《猜想、证明与拓广》樊丹子---说课分解
证明、猜想、拓广[原创]
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证明、猜想、拓广--------记北师大版九年级数学(上)中的课题探究问题：是否存在一个矩形，其周长和面积都是已知矩形周长和面积的若干倍。
探究过程：从学生熟悉的简单情形出发，引导学生逐步思考一个个看似简单但又颇具有挑战性的问题，不断经历猜想、判断以及综合运用二次方程，方程组、不等式、函数等知识，在做中学，体验用数学的眼光观察整个世界，用数学的方式来解决实际问题，这个课题学习是一个开放性，研究性的课题，主要意图是提供一个思考、探究的平台，在活动中体现归纳、综合与拓广，感悟处理问题的策略和方法，积累数学活动的经验。
一、 任意给定一个正方形，是否一定存在另一个正方形，使得其周长和面积都是原来的2倍？猜想，证明，并拓广。
猜想：任意给定一个正方形，一定不存在另一个正方形，使得其周长和面积都是原来的2倍。
证明：如图1所示，设原来正方形边长为a 。
则原来正方形的周长C 1=4a ，面积S 1=a 2，那么新正方形的边长必定是2a ，新正方形的周长C 2=8a ，面积S 2=4a 2，但此时2221S 4a 42S a ==≠所以，原猜想正确。
评注：本猜想的证明还可以固定新正方形的面积是原正方形面积的2倍；也可以利用相似形的知识来证明，若新正方形周长与原来正方形周长的比为21C 2C =，则其相似比k=2，因此，新正方形面积与原正方形面积比为221S k 42S ==≠；等等。
拓广：1． 任意一个正多边形，一定不存在另一个正多边形，使得其周长和面积都是原来的n 倍(n ≠1)；2． 任意给定一个圆，琔 不存在另一个圆，使得其周长和面积都是的n 倍(n ≠1)；二、 任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，使得其周长和面积都是原来的2倍？猜想，证明，并拓广。
猜想：任意给定一个矩形，一定存在另一个矩形，使得其周长和面积都是原来的2倍？(简称加倍矩形)证明：如图2所示，设原来矩形的长和宽分别为a ，b(a>b)，新矩形的长为x ，则由新矩形的周长是原来矩形周长的2倍，新矩形的宽为2a+2b-x 。
课题学习猜想证明与拓广
课题学习：猜想证明与拓广【教材的章节、页码】北师大新世纪教材九年级上学期第五章《反比例函数》第六节《课题学习：猜想、证明与拓广》第150页。
【Z+Z版本】Z+Z智能教育平台新世纪版八上【使用环境】学生在网络教室操作。
【教学目的】使学生能通过课件拓展看问题的角度，达到课题学习的目的：综合运用数学知识，在解决问题的过程中综合运用所学知识，体会数学知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识。
提高用数形结合的方法从不同角度思考问题的能力。
【课件特点】兼备展示性和学生可操作性的课件，即可以利用“广播教学”向全体学生展示新矩形的产生和发展过程，及函数图象的生成过程。
又可以让每一个学生获得亲自操作的机会，学生甚至可以当堂作出相应的函数图象以解决其它特殊值的问题。
拖动变量滑块，还可以清晰的观察减半矩形的存在是有条件的。
【案例】师：我们可以先固定矩形的面积为4，观察并拖动屏幕中的矩形，其周长能达到12吗？生：边思考边操作，面积为4的矩形，其周长可以为12。
师：那么这个矩形的长与宽之间有什么关系呢？我们以长为横坐标、宽为纵坐标，追踪一下看看生：形成了一条双曲线师：你想知道符合条件的长与宽决定的是哪一个点吗？再看将矩形的周长固定，图中出现了什么？生：出现了一条直线生：符合条件的点就是直线与双曲线的交点。
师：这样我们就可以从另一个角度来解决这个问题了，它体现了数形结合的思想。
你能提出类似的问题并加以解决吗？生：我们可以研究三倍矩形的存在性师：说的好，同学们打算怎样解决这个问题啊？生：我可以在Z+Z里直接作出特殊值所对应的函数图象，看看有没有交点就行了。
【设计思路】首先，通过事先作好的课件动态展示新矩形的形状变化过程，让学生通过亲自操纵鼠标边观察数据的变化，边观察矩形的形状变化，能够真切的感受到数与形的结合其次，利用数据追踪生成函数图象功能，先用两动点的横、纵坐标表示两矩形的长、宽的数值，再跟踪动点运动的每一个位置，渐渐生成了直线和双曲线的函数图象，这样可以直观的展示出两函数图象的交点，再次从“形数结合”的角度解决该课题研究的内容；最后，在知识的拓广部分研究三倍矩形的存在性时，有些学生就直接利用Z+Z画函数图象的功能，在几秒钟内完成两个函数图象交点存在性的研究，从而解决了三倍矩形的存在性问题。
北师大版九年级(上)猜想证明与拓广教学设计
北师大版九年级（上）猜想、证明与拓广教学设计吕永芳一、内容解析课题学习是初中数学四大领域之一的重要内容，课题学习设计的意图是为了将前面某领域内所学知识进行综合，加深知识间的理解水平，或在数学内部不同领域间建立起联系，或把数学内容与其它学科内容沟通在一起，建立起数学与其它学科的联系。
本节课是北师大版九年级（上）的课题学习《猜想、证明与拓广》的第1课时，它是在学生已经学完证明（二）、证明（三）及一元二次方程和反比例函数的基础上设计的开放性、研究性的课题，主要意图是给学生提供一个思考、研究的平台，在活动中体会和把握猜想、证明与拓广的数学化思维模式，将数学最本质的东西——思想和方法进行汇总和梳理，同时感悟处理问题的策略和方法，积累数学活动经验。
因此本节课是数学学习中非常重要的一节思维训练课。
二、目标与目标解析1、教学目标：（1）经历猜想、证明与拓广的过程，掌握猜想、证明与拓广的方法，培养问题意识和自主探索的能力，获得探索和发现的体验；（2）在问题解决过程中综合运用所学知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体认识；（3）在探索过程中，感受由特殊到一般、数形结合的思想方法，体会证明的必要性；（4）在合作交流过程中扩展思路，发展学生的推理能力，培养团队合作精神。
2、目标解析：本课题学习整体上是一个开放性、研究性的课题，教学设计依照数学化的进程展开，在围绕“是否存在与已知图形的周长和面积同时倍增的图形”的一系列问题展开的，学生在经历这些问题的探索中加深对数学的领悟，教学实施中对问题的思考以自然的、启发性的方式进行探究，从中学习并感受数学知识的发生历程，其蕴含的“问题情境→猜想→验证→发现规律→证明→拓广”这一数学模式及由特殊到一般、数形结合的思想方法是学生应重点把握的。
本课题学习的目的不在于对某个具体问题的解决，而在于对猜想、证明与拓广能力的培养，因此如何在教学实施中使学生学会猜想，学会证明，学会拓广是本节课的教学重点更是难点，为此我在教学设计中将通过在学生经历猜想、证明与拓广的每一阶段后及时进行反思提炼，总结方法来培养学生猜想、证明与拓广的能力。
课题学习：猜想、证明与拓广
x(1.5-x)=1 x2-1.5x+1=0 ∵△= -1.75<0 这样的矩形不存在. ∴这样的矩形不存在
问题5:已知矩形的长和宽分别为 和 , 问题 :已知矩形的长和宽分别为6和1,是 否存在另一个矩形, 否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是 已知矩形周长和面积的一半? 已知矩形周长和面积的一半?
问题2:已知矩形的长和宽分别为 和 , 问题 :已知矩形的长和宽分别为2和1,是 否存在另一个矩形, 否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是 已知矩形周长和面积的2倍 已知矩形周长和面积的 倍?
超级链接
分析:设所求矩形的长为 , 分析:设所求矩形的长为x, 则宽为(6-x),列方程 则宽为 ,
x(6-x)=4
答:所求矩形的长和宽分别为
n + m + n + m 和n + m n + m
2 2 2
2
问题4:已知矩形的长和宽分别为 和 , 问题 :已知矩形的长和宽分别为2和1,是 否存在另一个矩形, 否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是 已知矩形周长和面积的一半? 已知矩形周长和面积的一半?
超级链接
分析:设所求矩形的长为 , 分析:设所求矩形的长为x, 则宽为(1.5-x),列方程 则宽为 ,
x(8-x)=6
解得: 解得:
x=
4 ± 10
讨论:当已知矩形的长和宽分别为n和1时, 讨论:当已知矩形的长和宽分别为 和 时 是否存在另一个矩形, 是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别 是已知矩周长和面积的2倍 是已知矩周长和面积的 倍?
答:所求矩形的长和宽分别为
讨论:已知矩形的长和宽分别为 和 时 讨论:已知矩形的长和宽分别为n和m时,是 否存在另一个矩形, 否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是 已知矩周长和面积的2倍 已知矩周长和面积的 倍?
《猜想、证明与拓广》樊丹子---说课16页PPT
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
猜想、证明与拓广 说课稿
《猜想、证明与拓广》（第1课时）说课稿设计理念：创造性地使用教材，改变课本因过多重复计算而显得枯燥无味的局面，摆脱教材编写模式的束缚，增强课堂过程的趣味性；通过对教材内容的提炼和重组，精心设计可操作性强、开放性适度的活动项目，体会实验活动和归纳的局限性以及证明推理的必要性。
让学生在愉快的活动中学习，实现数学活动人人参与，“不同的人在数学上得到不同的发展”的新课标理念。
一、说教材1．教材的地位和作用《猜想、证明与拓广》是北师大版九年级上册课题学习的内容，本课是在学生学习了一元二次方程、证明（二）、证明（三）、反比例函数的基础上，围绕着中心课题——图形的周长和面积“倍增”（以下简称图形“倍增”），通过一系列具体问题逐渐展开，其主要意图是引导学生通过自主探索活动，综合运用已学的数学知识，体验处理问题的策略和方法，提高解决问题的能力。
2．学情分析在本节课之前，学生已经学习了“方程（组）”、“函数”“反证法”等知识，也学习过从特殊到一般的思想方法，掌握了类比，转化的思想。
3．教学目标(一)教学知识点探索“任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍”的议题.(二)能力训练要求1．经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索的意识。
2．在问题解决的过程中综合运用所学知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识。
3．在探究过程中，感受由特殊到一般、形数结合的思想方法，体会证明的必要性。
4．在合作交流中扩展思路，发展学生的推理能力。
(三)情感与价值观要求1．积极参与数学活动，积极思考并与同学合作交流.2．获得成功的体验和克服困难的经历，增强运用数学的信心.根据新课程下创建高效课堂理念，让学生在经历探索过程中培养交流合作意识，提升解决问题的能力，从而更利于学生理解数学知识，获得发展。
结合本课内容，我认为重点是：探究“任意给定一个矩形.是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍”，从而获得解决问题的方法和途径。
北师大版数学九年级上册阅读与思考猜想、证明与拓广优秀教学案例
在作业小结环节，我会布置相关的作业和练习题，让学生进行巩固和应用。我会提醒学生注意作业的完成要求和时间安排，并鼓励他们积极思考和解决问题。同时，我会对学生的作业进行及时的批改和反馈，给予他们鼓励和指导，帮助他们提高解题能力和学习效果。
五、案例亮点
1.情境创设：本案例通过引入具体案例和实际问题，激发了学生的学习兴趣和动力。这种情境创设的方式使得学生能够更好地理解和感受到数学与生活的紧密联系，增强了学生的学习兴趣和积极性。
（二）过程与方法
在本章节的教学中，我期望学生能够达到以下过程与方法目标：
1.自主学习：学生能够独立完成阅读材料的学习，通过自主学习培养自身的数学思维能力和探究能力。
2.合作交流：学生在小组合作中，能够积极与他人交流和分享自己的思考和观点，通过合作交流提高自己的数学理解和解决问题的能力。
3.问题解决：学生能够运用已学的数学知识和方法，解决阅读材料中的数学问题，通过问题解决培养自己的创新能力和实践能力。
（三）学生小组讨论
在学生小组讨论环节，我会将学生分成小组，并给出具体的讨论题目和问题。我会引导学生进行合作和交流，鼓励他们分享自己的观点和思路。我会巡回指导，给予学生必要的帮助和指导，促进学生的小组合作和问题解决能力的培养。
（四）总结归纳
在总结归纳环节，我会邀请学生代表或自己进行对本章节的总结和归纳。我会引导学生回顾和梳理所学的内容和知识点，强调重点和难点，并指出学习的意义和应用价值。通过总结归纳，学生能够加深对知识的理解和记忆，形成系统化的知识结构。
我的教学案例主要包括以下几个方面：首先，我会引导学生通过阅读材料，了解和掌握数学问题的背景和情境。其次，我会引导学生运用已学的数学知识和方法，对问题进行猜想和假设。然后，我会引导学生通过逻辑推理和数学证明，验证猜想的正确性。最后，我会引导学生进行拓广和应用，将所学知识和方法应用到其他相关问题中。
猜想、证明与探讨说课稿
综合与实践—猜想、证明与拓广一、说教材（一）、教材的地位和作用《猜想、证明与拓广》是北师大版九年级上册课题的内容，本节课学习是一个开放性研究性课题，为学生提供了一个思考探究的平台，本课题学习的背景是任意给定一个矩形，是否存有另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？本课题学习在学生学习过程当中具有很强的提升作用，让学生在解决问题当中去体验和领悟解决问题的方法策略，让学生通过本课题的学习不但掌握知识技能，更能举一反三，培养数学推理水平和逻辑思维水平。
（二）、学情分析知识基础：本节课前，学生已基本掌握一元二次方程的思想，方程的根与系数之间的关系，积累了简单方程的处理和分析经验。
认知水平：初三学生已经具备一些简单方程的处理水平，因为年龄及认知特点，理性理解强于感性理解。
（三）、教学目标知识技能方面：在合作交流当中，拓展思路，发展学生的推理水平。
过程与方法：在问题探究过程当中综合使用所学的知识，体会知识的内在联系，形成对数学的整体性理解，在探究过程中，感受从特殊到一般，数形结合的数学方法，体会证明的必要性。
情感态度目标：经历猜想、证明与拓广过程，增强问题意识，获得探索和发现的体验，感悟处理问题的策略和方法。
（四）、教学重点、难点重点：通过对一个开放性、探究性的问题的探索，获得探索和发现的体验，感悟处理问题的策略和方法。
难点：从特殊到一般，启发学生综合使用一元二次方程，方程组等知识发现具有一般性的结论，寻求一般性的解决方法。
突破重难点策略：从数学学习的必要性入手，通过学生的小组互动探讨，增强对数学研究思想的理解，并配合创设的情景，使学生掌握猜想、证明与拓广的方法。
二、说教法与学法：教法：本节课我采用探究讨论模式，由浅入深设置问题，从特殊图形，特殊数字出发，引导学生解决问题，掌握从特殊到一般的数学研究思想，使学生初步了解建模的思路（建立一元二次方程解决几何问题）学法：本节课我采取了“自主探究，动手实验及小组合作探究”的方法，相互交流，互相探索，让学生产生意见的分歧，并且产生数学思想，使各层次学生水平都有发展。
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3
能力拓展
一般到特殊 运用建模、类比、 数形结合、转化 等数学思想方法
教学程序
4
思维升华
5
学法指导
6
天天向上
从特殊到一般 师生合作
过程、知能小结 记录卡自我评价
大胆猜想 课下思考
猜想证明与拓广
说教学评价
评价要点：知识评价 过程评价 评价方式和方法
学生评价反馈和教学反思
采用小组合作的方法进行教学，引导学生 分类研究，由特殊到一般，启发学生发现 更一般性的结论，寻找一般性的解决方法
猜想证明与拓广
说学法
以四人学习小组为单位，让 学生自己观察、大胆猜想、 进行小组讨论和交流、师生 共同归纳总结.现实情境 2.问题情境
2
猜想探究
北师大版数学教材 九年级（上）
1
说教材
2
说教法
3
说学法
4
说教学程序
5
说教学评价
猜想证明与拓广
地位和作用
说教材
学情分析 教学目标
重点和难点
猜想证明与拓广
说教法
以“自主探索，大胆猜想——启发诱导， 数学证明——分组讨论，合理拓广”为主 的教学方法．不断经历判断、选择及综合 运用二次方程、方程组、不等式、函数等 知识的过程，在“做”中“学”，体验以 数学的方式来“做数学”．
课题学习记录卡
问题：任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形， 它的周长和面积是已知矩形周长和面积的2倍？
探索过程
验证过程 收获与发
现 评价