高一数学平面向量知识点复习PPT课件
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高中数学高一平面向量优秀课件(精品).ppt
练习： 在质量、重力、速度、加速度、身 高、面积、体积这些量中，哪些是 数量？哪些是向量？
数量有：质量、身高、面积、体积
向量有：重力、速度、加速度
2020/3/20
BACK
在下列结论中，哪些是正确的？ （1）如果两个向量相等，那么它们的起点和终
点分别重合； （2）模相等的两个平行向量是相等的向量； （3）如果两个向量是单位向量，那么它们相等； （4）两个相等向量的模相等。
• 最先使用有向线段表示向量的是英国大 科学家牛顿。
2020/3/20
2020/3/20
复习回顾： 平面向量
这是什么? 向量
1、定义：既有大小又有方向的量。
几何表示法:用有向线段表示
字母表示法： 用小写字母表示，或者用表示向量的 有向线段的起点和终点字母表示。 相等向量：长度相等且方向相同的向量
A
段表示的向量中请分别写出
（1）与向量CD共线的向量有__7_个, E
F
分别是__D_C_,D_B_,_B_D_,F_E_,E_F_, _C_B_, B__C____；
（2）与向量DF的模一定相等的向 B
量有_5_个,分别是___F_D_,E__B_,B_E__,E_A_,_A_E__；
D
C
（3）与向量DE相等的向量有__2个,
不一定
2020/3/20
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练习
1、与零向量相等的向量一定是什么向量？
零向量
2、与任意向量都平行的向量是什么向量？
零向量
2020/3/20
BACK
练习 1、若两个向量在同一直线上，则这两个
向量是什么向量？
共线向量 或者说平行向量
2、共不线一向定量一定在一条直线上吗？
高一数学《平面向量基本定理》(课件)
A
C
a
e1
e1
OB
A' e 2
(3)继续旋a的 转位置，如下图 又该如何构成平形行 ？四边
C
B' a
e
2
A
e1
e1
OB
A' e 2
(3)继续旋a的 转位置，如下图 又该如何构成平形行 ？四边
C
B' a
e
2
A
e1
e1
O A'
M
e
2
B
(3)继续旋a的 转位置，如下图 又该如何构成平形行 ？四边
(3)继续旋a的 转位置，如下图 又该如何构成平形行 ？四边
N
M
C
B' a
e
2
A
e1
e1
O A'
M
e
2
B
C
a
A
e1
a
O
C'
e2B
(3)继续旋a的 转位置，如下图 又该如何构成平形行 ？四边
N
M
C
B' a
e
2
A
e1
e1
O A'
M
e
2
B
Cห้องสมุดไป่ตู้
a
A
e1
a
O
C'
e2B
N
平面向量基本定理:
平面向量基本定理:
N
C
B' a
e
2
A
e1
e1
O A'
M
e
2
B
(3)继续旋a的 转位置，如下图 又该如何构成平形行 ？四边
高一数学平面向量PPT精品课件
5.1
如图中的小船，由A地向 西北方向航行15n mile （海里）到达B地。在这 里，如果仅指出“由A地 航行15n mile”，而不 指明“向西北方向”航 行，那么小船就不一定 到达B地了。
位移是一个既有大小又有方向的量，这种量就是本 章所要研究的向量。
有向线段：在线段的两个端
点中，规定一个顺序，假设 A为起点，B为终点，就说 线段AB具有方向，具有方 向的线段叫做有向线段。
汇报人：XXX
时间：20XX.XX.XX
2021/02/23
7
a
b
C
O BA
c
例 如图，设O是正六边形的中心，分别写出图 中与向量 OA,OB相,OC 等的向量.
解：
B
A
O A C B D O ;
O D F O .
D
F E
THANKS FOR WATCHING
谢谢大家观看
为了方便教学与学习使用，本文档内容可以在下载后随意修改，调整。欢迎下载！
有关向量的概念：
➢ 向量长度：向量的大小，亦称模.
➢ 零向量：长度为零的向量. ➢ 单位向量：长度等于1个单位长度的向量. ➢ 相等向量：长度相等且方向相等的向量.
平行向量：方向相同或相反的非零向量. 共线向量：即平面向量. 如图，任作一条与a所在直线平行的直线l，在l上任 取一点O，则可在l上分别作出 O A a ,O B b ,O C c 任一组平行向量都可平移到同一直线上.
B（终点） A（起点）
表示方法：以A为起点，B为终点的有向线段记作 AB
三要素：起点—起点一定在终点前面 方向—在有向线段的终点处画上箭头表 示方向
长度—已知AB，线段AB的长度,记作| AB |
如图中的小船，由A地向 西北方向航行15n mile （海里）到达B地。在这 里，如果仅指出“由A地 航行15n mile”，而不 指明“向西北方向”航 行，那么小船就不一定 到达B地了。
位移是一个既有大小又有方向的量，这种量就是本 章所要研究的向量。
有向线段：在线段的两个端
点中，规定一个顺序，假设 A为起点，B为终点，就说 线段AB具有方向，具有方 向的线段叫做有向线段。
汇报人：XXX
时间：20XX.XX.XX
2021/02/23
7
a
b
C
O BA
c
例 如图，设O是正六边形的中心，分别写出图 中与向量 OA,OB相,OC 等的向量.
解：
B
A
O A C B D O ;
O D F O .
D
F E
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有关向量的概念：
➢ 向量长度：向量的大小，亦称模.
➢ 零向量：长度为零的向量. ➢ 单位向量：长度等于1个单位长度的向量. ➢ 相等向量：长度相等且方向相等的向量.
平行向量：方向相同或相反的非零向量. 共线向量：即平面向量. 如图，任作一条与a所在直线平行的直线l，在l上任 取一点O，则可在l上分别作出 O A a ,O B b ,O C c 任一组平行向量都可平移到同一直线上.
B（终点） A（起点）
表示方法：以A为起点，B为终点的有向线段记作 AB
三要素：起点—起点一定在终点前面 方向—在有向线段的终点处画上箭头表 示方向
长度—已知AB，线段AB的长度,记作| AB |
高一数学平面向量知识点复习课件.ppt
P1P PP2，则
x
x1 x2 1
y
y1 y2 1
1
x
x1
x2 2
中点公式
y
y1 y2 2
2、平移公式
如果点P（x1，y2）按向量 a (h, k)
平移至 P(x, y)，则
x x h
y
y
k
例5 设P1（2，-1），P2（0，5），且P在直线
P1P2上使
，求点P 的坐标。
例3 设 a (3,2),b (,7),c (2, )，若
a 2b c，求，的值。
解：由已知条件，得：
a 2b =（3，2）-2（λ，7）
=（3-2λ，-12） =（-2，μ） ∴ 3-2λ=-2 μ=-12
∴ λ= 5 ，μ=-12 2
三、两个重要定理
1、向量共线充要条件
一个向实量数λb，与使非得零向量 a 共线的充要条件是有且只有
（2）当 k a b 与 a 3b平行时，存在唯一实数λ， 使 k a b=λ (a 3b，) 由（k-3，2k+2）= λ（10，-4）
k 3 10 2k 2 4
解得 k 1 , 1
3
3
反向
五、两个重要公式
1、定比分点坐标公式
设P（x，y），P1（x1，y1），P2（x2，y2），且
一、向量及其有关概念
有向线段
向量的几何表示 向量的模 零向量 单位向量 平行向量 向 共线向量 量 相等向量 相反向量
二、向量的运算
几 加法 何 减法 方 实数与向量的积
向法
量
的
运 算
坐 标
加法 减法 实数与向量的积
方 平面向量数量积
法
几何方法：
x
x1 x2 1
y
y1 y2 1
1
x
x1
x2 2
中点公式
y
y1 y2 2
2、平移公式
如果点P（x1，y2）按向量 a (h, k)
平移至 P(x, y)，则
x x h
y
y
k
例5 设P1（2，-1），P2（0，5），且P在直线
P1P2上使
，求点P 的坐标。
例3 设 a (3,2),b (,7),c (2, )，若
a 2b c，求，的值。
解：由已知条件，得：
a 2b =（3，2）-2（λ，7）
=（3-2λ，-12） =（-2，μ） ∴ 3-2λ=-2 μ=-12
∴ λ= 5 ，μ=-12 2
三、两个重要定理
1、向量共线充要条件
一个向实量数λb，与使非得零向量 a 共线的充要条件是有且只有
（2）当 k a b 与 a 3b平行时，存在唯一实数λ， 使 k a b=λ (a 3b，) 由（k-3，2k+2）= λ（10，-4）
k 3 10 2k 2 4
解得 k 1 , 1
3
3
反向
五、两个重要公式
1、定比分点坐标公式
设P（x，y），P1（x1，y1），P2（x2，y2），且
一、向量及其有关概念
有向线段
向量的几何表示 向量的模 零向量 单位向量 平行向量 向 共线向量 量 相等向量 相反向量
二、向量的运算
几 加法 何 减法 方 实数与向量的积
向法
量
的
运 算
坐 标
加法 减法 实数与向量的积
方 平面向量数量积
法
几何方法：
6.1平面向量的概念课件共34张PPT
探究点二 相等向量与共线向量
如图，O是正六边形DEF的中心，分别写出图中与向量
→ OA
，
O→B，O→C相等的向量，与向量A→D共线的向量．
解析： 与O→A相等的向量有C→B，D→O，E→F； 与O→B相等的向量有F→A，E→O，D→C； 与O→C相等的向量有A→B，F→O，E→D. 与向量A→D共线的向量有9个：D→A，E→F，F→E，A→O，O→A，O→D，D→O，B→C， → CB.
探究点三 向量的表示及应用 在蔚蓝的大海上，有一艘巡逻艇在执行巡逻任务．它首先从A点出
发向西航行了200 km到达B点，然后改变航行方向，向西偏北50°航行了 400 km到达C点，最后又改变航行方向，向东航行了200 km到达D点．此时， 它完成了此片海域的巡逻任务．
(1)作出A→B，B→C，C→D； (2)求|A→D|.
[对点训练] 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，EF是过点O 且平行于AB的线段，在所标的方向向量中： (1)写出与A→B共线的向量； (2)写出与E→F方向相同的向量； (3)写出与O→B，O→D的模相等的向量； (4)写出与E→O相等的向量．
解析： 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD∥EF，AD＝BC. (1)题干图中与A→B共线的向量有D→C，E→O，O→F，E→F. (2)题干图中与E→F方向相同的向量有A→B，D→C，E→O，O→F. (3)题干图中与O→B的模相等的向量为A→O，与O→D的模相等的向量为O→C. (4)题干图中与E→O相等的向量为O→F.
→ 2．已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则|P→D|的值为( )
|AD|
A．12
B．13
C．1
D．2
高一数学 平面向量 ppt
与直线MN相交于P， 7,2若直线l:kx - y 1 0 与线段MN相交，求k 的取值范围
线段MN 的延长线
5、平面向量的数量积—知识回忆（一） 非零向量OA=a， OB=b， （1） a,b夹角∠AOB=θ (0≤θ≤π) ① θ=0同向②θ=π反向③两向量首尾相接 形成的角为夹角的补角④两向量终点 相同形成的角与夹角相等 （2）a与b夹角90。，a⊥b。 （3）a·b=|a|·|b|cosθ (0·a=0) （4） a⊥b a· b=0 （5）a· b几何意义，θ为a与b夹角则 |a|cosθ叫a在b上投影。
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,零 向量与任何向量平行.
（3）相等向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量
（4）加法、减法
三角形法则(首尾相接),平行四边形法则(共起点)
（5）运算性质：
a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c)
一、知识回顾：
a b a b a b
B B C
平行交差
例1 :a 3,2,b 1,2,c 4,1
1求满足a m b nc的实数m,n 2若a kc//2b a,求实数k 3设d x,y 满足d c//b a,
且 d c 1,求d
4、线段的定比分点—知识回忆
例2：设e1、e2是两个不共线的向量，已知向量 =2e1+ke2，
AB
CB =e1+3e2， CD
=2e1-e2，
若A、B、D三点共线，求k的值。
例4、若G为 ABC的重心， 则GA GB GC
例4、已知平行四边形OAD B的对角线OD, AB相交于点C, 线段BC上有一点M,满足BC 3BM,线段CD上有点N,满足
线段MN 的延长线
5、平面向量的数量积—知识回忆（一） 非零向量OA=a， OB=b， （1） a,b夹角∠AOB=θ (0≤θ≤π) ① θ=0同向②θ=π反向③两向量首尾相接 形成的角为夹角的补角④两向量终点 相同形成的角与夹角相等 （2）a与b夹角90。，a⊥b。 （3）a·b=|a|·|b|cosθ (0·a=0) （4） a⊥b a· b=0 （5）a· b几何意义，θ为a与b夹角则 |a|cosθ叫a在b上投影。
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,零 向量与任何向量平行.
（3）相等向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量
（4）加法、减法
三角形法则(首尾相接),平行四边形法则(共起点)
（5）运算性质：
a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c)
一、知识回顾：
a b a b a b
B B C
平行交差
例1 :a 3,2,b 1,2,c 4,1
1求满足a m b nc的实数m,n 2若a kc//2b a,求实数k 3设d x,y 满足d c//b a,
且 d c 1,求d
4、线段的定比分点—知识回忆
例2：设e1、e2是两个不共线的向量，已知向量 =2e1+ke2，
AB
CB =e1+3e2， CD
=2e1-e2，
若A、B、D三点共线，求k的值。
例4、若G为 ABC的重心， 则GA GB GC
例4、已知平行四边形OAD B的对角线OD, AB相交于点C, 线段BC上有一点M,满足BC 3BM,线段CD上有点N,满足
平面向量的概念课件(共34张PPT)-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
（1）向量的几何表示:向量可以用有向线段来表示, 有向线段的
长度
方向
______表示向量的大小，有向线段的______表示向量的方向．如
, .
（2）向量的字母表示:向量可以用黑体小写字母,,,…表示,书写时,
→ → →
用带箭头的小写字母 , , ,…表示.
课前预习
3.向量的相关概念
=
(5 2)2 − 52 = 5 m .
△ 是直角三角形,其中∠ = 90∘ , = 3 m, = 5 m,
所以 = 32 + 52 = 34(m),故|| = 34 m.
课中探究
［素养小结］
在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向
量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．应该注意的是有向
课前预习
知识点三 相等向量与共线向量
相同或相反
非零向量
1.平行向量：方向____________的__________叫作平行向量.向量与
//
平行,记作______.规定：零向量与任意向量平行.
相等
相同
2.相等向量：长度______且方向______的向量叫作相等向量.向量与
相等,记作 = .
课中探究
[解析] 因为,,为非零向量,且//，所以与方向相同或相反，
又//，所以与方向相同或相反，因此与方向相同或相反，所
以//，故A正确；
两个相等的非零向量的起点与终点也可能在一条直线上，故B不正确;
易知C正确;有相同起点的两个非零向量有可能是平行向量，故D不正确.
以//，且 = .
由图可知，与向量相等的向量有.
课中探究
，
（2）与向量相反的向量有_________；
长度
方向
______表示向量的大小，有向线段的______表示向量的方向．如
, .
（2）向量的字母表示:向量可以用黑体小写字母,,,…表示,书写时,
→ → →
用带箭头的小写字母 , , ,…表示.
课前预习
3.向量的相关概念
=
(5 2)2 − 52 = 5 m .
△ 是直角三角形,其中∠ = 90∘ , = 3 m, = 5 m,
所以 = 32 + 52 = 34(m),故|| = 34 m.
课中探究
［素养小结］
在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向
量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．应该注意的是有向
课前预习
知识点三 相等向量与共线向量
相同或相反
非零向量
1.平行向量：方向____________的__________叫作平行向量.向量与
//
平行,记作______.规定：零向量与任意向量平行.
相等
相同
2.相等向量：长度______且方向______的向量叫作相等向量.向量与
相等,记作 = .
课中探究
[解析] 因为,,为非零向量,且//，所以与方向相同或相反，
又//，所以与方向相同或相反，因此与方向相同或相反，所
以//，故A正确；
两个相等的非零向量的起点与终点也可能在一条直线上，故B不正确;
易知C正确;有相同起点的两个非零向量有可能是平行向量，故D不正确.
以//，且 = .
由图可知，与向量相等的向量有.
课中探究
，
（2）与向量相反的向量有_________；
2025届高中数学一轮复习课件《平面向量基本定理及坐标表示》ppt
)
高考一轮总复习•数学
第10页
2．已知平面向量 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量12a－32b＝( )
A．(－2，－1) B．(－2,1)
C．(－1,0)
D．(－1,2)
解析：因为 a＝(1,1)，b＝(1，－1)，所以12a－32b＝12(1，1)－32(1，－1)＝12，12－32，－32 ＝(－1,2)．
∴54<k<32.即 k 的取值范围为54，32.
高考一轮总复习•数学
第23页
题型
平面向量的坐标运算
典例 2(1)已知 A(－2,5)，B(10，－3)，点 P 在直线 AB 上，且 P→A ＝－13P→B ，则点 P 的
由线性关系，转化到坐标运算．
坐标是( )
A．(－8,9)
B．(1,3)
C．(－1，－3) D．(8，－9)
高考一轮总复习•数学
第3页
01 理清教材 强基固本 02 重难题型 全线突破 03 限时跟踪检测
高考一轮总复习•数学
第4页
理清教材 强基固本
高考一轮总复习•数学
第5页
一 平面向量基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只 有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2，若 e1，e2 不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内 所有向量的一个基底．若 e1，e2 互相垂直，则称这个基底为正交基底；若 e1，e2 分别为与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，则称这个基底为单位正交基底．
高考一轮总复习•数学
第22页
解析：如图，分别取 BD，AE 的中点 G，N，连接 GN 交 EF 于 H，
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说明：两个向量和 与差的坐标分别等
a b (x1 x2, y1 y2 )
于这两个向量相应 坐标的和与差。
a （x1
,
y1）
说明：实数与向量的积的坐标 等于用这个实数乘原来向量的
相应坐标。
a
b
( x1x2 ,
y1 y2
)
说明：两个向量的数量积等 于它们对应坐标的乘积的和。
向量运算律
1、实数与向量的积运算律
设P（x，y），P1（x1，y1），P2（x2，y2），且
P1P PP2，则
x
x1 x2 1
y
y1 y2 1
1
x
x1
x2 2
中点公式
y
y1 y2 2
2、平移公式
如果点P（x1，y2）按向量a (h, k)
平移至 P(x, y)，则
x x h
y
y
k
例5 设P1（2，-1），P2（0，5），且P在直线
坐标表示：a x2 y2
2、两点间距离公式：
AB (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
3、计算两个向量的夹角：
cos a b
ab
4、向量垂直充要条件：a b 0
坐标表示：x1x2+y1y2=0
5、向量共线（平行）充要条件：b a
坐标表示：x1y2-x2y1=0
注意：这两个充要条件分别是判断两个向量（直线） 垂直或平行的重要方法之一。
（1）（a） ()a
（2）（ ）a a a （3）（a b） a b
2、平面向量数量积的运算律
思考：你能将此 运算律用坐标表 示出来吗？
（1）a b b a
(2)(a) b (a b) a ( b)
(3)(a b) c a c b c
例1 判断下列命题及其逆命题的真假：
P1P2上使 P1P 2 PP2 ，求点P 的坐标。
例6 （1）函数 y log 2 (x 2) 3的图象经过 怎样的平移，可以得到函数 y log 2 x的图象？ （2）函数 y cos(x ) 2的图象经过怎样的 平移，可以得到函数 y 3cos x的图象？
六、正弦定理及其变形公式
例3 设 a (3,2),b (,7),c (2, )，若
a 2b c，求，的值。
解：由已知条件，得：
a 2b =（3，2）-2（λ，7）
=（3-2λ，-12） =（-2，μ） ∴ 3-2λ=-2 μ=-12
∴ λ= 5 ，μ=-12 2
三、两个重要定理
1、向量共线充要条件
向量b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有
一个实数λ，使得 b a
注意：这是判断两个向量共线（平行）的重要方法。
2、平面向量基本定理
如果 e1, e2 是同一个平面内的两个不共线向量， a 那么对于这一平面的任一个向量 ，有且只有一对实
数 1, 2 ，使
a 1e1 2e2
四、数量积的主要应用
2
1、计算向量的模：a a a , a a a
例4 已知 a b =（1，2）， =（-3，2），当k为何
值时，
（1） k a b与 a 3b垂直； （2） k a b与 a 3b平行？平行时它们是同向
还是反向？
解：由已知 k a b=（k-3，2k+2），a 3b =（10，-4） （1）当 (ka b) (a 3b) 0时，这两个向量垂直。
高一数学平面向量 知识点复习课件
一、向量及其有关概念
有向线段
向量的几何表示 向量的模 零向量 向 单位向量 量 平行向量 共线向量 相等向量 相反向量
二、向量的运算
几 加法
何 减法 方
向 法 实数与向量的积 量
的
运 算
坐
加法
标 减法
方 实数与向量的积 法 平面向量数量积
几何方法：
B
OA
OB OA AB
a b c 2R sin A sin B sin C
SABC
1 2
bc sin
A
1 2
ca sin
B
1 2
absin C
a 2Rsin A,b 2Rsin B,c 2Rsin C
sin A a ,sin B b ,sin C c
2R
2R
2R
sin A: sin B : sin C a : b : c
六、余弦定理及其变形公式
a2 b2 c2 2bc sin A b2 c2 a2 2ca sin B 变形 c2 a2 b2 2ab sin C
cos A b2 c2 a2 2bc
cosB c2 a2 b2 2ca
cosC a2 b2 c2 2ab
OC OA OB
A
B
C
O
A
O
B
BA OA OB
B
a
a( 0) a( 0)
b a
O MA
实数与向量的积的实质是：向量的伸缩变换。 a b | a | | b | cos
| OM | | OA |
坐标方法
设向量 a （x1，y1），b （x2，y2）则
a b (x1 x2, y1 y2 )
1、若| a|= | b| ，则 a 与 b是共线向量； 2、若 a∥b ，则 a在 b方向上的投影是 a ；
3、若 | a || b |1 ，则 a b 1 ； 4、若a 0，则 0且a 0
例2 判断下列运算律的正误
1、a 0, a b 0 b 0 2、a b b c,b 0 a c 3、(a b) c a (b c)
由（k-3）×10+（2k+2）×（-4）=0，得：k=19
（2）当 k a b 与 a 3b平行时，存在唯一实数λ，
使 k a b=λ (a 3b，) 由（k-3，2k+2）= λ（10，-4）
k 3 10 2k 2 4
解得 k 1 , 1
3
3
反向
五、两个重要公式
1、定比分点坐标公式