球体与正方体的组合 ppt课件
正方体内切球、外接球、棱切球、图例演示ppt课件
S 4R2 3a 2
D A
D A11
D A
D A11
C B O
C1
B1
C B O
C1
B1
正方体的外接球
正方体的外接球
D A
D1 A1
C
B O
C1 B1
对角面 A
A1
C
O
C1
正方体的外接球直径是体对角线
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长 为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球
球的表面积和体积
D1
A1
d
D
S
A
a
C1
c B1
C
b
B
d2 a2 b2 c2
球的体积
球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。 球(即球体):球面所围成的几何体。
它包括球面和球面所包围的空间。
半径是R的球的体积：V 4R3
3
2、球的表面积
S 4πR2
练习一：
(1)球的半径伸长为原来的2倍,体积变为原 来的——8 倍.
O的表面积。
略解：RtB1 D1ຫໍສະໝຸດ D中 :(2R)2 a 2 ( 2a)2 , 得 R 3a
2
S 4R2 3a 2
D A
D A11
D A
C B
O C1
B1
C B
D A11
O C1
B1
正方体的棱切球
正方体的棱切球直径是面对角线长
(2)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变
2
为原来的——倍。
(3)若球半径变为原来的2倍，则表面积变
4
为原来的——倍。
(4)若两球表面积之比为1:2，则其体积之
球与正方体2016
1.球与正方体发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题例 1 棱长为1的正方体1111ABCD A BC D 的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（2.球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为,,,a b c 其体对角线为l .当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径2l R ==例 2 在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为( ) .10π3类型一：三条侧棱两两垂直的三棱锥可补成长方体（或正方体）类型二：一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形的三棱锥可补成长方体（或正方体） 类型三：对棱相等的三棱锥可补成长方体（或正方体）类型四：正四面体常补成正方体； 类型五：侧棱垂直底面的棱锥可补成直棱柱3. 球与正棱柱例 3 正四棱柱1111ABCD A BC D-的各顶点都在半径为R的球面上，则正四棱柱的侧面积有最值，为242R .4.球与锥体规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.1 球与正四面体OABCA1B1C1∙M2222233aR r a R r CE+=-=，=，解得：66,.R a r a==例4 将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 ( )球的外切正四面体，这个小球球心与外切正四面体的中心重合，而正四面体的中心到顶点的距离是中心到地面距离的3倍.]球心在高PH上，即在锥体内部球心在高PH上，即在锥体内部球心在高PH的延长线上，即在锥体外部∙OHPABCDMOPABCDKHOPABCDHM∙O∙PA CDMHB2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题，主要是体现在球为三棱锥的外接球. 解决的基本方法是补形例 5 在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且AM MN ⊥,若侧棱23SA =,则正正三棱锥S ABC -外接球的表面积是————36π3 球与正棱锥球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径R ．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.例6 在三棱锥P －ABC 中，PA ＝3侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为（ ） 43π接球的球心,则2SCR =. 例7 矩形ABCD 中，4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体ABCD 的外接球的体积是( ) A.π12125 B.π9125 C.π6125 D.π31253 球与球对个多个小球结合在一起，组合成复杂的几何体问题，要求有丰富的空间想象能力，解决本类问题需掌握恰当的处理手段，如准确确定各个小球的球心的位置关系，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解.4 球与几何体的各条棱相切球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：r'=.例8 把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四1若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为1，则其外接球的表面积是______. 2.在正三棱锥S-ABC 中，Ｍ、Ｎ分别是ＳＣ、ＢＣ的中点，且ＭＮ ＡＭ，若侧棱 ＳＡ= 则正三棱锥S-ABC 外接球的表面积是_____.O A B C D DA ABC AB BC DA AB BC O _____.⊥⊥==3.已知球的面上四点、、、，平面，，的体积等于4.，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为_____.5.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长分别为1，2，3，则其外接球的表面积是______.6.O A B C D AB BCD DC BC AB 6AC CD O _____.⊥⊥===已知球的面上四点、、、，平面，，，的体积等于7.一个四面体的三组对棱长分别相等且依次为 .5 ，则此四面体外接球的表面积为__8.A B C D DA ABC DA AB AC BAC 60_____.⊥===∠=已知点、、、在同一个球面上，平面，，则球的半径是9.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是_____.10.在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，E 为AB 的中点，将三角形ADE 与三角形BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则三棱锥的外接球的体积为_____.11．设二次函数f （x ）=ax 2﹣4x+c 的值域为[0，+∞），则的最大值为（ ）12．设a ＞2，p=a+，q=+4a ﹣2，则（ A ）A ．p ＞qB ．p ＜qC ．p ＞q 与p=q 都有可能D ．p ＞q 与p ＜q 都有可能13．若x ，y 是正数，则+的最小值是（ 4 ）14．已知a 2+b 2=4，b 2+c 2=3，c 2+a 2=3（a ，b ，c ∈R ），则ab+bc+ca 的最小值为（ ）﹣2 15．若（a ∈R ，a ≠0），则M 的取值范围为（ ）（﹣∞，﹣4]∪[4+∞）16．若实数a ，b ，c 满足2a+2b=2a+b，2a +2b +2c =2a+b+c，则c 的最大值是 2﹣log 23 ．17．若x ∈（0，）则2tanx+tan （﹣x ）的最小值为 2．⊥。
正方体内切球、外接球、棱切球、图例演示
3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正 方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三 个球的体积之比_________.
3
32 6
变式1:把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中, 至少要用多少纸?
正方体的内切球
正方体的内切球的直径是棱长
正方体的外接球
D1
A1
d
D
S
Aa
C1
c B1
C
b
B
d2 a2 b2 c2
正方体的外接球
D A
D1 A1
C
B O
C1 B1
对角面 A
ห้องสมุดไป่ตู้
A1
C
O
C1
正方体的外接球直径是正方体对角线
2
S 4R2 3a 2
D A
D1 A1
D A
D1 A1
C B O
C1
B1
C B O
C1
B1
练习：正方体的内切球和外接球的体积 之比为：
练习：用一个平面去截球，截得球所得的圆的半径为1
正方体的棱切球
正方体的棱切球直径是面对角线长
练习一
1.球的半径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿8 倍.
球的表面积和体积
球的体积
球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。 球(即球体):球面所围成的几何体。
它包括球面和球面所包围的空间。
半径是R的球的体积：V 4R3
3
2、球的表面积
S 4πR2
例1.钢球直径是5cm,求它的体积.
V 4 R3 4 (5)3 125 cm3
正方体内切球、外接球、棱切球、图例演示
性质
正方体的每个顶点都在外接球面上， 且与球心的距离等于球的半径。
证明
由于正方体的每个顶点到中心的距离 都等于边长的一半，而外接球的半径 是体对角线长度的一半，因此，正方 体的每个顶点都在外接球面上。
03
正方体的棱切球
定义与性质
定义
棱切球是与正方体的各棱都相切的球。
性质
棱切球的直径等于正方体的边长。
半径计算
半径公式
棱切球的半径 (r) 与正方体的边长 (a) 的 关系为 (r = frac{sqrt{2}}{4}a)。
VS
推导过程
由于棱切球与正方体的各棱相切，其半径 等于正方体对角线长度的一半减去正方体 的边长。
与正方体各棱的关系
与各棱相切
棱切球与正方体的每条棱都相切，因此，从正方体的一个顶点到另一个顶点的最短距离是棱切球的直 径。
正方体棱切球图例
总结词
棱切球与正方体的关系
详细描述
正方体的棱切球是与正方体的任意两个面相 切的球，其半径等于正方体边长的一半。
感谢您的观看
THANKS
位置关系
棱切球位于正方体的中心，且与正方体的每个面都相切。
04
图例演示
正方体内切球图例
总结词
内切球与正方体的关系
详细描述
正方体的内切球是与正方体的所有面相切的 球，其半径等于正方体边长的一半。
正方体外接球图例
总结词
外接球与正方体的关系
详细描述
正方体的外接球是通过正方体的所有顶点的球，其半径等于正方体对角线长度的一半。
推导过程
内切球的球心位于正方体的中心，因 此其半径等于正方体边长的一半。
与正方体各面的关系
与各面的关系
正方体内切球、外接球、棱切球、图例演示课件
感谢观看
THANKS
棱切球的半径与正方体的边长关系
半径公式
棱切球的半径r与正方体的边长a满足关系 r = a/2。
VS
几何解释
棱切球的球心位于正方体中心，且与正方 体的每个顶点距离为a/2，因此半径为 a/2。
棱切球的几何性质
相切性质
棱切球与正方体的所有棱都相切 ，与每个面都相切。
中心性质
棱切球的球心位于正方体的中心， 且与正方体的每个顶点距离相等。
半径与边长的关系
正方体的内切球半径r等于正方体边 长a的一半，即r = a/2。
证明方法
由于内切球与正方体的各面都相切， 其半径必然等于正方体中心到各面的 距离，即正方体边长的一半。
内切球的几何性质
01
02
03
04
性质1
内切球的直径等于正方体的对 角线长度。
性质2
内切球的表面积与正方体的表 面积之比为π:4。
外接球的半径R与正方体的边长a满足公式R = (√3/2)a。
推导过程
正方体的对角线长度等于外接球的直径，即2R，而正方体的对角线长度又等于空 间中两点（正方体的两个顶点）距离的最大值，即√(a^2 + a^2 + a^2) = √3a ，解得R = (√3/2)a。
外接球的几何性质
性质1
正方体的外接球与其六个 面都相切，且每个面上的 切点都是该面的中心。
性质3
内切球的体积与正方体的体积 之比为π:6。
证明方法
利用勾股定理和球的几何性质 ，可以推导出上述性质。
03
正方体的外接球
外接球的定义与特性
定义
外接球是指与正方体的八个顶点都相切的球。
特性
正方体内切球、外接球、棱切球、图例演示课件
为原来的——倍。 若球半径变为原来的2倍，则表面积变
比是———。
来的——倍. 若球的表面积变为原来的2倍,则半径变
为原来的——倍。 若两球表面积之比为1:2，则其体积之
8
练习一：
练习一
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,这个球的体积为＿＿＿cm3.
8
3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比_________.
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202X
球的表面积和体积
D
A
B
C
D1
A1
B1
C1
球(即球体):球面所围成的几何体。
球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。
它包括球面和球面所包围的空间。
球的体积
半径是R的球的体积：
2、球的表面积
球的半径伸长为原来的2倍,体积变为原
B
C
D
D1
C1
B1
A1
O
A
B
C
D
D1
C1
B1
A1
O
正方体的棱切球
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1.球的半径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿倍.
例1.钢球直径是5cm,求它的体积.
变式1:把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中,至少要用多少纸?
切球的直径是棱长
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。
A
B
C
D
D1
C1
B1
A1
O
分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。
正方体内切球、外接球、棱切球、图例演示
正方体的外接球
正方体的外接球
D A
D1 A1
C
B O
C1 B1
对角面 A
A1
C
O
C1
正方体的外接球直径是体对角线
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长 为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球
O的表面积。
Байду номын сангаас
略 解 ：RtB1D1D中 :
(2R)2 a 2 ( 2a)2 , 得
分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知，它们中心重 合，则正方体对角线与球的直径相等。
略 解 ：RtB1D1D中 :
(2R)2 a 2 ( 2a)2 , 得 R 3a
2
S 4R2 3a 2
D A
D A11
D A
D A11
C B O
C1
B1
C B O
C1
练习一
1.球的半径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿8 倍.
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,
这个球的体积为＿32＿3＿ cm3.
3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正 方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三 个球的体积之比_1_:_2__2_: 3__3_.
例1.钢球直径是5cm,求它的体积.
它包括球面和球面所包围的空间。
半径是R的球的体积：V 4R3
3
2、球的表面积
S 4πR2
练习一：
(1)球的半径伸长为原来的2倍,体积变为原 来的——8 倍.
(2)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变 为原来的——2倍。
(3)若球半径变为原来的2倍，则表面积变
[立体几何] 球的组合体
![[立体几何] 球的组合体](https://img.taocdn.com/s3/m/cc54d54bf5335a8102d220ad.png)
球的组合体一、正方体+球例1、甲球内切于某正方体的各个面，乙球内切于该正方体的条棱,丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比是二、四面体+球例2、球的内接正四面体内有一内球，求这两球的表面积之比练习：过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB,AC,AD，且两两夹角都是60o,若球的半径为R，则∆BCD的面积是（）例题：1、已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，该圆柱的体积是（）A、3π4B、π C、π2D、π42、（“墙角型”三棱锥外接球）：在球面上有四个点Ｐ、Ａ、Ｂ、Ｃ，如果ＰＡ，ＰＢ，ＰＣ两两互相垂直，且PA=PB=PC=a,求这个球的表面积。
解法一、找截面图，找球心解法二、补正方体3、（“鳖臑型”三棱锥外接球）《九章算术》中，将底面是长方形且一条侧棱于底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑。
两类三棱锥具有典型性，需重视。
（1）已知四面体P-ABC的四个顶点都在球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC ,且AC=1，PB=AB=2,则球O的表面积为解法一、构造长方体解法二：RT∆PBC和RT∆PAC有公共的斜边PC ，其中点到四个顶点距离相等。
（2）若三棱锥A-BCD为鳖臑，AB⊥平面BCD，AB=BC=2，BD=4, 三棱锥A-BCD的顶点都在球O的球面上，则球O的体积是（）提示：外接球的球心是AD的中点4、已知三棱锥S—ABC，所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，若平面SCA⊥平面SBC，SA=AC,SB=BC, 三棱锥S—ABC的体积等于9，则球O的表面积为5、正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为。
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注意灰部到暗 部到明暗结界 线的递增关系
灰部
明暗 交界 线
暗部 亮部
反光 投影
球 体 的 五 大 调 子
比灰部要深一点
最深 浅于明暗结界线 比暗面深
绘画步骤：
1. 观察→比例关系→最高、低点， 左右两点→ 构图（中间偏上）
2. 画面的黑白灰关系→ 确定明暗交 界线(最深)
3. 暗部（反光、投影(近实远虚)） 4. 灰部（注意过渡的递增） 5. 亮部
二 维 与 三 维
球体与正方体的组合
——石膏几何体调子素描
广州市第八十一中学 Zhou * jian 2010.05.08
目标与重点：
一级目标：掌握球体、正方体明暗五大调 子的变化特点；找准明暗交界线；熟悉绘 画的步骤；
二级目标：树立正确的观察方法与独立探 究的精神；能较好地表现球体、正方体的 明暗关系；
画出明暗交界线
画出投影的形状， 将笔放平，从暗 部开始统一铺调 子。
加深的过程中，用 纸巾擦拭画面，使 暗部的调子统一， 保留明暗交界线的 深度（两线相交处 深一点），投影的 深浅关系（越靠近 物体的地方越深）。
整理好画面，擦 掉辅助线，进一 步从灰部画到亮 部，越到亮部越 注意线条的间隔。
终极目标：通过对素描的学习，了解西方 绘画基础与文化，提升个人视野与艺术修 养。
重点：正确的观察方法、透视现象和原理、 明暗五大调子的理解与表现。
四个环节：
1. 理论知识→五大调子；
2. 绘画步骤→ 思考：从最深的开始画， 还是最浅的？
3. 课堂练习（自主探索，老师从旁指 导）；
4. 展示与总结（由小组评选出最佳作 品，老师抽点到的同学上台，介绍 自己代表的小组、作品的作者）。