9.5.2直线与椭圆-2021届高三数学(新高考)一轮复习课件(共24张PPT)
∴此弦所在的直线方程为 y－1＝－12(x－1)，即 x＋2y－3＝0.
类题通法 弦及弦中点问题的解决方法 (1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数 的关系表示中点． (2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率.
【跟踪训练 1】 已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)，点 F 为左焦点，点 P 为下顶点，平
2c＝2 2.
解得 a＝ 3，b＝1. 所以椭圆 M 的方程为x32＋y2＝1.
(2)设直线 l 的方程为 y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
y＝x＋m， 由x32＋y2＝1
得 4x2＋6mx＋3m2－3＝0.
Δ＝48－12m2>0⇒m2<4，
所以 x1＋x2＝－32m，x1x2＝3m24－3.
已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1(－1,0)，F2(1,0)，短轴的两个端 点分别为 B1，B2.
(1)若△F1B1B2 为等边三角形，求椭圆 C 的方程； (2)若椭圆 C 的短轴长为 2，过点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P， Q 两点，且F→1P⊥F→1Q，求直线 l 的方程．
解析：(1)△F1B1B2 为等边三角形，
则cc＝＝1 3b， ⇒aa22－ －bb22＝ ＝31b2， ⇒ab22＝ ＝4133， ，
椭圆 C 的方程为34x2＋3y2＝1.
(2)易知椭圆 C 的方程为x22＋y2＝1， 当直线 l 的斜率不存在时，其方程为 x＝1，不符合题意； 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y＝k(x－1)，
类题通法 (1)解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法， 即联立直线和椭圆的方程，消去 y(或 x)得一元二次方程，然后借助根 与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解； (2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为 0 或不存在等特殊情形.
【跟踪训练 2】
第2课时 直线与椭圆
题型一 直线与椭圆的相交弦问题[自主练透]
1．已知椭圆 M：ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为 36，焦距为 2 2. 斜率为 k 的直线 l 与椭圆 M 有两个不同的交点 A，B.
(1)求椭圆 M 的方程； (2)若 k＝1，求|AB|的最大值．
a2＝b2＋c2， 解析：(1)由题意得ac＝ 36，
等于椭圆的短轴长，求 m 的值．
解析：
(1)设椭圆方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)，则 c＝ 3，ac＝ 23，所以 a＝2， b＝1，所求椭圆方程为x42＋y2＝1.
(2)由x42＋y2＝1， 消去 y，得 5x2＋8mx＋4(m2－1)＝0，则 Δ>0， y＝x＋m，
得 m2<5.(*) 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则 x1＋x2＝－85m，x1x2＝4m25－1， |PQ|＝ 2－85m2－16m52－1＝2.
(2)由(1)知，a＝2c，b＝ 3c，故椭圆方程为4xc22＋3yc22＝1.
由题意，F(－c,0)，则直线 l 的方程为 y＝34(x＋c)．
点 P 的坐标满足y4x＝c22＋433xy＋c22＝c，1，
消去 y 并化简，
得到 7x2＋6cx－13c2＝0，
解得 x1＝c，x2＝－173c. 代入到 l 的方程，解得 y1＝32c，y2＝－194c.
by222＝1.∴x1＋x2a2x1－x2＋y1＋y2b2y1－y2＝0，∴a22＋－b2bc＝0，可得 2bc
＝ a2 ， ∴4c2(a2 － c2) ＝ a4 ， 化 为
4e4 － 4e2 ＋ 1 ＝ 0 ， 解 得
e2
＝
1 2
，
又
∵0<e<1.∴e＝
2 2.
题型三 直线与椭圆的综合问题[师生共研] [例 2] [2019·天津卷]设椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的左焦点为 F，左 顶点为 A，上顶点为 B，已知 3|OA|＝2|OB|(O 为原点)． (1)求椭圆的离心率；
行于 FP 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，且 AB 的中点为 M1，12，则 椭圆的离心率为( )
21 1
3
A. 2 B.2 C.4 D. 2
答案：A
解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)．∵AB 的中点为 M1，12，∴x1＋ x2＝2，y1＋y2＝1.∵PF∥l，∴kPF＝kl＝－bc＝yx11－－yx22.由ax212＋by212＝1，ax222＋
解得 k2＝17，即 k＝± 77， 故直线 l 的方程为 x＋ 7y－1＝0 或 x－ 7y－1＝0.
y＝kx－1， 由x22＋y2＝1，
得(2k2＋1)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，
由已知得 Δ>0， 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则 x1＋x2＝2k42k＋2 1，x1x2＝22kk22－＋11，
F→1P＝(x1＋1，y1)，F→1Q＝(x2＋1，y2)， 因为F→1P⊥F→1Q，所以F→1P·F→1Q＝0， 即(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋k2(x1－1)(x2－1)＝(k2 ＋1)x1x2－(k2－1)(x1＋x2)＋k2＋1＝27kk22＋－11＝0，
|AB|＝ 2[x1＋x22－4x1x2]＝
12－23m2＝
6· 4－m2 2.
当 m＝0，即直线 l 过原点时，|AB|最大，最大值为 6.
2．已知椭圆的两焦点为 F1(－
3，0)，F2(
3，0)，离心率
e＝
3 2.
(1)求此椭圆的方程；
(2)设直线 l：y＝x＋m，若 l 与此椭圆相交于 P，Q 两点，且|PQ|
因为点 P 在 x 轴上方，所以 Pc，32c. 由圆心 C 在直线 x＝4 上，可设 C(4，t)． 因为 OC∥AP，且由(1)知 A(－2c,0)，
3 故4t ＝c＋2c2c，解得 t＝2. 因为圆 C 与 x 轴相切，所以圆 C 的半径为 2.
又由圆 C 与 l 相切，得344＋1＋c－3422＝2，可得 c＝2. 所以，a＝4，b2＝a2－c2＝12，椭圆的方程为1x62 ＋1y22 ＝1.
解得 m＝± 430，满足(*)式，所以 m＝± 430.
类题通法 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直 线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题． (2)设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝
1＋k2[x1＋x22－4x1x2] ＝ 1＋k12[y1＋y22－4y1y2] (k 为 直 线 斜 率)．
y－1＝kx－1， 由x42＋y22＝1，
消去 y 得，(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，
∴x1＋x2＝42kkk2＋－11，又∵x1＋x2＝2， ∴42kkk2＋－11＝2，解得 k＝－12.
经检验，k＝－12满足题意． 故此弦所在的直线方程为 y－1＝－12(x－1)， 即 x＋2y－3＝0.
(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下 进行的，不要忽略判别式.
题型二 中点弦问题[师生共研] [例 1] 已知 P(1,1)为椭圆x42＋y22＝1 内一定点，经过 P 引一条弦，
使此弦被 P 点平分，求此弦所在的直线方程．
解析： 解法一 易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其方程为 y－1＝k(x －1)，弦所在的直线与椭圆相交于 A，B 两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(2)设经过点 F 且斜率为34的直线 l 与椭圆在 x 轴上方的交点为 P， 圆 C 同时与 x 轴和直线 l 相切，圆心 C 在直线 x＝4 上，且 OC∥AP， 求椭圆的方程．
解析：(1)设椭圆的半焦距为 c，由已知有 3a＝2b，又由 a2＝b2
＋c2，消去
b
得
a2＝
23a2＋c2，解得ac＝12.所以，椭圆的离心率为12.
解法二 易知此弦所在直线的斜率存在，∴设斜率为 k，弦所在的直线
与椭圆相交于 A，B 两点， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x421＋y221＝1，① x422＋y222＝1，② ①－②得x1＋x24x1－x2＋y1＋y22y1－y2＝0， ∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， ∴x1－2 x2＋y1－y2＝0，∴k＝yx11－－yx22＝－12.
2021版高考数学一轮复习第9章解析几何第5节椭圆课件文新人教A版
4．(选修 2－1P49A 组 T6 改编)已知点 P 是椭圆x52＋y42＝1 上 y 轴右侧的一点，且以点 P 及焦点 F1，F2 为顶点的三角形的面积等于 1，则点 P 的坐标为________．
解析：设 P(x，y)，由题意知 c2＝a2－b2＝5－4＝1，
所以 c＝1，则|F1F2|＝2.由题意可得，点 P 到 x 轴的距离为 1，所以 y＝±1，把 y＝±1 代入x52＋y42＝1，
其数学表达式：集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}， |F1F2|＝2c，其中 a>0，c>0，且 a，c 为常数：
(1)若 4 __a_>_c_____，则集合 P 为椭圆； (2)若 5 __a_＝__c____，则集合 P 为线段； (3)若 6 __a_<_c_____，则集合 P 为空集．
)
解析：(1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F1F2|
时，其轨迹为线段 F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形．
(2)因为 e＝ac＝ a2a－b2＝
1－ba2，所以 e 越大，则ba越小，椭圆就越扁．
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
得 x＝± 215，又 x>0，所以 x＝ 215，
所以 P 点坐标为
215，1或
215，－1.
答案：
215，1或
215，－1
三、易错自纠 5．若方程5－x2m＋m＋y2 3＝1 表示椭圆，则 m 的取值范围是________．
解析：由方程表示椭圆知5m－＋m3>>00， ， 5－m≠m＋3，
解得－3<m<5 且 m≠1.
A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0)
9.5第3课时-直线和椭圆课件-2025届高三数学一轮复习
共点.
(2)(2024·福州模拟)当m取何值时,直线l:y=x+m与椭圆9x2+16y2=144.
③有两个公共点.
【解析】③要使直线l:y=x+m与椭圆9x2+16y2=144有两个公共点,
则Δ>0,即-576m2+14 400>0,解得-5<m<5,
解题技法
1.弦长的求解方法
(1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解.
(2)当直线的斜率存在时,斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两个不同的
点,则
①|AB|= 1 + 2 |x1-x2|= (1 + 2 )[(1 + 2 )2 − 41 2 ];
9 4
交点个数是(
)
A.至多为1
B.2
C.1
D.0
【解析】选B.由题意知
4
2 +
2 + 2 <2,
>2,即
2
2 2
所以点P(m,n)在椭圆 + =1的内部,
9 4
故所求交点个数是2.
【加练备选】
2 2
已知直线l:kx+y+1=0,椭圆C: + =1,则直线l与椭圆C的位置关系是(
16 4
> > 0 的离心率为
6
,且过点
3
3,1 .
(1)求椭圆G的方程;
【解析】(1)由题意,
6
= =
2021届高考数学新人教版一轮复习课件：第8章 第5讲 椭圆
)
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√
答案
2．小题热身
(1)椭圆x92＋y42＝1 的离心率是(
)
A.
13 3
B.
5 3
C.23
D.59
解析 由已知得 a＝3，b＝2，所以 c＝ a2－b2＝ 32－22＝ 5，离心率
e＝ac＝
5 3.
解析 答案
(2)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)，若长轴的长为 6，且两焦点恰好将
长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )
A.3x62 ＋3y22 ＝1
B.x92＋y82＝1
C.x92＋y52＝1
D.1x62 ＋1y22 ＝1
解析 由题意，得22ac＝13，2a＝6，解得 a＝3，c＝1，则 b＝ 32－12＝ 8， 所以椭圆 C 的方程为x92＋y82＝1.故选 B.
解析 答案
(3)
(2)方程 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0 且 m≠n)表示的曲线是椭圆．( )
(3)椭圆上一点 P 与两焦点 F1，F2 构成△PF1F2 的周长为 2a＋2c(其中 a
为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( )
(4)ax22＋by22＝1(a>b>0)与ay22＋bx22＝1(a>b>0)的焦距相同．(
5．必记结论 (1)设椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)上任意一点 P(x，y)，则当 x＝0 时，|OP|有 最小值 b，P 点在短轴端点处；当 x＝±a 时，|OP|有最大值 a，P 点在长轴 端点处． (2)已知过焦点 F1 的弦 AB，则△ABF2 的周长为 4a.
1．概念辨析
高考数学一轮复习课后限时集训52直线与椭圆课件
B．x2＋y2＝9
C．2x52 ＋y92＝1
D．x2＝16y
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
6．(多选)(2020·福建侨光中学月考)在平面内，若曲线C上存在点
P，使点P到点A(3,0)，B(－3,0)的距离之和为10，则称曲线C为“有用
曲线”．以下曲线是“有用曲线”的是( )
A．x＋y＝5
＝2x－2.联立x52＋y42＝1， y＝2x－2，
解得交点坐标为(0，－2)，53，34，不妨
设A点的纵坐标yA＝－2，B点的纵坐标yB＝43，∴S△OAB＝12·|OF|·|yA－yB|
＝12×1×－2－43＝53.]
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
3．(2020·沙坪坝区校级模拟)已知椭圆C：x82＋y42＝1，过点P(2,1) 的直线交椭圆于A，B两点，若P为线段AB中点，则|ABx52 ＋y92＝1
D．x2＝16y
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
ACD [设点P的坐标为(x，y)，由点P到点A(3,0)，B(－3,0)的距离 之和为10，可得点P的轨迹方程为2x52 ＋1y62 ＝1.对于A，由 x＋y＝5， 2x52 ＋1y62 ＝1， 整理得41x2－250x＋225＝0，Δ＝2502－4×41×225＝ 25 600＞0，因此曲线x＋y＝5上存在点P满足条件，故选项A给出的曲
B [将直线方程y＝x＋3代入C的方程并整理得(a2＋b2)x2＋6a2x＋ 9a2－a2b2＝0，由椭圆与直线只有一个公共点得，Δ＝(6a2)2－4(a2＋ b2)(9a2－a2b2)＝0，化简得a2＋b2＝9，ac＝ a2a－b2＝ 55，则ba22＝45，解 得a2＝5，b2＝4，所以椭圆的方程为x52＋y42＝1.]
高考数学一轮复习第9章第5节椭圆课件理2
3．(2019 年全国卷Ⅰ)已知椭圆 C 的焦点为 F1(－1，0)，F2(1，0)，过 F2 的直线与椭
圆 C 交于 A，B 两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则椭圆 C 的方程为( )
A．x22＋y2＝1
B．x32＋y22＝1
C．x42＋y32＝1
D．x52＋y42＝1
解析：选 B 设|F2B|＝x(x>0)，则|AF2|＝2x，|AB|＝3x， |BF1|＝3x，|AF1|＝4a－(|AB|＋|BF1|)＝4a－6x，由椭圆的定 义知|BF1|＋|BF2|＝2a＝4x，所以|AF1|＝2x.
(4)方程 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．( )
(5)ay22＋bx22＝1(a≠b)表示焦点在 y 轴上的椭圆．(
)
(6)ax22＋by22＝1(a>b>0)与ay22＋bx22＝1(a>b>0)的焦距相等．(
)
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)× (6)√
解析：不妨设 F1，F2 分别是椭圆 C 的左、右焦点，由 M 点在第一象限，△MF1F2 是等腰三角形，知|F1M|＝|F1F2|，又由椭圆方程3x62 ＋2y02 ＝1，知|F1F2|＝8，|F1M|＋|F2M|＝ 2×6＝12，所以|F1M|＝|F1F2|＝8，|F2M|＝4.
2
课 堂 ·考 点 突 破
考点一 椭圆的定义及标准方程
|题组突破|
1．设椭圆 C：x42＋y2＝1 的左焦点为 F，直线 l：y＝kx(k≠0)与椭圆 C 交于 A，B 两
点，则|AF|＋|BF|的值是( )
A．2
B．2 3
新高考数学椭圆-第2课时 直线与椭圆的位置关系精品课件
解:易知F1(-1,0),F2(1,0).①当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,∴x1+x2=,x1·x2=.∵A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆C上,∴=1-,=1-,∴|AF1|===,
课堂考点探究
解:将直线l的方程与椭圆C的方程联立,得方程组将①代入②,整理得7x2+8mx+4m2-12=0③.方程③根的判别式Δ=(8m)2-4×7×(4m2-12)=-48m2+336.(1)当Δ>0,即-<m<时,方程③有两个不同的实数根,可知原方程组有两组不同的实数解,这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点.(2)当Δ=0,即m=±时,方程③有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解,这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点,即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
课堂考点探究
例3 已知椭圆M:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,左焦点为F,椭圆M的离心率为,且过点.(2)若过点N(1,1)的直线与椭圆M交于P,Q两点,且线段PQ的中点恰为点N,求直线PQ的方程.
解:设P(xP,yP),Q(xQ,yQ),∵线段PQ的中点恰为点N,∴xP+xQ=2,yP+yQ=2.由题知+=1,+=1,两式相减可得(xP+xQ)(xP-xQ)+(yP+yQ)·(yP-yQ)=0,∴=-,即直线PQ的斜率为-,∴直线PQ的方程为y-1=-(x-1),即3x+4y-7=0.
课堂考点探究
例2 [2021·辽宁辽阳一模] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,且点在C上.(2)设过F2的直线l与C交于A,B两点,若|AF1|·|BF1|=,求|AB|.
2021届高考数学新人教版一轮复习课件：第8章 第5讲 椭圆
1
PART ONE
基础知识过关
1.椭圆的定义 (1)定义：在平面内到两定点 F1，F2 的距离的 01 _和___等于 02 _常__数___ (大 于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间 的距离叫做 03 __焦__距____． (2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝ 04 __2a__，且 2a 05 _>__|F1F2|}，|F1F2| ＝2c，其中 a>c>0，且 a，c 为常数． 注：当 2a>|F1F2|时，轨迹为椭圆；当 2a＝|F1F2|时，轨迹为线段 F1F2； 当 2a<|F1F2|时，轨迹不存在．
解析
解 法 一 ： ∵ △ PF1F2
的
面
积
为
1 2
|PF1||PF2|·sin
∠
F1PF2≤
12|PF1|＋2 |PF2|2＝12a2.又 2a＝4，∴a2＝4，∴△PF1F2 面积的最大值为 2.
解析
解法二：由题意可知 2a＝4，解得 a＝2.当 P 点到 F1F2 距离最大时， S△PF1F2 最大，此时 P 为短轴端点，
解析 由已知得点 P 到点 A(0，－7)和 B(0,7)的距离之和为 16，且 16>|AB|，所以点 P 的轨迹是以 A(0，－7)，B(0,7)为焦点，长轴长为 16 的椭 圆．显然 a＝8，c＝7，故 b2＝a2－c2＝15，所以动点 P 的轨迹方程为6x42 ＋1y52 ＝1.
解析
2
PART TWO
AF2＋BF2＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝4a＝8.
解析 答案
2．在平面直角坐标系 xOy 中，P 是椭圆y42＋x32＝1 上的一个动点，点
9.5.1椭圆定义及其性质-2021届高三数学(新高考)一轮复习课件(共39张PPT)
解析：若 a2＝5，b2＝m，则 c＝
5－m，由ac＝
510，即
5－m＝ 5
510，
解得 m＝3；若 a2＝m，b2＝5，则 c＝
m－5.由ac＝
510，即
m－5＝ 5
510，
解得 m＝7.
三、走进高考
5．[2019·全国Ⅰ卷]已知椭圆 C 的焦点为 F1(－1,0)，F2(1,0)，过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则 C 的 方程为( )
A.x22＋y2＝1 B.x32＋y22＝1 C.x42＋y32＝1 D.x52＋y42＝1
答案：B
解析：令|F2B|＝x(x>0)，则|AF2|＝2x，|AB|＝3x，|BF1|＝3x，|AF1| ＝4a－(|AB|＋|BF1|)＝4a－6x，由椭圆的定义知|BF1|＋|BF2|＝2a＝4x， 所以|AF1|＝2x.在△BF1F2 中，由余弦定 理 得 |BF1|2 ＝ |F2B|2 ＋ |F1F2|2 － 2|F2B|·|F1F2|cos∠BF2F1，即 9x2＝x2＋22 －4xcos∠BF2F1 ①，在△AF1F2 中，由 余 弦 定 理 得 |AF1|2 ＝ |AF2|2 ＋ |F1F2|2 － 2|AF2|·|F1F2|cos∠AF2F1，即 4x2＝4x2＋
答案：A 解析：∵焦点在 x 轴上，∴a2＝m－2，b2＝10－m，∴c2＝a2－b2 ＝m－2－10＋m＝2m－12＝4.∴m＝8.
2．[选修一·P80 T3]过点 A(3，－2)且与椭圆x92＋y42＝1 有相同焦点 的椭圆的方程为( )
A.1x52 ＋1y02 ＝1 B.2x52 ＋2y02 ＝1 C.1x02 ＋1y52 ＝1 D.2x02 ＋1y52 ＝1
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第8章 §8.5 椭 圆
2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）第八章 直线和圆、圆锥曲线§8.5 椭 圆考试要求1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.掌握椭圆的简单应用.内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练第一部分1.椭圆的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于______(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的_____，两焦点间的距离叫做椭圆的______.常数焦点焦距焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形 标准方程 ＝1(a >b >0) ＝1(a >b >0)范围__________________________________________2.椭圆的简单几何性质－a ≤x ≤a 且－b ≤y ≤b －b ≤x ≤b 且－a ≤y ≤a顶点_____________________________________________________________________________轴长短轴长为____，长轴长为____焦点______________________________________焦距|F 1F 2|＝____对称性对称轴：_________，对称中心：______离心率______________a ，b ，c 的关系___________A 1(－a ,0)，A 2(a ,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )，B 1(－b ,0)，B 2(b ,0)2b 2a F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )2c x 轴和y 轴原点a 2＝b 2＋c 2常用结论椭圆的焦点三角形椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形.如图所示，设∠F 1PF 2＝θ.(1)当P 为短轴端点时，θ最大， 最大.12F PF S △12F PF S △常用结论(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ.(6)焦点三角形的周长为2(a＋c).判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( )(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形.( )(3) ＝1(m ≠n )表示焦点在y 轴上的椭圆.( )(4)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆.( )√×××√A.6B.3C.4D.2√√第二部分例1 (1)(2022·丽江模拟)一动圆P与圆A：(x＋1)2＋y2＝1外切，而与圆B：(x－1)2＋y2＝64内切，那么动圆的圆心P的轨迹是√A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.双曲线的一支设动圆P的半径为r，又圆A：(x＋1)2＋y2＝1的半径为1，圆B：(x－1)2＋y2＝64的半径为8，则|P A|＝r＋1，|PB|＝8－r，可得|P A|＋|PB|＝9，又9>2＝|AB|，则动圆的圆心P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为9的椭圆.又∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|F 1F 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|－2|PF 1||PF 2|cos 60°＝4a 2－3|PF 1||PF 2|＝4a 2－16，12PF F S △12PF F S △延伸探究 若将本例(2)中“∠F 1PF 2＝60°”改成“PF 1⊥PF 2”，求△PF 1F 2的面积.∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4(a 2－4)＝4a 2－16，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|，∴|PF 1|·|PF 2|＝8，12PF F S △思维升华椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等.(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.跟踪训练1 (1)已知△ABC的周长为12，B(0，－2)，C(0,2)，则顶点A的轨迹方程为√∵△ABC的周长为12，顶点B(0，－2)，C(0,2)，∴|BC|＝4，|AB|＋|AC|＝12－4＝8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，又8>4，∴点A的轨迹是椭圆，且a＝4，c＝2，∴b2＝12，(2)(2023·郑州模拟)若F为椭圆C： ＝1的右焦点，A，B为C上两动点，则△ABF周长的最大值为A.4B.8√C.10D.20如图，设F1为椭圆C的左焦点，则由椭圆的定义可得△ABF的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|＝2a－|AF1|＋2a－|BF1|＋|AB|＝4a＋|AB|－|AF1|－|BF1|＝20＋|AB|－|AF1|－|BF1|，当A，B，F1共线时，|AB|－|AF1|－|BF1|＝0，当A，B，F1不共线时，|AB|－|AF1|－|BF1|<0，所以△ABF周长的最大值为20.命题点1 定义法例2 (2023·南京模拟)已知椭圆的两个焦点分别为F1(0,2), F2(0，－2)，P 为椭圆上任意一点，若|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中项，则此椭圆的标准方程为√命题点2 待定系数法设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n).将P1，P2代入方程，思维升华根据条件求椭圆方程的主要方法(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.√A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件当1<k<5时，该方程不一定表示椭圆，例如当k＝3时，方程变为x2＋y2＝2，它表示一个圆，√如图，不妨设A(x0，y0)在第一象限，由椭圆的左焦点F1(－1,0)，点C，F1是线段AB的三等分点，得C为AF1的中点，F1为BC的中点，所以x0＝1，结合a2－b2＝c2＝1，解得a2＝5，b2＝4，命题点1 离心率√√设P(m，n)(n≠0)，则Q(－m，n)，易知A(－a,0)，因为点P在椭圆C上，思维升华求椭圆离心率或其范围的方法命题点2 与椭圆有关的范围(最值)问题√如图所示，当点M为椭圆的短轴顶点时，∠F1MF2最大，∴|MO|＝b，|MF2|＝a，|OF2|＝c，4所以c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，因为F(－1,0)，A(2,0)，思维升华与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质.(2)利用函数，尤其是二次函数.(3)利用不等式，尤其是基本不等式.√由题意|AF1|＝|AF2|＝a，设|BF1|＝t，则|BF2|＝2a－t，又以AB为直径的圆过F2，所以AF2⊥BF2，所以a2＋(2a－t)2＝(a＋t)2，因为∠AF1F2＋∠BF1F2＝180°，所以cos∠AF1F2＋cos∠BF1F2＝0，√。
新课程2021高考数学一轮复习第八章平面解析几何第5讲椭圆课件
解析 设椭圆方程为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0 且 m≠n)．由已知得
94m＋245n＝1， 3m＋5n＝1，
解得 m＝16，n＝110，所以椭圆方程为1y02 ＋x62＝1.
1.定义法求椭圆的标准方程 根据椭圆的定义确定 a2，b2 的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程．见 举例说明 1.其中常用的关系有： (1)b2＝a2－c2； (2)椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于 2a； (3)椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于半实轴长 a.
02 ＝
1＋k12|y1－y2| .
□03 2b2
(2) 焦 点 弦 ( 过 焦 点 的 弦 ) ： 最 短 的 焦 点 弦 为 通 径 长
a
，最长
为 □04 2a .
5．必记结论 (1)设椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)上任意一点 P(x，y)，则当 x＝0 时，|OP|有 最小值 b，P 点在短轴端点处；当 x＝±a 时，|OP|有最大值 a，P 点在长轴端 点处． (2)已知过焦点 F1 的弦 AB，则△ABF2 的周长为 4a.
的系数 A 一定不为 0)，设其判别式为 Δ：
(1)Δ>0⇔直线与椭圆 □01 相交 ； (2)Δ＝0⇔直线与椭圆 □02 相切 ； (3)Δ<0⇔直线与椭圆 □03 相离．
4．弦长公式
(1)若直线 y＝kx＋b 与椭圆相交于两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
□ □ 则|AB|＝ 01
1＋k2|x1－x2|
A.3x62 ＋3y22＝1 C.x92＋y52＝1
B.x92＋y82＝1 D.1x62 ＋1y22 ＝1
答案 B 解析 由题意，得22ac＝13，2a＝6，解得 a＝3，c＝1，则 b＝ 32－12＝ 8， 所以椭圆 C 的方程为x92＋y82＝1.故选 B.