北方民族大学 高等数学期末试题(下)A
宁夏银川市西夏区北方民族大学附中高二数学下学期期末考试试卷 文(含解析)
2014-2015学年宁夏银川市西夏区北方民族大学附中高二（下）期末数学试卷（文科）一．选择题（本大题共有12个小题，每题5分共60分）1．已知集合M={x|x2＜4}，N={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则集合M∩N等于( )A．{x|x＜﹣2}B．{x|x＞3}C．{x|﹣1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}2．已知全集U=|1，2，3，4，5|，且A={2，3，4}，B={1，2}，则A∩（∁∪B）等于( ) A．{2}B．{5}C．{3，4}D．{2，3，4，5}3．复数的的共轭复数是( )A．B．﹣C．iD．﹣i4．已知a＞b，ab≠0，则下列不等式中：①a2＞b2 ②③恒成立的个数是( )A．0B．1C．2D．35．已知i是虚数单位，复数z=，则|z﹣2|=( )A．2B．2C．D．16．已知集合M={x|y2=x+1}，P={x|y2=﹣2（x﹣3）}，那么M∩P等于( ) A．{（x，y）|x=，y=±}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|﹣1≤x≤3}D．{x|x≤3}7．复数z=a2+b2+（a+|a|）i（a、b∈R）为实数的充要条件是( )A．|a|=|b|B．a＜0且a=﹣bC．a＞0且a≠bD．a≤08．在约束条件下，目标函数z=2x+y的值( )A．有最大值2，无最小值B．有最小值2，无最大值C．有最小值，最大值2D．既无最小值，也无最大值9．对任意a∈，函数f（x）=x2+（a﹣4）x+4﹣2a的值恒大于0，则x的范围是( )A．x＜1或x＞2B．1＜x＜2C．x＜1或x＞3D．1＜x＜310．已知f（x）=cosx，则f（π）+f′（）=( )A．B．C．﹣D．﹣11．如图，其中有一个是函数f（x）=x3+ax2+（a2﹣1）x+1（a∈R，a≠0）的导函数f′（x）的图象，则f（﹣1）为( )A．2B．﹣C．3D．﹣12．若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x3和y=ax2+x﹣9都相切，则a等于( ) A．﹣1或﹣B．﹣1或C．﹣或﹣D．﹣或7二．填空题（本大题共有4个小题，每题5分共20分）13．函数f（x）=+lg（1﹣x）的定义域是__________．14．已知复数z满足（3+2z）i2003=1（i为虚数单位），则z=__________．15．已知f（x）=ax3+4x2+2，若f′（﹣1）=4，则a的值等于__________．16．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=3x2+2xf′（2），则f′（5）=__________．三、解答题（共4小题，满分50分）17．（1）已知复数z满足：|z|=1+3i﹣z，求的值．（2）已知函数y=（x+1）（x+2）（x+3）．求该函数的导函数．（3）求不等式﹣1＜x2+2x﹣1≤2的解集．18．已知集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|x≥2}．（1）求A∩B；（2）若C={x|2x+a＞0}，满足B∪C=C，求实数a的取值范围．19．已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|﹣≤x≤2}，试求不等式cx2+bx+a＜0的解集．20．（14分）设函数．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅲ）若对于任意的x∈（3a，a），都有f（x）＜a+1，求a的取值范围．【4-1几何证明】（共1小题，满分0分）23．如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．【4-4坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）24．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（），圆C的参数方程（θ为参数）．（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．2014-2015学年宁夏银川市西夏区北方民族大学附中高二（下）期末数学试卷（文科）一．选择题（本大题共有12个小题，每题5分共60分）1．已知集合M={x|x2＜4}，N={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则集合M∩N等于( )A．{x|x＜﹣2}B．{x|x＞3}C．{x|﹣1＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：先化简两个集合，再由交集的定义求交集，然后比对四个选项，选出正确选项来解答：解：由题意集合M={x|x2＜4}═{x|﹣2＜x＜2}，N={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，∴M∩N={x|﹣1＜x＜2}故选C点评：本题考查交集及其运算，求解的关键是化简两个集合及正确理解交集的定义．2．已知全集U=|1，2，3，4，5|，且A={2，3，4}，B={1，2}，则A∩（∁∪B）等于( ) A．{2}B．{5}C．{3，4}D．{2，3，4，5}考点：交、并、补集的混合运算．分析：由题意全集U=|1，2，3，4，5|，且A={2，3，4}，B={1，2}，根据补集的定义可得C∪B={3，4，5}，再根据交集的定义计算A∩（C∪B）．解答：解：∵全集U=|1，2，3，4，5|，B={1，2}，∴C∪B={3，4，5}，∵A={2，3，4}，∴A∩（C∪B）={3，4}，故选C．点评：此题考查集合间的交、并、补运算是高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分．3．复数的的共轭复数是( )A．B．﹣C．iD．﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：复数的分母实数化，化简为a+bi的形式，然后求出它的共轭复数即可．解答：解：复数===i．所以复数的的共轭复数是：﹣i．故选D点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，共轭复数的概念，考查计算能力．4．已知a＞b，ab≠0，则下列不等式中：①a2＞b2 ②③恒成立的个数是( )A．0B．1C．2D．3考点：不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：当 a=1，b=﹣2 时，经检验，这三个命题都不正确，由此得出结论．解答：解：当 a=1，b=﹣2 时，显然①a2＞b2 不成立，②不成立，③不成立，故选A．点评：本题主要考查不等式与不等关系，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础题．5．已知i是虚数单位，复数z=，则|z﹣2|=( )A．2B．2C．D．1考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的公式求模．解答：解：∵z﹣2=﹣2=，∴|z﹣2|=．故选：C．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．6．已知集合M={x|y2=x+1}，P={x|y2=﹣2（x﹣3）}，那么M∩P等于( )A．{（x，y）|x=，y=±}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|﹣1≤x≤3}D．{x|x≤3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出M与N中x的范围确定出两集合，找出两集合的交集即可．解答：解：由M中y2=x+1≥0，得到x≥﹣1，即M=，则M∩P=={x|﹣1≤x≤3}．故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．7．复数z=a2+b2+（a+|a|）i（a、b∈R）为实数的充要条件是( )A．|a|=|b|B．a＜0且a=﹣bC．a＞0且a≠bD．a≤0考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：直接由分式z的虚部等于0求得复数z=a2+b2+（a+|a|）i（a、b∈R）为实数的充要条件．解答：解：复数z=a2+b2+（a+|a|）i为实数的充要条件是a+|a|=0，即a≤0．故选：D．点评：本题考查复数的基本概念，考查了复数为实数的充要条件，是基础题．8．在约束条件下，目标函数z=2x+y的值( )A．有最大值2，无最小值B．有最小值2，无最大值C．有最小值，最大值2D．既无最小值，也无最大值考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数2x+y的最值情况．解答：解：由约束条件得如图所示的三角形区域，令2x+y=z，y=﹣2x+z，显然当平行直线过点B（）时，z取得最大值为2；当平行直线过点B（0，）时，z取得最小，但B点不在可行域内；故选A点评：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．9．对任意a∈，函数f（x）=x2+（a﹣4）x+4﹣2a的值恒大于0，则x的范围是( ) A．x＜1或x＞2B．1＜x＜2C．x＜1或x＞3D．1＜x＜3考点：二次函数的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：把二次函数的恒成立问题转化为y=a（x﹣2）+x2﹣4x+4＞0在a∈上恒成立，再利用一次函数函数值恒大于0所满足的条件即可求出x的取值范围．解答：解：原问题可转化为关于a的一次函数y=a（x﹣2）+x2﹣4x+4＞0在a∈上恒成立，只需，∴，∴x＜1或x＞3．故选C．点评：此题是一道常见的题型，把关于x的函数转化为关于a的函数，构造一次函数，因为一次函数是单调函数易于求解，对此类恒成立题要注意．10．已知f（x）=cosx，则f（π）+f′（）=( )A．B．C．﹣D．﹣考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：根据导数的运算法则，求导，然后导入值计算即可解答：解：f（x）=cosx，则f′（x）=﹣，∴f（π）+f′（）=cosπ﹣﹣=﹣﹣=﹣，故选：D点评：本题考查了导数的运算法则，属于基础题11．如图，其中有一个是函数f（x）=x3+ax2+（a2﹣1）x+1（a∈R，a≠0）的导函数f′（x）的图象，则f（﹣1）为( )A．2B．﹣C．3D．﹣考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：求出f（x）的导函数发现为开口向上的抛物线，由a≠0得到其图象必为第（3）个图，由图象知f′（0）=0解得a的值，即可求出f（﹣1）．解答：解：∵f′（x）=x2+2ax+（a2﹣1），∴导函数f′（x）的图象开口向上．又∵a≠0，∴其图象必为（3）．由图象特征知f′（0）=a2﹣1=0，且对称轴x=﹣a＞0，∴a=﹣1，f（x）=x3﹣x2+1，故f（﹣1）=﹣．故选B．点评：本题考查导数的运算能力．熟悉函数图象的能力，以及会求函数值的能力，属于中档题．12．若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x3和y=ax2+x﹣9都相切，则a等于( ) A．﹣1或﹣B．﹣1或C．﹣或﹣D．﹣或7考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：先求出过点（1，0）和y=x3相切的切线方程，即可得到结论．解答：解：设直线与曲线y=x3的切点坐标为（x0，y0），则函数的导数为f′（x0）=3x02，则切线斜率k=3x02，则切线方程为y﹣x03=3x02（x﹣x0），∵切线过点（1，0），∴﹣x03=3x02（1﹣x0）=3x02﹣3x03，即2x03=3x02，解得x0=0或x0=，①若x0=0，此时切线的方程为y=0，此时直线与y=ax2+x﹣9相切，即ax2+x﹣9=0，则△=（）2+36a=0，解得a=﹣．②若x0=，其切线方程为y=x﹣，代入y=ax2+x﹣9得y=ax2+x﹣9=x﹣，消去y可得ax2﹣3x﹣=0，又由△=0，即9+4××a=0，解可得a=﹣1．故a=﹣1或a=﹣．故选：A．点评：本题主要考查函数切线方程的求解，根据导数的几何意义是解决本题的关键．二．填空题（本大题共有4个小题，每题5分共20分）13．函数f（x）=+lg（1﹣x）的定义域是（﹣1，1）．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由分母大于0，真数大于0，从而求出x的范围．解答：解：∵＞0，且1﹣x＞0，∴﹣1＜x＜1，故答案为：（﹣1，1）．点评：本题考查了函数的定义域问题，考查二次根式，对数的定义，是一道基础题．14．已知复数z满足（3+2z）i2003=1（i为虚数单位），则z=．考点：复数代数形式的混合运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由于i4=1，可得i2003=（i4）500•i3，于是（3+2z）i2003=1，化为（3+2z）•（﹣i）=1，再利用复数的运算法则即可得出．解答：解：∵i4=1，∴i2003=（i4）500•i3=﹣i，∴（3+2z）i2003=1，化为（3+2z）•（﹣i）=1，∴2z=i﹣3，∴z=．故答案为：．点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的性质，考查了计算能力，属于基础题．15．已知f（x）=ax3+4x2+2，若f′（﹣1）=4，则a的值等于4．考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：求函数的导数，解导数方程即可．解答：解：∵f（x）=ax3+4x2+2，∴f′（x）=3ax2+8x，若f′（﹣1）=4，则f′（﹣1）=3a﹣8=4，即3a=12，则a=4，故答案为：4．点评：本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握掌握常见函数的导数公式，比较基础．16．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=3x2+2xf′（2），则f′（5）=6．考点：导数的运算．专题：计算题．分析：将f′（2）看出常数利用导数的运算法则求出f′（x），令x=2求出f′（2）代入f′（x），令x=5求出f′（5）．解答：解：f′（x）=6x+2f′（2）令x=2得f′（2）=﹣12∴f′（x）=6x﹣24∴f′（5）=30﹣24=6故答案为：6点评：本题考查导数的运算法则、考查通过赋值求出导函数值．三、解答题（共4小题，满分50分）17．（1）已知复数z满足：|z|=1+3i﹣z，求的值．（2）已知函数y=（x+1）（x+2）（x+3）．求该函数的导函数．（3）求不等式﹣1＜x2+2x﹣1≤2的解集．考点：一元二次不等式的解法；导数的运算；复数代数形式的混合运算．专题：函数的性质及应用；坐标系和参数方程．分析：（1）利用复数的运算法则、模的计算公式、复数相等即可得出；（2）展开利用导数的运算法则即可得出；（3）利用一元二次不等式的解法、交集的运算性质即可得出．解答：解：（1）设z=a+bi，（a，b∈R），而|z|=1+3i﹣z，即，则，．（2）y=（x2+3x+2）（x+3）=x3+6x2+11x+6，∴y′=3x2+12x+11．（3）∵，∴﹣3≤x＜﹣2或0＜x≤1．∴不等式的解集{x|﹣3≤x＜﹣2或0＜x≤1}．点评：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式、复数相等、导数的运算法则、一元二次不等式的解法、交集的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．已知集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|x≥2}．（1）求A∩B；（2）若C={x|2x+a＞0}，满足B∪C=C，求实数a的取值范围．考点：集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．专题：计算题；集合．分析：（1）A∩B═{x|﹣1≤x＜3}∩{x|x≥2}={x|2≤x＜3}；（2）化简集合C，由B∪C=C知B⊆C，从而得到﹣＜2．解答：解：（1）A∩B═{x|﹣1≤x＜3}∩{x|x≥2}={x|2≤x＜3}．（2）C={x|2x+a＞0}={x|x＞﹣}，由B∪C=C知，B⊆C，∴﹣＜2，解得，a＞﹣4．点评：本题考查了集合的化简与运算及集合包含关系的应用，属于基础题．19．已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|﹣≤x≤2}，试求不等式cx2+bx+a＜0的解集．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：根据不等式的解集，找出对应此解集的一元二次不等式，可以确定待定系数，再根据待定系数的值，确定出要解的不等式，解出结果即可解答：解：∵ax2+bx+c≥0的解集为{x|﹣≤x≤2}，∴a＜0，﹣+2=﹣，×2=，即=﹣，=，c＞0，b＞0∴=﹣，=，∴不等式cx2+bx+a＜0转化为x2+x+＜0，即为x2+x﹣＜0，即为（2x﹣1）（x+3）＜0，解得﹣3＜x＜点评：本题考查一元二次不等式的解法，要联系对应的二次函数的图象特点，属于基础题20．（14分）设函数．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅲ）若对于任意的x∈（3a，a），都有f（x）＜a+1，求a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：（Ⅰ）曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线斜率为在该点处的导数，所以只要求导，再求x=3时的导数，再用点斜式求出直线方程．（Ⅱ）先求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，函数f（x）的极大值和极小值是导数等于0时的x的值，所以再令导数等于0，解出x的值，为极值点，再列表判断极值点两侧导数的正负，若左正右负，为极大值，若左负右正，为极小值．（Ⅲ）根据（Ⅱ）问的结论，x∈（3a，a）时，，从而根据不等式f（x）＜a+1在区间（3a，a）上恒成立列出关于a的不等关系，即可求出a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）∵当a=1时，，…f'（x）=﹣x2+4x﹣3…当x=3时，f（3）=1，f'（3）=0 …∴曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为y﹣1=0…（Ⅱ）f'（x）=﹣x2+4ax﹣3a2=﹣（x﹣a）（x﹣3a）…a=0时，f'（x）≤0，（﹣∞，+∞）是函数的单调减区间；无极值；…a＞0时，在区间（﹣∞，a），（3a，+∞）上，f'（x）＜0；在区间（a，3a）上，f'（x）＞0，因此（﹣∞，a），（3a，+∞）是函数的单调减区间，（a，3a）是函数的单调增区间，函数的极大值是f（3a）=a；函数的极小值是；…a＜0时，在区间（﹣∞，3a），（a，+∞）上，f'（x）＜0；在区间（3a，a）上，f'（x）＞0，因此（﹣∞，3a），（a，+∞）是函数的单调减区间，（3a，a）是函数的单调增区间函数的极大值是，函数的极小值是f（3a）=a…（Ⅲ）根据（Ⅱ）问的结论，x∈（3a，a）时，…因此，不等式f（x）＜a+1在区间（3a，a）上恒成立必须且只需：，解之，得…（13分）点评：本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力．属于中档题．【4-1几何证明】（共1小题，满分0分）23．如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．考点：综合法与分析法(选修）．专题：证明题．分析：（1）根据D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，可得DE∥BC，证明四边形ADCF是平行四边形，即可得到结论；（2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD．解答：证明：（1）∵D，E分别为△AB C边AB，AC的中点∴DF∥BC，AD=DB∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形∴CF∥BD，CF=BD∴CF∥AD，CF=AD∴四边形ADCF是平行四边形∴AF=CD∵，∴BC=AF，∴CD=BC．（2）由（1）知，所以．所以∠BGD=∠DBC．因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．所以△BCD～△GBD．点评：本题考查几何证明选讲，考查平行四边形的证明，考查三角形的相似，属于基础题．【4-4坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）24．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（），圆C的参数方程（θ为参数）．（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线l与圆C的位置关系．考点：圆的参数方程；直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；（Ⅱ）求出圆的圆心与半径，判断圆心与直线的距离与半径的关系，即可判断直线l与圆C的位置关系．解答：解：（Ⅰ）M，N的极坐标分别为（2，0），（），所以M、N的直角坐标分别为：M（2，0），N（0，），P为线段MN的中点（1，），直线OP的平面直角坐标方程y=；（x﹣2）2+（y+）（Ⅱ）圆C 的参数方程（θ为参数）．它的直角坐标方程为：2=4，圆的圆心坐标为（2，﹣），半径为2，直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），（），方程为y=﹣（x﹣2）=﹣（x﹣2），即x+3y﹣2=0．圆心到直线的距离为：==＜2，所以，直线l与圆C相交．点评：本题考查圆的参数方程，极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线与圆的位置关系，考查计算能力．- 21 -。
高等数学A(下册)期末考试试题答案【B卷】
高等数学A(下册)期末考试试题【B 卷】（补考卷）参考答案与评分标准 2009年6月（8月）一. 填空题【共5小题，每小题4分，共20分】 1、3π； 2、612x x y C e C e -=+； 3、113210x y z ---==-； 4、14xy +； 5、12a ．二. 试解下列各题【共5小题，每小题7分，共35分】1、解：该平面的法线向量12137231ij kn i j k =-=---- (3)∴所求的平面方程为(1)3(2)7(3)0x y z -+-+-=，即37280x yz ++-= (7)2、解：令 1t x =-，则级数化为为nn∞=..…【1】 1lim1n n n n a a ρ+→∞===，………………..…【3】 1R ⇒=，收敛区间1t <即02x << (4)当2x =时，级数成为1n ∞=0x =时，级数成为1n n ∞=，收敛....【6】 ∴所求的收敛域为[0,2).. (7)3、解：{}(,)01D xy x y=≤≤≤≤， (2)∴原式10dy =⎰ (4)133/210011(1)|29y y ==+=⎰ ………………【7】 4、解：2111()3212f x x x x x==-++++ (1)又01(1)(1)1n nn x x x ∞==-<+∑ (3)1001111(1)()(1)(2)221/2222n n n n n n n x x x x x ∞∞+====-=-<++∑∑………【5】 ∴21100011()(1)(1)(1)(1)(1)3222n n n n n n n n n n n x f x x x x x x ∞∞∞++=====---=--<++∑∑∑ (7)5、解：1222zxf yf x∂''=+∂ …………【2】 2zx y∂∂∂1112221222[(2)2]22[(2)2]x f y f x f y f y f x '''''''''=⋅-+⋅++⋅-+⋅ …………【6】 22212221124()4()f x y f xy f f '''''''=+-+- …………【7】 三、【9分】解：令23639026180x yf x y f y x ⎧=--=⎪⎨=-+=⎪⎩，得驻点(5,6)，(1,6)- (4)又6,6,2xx xy yy A f x B f C f ====-==.在驻点(5,6)处，2240,AC B -=>且300A =>，∴该函数在(5,6)处取得极小值(5,6)88f =-.….…【7】 在驻点(1,6)-处，2240,AC B -=-<∴该函数在(1,6)-处没有极值. ………………【9】 四、【10分】解：联立z =与22z x y =+消去z ，解得221x y +=，从而该立体Ω在xOy 面上的投影区域{}22(,)1xy D x y x y =+≤． (2)故所求的体积为221V dv d d πρθρρΩ==⎰⎰⎰⎰⎰ (6)1202)d πρρρ=⎰1423/20172(2)346ρπρπ⎡⎤=---=⎢⎥⎣⎦ (10)五、【10分】取1∑为1z =22(1)x y +≤的上侧，记Ω为由∑与1∑所围成的空间闭区域.由高斯公式，12222()x dydz y dzdx z dxdy x y z dv ∑+∑Ω++=++⎰⎰⎰⎰⎰ (4)2()2x y dv zdv ΩΩ=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰2221002x y zzdzdxdy +≤=+⎰⎰⎰13022z dz ππ==⎰ (6)又221122221x y x dydz y dzdx z dxdy z dxdy dxdy π∑∑+≤++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (9)∴22I πππ=-=- (10)六、【10分】解：(1)证:令 211(,)[1()]()P x y y f xy yf xy y y=+=+，222(,)[()1]()x xQ x y y f xy xf xy y y=-=-. 则当0y >时，21()()P f xy xyf xy y y ∂'=-++∂，21()()Q f xy xyf xy x y∂'=+-∂. ……………【4】 从而P y ∂∂、Q x ∂∂在上半平面内处处连续，且恒有Q P x y∂∂=∂∂. ∴曲线积分I 在上半平面内与路径无关 (5)（2）由于I 与路径无关，故可取积分路径L 为由点2(3,)3A 到(3,2)B ，再到(1,2)C 的折线段，则2221[1()][()1]AB BC xI y f xy dx y f xy dy y y+=++-⎰212223331[(3)1][14(2)]2y f y dy f x dx y =-++⎰⎰……………….【8】 212122/333313(3)3[][]2(2)2x f y dy f x dx y =+++⎰⎰62264()()4f t dt f t dt =-++=-⎰⎰ (10)七、【6分】证明：所给级数的部分和11223341()()()(1)()n n n n s u u u u u u u u ++=+-+++-+-+111(1)n n u u ++=+- (3)又由lim 1n n nu →∞=，得1lim lim lim0n n n n n u nu n→∞→∞→∞=⋅=，……………【4】 从而1n s u → （n →∞） ∴ (5)因此，所给级数收敛. (6)。
10级高等数学(A)2期末测试题答案
3.
设 L : 点 (1, 0)到 点 (2010, 2012) 再到点 (3, 0)的折 线段 .求 ( x 2 + y 3 ) dx + 3 xy 2 dy . ∫
L
2 3 2
∂P ∂Q 解：这里P ( x , y ) = x + y , Q(x , y )=3 xy ,由 =3 y = ,故此积分与路径无关.............2 分 ∂y ∂x 从而可选择 （1 ， 0 ）到（3， 0 ）的直线段,方程为： y = 0,1 ≤ x ≤ 3................4 分 3 26 从而 ∫ ( x 2 + y 3 ) dx + 3 xy 2 dy = ∫ x 2 dx = ...........6分 1 3 L
D
】
解：积分区域D关于x轴对称，从而
∫∫ ( y + 3)d σ = ∫∫ yd σ +∫∫ 3d σ...........................2分
D D D
1 = ∫∫ 3d σ =3 ⋅ ⋅1⋅ 2=3........................................6分 2 D
第 2 页共 3 页
解：(1) 联立方程可求得交线为： x 2 + y 2 = 1, z = 1, 从而D xy = {( x, y ) x 2 + y 2 ≤ 1}..........................2分
∫∫ zdxdy = − ∫∫ ( x
∑2 Dxy
2
+ y 2 )dxdy........................4分
).
32π
1. 设 zLeabharlann = 4 x3 y + y 2 e3 x + ln( x + tan x) + sec 2, 求
北方民族大学 高等数学期末试题(下)A
--------------------------装----------------------------订---------------------------线------------------------------第 - 1 - 页 共 -2- 页2005-2006学年秋季学期《高等数学》（下）课程期末考试试题试题说明：学生必须将答案全部写在答题纸上，凡写在试题上的一律无效。
学生可随身携带计算器。
一、填空题（每题4分，共20分） 1．已知→→→→→→→→+-=-+=kj i b k j i a5,432,则向量→→→-=ba c2在z 轴方向上的分向量是 . 2．设∑是柱面222ayx =+在hz ≤≤0之间的部分，则积分=⎰⎰∑dsx 2 . 3．设),(v u f z =具有一阶连续偏导数，其中22,y x v xy u +==，则=∂∂xz .4．∑∞=1n nnx在1||≤x 的和函数是 .5．设∑是球面2222azy x =++的内侧，则曲线积分=++⎰⎰∑dydz z y x )(222.二、计算题（每题7分，共21分）6．设3222z x yz xy u ++=，求yx u∂∂∂2和yz u ∂∂∂2的值。
7．计算二重积分⎰⎰-+Ddxdyx y x )(22,其中D 为由xy x y y 2,,2===所围成的区域8．已知两点)1,2,7(--A 和)10,4,3(B 求一平面,使其通过点B ,且垂直AB .三、计算题（每题8分，共32分）9．设),(y x f 是连续函数,改变⎰⎰-xxx dyy x f dx2212),(的积分次序.10．在曲线xyz=上求一点,使该点的法线垂直于平面093=+++z y x ,并写出所求--------------------------装----------------------------订---------------------------线------------------------------第 - 2 - 页 共 -2- 页法线方程.11． 求函数)2(),(22y y x e y x f x ++=的极大值点或极小值点.12．设),(3xy xy f x z =，其中f具有二阶连续偏导数，求22yz ∂∂的值。
北方民族大学 高等数学期末试题(下)B
2
15．求密度为 1，且由 z x 2 y 2 ， 2 z x 2 y 2 ， x y 1 ， x y 1 ，
x y 1 ， x y 1 所围立体的重心坐标。
（请附两页答题纸 ）
z y
z x
12．判别级数 (1) n
n 1
n! 是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件 1 3 5 (2n 1)
收敛? 四、解答题（每题 9 分，共 27 分） 13．将 f ( x) x , (0 x ) 展成以 2 为周期的正弦级数. 14 ． 计 算 曲 面 积 分 x 3 dydz y 3 dzdx z 3 dxdy 其 中 Σ 为 下 半 球 ，
试题说明：学生必须将答案全部写在答题纸上，凡写在试题上的一律无效。学生可随身 携带计算器。
一、填空题（每题 4 分，共 20 分） 1．曲线
z xy 在点 2,1,2 处的切线与 x 轴正向所成的倾角为 y 1
2．级数 ( x n
n 1
1 ) 的收敛域为 2 xn
8．设 D： x 2,
三、计算题（每题 8 分，共 32 分） 9．在曲面 z x 2 y 2 上找一点，使它到点 (1, 2 ,3 3 ) 的距离最短，并求最短距离.
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系
专业
级
班
姓名:
学号:
--------------------------装----------------------------订------------------------ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ--线------------------------------
99-00高数(下)期末(A卷)答案
北 方 交 通 大 学1999-2000学年第二学期高等数学B （Ⅱ）期末考试试卷（A 卷）答案一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中． 1．设y x e z 2=，则=dz ________________________．2．交换积分次序()=⎰⎰-221y ydx y x f dy， _______________________________．3．已知∑是介于两平面0=z 与H z =()0>H 之间的圆柱面222R y x =+()0>R ，则=++⎰⎰∑222z y x dS_______________． 4．设幂级数∑∞=0n nn xa 的收敛半径为3，则幂级数()∑∞=+-111n n nx na 的收敛区间为 _____．5．函数()22ln z y x u ++=在点()101，，A 处沿A 点指向()223，，-B 点方向的方向导数为_______________．答案： ⒈ ()dy x xydx e yx222+； ⒉ ()()⎰⎰⎰⎰-+2220211x x d x d y y x f dx dxdy y x f dx ，，；⒊ R Ha r c t a n 2π； ⒋ ()42，-； ⒌21． 二．选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。
以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效．1．二元函数()y x f ，在点()00y x ，处两个偏导数()00y x f x ，与()00y x f y ，存在是()y x f ，在该点处连续的_____________ ． （A ）．充分而非必要条件； （B ）．必要而非充分条件；（C ）．充分必要条件； （D ）．既非必要条件又非充分条件． 2．设()22442y xy x y x y x f z ---+==，，由()()⎪⎩⎪⎨⎧=--==--=0224022433y x y y x f y x x y x f y x ，， 解得其驻点为()000，M 、()111，M 、()112，-M ，则______________ ．（A ）．()0M f 是函数()y x f ，的极小值；（B ）．()1M f 与()2M f 都是函数()y x f ，的极小值； （C ）．()0M f 是函数()y x f ，的极大值； ；（D ）．()1M f 与()2M f 都是函数()y x f ，的极大值； ． 3．设空间区域02222≥≤++Ωz R z y x ，：，00022221≥≥≥≤++Ωz y x R z y x ，，，：，则______________ ． （A ）．⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=14xdxdydz xdxdydz； （B ）．⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=14ydxdydz ydxdydz ；（C ）．⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=14zdxdydz zdxdydz； （D ）．⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=14xyzdxdydz xyzdxdydz ．4．若级数∑∞=12n na收敛，则级数∑∞=1n na___________ ．（A ）．一定绝对收敛； （B ）．一定条件收敛； （C ）．一定发散； （D ）．可能收敛也可能发散．5．已知x y ωcos 1=与x y ωcos 32=是微分方程02=+''y y ω的解，则2211y C y C y +=（1C 与2C 为任意常数）__________________．（A ）．是该方程的通解； （B ）．是该方程的解，但不是通解； （C ）．是该方程的一个特解； （D ）．不一定是该方程的解． 答案： ⒈ （D ）； ⒉ （B ）； ⒊ （C ）； ⒋ （A ）； ⒌ （B ）． 三．（本题满分8分）设二元函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y x xy f xy z ，，其中函数f 具有二阶连续的偏导数，求y x z ∂∂∂2．解：211f yf y y x z '+'+=∂∂ ……3 所以，⎥⎦⎤⎢⎣⎡''⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+''+'-⎥⎦⎤⎢⎣⎡''⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+''+'+=∂∂∂22221221221112111f y x f x y f y f y x f x y f y x z 2231122111f yxf xy f y f ''+''+'-'+= (8)四．（本题满分8分）计算二重积分⎰⎰++Ddxdy y x y x 22，其中(){}1122≥+≤+=y x y x y x D ，：，． 解： 作极坐标变换 θθsin cos r y r x ==， 则积分区域D 变为20πθ≤≤，1cos sin 1≤≤+r θθ．因此，⎰⎰⎰⎰++=++1cos sin 12222sin cos θθπθθθrdr rr r d dxdy y x yx D (3)()⎰⎰++=1c o ss i n 12s i n c o s θθπθθθdr d ()⎰-+=21c o s s i nπθθθd ……5 22π-= (8)五．（本题满分8分） 试将函数()⎰-=xt dt ex f 02展成x 的幂级数（要求写出该幂级数的一般项并指出其收敛域）． 解：因为 ∑∞==0!n ntn t e ()+∞<<∞-t (2)则∑∞==02!2n nt n t e ()+∞<<∞-t ， (4)将上式两端逐项积分，得()⎰∑⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∞=xn n x tdt n t dt e x f 0020!2∑⎰∞==002!n x ndt n t()∑∞=++=012!12n n n n x ()+∞<<∞-x (8)六．（本题满分8分）设函数()u f 有二阶连续的导函数，而函数()y e f z xs i n =满足方程x ze yzx z 22222=∂∂+∂∂ 试求函数()u f ．解：()y e u f x z x s i n '=∂∂，()y e u f yz x c o s '=∂∂()()y e u f y e u f x z x x s i n s i n 2222'+''=∂∂， ()()y e u f y e u f yz xx s i n c o s 2222'-''=∂∂， ……3 代入原方程，得()()0=-''u f u f ……6 解方程，得()u u e C e C u f -+=21，其中1C 与2C 为任意常数． ……8 七．（本题满分8分） 计算曲线积分()()⎰-++Ly y dy e x dx xe 11222，其中L 为()4222=+-y x 在第一象限沿逆时针方向的半圆弧． 解：()y xe y x P 21+=，，()122-=y e x y x Q ，由 yPxe x Q y ∂∂==∂∂22 可知该曲线积分与路径无关． ……3 因此我们可取直线0=y 上从4=x 到0=x 这一段直线段，得()()⎰-++L yydy ex dx xe 11222()⎰+041dx x (6)12-= ……8 八．（本题满分8分） 计算曲面积分()()⎰⎰∑--++=yzdxdy dzdx y xdydz y I 412182，其中∑是由曲线⎩⎨⎧=-=01x y z ()31≤≤y 绕y 轴旋转一周所成的曲面，它的法线向量与y 轴正向的夹角恒大于2π．解： 添加有向曲面31=∑y ： ()222≤+z x ，其法线方向与y 轴正向相同．则1∑+∑构成封闭曲面．设其所围空间区域为Ω，则由Gauss 公式，得 (2)()()⎰⎰∑--++=yzdxdy dzdx y xdydz y I 412182()()()()⎰⎰⎰⎰∑∑+∑--++---++=11412184121822yzdxdydzdx y xdydz y yzdxdy dzdx y xdydz y (5)()[]()⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω----+=12124418dzdx y dxdydz y y y ⎰⎰⎰⎰⎰≤+Ω+=22216z x dzdx dxdydz()ππ321312+-=⎰dy yπ34= (8)九．（本题满分8分） 设直线⎩⎨⎧=--+=++030z ay x b y x 在平面π上，而平面π与曲面22y x z +=相切于点()521，，-P ，试求常数a ，b ．解：在点()521，，-P 处曲面22y x z +=的法向量为{}(){}142122521--=-=-，，，，，，y x n， ……2 因此平面π的方程为()()()052412=--+--z y x即 0542=---z y x ， ……5 又由直线方程得()b x y +-=，()3-+-=b x a x z 代入平面π的方程，得()()0542=-++-++b x a x b x x ，因而，得 05=+a ，024=-+ab b ，所以，得 5-=a ，2=b ． ……8 十．（本题满分8分） 设x e y =是微分方程()x y x P y x =+'的一个解，求此微分方程满足初始条件02ln ==x y 的特解． 解：将x e y =代入微分方程()x y x P y x =+'，得()x xe x P x-=- (2)因此题中的微分方程为()x y x xey x x=-+'-，解此方程，得其通解为xe xx Cee y +-+=， (5)将初始条件02ln ==x y 代入，得21--=e C ，因此，所求特解为 21-+--=x e xx ee y ． (8)十一．（本题满分6分） 计算三重积分 ()⎰⎰⎰Ω++=dxdydz z y xI 222753 ，其中2220y x R z --≤≤Ω：．解：设22221R z y x ≤++Ω：，则 ()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ++=++=122222275321753dxdydz z y x dxdydz z y xI ……2 而⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ==111222dxdydz z dxdydz y dxdydz x ()⎰⎰⎰Ω++=dxdydz z y x 22231504020154sin 31R d d d Rπρρϕϕθππ==⎰⎰⎰ ……4 所以，()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ++=++=122222275321753dxdydz z y x dxdydz z y x I ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ11122275321dxdydz z dxdydz y dxdydz x⎰⎰⎰Ω⋅=121521dxdydz x 52R π= (6)。
高等数学(A)下期末试卷及答案
《高等数学 A 》( 下）期末试卷 A 答案及评分标准 得 一、选择题（本大题分 5 小题，每题 3 分，共 15 分分）e dxln x f ( x, y)dy 的积分序次为1、互换二次积分1（c ）e ln xf ( x, y)dxe1 (A)dy(B)e ydyf ( x, y)dx11 eln xe(C)dy e y f ( x, y)dx(D)dy1f ( x, y)dx2、锥面zx2y 2在柱面 x2y22x 内的那部分面积为（ D ）d2 cos2d2 cos 2d(A)2d2(B)222cos 2d22 cosd(C)2 d(D)2 d2 023、若级数a n ( x 2) n在 x2 处收敛，则级数n 1na n ( x 2)n 1（ B ）在 x 5n 1(A)条件收敛 (B) 绝对收敛 (C) 发散 (D) 收敛性不确立4、以下级数中收敛的级数为（ A ）(A)( n ) n(B)n2 3n 1 n 1 n 1 n 1(C)sin1(D)n!n 1 3 n n 1 n 15、若函数f ( z)( x 2 y 2 2 xy) i( y 2 axy x2 ) 在复平面上到处分析，则实常数 a 的值为（c ）(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) -2得 二、填空题（本大题分 5 小题，每题 4 分，共 20 分分）、曲面 z x2y21 在点 (2,1,4) 处的切平面1方程为 4x 2 y z62 、已知L : x2y2a 2(a 0) ， 则L [ x 2y2sin( xy)]ds2 a33、 是由曲面zx2y 2及平面 zR(R0) 所围成的闭地区，在柱面坐标下化三重积分f ( x2y 2)dxdydz 为2 RR2)dz三次积分为ddf (4、函数 f (x) x (0 x) 睁开成以 2 为周期的正弦级 数 为x2 ( 1) n 1 sin nx，收敛区间为n 1n0 x5、Ln( 1 i)ln 2 i(32k ), k 0, 1, 24Re s[e z,0]12得 三、 (此题 8 分）设zf ( x2y 2) g( x, xy) ，分y此中函数 f (t) 二阶可导， g(u, v) 拥有二阶连续偏导数，求 z ,2zx x y解： z 2xf1g 1yg23 分xy2z4xyfg 2xyg 221 g 1 x g 11 5 分x yy 2 y 3得x 2y 2z 21内分四、(此题 8 分）在已知的椭球面43全部内接的长方体（各边分别平行坐标轴）中，求最大的内接长方体体积。
2019年北京民族学校高二数学理下学期期末试题含解析
2019年北京民族学校高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设点在内部，且有，则的面积比为（）A. 1:2:3B.3:2:1C.2:3:4D. 4:3:2参考答案：B略2. 执行下面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是()A．120 B．720C．1440 D．5040参考答案：B3. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC1的中点，则异面直线DE与A1B1所成角的正切值为(A) (B) (C) (D)参考答案：C4. 设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝f(2－x)，当x∈[－2，0]时，f(x)＝，则在区间(－2，6)上关于x的方程f(x)－log8(x＋2)＝0的解的个数为（）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1参考答案：B【分析】把原方程转化为与的图象的交点个数问题，由，可知的图象关于对称，再在同一坐标系下，画出两函数的图象，结合图象，即可求解．【详解】由题意，原方程等价于与的图象的交点个数问题，由，可知的图象关于对称，作出在上的图象，再根据是偶函数，图象关于轴对称，结合对称性，可得作出在上的图象，如图所示．再在同一坐标系下，画出的图象，同时注意其图象过点，由图可知，两图象在区间内有三个交点，从而原方程有三个根，故选B．【点睛】本题主要考查了对数函数的图象，以及函数的奇偶性的应用，其中解答中熟记对数函数的性质，合理应用函数的奇偶性，在同一坐标系内作出两函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及转化思想的应用，属于中档试题．5. 若的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是（）A． B． C．－45 D．45参考答案：D6. 椭圆+=1上有n个不同的点P1,P2,P3,…,Pn, F是右焦点，|P1F|，|P2F|，…，|PnF|组成等差数列，且公差d>，则n的最大值是（）A.99B.100C.199D.200参考答案：D略7. 直线是曲线的一条切线，则实数的值为（）A．B．C．D．参考答案：D略8. 若、两点分别在圆上运动，则的最大值为（）A．13 B．19 C．32 D．38参考答案：C9. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴负半轴上，抛物线上的点P（m，﹣2）到焦点的距离为4，则m的值为（）A．4 B．﹣2 C．4或﹣4 D．12或﹣2参考答案：C【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据题意设出抛物线的标准方程，进而得到p的值确定抛物线的方程，再将p 点坐标代入可求出m的值．【解答】解：设标准方程为x2=﹣2py（p＞0），由定义知P到准线距离为4，故+2=4，∴p=4，∴方程为x2=﹣8y，代入P点坐标得m=±4．故选C．10. .的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为A. -40B. -20C. 20D. 40参考答案：D令x=1得a=1.故原式=。
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2005-2006学年秋季学期《高等数学》（下）课程期末考试试题
试题说明：学生必须将答案全部写在答题纸上，凡写在试题上的一律无效。
学生可随身携带计算器。
一、填空题（每题4分，共20分） 1．已知→
→
→
→
→→
→
→
+-=-+=k
j i b k j i a
5,432,则向量→
→→-=b
a c
2在z 轴方向上的分向量
是 . 2．设∑是柱面2
2
2a
y
x =+在h
z ≤≤
0之间的部分，则积分=
⎰⎰∑
ds
x 2 . 3．设),(v u f z =具有一阶连续偏导数，其中2
2
,y x v xy u +==，则
=
∂∂x
z .
4．∑
∞
=1n n
n
x
在1||≤x 的和函数是 .
5．设∑
是球面
2
2
22a
z
y x =++的内侧，则曲线积分
=++⎰⎰
∑
dydz z y x )(2
22
.
二、计算题（每题7分，共21分）
6．设3
2
2
2
z x yz xy u ++=，求
y
x u
∂∂∂2
和y
z u ∂∂∂2的值。
7．计算二重积分⎰⎰-+D
dxdy
x y x )(2
2
,其中D 为由x
y x y y 2,,2===所围成的区域
8．已知两点)1,2,7(--A 和)10,4,3(B 求一平面,使其通过点B ,且垂直AB .
三、计算题（每题8分，共32分）
9．设
),(y x f 是连续函数,改变⎰
⎰-x
x
x dy
y x f dx
221
2
),(的积分次序.
10．在曲线xy
z
=上求一点,使该点的法线垂直于平面093=+++z y x ,并写出所求
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法线方程.
11． 求函数)
2(),(2
2y y x e y x f x ++=的极大值点或极小值点.
12．设),
(3
x
y xy f x z =
，其中f
具有二阶连续偏导数，求22y
z ∂∂的值。
四、解答题（每题9分，共27分） 13．将
⎪⎩⎪⎨⎧
≤<≤=,||2
,0,2||,)(ππ
ππx x H x f 展开成以π2为周期的傅立叶级数。
14．计算⎰⎰∑
+xydxdz
zdxdy ,其中∑是曲面2
2
y
x z +=在第一卦限中10≤≤z 间那部分的
下侧.
15．设由曲面2
2y
x z +=
与2
22y
x z +-
=所围成的立体中每点的体密度与该点到
xoy 面的距离成正比，求该立方体的质量。
（请附两页答题纸 ）。