12．(1)求b，c的值；(2)求sin(B+C)的值．20.已知关于x一元二次不等式x2+2mx+m+2≥0的解集为R．(1)求函数f(m)=m+3m+2的最小值；(2)求关于x的一元二次不等式x2+(m−3)x−3m>0的解集．21.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a−cb−c =sinBsinA+sinC．(1)求角A的大小；(2)若a=2，求b+c的取值范围．22.数列{a n}中，a1=12，a n=2a n+1−(12)n(n∈N∗)，数列{b n}满足b n=2n⋅a n(n∈N∗).(Ⅰ)求证：数列{b n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设c n=log2na n ，求数列{2c n c n+2}的前n项和T n．答案和解析1.【答案】B=√3，【解析】解：直线3x−√3y+1=0的斜率为k=√3∴tanα=√3，∴倾斜角是60°．故选：B．根据直线求出它的斜率，再求出倾斜角．本题考查了根据直线方程求倾斜角的问题，是基础题．2.【答案】D【解析】解：对于选项A：当c=0时，由于a>b，所以c2(a−b)=0，故选项A错误．对于选项B：由于a>b，当a与b互为相反数时，a2−b2=(a+b)(a−b)=0，故选项B错误．对于选项C：a<b<0，所以a2>ab>b2，故选项C错误．)2+对于选项D：由于a>b，所以a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)=(a−b)[(a+b23b2]>0，故选项D正确．4故选：D．对于选项ABC，直接利用不等式的基本性质的应用进行判断，对于选项D利用配方法判断结果．本题考查的知识要点：不等式的基本性质，配方法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合应用在三角形的形状判断中的应用，属于基础题．由sin2A+sin2B<sin2C，结合正弦定理可得，a2+b2<c2，由余弦定理可得cosC=a2+b2−c22ab<0，可判断C为钝角，即可知三角形为钝角三角形．【解答】解：∵sin2A+sin2B<sin2C，由正弦定理可得，a2+b2<c2，由余弦定理可得cosC=a2+b2−c22ab<0，∴π2<C<π，C为钝角，∴△ABC是钝角三角形．故选：C．4.【答案】A【解析】解：根据题意，原不等式可以变形为x2−4x+3>0，⇒(x−1)(x−3)>0，⇒x<1或x>3，所以：不等式x(4−x)<3的解集为：{x|x<1或x>3}，故选：A．原不等式可以变形为x2−4x+3>0，结合其对应的二次函数y=x2−4x+3的二次函数，分析可得答案．本题考查一元二次不等式的解法，解题时要结合一元二次函数的性质进行分析，注意答案写成集合或区间的形式5.【答案】A【解析】解：根据题意，圆的一条直径的端点分别是A(0,0)，B(2,4)，则圆的圆心为AB的中点，即圆心的坐标为(1,2)；圆的半径r=12|AB|=12×√4+16=√5，则要求圆的标准方程为(x−1)2+(y−2)2=5；根据题意，由直径端点的坐标分析圆的圆心坐标以及半径，代入圆的标准方程分析可得答案．本题考查圆的标准方程，注意分析圆的圆心与半径，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：数列{a n }为等差数列，且a 2=4，a 4=2，所以由a 2+a 4=2a 3，得a 3=3， ∴S 5=a 1+a 52×5=2a 32×5=5a 3=5×3=15，故选：C ．由a 2+a 4=2a 3，再根据S 5于a 3的关系，可得．本题考查了等差数列的性质，等差数列的前n 项和，为基础题．7.【答案】A【解析】解：∵等比数列{a n }满足a 1+a 2=3，a 1−a 3=−3， ∴{a 1+a 1q =3a 1−a 1q 2=−3， 解得a 1=1，q =2， ∴a 4=a 1q 3=1×23=8． 故选：A ．利用等比数列通项公式列出方程组，求出a 1=1，q =2，由此能求出a 4．本题考查等比数列的第4项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】D【解析】解：点A(cosθ,sinθ)到直线3x +4y −4=0距离 为√9+16=√25≤|−5−4|5=95，即点A(cosθ,sinθ)到直线3x +4y −4=0距离的最大值为95，其中，tanα=34，α为锐角， 故选：D ．由题意利用点到直线的距离公式，辅助角公式，正弦函数的最值，求得点A(cosθ,sinθ)本题主要考查点到直线的距离公式，辅助角公式，正弦函数的最值，属于中档题．9.【答案】B【解析】解：因为2b=a+c，B=30°，所以△ABC面积为32=12acsinB=12acsin30°=14ac，解得ac=6，所以b2=a2+c2−2accos30°=(a+c)2−2ac−√3ac=4b2−6(2+√3)，解得b=√3+1．故选：B．由已知利用三角形的面积公式可求ac的值，进而利用余弦定理即可求解b的值，从而得解．本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：根据题意画出图形，如图所示；作点A关于直线y=x的对称点A′(2,1)，连接A′B，则|A′B|即为|MA|+|MB|的最小值，且|A′B|=√(3−2)2+(6−1)2=√26．故选：B．根据题意画出图形，结合图形求出点A关于直线y=x的对称点A′，则|A′B|是|MA|+|MB|的最小值．本题考查了平面上两点间的距离计算问题，是基础题．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查等差数列、等比数列的判断，考查学生分析解决问题的能力，正确分类讨论是关键．由条件可得S n+1=4S n，对S1分类讨论，即可得出结论．【解答】解：∵a n+1=3S n，∴S n+1−S n=3S n，∴S n+1=4S n，若S1=0，则数列{a n}为等差数列；若S1≠0，则数列{S n}为首项为S1，公比为4的等比数列，∴S n=S1⋅4n−1，此时a n=S n−S n−1=3S1⋅4n−2(n≥2)，即数列从第二项起，后面的项组成等比数列．综上，数列{a n}可能为等差数列，但不会为等比数列．故选：C．12.【答案】B【解析】解：由角平分线性质可知，AD CD =ca，在△ABD中，由余弦定理可得AD2=AB2+BD2−2×AB×BD×cos60°=c2+1−2×c×1×cos60°，在△BCD中，由余弦定理可得CD2=BD2+BC2−2×BD×BC×cos60°=a2+1−2×a×1×cos60°，∴c2+1−ca2+1−a =c2a2，化简得1a+1c=1，∴3a+c=(3a+c)(1a +1c)=4+3ac+ca≥4+2√3，当且仅当3a2=c2，即a=1+√33,c=1+√3时取等号．故选：B．由角平分线的性质可得ADCD =ca，再结合余弦定理可得c2+1−ca2+1−a=c2a2，化简可得1a+1c=1，本题考查解三角形和基本不等式的运用，考查最值的求解，考查运算求解能力，属于中档题．13.【答案】(2,3)【解析】解：直线y=kx−2k+3，即k(x−2)−y+3=0，令x−2=0，求得x=2，y=3，可得直线y=kx−2k+3必过定点(2,3)，故答案为：(2,3)．先分离参数k，再让参数的系数等于零，求得x、y的值，可得该定点的坐标．本题主要考查直线经过定点问题，属于基础题．14.【答案】32【解析】解：数列{b n}为等比数列．若b n>0，且b5b6+b4b7=4=2b5b6，∴b5b6=2，则b1b2…b10=(b5b6)5=25=32，故答案为：32．由题意利用等比数列的性质，先求出b5b6=2，从而得出结论．本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．15.【答案】(−1,3)【解析】解：圆C的方程为x2+y2−4x+2my+2m2−2m+1=0，即圆C：(x−2)2+(y+m)2=3+2m−m2，故有3+2m−m2>0，解得−1<m<3，故答案为：(−1,3)．把圆的一般方程化为标准方程，根据半径的平方大于零，求得m的范围．本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属于基础题．16.【答案】a n=2n+1【解析】解：数列{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列， 数列{a n b n }的前n 项和为n ⋅3n+1.若a 1=3，可得b 1=3，由a 1b 1+a 2b 2=2×27=54，即为(3+d)⋅3q =45，a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=3×81，即为(3+2d)⋅3q 2=189，解得d =2，q =3，则a n =2n +1，b n =3n ，检验：a n b n =(2n +1)⋅3n ，其前n 项和为S n =3⋅3+5⋅9+⋯+(2n +1)⋅3n ，3S n =3⋅9+5⋅27+⋯+(2n +1)⋅3n+1，相减可得−2S n =9+2(9+27+⋯+3n )−(2n +1)⋅3n+1=9+2⋅9(1−3n−1)1−3−(2n +1)⋅3n+1，化简可得S n =n ⋅3n+1．故答案为：a n =2n +1．数列{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列，可令n =1，2，3，解方程可得公差d ，公比为q ，再由数列的错位相减法求和，即可得到所求通项公式． 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查化简运算能力，属于基础题．17.【答案】解：(Ⅰ)∵要使l 1//l 2，∴{a ⋅(a −1)=1×22(a 2−1)≠6(a −1)，解得a =2或a =−1(舍去)， ∴当a =2时，l 1//l 2．(Ⅱ)∵要使l 1⊥l 2，∴a ⋅1+2⋅(a −1)=0，解得a =23，∴当a =23时，l 1⊥l 2．【解析】(Ⅰ)利用直线与直线平行的性质直接求解；(Ⅱ)利用直线与直线垂直的性质直接求解．本题考查直线方程的求法，考查直线与直线平行、直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)∵a1=−12，a3=−8∴公差d=a3−a13−1=2，∴a n=−12+(n−1)×2=2n−14(Ⅱ)S n=n×(−12)+n(n−1)2×2=n2−13n=(n−132)n−1694∴当n=6或n=7时，S n取最小值，最小值为−42．【解析】(Ⅰ)由a1=−12，a3=−8，可得公差d=a3−a13−1=2，即可得出．(II)利用求和公式、二次函数的单调性即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)∵a=3，b−c=2，cosB=−12．∴由余弦定理，得b2=a2+c2−2accosB=9+(b−2)2−2×3×(b−2)×(−12)，∴b=7，∴c=b−2=5；(2)在△ABC中，∵cosB=−12，∴sinB=√32，由正弦定理有：asinA =bsinB，∴sinA=asinBb =3×√327=3√314，∴sin(B+C)=sin(π−A)=sinA=3√314．【解析】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．(1)利用余弦定理可得b2=a2+c2−2accosB，代入已知条件即可得到关于b的方程，解方程即可；(2)sin(B+C)=sin(π−A)=sinA，根据正弦定理可求出sinA．20.【答案】解：(1)不等式x2+2mx+m+2≥0的解集为R，所以△=4m2−4(m+2)≤0，化简得m2−m−2≤0，解得−1≤m≤2，所以1≤m+2≤4，所以函数f(m)=m+3m+2=(m+2)+3m+2−2≥2√(m+2)⋅3m+2−2=2√3−2，当且仅当m+2=3m+2，即m=√3−2时取“=”；所以f(m)的最小值为2√3−2．(2)不等式x2+(m−3)x−3m>0，可化为(x+m)(x−3)>0，因为−1≤m≤2，所以−2≤−m≤1<3，所以该不等式的解集为(−∞,−m)∪(3,+∞)．【解析】(1)由不等式恒成立时△≤0，列不等式求出m的取值范围，再求出m+2的范围，利用基本不等式求f(m)的最小值．(2)不等式化为(x+m)(x−3)>0，比价−m和3的大小，写出不等式的解集．本题考查了不等式恒成立的问题以及不等式的解法和基本不等式应用问题，是中档题．21.【答案】解：(1)△ABC中，由a−cb−c =sinBsinA+sinC，利用正弦定理可得：a−cb−c =ba+c，化为：b2+c2−a2=bc；由余弦定理可得：cosA=b2+c2−a22bc =12，A∈(0,π)；∴A=π3；(2)在△ABC中，由正弦定理得asinπ3=bsinB=csinC，又a=2，所以b=4√33sinB，c=4√33sinC=4√33sin(2π3−B)，所以b+c=4√33sinB+4√33sin(2π3−B)=4√33(32sinB+√32cosB)=4sin(B+π6)；因为0<B <2π3，所以π6<B +π6<5π6， 所以12<sin(B +π6)≤1，所以b +c ∈(2,4]，即b +c 的取值范围是(2,4]．【解析】(1)△ABC 中，由正弦定理和余弦定理，可求得cosA ，则A 的值可确定；(2)△ABC 中，利用正弦定理与三角恒等变换，即可求得b +c 的取值范围． 本题考查了利用正余弦定理解三角形问题，是中档题．22.【答案】解：(Ⅰ)证明：由a n =2a n+1−(12)n ，即2n a n =2n+1a n+1−1． 而b n =2n a n ，∴b n =b n+1−1，即b n+1−b n =1．又b 1=2a 1=1，∴数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列，于是b n =1+(n −1)×1=n =2n a n ，∴a n =n 2n ；(Ⅱ)∵c n =log 2n a n =log 22n =n ，∴2cn c n+2=2n(n+2)=1n −1n+2， ∴T n =(1−13)+(12−14)+(13−15)+⋯+(1n−1−1n+1)+(1n −1n+2)=1+12−1n+1−1n+2=32−1n+1−1n+2．【解析】(Ⅰ)由等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；(Ⅱ)求得c n =log 2n a n =log 22n =n ，2c n c n+2=2n(n+2)=1n −1n+2，运用数列的裂项相消求和，可得所求和．本题考查等差数列的定义和通项公式，数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于基础题．。
吉林省高一下学期期中数学试卷
吉林省高一下学期期中数学试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2020 高二上·重庆月考) 已知数列 公式为（ ）满足，且，则数列 的通项A. B.C. D. 2. （2 分） 已知正项数列{an}中，a1=l，a2=2， A . 16 B.4 C.2 D . 45 3. （2 分） (2018·呼和浩特模拟) 已知关于 的不等式 取值范围是（ ） A. B. C. D.第 1 页 共 19 页（n≥2），则 a6=（ ） 存在唯一的整数解，则实数 的4.（2 分）(2018·郑州模拟) 等比数列 A.1中，，前 3 项和为，则公比 的值是（ ）B.C . 1或D.或5. （2 分） (2019 高二上·石门月考) 如图，在中， 是边 上的点，且，，，则的值为（ ）A. B. C.D. 6. （2 分） 在正项等比数列 中， A . 10000 B . 1000 C . 100 D . 10， 则 的值是（ ）第 2 页 共 19 页7. （2 分） (2019 高二上·四川期中) 在圆 AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面积为A.内，过点的最长弦和最短弦分别为B.C.D.8. （2 分） (2016 高二上·大连期中) 已知 A . 0 或﹣1 B . ﹣1 C.0 D . 不存在，a+1，a2﹣1 为等比数列，则 a=（ ）9. （2 分） (2019 高一下·吉林期中) 已知变量 ， 满足约束条件 小值为（ ）A.6 B.7 C.8 D.910. （2 分） (2018 高三上·沈阳期末) 定义在 上的函数若，，则，（）A.满足第 3 页 共 19 页，则的最且，B. C. D. 11. （2 分） 下列函数中，最小值为 4 的有多少个？（ ）①②A.4B.3C.2D.1（0＜x＜π）③y=ex+4e﹣x④y=log3x+4logx3．12. （2 分） (2017 高三上·廊坊期末) 已知 m＞0，n＞0，2m+n=1，则 + 的最小值为（ ） A.4B.2 C.8 D . 16二、 填空题 (共 4 题；共 5 分)13. （1 分） 已知 α，β 为锐角，且 sinα﹣sinβ=﹣ ，cosα﹣cosβ= ，则 tan（α﹣β）=________．14. （1 分） (2016 高三上·洛阳期中) 等差数列{an}中，Sn 为其前 n 项和，若 a5=10，S5=30，则 + ++…+=________．15. （2 分） (2019 高一上·和平月考) 已知集合，则________，________ .，集合，且第 4 页 共 19 页16. （1 分） (2016 高二下·衡水期中) 已知数列{an}满足 an=（2n﹣1）2n ， 其前 n 项和 Sn=________．三、 解答题 (共 6 题；共 45 分)17. （10 分） (2020 高二上·苏州期中) 已知数列 是 、 的等差中项．是公比的等比数列，若，且（1） 求数列 的通项公式；（2） 设 自然数 的最小值．，数列的前 项和为 ，若对恒成立，求满足条件的18. （5 分） (2018 高二上·沧州期中) 设命题 :实数 满足,其中,命题 实数 满足，若是的充分不必要条件,求实数 的取值范围.19. （5 分） (2019 高二上·衢州期末) 已知数列 ，，1 的等差数列.，且数列 为公差为（Ⅰ）求数列 、 的通项公式；（Ⅱ）设 围.，数列 的前 项和 ，对于一切，，求实数 的取值范20. （10 分） (2019 高三上·郴州月考) 在中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且向量与向量共线．（1） 求角 的大小；（2） 若，且，，求三角形的面积．21. （5 分） (2016 高一下·成都期中) △ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 cosA•cosC﹣cos（A+C） =sin2B．（Ⅰ）证明：a，b，c 成等比数列；（Ⅱ）若角 B 的平分线 BD 交 AC 于点 D，且 b=6，S△BAD=2S△BCD ， 求 BD．第 5 页 共 19 页22. （10 分） (2020 高二下·六安月考) 已知函数（1） 求不等式的解集；的最大值为 .（2） 若 、 、 均为正数，且满足，求证：.第 6 页 共 19 页一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)答案：1-1、 考点： 解析：参考答案答案：2-1、 考点： 解析：第 7 页 共 19 页答案：3-1、 考点： 解析：答案：4-1、 考点：第 8 页 共 19 页解析： 答案：5-1、 考点： 解析：答案：6-1、第 9 页 共 19 页考点： 解析： 答案：7-1、 考点： 解析：答案：8-1、 考点：解析：第 10 页 共 19 页答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共5分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共45分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
吉林省2020年高一下学期数学期中考试试卷D卷(精编)
吉林省 2020 年高一下学期数学期中考试试卷 D 卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)1. （2 分） 已知等比数列{an}中，各项都是正数，而且 a1, ,2a2 成等差数列，则=（ ）A.B.C.D.2. （2 分） (2020 高一下·佛山月考)的三内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c．设向量，．若，则 C 等于（ ）．A.B. C.D. 3. （2 分） (2017 高一下·滨海期末) 若 a＞b 且 c∈R，则下列不等式中一定成立的是（ ） A . a2＞b2 B . ac＞bc C . ac2＞bc2 D . a﹣c＞b﹣c 4. （2 分） 设 a、b、c 分别是△ABC 的三边长，且 a=4，b=5，c=7，则△ABC 是（ ）第1页共9页A . 直角三角形 B . 锐角三角形 C . 钝角三角形 D . 无法确定 5. （2 分） (2018 高一上·营口期中) 若存在 x＞1 使成立，则 a 的取值范围是（ ）A.B.C.D. 6. （2 分） (2019 高一上·丰台期中) 已知 a，b＞0，且 ab＝1，则（ ） A . a+b＞2 B . a+b≥2 C . a+b＜﹣2 D . a+b≤﹣27. （2 分） (2020 高一上·嘉兴期末) 已知平面向量 （）满足A.,且的夹角为 30°,则B.第2页共9页C.D. 8. （2 分） 已知等比数列， 则第四项为（ ）A.－B. C . －27 D . 279. （2 分） (2019 高二上·兰州期中) 数列 中，，则 为（ ）A . -3 B . -11 C . -5 D . 19 10. （2 分） 已知 f（x）=|2﹣x2|，若 0＜m＜n 时满足 f（m）=f（n），则 mn 的取值范围为（ ） A . （0，2） B . （0，2] C . （0，4]D . （0， ]二、 双空题 (共 4 题；共 4 分)11. （1 分） 已知点 A（1，2），B（2，5）， =2 ，则点 C 的坐标为________．12. （1 分） (2019 高三上·海淀月考) 在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 sinC＝2sinA，b2﹣a2ac，则 sinB 等于________．第3页共9页13. （1 分） (2020·徐州模拟) 已知数列 的前 项和为 ，且满足，________.14. （1 分） (2020 高一下·奉化期中) 已知函数，则：（1） 不等式的解集为________；（2） 若不等式的解集为 ，则 的取值范围为________三、 填空题 (共 3 题；共 3 分)15. （1 分） (2017 高一上·徐汇期末) 已知函数，则方程 f﹣1（x）=4 的解 x=________．16. （1 分） (2020·江西模拟) 已知数列前 项和为 ，则________.中，，且，，数列 的17. （1 分） (2016 高二下·长安期中) 在△ABC 中，设 AD 为 BC 边上的高，且 AD=BC，b，c 分别表示角 B，C所对的边长，则的取值范围是________．四、 解答题 (共 5 题；共 40 分)18. （5 分） 已知| |=| |=1， 与 的夹角为 120°，求：19. （10 分） (2019 高二上·遵义期中) 已知等差数列 满足，前 7 项和为（Ⅰ）求 的通项公式（Ⅱ）设数列 满足，求 的前 项和 .20. （5 分） (2018·枣庄模拟) 在中，分别为角的对边，已知，的面积为，又.（1） 求角 的大小；（2） 求的值.21. （10 分） (2017·莱芜模拟) 已知等比数列{an}满足 an+1+an=9•2n﹣1 ， n∈N* ．第4页共9页（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设 bn=nan ， 数列{bn}的前 n 项和为 Sn ， 若不等式 Sn＞kan﹣1 对一切 n∈N*恒成立，求实数 k 的取 值范围．22. （10 分） 已知 f（x）是定义在[﹣2，2]上的奇函数，且 f（2）=3．若对任意的 m，n∈[﹣2，2]，m+n≠0，都有＞0．（1） 判断函数 f（x）的单调性，并证明；（2） 若 f（2a﹣1）＜f（a2﹣2a+2），求实数 a 的取值范围；（3） 若不等式 f（x）≥5﹣2a 对任意 x∈[﹣2，2]恒成立，求实数 a 的取值范围．第5页共9页一、 单选题 (共 10 题；共 20 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、二、 双空题 (共 4 题；共 4 分)11-1、 12-1、 13-1、 14-1、 14-2、参考答案第6页共9页三、 填空题 (共 3 题；共 3 分)15-1、 16-1、 17-1、四、 解答题 (共 5 题；共 40 分)18-1、19-1、 20-1、 20-2、第7页共9页21-1、第8页共9页22-1、 22-2、 22-3、第9页共9页。
吉林省2020年高一下学期期中数学试卷C卷
吉林省2020年高一下学期期中数学试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共10题；共20分)1. （2分）已知 sin（+θ）=，，则tan（π﹣θ）的值为（）A .B .C .D .2. （2分）已知sin（﹣α）﹣cosα=，则cos（2α+）=（）A .B . -C .D . -3. （2分） (2019高一下·南海月考) 下列叙述正确的是（）A . 与是相同的数列B . 是常数列C . 数列的通项D . 数列是递增数列4. （2分）(2017·新乡模拟) 设函数f（x）=sin（2x+ ）（x∈[0， ]），若方程f（x）=a恰好有三个根，分别为x1 ， x2 ， x3（x1＜x2＜x3），则x1+x2+x3的取值范围是（）A . [ ，）B . [ ，）C . [ ，）D . [ ，）5. （2分） (2020高一下·莲湖期末) 将曲线上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到的曲线的对称中心为（）A .B .C .D .6. （2分）tan300°+的值是（）A . 1＋B . 1－C . －1－D . －1＋7. （2分） (2019高一下·哈尔滨期中) 已知等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，则（）A .B .C .D .8. （2分） (2020高三上·天津月考) 将函数的图象上所有点的纵坐标缩短为原来的，再把所得图象上的所有点向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数在处取得最大值，则函数的图象（）A . 关于点对称B . 关于点对称C . 关于直线对称D . 关于直线对称9. （2分） (2016高二上·和平期中) 已知{an}为等差数列，a4+a7=2，a5a6=﹣3，则a1a10=（）A . ﹣99B . ﹣323C . ﹣3D . 210. （2分） (2018高二下·邯郸期末) 已知函数（，，）的图像与轴交于点，在轴右边到轴最近的最高坐标为，则不等式的解集是（）A . ，B . ，C . ，D . ，二、填空题： (共7题；共10分)11. （1分） (2016高二上·昌吉期中) 一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．12. （2分） (2020高二下·嘉兴期中) 函数的部分图象如图所示，则 ________；对称轴方程为________.13. （1分）设cos2θ= ，则sin4θ+cos4θ的值是________．14. （2分）已知α，β为锐角，，则cos2β=________，α+2β=________．15. （1分）某种细菌在培养的过程中，每20min分裂一次（一个分裂为两个），经过3h，这样的细菌由一个分裂为 ________个．16. （1分） (2016高三上·朝阳期中) 函数f（x）=cos2x﹣sin2x的单调递减区间为________．17. （2分） (2020高一下·嘉兴期中) 在锐角中，角所对边为，已知，则 ________，的面积为________.三、解答题： (共5题；共50分)18. （10分） (2017高一上·昌平期末) 已知角α的终边与单位圆交于点P（，）．（1）求sinα、cosα、tanα的值；（2）求的值．19. （5分） (2020高一下·广东月考) 如图，扇形AOB，圆心角AOB等于60°，半径为2，在弧AB上有一动点P，过P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP＝θ，求△POC面积的最大值及此时θ的值.20. （15分） (2016高一下·北京期中) 已知函数f（x）=2sinx（sinx+ cosx）﹣1（其中x∈R），求：（1）函数f（x）的最小正周期；（2）函数f（x）的单调减区间；（3）函数f（x）图象的对称轴和对称中心．21. （10分）(2017·成都模拟) 已知等差数列{an}中，a2=6，a3+a6=27．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记数列{an}的前n项和为Sn ，且Tn= ，若对于一切正整数n，总有Tn≤m成立，求实数m的取值范围．22. （10分）(2018·许昌模拟) △ABC中，已知B＝2C，AB:AC＝2:3．（1）求cosC；（2）若AC＝，求BC的长度．。
吉林省“BEST合作体”2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题 (含答案)
“BEST 合作体”2020-2021学年度下学期期中考试高一数学试题2021年5月本试卷分客观题题和主观题两部分共22题，共150分，共2页。
考试时间为120分钟。
考试结束后，只交答题卡。
第Ⅰ卷 客观题一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设()2i 1i =-z ，则复数z 的实部和虚部之和为 A ．3B ．3-C ．1D ．1-2．已知平面向量a ()1,2m =+-，b ()3,3=-，若a //b ，则实数m 的值为 A ．0B ．3-C ．1D ．1-3．若i 12i =-z ，则z = A ．2i --B ．2i -+C ．i -D ．i4．ABC 的内角A ,B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若105A =︒，45B =︒，22b =则c 等于 A ．1B 2C 3D ．25．已知向量a 、b 满足|a |=1，|b |=2，向量a ，b 的夹角为3π，则|2a -b |的值为 A ．4B ．3C ．2D 36．在ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，它的面积为2224b c a +-，则角A 等于 A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒7．正方体1111ABCD A BC D -中，AB 的中点为M ，1DD 的中点为N ，则异面直线1B M 与CN 所成角的大小为A ．0︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒8．如图，AB 是单位圆O 的直径，且满足AC CD DB ==，则⋅=AC AD A ．1B ．32C 3D 39．在长方体1111ABCD A BC D -中，P 为BD 上任意一点，则一定有（ ） A ．1PC 与1AA 异面 B ．1PC 与1AC 垂直 C ．1PC 与平面11AB D 相交D ．1PC 与平面11AB D 平行10．蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、塌、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗传名录.已知某蹴鞠的表面上有四个点S 、A 、B 、C ，满足S ABC -为正三棱锥，M 是SC 的中点，且AM SB ⊥，侧棱2SA =，则该蹴鞠的表面积为（ ）A ．6πB ．12πC ．32πD ．36π二、选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 11．已知直线//a 平面α，直线//b 平面α，则直线,a b 可能（ ） A ．平行B ．异面C ．相交D ．垂直12．某人向正东方向走了x km 后向右转了150°，然后沿新方向走了3km ，结果离出发点恰3km ，则x 的值为（ ） A 3B ．3C ．2D ．3第Ⅱ卷 主观题三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.双空题只填对一个得3分，全对得5分. 13．已知i 是虚数单位，复数i1=z ，则||z =________．14．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知231,60,===a C b ABC 的面积为_____________.15．圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱体积之比为________，球的表面积与圆柱的侧面积之比为________．16．黄金分割比是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部51-．由于按此比例设计的造型十分美观，因此称为黄金分割比．例如中国人民解放军军徽，为镶有金色黄边的五角红星．如图，已知正五角星内接于圆O ，36∠=︒CAD ，点S 为线段AD 的黄金分割点，则sin18︒=______，若圆O 的半径为2，PQ为圆O 的一条弦，以PQ 为底边向圆外作等腰三角形PQM ，且36PMQ ∠=︒，则OM 的最大值为______．四、解答题：本题共6题，共70分.其中17题10分，其余题目均12分. 17．已知向量a =(1,3)， b =(3,)m . （1）若⊥a b ，求|+a b |；（2）若3m =-，求向量a 与b 的夹角.18．设复数i z a =+（i 是虚数单位，a R ∈，0a >），且10z = （Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）在复平面内，若复数i1im z ++-()m R ∈对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围．19．已知如图所示的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 、A 1C 的中点.（1）求证：EF ∥平面ADD 1A 1； （2）求证：EF ⊥平面A 1DC ．20．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且(23)cos 2cos 0b c A a B -+=. （1）求cos A 的值；（2）若3,5a b c =+=，求ABC ∆的面积.21．如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点E 是底面圆周上异于,A B 的一点，AF DE ⊥，F 是垂足. （1）证明：AF DB ⊥；（2）若2AB =，当三棱锥D ABE -体积最大时，求点C 到平面BDE 的距离.22.（1）叙述并证明余弦定理；（2）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，证明：cos cos =+a b C c B .“BEST 合作体”2020-2021学年度下学期期中考试高一数学试题答案2021年5月一、二、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1到10题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 11、12题全选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分. 题号 123456789101112答案 B C A D C B D B D B ABCD AB三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.双空题填对一个得3分，全对得5分.13. 1 14.12 15. 2:3 1:1 16. 51- 252+四、解答题：本题共6题，共70分.其中17题10分，其余题目均12分.17． 【解析】 （1）⊥a b ，0∴⋅=a b ，1m ∴=-，()13,31a b +=+-22(13)(13)22∴+=++-=a b5分（2）设所求夹角为θ，3,(3,3)=-=-m b ∴1cos 2a b a b θ⋅==-，∵[]0,θπ∈，∴23πθ=. 10分18． 【解析】（Ⅰ）∵z a i =+，10z =|， ∴2110z a =+=，即29a =，解得3a =±，又∵0a >， ∴3a =， ∴3z i =+．4分（Ⅱ）∵3z i =+，则3z i =-， ∴()()()()151311122m i i m im m z i i i i i ++++-+=-+=+--+ 又∵复数1m iz i++-（m R ∈）对应的点在第四象限， ∴52{102m m +>-< 得5{1m m >-< ∴﹣5＜m ＜1 12分19．证明：（1）如图，连接AD 1，设AD 1∩A 1D ＝O ，连接OF ， 则由正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1可得：点O 是A 1D 的中点，因为点F 是A 1C 的中点，所以OF //DC 且12OF DC =. 又E 是AB 的中点，所以AE //DC 且12AE DC = 所以OF //AE 且OF AE =则四边形AEFO 是平行四边形，所以EF ∥AO ， 而AO ⊂平面ADD 1A 1，EF ⊄平面ADD 1A 1，所以EF ∥平面ADD 1A 1. 6分（2）由正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1可得：DC ⊥平面ADD 1A 1， 而AD 1⊂平面ADD 1A 1，所以DC ⊥AD 1，又AD 1⊥A 1D ，且A 1D ∩DC ＝D ，DC ⊂平面A 1DC ，A 1D ⊂平面A 1DC ， 所以AD 1⊥平面A 1DC. 再由（1）可知：EF ∥AD 1，所以EF ⊥平面A 1DC. 12分20．（1）23；（2）45. 【详解】（1）(23)cos 2cos 0b c A a B -+=，所以2sin cos 3sin cos 2sin cos 0B A C A A B -+=， 所以2(sin cos sin cos )3sin cos A B B A C A +=，即2sin()3sin cos A B C A += 因为A B C π++=，所以sin()sin 0A B C +=≠，所以3cos 2A =， 即2cos 3A =. 6分（2）因为2cos 3A =，所以5sin 3A =. 由余弦定理可得2222102cos ()3a b c bc A b c bc =+-=+-，因为3,5a b c =+=，所以2210353bc =-，解得245bc =. 故ABC ∆的面积为1124545sin 225bc A =⨯⨯=. 12分21．（1）由圆柱性质可知，DA ⊥平面ABE ，EB ⊂平面AEB ，DA EB ∴⊥，AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上，AE EB ∴⊥，又AE DA A ⋂=，BE ∴⊥平面DAE ，AF ⊂平面DAE ，EB AF ∴⊥，又AF DE ⊥，且EB DE E =，AF ∴⊥平面DEB ，DB ⊂平面DEB ，AF DB ∴⊥；6分（2）13D AEB AEBV S DA -=⨯⨯，3DA =，当D AEB V -最大时，即AEBS最大，即AEB △是等腰直角三角形时，2DA AB ==∵，2BE ∴=，()22226DE =+=，并且点E 到平面ABCD 的距离就是点E 到直线AB 的距离112AB =, 设点C 到平面EBD 的距离为h ，则1111262213232C DBE E CBD V V h --==⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，解得：233h = 12分22．（1）解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍. 2分在△ABC 中，a ，b ，c 为A ，B ，C 的对边，求证：2222cos a b c bc A =+-，2222cos b c a ca B =+-，2222cos c a b ab C =+-.4分证明 ：如图，22a BC =()()AC AB AC AB =-•-222AC AC AB AB =-⋅+222cos AC AC AB A AB =-•+222cos b bc A c =-+即2222cos a b c bc A =+-同理，2222cos b c a ca B =+-，2222cos c a b ab C =+-8分（2）222222cos cos =22a b c a c b b C c B a a a+-+-++=12分。