培优讲义一《集合》
适用于教育机构高考数学专题辅导讲义《1集合》
适用于教育机构高考数学专题辅导讲义年级：辅导科目：数学课时数：课题集合与简易逻辑教学目的教学内容1.知识网络1、集合2、简易逻辑二、命题分析1．高考对集合的考查主要有两种形式：一种是考查集合的概念、集合之间的关系和运算；另一种是以集合为工具，考查对集合语言、集合思想的理解和运用，往往与映射、函数、方程、不等式等知识融合在一起，体现出一种小题目综合化的命题趋势，预计2012年高考仍会采用选择题或填空题的方式进行考查，且难度不大．2．高考对常用逻辑用语的考查主要体现在以下三个方面：一是考查对四种命题之间关系的理解；二是考查对充分、必要条件的推理与判断；三是考查常用逻辑联结词及全称命题、特称命题的理解、掌握情况．命题时一般以基本概念为考查对象，综合三角、不等式、函数、数列、立体几何、解析几何中的相关知识进行考查，题型以选择、填空题为主打题型，预计2012年这里出解答题的可能性不大．三、复习建议1．重视对概念的理解，提高计算速度，强化书写的规范性，注意解题中Venn图或数轴的应用．提高以集合的概念、关系、运算等为考查对象的题目的得分率．2．重视与函数、方程、不等式、三角函数、数列、解析几何、立体几何等各类知识的融汇贯通，可在一轮复习中，循序渐进地提高解这类题目的能力和水平．3．对于四种命题的复习，要注意结合实际问题，明确等价命题的意义，认真体会其中涉及的化归思想和等价转化思想．4．全称量词、存在量词以及全称命题、特称命题的复习，要遵循新课标及考纲的要求，理解要到位、判断要准确，A ．M ＝NB ．M ⊂NC ．M ⊃ND ．M ⊆N [分析] 根据集合的表示法可先将集合化简，而后看其关系便可获解． [答案] A[解析] 由x ＝5－4a ＋a 2(a ∈R)，得x ＝(a －2)2＋1≥1，故M ＝{x |x ≥1}．由y ＝4a 2＋4a ＋2(a ∈R)，得y ＝(2a ＋1)2＋1≥1. 故N ＝{y |y ≥1}，故M ＝N .故选A.[点评] 一般地，对于两个或两个以上集合，要判断它们之间的关系，应先将集合进行化简，弄清每一个集合中的元素的个数或范围，然后判断集合间的关系.3.命题方向：集合的运算[例3] (2011·广东中山质检)设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}． (1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值； (2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．[分析] 对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，而后根据已知条件求参数． [解析] 由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，故集合A ＝{1,2}． (1)∵A ∩B ＝{2}，∴2∈B ，代入B 中的方程，得a 2＋4a ＋3＝0⇒a ＝－1或a ＝－3； 当a ＝－1时，B ＝{x |x 2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件； 当a ＝－3时，B ＝{x |x 2－4x ＋4＝0}＝{2}，满足条件； 综上，a 的值为－1或－3； (2)对于集合B ，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝8(a ＋3)． ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，①当Δ<0，即a <－3时，B ＝∅满足条件； ②当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}，满足条件； ③当Δ>0，即a >－3时，B ＝A ＝{1,2}才能满足条件，则由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－2(a ＋1)1×2＝a 2－5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52a 2＝7，矛盾；综上，a 的取值范围是a ≤－3.[点评] (1)在解答过程中易出现求得a 值后不验证是否适合题意或在B ⊆A 中漏掉B ＝∅的情况，导致此种错误的原因是：没有熟练掌握集合的概念或集合与空集之间的关系；(2)解决含参数问题的集合运算，首先要理清题目要求，看清集合间存在的相互关系，注意分类整合、数形结合思想的应用以及空集作为一个特殊集合与非空集合间的关系，在解题中漏掉它极易导致错解．(2)四种命题间的逆否关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性 没有关系 ． 3．充分条件与必要条件(1)如果p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的 ． (2)如果p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的 ．4．特别注意：命题的否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论；而命题的否定是只否定命题的结论． （三）基础自测1．(2010·江西文)对于实数a ，b ，c ，“a >b ”是“2ac >2bc ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 本题考查了充要条件的判定及不等式的性质，难度不大，2ac >2bc ⇒a >b (已认可2c >0)成立， 而a >b ⇒2ac >2bc ，∵c ＝0，不适合，故选B.2．(2010·天津理)命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是( ) A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数 B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数 C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数 D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数 [答案] B[解析] “若p 则q ”的否命题为“若¬p 则¬q ”，故选B.3．(2011·银川模拟)关于命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”的逆命题、否命题、p ：α<β，q ：tan α<tan β.[解析] (1)若a ＋b ＝2，圆心(a ，b )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a ＋b |2＝2＝r ，所以直线与圆相切．反之，若直线与圆相切，则|a ＋b |＝2，∴a ＋b ＝±2， 故p 是q 的充分不必要条件．(2)若|x |＝x ，则x 2＋x ＝x 2＋|x |≥0成立；反之，若x 2＋x ≥0，即x (x ＋1)≥0，则x ≥0或x ≤－1. 当x ≤－1时，|x |＝－x ≠x ， 因此，p 是q 的充分不必要条件． (3)∵l ∥α⇒ l ∥m ，但l ∥m ⇒l ∥α， ∴p 是q 的必要不充分条件．(4)∵x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2时， 正切函数y ＝tan x 是单调递增的，∴当α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，且α<β时，tan α<tan β，反之也成立． ∴p 是q 的充要条件．[点评] 充分条件与必要条件的判断方法有： 1．利用定义判断(1)若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件； (2)若q ⇒p ，则p 是q 的必要条件； (3)若p ⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件； (4)若p ⇒q 且q ⇒ p ，则p 是q 的充分不必要条件； (5)若p ⇒ q 且q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件；(6)若p ⇒ q ，且q ⇒ p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件． 2．利用集合判断记条件p 、q 对应的集合分别为A 、B ，则： 若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件； 若A ⊂B ，则p 是q 的充分不必要条件； 若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件；。
必修一集合讲义
第一章 集合1.1 集合的含义及其表示1．集合的概念：一般地，指定的某些对象的全体称为集合。
集合常用大写的拉丁字母来表示，如集合A 、集合B ……集合中的每一个对象称为该集合的元素。
集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。
如a 、b 、c 、p 、q …… 指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。
（1）我国的直辖市； （2）五中高一（1）班全体学生；（3）较大的数 2．关于集合的元素的特征（1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
（3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写。
3．集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示； （1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a ∉A （“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写）4．集合的分类：一般地，我们把含有限个元素的集合叫有限集； 把含无限个元素的集合叫无限集；把不含有任何元素的集合叫作空集，记为∅。
空集就是不含任何元素的集合。
注：1，区分{0}和∅ 2，区分∅和{∅} 5．数的集合简称数集。
常用数集的记法：（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + {} ,3,2,1*=N（3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q（5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R6．集合的表示方法：（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。
第01讲-集合(讲义版)
第01讲集合一、知识梳理1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.2.集合间的基本关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B 子集集合A中任意一个元素均为集合B中的元素A⊆B 真子集集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且集合B中至少有一个元素不是集合A中的元素BA⊂≠空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B 若全集为U，则集合A 的补集为∁U A图形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A} 4.集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A.[方法技巧]1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B.4.∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B).二、经典例题考点一 集合的基本概念【例1-1】（2020·海南省海南中学高三月考）若S 是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合，则S 的非空真子集个数是（ ） A ．62B ．32C ．64D ．30规律方法 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 考点二 集合间的基本关系【例2-1】（2020·天津市滨海新区塘沽第一中学高三二模）已知集合|03x A x Z x ⎧⎫=∈≤⎨⎬+⎩⎭，则集合A 真子集的个数为（ ） A ．3B ．4C ．7D ．8规律方法 1.若B ⊆A ，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论.2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图，化抽象为直观进行求解. 考点三 集合的运算【例3-1】（2020·全国高三一模（文））已知集合{}|15A x x =-≤≤，{}2|23B x x x =->，则A B =（ ）A ．5}|3{x x <≤B ．{|15}x x -≤≤C ．{|1x x <-或3}x >D ．R【例3-2】（2020·安徽省六安一中高一月考）已知集合{}2230A x x x =-->，(){}lg 11B x x =+≤，则()R A B =（ ）A ．{}13x x -≤< B ．{}19x x -≤≤ C ．{}13x x -<≤D ．{}19x x -<<规律方法 1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.2.注意数形结合思想的应用.(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解.(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.(3)集合的新定义问题：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口.[思维升华]1.集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.[易错防范]1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简.2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.。
第一章 集合 课程讲义
1.1 集合的含义及其表示一、知识梳理1．集合的定义2．元素与集合的关系3．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性4．常用数集及其记法：5．集合的表示方法：二、例题讲解例1：集合M中的元素为1，x，x2-x，求x的范围？例2：三个元素的集合1，a，ba，也可表示为0，a2，a+b，求a2005+ b2006的值．例3：集合A中的元素由(a∈Z,b∈Z)组成，判断下列元素与集合A的关系？（1）0 （2（3例4．用描述法表示下列集合：（1）所有被3整除的整数的集合；（2）使yx=有意义的x的集合；（3）方程x2+x+1=0所有实数解的集合；（4）抛物线y=-x2+3x-6上所有点的集合；例5．已知A={a|6,3N a Za∈∈-}，试用列举法表示集合A．例6．已知集合P={-1,a,b}，Q={-1,a2,b2}，且Q=P，求1+a2+b2的值．三、巩固练习1、用∈或∉填空________N________R0_______N* π________R 227_______Q cos300_______Z2、由实数-x，|x|x，组成的集合最多含有元素的个数是_________________个.3、用列举法表示下列集合：(1) {x|x为不大于10的正偶数}(2){(x,y)|0≤x ≤2，0≤y<2，x ，y ∈Z}4、用描述法表示下列集合：(1)不等式2x-3>5的解集；(2)直角坐标平面内属于第四象限的点的集合；5、集合A={x|y=x 2+1}，B={t|p=t 2+1}，，这三个集合的关系？ 6、已知A={x|12,6N x N x∈∈-}，试用列举法表示集合A ．1.2 子集、全集、补集一、知识梳理1．子集的概念及记法：2．子集的性质：① A ⊆ A② A ∅⊆3．真子集的概念及记法：4．真子集的性质：①∅是任何非空集合的真子集5．全集的概念：6． 补集的概念：二、例题讲解例1：以下各组是什么关系，用适当的符号表示出来．（1）a 与{a} 0 与 ∅（2）∅与{20，35，∅} （3）S={-2，-1，1，2}，A={-1，1}，B={-2，2}；（4）S=R ，A={x|x ≤0，x ∈R}，B={x|x>0 ，x ∈R }；例2：设集合A={x|x 2+4x=0，x ∈R}，B={x|x 2+2(a+1)x+a 2-1=0，x ∈R}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．例3：①方程组210360x x +>⎧⎨-≤⎩的解集为A ，U=R ，试求A 及u C A ． ②设全集U=R ，A={x|x>1}，B={x|x+a<0}，B 是R C A 的真子集，求实数a 的取值范围．三、巩固练习1．指出下列各组中集合A 与B 之间的关系．(1) A={-1，1}，B=Z ；(2)A={1，3，5，15}，B={x|x 是15的正约数}；(3) A = N*，B=N(4) A ={x|x=1+a 2,a ∈N*}，B={x|x=a 2-4a+5,a ∈N*}2．（1）已知{1，2 }⊆M ⊆{1，2，3，4，5}，则这样的集合M 有多少个？（2）已知M={1，2，3，4，5，6， 7,8，9}，集合P 满足：P ⊆M ，且若P α∈，则10-α∈P ，则这样的集合P 有多少个？3.若U=Z ，A={x|x=2k ，k ∈Z}，B={x|x=2k+1， k ∈Z}，则U C A ___________ U C B ___________：4．设全集是数集U={2，3，a 2+2a-3}，已知A={b ，2}，U C A ={5}，求实数a ，b 的值．5．已知集合A={x|x 2-1=0 }，B={x|x 2-2ax+b=0},B ⊆ A ，求a ，b 的取值范围．1.3 交集、并集一、知识梳理1．交集的定义：注意： 当集合A 与B 没有公共元素时，不能说A 与B 没有交集，而是A ∩B=∅.2．交集的常用性质：（1）(A ∩B)∩C =A ∩(B ∩C)；（2） A ∩B ⊆A ， A ∩B ⊆B3．区间的表示法：4．并集的定义：注意：并集（A ∪B ）实质上是A 与B 的所有元素所组成的集合，但是公共元素在同一个集合中要注意元素的互异性.5．并集的常用性质：（1）(A ∪B)∪C =A ∪(B ∪C)；（2） A ⊆A ∪B ， B ⊆A ∪B二、例题讲解例1． （1）设A={-1，0，1}，B={0，1，2，3}，求A ∩B ；（2）设A={x|x>0}，B={x|x≤1}，求A∩B；（3）设A={x|x=3k，k∈Z}，B={y|y=3k+1 k∈Z }，C={z|z=3k+2，k∈Z}，D={x|x=6k+1，k∈Z}，求A∩B；A∩C；C∩B；D∩B；例2：已知数集 A={a2，a+1，-3}，数集B={a-3,a-2，a2+1}，若A∩B={-3}，求a的值．例3：（1）设集合A={y|y=x2-2x+3，x∈R}，B={y|y=-x2+2x+10，x∈R}，求A∩B；（2）设集合A={(x,y)|y=x+1，x∈R}，B={(x,y)|y=-x2+2x+34，x∈R}，求A∪B；例4：已知集合A={x|x2-1=0 }，B={x|x2-2ax+b=0}，A∪B=A，求a，b的值或a,b所满足的例5：若A={x|x2-ax+a2-19=0}，B={x|x2-5x+6=0}，C={x|x2+2x-8=0}，（1）若A∪B=A∩B，求a的值；（2）∅ A∩B，A∩C=∅，求a的值．例6：已知集合A={2，5}，B={x|x2+px+q=0，x∈R}（1）若B={5}，求p，q的值．（2）若A∩B= B ，求实数p，q满足的条件．例10、已知集合A={x|－2<x<－1，或x>0}，B={x|a≤x≤b}，满足A∩B={x|0<x≤2}，A∪B={x|x>－2}，求a、b的值。
人教版高中数学高一培优讲义第1讲集合
第1讲集合理清双基1、集合的有关概念（1）、集合的含义与表示：研究对象的全体称为集合。
对象为集合的元素。
通常用大写字母A 、B 、C 、D 表示。
元素与集合的关系∈与∉（2）、集合元素的特征（三要素）：①确定性：②互异性：③无序性：【例】1.设R b a ∈,，集合},,0{},,1{b aba b a =+，则=-a b ________.（3）、集合的分类：①有限集②无限集③空集：∅（4）、集合的表示方法:①自然语言②列举法③描述法④venne 法【例】2.分析下列集合间的关系}1{2+==x y y A }1{2+==x y x B }1),{(2+==x y y x C }1{2+==x t t D 3.集合}{抛物线=A }{直线=B ，则B A 的元素个数下列说法正确的是（）一个（B ）二个（C ）一个、二个或没有（D ）以上都不正确变式：集合})0(),{(2≠++==a c bx ax y y x A })0(|),{(≠+==k b kx y y x B ，则B A 的元素个数为（）说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
2.集合间的关系（1）子集：（2）相等关系：（3）真子集：说明：任何一个集合是它本身的子集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
【例】4.设⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x M ,412,⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x N ,214，则M 与N 的关系正确的是（）A.NM = B.NM ≠⊂ C.NM ≠⊃ D.以上都不对5.已知集合}.121|{},72|{-<<+=≤≤-=m x m x B x x A 。
若A B ⊆，则实数m 的取值范围是()A ．43≤≤-m B ．43<<-m C ．42≤<m D ．4≤m 3.集合的基本运算（1）交集（2）并集（3）补集全集【例】6.已知集合}1{2+==x y y M ，}9{2x y x N -==，则=N M ________4、集合运算中常用结论（1）等价关系B A A B A ⊆⇔= AB A B A ⊆⇔=【例】7.已知集合}{},1{a x x B x x A ≥=≤=，且R B A = ，则实数a 的取值范围为____（2）反演律（德摩根定律）)()()(B C A C B A C U U U =)()()(B C A C B A C U U U =【例】8.设全集}5,4,3,2,1{=U ，集合S 与T 都是U 的子集，满足}2{=T S ，}4{)(=T S C U ，}5,1{)()(=T C S C U U 则有()A ．TS ∈∈3,3B ．TC S U ∈∈3,3C ．TS C U ∈∈3,3D ．TC S C U U ∈∈3,39.由)(+∈N n n 个元素组成的集合A 的子集个数：A 的子集有n2个，非空子集有)12(-n 个，真子集有)12(-n 个，非空真子集有)22(-n 个【考点分析】考点一集合的基本概念【例1】1.已知集合},,|),{(},5,4,3,2,1{A y x A y A x y x B A ∈+∈∈==则B 中所含元素的个数为()A ．3B ．6C ．8D ．102.集合A 是由形如()Z n Z m n m ∈∈+,3的数构成的，判断321-是不是集合A 中的元素.3.数集A 满足条件：若A a ∈，则)1(11≠∈-+a A a a ．若A ∈31，求集合中的其他元素.4.已知},,2|{R k N x k x x P ∈∈<<=，若集合P 中恰有3个元素，则实数k 的取值范围是________.5.已知集合}023|{2=+-=x ax x A .（1）若A 是单元素集合，求集合A ；（2）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围．►归纳提升解答集合的概念问题应关注两点(1)研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性。
【集合】精品讲义
第1章集合与常用逻辑用语第1节集合1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合中元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有属于和不属于两种，表示符号为∈和∉.(3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图．2．集合间的基本关系描述关系文字语言符号语言集合间的基本关系子集A中任意一元素均为B中的元素A⊆B或B⊇A 真子集A中任意一元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素A中没有A B或B A 相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B集合与集合之间的关系：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C，空集是任何集合的子集，含有n个元素的集合的子集数为2n，真子集数为2n－1，非空真子集数为2n－23．集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁U A图形表示意义{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．2．要注意区分元素与集合的从属关系；以及集合与集合的包含关系．3．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．4．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．考点一集合的含义与表示1. 正确理解集合的概念研究一个集合，首先要看集合中代表元素的属性(是点集、数集或其他情形)，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．注意区分{x|y ＝f(x)}、{y|y＝f(x)}、{(x，y)|y＝f(x)}三者的不同．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2. 注意元素的互异性对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性．3．注意空集的特殊性空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A⊆B，则需考虑A＝∅和A≠∅两种可能的情况．1．（2013福建，5分）若集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3,4}，则A∩B的子集个数为() A．2B．3 C．4 D．16解析：本题主要考查集合的交集及子集的个数等基础知识，意在考查考生对集合概念的准确理解及集合运算的熟练掌握．A∩B＝{1,3}，故A∩B的子集有4个．答案：C2．（2013江西，5分）若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝() A．4 B．2 C．0 D．0或4解析：本题主要考查集合的表示方法(描述法)及其含义，考查化归与转化、分类讨论思想．由ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解，可得当a＝0时，方程无实数解；当a≠0时，则Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4(a＝0不合题意舍去)．答案：A3．（2013山东，5分）已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A, y∈A}中元素的个数是()A．1 B．3 C．5 D．9解析：本题考查集合的含义，考查分析问题、解决问题的能力．逐个列举可得．x＝0，y ＝0,1,2时，x－y＝0，－1，－2；x＝1，y＝0,1,2时，x－y＝1,0，－1；x＝2，y＝0,1,2时，x －y＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合B的元素为－2，－1,0,1,2.共5个．答案：C4．（2011广东，5分）已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x ＋y ＝1}，则A ∩B 的元素个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1x ＋y ＝1消去y 得x 2－x ＝0，解得x ＝0或x ＝1，这时y ＝1或y ＝0，即A ∩B ＝{(0,1)，(1,0)}，有两个元素．答案：C5．已知集合M ＝{1，m }，N ＝{n ，log 2n }，若M ＝N ，则(m －n )2 013＝________.解析：由M ＝N 知⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝1，log 2n ＝m 或⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝m ，log 2n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝0，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝2. 答案：－1或06．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．解析：因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3， 此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32. 答案：－327．（2010福建，5分）设非空集合S ＝{x |m ≤x ≤l }满足：当x ∈S 时，有x 2∈S .给出如下三个命题：①若m ＝1，则S ＝{1}；②若m ＝－12，则14≤l ≤1；③若l ＝12，则－22≤m ≤0. 其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：若m ＝1，则x ＝x 2，可得x ＝1或x ＝0 (舍去)，则S ＝{1}，因此命题①正确；若m ＝－12，当x ＝－12时，x 2＝14∈S ，故l min ＝14，当x ＝l 时，x 2＝l 2∈S ，则l ＝l 2可得，可得l ＝1或l ＝0(舍去)，故l max ＝1，∴14≤l ≤1，因此命题②正确；若l ＝12，则⎩⎨⎧ m ≤12m ≤m 2≤12，得－22≤m ≤0，因此命题③正确． 答案：D考点二 集合的基本关系1．已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析．2．当题目中有条件B⊆A时，不要忽略B＝∅和A=B的情况．1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B ＝()A．{1,4}B．{2,3} C．{9,16} D．{1,2}解析：本题主要考查集合的基本知识，要求认识集合，能进行简单的运算．n＝1,2,3,4时，x＝1,4,9,16，∴集合B＝{1,4,9,16}，∴A∩B＝{1,4}．答案：A2.(2013新课标全国Ⅱ，5分)已知集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N ＝()A．{－2，－1,0,1}B．{－3，－2，－1,0}C．{－2，－1,0} D．{－3，－2，－1}解析：本题主要考查集合的基本运算，意在考查考生对基本概念的理解．由交集的意义可知M∩N＝{－2，－1,0}．答案：C3．(2013山东，5分)已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩∁U B＝()A．{3} B．{4} C．{3,4} D．∅解析：本题主要考查集合的交集、并集和补集运算，考查推理判断能力．由题意知A∪B ＝{1,2,3}，又B＝{1,2}，所以A中必有元素3，没有元素4，∁U B＝{3,4}，故A∩∁U B＝{3}．答案：A4．(2013广东，5分)设集合S＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，T＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则S∩T ＝()A．{0}B．{0,2} C．{－2,0} D．{－2,0,2}解析：本题主要考查集合的运算知识，意在考查考生的运算求解能力．因为S＝{－2,0}，T＝{0,2}，所以S∩T＝{0}．答案：A5．(2013安徽，5分)已知A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A)∩B＝() A．{－2，－1} B．{－2} C．{－1,0,1} D．{0,1}解析：本题主要考查集合的基本运算，意在考查考生的运算能力和对基本概念的理解能力．集合A＝{x|x>－1}，所以∁R A＝{x|x≤－1}，所以(∁R A)∩B＝{－2，－1}．答案：A6．(2013浙江，5分)设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则S∩T＝()A．[－4，＋∞)B．(－2, ＋∞) C．[－4,1] D．(－2,1]解析：本题主要考查集合、区间的意义和交集运算等基础知识，属于简单题目，意在考查考生对基础知识的掌握程度．由已知得S∩T＝{x|x>－2}∩{x|－4≤x≤1}＝{x|－2<x≤1}＝(－2,1]．答案：D7．(2013辽宁，5分)已知集合A＝{0,1,2,3,4}，B＝{x||x|＜2}，则A∩B＝()A．{0}B．{0,1} C．{0,2} D．{0,1,2}解析：本题主要考查集合的概念和运算，同时考查了绝对值不等式的解法，意在考查考生对集合运算的掌握情况，属于容易题．由已知，得B＝{x|－2＜x＜2}，所以A∩B＝{0,1}，选B.答案：B8．(2013天津，5分)已知集合A＝{x∈R| |x|≤2}, B＝{x∈R| x≤1}，则A∩B＝() A．(－∞，2]B．[1,2] C．[－2,2] D．[－2,1]解析：本题主要考查简单不等式的解法、集合的运算．意在考查考生对概念的理解能力．解不等式|x|≤2得，－2≤x≤2，所以A＝[－2,2]，又B＝(－∞，1]，所以A∩B＝[－2,1]．答案：D9．(2013北京，5分)已知集合A＝{－1,0,1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B＝()A．{0}B．{－1,0} C．{0,1} D. {－1,0,1}解析：集合A中共有三个元素－1,0,1，而其中符合集合B的只有－1和0，故选B.答案：B10．(2013陕西，5分)设全集为R，函数f(x)＝1－x的定义域为M, 则∁R M为() A．(－∞，1)B．(1，＋∞) C．(－∞，1] D．[1，＋∞)解析：本题主要考查集合的概念和运算，函数的定义域与不等式的求解方法．从函数定义域切入，1－x≥0，∴x≤1，依据补集的运算知识得所求集合为(1，＋∞)．答案：B11．(2013湖北，5分)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则B∩∁U A ＝()A．{2}B．{3,4} C．{1,4,5} D．{2,3,4,5}解析：本题主要考查集合的补集和交集运算．由题得，∁U A＝{3,4,5}，则B∩∁U A＝{3,4}．答案：B12. (2013四川，5分)设集合A＝{1,2,3}，集合B＝{－2,2}，则A∩B＝()A．∅B．{2} C．{－2,2} D．{－2,1,2,3}解析：本题主要考查集合的运算，意在考查考生对基础知识的掌握．A，B两集合中只有一个公共元素2，∴A∩B＝{2}，选B.答案：B13．(2013重庆，5分)已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则∁U (A ∪B )＝( )A ．{1,3,4}B ．{3,4}C ．{3}D ．{4}解析：本题主要考查集合的并集与补集运算．因为A ∪B ＝{1,2,3}，所以∁U (A ∪B )＝{4}，故选D.答案：D14．(2012新课标全国，5分)已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |－1<x <1}，则( )A ．A ⊆B B ．B ⊆AC ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅解析：A ＝{x |x 2－x －2<0}＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |－1<x <1}，所以B ⊆A .答案：B15．(2012湖北，5分)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：因为集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，所以当满足A ⊆C ⊆B 时，集合C 可以为{1,2}、{1,2,3}、{1,2,4}、{1,2,3,4}，故集合C 有4个．答案：D16．(2011浙江，5分)若P ＝{x |x ＜1}，Q ＝{x |x ＞－1}，则( )A ．P ⊆QB ．Q ⊆PC ．∁R P ⊆QD ．Q ⊆∁R P 解析：∵P ＝{x |x ＜1}，∴∁R P ＝{x |x ≥1}，又Q ＝{x |x ＞－1}，∴∁R P ⊆Q .答案：C17．(2013·福建高考)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 因为A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，若a ＝3，则A ＝{1,3}，所以A ⊆B ；若A ⊆B ，则a ＝2或a ＝3，所以A ⊆B ⇒/a ＝3，所以“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分而不必要条件． 18．已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且B ⊆A .则实数m 的取值范围为________．解析：∵B ⊆A ，(1)当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2.(2)当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧ －3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2，综上得m ≥－1.答案：[－1，＋∞)考点三集合的基本运算集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．1．（2012广东，5分）设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,3,5}，则∁U M ＝( )A ．{2,4,6}B ．{1,3,5}C ．{1,2,4}D ．U解析：因为集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,3,5}，所以2∈∁U M,4∈∁U M,6∈∁U M ，所以∁U M ＝{2,4,6}．答案：A2．（2012安徽，5分）设集合A ＝{x |－3≤2x －1≤3}，集合B 为函数y ＝lg(x －1)的定义域，则A ∩B ＝( )A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[1,2)D ．(1,2]解析：由题可知A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x >1}，故A ∩B ＝(1,2]．答案：D3．（2012浙江，5分）设全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{3,4,5}，则P ∩(∁U Q )＝( )A ．{1,2,3,4,6}B ．{1,2,3,4,5}C ．{1,2,5}D ．{1,2}解析：∁U Q ＝{1,2,6}，故P ∩(∁U Q )＝{1,2}．答案：D4.(2013·山东高考)已知集合A ，B 均为全集U ＝{1,2,3,4}的子集，且∁U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1,2}，则A ∩∁U B ＝( )A ．{3}B ．{4}C ．{3,4}D ．∅[解析] ∵U ＝{1,2,3,4}，∁U (A ∪B )＝{4}，∴A ∪B ＝{1,2,3}．又∵B ＝{1,2}，∴{3}⊆A ⊆{1,2,3}．又∁U B ＝{3,4}，∴A ∩∁U B ＝{3}．[答案] A4．（2012湖南，5分）设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x 2＝x }，则M ∩N ＝( )A ．{－1,0,1}B ．{0,1}C ．{1}D ．{0}解析：N ＝{x |x 2＝x }＝{0,1}，所以M ∩N ＝{0,1}．答案：B5．（2012江西，5分）若全集U ＝{}x ∈R |x 2≤4，则集合A ＝{}x ∈R ||x ＋1|≤1的补集∁U A 为( )A.{}x ∈R |0<x <2B.{}x ∈R |0≤x <2C.{}x ∈R |0<x ≤2D.{}x ∈R |0≤x ≤2解析：因为U ＝{x ∈R |x 2≤4}＝{x ∈R |－2≤x ≤2}，A ＝{x ∈R |x ＋1|≤1}＝{x ∈R |－2≤x ≤0}．借助数轴易得∁U A ＝{x ∈R |0<x ≤2}．答案：C6．（2011新课标全国，5分）已知集合M ＝{0,1,2,3,4，}，N ＝{1,3,5，}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个解析：P ＝M ∩N ＝{1,3}，故P 的子集有22＝4个．答案：B7．（2011山东，5分）设集合M ＝{x |(x ＋3)(x －2)<0}，N ＝{x |1≤x ≤3}，则M ∩N ＝( )A ．[1,2)B ．[1,2]C ．(2,3]D ．[2,3]解析：集合M ＝(－3,2)，M ∩N ＝(－3,2)∩[1,3]＝[1,2)．答案：A8．（2011北京，5分）已知全集U ＝R ，集合P ＝{x |x 2≤1}，那么∁U P ＝( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：集合P ＝[－1,1]，所以∁U P ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：D9．（2010新课标全国，5分）已知集合A ＝{x | |x |≤2，x ∈R }，B ＝{x |x ≤4，x ∈Z }，则A ∩B ＝( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．{0,2}D ．{0,1,2}解析：由题可知，集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，集合B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16}，所以集合A ∩B ＝{0,1,2}．答案：D(2014·武汉市武昌区联考)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |lg(x ＋1)≤0}，B ＝{x |3x ≤1}，则∁U (A ∩B )＝( )A ．(－∞，0)∪(0，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1]∪(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)[解析] lg(x ＋1)≤0⇒0<x ＋1≤1⇒－1<x ≤0,3x ≤1⇒x ≤0，则A ∩B ＝(－1,0]，∁U (A ∩B )＝(－∞，－1]∪(0，＋∞)．[答案] C6．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|y＝lg(x－1)}，则(∁U A)∩B＝() A．{x|x>2或x<0} B．{x|1<x<2}C．{x|1<x≤2} D．{x|1≤x≤2}解析：解不等式x2－2x>0，即x(x－2)>0，得x<0或x>2，故A＝{x|x<0或x>2}；集合B是函数y＝lg(x－1)的定义域，由x－1>0，解得x>1，所以B＝{x|x>1}．如图所示，在数轴上分别表示出集合A，B，则∁U A＝{x|0≤x≤2}，所以(∁U A)∩B＝{x|0≤x≤2}∩{x|x>1}＝{x|1<x≤2}．答案：选C10．(2009·山东，5分)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}．若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为()A．0B．1 C．2 D．4解析：∵A∪B＝{0,1,2，a，a2}，又A∪B＝{0,1,2,4,16}，∴{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4，故选D.答案：D11.设全集U是自然数集N，集合A＝{x|x2>4，x∈N}，B＝{0,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是()A．{x|x>2，x∈N}B．{x|x≤2，x∈N}C．{0,2}D．{1,2}解析：选C由图可知，图中阴影部分所表示的集合是B∩(∁U A)，∁U A＝{x|x2≤4，x∈N}＝{x|－2≤x≤2，x∈N}＝{0,1,2}，∵B＝{0,2,3}，∴B∩(∁U A)＝{0,2}，选C.考点四抽象集合与新定义集合以集合为背景的新定义问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生理解问题、解决创新问题的能力.归纳起来常见的命题角度有：(1)创新集合新定义；(2)创新集合新运算；(3)创新集合新性质.解决新定义问题应注意的问题(1)遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质；(2)按新定义的要求，“照章办事”逐步分析、验证、运算，使问题得以解决；(3)对于选择题，可以结合选项通过验证，排除、对比、特值等方法解决．角度一 创新集合新定义创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，结合原有集合的相关知识和相应数学知识，来解决新定义的集合创新问题．1．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )A ．1B ．3C ．7D ．31解析：选B 具有伙伴关系的元素组是－1；12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎭⎬⎫⎩⎨⎧2,21，⎭⎬⎫⎩⎨⎧2,211-，.角度二 创新集合新运算创新集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的．2.如图所示的Venn 图中，A ，B 是非空集合，定义集合A ⊕B 为阴影部分表示的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝3x ，x >0}，则A ⊕B 为( )A ．{x |0<x <2}B ．{x |1<x ≤2}C ．{x |0≤x ≤1或x ≥2}D ．{x |0≤x ≤1或x >2} 解析：选D 因为A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y >1}，A ∪B ＝{x |x ≥0}，A ∩B ＝{x |1<x ≤2}，所以A B ＝∁A ∪B (A ∩B )＝{x |0≤x ≤1或x >2}，故选D.角度三 创新集合新性质创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题，通过创新性质，结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题．3．对于复数a ，b ，c ，d ，若集合S ＝{a ，b ，c ，d }具有性质“对任意x ，y ∈S ，必有xy∈S ”，则当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b 2＝1，c 2＝b 时，b ＋c ＋d 等于( )A ．1B ．－1C ．0D ．i解析：选B ∵S ＝{a ，b ，c ，d }，由集合中元素的互异性可知当a ＝1时，b ＝－1，c 2＝－1，∴c ＝±i ，由“对任意x ，y ∈S ，必有xy ∈S ”知±i ∈S ，∴c ＝i ，d ＝－i 或c ＝－i ，d ＝i ，∴b ＋c ＋d ＝(－1)＋0＝－1.1．（2011福建，5分）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2011∈[1]，②－3∈[3]，③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中，正确结论的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4解析：因为2011＝402×5＋1，又因为[1]＝{5n＋k|n∈Z}，所以2011∈[1]，故命题①正确，又因为－3＝5×(－1)＋2，所以－3∈[2]，故命题②不正确，又因为所有的整数Z除以5可得余数的结果为：0,1,2,3,4，所以命题③正确；若a－b属于同一类，则有a＝5n1＋k.b＝5n2＋k，所以a－b＝5(n1－n2)∈[0]，反过来如果a－b∈[0]，也可以得到a－b属于同一类，故命题④正确，所以有3个命题正确．答案：C2．（2010湖南，5分）若规定E＝{a1，a2，…，a10}的子集{a i1，a i2，…，a in}为E的第k个子集，其中k＝2i1－1＋2i2－1＋…＋2i n－1，则(1){a1，a3}是E的第________个子集；(2)E的第211个子集为________．解析：此题是一个创新试题，定义了一个新的概念．(1)根据k的定义，可知k＝21－1＋23－1＝5；(2)此时k＝211，是个奇数，所以可以判断所求子集中必含元素a1，又28,29均大于211，故所求子集不含a9，a10.然后根据2j(j＝1,2，…，7)的值易推导所求子集为{a1，a2，a5，a7，a8}．答案：5{a1，a2，a5，a7，a8}（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。
集合-讲义版
集合【知识点】 一、集合与元素1．概念：一般地，我们把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称集）．集合通常用大写的拉丁字母表示，如 Q P C B A 、、、、元素通常用小写的拉丁字母表示，如 q p c b a 、、、、 例如：{}c b a A ,,=2．元素对于集合的隶属关系：（1）属于：∈；（2）不属于：∉． 3．特定集合的表示 常用数集及其记法：①非负整数集（即自然数集）记作：N ；②正整数集*N 或+N ；③整数集Z ；④有理数集Q ；⑤实数集R ． 4．集合的分类：（1）有限集；（2）无限集．5．集合中元素的特征：（1）互异性；（2）无序性；（3）确定性． 6．集合的表示方法： （1）自然语言法； （2）列举法；注：元素不重复，不计次序，且元素之间用“，”隔开 （3）描述法；①写清集合中代表的元素符号，如实数或实数对； ②说明该集合中元素的性质，如方程、不等式等． 例如：{}(){}1,,21=+>+y x y x x x （4）Venn 图法；用平面上封闭曲线的内部表示集合．二、集合间的基本关系1．子集：对于两个集合A 和B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则说集合A 与集合B 有包含关系，称集合A 是集合B 的子集，记作B A ⊆（或A B ⊇），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）． （1）“A 是B 的子集”的含义是：集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素 课程类型：☐ 1对1课程 Mini 课程 ☐ MVP 课程BA2．真子集：对于两个集合A 与B ，如果B A ⊆，并且B A ≠，我们就说集合A 是集合B 的真子集，记作：A B或BA ，读作A 真包含于B （或B 真包含A ）．3．集合相等：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时，集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，即：A 是B 的子集且B 是A 的子集，则集合A 与集合B 相等，记作：A =B ． 4．空集：把不含有任何元素的集合叫做空集，记作∅． （1）空集是任何集合的子集 （2）空集是任何非空集合的真子集 5．有限集合的子集个数：①一个元素的集合：子集共有2个、真子集有1个； ②两个元素的集合：子集共有4个、真子集有3个； ③三个元素的集合：子集共有8个、真子集有7个；以此类推，n 个元素的集合有n2个子集；有12-n 个非空子集；有12-n 个真子集；有22-n个非空真子集．三、集合之间的运算 1．并集（1）观察下面两个图的阴影部分，它们同集合A 、集合B 有什么关系？（2）观察集合{}{4,3,2,3,2,1==B A 与集合4,3,2,1=C 之间的关系 在上述两个例子中，集合A ，B 与集合C 之间都具有这样的一种关系：集合C 是由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的．一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集（Union ），记作：B A ，读作：“A 并B ”，即：{}AB x x A x B =∈∈或，它的Venn 图表示如上图．说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）．2．交集（1）观察下面两个图的阴影部分，它们同集合A ，集合B 有什么关系？（2）观察集合{}{}4,3,2,3,2,1==B A 与集合{}3,2=C 之间的关系． 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集（intersection ）．记作：B A ，读作：“A 交B ”即：{}B x A x x B A ∈∈=且 ，交集的Venn 图表示如上图．说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的公共元素组成的集合． 3．补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），通常记作U补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ），简称为集合A 的补集， 记作：UA ，即：{}UA x x U x A =∈∉且，补集的Venn 图表示如下A UC U A说明：补集的概念必须要有全集的限制，例如UA 与I A 不一定相等，因为全集可能不一样．4．集合基本运算的结论：（可通过V enn 图来理解） （1）若A B A = ，则B A ⊆，反之也成立 （2）若B B A = ，则B A ⊆，反之也成立【课堂演练】题型一 集合与元素的关系 ➢ 集合的概念例1 下面各组对象可以构成集合的是 ． （1）快乐学习期暑期班个子较高的学员； （2）和2007非常接近的数； （3）1，2，4，5，2，3； （4）暑期集训营所有带队老师．练1 下面四个命题正确的是（ ） A ．10以内的质数集合是{}7,5,3,0B ．“个子较高的人”不能构成集合C ．方程0122=+-x x 的解集是{}1,1 D ．偶数集为{}N x k x x ∈=,2|练2 下列各组对象能确定一个集合吗？ （1）所有很大的实数； （2）好心的人； （3）1，2，2，3，4，5．➢ 元素与集合的关系 例2 用符号“∈”或“∉”填空： （1）14.3_____Q ； （2）π_____Q ； （3）0_____+N ； （4）0)2(-_____N +； （5）32_____Q ；（6）32_____R ．练3 用符号“∈”或“∉”填空： （1）2_____N ； （2）0_____N ； （3）0_____Z ； （4）3_____Q ；（5）2_____Q ； （6）1.5_____Z ．练4 下列关系中正确的是（ ） A ．(){}100，∈ B ．(){}101，∈C ．{}100，∈D ．{}101，∉练5 已知321-=a ，},,3{Z n m n m x x A ∈+==，则a A （填“∈”或“∉”）．➢ 集合中元素的特征例3 集合{}x x A 5,12+=，集合{}6,1=B ，且集合A 与集合B 相等，则x = ．练6 若以集合{}c b a S ,,=中三个元素为边可以构成一个三角形，那么该三角形一定不是（ ） A ．锐角三角形 B ．等腰三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形练7 已知{}x x ,0,12∈，则实数x 的值为 ．练8 下列各组中的两个集合P 和Q ，表示同一集合的是（ ） A ．{}{}3,1,,,3,1-==ππQ P B ．{}{}14159.3,==Q P πC ．{}(){}3,2,3,2==Q PD ．{}{}1,,11=∈≤<-=Q N x x x P练9 已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-∈=*56N a Za M ，则M 是（ ） A ．{}4,3,2,1-B ．{}8,7,3,2C ．{}3,2D ．{}11,8,7,6,3,2,1-➢ 集合的表示方法例4 用列举法表示下列集合： （1）{}的约数是15x N x ∈（2）(){}{}{}2,1,2,1,∈∈y x y x（3）()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧=-=+422,y x y x y x（4）{}N n x x n∈-=,)1(练10 用列举法表示下列集合：（1）方程2690x x ++=的解集（2）{}以内的质数20（3）(){}N y N x y x y x ∈∈=+,,6, （4）{}的整数小于大于30例5 用描述法表示下列集合： （1）大于4的全体奇数构成的集合 （2）坐标平面内，两坐标轴上点的集合．练11 用描述法表示下列集合（1）{}13,10,7,4,1；（2）{}10,8,6,4,2-----例6 若集合,,A B C 可能为{}{}{}平行四边形，正方形，矩形，且如右图所示的包含关系成立，则,,A B C 应分别为 ．【正方形，矩形，平行四边形】练12 已知全集U R =，则正确表示集合{}1,0,1M =-和{}2=0N x x x +=的关系的韦恩图是（ ）MNUUNMU NMNMUA ．B ．C ．D ．➢ 空集的概念例7 下列四个集合中，是空集的是（ ） A ．{}33=+x xB ．(){}R y x x y y x ∈-=,,,22 C ．{}02≤x xD ．{}R x x x x ∈=+-,012练13 ∅与0的关系是 ．（用∉∈，填写）➢ 元素与集合中的含参问题例8 已知集合{}0232=+-∈=x ax R x A ， （1）若A 是单元素集，求a 的值及集合A ；（2）求集合}{至少含有一个元素使得A a R a P ∈=．练14 已知集合{}R x x ax x A ∈=--=,0122，若集合A 中至多有一个元素，实数a 的取值范围 ．C B A例9 若{}4,12,332---∈-a a a ，实数a = ．练15 已知{}1,152,122+++-=a a a a A ，且A ∈-2，实数a = ．题型二 集合之间的关系 ➢ 集合与集合的关系例10 用列举法表示集合：{}的正约数6=A ，{}的正约数10=B ，{}的正公约数与106=C ，并用适当的符号表示它们之间的关系．例11 填空N _____Z ， N _____Q ，R _____Z ， R _____Q ，∅_____{}0，∅_____{}∅，0_____{}0， {}a _____{}{}{}{}c b a ,,练16 若集合{}|2M x x =≥，则下列结论中正确的是（ ） A ．}2{MB ．2MC ．{}2M ∈D ．2M ∉练17 在下列各式中错误的个数是（ ） （1）{}2,1,01∈ （2）{}{}2,1,01∈ （3）{}{}2,1,01,2,0⊆ （4）{}{}1,0,22,1,0= A ．1 B ．2C ．3D ．4练18 已知集合{}10，=A ，则下列式子错误的是（ ） A ．A ∈0B ．{}A ∈1C ．A ⊆∅D ．{}A ⊆10，练19 集合{}6,5,4,3,2,1=A ，{}x B ,5,4,3=，若B A ⊆，则x 可以取的值为（ ） A ．1,2,3,4,5,6 B ．1,2,3,4,6C ．1,2,3,6D ．1,2,6➢ 子集个数问题例12 若集合{}0)1(|2=-++=k x x k x A 有且仅有两个子集，则实数k 的值是 ．例13 满足{}M b a ⊆,{}e d c b a ,,,,的集合M 的个数是（ ）A ．2个B ．4个C ．7个D ．8个练20 已知集合M 满足{}{},6,5,4,3,2,12,1⊆⊆M 则满足的集合M 有 个．练21 同时满足（1）{}5,4,3,2,1⊆M ，（2）M a M a ∈-∈6,则的非空集合M 共有 个．➢ 集合关系中的含参问题例14 已知{}52≤≤-=x x A ，{}121-≤≤+=m x m x B ，B A ⊆，求m 的取值范围．练22 已知集合{}5<<=x a x A ，{}2≥=x x B ，且满足A B ⊆，求实数a 的取值范围．练23 若数集{}5312-≤≤+=a x a x A ，{}223≤≤=x x B ，则能使A B ⊆成立的所有a 的集合是（ ） A ．{19}a a ≤≤B ．{}96≤≤a a C ．{}9≤a aD ．∅例15 设集合{}240A x x x =+=，{}222(1)10B x x a x a =+++-=，若B A ⊆，求实数a 的集合．练24 已知集合{}{}1,12====ax x B x x A ，若B A ，求实数a 的集合．题型三 集合之间的运算 ➢ 并集例16 若集合{}0,1,2,3A =，{}1,2,4B =，则集合A B =（ ）A ．{}0,1,2,3,4B ．{}1,2,3,4C ．{}1,2D ．{}0练25 已知集合{}{}1,0,1,0,1,2,M N =-=则M N =（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}1,0,1,2-C ．{}1,0,2-D ．{}0,1练26 设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ，{}2|20,N x x x x =-=∈R ，则M N =（ ）A ．{}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-例17 集合{}34M x x =-<，{}220N x x x =+-<，则M N 等于（ ）A ．{}17x x -<<B ．{}27x x -<<C ．{}11x x -<<D ．{}27x x ≤≤练27 设集合()(){}120A x x x =+-<，集合{}13B x x =<<，则A B =（ ）A ．{}13x x -<< B ．{}11x x -<<C ．{}12x x <<D ．{}23x x <<练28 设集合{|2,}x A y y x ==∈R ，2{|10}B x x =-<，则A B =（ ）A ．(1,1)-B ．(0,1)C ．(1,)-+∞D ．(0,)+∞例18 设集合{}2,1=A ，则满足{}3,2,1=B A 的集合B 的个数是（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．8练29 满足{}{}5,11=A 的集合A 的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4练30 若集合},,3,1{},,1{},,3,1{2x B A x B x A === 则满足条件的实数x 的个数为 ． ➢ 交集例19 已知集合{}2,1,3,4A =--，{}1,2,3B =-，则A B = ．练31 已知集合{}{}220,0,1,2A x x x B =-==，则AB =（ ）A ．{}0B ．{}0,1C ．{}0,2D ．{}0,1,2例20 设集合{}2340M x x x =--<，{}05N x x =≤≤，则M N =（ ）A ．(]04，B ．[)04，C ．[)10-，D ．(]10-，练32 设集合{}=(3)(2)0M x x x +-<，{}13N x x =≤≤，则MN = ．练33 已知集合{}40<log <1A x x =，{}2B x x =≤，则A B =（ ）A ．()01，B ．(]02，C ．()12，D ．(]12，练34 已知集合(){},2M x y x y =+=，(){},4N x y x y =-=，那么集合N M 为（ ）A ．1,3-==y xB ．)1,3(-C ．{}1,3-D ．{})1,3(-练35 若集合{}6,A x x x N =≤∈，{}B x x =是非质数，B AC =，则C 的非空子集的个数为 ．例21 已知集合{}24,21,A a a =--，{}5,1,9B a a =--，若{}9A B =，则a 的值为 ．练36 集合{}1,0,1-=A ，{}a a B 2,1+=，若{}0=B A ，则实数a 的值为 ．练37 设{}21<≤-=x x A ，{}a x x B <=，若∅≠B A ，则a 的取值范围是（ ） A ．2a < B ．2a >- C ．1a >- D ．12a -<≤➢ 补集例22 若{}Z x x x U ∈≤≤=,60，{}531，，=A ，{}41，=B ，则UA = ，UB = ．练38 已知全集U ，集合{}1,3,5,7,9A =，{}2,4,6,8UA =，{}1,4,6,8,9UB =，求集合B ．例23 设全集{}2U x N x =∈≥，集合{}25A x N x =∈≥，则UA =（ ）A ．∅B ．{}2C ．{}5D ．{}2,5练39 已知全集U R =，{}0A x x =≤，{}1B x x =≥，则集合()UA B =（ ）A ．{}0x x ≥ B ．{}0x x ≥C ．{}01x x ≤≤D ．{}01x x <<练40 设集合{}9,7,5,4=A ，{}9,8,7,4,3=B ，全集B A U =，则集合()UA B 中的元素共有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个练41 已知全集{}2,1,0=U 且{}2UA =，则集合A 的真子集共有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个例24 已知全集{}32,3,22-+=a a U ，{}7,2+=a A ，{}5UA =，求a 的值．练42 已知全集{}3,3,2+=a I ，若{}2,b A =，{5}I A =，求实数b a ,．➢ 韦恩图例25 已知R U =，集合}1|{>=x x A ，集合}21|{<<-=x x B ，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A ．}1|{>x x B ．}1|{->x xC ．}11|{<<-x xD ．{|112}x x x -<≤≥或练43 设全集R U =，集合{}|1M x x =>，{}|02N x x =<<，则右图中阴影部分表示的集合为（ ） A ．{}|1x x ≤ B ．{}|12x x <≤ C ．{}|01x x <≤D ．{}|01x x <<练44 右图，U 是全集，M ，P ，S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A ．()S P M B ．()S P M C ．()()S C P M UD ．()()UMP S➢ 综合运算例26 设全集{}{}{}110,1,2,3,5,8,1,3,5,7,9U n N n A B =∈≤≤==，则()UA B = ．练45 已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}2,3,5,6A =，集合{}1,3,4,6,7B =，则集合UA B =（ ）A ．{}2,5B ．{}3,6C ．{}2,5,6D ．{}2,3,5,6,8例27 已知全集为R ，集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2680B x x x =-+≤，则ARB =（ ）A ．{}|0x x ≤B ．{}|24x x ≤≤C ．{|02x x ≤<或4}x >D ．{|02x x <≤或4}x ≥练46 已知集合2{20},{12}P x x x Q x x =-≥=<≤，则()P Q =R（ ）A ．[0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．[1,2]练47 设集合{}R x x x A ∈≤-=,22，{}2,12B y y x x ==--≤≤，则()RA B 等于（ ）A ．RB ．{}0,≠∈x R x xC ．{}0D ．∅练48 设{}{}023,02222=++==++=a x x x B ax x x A ，且{}2=B A ． （1）求a 的值及集合A ，B ； （2）设全集B A U =，求()()UUA B ；（3）写出()()UUA B 的所有子集．例28 已知集合A ={}82≤≤x x ，B ={}61<<x x ，C ={}a x x >，R U =． （1）求(),U AB A B ；（2）如果∅≠C A ，求a 的取值范围．练49 已知{|13}A x x =-≤＜，{|13}B x m x m =≤+＜ （1）当1m =时，求AB ；（2）若A C B R ⊆，求实数m 的取值范围．练50 已知全集是实数集R ，{}22321+<<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=a x a x B x xA ，． （1）当1=a 时，求B A B A ,； （2）若()R A B B =，求实数a 的取值范围．【课后巩固1】1．下列命题正确的有（ ） （1）很小的实数可以构成集合；（2）集合{}12-=x y y 与集合(){}1,2-=x y y x 是同一个集合； （3）1，23，46，21-，5.0这些数组成的集合有5个元素；（4）集合(){}R y x xy y x ∈≤,,0,是指第二和第四象限内的点集． A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个2．用描述法表示下列集合 （1）{}1,3,5,7，...；（2）非负偶数；（3）数轴上离开原点的距离大于3的点； （4）方程组11x y x y +=⎧⎨-=⎩的解的集合；3．若{}1->=x x A ,则（ ） A ．0⊆A B ．{0}∈AC ．{0}⊆AD ．∅∈A4．集合{}1,0,1-共有 个子集．5．（2015山东文1）已知集合{}|24A x x =<<，{}|(1)(3)0B x x x =--<，则A B =（ ）A ．(1,3)B ．(14),C ．(2,3)D ．(2,4)6．（2015陕西理1）设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =（ ）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞7．（2016天津文1）已知集合{1,2,3}A =，{|21,}B y y x x A ==-∈，则A B =（ ）A ．{1,3}B ．{1,2}C ．{2,3}D ．{1,2,3}8．（2014山东理2）设集合{}[]{}12,2,0,2xA x xB y y x =-<==∈，则=B A （ ）A ．[]0,2B ．()1,3C ．[)1,3D ．()1,49．（2013重庆）已知全集{}1234U =，，，，集合{}{}1223A B ==，，，，则()UA B =（ ）A ．{}134，，B ．{}34，C ．{}3D ．{}410．（2016浙江理1）已知集合{}13P x R x =∈≤≤，{}24Q x R x =∈≥，则()P Q =R（ ）A ．[]2,3B ．(]2,3-C ．[)1,2D ．(,2][1,)-∞-+∞11．（2015全国Ⅰ文1）已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B 中元素的个数为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．212．已知}31|{},06|{2m x m x B x x x A +≤≤=≤-+= （1）当1=m 时，求A B ；（2）RA B B =，求实数m 的取值范围．【课后巩固2】1．下列集合中表示同一集合的是（ ） A ．(){}(){}3,2,2,3==N MB ．(){}{}1,1,=+==+=y x y N y x y x M C ．{}{}4,5,5,4==N M D ．{}(){}2,1,2,1==n M2．下列式子中，正确的是（ ） A ．R R ∈+B ．{}Z x x x N ∈≤⊇,0|C ．空集是任何集合的真子集D ．{}∅∈∅3．（2015重庆理1）已知集合{}1,2,3A =，{}2,3B =，则（ ） A ．A B = B ．AB =∅C ．A BD ．BA4．已知集合{}{}121,72-<<+=≤≤-=m x m x B x x A ，若A B ⊆，求实数m 的取值范围为 ．5．（2016全国甲理2）已知集合{123}A =，,，{|(1)(2)0}B x x x x Z =+-<∈，，则A B =（ ）A ．{}1B ．{12}，C ．{}0123，，， D ．{10123}-，，，，6．（2013四川）设集合{}|20A x x =+=，集合{}2|40B x x =-=，则A B =（ ）A ．{}2-B ．{}2C ．{}2,2-D ．∅7．（2014四川）已知集合{}220A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B =（ ）A ．{}1,0,1,2-B ．{}2,1,0,1--C ．{}0,1D ．{}1,0-8．（2013浙江）设集合{}|2S x x =>-，{}|41T x x =-≤≤，则S T =（ ）A ．[)4-+∞，B ．2-+∞（，）C ．[]41-，D ．(]21-，9．已知全集{}4,≤∈=x N x x U ，{}2,1=A ，则UA 为（ ）A ．{}3B ．{}3,0C ．{}43，D ．{}4,3,010．设集合{}{}{}4,3,2,3,2,1,2,1===C B A ，则()C B A = ．11．（2013山东）已知集合A ，B 均为全集{}1,2,3,4U =的子集，且(){}4UA B =，{}1,2B =，则()UA B =（ ）A ．{}3B ．{}4C ．{}3,4D ．12．集合{}a A ,2,0=，集合{}2,02-=a B ，若B A B =，则实数a 的取值集合为（ ）A ．{}2,2-B ．{}1,2--C ．{}2,1-D ．{}2,1,2--13．已知全集R U =，集合}0|{2=++=n mx x x A ，}02)(|{2=--+=n x n m x x B ，(){2}UA B =-，(){1}U A B =，求B A ．【课后巩固3】1．下列关系正确的是（ ） A ．∅∈0 B ．{}0⊆∅ C ．{}0=∅ D ．{}0∈∅2．用列举法表示下列集合 （1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈+=N x Z x B 16； （2）{}N y R x x x y y ∈∈+--=,,322；（3）(){}22,1,,x y xy x Z y Z +=∈∈；（4）{}20以内的合数；3．设集合{}{}a x x B x x A <=<<=,21，若B A ⊆，则a 的范围是（ ） A ．2≥a B ．1≤a C ．1≥a D ．2≤a4．（2014新课标Ⅱ）设集合{}0,1,2M =，{}2320x x x N -+≤=，则MN =（ ）A ．{}1B ．{}2C ．{}0,1D ．{}1,25．（2014新课标Ⅰ）已知集合{}2230A x x x =--≥，{}22B x x =-≤<，则A B =（ ）A ．[]2,1--B ．[)1,2-C ．[]1,1-D ．[)1,26．（2015广东理1）若集合()(){}410M x x x =++=，()(){}410N x x x =--=，则M N =（ ）A ．{}1,4B ．{}1,4--C ．{}0D ．∅7．（2016全国乙理1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =（ ）A ．33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭8．（2017天津理1）设集合{}1,2,6A =，{}2,4B =，{}|15C x R x =∈-≤≤，则()A B C =（ ）A ．{}2B ．{}1,2,4C ．{}1,2,4,6D ．{}|15x R x ∈-≤≤9．（2017全国2理2）设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若1AB =，则B =（ ）A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,510．（2014辽宁理1）已知全集U R =，{|0}A x x =≤，{|1}B x x =≥，则集合()UA B =（ ）A ．{|0}x x ≥B ．{|1}x x ≤C ．{|01}x x ≤≤D ．{|01}x x <<11．已知集合B ={}042≥-x x 集合C ={}0≤-a x x ，若C B 是单元素集，则实=a ．12．已知集合{}3+≤≤=a x a x A ，{}01242>--=x x B ．（1）若∅=B A ，求a 的取值范围； （2）若B B A = ，求a 的取值范围．。
高一数学培优拔高讲义第一讲
高一数学同步辅导 培优拔高讲义 第一讲 集合【知识方法导航】1.元素与集合：集合的含义；元素的特征；集合的表示方法；常见数集的表示；元素与集合的关系；集合的分类。
2.集合的基本关系和基本运算：子集、真子集、集合相等；空集的概念与性质；交集与并集、全集与补集。
3.集合的性质：子集性质；交集性质、并集性质、补集性质；有限子集的相关性质。
4.简单的不等式：一元一次不等式；简单的绝对值不等式；简单的一元二次不等式；简单的分式不等式5.一元二次方程：根与系数关系；配方法；简单的二次方程根的分布。
【题型策略导航】1.若集合2{|210}A x ax x =++=是单元素集合，则a = 。
变式：已知集合2{|320,}A x ax x a R =-+=∈中至多一个元素，则a 的取值集合是 。
2.集合6{|}6A x N N x =∈∈=- ; 变式：8{|}6A x Z Z x=∈∈=- 3.集合2{|6,}A y N y x x N =∈=-+∈的非空真子集的个数是________________变式：1.若集合{(,)|25,,}A x y x y x N y N =+=∈∈,则A 的非空真子集的个数为__________2.若{2,4,10}{2,4,6,8,10,12}M ⊆⊆，则集合M 的个数为 。
4.已知全集{|8}U x N x +=∈≤，(){2,8},()(){1,2,3,4,5,6,7,8}U U U A C B C A C B ==，则A = 。
变式：已知全集{|4}U x x =≤，集合{|23}A x x =-<<，集合{|33}B x x =-<≤,求()U C A B =_________5. 已知集合},8,2{a A =,}43,2{2+-=a a B ,又B A ⊇，求实数a 的值。
变式：1.已知集合}045|{2≤+-=x x x P ,}02)2(|{2≤++-=b x b x x Q 且有Q P ⊇，求实数b 取值范围。
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第一讲 集 合一、集合中元素的互异性1、设集合A={2，a 2-a+2,1-a},且4∈A ，求a 的值.2、已知集合{}21,1,3A x x =--,求实数x 应满足的条件.二、集合的描述法表示3、已知集合X={0,1}, Y={x|x ⊆X}, 写出集合Y.4、与集合A={x ∈R|x ≥3}相等的集合是…（ ） A. {x|y=x 2+3} B. {y|y=x 2+3} C. {(x,y)|y=x 2+3} D. {y=x 2+3}5、画出下列集合所表示的图形：(1) {P|PO=3cm} (O 为定点，P 为平面内动点) (2) {(x,y)|y=x}; (3) {(x,y)|1=xy}6、已知a ∈Z,A={(x,y)|ax-y ≤3},且 (2,1)∈A ，(1,-4)∉A,求a 的值.三、注意空集 7、已知集合A={x|-2<x<5},B={x|m+1<x<3m+5}满足B⊆A,求实数m的取值范围.8、已知M={x|x2+2x+1=0}, N={x|ax-1=0}, 且N⊆M,求a的值.四、分类讨论9、已知集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}, 若B⊆A, 求实数a的值. 10、已知集合A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+1}, 若A∩B={-3}，求实数a的值.五、注意韦恩图的应用11、已知全集U={x|x2<50,x∈N},L∩(C U M)={1,6},CBAM ∩(C U L)={2,3},C U (M ∪N)={0,5},求集合M 和L.12、下列表示图形中的阴影部分的是……（ ） A.(A ∪C)∩(B ∪C) B.(A ∪B)∩(A ∪C) C.(A ∪B )∩(B ∪C) D.(A ∪B )∩C13、集合U ，M ，N ，P 如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是……………………………（ ） A ．M ∩（N ∪P ） B.M ∩C U （N ∪P ） C.M ∪C U （N ∩P ） D.M ∪C U （N ∪P ）14、设全集为U ，用集合A 、B 、C 的交、并、补集符号表图中的阴影部分：（1） （2）（3）六、注意一些等价关系的应用 15、填空：(1)若A ⊆B,则A ∩B=______, A ∪B=_________; (2)若A ∩B=A,则A____B, A ∪B=A,则A______B; (3)若A ∩B=A ∪B,则A_____B; (4)若φA,意味着什么？___________________16、填空(1)C U (A ∩B)______(C U A)∪(C U B); (2)C U (A ∪B)______(C U A)∩(C U B). 17、已知集合A={x|x 2-3x+2=0},B={x|x 2-ax+3a-5=0},若A ∩B =B ，求实数a 的取值范围.NUPM18、已知A={x|x2+px+q=0},B={x|x2－3x+2=0}，且A∪B=B，求p、q的关系或p、q 的值.19、已知集合A＝｛x∈R｜x2+2ax+2a2-4a+4＝0｝，若φA，求实数a的取值范围.20、集合A＝｛x｜x2－ax＋a2－19＝0｝，B＝｛x｜x2－5x＋6＝0｝，C＝｛x｜x2＋2x－8＝0｝．(1)若A∩B＝A∪B，求a的值；(2)若∅A∩B，A∩C＝∅，求a的值．七、补集思想(正难则反)21、已知集合A={x|x2-4mx+2m=6=0}，B={x|x<0},若A∩B≠φ,求实数m的取值范围.例22 集合A={x|mx2-2x+1=0,x∈R},若集合A 中至多有一个元素，求实数m的取值范围.第二讲函数一、函数的图像的作法(一)基本函数的图像基本函数是指：1、正比例函数2、一次函数3、反比例函数4、二次函数例题1 作出下列函数图像：(1)y=-2x; (2)y=-2x+3; (3)y=2x;(4)y=x2; (5)y=-x2; (6)y=x2+1;(7)y=x2-1; (8)y=(x+1)2+1; (9)y=(x-1)2-1总结：一次函数作图方法是_____________;二次函数图像作法是______________________.作图要求：_______________________________________________________________________ (二) 作限制自变量取值范围的基本函数图像例2 作出下列函数的图像：(1)y=x2-4x+3,x∈[0,3];(2)y=x2-4x+3,x∈[-1,1];(3)y=x2-4x+3,x∈[3,5]. (三)作分段函数的图像例3 作出函数y=|x-1|+|x+1|的图像.(四)平移法作函数图像函数y=f(x±a)±b的图像可由函数y=f(x)的图像进行左右或上下平移得到例4 作出下列函数的图像：(1)y=11+x; (2)11+-=xxy.(五)对称法作函数图像函数y=f(x)与函数y=-f(x)的图像关于x轴对称，函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图像关于y轴对称. 例5 已知f(x)=x2-6x+5,(1)作出函数y=-f(x)的图像；(2)作出函数y=f(-x)的图像.(六)翻折法作图函数y=|f(x)|的图像可由函数y=f(x)的图像把x轴下方部分向上翻折而得到；函数y=f(|x|)的图像关于y轴对称，而且其在y轴右侧的图像与函数y=f(x)在y轴右侧的图像完全相同.例6 已知函数f(x)=-x2-2x+3, (1)作出函数y=|f(x)|的图像；(2)作出函数y=f(|x|)的图像.二、函数图像的应用（一）求函数的值域例7 求出下列函数的值域：(1)y=|x-3|+|x-5|; (2)y=-x2+6x-5,x∈[0,7];(3)y=x1,x∈[-1,0)∪(0,1].(二)求函数的单调区间例8 求下列函数的单调区间： (1)y=21-x ; (2)y=31-+x x ; (3)y=-x 2+8x-7,x ∈[1,6];(4)y=x 2-3|x|+2; (5)y=|x 2-4x+3|.三、求函数的解析式常见题型与方法 (一)换元法例9 已知f(x+1)=x 2-2x-15,求f(x).例10 已知,1)1(22xx x x f +=+求f(x).(二)待定系数法例11 一次函数f(x)满足f[f(x)]=2x+1, 求f(x).(三)赋值消元法例12 已知函数f(x)满足x xf x f =-)1(2)(， 求f(x)的解析式.例13 已知函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=2x, 求f(x).四 抽象函数定义域问题抽象函数是指未给出函数解析式的函数. (一)已知f(x)的定义域，求f[h(x)]的定义域 例14 已知f(x)的定义域是[-1,4],求f(x 2-2x-4) 的定义域.(二)已知f[h(x)]的定义域，求f(x)的定义域 例15 已知函数f(2x-1)的定义域是[1,2],求函数 f(x)的定义域.(三)已知f[h(x)]的定义域，求f[g(x)]的定义域例16 若f(x+1)的定义域是[-1,2],求函数f(2x-1)的定义域. 五二次函数在闭区间上的最值问题(一)定区间定对称轴型例17 已知f(x)=x2+2x-1,x [1,3],求函数f(x)的最大值与最小值.例18 函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a＞0)在区间[2,3]上的最大值为5最小值为2，求a,b的值.(二)定轴动区间型例19 设二次函数f(x)=x2-2x-1在区间[t,t+1] 上的最小值是g(t),求g(t)的解析式.(三)动轴定区间型例20 已知函数f(x)=x2+ax+3在区间[-2,2]上的最大值为g(a),求g(a). 六抽象函数的单调性(一)利用单调性求最值例21 已知函数f(x)满足f(-x)=-f(x),对任意x1，x2∈R都有f(x1+ x2)=f(x1)+f(x2),且x>0时，f(x)<0,f(1)=-2,求f(x)在区间[-3,3]上的最值.例22 函数f(x)的定义域为（0，+∞），对任意x1，x2∈（0，+∞）都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),当x>1时，f(x)>0,且f(2)=2,求f(x)在区间[8,16]上的最大与最小值.(二)利用单调性解不等式或比较大小例23 已知函数f(x)是定义在（-1,1）上的增函数，且f(t-1)<f(1-2t),求实数t的取值范围.例24 已知函数f(x)定义域为（0，+∞），且对任意的x1，x2 （0，+∞）都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2), 且当x>1时，f(x)>0,又知f(4)=1.(1)求证：f(1)=0;(2)求f(161);(3)解不等式f(3)+f(x-1)≤1.七抽象函数的奇偶性(一)奇偶性的判定例25 已知函数f(x)定义域为R,且对任意实数a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b),求证函数f(x)为奇函数. 例26 已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意a,b∈R都有f(ab)=bf(a)+af(b).(1)求f(1),f(-1);(2)判断f(x)的奇偶性.八函数单调性与奇偶性综合例27 已知函数f(x)为定义在[-5,5]上的奇函数，且在[0.5]上单调递减，比较f(-π)与f(3)的大小. 例28 定义在区间[-2,2]上的奇函数f(x)为减函数，且f(a)+f(a-1)>0,求实数a的取值范围.九分段函数的单调性与奇偶性例29 求证函数f(x)=⎩⎨⎧>+≤-1,1xxxx，在R上是增函数.例30 判断函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<+=>-0,10,00,1x x x x x 的奇偶性.例31 已知函数f(x)是定义在[-3,3]上的偶函数，且当x ∈[0,3]时，f(x)=-2x+1，求函数f(x)的解析式.例32 已知函数f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)-g(x)=-x 2+3x-2,求f(x),g(x)的解析式.。