第一章 习题课(1)

习题课(1)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．若600°角的终边上有一点(－4，a )，则a 的值为( ) A ．4 3 B ．－4 3 C ．±4 3
D. 3
解析：600°角的终边在第三象限，则a <0，故选B. 答案：B
2．cos(－11π
3)的值为( ) A.12 B ．－12 C.33
D ．－3
2
解析：cos(－11π3)＝cos(－4π＋π3)＝cos π3＝1
2. 答案：A
3．若cos θ<0，且sin θ>0，则θ
2是第( )象限角．( ) A ．一 B ．二
C ．一或三
D ．任意象限角
解析：由已知cos θ<0，sin θ>0，知θ为第二象限角，即π
2＋2k π<θ<π＋2k π，k ∈Z ，所以π4＋k π<θ2<π2＋k π，k ∈Z ，即θ
2为第一或第三象限角．
答案：C
4．已知tan α＝－1
2，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α
的值是( )
A.13 B ．3 C ．－13
D ．－3
解析：原式＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α
sin 2α－cos 2α
＝tan 2α＋1＋2tan αtan 2α－1
＝1
4＋1－1
14－1＝－13. 答案：C
5．设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 9π
7，则( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <c <a
D ．b <a <c
解析：∵a ＝sin 5π7＝sin 2π7，c ＝tan 9π7＝tan 2π
7， 由角2π
7的三角函数线，
可知cos 2π7<sin 2π7<tan 2π
7，即b <a <c . 答案：D
6．已知cos(5π12＋α)＝13，且－π<α<－π2，则cos(π
12－α)等于( ) A.233 B.13 C ．－13
D ．－223
解析：cos(π12－α)＝cos[π2－(5π
12＋α)] ＝sin(5π
12＋α)．
又－π<α<－π
2， ∴－712π<5π12＋α<－π12. ∴sin(512π＋α)＝－223. ∴cos(π12－α)＝－223. 答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．已知α为第三象限角，且tan α＝2，则cos α＝________. 解析：∵sin α＝2cos α，
∴4cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝1
5， 又∵α为第三象限角，∴cos α＝－5
5. 答案：－5
5
8．若角α终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α
1－sin 2α＋1－cos 2αcos α的值为________．
解析：原式＝sin α|cos α|＋|sin α|
cos α，当α为第二、四象限角时，去掉绝对值号可得结果为0.
答案：0
9．已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)
cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是________．
解析：当k ＝2n ，n ∈Z 时，
A ＝sin (2n π＋α)sin α＋cos (2n π＋α)cos α ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2. 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，
A ＝sin[(2n ＋1)π＋α]sin α＋cos[(2n ＋1)π＋α]cos α ＝－sin αsin α＋－cos α
cos α＝－2.
∴A 的值构成的集合是{2，－2}． 答案：{2，－2} 三、解答题(共45分)
10．(本小题15分)已知(tan α－3)(sin α＋cos α＋3)＝0.求下列各式的值．
(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α；(2)23sin 2α＋14cos 2α. 解：由已知tan α－3＝0，即tan α＝3. (1)原式＝4tan α－25＋3tan α＝4×3－25＋3×3＝1014＝5
7.
(2)原式＝23sin 2α＋14cos 2αsin 2α＋cos 2α＝23tan 2α＋14
tan 2α＋1
＝23×9＋1
49＋1
＝58.
11．(本小题15分)已知方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根分别为sin θ，cos θ.求实数m 的值．
解：由根与系数的关系，得sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝m 2，
∴(sin θ＋cos θ)2
＝(3＋12)2
，
即1＋2sin θcos θ＝2＋3
2.
∴sin θcos θ＝34，∴m 2＝34，∴m ＝3
2. 12．(本小题15分)已知f (n )＝sin n π
4，n ∈Z .
(1)求证：f (1)＋f (2)＋…＋f (8)＝f (9)＋f (10)＋…＋f (16)； (2)求f (1)＋f (2)＋…＋f (2003)． 解：(1)证明：f (1)＋f (2)＋…＋f (8) ＝sin π4＋sin 2π4＋sin 3π4＋…＋sin 7π4＋sin 8π4 ＝22＋1＋22＋0－22＋…－2
2＋0＝0. 同理f (9)＋f (10)＋…＋f (16)＝0.
∴f (1)＋f (2)＋…＋f (8)＝f (9)＋f (10)＋…＋f (16)．
(2)由(1)可知，从第一项开始，每8项的和为0，又2003＝250×8＋3
∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2003)
＝250×0＋f (2001)＋f (2002)＋f (2003) ＝sin 20014π＋sin 20024π＋sin 20034π ＝sin π4＋sin 2π4＋sin 3π
4＝2＋1.。