模糊数学简介
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模糊数学简介
３）
84 Yamakawa F-logic I.C (模糊集成电路)
85 IFSA 成立国际模糊系统协会
我国：70 年代 王培庄，开始主要是理论研究，并且与经典数学相对应的各个领域都
有人研究，现在研究、利用模糊技术的领域已经深入到社会、经济等各个方面。
杂志：
*FSS-Fuzzy Set and Systems，
一、模糊数学简介、教学安排、
普通集合
（一）简介
1． 发展历史
美：65 L.A.zadeh 信息与控制（理论研究开始）
英：74 马丹尼
蒸汽机控制，８０年丹麦哥本哈根的史密斯水泥公司首次用模
糊系统实现了对水泥窑炉的控制。８８年，日立公司使日本仙台市地铁实现了模糊控制。
日：72 Sugeno
F-measure 语音控制模糊汽车（８８），无人驾驶直升机（９
（３）特征函数定义
定义：设 X 为论域， A X ，称映射
A : X { 0 , 1}
1, x A
x |
A (x)
0,
x A
( A B )( x ) min{ A ( x ), B ( x )} A ( x ) B ( x )
Ac (x) 1 A(x)
*IEEE Transactions on Fuzzy Systems (1993),
*Fuzzy Mathematics etc.
IEEE 从１９９２年起，每年召开一次国际模糊学术会议。１９９５年 IEEE 给 Zadeh
授予了学会的荣誉勋章。
２．趋势
（1）研究与应用人数逐年上升
（2）应用领域逐步扩大，遍及社会，经济等等各个领域，如：
模糊数学基本概念
模糊数学是一种处理模糊和不确定性问题的数学方法，它基于模糊集合理论，用于描述和处理无法精确量化的概念和现象。
以下是模糊数学的一些基本概念：
模糊集合：模糊集合是一种将不确定性或模糊性引入集合概念的数学工具。
与传统的集合不同，模糊集合中的元素具有一定的隶属度，表示元素与集合的模糊关系。
隶属函数：隶属函数是模糊集合中元素与集合的隶属度之间的映射关系。
它描述了元素在模糊集合中的程度或概率。
模糊关系：模糊关系是一种描述模糊集合之间的关系的数学工具。
它反映了元素之间的模糊连接或模糊相似性。
模糊逻辑：模糊逻辑是一种处理模糊命题和推理的逻辑系统。
它扩展了传统的二值逻辑，允许命题具有模糊的真值或隶属度。
模糊推理：模糊推理是一种基于模糊规则和模糊推理机制进行推理和决策的方法。
它能够处理模糊的输入和输出，并提供模糊的推理结果。
模糊数学运算：模糊数学中存在一系列的运算，包括模糊集合的并、交、补运算，模糊关系的复合运算等。
这些运算用于处理模糊集合和模糊关系的操作。
模糊控制：模糊控制是一种应用模糊数学方法进行控制的技术。
它通过模糊逻辑和模糊推理实现对复杂系统的控制，具有适应性和容错性的特点。
以上是模糊数学的一些基本概念，它们构成了模糊数学理论的基础，被广泛应用于人工智能、决策分析、模式识别、控制系统等领域。
模糊数学和其应用
04
总结与展望
模糊数学的重要性和意义
模糊数学是处理模糊性现象的一种数学 理论和方法，它突破了经典数学的局限 性，能够更好地描述现实世界中的复杂 问题。
模糊数学的应用领域广泛，包括控制论、信 息论、系统论、人工智能、计算机科学等， 对现代科学技术的发展起到了重要的推动作 用。
模糊数学的出现和发展，不仅丰富 了数学理论体系，也促进了各学科 之间的交叉融合，为解决实际问题 提供了新的思路和方法。
随着计算机技术的发展，模糊 数学的应用越来越广泛，成为 解决复杂问题的重要工具之一 。
模糊数学的基本概念
模糊集合
与传统集合不同，模糊集合的成员关系不再是确 定的，而是存在一定的隶属度。例如，一个人的 身高属于某个身高的模糊集合，其隶属度可以根 据实际情况进行确定。
隶属函数
用于描述模糊集合中元素属于该集合的程度。隶 属函数的确定需要根据实推理规则不再是一 一对应的，而是存在一定的连续性。例如，在医 疗诊断中，病人的症状与疾病之间的关系可能存 在一定的模糊性，通过模糊逻辑可以进行更准确 的推理。
模糊运算
与传统运算不同，模糊运算的结果不再是确定的 数值，而是存在一定的隶属度。例如，两个模糊 数的加法运算结果也是一个模糊数，其隶属度取 决于两个输入的隶属度。
模糊数学在图像处理中的应用
总结词
模糊数学在图像处理中主要用于图像增强和图像恢复。
详细描述
通过模糊数学的方法，可以对图像进行平滑、锐化、边缘检测等操作，提高图像的视觉效果和识别能 力。例如，在医学影像处理中，可以利用模糊数学的方法对CT、MRI等医学影像进行降噪、增强和三 维重建等处理，提高医学诊断的准确性和可靠性。
02
模糊数学的应用领域
模糊控制
模糊数学
5 模糊集的运算
例 设U={u1,u2,u3}， A=0.3/u1+0.8/u2+0.6/u3 B=0.6/u1+0.4/u2+0.7/u3 则：
A∩B=(0.3∧0.6)/u1+(0.8∧0.4)/u2+(0.6∧0.7)/u3 =0.3/u1+0.4/u2+0.6/u3 A∪B=(0.3∨0.6)/u1+(0.8∨0.4)/u2+(0.6∨0.7)/u3 =0.6/u1+0.8/u2+0.7/u3 ¬ A=(1-0.3)/u1+(1-0.8)/u2+(1-0.6)/u3 =0.7/u1+0.2/u2+0.4/u3
6 模糊集的λ水平截集
λ水平截集是把模糊集合转化成普通集合的一个重要概念。
定义 设A∈F(U),λ∈[0,1]，则称普通集合 Aλ={u|u∈U,μA(u)≥λ} 为A的一个λ水平截集， λ称为阈值或置信水平。 λ水平截集有如下性质： (1)设A，B ∈F(U)，则： (A∪B)λ=Aλ∪Bλ (A∩B)λ=Aλ∩Bλ A1 A2 (2)若λ1, λ2∈[0,1]，且λ1<λ2 ，则： 阈值λ越大，其水平截集Aλ越小，当λ＝1时，Aλ最小，称它 为模糊集的核。
A={0.98, 0.90, 0.86}
4 模糊集的表示方法
若论域离散且有限，则模糊集A可表示为： A={μA(u1),μA(u2),…,μA(un)} 也可写为： A=μA(u1)/u1+μA(u2)/u2+…+μA(un)/un
A
或者：
i 1
n
n
A
(ui ) / ui , 或者A
模糊数学
模糊性与随机性的区别
事物 事物分确定性现象与非确定性现象
- 确定性现象：指在一定条件下一定会发生的现象
- 非确定性现象分随机现象与模糊现象
* 随机性是对事件的发生而言，其事件本身有着明确的含义， 只是由于发生的条件不充分，事件的发生与否有多种可能性 * 模糊性是研究处理模糊现象的，它所要处理的事件本身是模 糊的
A : U {0,1} u A ( u),
其中
1, u A A ( u) 0, u A
函数 A 称为集合A的特征函数。
Ⅱ、模糊集合及其运算
美国控制论专家Zadeh教授正视了经典集合描述的 “非此即彼”的清晰现象，提示了现实生活中的绝大多数 概念并非都是“非此即彼”那么简单，而概念的差异常以 中介过渡的形式出现，表现为“亦此亦彼”的模糊现象。
ab ab a b ,a b 1 ab 1 (1 a )(1 b)
模糊集的并、交、余运算性质 幂等律：A∪A = A， A∩A = A； 交换律：A∪B = B∪A，A∩B = B∩A； 结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)， (A∩B)∩C = A∩(B∩C) ； 吸收律：A∪(A∩B) = A，A∩( A∪B)= A； 分配律：(A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C)； (A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C)； 0-1律： A∪U = U，A∩U = A； A∪ = A，A∩ = ； 还原律： (Ac)c = A ；
模糊集合及其运算
u0 是固定的，而 A* 在随机变动。 特点：在各次试验中，
模糊统计试验过程：
（1）做n次试验，计算出
x 140 A( x) 190 140
也可用Zadeh表示法：
第四章 模糊数学
（可多位专家取其平均值，如体操比赛打分） 3 描点( xi， A ( xi ))，作出 A ( xi )的曲线。
例2：考虑年龄论域X 上的模糊子集A 青年人的年龄， 请专家评定结果如表：
0-14 0
15 18-28 30 35 38 40 45-200 0.5 1 0.9 0.6 0.5 0.3 0
A ( x4 ) 0，则有：
1 0.6 0.1 0 A （最后一项可不写） x1 x2 x3 x4
3、隶属函数的确定 这里介绍两种常用的确定方法，以R1中的模糊 集为例： （1）专家评定法（德尔菲法） 步骤： 1 给定论域X 及其模糊子集A； 2 适当选取X 中若干点xi，请专家评定其 A ( xi )；
第四章 模糊数学(Fuzzy Maths)
第一节 模糊集(Fuzzy Sets)
一、模糊现象与模糊集
有些概念，其外延是清楚的，如男人、女人。
而有些概念，其外延不很清楚，如青年人、老年人。 于是我们有如下定义： 模糊集—边界不清楚的集合。 例如：
雨天是清晰集（普通集），而晴天是模糊集；
青年人、老年人也是模糊集。 事实上，“青年”变为“老年”是一个连续的 过程。因此，处于中间过渡阶段年龄的人，自然就 具有“亦此亦彼”的属性。我们把这种属性称为：
书159～161页给出了一个模糊统计的例子。 有时候我们得到的 A ( x)的图形是不规则的，很难
写出其精确的数学表达式。有时为了计算、编程的需 要，我们希望得到 A的函数表达式，可根据估计的 A
进行适当修正，得到与其最接近的函数表达式。下面 介绍几种常见的模糊分布曲线： 4、几种常见的 A ( x)类型（论域为R1）：
模糊数学法的原理及应用
模糊数学法的原理及应用1. 引言模糊数学是一种基于模糊逻辑的数学方法，其目的是处理那些现实世界中存在不确定性和模糊性的问题。
相对于传统的二值逻辑，模糊数学可以更好地刻画事物的模糊性和不确定性，因此被广泛应用于各个领域。
2. 模糊数学的基本概念模糊数学的基本概念包括模糊集合、隶属函数和模糊关系等。
2.1 模糊集合模糊集合是指元素隶属于集合的程度可以是连续的，而不仅仅是二值的。
模糊集合可以用隶属函数来描述，隶属函数将元素和隶属度之间建立了映射关系。
2.2 隶属函数隶属函数描述了元素对模糊集合的隶属程度。
隶属函数通常是一个在区间[0, 1]上取值的函数，表示元素隶属于模糊集合的程度。
2.3 模糊关系模糊关系是指模糊集合之间的关系。
模糊关系可以用矩阵来表示，其中每个元素表示了模糊集合之间的隶属度。
3. 模糊数学的应用模糊数学在各个领域都有广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用实例。
3.1 模糊控制模糊控制是一种通过模糊逻辑和模糊推理来进行控制的方法。
模糊控制可以应用于各种物理系统，例如温度控制、汽车驾驶等，通过模糊控制可以更好地应对系统不确定性和模糊性的问题。
3.2 模糊分类模糊分类是一种模糊集合的分类方法。
与传统的二值分类不同，模糊分类可以更好地处理具有模糊边界的样本。
模糊分类可以应用于各种模式识别和数据挖掘任务中。
3.3 模糊优化模糊优化是一种利用模糊数学方法进行优化的技术。
传统的优化方法通常需要准确的数学模型和目标函数，而模糊优化可以在模糊和不确定的情况下进行优化。
3.4 模糊决策模糊决策是一种基于模糊逻辑和模糊推理的决策方法。
模糊决策可以用于各种决策问题，例如投资决策、风险评估等，通过模糊决策可以更好地处理决策中的不确定性和模糊性。
4. 总结模糊数学是一种处理不确定性和模糊性的有效方法，它可以更好地刻画现实世界中存在的模糊信息。
模糊数学在控制、分类、优化和决策等领域都有广泛的应用。
随着人工智能和大数据技术的不断发展，模糊数学的应用将会更加重要和广泛。
模糊数学简介
§1.4 模糊等价关系与经典等价关系
模糊等价关系
若模糊关系R是 上各元素之间的模糊关系 模糊关系， 若模糊关系 是X上各元素之间的模糊关系， 且满足： 且满足： (1)自反性 自反性： (1)自反性：R(x, x) =1； I ≤R (⇔ rii =1 ) ； ⇔ (2)对称性 对称性： (2)对称性：R(x, y) =R(y, x)； T=R(⇔ rij= rji) ； R ⇔ (3)传递性 传递性： (3)传递性：R2⊆R, R2≤R. 则称模糊关系 模糊关系R是 上的一个模糊等价关系 模糊等价关系. 则称模糊关系 是X上的一个模糊等价关系.
模糊等价关系与经典等价关系的联系
若R是X 上的模糊等价关系，当且仅当， ∀λ ∈ [0,1], R λ 是X 上的经典等价关系。
第二部分 模糊数学的基本应用
2. 1 模糊聚类分析基础 2.2 模糊模式识别基础 2.3 模糊综合评判基础 2.4 模糊线性规划
y
§2.1 模糊聚类分析
数据标准化
设论域X 为被分类对象, 设论域 = {x1, x2, …, xn}为被分类对象,每个 为被分类对象 对象又由m个指标表示其形状 个指标表示其形状: 对象又由 个指标表示其形状: xi = { xi1, xi2, …, xim}, i = 1, 2, …, n 于是,得到原始数据矩阵为 于是,
, sj = 1 n
1 其中 x j = n
∑x
ij
∑ (x
i =1
n
ij
− xj)
2
平移 • 极差变换 xij − min{ xij | 1 ≤ i ≤ n} ′ xij = max{ xij | 1 ≤ i ≤ n} − min{ xij | 1 ≤ i ≤ n}
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模糊数学简介
模糊数学
模糊数学的产生及背景
模糊数学的思想和原理
模糊数学的应用范围
模糊数学的特点
模糊数学的应用实例
Company Logo
模糊数学的产生及背景
在较长时间里，精确数学及随机数学在描述自然界多 种事物的运动规律中，获得显著效果。但是，在客观 世界中还普遍存在着大量的模糊现象。以前人们回避 它，但是，由于现代科技所面对的系统日益复杂，模 糊性总是伴随着复杂性出现。就必须研究和处理模糊 性。 模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法。 众所 周知，经典数学是以精确性为特征的。然而，与精确 形相悖的模糊性并不完全是消极的、没有价值的。 甚 至可以这样说，有时模糊性比精确性还要好。
A(x)
x 140 190 140
也可用Zadeh表示法：
A
0 x1
0 .2 x2
0 .4 x3
0 .6 x4
0 .8 x5
1 x6
模糊集的运算
相等：A = B A(x) = B(x)； 包含：AB A(x)≤B(x)； 并：A∪B的隶属函数为 (A∪B)(x)=A(x) ∪ B(x)； 交：A∩B的隶属函数为 (A∩B)(x)=A(x) ∩ B(x)； 余：Ac的隶属函数为 Ac (x) = 1- A(x)
模糊集合的表达方式
当论域X为有限集合{X1，X2，… Xn}时， （1）Zadeh表示法 ( ) ( )
A
A（ 1 ）
A
2
1
...
A
n
2
n
（2）序偶表示法 A={（x1, μA (x1),）(x2, μA (x2)),…（xn ,(μA xn）,}
模糊集的运算
模糊集的运算性质基本上与经典集合一致，除 了排中律以外，即 A∪Ac U， A∩Ac . 模糊集不再具有“非此即彼”的特点，这正是 模糊性带来的本质特征。 例 设论域U = {x1, x2, x3, x4, x5}(商品集)，在U上 定义两个模糊集： A =“商品质量好”， B =“商品质 量坏”，并设 A = (0.8, 0.55, 0, 0.3, 1) B = (0.1, 0.21, 0.86, 0.6, 0)
模糊数学的应用领域
模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各个 领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、 医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功 的应用。
模糊数学的应用几乎渗透到自然科学与社会科学的所有领域： 1）软科学方面：投资决策、企业效益评估、经济宏观调控等 2）地震科学方面：地震预报、地震危害分析 3）工业过程控制方面：模糊控制技术是复杂系统控有效手段 4）家电行业：模糊家电产品,提高了机器的“IQ” 5）航空航天及军事领域：飞行器对接C3I指挥自动化系统，NASA 6）人工智能与计算机高技术领域：模糊推理机、F专家系统、F 数据库、F语言识别系统、F机器人等，F-prolog、F-C等 7）其它：核反应控制、医疗诊断等
（6）对模糊综合评价结果向量进行分析。
每一个被评价事物的模糊综合评价结果都是一个模 糊向量，这与其他方法中每一个被评价事物得到的 一个综合评价值是不同的，它包含了更丰富的信息。 例如：评价某种牌号的手表U={X1,X2,X3，X4}其中X1 表示外观式样，X2表示 走时准确，X3 表示价格， X4表示 质量。 评语集为V=（v1,v2,v3）分别表示很满意，满意， 不满意。
模糊数学的研究内容
例如，要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子长 头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”。 尽管这里只提供了一个精确信息――男人，而其他信 息――大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中 年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过 头脑的综合分析判断，就可以接到这个人。
3. 借用已有的“客观”尺度 在经济管理、社会科学中，可以直接借用已有 的尺度（经济指标）作为模糊集的隶属度。如在论 域X（设备）上定义模糊集A=“设备完好”，以 “设备完好率”作为隶属度来表示“设备完好”这 个模糊集是十分恰当的 4. 二元对比排序法 有些模糊集合，很难给出隶属度，可以通过两两比 较，容易确定两个元素相应隶属度的大小。先排序， 再用数学方法得到隶属函数。
模糊集的运算
则Ac=“商品质量不好”, Bc=“商品质量不坏”。
Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0) Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1)
则Ac=“商品质量不好”, Bc=“商品质量不坏”。 Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0)。 Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1)。 可见Ac B, Bc A 又 A∪Ac = (0.8, 0.55, 1, 0.7, 1) U, A∩Ac = (0.2, 0.45, 0, 0.3, 0) .
隶属函数的确定
1. 模糊统计方法
与概率统计类似，但有区别：若把概率统计比 喻为“变动的点”是否落在“不动的圈”内，则把 模糊统计比喻为“变动的圈”是否盖住“不动的 点”。 2. 指派方法（专家经验法） 一种主观方法，一般给出隶属函数的解析表达式。
隶属函数的确定
r 11 r 21 B ( b 1, b 2 ,... b p ) W * R ( w 1, w 2 ,... w n ) * ... r n1 r 12 r 22 ... rn 2 ... ... ... ... r1p r2p ... r np
例如3个年轻人x1,x2,x3属于年轻人的程度分别为 0.4,0.7,0.9模糊集合A ={（x1,0.4）,(x2,0.7),(x3,0.9)} (3) 向量表示法
A （ x 1） A ( x 2 ),... A ( x n )） （ A ,
模糊数学的隶属函数
例 设论域U = {x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)}(单位：cm)表示人的身高，那么U上的一 个模糊集“高个子”(A)的隶属函数A(x)可定义为
11 12
r 21 R ... r n1
r 21 ... rn 2
... ... ...
r2p ... r np
1p
应用实例-模糊综合评判
（4）确定评价因素的模糊权向量W=（w1,w2,…wn） (5)将W与被评价事物的R合成得到各被评事物的模 糊综合评价结果向量B。
模糊集的并、交、余运算性质
幂等律：A∪A = A， A∩A = A； 交换律：A∪B = B∪A，A∩B = B∩A； 结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)， (A∩B)∩C = A∩(B∩C) ； 吸收律：A∪(A∩B) = A，A∩( A∪B)= A； 分配律：(A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C)； (A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C)； 0-1律： A∪U = U，A∩U = A； A∪ = A，A∩ = ； 还原律： (Ac运算
模糊数学是研究现实中许多界限不分明问题的一种数 学工具，其基本概念之一是模糊集合。利用模糊数学 和模糊逻辑，能很好地处理各种模糊问题。 模糊子集与隶属函数 设U是论域，称映射 A(x)：U→[0,1] 确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为A的隶属 函数，它表示x对A的隶属程度。 使A(x) = 0.5的点x称为A的过渡点，此点最具模糊性。 当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经典子集，而 A(x)就是它的特征函数. 可见经典子集就是模糊子集的 特殊情形.
确定隶属函数的注意事项
5）在许多应用中，由于认识的局限性，开始建立 一个近似的隶属函数，然后逐步改善。 6）判断隶属函数是否符合实际。不是看单个元 素隶属度的数值，而是看这个函数是否正确反映 了元素从属于集合到不属于集合这一变化过程的 整体特性。
应用实例-模糊综合评判
模糊综合评判的一般步骤如下： （1）确定评价因素的因素集。 X={X1，X2,…Xn}，即n个评价指标。 （2）确定评语等级论域。 V={V1,V2，…Vp}即等级集合，每一个等级集 合对应一个模糊子集。 （3）做出单因素评价。 建立模糊关系矩阵R对被评价事物每个因素Xi进行 r ... r r 量化。
模糊数学的研究内容
第二，研究模糊语言学和模糊逻辑。 人类自然语言具有模糊性，人们经常接受模糊 语言与模糊信息，并能做出正确的识别和判断。 第三，研究模糊数学的应用。 目前已有模糊拓扑学、模糊群论、模糊图论、 模糊概率、模糊语言学、模糊逻辑学等分支。
模糊数学的研究内容
第一，研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、随 机数学的关系。
在模糊集合中，给定范围内元素对它的隶属关系不一 定只有“是”或“否”两种情况，而是用介于0和1之 间的实数来表示隶属程度，还存在中间过渡状态。比 如“老人”是个模糊概念，70岁的肯定属于老人，它 的从属程度是 1，40岁的人肯定不算老人，它的从属 程度为 0，按照查德给出的公式，55岁属于“老”的 程度为0.5，即“半老”，60岁属于“老”的程度 0.8。查德认为，指明各个元素的隶属集合，就等于指 定了一个集合。当隶属于0和1之间值时，就是模糊集 合。
结语：
借助于模糊数学可以把定性、复杂性的模糊问 题简单化，定量化。但是模糊数学还远没有成熟， 对它也还存在着不同的意见和看法，有待实践去检 ： 验。
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确定隶属函数的注意事项
1）隶属函数的确定允许有一定的人为技巧，但 要以符合客观实际为标准。 2）某些情况下，隶属函数可以通过模糊统计实 验来确定，这是较为有效的调查方法。 3）利用推理方法确定隶属函数时要注意与实际 相符。 4）有些隶属函数可以经过模糊运算“并”、 “交”、“余”求得。
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模糊数学的产生及背景
在较长时间里，精确数学及随机数学在描述自然界多 种事物的运动规律中，获得显著效果。但是，在客观 世界中还普遍存在着大量的模糊现象。以前人们回避 它，但是，由于现代科技所面对的系统日益复杂，模 糊性总是伴随着复杂性出现。就必须研究和处理模糊 性。 模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法。 众所 周知，经典数学是以精确性为特征的。然而，与精确 形相悖的模糊性并不完全是消极的、没有价值的。 甚 至可以这样说，有时模糊性比精确性还要好。
A(x)
x 140 190 140
也可用Zadeh表示法：
A
0 x1
0 .2 x2
0 .4 x3
0 .6 x4
0 .8 x5
1 x6
模糊集的运算
相等：A = B A(x) = B(x)； 包含：AB A(x)≤B(x)； 并：A∪B的隶属函数为 (A∪B)(x)=A(x) ∪ B(x)； 交：A∩B的隶属函数为 (A∩B)(x)=A(x) ∩ B(x)； 余：Ac的隶属函数为 Ac (x) = 1- A(x)
模糊集合的表达方式
当论域X为有限集合{X1，X2，… Xn}时， （1）Zadeh表示法 ( ) ( )
A
A（ 1 ）
A
2
1
...
A
n
2
n
（2）序偶表示法 A={（x1, μA (x1),）(x2, μA (x2)),…（xn ,(μA xn）,}
模糊集的运算
模糊集的运算性质基本上与经典集合一致，除 了排中律以外，即 A∪Ac U， A∩Ac . 模糊集不再具有“非此即彼”的特点，这正是 模糊性带来的本质特征。 例 设论域U = {x1, x2, x3, x4, x5}(商品集)，在U上 定义两个模糊集： A =“商品质量好”， B =“商品质 量坏”，并设 A = (0.8, 0.55, 0, 0.3, 1) B = (0.1, 0.21, 0.86, 0.6, 0)
模糊数学的应用领域
模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各个 领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、 医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功 的应用。
模糊数学的应用几乎渗透到自然科学与社会科学的所有领域： 1）软科学方面：投资决策、企业效益评估、经济宏观调控等 2）地震科学方面：地震预报、地震危害分析 3）工业过程控制方面：模糊控制技术是复杂系统控有效手段 4）家电行业：模糊家电产品,提高了机器的“IQ” 5）航空航天及军事领域：飞行器对接C3I指挥自动化系统，NASA 6）人工智能与计算机高技术领域：模糊推理机、F专家系统、F 数据库、F语言识别系统、F机器人等，F-prolog、F-C等 7）其它：核反应控制、医疗诊断等
（6）对模糊综合评价结果向量进行分析。
每一个被评价事物的模糊综合评价结果都是一个模 糊向量，这与其他方法中每一个被评价事物得到的 一个综合评价值是不同的，它包含了更丰富的信息。 例如：评价某种牌号的手表U={X1,X2,X3，X4}其中X1 表示外观式样，X2表示 走时准确，X3 表示价格， X4表示 质量。 评语集为V=（v1,v2,v3）分别表示很满意，满意， 不满意。
模糊数学的研究内容
例如，要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子长 头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”。 尽管这里只提供了一个精确信息――男人，而其他信 息――大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中 年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过 头脑的综合分析判断，就可以接到这个人。
3. 借用已有的“客观”尺度 在经济管理、社会科学中，可以直接借用已有 的尺度（经济指标）作为模糊集的隶属度。如在论 域X（设备）上定义模糊集A=“设备完好”，以 “设备完好率”作为隶属度来表示“设备完好”这 个模糊集是十分恰当的 4. 二元对比排序法 有些模糊集合，很难给出隶属度，可以通过两两比 较，容易确定两个元素相应隶属度的大小。先排序， 再用数学方法得到隶属函数。
模糊集的运算
则Ac=“商品质量不好”, Bc=“商品质量不坏”。
Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0) Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1)
则Ac=“商品质量不好”, Bc=“商品质量不坏”。 Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0)。 Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1)。 可见Ac B, Bc A 又 A∪Ac = (0.8, 0.55, 1, 0.7, 1) U, A∩Ac = (0.2, 0.45, 0, 0.3, 0) .
隶属函数的确定
1. 模糊统计方法
与概率统计类似，但有区别：若把概率统计比 喻为“变动的点”是否落在“不动的圈”内，则把 模糊统计比喻为“变动的圈”是否盖住“不动的 点”。 2. 指派方法（专家经验法） 一种主观方法，一般给出隶属函数的解析表达式。
隶属函数的确定
r 11 r 21 B ( b 1, b 2 ,... b p ) W * R ( w 1, w 2 ,... w n ) * ... r n1 r 12 r 22 ... rn 2 ... ... ... ... r1p r2p ... r np
例如3个年轻人x1,x2,x3属于年轻人的程度分别为 0.4,0.7,0.9模糊集合A ={（x1,0.4）,(x2,0.7),(x3,0.9)} (3) 向量表示法
A （ x 1） A ( x 2 ),... A ( x n )） （ A ,
模糊数学的隶属函数
例 设论域U = {x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)}(单位：cm)表示人的身高，那么U上的一 个模糊集“高个子”(A)的隶属函数A(x)可定义为
11 12
r 21 R ... r n1
r 21 ... rn 2
... ... ...
r2p ... r np
1p
应用实例-模糊综合评判
（4）确定评价因素的模糊权向量W=（w1,w2,…wn） (5)将W与被评价事物的R合成得到各被评事物的模 糊综合评价结果向量B。
模糊集的并、交、余运算性质
幂等律：A∪A = A， A∩A = A； 交换律：A∪B = B∪A，A∩B = B∩A； 结合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)， (A∩B)∩C = A∩(B∩C) ； 吸收律：A∪(A∩B) = A，A∩( A∪B)= A； 分配律：(A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C)； (A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C)； 0-1律： A∪U = U，A∩U = A； A∪ = A，A∩ = ； 还原律： (Ac运算
模糊数学是研究现实中许多界限不分明问题的一种数 学工具，其基本概念之一是模糊集合。利用模糊数学 和模糊逻辑，能很好地处理各种模糊问题。 模糊子集与隶属函数 设U是论域，称映射 A(x)：U→[0,1] 确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为A的隶属 函数，它表示x对A的隶属程度。 使A(x) = 0.5的点x称为A的过渡点，此点最具模糊性。 当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经典子集，而 A(x)就是它的特征函数. 可见经典子集就是模糊子集的 特殊情形.
确定隶属函数的注意事项
5）在许多应用中，由于认识的局限性，开始建立 一个近似的隶属函数，然后逐步改善。 6）判断隶属函数是否符合实际。不是看单个元 素隶属度的数值，而是看这个函数是否正确反映 了元素从属于集合到不属于集合这一变化过程的 整体特性。
应用实例-模糊综合评判
模糊综合评判的一般步骤如下： （1）确定评价因素的因素集。 X={X1，X2,…Xn}，即n个评价指标。 （2）确定评语等级论域。 V={V1,V2，…Vp}即等级集合，每一个等级集 合对应一个模糊子集。 （3）做出单因素评价。 建立模糊关系矩阵R对被评价事物每个因素Xi进行 r ... r r 量化。
模糊数学的研究内容
第二，研究模糊语言学和模糊逻辑。 人类自然语言具有模糊性，人们经常接受模糊 语言与模糊信息，并能做出正确的识别和判断。 第三，研究模糊数学的应用。 目前已有模糊拓扑学、模糊群论、模糊图论、 模糊概率、模糊语言学、模糊逻辑学等分支。
模糊数学的研究内容
第一，研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、随 机数学的关系。
在模糊集合中，给定范围内元素对它的隶属关系不一 定只有“是”或“否”两种情况，而是用介于0和1之 间的实数来表示隶属程度，还存在中间过渡状态。比 如“老人”是个模糊概念，70岁的肯定属于老人，它 的从属程度是 1，40岁的人肯定不算老人，它的从属 程度为 0，按照查德给出的公式，55岁属于“老”的 程度为0.5，即“半老”，60岁属于“老”的程度 0.8。查德认为，指明各个元素的隶属集合，就等于指 定了一个集合。当隶属于0和1之间值时，就是模糊集 合。
结语：
借助于模糊数学可以把定性、复杂性的模糊问 题简单化，定量化。但是模糊数学还远没有成熟， 对它也还存在着不同的意见和看法，有待实践去检 ： 验。
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确定隶属函数的注意事项
1）隶属函数的确定允许有一定的人为技巧，但 要以符合客观实际为标准。 2）某些情况下，隶属函数可以通过模糊统计实 验来确定，这是较为有效的调查方法。 3）利用推理方法确定隶属函数时要注意与实际 相符。 4）有些隶属函数可以经过模糊运算“并”、 “交”、“余”求得。