上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题(原卷版)
华东师大二附中2019届高二数学期中考试试卷
一、填空题：
1.设是平面外两条直线，且，那么是的________条件.
2.已知直线及平面，下列命题中：
①；②；③；④.
所有正确命题的序号为________.
3.地球北纬圈上有两地分别在东经和处，若地球半径为，则两地的球面距离为________.
4.如果一个球和立方体的每条棱都相切，那么称这个球为立方体的棱切球，那么单位立方体的棱切球的体积是________.
5.若三棱锥的所有的顶点都在球的球面上，且平面，，，，则
球的表面积为__________．
6.如图所示，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱，，则它的5个面中，互相垂直的面有__________对.
7.下图由一个边长为2的正方形及四个正三角形构成，将4个正三角形沿着其与正方形的公共边折起后形成的四棱锥的体积为________.
8.有一块四边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形,如图所示，
，则这块菜地的面积为________.
9.四面体的6条棱所对应的6个二面角中，钝二面角最多有________个.
10.如图1，平面中的角的内角平分线分面积所成的比，把这个结论类比到空间：在三棱锥（如图2）中，平面平分二面角且与相交于，则类比的结论是____________.
二、选择题：
11.当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（）
A. 三点确定一平面
B. 不共线三点确定一平面
C. 两条相交直线确定一平面
D. 两条平行直线确定一平面
12.正方体被平面所截得的图形不可能是（）
A. 正三角形
B. 正方形
C. 正五边形
D. 正六边形
13.如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E、F，且，则下列结论中错误的是
A.
B.
C. 三棱锥的体积为定值
D.
14.由一些单位立方体构成的几何图形，主视图和左视图如图所示，则这样的几何体体积的最小值是（）（每个方格边长为1）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
三、解答题：
15.在正方体中，分别是的中点.
求证：空间
．．四边形是菱形.
16.在棱长为2的正方体中，（如图）是棱的中点，是侧面的中心.
（1）求三棱锥的体积；
（2）求异面直线与的夹角；
（3）求与底面所成的角的大小.（结果用反三角函数表示）
17.如图，在正三棱柱中，是的中点，是线段上的动点，且.
（1）若，求证：；
（2）求二面角的余弦值；
（3）若直线与平面所成角的大小为，求的最大值
18.平面图形很多可以推广到空间中去，例如正三角形可以推广到正四面体，圆可以推广到球，平行四边形可以推广到平行六面体，直角三角形也可以推广到直角四面体，如果四面体中棱两两垂直，那么称四面体为直角四面体. 请类比直角三角形中的性质给出2个直角四面体中的性质，并给出证明.（请在结论中选择1个，结论4，5中选择1个，写出它们在直角四面体中的类似结论，并给出证明，多选不得分，其中表示斜边上的高，分别表示内切圆与外接圆的半径）
直角三角形直角四面体。
2018-2019学年上海市华东师范大学第二附属中学高二3月月考数学试题 解析版
上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高二3月月考数学试题一、单选题1．对于实系数一元二次方程，在复数范围内其解是，下列结论中不正确的是（）A．若，则B．若，则且C．一定有D．一定有【答案】D【解析】【分析】实系数方程可从与0的大小关系进行分情况讨论，对选项逐一研究筛选。
【详解】选项A、B显然成立；在实数范围内韦达定理得到的选项C的结论，在复数范围内由计算可得，同样也能成立；选项D：复数范围内，故选D【点睛】在复数范围内，实系数方程的判别式时，方程的根可以通过虚数进行表示。
2．教室内有一把尺子，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线（）A．平行B．垂直C．相交D．异面【答案】B【解析】【分析】直线与平面三种位置关系，对每个选项举反例排除或证明。
【详解】解：选项A，当直尺所在直线与地面只有一个公共点时，若地面上能找出一条直线与此相平行，则直尺所在直线与地面是平行的，线面平行时，直尺所在直线与地面是没有公共点的，与条件矛盾，选项A错误选项B：直线与地面共有三种位置关系，1.直线在地面内，可以找到一条直线与已知直线垂直；2.直线与地面有一共公共点，即相交时，可以找到一条直线与已知直线垂直；3. 直线与地面平行时，可以找到一条直线与已知直线异面垂直，所以选项B正确。
选项C：当直尺所在直线与地面平行时，直尺所在直线与地面是没有公共点的，所以不可能找出一条直线与直尺所在直线相交，选项C错误选项D：当直尺所在直线在地面内时，直尺所在直线与地面上所有直线都是共面的，所以不可能找出一条直线与直尺所在直线异面，选项D错误【点睛】说明命题的错误，可试着去寻找出反例；若命题是正确的，则应用相应定理进行证明。
直线与平面的位置共有三种，对每一种情况进行具体分析求解。
3．若为非零实数，则以下四个命题都成立：①；②；③若，则；④若，则.则对于任意非零复数，上述命题中仍为真命题的个数为（）个.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】本题主要考查复数的性质，可根据复数的运算性质进行判断。
上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高三下质量调研数学试题
华东师大二附中2018-2019学年第二学期高三年级质量调研数学试卷一、填空题1.行列式5189的值为________.2.设集合{}{}，，，，，，，2024321-==B A 则=B A ________.3.已知向量()()，，，，，512751=-==_______. 4.如果复数z 满足，0222=+-z z 那么=z ______.5.椭圆1222=+y x 的焦距是______.6.掷一颗均匀的骰子,所得点数为质数的概率是_______(结果用最简分数表示).7.若圆锥的侧面积与底面积之比为2,则其母线与轴的夹角大小为________.8.从5名男教师和4名女教师选出4人参加“组团式援疆”工作,且要求选出的4人中男女教师都有,则不同的选取方法的种数为________.9.若两直线42:2:21+-=++=x y l c kx y l ，的交点在第一象限,则正整数=k ______.10.若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-231的二项式展开式中,常数项为正数,则正整数n 的最小值是______.11.已知()R b a bay xx ∈++=+，122既是奇函数,又是减函数,则=+b a _______. 12.已知坐标平面上的曲线Γ和直线称l ，若l 与Γ有且仅有一个公共点P ，且Γ除P 之外的所有点都在l 的同侧，称l 为Γ的一条“基线”，则下列曲线中:，；④；③；②①xx y x y x y x y 111arcsin 23-=+=== 没有“基线”的是_________(写出所有符合要求的曲线编号).13.已知数列{}n a 的极限是A,如果数列{}n b 满足，＞，，⎪⎩⎪⎨⎧≤=66103102n a n a b n n n 那么数列{}n b 的极限是A.A 3B.A 2C.AD.不存在 14.已知，，R y x ∈则“11＞或＞y x ”是“2＞y x +”的 A.充要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件15.《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”,则以正方体1111D C B A ABCD -的顶点为顶点的“鳖臑”的个数为A.12B.24C.48D.5816.函数()()，＞，0m R x x f y ∈=若存在实数，M m ≤使得对所有，D x ∈都有()，M x f m ≤≤则称()()D x x f y ∈=“有界”，设()()R x x f y ∈=1是增函数， ()()R x x f y ∈=2是周期函数，且对所有()()，＞，＞，0021x f x f R x ∈已知 ()()()，x f x f x h 21=下列命题中真命题是A.若()x h 是周期函数,则()x f 1“有界”B.若()x h 是周期函数,则()x f 2“有界”C.若()x f 1“有界”,则()x h 不是周期函数D.若()x f 2“有界”,则()x h 不是周期函数17.如图,正三棱柱111C B A ABC -底面三角形的周长为6,侧棱长1AA 长为3. (1)求正三棱柱111C B A ABC -的体积； (2)求异面直线C A 1与AB 所成角的大小.18.已知函数().sin cos sin 2x x x x f -=(1)求()x f 的最小正周期；(2)设△ABC 为锐角三角形,角A 的对边长，2,角B 的对边长，3若()，0=A f 求△ABC 的面积.19.某地自2014年至2019年每年年初统计所得的人口数量如下表所示:(1)根据表中的数据计算2014年至2018年每年该地人口的增长数量,并描述该地人口数量的变化趋势；(2)研究人员用函数()14878.445020006554.0++=-t e t P 拟合该地的人口数量,其中t 的单位是年,2014年初对应时刻()t P t ，0=P)的单位是干人，设()t P 的反函数为()，x T 求()2400T 的值(精确到0.1),并解释其实际意义.20.设常数，2≥m 在平面直角坐标系xOy 中,已知点()，，20F 直线，m y l =:曲线 ()l m y y x ，：≤≤-=Γ0121与y 轴交于点A 、与Γ交于点B,P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点.(1)用m 表示点B 到点F 的距离；(2)若0=⋅FQ AP 且，FQ FP FA =+求m 的值；(3)设，22=m 且存在点P 、Q,使得△FPQ 是等边三角形,求△FPQ 的边长。
上海市华东师范大学第二附属中学2019-2020学年高二下学期期中数学试题(原卷版)
当点A、B、C在平面 的异侧时，平面 与平面 相交，如下图：
故选: C
【点睛】此题为基础题，判断平面与平面的位置关系.
13.从集合 中任意选择三个不同的数，使得这三个数组成等差数列，这样的等差数列有（）个
【详解】若此平面与平面 平行，这样的平面有2个到三顶点距离为 ；
若此平面与平面 相交，
则一定过三角形其中两边的中点，
由于三角形边长为 ，
因此如过 的中点 和 的中点 的平面，
到三顶点距离为 的有两个，这样共有6个，
所以所求平面个数为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查点到平面的距离，由于是三角形的三个顶点到平面的距离相等，因此要分类讨论，即三角形所在平面与所求平面平行和相交两种情形，相交时为保证距离相等，平面必定过三角形两边中点．属于较易题.
①当直线 与a成60°角时， 与b成30°角；
②当直线 与a成60°角时， 与b成45°角；
⑤直线 与a所成角的最大值为60°；
④直线 与a所成角的最小值为30°；
其中正确的是___________.（填写所有正确结论的编号）
二、选择题（16分）
11.已知一组数据 、 、 、 、 的平均数是 ，则这组数据的中位数是（）
【解析】
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ【分析】
利用插空法求解.
【详解】现将 名男生全排列，然后再将 名女生插入 名男生之间，则共有 种排列方法.
故答案为： .
【点睛】本题考查排列与组合，考查插空法的运用，属于基础题.
6.已知正三角形 的边长 ，则到三个顶点的距离都为2的平面有___个；
【答案】8
【解析】
20182019学年上海市浦东新区华师大二附中高二下期中数学试卷解析版.docx
2018-2019学年上海市浦东新区华师大二附中高二（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分） 1. 当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（ ）A. 三点确定一平面B. 不共线三点确定一平面C. 两条相交直线确定一平面D. 两条平行直线确定一平面2. 正方体被平面所截得的图形不可能是（ ）A. 正三角形B. 正方形C. 正五边形D. 正六边形3. 如图正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF =12，则下列结论中错误的是（ ）A. AC ⊥BEB. EF//平面ABCDC. 三棱锥A −BEF 的体积为定值D. △AEF 的面积与△BEF 的面积相等4. 由一些单位立方体构成的几何图形，主视图和左视图如图所示，则这样的几何体体积的最小值是（ ）（每个方格边长为1）A. 5B. 6C. 7D. 8二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）5. 设a ，b 是平面M 外两条直线，且a ∥M ，那么a ∥b 是b ∥M 的______条件．6. 已知直线a ，b 及平面α，下列命题中：①{b ⊥αa⊥b⇒a ∥α；②{b//αa⊥b⇒a ⊥α；③{b//αa//b⇒a ∥α；④{b ⊥αa//b⇒a ⊥α．正确命题的序号为______（注：把你认为正确的序号都填上）． 7. 地球北纬45°圈上有A ，B 两地分别在东经80°和170°处，若地球半径为R ，则A ，B 两地的球面距离为______．8. 如果一个球和立方体的每条棱都相切，那么称这个球为立方体的棱切球，那么单位立方体的棱切球的体积是______．9. 若三棱锥S -ABC 的所有的顶点都在球O 的球面上．SA ⊥平面ABC ．SA =AB =2，AC =4，∠BAC =π3，则球O 的表面积为______． 10. 如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD是边长为a 的正方形，侧棱PA =a ，PB =PD =√2a ，则它的5个面中，互相垂直的面有______对．11.如图由一个边长为2的正方形及四个正三角形构成，将4个正三角形沿着其与正方形的公共边折起后形成的四棱锥的体积为______．12.有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图），∠ABC=45°，AB=AD=1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为______．13.四面体的6条棱所对应的6个二面角中，钝二面角最多有______个．14.在平面中△ABC的角C的内角平分线CE分△ABC面积所成的比S△AECS△BEC =ACBC，将这个结论类比到空间：在三棱锥A-BCD中，平面DEC平分二面角A-CD-B且与AB交于E，则类比的结论为______．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）15.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BC，A1D1的中点．求证：空间四边形B1EDF是菱形．16.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，（如图）E是棱C1D1的中点，F是侧面AA1D1D的中心．（1）求三棱锥A1-D1EF的体积；（2）求异面直线A1E与AB的夹角；（3）求EF与底面A1B1C1D1所成的角的大小．（结果用反三角函数表示）17.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2AB，N是CC1的中点，M是线段AB1上的动点，且AM=λAB1．（1）若λ=1，求证：MN⊥AA1；2（2）求二面角B1-AB-N的余弦值；（3）若直线N与平面ABN所成角的大小为θ，求sinθ的最大值．18.平面图形很多可以推广到空间中去，例如正三角形可以推广到正四面体，圆可以推广到球，平行四边形可以推广到平行六面体，直角三角形也可以推广到直角四面体，如果四面体ABCD中棱AB，AC，AD两两垂直，那么称四面体ABCD为直角四面体．请类比直角三角形中的性质给出2个直角四面体中的性质，并给出证明．（请在结论1～3中选择1个，结论4，5中选择1个，写出它们在直角四面体中的类似结论，并给出证明，多选不得分，其中h表示斜边上的高，r，R分别表示内切圆与外接圆的半径）直角三角形ABC直角四面体ABCD 条件AB⊥AC AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD结论1AB2+AC2=BC2答案和解析1.【答案】B【解析】解：自行车前后轮与撑脚分别接触地面，此时三个接触点不在同一条线上，所以可以确定一个平面，即地面，从而使得自行车稳定．故选：B．自行车前后轮与撑脚分别接触地面，使得自行车稳定，此时自行车与地面的三个接触点不在同一条线上．本题考查不同线的三个点确定一个平面，属于简单题．2.【答案】C【解析】解：如图所示，平面与正方体相交与不同的位置，可以出现正三角形，正方形，正六边形，不可能出现正五边形，．故选：C．平面与正方体相交与不同的位置，可以出现不同的几何图形，不可能出现正五边形本题考查了截一个几何体，明确几何体的特征，是解好本题的关键．本题属基础题．3.【答案】D【解析】解：连结BD，则AC⊥平面BB1D1D，BD∥B1D1，∴AC⊥BE，EF∥平面ABCD，三棱锥A-BEF的体积为定值，从而A，B，C正确．∵点A、B到直线B1D1的距离不相等，∴△AEF的面积与△BEF的面积不相等，故D错误．故选：D．连结BD，则AC⊥平面BB1D1D，BD∥B1D1，点A、B到直线B1D1的距离不相等，由此能求出结果．本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．4.【答案】C【解析】解：通过主视图和左视图分析出原几何体的形状如图所示，可知最少共有7个单位立方体．则几何体的体积最小值为7．故选：C．通过主视图和左视图分析出原几何体的形状，可以得到原几何体的体积本题考查由三视图还原几何体，空间想象能力，属于基础题．5.【答案】充分不必要【解析】解：证明充分性：若a∥b，结合a∥M，且b在平面M外，可得b∥M，是充分条件；证明必要性：若b∥M，结合a∥M，且a，b是平面M外，则a，b可以平行，也可以相交或者异面，所以不是必要条件．故a∥b是b∥M的“充分不必要”故答案为：充分不必要．判断由a∥b能否得到b∥M，再判断由b∥M能否得到a∥b即可．本题考查空间线面平行，线线平行之间的关系，充分条件和必要条件，属于简单题．6.【答案】④【解析】解：对于①若b⊥α，a⊥b，则a⊂α或a∥α；对于②，a⊥b，b∥α则a也可与α平行；对于③a⊂α时，不成立；对于④，根据两条平行线中有一条垂直于平面，则另一条也垂直于平面，故正确故答案为④．对于四个选项一一进行判断，不成立可列举反例验证说明．本题的考点是平面的基本性质及推论，主要考查线、面的位置关系，注意掌握反例排除．7.【答案】πR3【解析】解：地球表面上从A地（北纬45°，东经80°）到B地（北纬45°，西经170°），A，B两地都在北纬45°上，对应的纬圆半径是，经度差是90°．∴AB=R，得球心角是．∴A，B两地的球面距离是．故答案为：．由于甲、乙两地在同一纬度圈上，计算经度差，求出甲、乙两地对应的AB弦长，以及球心角，然后求出球面距离．本题考查球面距离及其他计算，考查空间想象能力，是基础题．8.【答案】√2π3【解析】解：球和立方体的每条棱都相切，则球的直径为立方体的面对角线长度，∴单位立方体的棱切球的半径为，则球的体积为．故答案为：．由题意画出图形，求得球的半径，再计算体积得答案．本题考查空间想象能力，球的体积计算，是基础题．9.【答案】20π【解析】解：如图，三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，∵SA⊥平面ABC．SA=AB=2，AC=4，∠BAC=，∴BC==2，∴AC2=BC2+AB2，∴∠ABC=90°．∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r=AC=2，∴球O的半径R==，∴球O的表面积S=4πR2=20π．故答案为：20π．由余弦定理求出BC=2，利用正弦定理得∠ABC=90°．从而△ABC截球O所得的圆O′的半径r=AC=2，进而能求出球O的半径R，由此能求出球O的表面积．本题考查三棱锥、球、勾股定理等基础知识，考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力，考查应用意识、创新意识，考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想，是中档题．10.【答案】5【解析】解：底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA=a，PB=PD=a，可得PA⊥底面ABCDPA⊂平面PAB，PA⊂平面PAD，可得：面PAB⊥面ABCD，面PAD⊥面ABCD，AB⊥面PAD，可得：面PAB⊥面PAD，BC⊥面PAB，可得：面PAB⊥面PBC，CD⊥面PAD，可得：面PAD⊥面PCD；故答案为：5先找出直线平面的垂线，然后一一列举出互相垂直的平面即可．本题考查平面与平面垂直的判定，考查棱锥的结构，是基础题．11.【答案】4√23【解析】解：由已知中由一个边长为2的正方形及四个正三角形构成故该棱锥的底面面积S=2×2=4侧高为正三角形的高则棱锥的高h==故折起后形成的四棱锥的体积V==故答案为：由已知中正四棱锥的展开图为一个边长为2的正方形及四个正三角形，我们可以分别计算出棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式，即可求出折起后形成的四棱锥的体积．本题考查的知识点是棱棱的体积，其中根据已知条件，计算出棱锥的底面面积，及结合正四棱锥中（其中h为棱锥的高，H为棱锥的侧高，a 为底面的棱长）求出棱锥的高，是解答本题的关键．12.【答案】2+√22【解析】解：DC=ABsin 45°=，BC=ABsin 45°+AD=+1，S梯形ABCD=（AD+BC）DC=（2+）=+，S=S梯形ABCD=2+．故答案为：2+求出直观图中，DC，BC，S梯形ABCD，然后利与用平面图形与直观图形面积的比是，求出平面图形的面积．本题考查斜二测画法，直观图与平面图形的面积的比例关系的应用，考查计算能力．13.【答案】3【解析】解：将三棱锥的顶点，向下压到与底重合，侧面的3个二面角都是180°，将这个顶点稍稍提高一点点，离开底面，此时3个侧面的二面角都是钝角．故答案为：3．通过定性分析，对四面体取特殊情况可以得到钝二面角的个数本题考查利用极限思想，通过定性分析来解决问题，属于简单题．14.【答案】V A−CDEV B−CDE =S△ACDS△BDC【解析】解：在平面中△ABC的角C的内角平分线CE分△ABC面积所成的比=，将这个结论类比到空间：在三棱锥A-BCD中，平面DEC平分二面角A-CD-B 且与AB交于E，则类比的结论为根据面积类比体积，长度类比面积可得：，故答案为：．三角形的内角平分线定理类比到空间三棱锥，根据面积类比体积，长度类比面积，从而得到．本题考查了类比推理，将平面中的性质类比到空间．15.【答案】证明：取AD中点G，连接FG，BG，可得B1B∥FG，B1B=FG，∴四边形B1BGF为平行四边形，则BG∥B1F，由ABCD-A1B1C1D1为正方体，且E，G分别为BC，AD的中点，可得BEDG为平行四边形，∴BG∥DE，BG=DE，则B1F∥DE，且B1F=DE，∴四边形B1EDF为平行四边形，由△B1BE≌△B1A1F，可得B1E=B1F，∴四边形B1EDF是菱形；．【解析】由题意画出图形，取AD中点G，连接FG，BG，可证四边形B1BGF为平行四边形，得BG∥B1F，再由ABCD-A1B1C1D1为正方体，且E，G分别为BC，AD 的中点，可得BEDG为平行四边形，得BG∥DE，BG=DE，从而得到B1F∥DE，且B1F=DE，进一步得到四边形B1EDF为平行四边形，再由△B1BE≌△B1A1F，可得B1E=B1F，得到四边形B1EDF是菱形；本题考查正方体内线段之间的关系，空间四边形的证明，属于简单题．16.【答案】解：（1）由题意知，V三棱锥A1−D1EF =V三棱锥F−A1D1E=13•S△A1D1E•h=13×（12×2×1）×1=13；（2）∵A1B1∥AB，∴∠EA1B1或其补角即为异面直线A1E与AB所成角，在△EA1B1，A1E=EB1=√5，A1B1=2，∴cos∠EA1B1=A1E2+A1B12−EB122A1E⋅A1B1=5+4−52×√5×2=√55，∴异面直线A1E与AB所成角为arccos√55；（3）取A1D1中点M，联结MF，∵MF∥A1A且A1A⊥平面A1B1C1D1，∴MF⊥平面A1B1C1D1，∴∠FEM即为EF与底面A1B1C1D1所成的角，MF=12AA1=1，ME=√2∴tan∠FEM=MFME =1√2=√22，∴EF与底面A1B1C1D1所成的角的大小为arctan√22．【解析】（1）对三棱锥A1-D1EF换底，换成以F为顶点，△A1D1E为底的三棱锥，求出底面△A1D1E的面积和对应的高，得到所求的体积；（2）找到异面直线A1E与AB所成的角，在△EA1B1内由余弦定理求出；（3）找出直线EF与底面A1B1C1D1所成的角，再计算大小．本题考查三棱锥等体积转化，求异面直线所成的角，直线与平面所成的角，属于中档题．17.【答案】解：（1）取AA1中点D，联结MD和ND，∵λ=12，∴M为AB1中点，又D为AA1中点，∴MD∥B1A1，∵B1A1⊥AA1，∴MD⊥AA1，同理ND⊥AA1，∴AA1⊥平面MND，∴MN⊥AA1；（2）取AB中点E，A1B1中点F，联结EN、EF、FN，则EN⊥AB，EF⊥AB，∠FEN即为二面角B1-AB-N的平面角，设AB=2a（a＞0），则EF=4a，EN=FN=√7a，∴cos∠FEN=EF2+EN2−FN22EF⋅EN =2√77，即二面角B1-AB-N的余弦值为2√77；（3）设AB=2a（a＞0），M到平面ABN的距离为d，则S△ABM=λS△ABB1=λ•12•2a•4a=4λa2，S △ABN =12•2a •√7a =√7a 2；由等体积法，V 三棱锥N -ABM =V 三棱锥M -ABN ，即13•S △ABM •√3a =13•S △ABM •d ， 可得d =4√217λa ， 而MN =√[(2a)2+(2λa)2−2⋅2a ⋅2λa ⋅cos60°]+(2a −4λa)2=2a √5λ2−5λ+2，∴sinθ=dMN =2√217•√5λ2−5λ+2=2√217•√5−5⋅λ+2⋅(λ)=2√217•√2(λ−4)2+8≤2√217•√8=4√7035，当且仅当1λ=54，即λ=45时，等号成立， 即sinθ的最大值为4√7035．【解析】（1）取AA 1中点D ，通过线线垂直证明AA 1⊥平面MND ，从而得到MN ⊥AA 1； （2）取AB 中点E ，A 1B 1中点F ，联结EN 、EF 、FN ，则∠FEN 即为二面角B 1-AB-N 的平面角，再利用余弦定理求出其余弦值．（3）利用等体积法，求出M 到平面ABN 的距离及MN 的长度，从而表示出sinθ关于λ的函数，求出最大值．本题考查通过线面垂直证明线线垂直，二面角的求法，以及线面角的正弦值的表示，属于中档题．18.【答案】解：记△ABC 、△ABD 、△ACD 、△BCD 的面积依次为S 1、S 2、S 3、S ，平面BCD 与AB 、AC 、AD 所成角依次为α、β、γ，点A 到平面BCD 的距离为d ，r ，R 分别表示内切球与外接球的半径，内切球的球心为证明：设AB =a 、AC =b 、AD =c ，过A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，联结DE ，过A 作AH ⊥DE ，垂足为H ， 易证：DE ⊥BC ，AH ⊥平面BCD ，则d =AH ，结论1：S12+S22+S32=(12ab)2+(12ac)2+(1 2bc)2=14(a2b2+a2c2+b2c2)，在Rt△ABC中，AE=AC⋅ABBC=√a2+b2．DE=√AD2+AE2=√c2+a2b2a2+b2，S2=(12√a2+b2√c2+a2b2a2+b2)2=14(a2b2+a2c2+b2c2)∴S12+S22+S32=S2；结论2：d=AH=√DE =c⋅√a2+b2√c2+a2b2a2+b2=√a2b2+a2c2+b2c2，∴sinα=da =√a2b2+a2c2+b2c2．同理，sinβ=ac√a2b2+a2c2+b2c2，sinγ=√a2b2+a2c2+b2c2，∴sin2α+sin2β+sin2γ=a2b2+a2c2+b2c2a2b2+a2c2+b2c2=1；结论3：∵d=√a2b2+a2c2+b2c2，∴1d2=a2b2+a2c2+b2c2a2b2c2，又1AB2+1AC2+1AD2=1a2+1b2+1c2=a2b2+a2c2+b2c2a2b2c2，∴1 d2=1AB2+1AD2+1AC2结论4：∵V D-ABC=V O-ABC+V OABD+V O-ACD+V O-BCD，∴1 6abc=13⋅12ab⋅r+13⋅12ac⋅r+13⋅12bc⋅r+13⋅12√a2c2+b2c2+a2b2⋅r．从而1r =ababc+acabc+bcabc+√a2b2+a2c2+b2c2abc=1c+1b+1a+1d，即1r=1AB+1AC+1AD+1d；结论5：将直角四面体ABCD补形成为以AB、AC、AD为长、宽、高的长方体，则长方体的体对角线即为直角四面体ABCD的外接球的直径，即（2R）2=AB2+BC2+CA2．【解析】在得到结论时，直角三角形中的长度类比成直角四面体的面积，角度类比成二面角，等面积类比成等体积，外接圆类比成外接球．结论1：分别表示、、，然后证明结论2：在△DAE中利用等面积法，表示出高d，然后分别表示sin2α、sin2β、sin2γ，再证明sin2α+sin2β+sin2γ=1结论3：利用结论2中得到的d的表达式，再表示出，再证明结论4：内切球的球心与四个顶点相连接，把三棱锥分成四个小的三棱锥，利用V D-ABC=V O-ABC+V O-ABD+V O-ACD+V O-BCD进行证明结论5：将直角四面体ABCD补形成为以AB、AC、AD为长、宽、高的长方体，再进行证明．本题考查平面图形向立体图形的推广，涉及到侧面积的表示，线面角的表示，几何体的体积分割法求内切球半径，补齐几何体求外接球半径等，属于难题．。
2018-2019学年上海市华东师范大学第二附属中学高二下学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市华东师范大学第二附属中学高二下学期期末数学试题一、单选题1．在空间中，“直线m ⊥平面α”是“直线m 与平面α内无穷多条直线都垂直 ”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件【答案】A【解析】若“直线m ⊥平面α”则“直线m 与平面α内无穷多条直线都垂直 ”，正确；反之，若“直线m 与平面α内无穷多条直线都垂直 ”则“直线m ⊥平面α”是错误的，故直线m ⊥平面α”是“直线m 与平面α内无穷多条直线都垂直 ”的充分非必要条件. 故选A.2．一组统计数据12345,,,,x x x x x 与另一组统计数据1234523,23,23,23,23x x x x x +++++相比较（ ）A ．标准差一定相同B ．中位数一定相同C ．平均数一定相同D ．以上都不一定相同【答案】D【解析】根据数据变化规律确定平均数、标准差、中位数变化情况，即可判断选择. 【详解】设数据12345,,,,x x x x x 平均数、标准差、中位数分别为x m σ，，因为23,12345i i y x i =+=，，，，，所以数据1234523,23,23,23,23x x x x x +++++平均数、标准差、中位数分别为223x m σ++3，，2，即平均数、标准差、中位数与原来不一定相同， 故选：D 【点睛】本题考查数据变化对平均数、标准差、中位数的影响规律，考查基本分析求解能力，属基础题.3．如图，点、、A B C 分别在空间直角坐标系O xyz -的三条坐标轴上，(0,0,2)OC =，平面ABC 的法向量为(2,1,2)n =，设二面角C AB O --的大小为θ，则cos θ= ( )．A ．43B ．53C ．23D ．23-【答案】C【解析】由题意可知，平面ABO 的一个法向量为：()0,0,2OC =， 由空间向量的结论可得：42cos 233||||OC n OC n θ⋅===⋅⋅.本题选择C 选项.点睛：(1)本题求解时关键是结合题设条件进行空间联想，抓住条件有目的推理论证. (2)利用空间向量求线面角有两种途径：一是求斜线和它在平面内射影的方向向量的夹角(或其补角)；二是借助平面的法向量．4．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，1AD AB ==，AD AB ⊥，45BCD ∠=︒，将△ABD 沿对角线BD 折起，设折起后点A 的位置为A '，使二面角A BD C '--为直二面角，给出下面四个命题：① A D BC '⊥；②三棱锥A BCD '-的体积为26；③CD ⊥平面A BD '；④平面A BC '⊥平面A DC '；其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】取BD 中点O ，根据面面垂直性质定理得AO '⊥平面BCD ，再根据线面垂直判定与性质定理、面面垂直判定定理证得CD ⊥平面A BD '以及平面A BC '⊥平面A DC '；利用锥体体积公式求三棱锥A BCD '-的体积，最后根据反证法说明A D BC '⊥不成立.【详解】因为1AD AB ==，AD AB ⊥，所以ABD △为等腰直角三角形， 因为AD ∥BC ，45BCD ∠=︒，所以1351354590ADC BDC BD CD ∠=︒∴∠=︒-=∴⊥,从而BDC 为等腰直角三角形，2CD BD ==取BD 中点O ，连接22A O A O ''∴=，如图，因为二面角A BD C '--为直二面角，所以平面A BD '⊥平面BCD ， 因为A BD '为等腰直角三角形，所以,A O BD BD '⊥=平面A BD '平面BCD ,AO '⊂平面A BD ',因此AO '⊥平面BCD ，所以三棱锥A BCD '-的体积为211212(2)33226BDCA O S '⨯=⨯⨯=,②正确； 因为AO '⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以AOCD '⊥，因为BD CD ⊥，A O BD O '=,,A O BD '⊂平面A BD '，所以CD ⊥平面A BD '；即③正确;因为CD ⊥平面A BD '，A B '⊂平面A BD '；所以CD ⊥A B '；由已知条件得A D '⊥AB ',CD,,A D D A D CD ''=⊂平面ACD ',因此A B '⊥平面ACD ',因为A B '⊂平面A BC ',所以平面A BC '⊥平面A DC '；即④正确；如果A D BC '⊥，而由AO '⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，所以AO BC '⊥，因为A OA D A O '''=,,A O A D ''⊂平面A BD '，所以BC ⊥平面A BD '；因为BD ⊥平面A BD '；即BC BD ⊥,与4CBD π∠=矛盾,所以①不正确;故选：C 【点睛】本题考查面面垂直性质与判定定理、线面垂直判定与性质定理以及锥体体积公式，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.二、填空题5．6(13)x +展开式中含有2x 的系数为________ 【答案】135【解析】根据二项式定理确定含有2x 的项数，进而得系数 【详解】16(3)rr r T C x +=∴令2r得含有2x 的系数为226(3)135C =故答案为：135 【点睛】本题考查二项式定理及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题. 6．已知球的体积为36π，则该球大圆的面积等于______. 【答案】9π【解析】由球的体积，得到球的半径，进而可得出大圆的面积. 【详解】因为球的体积为36π，设球的半径为r ， 则34363r ππ=，解得：3r =， 因为球的大圆即是过球心的截面圆， 因此大圆的面积为29S r ππ==. 故答案为：9π. 【点睛】本题主要考查球的相关计算，熟记球的体积公式，以及圆的面积公式即可，属于基础题型.7．在10件产品中有8件一等品，2件二等品，若从中随机抽取2件产品，则恰好含1件二等品的概率为___ 【答案】1645【解析】先求从10件产品中随机抽取2件产品事件数，再求恰好含1件二等品的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果. 【详解】从10件产品中随机抽取2件产品有21045C =种方法；其中恰好含1件二等品有118216C C =种方法；因此所求概率为1645故答案为：1645【点睛】本题考查古典概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.8．已知某市A 社区35岁至45岁的居民有450人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至65岁的居民有900人．为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况，社区负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人，试问这次抽样调查抽取的人数是________人． 【答案】140【解析】根据题意可得抽样比为501,75015= 则这次抽样调查抽取的人数是()114507509002100140,1515++=⨯= 即答案为140.9．高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A 的概率分别为56、78、34，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得1个A 的概率为____ 【答案】191192【解析】先求对立事件概率：三门科目考试成绩都不是A ，再根据对立事件概率关系求结果. 【详解】这位考生三门科目考试成绩都不是A 的概率为5731(1)(1)(1)684192---=， 所以这位考生至少得1个A 的概率为11911192192-= 故答案为：191192【点睛】本题考查利用对立事件求概率，考查基本分析求解能力，属基础题.10．年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，他们的健康状况如下表：其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，1-代表“生活不能自理”，按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位，则被访问地3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率为___ 【答案】35【解析】先确定抽取5位中健康指数大于0和不大于0的人数，再根据古典概型概率求解. 【详解】因为350人中健康指数大于0和不大于0各有280，70人，所以根据分层抽样抽取5位中健康指数大于0和不大于0的人数分别为4，1；因此被访问地3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率为243535C C =故答案为：35【点睛】本题考查分层抽样以及古典概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.11．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为 ． 【答案】【解析】【详解】试题分析：用间接方法，符合条件的取法的种数为：4211233164C 4C C C 5601672472-=-=-⋅-.【考点】排列与组合12．点P 是棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1上一点，则1PA PC ⋅的取值范围是__. 【答案】[﹣12，0] 【解析】建立空间直角坐标系，设出点P 的坐标为（x ，y ，z ），则由题意可得0≤x ≤1，0≤y ≤1，z ＝1，计算PA •1PC =x 2﹣x ，利用二次函数的性质求得它的值域即可． 【详解】解：以点D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，以DD 1所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示； 则点A （1，0，0），C 1 （0，1，1），设点P 的坐标为（x ，y ，z ），由题意可得 0≤x ≤1，0≤y ≤1，z ＝1； ∴PA =（1﹣x ，﹣y ，﹣1），1PC =（﹣x ，1﹣y ，0），∴PA •1PC =-x （1﹣x ）﹣y （1﹣y ）+0＝x 2﹣x +y 2﹣y 22111222x y ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由二次函数的性质可得，当x ＝y 12=时，PA •1PC 取得最小值为12-； 当x ＝0或1，且y ＝0或1时，PA •1PC 取得最大值为0， 则PA •1PC 的取值范围是[12-，0]． 故答案为：[12-，0]．【点睛】本题主要考查了向量在几何中的应用与向量的数量积运算问题，是综合性题目． 13．设正方形ABCD 的中心为O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点的三角形中任意取出两个，则它们面积相等的概率为________ 【答案】37【解析】先确定以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点的三角形的个数，再确定从中取出两个的事件数，从中取出两个面积相等的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果. 【详解】以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点的三角形共有3528C -=,则从中取出两个有28=28C 种方法；因为,ABCACD BCDABDOABOCBODBOCDSSSSSSSS======,因此从中取出两个面积相等有242=12C 种方法；从而所求概率为123=287故答案为：37【点睛】本题考查古典概型概率以及简单计数，考查综合分析求解能力，属中档题.14．数列{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，若记数据1a ，2a ，3a ，⋅⋅⋅，2019a 的标准差为1σ，数据11S ，22S ，33S ，⋅⋅⋅，20192019S 的标准差为2σ，则12σσ=________ 【答案】2【解析】根据等差数列性质分析两组数据之间关系，再根据数据变化规律确定对应标准差变化规律，即得结果. 【详解】因为数列{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，所以111=+222n n n a a aa n S +=， 因此2112σσ=，即122σσ= 故答案为：2 【点睛】本题考查等差数列和项性质以及数据变化对标准差的影响规律，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题15．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，113A D =.（1）求该四棱柱的侧面积与体积；（2）若E 为线段1A D 的中点，求BE 与平面ABCD 所成角的大小. 【答案】（1）(222323)232S =⨯+⨯+⨯⨯=，22312V =⨯⨯=（2）arctan10EBF ∠=【解析】试题分析：⑴根据题意可得：在1Rt AA D ∆中，高13AA ==∴(222323)232S =⨯+⨯+⨯⨯=22312V =⨯⨯=⑵过E 作EF AD ⊥，垂足为F ，连结BF ，则EF ⊥平面ABCD ， ∵BE ⊂平面ABCD ，∴EF BF ⊥∴在Rt BEF ∆中，EBF ∠就是BE 与平面ABCD 所成的角 ∵1,EF AD AA AD ⊥⊥，∴1EFAA ，又E 是1A D 的中点，∴EF 是1AA D ∆的中位线， ∴11322EF AA ==在Rt AFB ∆中BF ===∴3tan 2EBF ∠==∴EBF ∠= 【考点】线面角，棱柱的体积点评：解决的关键是对于几何体体积公式以及空间中线面角的求解的表示，属于基础题． 16．若一圆锥的底面半径为4，体积是16π. （1）求该圆锥的母线长；（2）已知该圆锥的顶点为O ，并且OA 、OB 为圆锥的两个母线，求线段AB 长度为何值时，△OAB 的面积取得最大值？【答案】（1）5；（2）【解析】（1）先根据体积求高，再根据母线与高的关系求结果；（2）先确定△OAB 的面积最大值何时取得，再根据勾股定理求AB 长度. 【详解】（1）因为圆锥的底面半径为4，体积是16π，所以2116433h h ππ=⋅⋅∴=； （2）△OAB 的面积125sin sin 22S OA OB AOB AOB =⋅⋅∠=∠ 因为3(0,2arcsin ]5AOB ∠∈，所以当2AOB π∠=时，△OAB的面积取最大值，此时AB 【点睛】本题考查圆锥的体积以及截面积，考查基本分析求解能力，属基础题.17．将一枚六个面的编号为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后掷两次，记第一次出的点数为a ，第二次出的点数为b ，且已知关于x 、y 的方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩. （1）求此方程组有解的概率；（2）若记此方程组的解为0x x y y =⎧⎨=⎩，求00x >且00y >的概率.【答案】（1）1112；（2）1336. 【解析】（1）先根据方程组有解得a b ，关系，再确定,a b 取法种数，最后根据古典概型概率公式求结果；（2）先求方程组解，再根据解的情况得a b ，关系，进而确定,a b 取法种数，最后根据古典概型概率公式求结果. 【详解】（1）因为方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩有解，所以0212a b a b ≠∴≠ 而2b a =有123,,,246a a a b b b ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩这三种情况，所以所求概率为31116612-=⨯；（2）006232,2022232b x ax by a b a b x y a y a b -⎧=⎪+=⎧⎪-∴-≠⎨⎨+=-⎩⎪=⎪-⎩因为00x >且00y >，所以6223200,022b a a b a b a b---≠>>--， 因此12,,33a ab b =≥⎧⎧⎨⎨><⎩⎩即有35213+⨯=种情况，所以所求概率为13136636=⨯； 【点睛】本题考查古典概型概率以及二元一次方程组的解，考查综合分析求解能力，属中档题.18．已知数列{}n a （*n ∈N ）的通项公式为1n a n =-（*n ∈N ）.（1）分别求11(1)a x -的二项展开式中的二项式系数之和与系数之和；（2）求201(12)a x +的二项展开式中的系数最大的项；（3）记1245k a k d +=⨯（*k ∈N ），求集合1{|,}k k x d x d x +<<∈Z 的元素个数（写出具体的表达式）.【答案】（1）102，0；（2）133133200(2)C x ，134134200(2)C x ；（3）164(1)5k k +⋅+-. 【解析】（1）根据二项展开式()n a b +直接得二项式系数之和为2n ，利用赋值法求二项展开式中的系数之和；（2）根据二项展开式通项公式得系数，再列方程组解得系数最大的项；（3）先根据二项式定理将k d 展开成整数与小数，再根据k 奇偶性分类讨论元素个数，最后根据符号数列合并通项.【详解】（1）1110(1)(1)a x x -=-∴二项展开式中的二项式系数之和为102，令1x =得二项展开式中的系数之和为10(11)=0-；（2）2012001200(12)(12)2a r r r r x x T C x ++=+∴=⋅设二项展开式中的系数最大的项数为1,[0,200],r r r N +∈∈则112002001120020012(200)22133134133,1342(201)22r r r r r r r r r r C C r r r r C C ++--⎧+≥-⋅≥⋅⎧∴∴≤≤∴=⎨⎨-≥⋅≥⋅⎩⎩， 因此二项展开式中的系数最大的项为133133200(2)C x ，134134200(2)C x（3）1224455k a k k d Z +=⨯=⨯∉ 1111222(51)(555(1))(1)555k k k k k k k k k d C C ---=⨯-=⨯-++⨯⨯-+- 1121122[55(1)](1)5k k k k k k k C C ----=-++⨯-+- 所以当k 为偶数时，集合1{|,}k k x d x d x +<<∈Z 的元素个数为1111211112[55(1)]2[55(1)]1k k k k k k k k k k k k C C C C -----++=-++⨯---++⨯--12261[(51)1][(51)1]145555k k k +=-+----=⋅- 当k 为奇数时，集合1{|,}k k x d x d x +<<∈Z 的元素个数为1111211112[55(1)]2[55(1)]1k k k k k k k k k k k k C C C C -----++=-++⨯---++⨯-+12261[(51)1][(51)1]145555k k k +=----++=⋅+ 综上，元素个数为164(1)5k k +⋅+- 【点睛】本题考查二项式系数之和、二项式展开式各项系数之和、二项式展开式中系数最大项以及利用二项式展开式计数，考查综合分析求解与应用能力，属较难题.。
2018-2019学年上海市华东师范大学第二附属中学高二下学期期中考试数学试题 解析版
绝密★启用前上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（）A．三点确定一平面B．不共线三点确定一平面C．两条相交直线确定一平面D．两条平行直线确定一平面【答案】B【解析】【分析】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，使得自行车稳定,此时自行车与地面的三个接触点不在同一条线上.【详解】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，此时三个接触点不在同一条线上,所以可以确定一个平面，即地面，从而使得自行车稳定.故选B项.【点睛】本题考查不同线的三个点确定一个平面，属于简单题.2．正方体被平面所截得的图形不可能是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形【答案】C【解析】【分析】平面与正方形相交与不同的位置，可以出现正三角形，正方形，正六边形，不可能出现正五边形【详解】如图所示，平面与正方形相交与不同的位置，可以出现正三角形，正方形，正六边形，不可能出现正五边形，故选C项【点睛】本题考查正方形的截面图形，空间想象能力，属于基础题.3． 如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱线长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且12EF =，则下列结论中错误的是A ．AC BE ⊥B ．//EF ABCD 平面C ．三棱锥A BEF -的体积为定值D ．AEF BEF ∆∆的面积与的面积相等 【答案】D【解析】可证11AC D DBB AC BE ⊥⊥平面，从而，故A 正确；由11D B ∥平面ABCD ，可知//EF ABCD 平面，B 也正确；连结BD 交AC 于O ，则AO 为三棱锥A BEF -的高，4112121=⨯⨯=∆BEF S ，三棱锥A BEF -的体积为242224131=⨯⨯为定值，C 正确；D 错误。
选D 。
4．由一些单位立方体构成的几何图形，主视图和左视图如图所示，则这样的几何体体积的最小值是（ ）（每个方格边长为1）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】【分析】通过主视图和左视图分析出原几何体的形状，可以得到原几何体的体积【详解】通过主视图和左视图分析出原几何体的形状如图所示，可知最少共有7个单位立方体.则几何体的体积最小值为7.故选C项【点睛】本题考查由三视图还原几何体，空间想象能力，属于基础题.第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题5．设是平面外两条直线，且，那么是的________条件.【答案】充分不必要【解析】【分析】判断由能否得到，再判断由能否得到【详解】证明充分性：若，结合，且在平面外，可得，是充分条件；证明必要性：若，结合，且是平面外，则可以平行，也可以相交或者异面，所以不是必要条件.故填“充分不必要”【点睛】本题考查空间线面平行，线线平行之间的关系，充分条件和必要条件，属于简单题. 6．已知直线及平面，下列命题中：①；②；③；④.所有正确命题的序号为________.【答案】④【解析】【分析】①直线还可能在面内，②直线与平面也可能平行, ③直线还可能在面内, ④正确. 【详解】①直线与平面可能平行，也可能在面内，所以错误②直线与平面可能垂直，也可能平行，所以错误.③直线与平面可能平行，也可能在面内，所以错误.④可以得到直线与平面垂直，所以正确.【点睛】本题考查直线与直线，直线与平面的位置关系，属于简单题.7．地球北纬圈上有两地分别在东经和处，若地球半径为，则两地的球面距离为________.【答案】【解析】【分析】由于甲、乙两地在同一纬度圈上，计算经度差，求出甲、乙两地对应的弦长，以及球心角，然后求出球面距离．【详解】地球表面上从地（北纬，东经）到地（北纬，西经）两地都在北纬上，对应的的纬圆半径是,经度差是所以所以球心角是所以两地的球面距离是.【点睛】本题考查球面距离及其他计算，考查空间想象能力，是基础题．8．如果一个球和立方体的每条棱都相切，那么称这个球为立方体的棱切球，那么单位立方体的棱切球的体积是________.【答案】【解析】【分析】根据图形很容易找到球的半径，在计算体积得到答案.【详解】球和立方体的每条棱都相切，则球的直径为立方体的面对角线长度，所以单位立方体的棱切球的半径为所以球的体积为【点睛】考查空间想象能力，球的体积计算，是基础题．9．若三棱锥的所有的顶点都在球的球面上，且平面，，，，则球的表面积为__________．【答案】【解析】如图，三棱锥的所有顶点都在球的球面上，因为平面，所以，所以，所以截球所得的圆的半径，所以球的半径，所以球的表面积为.点睛：本题主要考查了有关球的组合体问题，其中解答中涉及到直线与平面垂直的性质，球的性质和球的表面公式等知识点的综合运用，试题有一定的难度，属于中档试题，此类问题的解答中正确把握组合体的结构特征，正确应用球的性质是解答的关键. 10．如图所示，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱，，则它的5个面中，互相垂直的面有__________对.【答案】5【解析】由勾股定理逆定理得P A⊥AD，P A⊥AB，∴P A⊥面ABCD，P A⊥CD，P A⊥CB.由直线与平面垂直的判定定理及平面与平面垂直的判定定理易得结论．平面P AB⊥平面P AD，平面P AB⊥平面ABCD，平面P AB⊥平面PBC，平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD⊥平面PCD.答案：5.11．下图由一个边长为2的正方形及四个正三角形构成，将4个正三角形沿着其与正方形的公共边折起后形成的四棱锥的体积为________.【答案】【解析】【分析】画出立体图形，通过底面对角线的一半，侧棱，以及高所构成的直角三角形，求出高，再求出四棱锥的体积.【详解】根据平面图形可得四棱锥侧棱长度为2，底面正方形的边长为2，其对角线长度为，在底面对角线的一半，侧棱，以及高所构成的直角三角形，高的长度为所以四棱锥的体积为【点睛】本题考查平面图形与立体图形的关系，求四棱锥的体积，属于简单题.12．有一块四边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形,如图所示，，则这块菜地的面积为________.【答案】【解析】【分析】先确定直观图中的线段长，再确定平面图形中的线段长，即可求得图形的面积．【详解】在直观图中，，，，原来的平面图形上底长为，下底为，高为平面图形的面积为【点睛】本题考查斜二测画法，直观图与平面图形的面积的比例关系的应用，考查计算能力．属于简单题.13．四面体的6条棱所对应的6个二面角中，钝二面角最多有________个.【答案】3【解析】【分析】通过定性分析，对四面体取特殊情况可以得到钝二面角的个数【详解】将三棱锥的顶点，向下压到与底重合，侧面的3个二面角都是，将这个顶点稍稍提高一点点，离开底面，此时3个侧面的二面角都是钝角.【点睛】本题考查利用极限思想，通过定性分析来解决问题，属于简单题.14．如图1，平面中的角的内角平分线分面积所成的比，把这个结论类比到空间：在三棱锥（如图2）中，平面平分二面角且与相交于，则类比的结论是____________.【答案】【解析】三、解答题15．在正方体中，分别是的中点.求证：空间四边形是菱形.【答案】证明见解析【解析】【分析】取中点，联结，证明四边形，都是平行四边形，从而得到四边形是平行四边形，再证明，得到空间四边形是菱形. 【详解】证明：取中点，联结，则，四边形是平行四边形，，∴四边形是平行四边形，，，∴四边形是平行四边形，又,,，空间四边形是菱形.【点睛】本题考查正方体内线段之间的关系，空间四边形的证明，属于简单题.16．在棱长为2的正方体中，（如图）是棱的中点，是侧面的中心.（1）求三棱锥的体积；（2）求异面直线与的夹角；（3）求与底面所成的角的大小.（结果用反三角函数表示）【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）对三棱锥换底，换成以为顶点，为底的三棱锥，求出底面的面积和对应的高，得到所求的体积.（2）找到异面直线与所成的角，在内由余弦定理求出.（3）找出直线与底面所成的角，【详解】（1）（2），或其补角即为异面直线与所成角，在，，，，异面直线与所成角为（3）取中点，联结，且平面，平面，即为与底面所成的角，,，与底面所成的角的大小为.【点睛】本题考查三棱锥等体积转化，求异面直线所成的角，直线与平面所成的角，属于中档题. 17．如图，在正三棱柱中，是的中点，是线段上的动点，且.（1）若，求证：；（2）求二面角的余弦值；（3）若直线与平面所成角的大小为，求的最大值【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）取中点，通过线线垂直证明平面，从而得到（2）取中点，中点，联结，则即为二面角的平面角，再利用余弦定理求出其余弦值.（3）利用等体积法，求出到平面的距离及的长度，从而表示出关于的函数，求出最大值.【详解】（1）取中点，联结和，∵，为中点，又为中点，，，，同理，平面，；（2）取中点，中点，联结，则，，即为二面角的平面角，设，则，，即二面角的余弦值为（3）设，到平面的距离为，则，由等体积法，，即，可得，而，∴，当且仅当，即时，等号成立，即的最大值为.【点睛】本题考查通过线面垂直证明线线垂直，二面角的求法，以及线面角的正弦值的表示，属于中档题.18．平面图形很多可以推广到空间中去，例如正三角形可以推广到正四面体，圆可以推广到球，平行四边形可以推广到平行六面体，直角三角形也可以推广到直角四面体，如果四面体中棱两两垂直，那么称四面体为直角四面体. 请类比直角三角形中的性质给出2个直角四面体中的性质，并给出证明.（请在结论中选择1个，结论4，5中选择1个，写出它们在直角四面体中的类似结论，并给出证明，多选不得分，其中表示斜边上的高，分别表示内切圆与外接圆的半径）直角三角形直角四面体【答案】证明见解析【解析】【分析】结论1：分别表示，然后证明结论2：在中利用等面积法，表示出高，然后分别表示，再证明结论3：利用结论2中得到的的表达式，再表示出，再证明结论4：内切球的球心与四个顶点相连接，把三棱锥分成四个小的三棱锥，利用进行证明结论5：将直角四面体补形成为以为长、宽、高的长方体，再进行证明.【详解】记的面积依次为，平面与所成角依次为，点到平面的距离为分别表示内切球与外接球的半径，内切球的球心为，直角三角形直角四面体证明：设，过作，垂足为，联结，过作，垂足为，易证：，平面，则，结论1：，在中，，s；结论2：，∴。
上海市华东师范大学第二附属中学高二下学期期中考试数学试题
上海市华师大二附中高二第二学期期中数学试卷一、填空题（40分）1.向量AB 对应复数32i ，则向量BA 所对应的复数为____________. 2.复数22456zm m m m i m R ，如果z 是纯虚数，那么m ______. 3.平面的斜线与所成的角为30，那此斜线和内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值为__________.4.在长方体1111ABCDA B C D z 中，如果对角线1AC 与过点A 的相邻三个面所围成的角为,,,那么222cos coscos _________. 5.已知35z i ，则2z 的最大值为_________.6.异面直线a 与b 所成的角为50，P 为空间一点，则过P 点且与,a b 所成的角都是50的直线有_________条. 7.圆锥底面半径为10，母线长为30，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是________.8.已知集合23,n A z z i i i i n N ，1212,,B z z z z z A z A ，则集合B 中的元素共有________个.9.设12,x x 是实系数一元二次方程20axbx c 的两个根，若1x 是虚数，212x x 是实数，则24816321111112222221x x x x x x S x x x x x x __________.10.已知正方体1111ABCD A B C D 的棱长为1，在正方体的表面上与点A 距离为233的所有点形成一条曲线，则曲线的长度为_________.二、选择题（4×4=16）11.下列命题中，错误的是（A ）过平面外一点可以作无数条直线与平面平行（B ）与同一个平面所成的叫相等的两条直线必平行（C ）若直线l 垂直平面内的两条相交直线，则直线l 必垂直平面（D ）垂直于同一个平面的两条直线平行12.下列命题中，错误的是（）（A ）圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形（B ）圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个（C ）圆锥的轴截面是所有过顶点的界面中面积最大的一个（D ）当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆13.已知复数2121211,z z z z z z 满足，则有（）（A ）1021z z 且（B ）1121z z 或（C ）1121z z 且（D ）1121z z 或14.如图，正四面体ABCD 的顶点C B A ,,分别在两两垂直的三条射线Oz Oy Ox ,,上，则在下列命题中，错误的是（）（A ）ABC O 是正三棱锥（B ）直线ACDOB 平面||（C ）直线OB AD 与所成的角是045（D ）二面角A OB D 为045三、解答题（8+10+12+14）15.已知复数1z 满足1115i z i ，22z a i ，其中i 为虚数单位，a R ，若121z z z ，求实数a 的取值范围.PA AB BC,E为PD 16.如图，四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，1,2的中点.（1）求直线CE与平面ABCD所成角的大小；（2）求二面角E AC D的大小, （结果用反三角函数值表示）AB,点A到底面BCD的距离为1，E为棱BC的中点.17.如图，在正三棱锥A BCD中，5（1）求异面直线AE与CD所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）求正三棱锥A BCD的表面积.18.已知z 是实系数一元二次方程220x bx c 的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点位Re ,Im z P z z .（1）若,b c 在直线20x y 上，求证：z P 在圆1C :2211x y 上；（2）给定圆222:,,0C x m y r m r R r ，则存在唯一的线段S 满足：①若z P 在圆C 上，则,b c 在线段S 上；②若,b c 是线段S 上一点（非端点），则z P 在圆C 上，写出线段S 的表达式，并说明理由；（3）由（2）知线段s 与圆C 之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表一（表中1s 是（1）中圆1C 的对应线段）.表一线段s 与线段1s 的关系,m r 的取值或表达式s 所在直线平行于1s 所在直线s 所在直线平分线段1s 线段s 与线段1s 长度相等。
2018-2019上海大学附中高二下数学期中试题(图片版)
上海大学市北附属中学2018学年第二学期期中考试高二数学试卷（2019.4）一、填空题1、设ii z +=3，则z Im =______ 2、已知直线α平面//m ，直线n 在α内，则m 与n 所有可能的位置关系是________3、已知复数22)21()3()31(i i i z --+=，则||z =______ 4、已知R b a ∈,，且i b ai ++,2是实系数一元二次方程02=++q px x 的两个根，则pq =_______5、若1|2|≤-i z ，则复数||z 的取值范围是_________6、正四棱锥ABCD P -的底面边长为1，2=PA ，则顶点P 到底面ABCD 的距离为______7、若一圆柱的侧面积为π6，则经过圆柱的轴的截面积为______8、已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a ，点P 为线段1BC 上一点，Q 是平面ABCD 上一点，那么PQ P D +1的最小值是______二、 选择题9、0=x 是),(R y x yi x z ∈+=为纯虚数的（ ）A 、充分而不必要条件B 、必要而不充分条件C 、充要条件D 、不充分且不必要条件10、下列命题中错误的是（ ）A 、过平面α外的一点可以作无数条直线与平面α平行B 、与同一个平面所成角相等的两条直线必平行C 、若直线l 垂直于平面α内的两条相交直线，则直线l 必垂直于平面αD 、垂直于同一个平面的两条直线平行11、若b a 、为非零实数，则以下四个命题都成立： ①01≠+aa ②2222)(b ab a b a ++=+③若||||b a =，则b a ±=④若ab a =2，则b a =则对于任意非零复数b a 、，上述命题中仍为真命题的个数为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4三、解答题12、已知ABC ∆的三边分别是5,4,3===AB BC AC ，以AB 所在直线为轴将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积13、在长方体1111D C B A ABCD -中，F E 、分别是棱AB AA 、1的中点，4==BC AB ，31=AA ，求（1）EF 与11C A 所成的角（2）C A 1与平面ABCD 所成的角14、在复数集中，解方程0||2=+z z 解：0||2=+z z Θ 0)1|(|||0||||2=+=+∴z z z z ，即0,11||0||=≥+=∴z z z 解得）（又0=∴z 方程的解是请你仔细阅读上述解题过程，判断是否有错误，如果有，请指出错误之处，并写出正确的解答过程15、在空间四边形ABCD 中，BCD AB 平面⊥，︒=∠90BCD ，且1==BC AB ，3=BD （1）若AD EF BD CE ⊥⊥,，求证：CEF AD 平面⊥（2）求二面角B AD C --的大小。
2018-2019学年上海市华东师范大学第二附属中学高二3月月考数学试题 解析版
上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高二3月月考数学试题一、单选题1．对于实系数一元二次方程，在复数范围内其解是，下列结论中不正确的是（）A．若，则B．若，则且C．一定有D．一定有【答案】D【解析】【分析】实系数方程可从与0的大小关系进行分情况讨论，对选项逐一研究筛选。
【详解】选项A、B显然成立；在实数范围内韦达定理得到的选项C的结论，在复数范围内由计算可得，同样也能成立；选项D：复数范围内，故选D【点睛】在复数范围内，实系数方程的判别式时，方程的根可以通过虚数进行表示。
2．教室内有一把尺子，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线（）A．平行B．垂直C．相交D．异面【答案】B【解析】【分析】直线与平面三种位置关系，对每个选项举反例排除或证明。
【详解】解：选项A，当直尺所在直线与地面只有一个公共点时，若地面上能找出一条直线与此相平行，则直尺所在直线与地面是平行的，线面平行时，直尺所在直线与地面是没有公共点的，与条件矛盾，选项A错误选项B：直线与地面共有三种位置关系，1.直线在地面内，可以找到一条直线与已知直线垂直；2.直线与地面有一共公共点，即相交时，可以找到一条直线与已知直线垂直；3. 直线与地面平行时，可以找到一条直线与已知直线异面垂直，所以选项B正确。
选项C：当直尺所在直线与地面平行时，直尺所在直线与地面是没有公共点的，所以不可能找出一条直线与直尺所在直线相交，选项C错误选项D：当直尺所在直线在地面内时，直尺所在直线与地面上所有直线都是共面的，所以不可能找出一条直线与直尺所在直线异面，选项D错误【点睛】说明命题的错误，可试着去寻找出反例；若命题是正确的，则应用相应定理进行证明。
直线与平面的位置共有三种，对每一种情况进行具体分析求解。
3．若为非零实数，则以下四个命题都成立：①；②；③若，则；④若，则.则对于任意非零复数，上述命题中仍为真命题的个数为（）个.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】本题主要考查复数的性质，可根据复数的运算性质进行判断。
上海市高二数学下学期期中试卷含答案(共3套)
上海市华师大二附中高二第二学期期中数学试卷一、填空题（40分）1.向量AB 对应复数32i -+，则向量BA 所对应的复数为____________.2.复数()()()22456z m m m m i m R =--+--∈，如果z 是纯虚数，那么m =______. 3.平面α的斜线与α所成的角为30︒，那此斜线和α内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值为__________.4.在长方体1111ABCD A B C D -z 中，如果对角线1AC 与过点A 的相邻三个面所围成的角为,,αβγ,那么222cos cos cos αβγ++=_________.5.已知35z i -=，则2z +的最大值为_________.6.异面直线a 与b 所成的角为50︒，P 为空间一点，则过P 点且与,a b 所成的角都是50︒的直线有_________条.7.圆锥底面半径为10，母线长为30，从底面圆周上一点，绕侧面一周再回到该点的最短路线的长度是________.8.已知集合{}23,n A z z i i i i n N *==++++∈，{}1212,,B z z z z z A z A ==⋅∈∈，则集合B 中的元素共有________个. 9.设12,x x 是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，若1x 是虚数，212x x 是实数，则24816321111112222221x x x x x x S x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭__________. 10.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，在正方体的表面上与点A的所有点形成一条曲线，则曲线的长度为_________.二、选择题（4×4=16）11.下列命题中，错误的是（A ）过平面α外一点可以作无数条直线与平面α平行（B ）与同一个平面所成的叫相等的两条直线必平行（C ）若直线l 垂直平面α内的两条相交直线，则直线l 必垂直平面α（D ）垂直于同一个平面的两条直线平行12.下列命题中，错误的是（ ）（A ）圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形（B ）圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个（C ）圆锥的轴截面是所有过顶点的界面中面积最大的一个（D ）当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆13.已知复数2121211,z z z z z z -=--满足，则有（ ）（A ）1021<<z z 且 （B ）1121<<z z 或（C ）1121==z z 且 （D ）1121==z z 或14.如图，正四面体ABCD 的顶点C B A ,,分别在两两垂直的三条射线Oz Oy Ox ,,上，则在下列命题中，错误的是（ ）（A ）ABC O -是正三棱锥（B ）直线ACD OB 平面||（C ）直线OB AD 与所成的角是045（D ）二面角A OB D --为045三、解答题（8+10+12+14）15.已知复数1z 满足()1115i z i +=-+，22z a i =--，其中i 为虚数单位，a R ∈，若121z z z -<，求实数a 的取值范围.16.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，1,2PA AB BC ===,E 为PD 的中点.（1）求直线CE 与平面ABCD 所成角的大小；（2）求二面角E AC D --的大小, （结果用反三角函数值表示）17.如图，在正三棱锥A BCD -中，AB =点A 到底面BCD 的距离为1，E 为棱BC 的中点.（1）求异面直线AE 与CD 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）求正三棱锥A BCD -的表面积.18.已知z 是实系数一元二次方程220x bx c ++=的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点位()Re ,Im z P z z .（1）若(),b c 在直线20x y +=上，求证：z P 在圆1C :()2211x y -+=上； （2）给定圆()()222:,,0C x m y r m r R r -+=∈>，则存在唯一的线段S 满足：①若z P 在圆C 上，则(),b c 在线段S 上；②若(),b c 是线段S 上一点（非端点），则z P 在圆C 上，写出线段S 的表达式，并说明理由；（3）由（2）知线段s 与圆C 之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表一（表中1s 是（1）中圆1C 的对应线段）.上海市高二下学期期中数学卷一. 填空题1. 在正方体1111ABCD A BC D -中，异面直线1A B 与AD 所成的角大小为 2. 已知向量2(3,2,3)a x =+，(4,2,)b x x =-，若a b ⊥，则实数x 的值是3. 球的表面积为216cm π，则球的体积为 3cm4. 一条直线a 上的3个点A 、B 、C 到平面M 的距离都为1，这条直线和平面的关系是5. 正四面体侧面与底面所成二面角的余值6. 圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，则圆柱的侧面积为7. 如图是三角形ABC 的直观图，ABC ∆平面图形是（填正三角形、锐角三角形、钝角三角形、直角三角形或者等腰三角形）8. 把地球看作是半径为R 的球，A 点位于北纬30°，东经20°，B 点位于北纬30°，东经80°，求A 、B 两点间的球面距离 （结果用反三角表示）9. 下列命题（1）n 条斜线段长相等，则它们在平面内的射影长也相等；（2）直线a 、b 不在平面α内，它们在平面α内的射影是两条平行直线，则a ∥b ；（3）与同一平面所成的角相等的两条直线平行；（4）一条直线与一个平面所成的角是θ，那么它与平面内任何其它直线所成的角都不小于θ；其中正确的命题题号是10. 由曲线22x y =、22x y =-、2x =、2x =-围成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为1V ，满足224x y +≤、22(1)1x y +-≥、22(1)1x y ++≥的点组成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为2V ，试写出1V 与2V 的一个关系式11. 如图，空间四边形OABC 中，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，分MN 所成的定比为2，OG xOA yOB zOC =++，则x 、y 、z 的值分别为12. 如图，1111ABCD A BC D -是棱长为1的正方体，任作平面α与对角线1AC 垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l 的范围分别是 、 （用集合表示）二. 选择题13. 已知m 、n 为异面直线，m ⊂平面α，n ⊂平面β，l αβ=，则l （ ）A. 与m 、n 都相交B. 与m 、n 至少一条相交C. 与m 、n 都不相交D. 至多与m 、n 中的一条相交14. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. 83π B. 3π C. 103π D. 6π 15. 连结球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：① 弦AB 、CD 可能相交于点M ；② 弦AB 、CD 可能相交于点N ；③MN的最大值为5；④MN 的最小值为1；其中真命题的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个16. 四棱锥P ABCD -底面为正方形，侧面PAD 为等边三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，点M 在底面正方形ABCD 内运动，且满足MP MC =，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹一定是（ ）A B C D三. 简答题17. 直三棱柱111ABC A B C -的底面为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，1AA =E 、F 分别是BC 、1AA 的中点，求：（1）EF 与底面所成角的大小；（2）异面直线EF 和1A B 所成角的大小；18. 图1是某储蓄罐的平面展开图，其中90GCD EDC F ∠=∠=∠=︒，且AD CD DE CG ===，FG FE =，若将五边形CDEFG 看成底面，AD 为高，则该储蓄罐是一个直五棱柱；（1）图2为面ABCD 的直观图，请以此为底面将该储蓄罐的直观图画完整；（2）已知该储蓄罐的容积为31250V cm =，求制作该储蓄罐所需材料的总面积S （精确到整数位，材料厚度，接缝及投币口的面积忽略不计）19. 如图，在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，4AB =，18AA =； （1）求异面直线1B C 与11AC 所成角的大小；（用反三角函数形式表示） （2）若E 是线段1DD 上（不包含线段的两端点）的一个动点，请提出一个与三棱锥体积有关的数学问题（注：三棱锥需以点E 和已知正四棱柱八个顶点中的三个为顶点构成），并解答所提出的问题；20. 如图，在底面是菱形的四棱锥P ABCD -中，60ABC ∠=︒，PA AC a ==，PB PD ==，点E 在PD 上，且:2:1PE ED =；（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）在棱PB 上是否存在一点F ，使三棱锥F ABC -是正三棱锥？证明你的结论；（3）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小；21. 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆；（1）求圆锥的母线与底面所成的角；（2）过底面中心1O 且平行于母线AB 的截平面，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为p 的抛物线，求圆锥的全面积；（3）过底面点C 作垂直且于母线AB 的截面，若截面与圆锥侧面的交线是长轴为2a 的椭 圆，求椭圆的面积（椭圆22221x y a b+=的面积S ab π=）；参考答案一. 填空题 1. 2π 2. 2或3- 3. 323π 4. 平行 5. 136. 4π7. 直角三角形8. 5arccos 8R 9.（4） 10. 12V V =11. 16x =，13y z == 12. ，二. 选择题13. B 14. B 15. C 16. B三. 解答题17.（1）4π；（2）6π. 18.（1）略；（2）691.19.（1）（2）略. 20.（1）略；（2）6π.21.（1）3π；（2）212p π；（3上海市高二（下）期中数学试卷一.填空题1．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD所成的角大小为．2．已知向量，，若，则实数x的值是．3．球的表面积为16πcm2，则球的体积为cm3．4．一条直线a上的3个点A、B、C到平面M的距离都为1，这条直线和平面的关系是．5．正四面体侧面与底面所成二面角的余值．6．圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，则圆柱的侧面积为．7．如图是三角形ABC的直观图，△ABC平面图形是（填正三角形、锐角三角形、钝角三角形、直角三角形或者等腰三角形）8．把地球看作是半径为R的球，A点位于北纬30°，东经20°，B点位于北纬30°，东经80°，求A、B两点间的球面距离（结果用反三角表示）9．下列命题：（1）n条斜线段长相等，则它们在平面内的射影长也相等；（2）直线a、b不在平面α内，它们在平面α内的射影是两条平行直线，则a∥b；（3）与同一平面所成的角相等的两条直线平行；（4）一条直线与一个平面所成的角是θ，那么它与平面内任何其它直线所成的角都不小于θ；其中正确的命题题号是．10．由曲线x2=2y，x2=﹣2y，x=2，x=﹣2围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V1；满足x2+y2≤4，x2+（y﹣1）2≥1，x2+（y+1）2≥1的点组成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V2，试写出V1与V2的一个关系式．11．如图，空间四边形OABC中，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，分所成的定比为2，，则x、y、z的值分别为．12．如图，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为1的正方体，任作平面α与对角线AC1垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l的范围分别是、（用集合表示）二.选择题13．已知m，n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，α∩β=l，则l（）A．与m，n都相交B．与m，n中至少一条相交C．与m，n都不相交D．至多与m，n中的一条相交14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．3πC．D．6π15．连接球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于、，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB、CD可能相交于点M；②弦AB、CD可能相交于点N；③MN的最大值为5；④MN的最小值为1其中真命题的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个16．四棱锥P﹣ABCD底面为正方形，侧面PAD为等边三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，点M 在底面正方形ABCD内运动，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹一定是（）A．B．C．D．三.简答题17．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=2，E、F 分别是BC、AA1的中点．求：（Ⅰ）FE与底面所成角的大小；（Ⅱ）异面直线EF和A1B所成角的大小．18．图1是某储蓄罐的平面展开图，其中∠GCD=∠EDC=∠F=90°，且AD=CD=DE=CG，FG=FE．若将五边形CDEFG看成底面，AD为高，则该储蓄罐是一个直五棱柱．（1）图2为面ABCD的直观图，请以此为底面将该储蓄罐的直观图画完整；（2）已知该储蓄罐的容积为V=1250cm3，求制作该储蓄罐所需材料的总面积S（精确到整数位，材料厚度、接缝及投币口的面积忽略不计）．19．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，AA1=8．（1）求异面直线B1C与A1C1所成角的大小；（用反三角函数形式表示）（2）若E是线段DD1上（不包含线段的两端点）的一个动点，请提出一个与三棱锥体积有关的数学问题（注：三棱锥需以点E和已知正四棱柱八个顶点中的三个为顶点构成）；并解答所提出的问题．20．如图，在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=a，点E在PD上，且PE：ED=2：1；（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）在棱PB上是否存在一点F，使三棱锥F﹣ABC是正三棱锥？证明你的结论；（3）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小．21．已知圆锥的侧面展开图是一个半圆；（1）求圆锥的母线与底面所成的角；（2）过底面中心O1且平行于母线AB的截平面，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为p的抛物线，求圆锥的全面积；（3）过底面点C作垂直且于母线AB的截面，若截面与圆锥侧面的交线是长轴为2a的椭圆，求椭圆的面积（椭圆的面积S=πab）．上海市高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD所成的角大小为．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】推导出AD⊥平面ABB1A1，从而AD⊥A1B，由此能示出异面直线A1B与AD所成的角大小．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵AD⊥平面ABB1A1，A1B⊂平面ABB1A1，∴AD⊥A1B，∴异面直线A1B与AD所成的角大小为．故答案为：．2．已知向量，，若，则实数x的值是4或﹣1．【考点】M6：空间向量的数量积运算．【分析】根据向量垂直，数量积为0，得到关于x 的方程解之即可．【解答】解：因为向量，，，所以3（x﹣4）+2（x2+2）+3x=0整理得到x2+3x﹣4=0，解得x=4或﹣1．故答案为：4或﹣1．3．球的表面积为16πcm2，则球的体积为cm3．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】先根据球的表面积公式求出球的半径，然后根据球的体积公式求出体积即可．【解答】解：∵球的表面积为16πcm2，∴S=4πR2=16π，即R=2∴V==×8=故答案为：4．一条直线a上的3个点A、B、C到平面M的距离都为1，这条直线和平面的关系是平行．【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】假设直线a与平面α相交，则必有两点在平面同一侧，得出线面平行的矛盾．【解答】解：假设直线a与平面α相交，则A，B，C三点中必有两个点在平面α同一侧，不妨设为A，B，过A，B分别作平面α的垂线，垂足为M，N，则AM∥BN，AM=BN，∴四边形AMNB是平行四边形，∴AB∥MN，又MN⊂α，AB⊄α，∴AB∥α，这与假设直线a与平面α相交矛盾，故假设错误，于是直线a与平面α平行．故答案为：平行．5．正四面体侧面与底面所成二面角的余值．【考点】MT：二面角的平面角及求法．【分析】不妨设正四面体为A﹣BCD，取CD的中点E，连接AE，BE，设四面体的棱长为2，则AE=BE=，且AE⊥CD，BE⊥CD，则∠AEB即为侧面与底面所成二面角的平面角．在△ABE中，利用余弦定理求解【解答】解：不妨设正四面体为A﹣BCD，取CD的中点E，连接AE，BE，设四面体的棱长为2，则AE=BE=，且AE⊥CD，BE⊥CD，则∠AEB即为侧面与底面所成二面角的平面角．在△ABE中，cos∠AEB=，∴正四面体侧面与底面所成二面角的余弦值是．故答案为：．6．圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，则圆柱的侧面积为4π．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】根据圆柱的结构特征可知底面半径和高，代入侧面积公式计算即可．【解答】解：∵圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，∴圆柱的底面半径r=1，高h=2，∴圆柱的侧面积S=2πrh=2π×1×2=4π．故答案为：4π．7．如图是三角形ABC的直观图，△ABC平面图形是直角三角形（填正三角形、锐角三角形、钝角三角形、直角三角形或者等腰三角形）【考点】LB：平面图形的直观图．【分析】根据斜二侧画法，∠x′O′y′=135°，直接判断△ABC的直观图是直角三角形．【解答】解：由斜二测画法，∠x′O′y′=135°，知△ABC直观图为直角三角形，如图；故答案为：直角三角形．8．把地球看作是半径为R的球，A点位于北纬30°，东经20°，B点位于北纬30°，东经80°，求A、B两点间的球面距离R•arccos（结果用反三角表示）【考点】HV：反三角函数的运用．【分析】设北纬30°纬线圈所在圆的圆心为O1，半径为r，则r=R，且△AO1B为等边三角形，即AB=R；△AOB中，由余弦定理求得∠AOB的值，利用弧长共公式求得A、B两点间的球面距离．【解答】解：设北纬30°纬线圈所在圆的圆心为O1，半径为r，则r=R•cos30°=R，根据A点位于北纬30°，东经20°，B点位于北纬30°，东经80°，可得∠AO1B=60°，∴△AO1B为等边三角形，即AB=r=R．△AOB中，由余弦定理可得AB2=R2=R2+R2﹣2R2•cos∠AOB，求得cos∠AOB=，∴∠AOB=arccos，∴A、B两点间的球面距离=R•∠AOB=R•arccos，故答案为：R•arccos．9．下列命题：（1）n条斜线段长相等，则它们在平面内的射影长也相等；（2）直线a、b不在平面α内，它们在平面α内的射影是两条平行直线，则a∥b；（3）与同一平面所成的角相等的两条直线平行；（4）一条直线与一个平面所成的角是θ，那么它与平面内任何其它直线所成的角都不小于θ；其中正确的命题题号是（4）．【考点】MI：直线与平面所成的角．【分析】由空间中直线与平面的位置关系结合线面角逐一判断（1）、（2）、（3）错误；画图分类证明（4）正确．【解答】解：对于（1），当n条斜线段与平面所成角不等时，斜线段长相等，它们在平面内的射影长不相等，故（1）错误；对于（2），直线a、b不在平面α内，它们在平面α内的射影是两条平行直线，则a∥b或a 与b异面，故（2）错误；对于（3），与同一平面所成的角相等的两条直线位置关系有平行、相交或异面，故（3）错误；对于（4），当直线在平面内或与平面平行时，直线与平面所成角为0°角，平面内所有直线与该直线所成角都大于等于0°；当直线与平面垂直时，直线与平面所成角为90°，平面内所有直线与该直线所成角都等于90°；当直线为平面的斜线OA时，如图，过A作AB⊥α，垂足为B，则直线与平面所成角为∠AOB=θ，若平面内直线l与OB平行（或是OB），l与OA所成角为θ；若l与OB不平行，平移直线l过O，过B作BC⊥l=C，连接AC，l与OA所成角为∠AOC，∵sinθ=，sin∠AOC=，而AC＞AB，∴sin∠AOC＞sin∠θ，有∠AOC＞∠θ，故（4）正确．综上，正确命题的序号是（4）．故答案为：（4）．10．由曲线x2=2y，x2=﹣2y，x=2，x=﹣2围成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V1；满足x2+y2≤4，x2+（y﹣1）2≥1，x2+（y+1）2≥1的点组成的图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为V2，试写出V1与V2的一个关系式V1=V2．【考点】6M：用定积分求简单几何体的体积．【分析】根据题意，设截面与原点距离为|y|，分别求出s1与s2，进而由祖暅原理可得答案．【解答】解：设截面与原点距离为|y|，所得截面面积S1=π（22﹣2|y|）S2=π（4﹣y2）﹣π[1﹣（|y|﹣1）2]=π（22﹣2|y|），∴S1=S2，由祖暅原理知，两个几何体体积相等，即V1=V2．故答案为：V1=V2．11．如图，空间四边形OABC中，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，分所成的定比为2，，则x、y、z的值分别为，，．【考点】M2：空间向量的基本定理及其意义．【分析】根据=，=，=，=，=，代入计算即可得出．【解答】解：∵=，=，=，=，=，∴=+．∴，．故答案为：，，．12．如图，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为1的正方体，任作平面α与对角线AC1垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l的范围分别是[，] 、{3} （用集合表示）【考点】L2：棱柱的结构特征．【分析】由线面垂直的性质可知截面多边形的边与所在正方形的对角线平行，利用相似比即可得出截面周长为定值，再根据对称性和基本不等式得出面积的最值．【解答】解：连结A1B，A1D，BD，则AC1⊥平面A1BD，∴AC1⊥A1B设平面α与平面ABB1A1的交线为EF，则AC1⊥EF，∴EF∥A1B，同理可得平面α与其他各面的交线都与此平面的对角线平行，设=λ，则=B1E=λ，∴=1﹣λ，∴EF+DE=λ+（1﹣λ）=，同理可得六边形其他相邻两边的和为，∴六边形的周长l为定值3．∴当六边形的边长相等即截面为正六边形时，截面面积最大，最大面积为=，当截面为正三角形时，截面面积最小，最小面积为=．故答案为：，．二.选择题13．已知m，n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，α∩β=l，则l（）A．与m，n都相交B．与m，n中至少一条相交C．与m，n都不相交D．至多与m，n中的一条相交【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】由异面直线的定义和画法知，异面直线必须满足既不平行又不相交，即l与m，n中至少一条相交；当l与m，n都不相交时有m∥n．【解答】解：由题意，l与m，n都相交且交点不重合时，m，n为异面直线；若l与m相交且与n平行时，m，n为异面直线；若l与m，n都不相交时，又因m⊂α，l⊂α，所以l∥m，同理l∥n，则m∥n．故选B．14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．3πC．D．6π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为：=3π．故选B．15．连接球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于、，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB、CD可能相交于点M；②弦AB、CD可能相交于点N；③MN的最大值为5；④MN的最小值为1其中真命题的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】L*：球面距离及相关计算．【分析】根据题意，由球的弦与直径的关系，判定选项的正误，然后回答该题．【解答】解：因为直径是8，则①③④正确；②错误．易求得M、N到球心O的距离分别为3、2，若两弦交于N，则OM⊥MN，Rt△OMN中，有OM＜ON，矛盾．当M、O、N共线时分别取最大值5最小值1．故选C．16．四棱锥P﹣ABCD底面为正方形，侧面PAD为等边三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，点M 在底面正方形ABCD内运动，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹一定是（）A．B．C．D．【考点】J3：轨迹方程；LZ：平面与平面垂直的性质．【分析】先确定轨迹是2个平面的交线，PC的中垂面α和正方形ABCD的交线，再确定交线的准确位置，即找到交线上的2个固定点．【解答】解：∵MP=MC，∴M在PC的中垂面α上，点M在正方形ABCD内的轨迹一定是平面α和正方形ABCD的交线，∵ABCD为正方形，侧面PAD为等边三角形，∴PD=CD，取PC的中点N，有DN⊥PC，取AB中点H，可证CH=HP，∴HN⊥PC，∴点M在正方形ABCD内的轨迹一定是HD．故答案选B．三.简答题17．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=2，E、F 分别是BC、AA1的中点．求：（Ⅰ）FE与底面所成角的大小；（Ⅱ）异面直线EF和A1B所成角的大小．【考点】MI：直线与平面所成的角；LM：异面直线及其所成的角．【分析】（Ⅰ）由已知可得FA⊥平面ABC，可得∠FEA即为FE与底面所成角，由等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，E为BC的中点可求AE，在Rt△AEF中求解即可（Ⅱ）由E，F都为中点，考虑取AB的中点G，则可得FG∥BA1，从而有∠GFE即为异面直线EF和A1B所成角（或补角）分别求解FE，EG，FG，从而可求【解答】解：（Ⅰ）连接FE，由已知可得FA⊥平面ABC∴∠FEA即为FE与底面所成角∵等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=2，E为BC的中点∴AE=∵△AEF中AF=，AE=∴∠AEF=45°即FE与底面所成角45°（Ⅱ）取AB的中点G，连接FG，EG则可得FG∥BA1所以∠GFE即为异面直线EF和A1B所成角（或补角）由（Ⅰ）可得FE=2，为FG=，EG=1所以可得∠GFE=30°异面直线EF和A1B所成角的大小为30°18．图1是某储蓄罐的平面展开图，其中∠GCD=∠EDC=∠F=90°，且AD=CD=DE=CG，FG=FE．若将五边形CDEFG看成底面，AD为高，则该储蓄罐是一个直五棱柱．（1）图2为面ABCD的直观图，请以此为底面将该储蓄罐的直观图画完整；（2）已知该储蓄罐的容积为V=1250cm3，求制作该储蓄罐所需材料的总面积S（精确到整数位，材料厚度、接缝及投币口的面积忽略不计）．【考点】L@：组合几何体的面积、体积问题．【分析】（1）根据储蓄罐的平面展开图，直接画出储蓄罐的直观图即可．（2）设AD=a，求出五边形CDEFG的面积，利用几何体的体积，求出a，然后求出几何体的表面积．【解答】解：（1）该储蓄罐的直观图如右图所示．（2）若设AD=a，则五边形CDEFG的面积为，得容积，解得a=10，其展开图的面积，因此制作该储蓄罐所需材料的总面积约为691cm2．19．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，AA1=8．（1）求异面直线B1C与A1C1所成角的大小；（用反三角函数形式表示）（2）若E是线段DD1上（不包含线段的两端点）的一个动点，请提出一个与三棱锥体积有关的数学问题（注：三棱锥需以点E和已知正四棱柱八个顶点中的三个为顶点构成）；并解答所提出的问题．【考点】LM：异面直线及其所成的角；L3：棱锥的结构特征；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（1）连接AC、AB1，易知∠B1CA为异面直线B1C与A1C1所成角，在△B1CA中利用余弦定理解之即可即可求出异面直线B1C与A1C1所成角的大小；（2）本小题是开放题，第一种：提出问题：证明三棱锥E﹣B1BC的体积为定值，根据三棱锥E﹣B1BC与三棱锥D﹣B1BC同底等高可得结论．第二种：提出问题：三棱锥E﹣ADC的体积在E点从点D运动到D1过程中单调递增，根据三随着DE增大而增大可得结论．棱锥E﹣ADC的体积与DE成正比，可知V E﹣ADC【解答】解：（1）如图，连接AC、AB1，由，知A1ACC1是平行四边形，则，所以∠B1CA为异面直线B1C与A1C1所成角．﹣﹣﹣﹣﹣在△B1CA中，，，则，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）若学生能提出一些质量较高的问题，则相应给，有解答的再给．而提出一些没有多大价值的问题则不给分．若提出的问题为以下两种情况，可以相应给分．第一种：提出问题：证明三棱锥E﹣B1BC的体积为定值．﹣﹣﹣﹣﹣问题解答：如图，因为DD1∥平面B1BCC1，所以D1D上任意一点到平面B1BCC1的距离相等，因此三棱锥E﹣B1BC与三棱锥D﹣B1BC同底等高，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣而，所以三棱锥E﹣B1BC的体积为定值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣说明：1）若提出的问题为求三棱锥E﹣B1BC的体积，则根据上述解答相应给分．2）若在侧面B1BCC1上任取三个顶点，与点E构成三棱锥时，结论类似，可相应给分．若在侧面A1ABB1上任取三个顶点，与点E构成三棱锥时，结论类似，可相应给分．第二种：提出问题：三棱锥E﹣ADC的体积在E点从点D运动到D1过程中单调递增．﹣﹣﹣﹣﹣为定值，问题解答：因为，知S△ADC随着DE增大而增大，又因为DE∈（0，8），则三棱锥E﹣ADC的体积与DE成正比，可知V E﹣ADC﹣﹣﹣﹣即三棱锥E﹣ADC的体积在E点从点D运动到D1过程中单调递增．﹣﹣﹣﹣﹣说明：1）若提出的问题是求三棱锥E﹣ADC的体积范围，也可相应给分．=8，而，DE∈（0，8），﹣﹣﹣﹣解答：因为S△ADC则．﹣﹣﹣﹣．2）若在底面ABCD上任取三个顶点，与点E构成三棱锥时，结论类似，可相应给分．若在底面A1B1C1D1上任取三个顶点，与点E构成三棱锥时，结论类似（单调递减），可相应给分．20．如图，在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=a，点E在PD上，且PE：ED=2：1；（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）在棱PB上是否存在一点F，使三棱锥F﹣ABC是正三棱锥？证明你的结论；（3）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的大小．【考点】MT ：二面角的平面角及求法；LW ：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由已知求解三角形可得PA ⊥AB 、PA ⊥AD ．再由线面垂直的判定得PA ⊥平面ABCD ；（2）直接利用反证法证明在棱PB 上不存在点F ，使三棱锥F ﹣ABC 是正三棱锥；（3）作EG ∥PA 交AD 于G ，由PA ⊥平面ABCD ，知EG ⊥平面ABCD ，作GH ⊥AC 于点H ，连接EH ，则EH ⊥AC ，可得∠EHG 为二面角E ﹣AC ﹣D 的平面角，然后求解直角三角形得EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小．【解答】（1）证明：∵底面ABCD 是菱形，∠ABC=60°， ∴AB=AD=AC=a ．在△PAB 中，由PA=AB=a ，知PA 2+AB 2=2a 2=PB 2，则PA ⊥AB ． 同理PA ⊥AD ．又AB ∩AD=A ，∴PA ⊥平面ABCD ；（2）解：在棱PB 上不存在点F ，使三棱锥F ﹣ABC 是正三棱锥． 事实上，假设在棱PB 上存在点F ，使三棱锥F ﹣ABC 是正三棱锥． 过F 作底面ABC 的垂线，垂直为O ，则O 为△ABC 的中心， 在平面PAB 内，过F 作FM ∥PA ，交AB 于M ，则FM ⊥平面PAB ，这样，过平面ABC 外一点F ，有两条直线FO ，FM 与平面ABC 垂直，错误． 故假设不成立，即在棱PB 上不存在点F ，使三棱锥F ﹣ABC 是正三棱锥．（3）解：作EG ∥PA 交AD 于G ，由PA ⊥平面ABCD ，知EG ⊥平面ABCD ，作GH ⊥AC 于点H ，连接EH ，则EH ⊥AC ，∴∠EHG 为二面角E ﹣AC ﹣D 的平面角，大小为θ． ∵PE ：ED=2：1，∴a ，AG=a ，a ．从而，即．。