多元统计分析知识点多元统计分析课件
多元统计分析（1）
题目:多兀统计分析知识点
研究生___________________________ 专业____________________________ 指导教师________________________
完成日期2013年12月
目录
第一章绪论 (1)
§.1什么是多元统计分析 (1)
§.2多元统计分析能解决哪些实际问题 (2)
§.3主要内容安排 (2)
第二章多元正态分布 (2)
弦.1基本概念 (2)
弦.2多元正态分布的定义及基本性质 (8)
1. （多元正态分布）定义 (9)
2?多元正态变量的基本性质 (10)
§2.3多元正态分布的参数估计X =（X1,X2^|,X p） (11)
1?多元样本的概念及表示法 (12)
2. 多元样本的数值特征 (12)
3」和a 的最大似然估计及基本性质 (15)
4.Wishart 分布 (17)
第五章聚类分析 (18)
§5.1什么是聚类分析 (18)
§5.2距离和相似系数 (19)
1 ? Q—型聚类分析常用的距离和相似系数 (20)
2. .......................................................................................................................................... R
型聚类分析常用的距离和相似系数 (25)
§5.3八种系统聚类方法 (26)
1. 最短距离法 (27)
2. 最长距离法 (30)
3. 中间距离法 (32)
4. 重心法 (35)
5. 类平均法 (37)
6. 可变类平均法 (38)
7. 可变法 (38)
8. 离差平方和法（Word方法） (38)
第六章判别分析 (39)
§5.1什么是判别分析 (39)
§5.2距离判别法 (40)
1、两个总体的距离判别法 (40)
2?多总体的距离判别法 (45)
§6.3费歇（Fisher）判别法 (46)
1?不等协方差矩阵两总体Fisher判别法 (46)
2?多总体费歇（Fisher）判别法 (51)
§6.4贝叶斯（Bayes）判别法 (58)
1?基本思想 (58)
2?多元正态总体的Bayes判别法 (59)
§6.5逐步判别法 (61)
1. 基本思想 (61)
2?引入和剔除变量所用的检验统计量 (62)
3. .......................................................................................................................................... Bartlett 近
似公式 (63)
第一章绪论
§ 1.1什么是多元统计分析
在自然科学、社会科学以及经济领域中，常常需要同时观察多个指标。例如，要衡量一个地区的经济发展，需要观测的指标有：总产值（X1 ）、利润（X2 ）、效益（X3 ）、劳动生产率（X4 ）、万元生产值能耗（X5）、固定资产（X6）、流动资金周转率（X7 ）、物价
（X8 ）、信贷（X9）及税收（X10 ）也就是说一个地区的经济发展，受多种指标共同作用的影响，我们把每一个指标看成一个随机变量，可以单独研究每个随机变量，但这只能揭示该地区经济发展的一个方面，更多
的时候需要把把这诸个随机变量一起研究揭示多个随机变量对该地区经济发展的共同影响，以及揭示这些随机变量内在变化规律。
例如，研究某公司的经营状况，需要观测公司的财务指标有：
每股净资产（X1 ）、净资产收益率（X2 ）、每股收益（X3 ）、每股现金流（X4 ）、负债率（X5 ）、流动比率（X6）及速动比率（X7）。可以单独研究每个随机变量，更多的时候需要把这诸个随机变量一起研究，揭示这些随机变量内在变化规律。
多元统计分析-- 研究多个随机变量之间相互依赖关系以及内
在统计规律性的一门统计学科。
多元统计分析包括的主要内容：多元（正态）总体的参数估计和假
设检验、聚类分析、判别分析、主成分分析、因子分析、对应分析、典型相关分析、多重多元回归分析等。
介绍多元统计分析方法时，需要的时候增加一些线性代数的知识。§ 1.2多元统计分析能解决哪些实际问题
⑴经济学：对我国32个省市自治区的社会情况进行分析。
⑵工业：服装厂生产服装。为了适应大多数顾客的需要，如何确定服装的主要指标及分类的型号。指标：身长、袖长、胸围、腰围、肩宽、肩厚等十几个指标（主要指标：长度、胖瘦）
⑶投资组合：
§ 1.3主要内容安排
多元（正态）总体的参数估计、聚类分析、判别分析、主成分分析、因子分析、典型相关分析等。上机操作。
第二章多元正态分布
§ 2.1基本概念
1. 随机向量的概率分布
定义1将p个随机变量X1,X2,|l|,X p的整体称为p维随机向量, 记为X =（X1,X2川l,X p）
在多元统计分析中，仍然将所研究对象的全体称为总体。
一元总体分布函数和分别密度定义：
F(x)二P(X乞x)为随机变量X的概率分布，记为XL F x(x)。
离散型：
P(X 二xj = P k k=1,2,3,…
⑴ P(X 二xj 二P k 一0 ;⑵-p k =1
k
连续型：
x
F(x) =P(X 空x)二f(t)dt
-CO
⑴ f(t) _0 ; ⑵ f(t)dt =1
定义2设x =(X i,X2川i,X p)■是p维随机向量，它的多元分别函数定义为
F(x)=F(X i,X i, ||(,X p) =P(X i 沁必2 空X2,川，X p 乞X p)
记为X LF X(X)，其中记为x=(X i,X2,HI,X p) R P。
定义3设X =(X i,X2川l,X p) ■是p维随机向量，若存在有限个或可
列个p维数向量X1,X2, X3,…，记P(x=X k) = P k (k=1,2,3,…)，且满足P(X =X k) =P k 一0 , 7 P k h，则称x为离散型随机向量，称p(x=X k) = P k k
(k=1,2,3,…)为X的概率分布。
设p维随机向量XL F x(x), F(x)二F(X i,x(l|,X p)，若存在一个非负函数f(x11X2jl|,X p)，使得对一切x=(X i，xJH,X p) R p，有
X i x2X p
F(x)二F(X i,X2, )H,X p) f (t i,t2」ll,t p)dt i dt2川dt p
则称X为连续随机向量，称f x(X i,X2」l|,X p)为分布密度函数，易见
oO QO QO
⑴f(X i,X2川l,X p) 一0 , ⑵f(t i，t2，HI,t p)dt i dt2)|ldt p =1
_aO-oO _oO
捲 _ 0, x 2 _ 0 其它
为随机向量X =「X i ］的密度函数。
Z 丿 证：(1)易见 f (x 1, x 2) -0
-bc-bc
-bc-bc
(2) i I f (x 1, x 2)dt |dt^
e"
1 X 2)
dx 1dx 2
0 0
-bo -bo
-bo
说
=J ( J e^1dx 1)e^2dx 2 = | (-e 」1。)e 」2dx 2
0 0
-bo =e^2
dx 2 = 1
定义4设x 二区兀川i,X p )■是 p 维随机向量，称由q (
^（X i 1
,X i 2
^|,X i q y 的分布为x 的边缘（或边际）分
布（通过变换X 中各分量的次序，总可以假定 x ⑴正好是X 的前q 个 ■"乂 ⑴ '
分量，其余p-q 个分量为X ⑵），即X=⑵，相应的取值也可以分成 l X
丿
F X （1
）（X ）二 P （X 1 乞 X 1,X 2 乞 X 2,, X q 乞％）
=P （X 1 乞 X 1,X 2 辽 X 2,, X q 乞人，）
二 P （X 1 乞人，X 2 乞 X 2,, X q 乞 X q , X q 1 ,X q 2「：，，X q 2「：）
= F （N ，X 2，,X q ,：：,,：：）
当X 有分布密度f X （X 1,X 2」l|,X p ）时，则X （1）的分布密度为
f x (X n ,X q ,,X q 1,, X p )dX q 1,, dX
-oO
/ x
例2对例1中的x=（x ；，求边缘密度函数。
例1试证函数
两部分
X ⑴的边缘分布函数为
f x (X 1,X 2,,X q )=丄,
-oO
解：当为_0时
?"??I
w;]
f(xj= f(x 1,x 2)dx 2 = 0dx 2
e"「°dx 2 二
_：:
_：:
当x 1 ::: 0时
■be -be f(x-\)= f (x-\,x 2)dx 2 = 0dx 2 =0
_OC
_C3O
从而有
X i _0 x :: 0
同理可得到
定义5若p 维随机向量X =(X i ,X 2川i,X p )?的联合分布等于各自边 缘分布的乘积，则称X i ,X 2,|山X p 是相互独立的
F (x i ,X i,| 1( ,X p )二 F x t (x i )F x 2 (x 2),, F X P
(x p )
一切 X =(X i ,X 2,,X p )
R p
对于连续型随机变量，有
P x (X i ,X 2,X 3,,X p )二 P(X i )P(X 2),, P(X p )
(有时候根据几何图形判断概率，根据试验的背景判断独立性) 例3例2中的X i 与X 2是否相互独立?
例2中求得的边缘分布
e _
f(X i
「0
MX”]。
x 2 _0 x 2 :: 0
一切 x =(为，X 2,,X p ) R p
'‘Xi
七
2 )
解：例1
中密度函数Z 叮0
X i - 0,X 2 - 0
no
x 2 - 0
x 2 ：
所以有 f(X i ,X 2^f x 1
(X i )f x 2
(X 2),即 X i 与 X 2 相互独立。
如果X i ,X 2,|山X p 相互独立，则任何X i 与X j (i = j)独立，反之不真。 2?随机向量的数字特征
定义 6 设 X =(X i ,X2j|i,X p )，若 EX i (i=1,2,3,…)存在，则称
EX =(EX i ,EX 2,EX 3,, EX p )为
X 的均值(向量)或期望，也记为
均值向量性质:
⑴ E(AX)二 AE(X) ⑵ E(AXB)二AE(X)B
⑶E(AX BY^AE(X) BE(Y)其中X 、Y 为随机向量，A 、B 为常 数矩阵。
*、
定义7设X =
X2
■* ■*
?f
,Y = ■r ■r ?fi
称
/P
丿
飞丿
D(X) =E[(X —EX)(X -
-EX)]
/
Cov(X i ,X i ) Cov(X i ,X 2) HI Cov(X 2,X i ) Cov(X 2,X 2) HI + q
+
' ???
+
-
Cov(Xp,Xi) Cov(Xp,X2)IH
为X 的方差矩阵或协方差矩阵，有时简记为
D(X) =E[(X -EX)(X -EX)]
=V
P p =
、
= 5 p p
<
EX 1、
W i ]
EX 2 ■r
— 巴
+ 4*
*
F P
EX =
Cov(X i ,X p )
Cov(X 2,X p )
CovgXpL
称随机向量X和Y的协方差矩阵为
Cov(X,Y) =E[(X -EX)(Y -EY)]
广Cov(X i,Y) Cov(X i,YD
C OV(X2,Y) Cov(X2,YD
+ 』
+ if
* 4
0v(X p,Y) Cov(X p,Y2)川Cov(X i,Y q)
Cov(X2,Y q) 川Cov(X p,Y q)几
若X的协方差矩阵存在，且每个分量的方差大于零，则X的相关系数矩阵为
其中
Cov(X i,X j)
-ij
r°Var(X i)、.Var(X j)廿”
(i,j=1,2,3,…,p )
为X i与X j的相关系数。记标准离差矩阵
1
V2
则有
-V2RV2
PP
易见R _0, V _0 实际上，对于任意非零向量a= a1 a2 III
a、a=a Da
= aE[(X _EX)(X _EX) ]a
二Ea (X -EX)(X - EX) a 二E[a(X - EX) a (X - EX)] =
E[a(X - EX)]2-0
R, V为半正定矩阵。
不相关，反之不成立。(正态分布反之成立)
协方差矩阵性质: ⑴ D(X) _0 ； ⑵ D(X a) =D(X)； ⑶ D(AX) = AD(X)A ；
⑷ Cov(AX , BY)二 ACov(X ,Y)B 。
§ 2.2多元正态分布的定义及基本性质
多元正态分布在多元统计分析中所处的地位， 如同一元统计分析 中一元正态分布所处的地位一样重要，多元统计分析中的许多理论和 方法都是直接或间接建立在正态分布的基础上，多元正态分布是多元 统计分析的基础。另外，在实用中遇到的随机向量常常是服从或近似
01
°12 耳 3 '
'4 1 2、
° 21
° 22
°23 = 1 9 -1
1
口
31
° 32
口」
a -1
1
V 2
22
z
2 0 0
、
= 0 3 0
J
<0 0
化
J
=v 2
容易验证R 二V" g 2
1 6 1 3 1 1 4
1 12
12
若Cov(X,Y) =O pq ，称X 与Y 不相关
若X 与Y 独立，则X 与Y
，则可得 0
二 1
W)
服从正态分布。因此，现实世界中许多实际问题的解决办法都是以总 体服从正态分布或近似正态分布为前提。
1.(多元正态分布)定义
定义8若p 维随机向量X =以川2川i,X p )的密度函数为
1 「1
_1
1
f x (心X z ’IH’X p )二——p
p
exp --(X -
(X 」)
(2兀尸忆『
、
J
其中x=(x i ,x -川|,X p )，而亠 W,|l 「p ) ■是 p 为常数向量，a 是p 阶 正定矩阵，则称X 服从p 元正态分布，也称X 为p 维正态随机向量， 简记为X ?NpL, )。('?是退化矩阵时，用特征函数的方法定义) 当p=1时，记为一元正态分布密度函数。
当p=2时，有
二元正态分布密度函数可以写成
f （X 1,X 2）
1
[ 1'*1一 气） 1 心
22
-^12
、*1一 已丫]
= -------- exp^__
|| ----------------T2-
|| 》
（2 兀）Js?22（1- P ；2）
[ 2 l X 2 -巴冋1%（1-耳
2
）。21
°11
人 X 2-巴丿 J
二 」 exp
（X^^ 一茁 12
（X
1
匕（匚2） . （X^f
（2 二）—2（1一锋） 2
（1
—F ）|L
：
'-11
宀1飞22 -
-22
厂
上X 2
5
二；丁11 二
22
(1 一
12
（1-
11 22
E （X
2
匚丿,D(X)八二
°22
」
Z
2?多元正态变量的基本性质
⑴若X?N p3' ），当是P阶对角矩阵时，X i,X2,|||,X p相
互独立;
⑵若X?N p（」,v ） , A s p为常数矩阵，d为s维常数向量，则
AX+d ?N s（A「d, A A）
⑶若X?NpC ），将Xfj作如下划分:
11
I X
21
则X⑴?N q（3）, 11）, X（2）?N q（」（2）,、22）
说明：
（1）多元正态分布的任何边缘分布为正态分布，反之不真。
⑵协方差矩阵 a 12=Cov（X⑴,X（2）） =0 （表明不相关）的充分必要条件是X（1⑵独立。
例5 X二凶区风）?N3（），其中
CT-
1111213
p =巴,送= ^21Ci 22°23
CT c
<3丿I 313233 7
设 a =(00 1)', A0 0
<00 -1
则
■X1 ]
⑴ aX=(0 0 1 ) X2 =x3?N(a P,a￡a)，其中
22 J
多元统计中的很多统计方法，大都假定数据来自多元正态总体。 但是要判断已有的数据是否来自多元正态总体不是一件容易的事， 不 过要肯定数据不是来自多元正态总体，有一些简易的方法，例如
X =（X 1,X 2川I, X p ）服从
p 元正态分布，则它的每一个分量必须服从一
元正态分布，因此把某个分量的n 个样本作成直方图，如果断定不呈 正态分布，则可以断定X =（X 1,X 2川l,X p ）也不服从p 元正态分布。
§ 2.3多元正态分布的参数估计 X =（X 1,X 2，川，X p ）
在实际应用中，多元正态总体中均值向量 ■和协方差矩阵通
即X 3?N （钳二33）。
（1 ⑵AX =
1° 其中
A ，=
<0
0 f
0 ] <0 0 -1丿
13
；-11
-CT
31
-a 13
° 33 J
33
八
⑶记（分块矩阵）X
（i ）
X 1
（i ）
J 1
；一 11 ；一 12
11
，则
a 」=0 0
Ci 23
=口 33
N 2（A~A' A ）, 1
21
；_
12 ■■- 22
A 二.A :-31
二 32
常是未知的，需由样本来估计，而参数的估计方法有很多，这里用常
见的极大似然估计给出其估计量
1?多元样本的概念及表示法
设X（i）,X（2）,|l|,X（n）是P元总体X中抽取的相互独立的随机样本，简称为样本，每个x（：.）=（X：.1,X：.2,||[,X』（:一1,2,川,n）称为一个样品。其中X ：J为第:?个样品对第j个指标的观测值。
*X11 X
21X-2
X
22
IH
川
X-p '
X2p
1
/v * >
X
（1）X
（2
X n xp —
+
+
+
p
h
f
1■■
+
4
4
4
4
i （X ni X n2
川X
np j nxp E丿
每一行都是总体的简单随机样本。
⑴每个样本各分量之间有相关关系，不同样本之间一定相互独立;
⑵多元统计中样本常常是横截面数据，不同于时间序列中样本数据（纵向数据）。
2. 多元样本的数值特征
定义设X（i）,X（2）,|l|,X（n）为来自P元总体的样本，其中
X（：）, =（X：.1,X：.2, |l|,x：.p）?=1,2,川，n）。
⑴ 样本均值向量定义为
T XII
、Qi"，
Z Xni
X-2
+
++X22
十川+
X n2
p
+
l X-p J1
■
d n d ⑵ X X（）- n y n 为1 + X 21 +川 + X n1 饥、 1 X12 +X22 +||j+Xn2 X2 n ■* ■* r r “ +X2p +||j+Xnp ； 国丿 ⑵样本离差矩阵定义为 n _ _ ? S p p 八 X (：)-X X ( .)-X =(S j )pp 、注 n 其中 S j 八 X -i -X i X -j - X j (i, j =1,2,3, p) J ：.I n _ _ - S p p 八 X ()-X x ()-X (x ：i -X)(x ：2 -X O (X ：2 -X 2)2 (X ：3 —X0(X ：2 -乂) (x ：p -X p )(x-2 -X 2) (x ：i -XJ(x ：3 -XO (X ：2 -X 2)(X ：3 -知 (电3 _X02 _ (x ：p —X p )(x ：3— X 3) (X/-X i )(x^-X p ) 冷-乂2)愿-X p ) 冷-X 3)(\jp -X p ) (Xx> —X p )3 4 ⑶样本协方差矩阵定义为 (Xx —XJ (\^ -X 2)(\^ -X i ) (x 悝—X 3)(七—XJ n =z ：■! 七_x -X 2 七_X 3 一 X p 」 (X 。—X i -乂2 七一鬼 x ：p I g X n ：-4 (:?) - 上 11' X 12 + X 22 + 乂 1、 X 32 + 'X n1 ' X n2 1 为3 X 23 X 33 X n3 I 人Xp 1 l X 2p 丿 1 占 1 l X np / 一 n =z .-吐 1 1 n Vp ^n S ^：.±X(：) -X X (：) 1 -X 爲印pp -(v ij ) p p ⑷样本相关系数矩阵定义为 V j =S j 寸v 亦v s i r^/s^ 样本均值向量和离差矩阵也可以用样本资料矩阵 X n p 表示。记 1 1 . r X ⑴ X(2) III X(n)1n -- X 1n1 1 1 ■1 、 “Xu +X21 +Hi+Xn1 ' 1 + ，则 Xp"1 X )2 + X 22 j + X n2 + + n * 4 (X1p +X2p +|li + Xnp J 1 n 1 由于 n S p P 八 X (:) 7 -X X o ? n _ _ 八 X ()-X X ()_X n 八 X （：）X （：）-X X （〔） -X （：）X XX n 二 XX () n X ()X nXX XX O Xo = X(._ X ()) = X(X pn 1nJ _ 1 _____________ = nX(—X pn 1ni )、nXX n n c X (：)X )八 XX ( ) y 1 二 nXX 、X （〉）X ：=（nXX y= nXX X pn X np=X (1) X (2)川 X (n) /v * \ X (1) X (2 g)丿 = X (1)X (1) - X (2)X (2) III X (n)X (n) n 八 X （：）X （） 所以 S p p - X pn X n p -nXX 2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。 解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，12(,,)p X X X X '=L 的联合分布密 度函数是一个p 维的函数，而边际分布讨论是12(,,)p X X X X '=L 的子向量的概率分布，其概率密度 函数的维数小于p 。 2.2设二维随机向量1 2()X X '服从二元正态分布，写出其联合分布。 解：设1 2()X X '的均值向量为()1 2μμ'=μ，协方差矩阵为21 122212σσσσ?? ? ?? ，则其联合分布密度函数为 1/2 12 2 2112112222122121()exp ()()2f σσσσσσσσ--???????? '=---?? ? ??? ?????? x x μx μ。 2.3已知随机向量12()X X '的联合密度函数为 12121222 2[()()()()2()()] (,)()()d c x a b a x c x a x c f x x b a d c --+-----= -- 其中1a x b ≤≤，2c x d ≤≤。求 （1）随机变量1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差； （2）随机变量1X 和2X 的协方差和相关系数； （3）判断 1X 和2X 是否相互独立。 （1）解：随机变量 1X 和2X 的边缘密度函数、均值和方差； 11212122 2[()()()()2()()] ()()()d x c d c x a b a x c x a x c f x dx b a d c --+-----=--? 1221222222 2()()2[()()2()()]()()()() d d c c d c x a x b a x c x a x c dx b a d c b a d c -------=+----? 121 222202()()2[()2()]()()()() d d c c d c x a x b a t x a t dt b a d c b a d c ------= +----? 221212222 2()()[()2()] 1()()()()d c d c d c x a x b a t x a t b a d c b a d c b a ------=+= ----- 所以 由于1X 服从均匀分布，则均值为2b a +，方差为 ()2 12 b a -。 多元统计分析实例 院系:商学院 学号: 姓名: 多元统计分析实例 本文收集了2012年31个省市自治区的农林牧渔和相关农业数据,通过对对收集的数据进行比较分析对31个省市自治区进行分类.选取了6个指标农业产值,林业产值.牧业总产值,渔业总产值,农村居民家庭拥有生产性固定资产原值,农村居民家庭经营耕地面积. 数据如下表: 一.聚类法 设定4个群聚,采用了系统聚类法.下表为spss分析之后的结果. Rescaled Distance Cluster Combine C A S E 0 5 10 15 20 25 Label Num +---------+---------+---------+---------+---------+ 内蒙 5 -+ 吉林 7 -+ 云南 25 -+-+ 江西 14 -+ +-+ 陕西 27 -+-+ | 新疆 31 -+ +-+ 安徽 12 -+-+ | | 广西 20 -+ +-+ +-------+ 辽宁 6 ---+ | | 浙江 11 -+-----+ | 福建 13 -+ | 重庆 22 -+ +---------------------------------+ 贵州 24 -+ | | 山西 4 -+---+ | | 甘肃 28 -+ | | | 北京 1 -+ | | | 青海 29 -+ +---------+ | 天津 2 -+ | | 上海 9 -+ | | 宁夏 30 -+---+ | 西藏 26 -+ | 海南 21 -+ | 河北 3 ---+-----+ | 四川 23 ---+ | | 黑龙江 8 -+-+ +-------------+ | 湖南 18 -+ +---+ | | | 湖北 17 -+-+ +-+ +-------------------------+ 广东 19 -+ | | 江苏 10 -------+ | 山东 15 -----------+-----------+ 河南 16 -----------+ 一、填空题（20分） 1、若),2,1(),,(~)(n N X p 且相互独立，则样本均值向量X 服从的分布 为 2、变量的类型按尺度划分有_间隔尺度_、_有序尺度_、名义尺度_。 3、判别分析是判别样品 所属类型 的一种统计方法，常用的判别方法有__距离判别法_、Fisher 判别法、Bayes 判别法、逐步判别法。 4、Q 型聚类是指对_样品_进行聚类，R 型聚类是指对_指标(变量)_进行聚类。 5、设样品),2,1(,),,(' 21n i X X X X ip i i i ，总体),(~ p N X ，对样品进行分类常用的距离 2 ()ij d M )()(1j i j i x x x x ，兰氏距离()ij d L 6、因子分析中因子载荷系数ij a 的统计意义是_第i 个变量与第j 个公因子的相关系数。 7、一元回归的数学模型是： x y 10，多元回归的数学模型是： p p x x x y 22110。 8、对应分析是将 R 型因子分析和Q 型因子分析结合起来进行的统计分析方法。 9、典型相关分析是研究两组变量之间相关关系的一种多元统计方法。 二、计算题（60分） 1、设三维随机向量),(~3 N X ，其中 200031014，问1X 与2X 是否独立？),(21 X X 和3X 是否独立？为什么？ 解： 因为1),cov(21 X X ，所以1X 与2X 不独立。 把协差矩阵写成分块矩阵 22211211，),(21 X X 的协差矩阵为11 因为12321),),cov(( X X X ，而012 ，所以),(21 X X 和3X 是不相关的，而正态分布不相关与相互 一、填空题： 1、多元统计分析是运用数理统计方法来研究解决多指标问题的理论和方法. 2、回归参数显著性检验是检验解释变量对被解释变量的影响是否著. 3、聚类分析就是分析如何对样品（或变量）进行量化分类的问题。通常聚类分析分为 Q型聚类和 R型聚类。 4、相应分析的主要目的是寻求列联表行因素A 和列因素B 的基本分析特征和它们的最优联立表示。 5、因子分析把每个原始变量分解为两部分因素：一部分为公共因子，另一部分为特殊因子。 6、若 () (,), P x N αμα ∑=1,2,3….n且相互独立，则样本均值向量x服从的分布 为_x~N(μ，Σ/n)_。 二、简答 1、简述典型变量与典型相关系数的概念，并说明典型相关分析的基本思想。 在每组变量中找出变量的线性组合，使得两组的线性组合之间具有最大的相关系数。选取和最初挑选的这对线性组合不相关的线性组合，使其配对，并选取相关系数最大的一对，如此下去直到两组之间的相关性被提取完毕为止。被选出的线性组合配对称为典型变量，它们的相关系数称为典型相关系数。 2、简述相应分析的基本思想。 相应分析，是指对两个定性变量的多种水平进行分析。设有两组因素A和B，其中因素A包含r个水平，因素B包含c个水平。对这两组因素作随机抽样调查，得到一个rc的二维列联表，记为。要寻求列联表列因素A和行因素B的基本分析特征和最优列联表示。相应分析即是通过列联表的转换，使得因素A 和因素B 具有对等性，从而用相同的因子轴同时描述两个因素各个水平的情况。把两个因素的各个水平的状况同时反映到具有相同坐标轴的因子平面上，从而得到因素A 、B 的联系。 3、简述费希尔判别法的基本思想。 从k 个总体中抽取具有p 个指标的样品观测数据，借助方差分析的思想构造一个线性判别函数 系数： 确定的原则是使得总体之间区别最大，而使每个总体内部的离差最小。将新样品的p 个指标值代入线性判别函数式中求出 值，然后根据判别一定的规则，就可以判别新的样品属于哪个总体。 5、简述多元统计分析中协差阵检验的步骤 第一，提出待检验的假设 和H1； 第二，给出检验的统计量及其服从的分布； 第三，给定检验水平，查统计量的分布表，确定相应的临界值，从而得到否定域； 第四，根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设做出决策（拒绝或接受）。 协差阵的检验 检验0=ΣΣ 0p H =ΣI ： /2 /21exp 2np n e tr n λ???? =-?? ? ???? S S 00p H =≠ΣΣI ： /2 /2**1exp 2np n e tr n λ???? =-?? ? ???? S S 多元统计分析方法 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】 多元统计分析概述 目录 一、引言 (3) 二、多元统计分析方法的研究对象和主要内容 (3) 1.多元统计分析方法的研究对象 (3) 2.多元统计分析方法的主要内容 (3) 三、各种多元统计分析方法 (3) 1.回归分析 (3) 2.判别分析 (6) 3.聚类分析 (8) 4.主成分分析 (10) 5.因子分析 (10) 6. 对应分析方法 (11) 7. 典型相关分析 (11) 四、多元统计分析方法的一般步骤 (12) 五、多元统计分析方法在各个自然领域中的应用 (12) 六、总结 (13) 参考文献 (14) 谢辞 (15) 一、引言 统计分布是用来刻画随机变量特征及规律的重要手段，是进行统计分布的基础和提高。多元统计分析方法则是建立在多元统计分布基础上的一类处理多元统计数据方法的总称，是统计学中的具有丰富理论成果和众多应用方法的重要分支。在本文中，我们将对多元统计分析方法做一个大体的描述，并通过一部分实例来进一步了解多元统计分析方法的具体实现过程。 二、多元统计分析方法的研究对象和主要内容 （一）多元统计分析方法的研究对象 由于大量实际问题都涉及到多个变量，这些变量又是随机变量，所以要讨论多个随机变量的统计规律性。多元统计分析就是讨论多个随机变量理论和统计方法的总称。其内容包括一元统计学中某些方法的直接推广，也包括多个随即便量特有的一些问题，多元统计分析是一类范围很广的理论和方法。 现实生活中，受多个随机变量共同作用和影响的现象大量存在。统计分析中，有两种方法可同时对多个随机变量的观测数据进行有效的分析和研究。一种方法是把多个随机变量分开分析，一次处理一个随机变量，分别进行研究。但是，这样处理忽略了变量之间可能存在的相关性，因此，一般丢失的信息太多，分析的结果不能客观全面的反映整个问题，而且往往也不容易取得好的研究结论。另一种方法是同时对多个随机变量进行研究分析，此即多元统计方法。通过对多个随即便量观测数据的分析，来研究随机变量总的特征、规律以及随机变量之间的相互 22121212121 ~(,),(,),(,),, 1X N X x x x x x x ρμμμμσρ ?? ∑==∑= ??? +-1、设其中则Cov(,)=____. 10 31 2~(,),1,,10,()()_________i i i i X N i W X X μμμ=' ∑=--∑L 、设则=服从。 ()1 2 34 433,4 92, 3216___________________ X x x x R -?? ?'==-- ? ?-? ? =∑、设随机向量且协方差矩阵则它的相关矩阵 4、 __________， __________， ________________。 215,1,,16(,),(,)15[4()][4()]~___________i p p X i N X A N T X A X μμμμ-=∑∑'=--L 、设是来自多元正态总体和分别为正态总体的样本均值和样本离差矩阵,则。 12332313116421(,,)~(,),(1,0,2),441, 2142X x x x N x x x x x μμ-?? ?'=∑=-∑=-- ? ?-?? -?? + ??? 、设其中试判断与是否独立？ (), 1 2 3设X=x x x 的相关系数矩阵通过因子分析分解为 211X h = 的共性方差111X σ= 的方差21X g = 1公因子f 对的贡献1213 30.93400.1280.9340.4170.8351100.4170.8940.02700.8940.44730.8350.4470.10320 13 R ? ? - ????? ? -?? ? ? ?=-=-+ ? ? ? ??? ? ? ????? ? ??? 应用多元统计分析课后答案 第五章 聚类分析 判别分析和聚类分析有何区别 答：即根据一定的判别准则，判定一个样本归属于哪一类。具体而言，设有n 个样本，对每个样本测得p 项指标（变量）的数据，已知每个样本属于k 个类别（或总体）中的某一类，通过找出一个最优的划分，使得不同类别的样本尽可能地区别开，并判别该样本属于哪个总体。聚类分析是分析如何对样品（或变量）进行量化分类的问题。在聚类之前，我们并不知道总体，而是通过一次次的聚类，使相近的样品（或变量）聚合形成总体。通俗来讲，判别分析是在已知有多少类及是什么类的情况下进行分类，而聚类分析是在不知道类的情况下进行分类。 试述系统聚类的基本思想。 答：系统聚类的基本思想是：距离相近的样品（或变量）先聚成类，距离相远的后聚成类，过程一直进行下去，每个样品（或变量）总能聚到合适的类中。 对样品和变量进行聚类分析时， 所构造的统计量分别是什么简要说明为什么这样构造 答：对样品进行聚类分析时，用距离来测定样品之间的相似程度。因为我们把n 个样本看作p 维空间的n 个点。点之间的距离即可代表样品间的相似度。常用的距离为 （一）闵可夫斯基距离：1/1 ()() p q q ij ik jk k d q X X ==-∑ q 取不同值，分为 （1）绝对距离（1q =） 1 (1)p ij ik jk k d X X ==-∑ （2）欧氏距离（2q =） 2 1/21 (2)()p ij ik jk k d X X ==-∑ （3）切比雪夫距离（q =∞） 1()max ij ik jk k p d X X ≤≤∞=- （二）马氏距离 （三）兰氏距离 2 1()()()ij i j i j d M -'=--X X ΣX X 11()p ik jk ij k ik jk X X d L p X X =-=+∑ 多元统计分析（1） 题目:多兀统计分析知识点 研究生___________________________ 专业____________________________ 指导教师________________________ 完成日期2013年12月 目录 第一章绪论 (1) §.1什么是多元统计分析 (1) §.2多元统计分析能解决哪些实际问题 (2) §.3主要内容安排 (2) 第二章多元正态分布 (2) 弦.1基本概念 (2) 弦.2多元正态分布的定义及基本性质 (8) 1. （多元正态分布）定义 (9) 2?多元正态变量的基本性质 (10) §2.3多元正态分布的参数估计X =（X1,X2^|,X p） (11) 1?多元样本的概念及表示法 (12) 2. 多元样本的数值特征 (12) 3」和a 的最大似然估计及基本性质 (15) 4.Wishart 分布 (17) 第五章聚类分析 (18) §5.1什么是聚类分析 (18) §5.2距离和相似系数 (19) 1 ? Q—型聚类分析常用的距离和相似系数 (20) 2. .......................................................................................................................................... R 型聚类分析常用的距离和相似系数 (25) §5.3八种系统聚类方法 (26) 1. 最短距离法 (27) 2. 最长距离法 (30) 3. 中间距离法 (32) 4. 重心法 (35) 5. 类平均法 (37) 6. 可变类平均法 (38) 7. 可变法 (38) 8. 离差平方和法（Word方法） (38) 第六章判别分析 (39) 精品资料 一、对我国30个省市自治区农村居民生活水平作聚类分析 1、指标选择及数据：为了全面分析我国农村居民的生活状况，主要考虑从收入、消费、就业等几个方面对农村居民的生活状况进行考察。因此选取以下指标：农村产品价格指数、农村住宅投资、农村居民消费水平、农村居民消费支出、农村居民家庭人均纯收入、耕地面积及农村就业人数。现从２０１０年的调查资料中 ２、将数据进行标准化变换： ３、用Ｋ－均值聚类法对样本进行分类如下： 分四类的情况下，最终分类结果如下： 第一类：北京、上海、浙江。 第二类：天津、、辽宁、、福建、甘肃、江苏、广东。 第三类：浙江、河北、内蒙古、吉林、黑龙江、安徽、山东、河南、湖北、四川、云南。 第四类：山西、青海、宁夏、新疆、重庆、贵州、陕西、湖南、广西、江西、。从分类结果上看，根据２０１０年的调查数据，第一类地区的农民生活水平较高，第二类属于中等水平，第三类、第四类属于较低水平。 二、判别分析 针对以上分类结果进行判别分析。其中将新疆作作为待判样本。判别结果如下: **. 错误分类的案例 从上可知，只有一个地区判别组和原组不同，回代率为96%。 下面对新疆进行判别： 已知判别函数系数和组质心处函数如下： 判别函数分别为：Y1=0.18x1 +0.493x2 + 0.087x3 + 1.004x4 + 0.381x5 -0.041x6 -0.631x7 Y2=0.398x1+0.687x2 + 0.362x3 + 0.094x4 -0.282x5 + 1.019x6 -0.742x7 Y3=0.394x1-0.197x2 + 0.243x3-0.817x4 + 0.565x5-0.235x6 + 0.802x7 将西藏的指标数据代入函数得：Y1=-1.08671 Y2=-0.62213 Y3=-0.84188 计算Y值与不同类别均值之间的距离分别为：D1=138.5182756 D2=12.11433124 D3=7.027544292 D4=2.869979346 经过判别，D4最小，所以新疆应归于第四类，这与实际情况也比较相符。 三，因子分析： 分析数据在上表的基础上去掉两个耕地面积和农村固定资产投资两个指标。经spss软件分析结果如下: 多元统计分析中的应用研究 , 摘要：许多实际问题往往需要对数据进行统计分析，建立合适的统计模型，过去一般采用SAS 、SPSS软件分析，本文给出 Matlab软件在多元统计分析上的应用, 主要介绍Matlab 在聚类分析、判别分析、主成份分析上的应用,文中均给以实例, 结果令人满意。 关键词：Matlab软件；聚类分析；主成份分析 Research for application of Multivariate Statistical Analysis Abstract:Many practice question sometimes need Statistical Analysis to data.,and establish appropriate Statistical model SAS and SPSS software were commonly used in foretime ,this paper give the application of Matlab software in Multivariate Statistical Analysis,mostly introduce the application of Matlab software in priciple component analysis and cluster analysis and differentiate analysis.The example are given in writing and the result are satisfaction. Key words: Matlab software; cluster analysis; priciple component analysis 0 引言 许多实际问题往往需要对数据进行多元统计分析, 建立合适的模型, 在多元统计分析方面, 常用的软件有SAS 、SPSS 、S-PLUS等。我们在这里给出Matlab在多元统计分析上的应用, 在较早的版本中, 统计功能不那么强大, 而在Matlab6.x版本中, 仅在统计工具中的功能函数就达200多个, 功能已足以赶超任何其他专用的统计软件,在应用上Matlab具有其他软件不可比拟的操作简单,接口方便, 扩充能力强等优势, 再加上Matlab的应用范围广泛, 因此可以预见其在统计应用上越来越占有极其重要的地位，下面用实例给出Matlab 在聚类分析、主成份分析上的应用。 1 聚类分析 聚类分析法是一门多元统计分类法，其目的是把分类对象按一定规则分成若干类，所分成的类是根据数据本身的特征确定的。聚类分析法根据变量（或样品或指标）的属性或特征的相似性，用数学方法把他们逐步地划类，最后得到一个能反映样品之间或指标之间亲疏关系的客观分类系统图，称为谱系聚类图。 聚类分析的步骤有：数据变换，计算ｎ个样品的两两间的距离，先分为一类，在剩下的ｎ－１个样品计算距离，按照不同距离最小的原则，增加分类的个数，减少所需要分类的样品的个数，循环进行下去，直到类的总个数为１时止。根 第一章： 多元统计分析研究的内容（5点） 1、简化数据结构（主成分分析） 2、分类与判别（聚类分析、判别分析） 3、变量间的相互关系（典型相关分析、多元回归分析） 4、多维数据的统计推断 5、多元统计分析的理论基础 第二三章： 二、多维随机变量的数字特征 1、随机向量的数字特征 随机向量X 均值向量： 随机向量X 与Y 的协方差矩阵： 当X=Y 时Cov （X ，Y ）=D （X ）；当Cov （X ，Y ）=0 ，称X ，Y 不相关。 随机向量X 与Y 的相关系数矩阵： )',...,,(),,,(2121P p EX EX EX EX μμμ='=Λ)')((),cov(EY Y EX X E Y X --=q p ij r Y X ?=)(),(ρ 2、均值向量协方差矩阵的性质 (1).设X ，Y 为随机向量，A ，B 为常数矩阵 E （AX ）=AE （X ）； E （AXB ）=AE （X ）B; D(AX)=AD(X)A ’; Cov(AX,BY)=ACov(X,Y)B ’; (2).若X ，Y 独立，则Cov(X,Y)＝０，反之不成立． (3).X 的协方差阵D(X)是对称非负定矩阵。例2.见黑板 三、多元正态分布的参数估计 2、多元正态分布的性质 (1).若 ,则E(X)= ,D(X)= . 特别地，当 为对角阵时， 相互独立。 (2).若 ，Ａ为sxp 阶常数矩阵，d 为s 阶向量， ＡＸ＋d ～ . 即正态分布的线性函数仍是正态分布． (3).多元正态分布的边缘分布是正态分布，反之不成立． (4).多元正态分布的不相关与独立等价． 例３．见黑板． 三、多元正态分布的参数估计 (1)“ 为来自p 元总体X 的（简单）样本”的理解---独立同截面． (2)多元分布样本的数字特征---常见多元统计量 样本均值向量 ＝ 样本离差阵Ｓ＝ 样本协方差阵Ｖ＝ S ;样本相关阵Ｒ (3) ,Ｖ分别是 和 的最大似然估计； (4)估计的性质 是 的无偏估计； ,Ｖ分别是 和 的有效和一致估计； ； Ｓ～ ， 与Ｓ相互独立； 第五章 聚类分析： 一、什么是聚类分析 ：聚类分析是根据“物以类聚”的道理，对样品或指标进行分类的一种多元统计分析方法。用于对事物类别不清楚，甚至事物总共可能有几类都不能确定的情况下进行事物分类的场合。聚类方法：系统聚类法（直观易懂）、动态聚类法（快）、有序聚类法（保序）...... Q-型聚类分析（样品）R-型聚类分析（变量） 变量按照测量它们的尺度不同，可以分为三类：间隔尺度、有序尺度、名义尺度。 二、常用数据的变换方法:中心化变换、标准化变换、极差正规化变换、对数变换（优缺点） 1、中心化变换（平移变换）：中心化变换是一种坐标轴平移处理方法，它是先求出每个变量的样本平均值，再从原始数据中减去该变量的均值，就得到中心化变换后的数据。不改变样本间的相互位置，也不改变变量间的相关性。 2、标准化变换：首先对每个变量进行中心化变换，然后用该变量的标准差进行标准化。 经过标准化变换处理后，每个变量即数据矩阵中每列数据的平均值为0，方差为1，且也不再具有量纲，同样也便于不同变量之间的比较。 3、极差正规化变换（规格化变换）：规格化变换是从数据矩阵的每一个变量中找出其最大值和最小值，这两者之差称为极差，然后从每个变量的每个原始数据中减去该变量中的最小值，再除以极差。经过规格化变换后，数据矩阵中每列即每个变量的最大数值为1，最小数值为0，其余数据取值均在0－1之间；且变换后的数据都不再具有量纲，便于不同的),(~∑μP N X μ∑μp X X X ,,,21Λ),(~∑μP N X ) ,('A A d A N s ∑+μ)()1(,, n X X ΛX )',,,(21p X X X Λ)')(()()(1X X X X i i n i --∑=n 1X μ∑μX )1,(~∑n N X P μ),1(∑-n W p X X 多元统计分析重点宿舍版 第一讲：多元统计方法及应用；多元统计方法分类（按变量、模型、因变量等） 多元统计分析应用 选择题：①数据或结构性简化运用的方法有：多元回归分析，聚类分析，主成分分析，因子分析 ②分类和组合运用的方法有：判别分析，聚类分析，主成分分析 ③变量之间的相关关系运用的方法有：多元回归，主成分分析，因子分析， ④预测与决策运用的方法有：多元回归，判别分析，聚类分析 ⑤横贯数据：{因果模型(因变量数)：多元回归，判别分析相依模型(变量测度)：因子分析，聚类分析 多元统计分析方法 选择题：①多元统计方法的分类：1）按测量数据的来源分为：横贯数据（同一时间不同案例的观测数据），纵观数据（同样案例在不同时间的多次观测数据） 2）按变量的测度等级（数据类型）分为：类别（非测量型）变量，数值型（测量型）变量 3）按分析模型的属性分为：因果模型，相依模型 4）按模型中因变量的数量分为：单因变量模型，多因变量模型，多层因果模型 第二讲：计算均值、协差阵、相关阵；相互独立性 第三讲：主成分定义、应用及基本思想，主成分性质，主成分分析步骤 主成分定义：何谓主成分分析 就是将原来的多个指标（变量）线性组合成几个新的相互无关的综合指标（主成分），并使新的综合指标尽可能多地反映原来的指标信息。 主成分分析的应用 ：（1）数据的压缩、结构的简化；（2）样品的综合评价，排序 主成分分析概述——思想：①（1）把给定的一组变量X1,X2,…XP ,通过线性变换，转换为一组不相关的变量Y1，Y2，…YP 。（2）在这种变换中，保持变量的总方差（X1，X2，…Xp 的方差之和）不变，同时，使Y1具有最大方差，称为第一主成分；Y2具有次大方差，称为第二主成分。依次类推，原来有P 个变量，就可以转换出P 个主 第一章： 多元统计分析研究的容（5点） 1、简化数据结构（主成分分析） 2、分类与判别（聚类分析、判别分析） 3、变量间的相互关系（典型相关分析、多元回归分析） 4、多维数据的统计推断 5、多元统计分析的理论基础 第二三章： 二、多维随机变量的数字特征 1、随机向量的数字特征 随机向量X均值向量： 随机向量X与Y的协方差矩阵： 当X=Y时Cov（X，Y）=D（X）；当Cov（X，Y）=0 ，称X，Y不相关。 随机向量X与Y的相关系数矩阵： 2、均值向量协方差矩阵的性质 (1).设X，Y为随机向量，A，B 为常数矩阵 E（AX）=AE（X）； E（AXB）=AE（X）B; D(AX)=AD(X)A’; )' ,..., , ( ) , , , ( 2 1 2 1P p EX EX EX EXμ μ μ = ' = )' )( ( ) , cov(EY Y EX X E Y X- - = q p ij r Y X ? =) ( ) , (ρ Cov(AX,BY)=ACov(X,Y)B ’; (2).若X ，Y 独立，则Cov(X,Y)＝０，反之不成立． (3).X 的协方差阵D(X)是对称非负定矩阵。例2.见黑板 三、多元正态分布的参数估计 2、多元正态分布的性质 (1).若 ,则E(X)= ,D(X)= . 特别地，当 为对角阵时， 相互独立。 (2).若 ，Ａ为sxp 阶常数矩阵，d 为s 阶向量， ＡＸ＋d ～ . 即正态分布的线性函数仍是正态分布． (3).多元正态分布的边缘分布是正态分布，反之不成立． (4).多元正态分布的不相关与独立等价． 例３．见黑板． 三、多元正态分布的参数估计 (1)“ 为来自p 元总体X 的（简单）样本”的理解---独立同截面． (2)多元分布样本的数字特征---常见多元统计量 样本均值向量 ＝ 样本离差阵Ｓ＝ 样本协方差阵Ｖ＝ S ;样本相关阵Ｒ (3) ,Ｖ分别是 和 的最大似然估计； (4)估计的性质 是 的无偏估计； ,Ｖ分别是 和 的有效和一致估计； ； Ｓ～ ， 与Ｓ相互独立； 第五章 聚类分析： 一、什么是聚类分析 ：聚类分析是根据“物以类聚”的道理，对样品或指标进行分类的一种多元统计分析方法。用于对事物类别不清楚，甚至事物总共可能有几类都不能确定的情况下进行事物分类的场合。聚类方法：系统聚类法（直观易懂）、动态聚类法（快）、有序聚类法（保序）...... Q-型聚类分析（样品）R-型聚类分析（变量） 变量按照测量它们的尺度不同，可以分为三类：间隔尺度、有序尺度、名义尺度。 二、常用数据的变换方法:中心化变换、标准化变换、极差正规化变换、对数变换（优缺点） 1、中心化变换（平移变换）：中心化变换是一种坐标轴平移处理方法，它是先求出每个变量的样本平均值，再从原始数据中减去该变量的均值，就得到中心化变换后的数据。不改变样本间的相互位置，也不改变变量间的相关性。 2、标准化变换：首先对每个变量进行中心化变换，然后用该变量的标准差进行标准化。 经过标准化变换处理后，每个变量即数据矩阵中每列数据的平均值为0，方差为1，且也不再具有量纲，同样也便于不同变量之间的比较。 3、极差正规化变换（规格化变换）：规格化变换是从数据矩阵的每一个变量中找出其最大值和最小值，这两者之差称为极差，然后从每个变量的每个原始数据中减去该变量中的最小值，再除以极差。经过规格化变换后，数据矩阵中每列即每个变量的最大数值为1，最小数值为0，其余数据取值均在0－1之间；且变换后的数据都不再具有量纲，便于不同的变量之间的比较。 4、对数变换：对数变换是将各个原始数据取对数，将原始数据的对数值作为变换后的新值。它将具有指数特征的数据结构变换为线性数据结构。 三、样品间相近性的度量 研究样品或变量的亲疏程度的数量指标有两种：距离，它是将每一个样品看作p 维空),(~∑μP N X μ∑μp X X X ,,,21 ),(~∑μP N X ),('A A d A N s ∑+μ)()1(,,n X X X )',,,(21p X X X )')(()()(1X X X X i i n i --∑=n 1X μ ∑μX )1,(~∑n N X P μ),1(∑-n W p X X Abbo无私奉献，只收1个金币，BS收5个金币的… 何老师考简单点啊…… 第九章 典型相关分析 9.1 什么是典型相关分析？简述其基本思想。 答： 典型相关分析是研究两组变量之间相关关系的一种多元统计方法。用于揭示两组变量之间的内在联系。典型相关分析的目的是识别并量化两组变量之间的联系。将两组变量相关关系的分析转化为一组变量的线性组合与另一组变量线性组合之间的相关关系。 基本思想： （1）在每组变量中找出变量的线性组合，使得两组的线性组合之间具有最大的相关系数。即： 若设(1) (1)(1) (1)12(,,,)p X X X =X 、(2) (2)(2)(2) 12(,,,)q X X X =X 是两组相互关联的随机变量， 分别在两组变量中选取若干有代表性的综合变量Ui 、Vi ，使是原变量的线性组合。 在(1)(1)(1)(2)()()1D D ''==a X b X 的条件下，使得(1)(1)(1)(2)(,)ρ''a X b X 达到最大。（2）选取和最初挑选的这对线性组合不相关的线性组合，使其配对，并选取相关系数最大的一对。 （3）如此继续下去，直到两组变量之间的相关性被提取完毕为此。 9.2 什么是典型变量？它具有哪些性质？ 答：在典型相关分析中，在一定条件下选取系列线性组合以反映两组变量之间的线性关系，这被选出的线性组合配对被称为典型变量。具体来说， ()(1) ()(1)()(1)()(1) 11 22i i i i i P P U a X a X a X ' =+++a X ()(2) ()(2)()(2) ()(2) 11 22i i i i i q q V b X b X b X ' =+++b X 在(1)(1)(1)(2)()()1D D ''==a X b X 的条件下，使得(1)(1)(1)(2)(,)ρ''a X b X 达到最大，则称 (1)(1)'a X 、(1)(2) 'b X 是(1)X 、(2)X 的第一对典型相关变量。 典型变量性质： 典型相关量化了两组变量之间的联系，反映了两组变量的相关程度。 1. ()1,()1 (1,2,,)k k D U D V k r === (,)0, (,)0 ()i j i j C ov U U C ov V V i j ==≠ 2. 0 (,1,2,,)(,)0()0()i i j i j i r C ov U V i j j r λ≠==?? =≠??>? 9.3 试分析一组变量的典型变量与其主成分的联系与区别。 答：一组变量的典型变量和其主成分都是经过线性变换计算矩阵特征值与特征向量得出的。主成分分析只涉及一组变量的相互依赖关系而典型相关则扩展到两组变量之间的相互依赖关系之中，度量了这两组变量之间联系的强度。 ()(1)()(1)()(1)()(1) 1122i i i i i P P U a X a X a X '=+++a X ()(2)()(2)()(2)()(2) 1122i i i i i q q V b X b X b X '=+++b X (1)(1)(1)(1)1 2 (,,,)p X X X = X 、(2)(2)(2)(2)1 2 (,,,)q X X X = X 基于SPSS的多元统计分析三种算法的实例研究 摘要 本文主要应用多元统计中的多元回归分析模型、因子分析模型、判别分析模型解决三个有关经济方面的问题，从而能更深的理解多元统计分析这门课程，并熟悉SPSS软件的一些基本操作。 关键词：多元回归分析，因子分析，判别分析，SPSS 第一章 多元线性回归分析 1.1 研究背景 消费是宏观经济必不可少的环节，完善的消费模型可以为宏观调控提供重要的依据。根据不同的理论可以建立不同的消费函数模型，而国内的许多学者研究的主要是消费支出与收入的单变量之间的函数关系，由于忽略了对消费支出有显著影响的变量，其所建立的方程必与实际有较大的偏离。本文综合考察影响消费的主要因素，如收入水平、价格、恩格尔系数、居住面积等，采用进入逐步、向前、向后、删除、岭回归方法，对消费支出的多元线性回归模型进行研究，找出能较准确描述客观实际结果的最优模型。 1.2 问题提出与描述、数据收集 按照经济学理论，决定居民消费支出变动的因素主要有收入水平、居民消费意愿、消费环境等。为了符合我国经济发展的不平衡性的现状，本文主要研究农村居民的消费支出模型。文中取因变量Y 为农村居民年人均生活消费支出（单位：元），自变量为农村居民人均纯收入X 1（单位：元）、商品零售价格定基指数X 2（1978年的为100）、消费价格定基指数X 3（1978年的为100）、家庭恩格尔系数X 4（%）、人均住宅建筑面积X 5（单位：m 2）。本文取1900年至2009年的数据（数据来源：中华人民共和国国家统计局网公布的1996至2010年中国统计年鉴）列于附录的表一中。 1.3 模型建立 1.3.1 理论背景 多元线性回归模型如下： εββββ+++++=p p X X X Y ...... 22110 Y 表示因变量，X i （i=1，…，p ）表示自变量，ε表示随机误差项。 对于n 组观测值，其方程组形式为 εβ+=X Y 即 多元统计分析 题型一定义、名词解释 题型二计算（协方差阵、模糊矩阵） 题型三解答题 一、定义 二名词解释 1、多元统计分析：多元统计分析是运用数理统计的方法来研究多变量（多指标）问题的理论和方法，是一元统计学的推广 2、聚类分析:是根据“物以类聚”的道理，对样品或指标进行分类的一种多元统计分析方法。将个体或对象分类，使得同一类中的对象之间的相似性比与其他类的对象的相似性更强。使类内对象的同质性最大化和类间对象的异质性最大化 3、随机变量：是指变量的值无法预先确定仅以一定的可能性(概率)取值的量。它是由于随机而获得的非确定值，是概率中的一个基本概念。即每个分量都是随机变量的向量为随机向量。类似地，所有元素都是随机变量的矩阵称为随机矩阵。 4、统计量：多元统计研究的是多指标问题,为了了解总体的特征,通过对总体抽样得到代表总体的样本,但因为信息是分散在每个样本上的,就需要对样本进行加工,把样本的信息浓缩到不包含未知量的样本函数中,这个函数称为统计量 三、计算题 解： 答： 答： 题型三解答题 1、简述多元统计分析中协差阵检验的步骤 答： 第一，提出待检验的假设和H1； 第二，给出检验的统计量及其服从的分布； 第三，给定检验水平，查统计量的分布表，确定相应的临界值，从而得到否定域； 第四，根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设做出决策（拒绝或接受）。 2、简述一下聚类分析的思想 答：聚类分析的基本思想，是根据一批样品的多个观测指标，具体地找出一些能够度量样品或指标之间相似程度的统计量，然后利用统计量将样品或指标进行归类。把相似的样品或指标归为一类，把不相似的归为其他类。直到把所有的样品（或指标）聚合完毕. 3、多元统计分析的内容和方法 答：1、简化数据结构,将具有错综复杂关系的多个变量综合成数量较少且互不相关的变量，使研究问题得到简化但损失的信息又不太多。（1）主成分分析（2）因子分析（3）对应分析等 2、分类与判别,对所考察的变量按相似程度进行分类。（1）聚类分析：根据分析样本的各研究变量，将性质相似的样本归为一类的方法。（2）判别分析：判别样本应属何种类型的统计方法。 二名词解释 1、 多元统计分析：多元统计分析是运用数理统计的方法来研究多变量（多指标）问题的理 论和方法，是一元统计学的推广 2、 聚类分析：是根据“物以类聚”的道理，对样品或指标进行分类的一种多元统计分析方 法。将个体或对象分类，使得同一类中的对象之间的相似性比与其他类的对象的相似性更强。 使类内对象的同质性最大化和类间对象的异质性最大化 3、 随机变量：是指变量的值无法预先确定仅以一定的可能性 （概率）取值的量。它是由于随 机而获得的非确定值，是概率中的一个基本概念。即每个分量都是随机变量的向量为随机向 量。类 似地，所有元素都是随机变量的矩阵称为随机矩阵。 4、统计量：多元统计研究的是多指标问题 ，为了了解总体的特征,通过对总体抽样得到代表 总体的样本，但因为信息是分散在每个样本上的 ，就需要对样本进行加工，把样本的信息浓缩 到不包含未知量的样本函数中，这个函数称为统计量 二、计算题 ^16 -4 2 k 设H = 其中启= （1Q —纣眉=-4 4-1 [― 试判断叼+ 2吟与 「花一? [是否独立？ 解: "10 -6 -15 -6 1 a 2U -16 20 40 故不独立口 -r o 2丿 按用片的联合分帚再I -6 lti 20 -1G 20 ) -1V16 -4 0 -4 A 2 丿"-1 2.对某地区农村的百名2周宙男翌的身高、胸圉、上半骨圉进行测虽，得相关数据如下』根据汶往资料，该地区城市2周岁男婴的遠三个指标的均值血二（90Q乩16庆现欲在多元正态性的假定下检验该地区农村男娶是否与城市男婴有相同的均值?伽厂43107-14.62108.946^1 ]丼中乂=60.2x^)-1=(115.6924)-1-14.6210 3.172-37 3760 、8.9464-37 376035.S936」= 0.01, (3,2) = 99.2, 03) =293 隔亠4) =16.7) 答: 2、假设检验问题：比、# =险用‘//H地 r-8.o> 经计算可得：X-^A 22 厂 「3107 -14.6210 ST1=(23J3848)-1 -14.6210 3.172 8 9464 -37 3760 E9464 -37.3760 35.5936 构造检验统计量：尸=旳（丟-間）〃丿（巫-角） = 6x70.0741=420.445 由题目已知热“（3,）= 295由是 ^I =^W3,3）^147.5 所以在显著性水平ff=0.01下，拒绝原设尽即认 为农村和城市的2周岁男婴上述三个指标的均 值有显著性差异 （］ 4、设盂=（耳兀.昂工/ ~M（（XE）,协方差阵龙=P P （1）试从匸出发求X的第一总体主成分; 答: （2）试|可当卩取多大时才链主成分册贡蕭率达阳滋以上. 摘要 典型相关分析是多元统计分析的一个重要研究课题.它是研究两组变量之间相关的一种统计分析方法，能够有效地揭示两组变量之间的相互线性依赖关系.它借助主成分分析降维的思想，用少数几对综合变量来反映两组变量间的线性相关性质.目前它已经在众多领域的相关分析和预测分析中得到广泛应用. 本文首先描述了典型相关分析的统计思想，定义了总体典型相关变量及典型相关系数，并简要概述了它们的求解思路，然后深入对样本典型相关分析的几种算法做了比较全面的论述.根据典型相关分析的推理，归纳总结了它的一些重要性质并给出了证明，接着推导了典型相关系数的显著性检验.最后通过理论与实例分析两个层面论证了典型相关分析的应用于实际生活中的可行性与优越性. 【关键词】典型相关分析，样本典型相关，性质，实际应用 ABSTRACT The Canonical Correlation Analysis is an important studying topic of the Multivariate Statistical Analysis. It is the statistical analysis method which studies the correlation between two sets of variables. It can work to reveal the mutual line dependence relation availably between two sets of variables. With the help of the thought about the Principal Components, we can use a few comprehensive variables to reflect the linear relationship between two sets of variables. Nowadays It has already been used widely in the correlation analysis and forecasted analysis. This text describes the statistical thought of the Canonical Correlation Analysis firstly, and then defines the total canonical correlation variables and canonical correlation coefficient, and sum up their solution method briefly. After it I go deep into discuss some algorithm of the sample canonical correlation analysis thoroughly. According to the reasoning of the Canonical Correlation Analysis, sum up some of its important properties and give the identification, following it, I infer the significance testing about the canonical correlation coefficient. According to the analysis from the theories and the application, we can achieve the possibility and the superiority from canonical correlation analysis in the real life. 【Key words】Canonical Correlation Analysis，Sample canonical correlation，Character，Practical applications应用多元统计分析课后答案
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