初中数学：1.1.2弧度制
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弧度制和弧度制与角度制的换算
180 rad＝3× π ° ＝57.30° ×3＝171.90° .
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数学[RB· 必修4]来自角度制与弧度制换算时应注意的三个问题 (1)用弧度为单位表示角的大小时， “弧度(rad)”可以省略不 写；如果以度(° )为单位表示角的大小时，度(° )不能省略. (2)度化为弧度时，应先将分、秒化为度，再化为弧度. (3)有些角的弧度数是 π 的整数倍时，如无特别要求，不必 把 π 化成小数.
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数学[RB· 必修4]
(2)设分针旋转过程中所扫过的圆心角为 α，弧长为 l，则所 1 1 1 π 2 扫过的面积是 S＝2lR＝2|α|R ＝2×2×102＝25π(cm2).
【答案】 (1)2 (2)25π cm2
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用弧度表示终边相同的角
已知角 α＝2 010° . (1)将 α 改写成 β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出 α 是 第几象限的角； (2)在区间[－5π，0)上找出与 α 终边相同的角.
【思路探究】 (1)可将 α 改写成 β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的
π ＋2kπ(k∈Z)与 k· 360° ＋ 都是不允许的.表示角时，要么全用角度 6 制，要么全用弧度制.
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【正解】
由－1 485° ＝－5×360° ＋315° ，
7 所以－1 485° 可以表示为－10π＋4π.
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数学[RB· 必修4]来自角度制与弧度制换算时应注意的三个问题 (1)用弧度为单位表示角的大小时， “弧度(rad)”可以省略不 写；如果以度(° )为单位表示角的大小时，度(° )不能省略. (2)度化为弧度时，应先将分、秒化为度，再化为弧度. (3)有些角的弧度数是 π 的整数倍时，如无特别要求，不必 把 π 化成小数.
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(2)设分针旋转过程中所扫过的圆心角为 α，弧长为 l，则所 1 1 1 π 2 扫过的面积是 S＝2lR＝2|α|R ＝2×2×102＝25π(cm2).
【答案】 (1)2 (2)25π cm2
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用弧度表示终边相同的角
已知角 α＝2 010° . (1)将 α 改写成 β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出 α 是 第几象限的角； (2)在区间[－5π，0)上找出与 α 终边相同的角.
【思路探究】 (1)可将 α 改写成 β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的
π ＋2kπ(k∈Z)与 k· 360° ＋ 都是不允许的.表示角时，要么全用角度 6 制，要么全用弧度制.
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【正解】
由－1 485° ＝－5×360° ＋315° ，
7 所以－1 485° 可以表示为－10π＋4π.
1.1.2弧度制
-180° 0° 180° 360°
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数 是一个负数，零角的弧度数是0。如果半径为r的圆 的圆心角α 所对弧的长为 l ，那么，角 的弧度数 的绝对值是 对应角的 l 弧度数 r
这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定 正角 零角 负角 角的弧度数 正实数 零 负实数 实数集R
180 rad
n n rad 180
(2)将弧度化为角度
2 360
180
180 1rad ( ) 57 .30 57 18'
一般地，我们只需根据
1
180
rad 0.01745 rad
180°=πrad
180 1rad 57.30
例3 利用弧度制证明下列关于扇形面积的公式：
(1)l R
其中R是半径， 是弧长， 0 2 为圆心角， l S是扇形的面积
1 2 (2) S R 2
1 (3) S lR 2
l 证明:(1)由公式 = r 得l=αR
知圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积 2 公式分别是 n R n R
2
°′″ SHIFT DRG 1
67
=
30
1.178097245
因此,67°30′≈1.178 rad
例2 将3.14 rad换算成角度(用度数表示,精确到0.001)
解:利用计算器
MODE MODE
1
=
3.14
SHIFT DRG 2
179.909
今后用弧度表示角时，“弧度”二字或“rad”通 常略去不写，而只写该角对应的弧度数。例如， 角α =2就表示α 是2rad的角， sin 就 示 rad 的 表 角 3 3 3 的 弦 即 sin sin 60 正， 3 2
1-1-2 弧度制
第一章 1.1 1.1.2
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在半径不等的圆中，1 弧度的圆心角所对的( ) A．弦长相等 B．弧长相等 C．弦长等于所在圆的半径 D．弧长等于所在圆的半径 [答案] D
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[答案] 4
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3．弧度制与角度制的换算 π
(1)角度转化为弧度：360°＝ 2π rad,180°＝ π rad,1°＝ 180
rad≈0.01745 rad.
(2)弧度转化为角度：2π rad＝ 360° ，π rad＝ 180° ，1 rad
[拓展] 1.用弧度制表示象限角与轴线角
剖析：(1)象限角的表示：
角 α 终边所在象限
集合
第一象限
x|2kπ<α<2kπ＋2π，k∈Z
第二象限 第三象限
x|2kπ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z x|2kπ＋π<α<2kπ＋32π，k∈Z
第四象限
角的终边落在坐标轴上角的集合用角度制表示为______， 用弧度制表示为________．
[答案] {α|α＝k·90°，k∈Z} {α|α＝k2π，k∈Z}
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课堂典例讲练
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在半径不等的圆中，1 弧度的圆心角所对的( ) A．弦长相等 B．弧长相等 C．弦长等于所在圆的半径 D．弧长等于所在圆的半径 [答案] D
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[答案] 4
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3．弧度制与角度制的换算 π
(1)角度转化为弧度：360°＝ 2π rad,180°＝ π rad,1°＝ 180
rad≈0.01745 rad.
(2)弧度转化为角度：2π rad＝ 360° ，π rad＝ 180° ，1 rad
[拓展] 1.用弧度制表示象限角与轴线角
剖析：(1)象限角的表示：
角 α 终边所在象限
集合
第一象限
x|2kπ<α<2kπ＋2π，k∈Z
第二象限 第三象限
x|2kπ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z x|2kπ＋π<α<2kπ＋32π，k∈Z
第四象限
角的终边落在坐标轴上角的集合用角度制表示为______， 用弧度制表示为________．
[答案] {α|α＝k·90°，k∈Z} {α|α＝k2π，k∈Z}
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1.1.2弧度制及弧度制与角度制的换算演示教学
思考7：终边在x轴、y轴上的角的集合分 别如何表示？
终边在x轴上：S={α|α=k·180°，k∈Z}； 终边在y轴上：
S={α|α=90°＋k·180°，k∈Z}.
1.1.2 弧度制
在初中几何里，我们学习过角的度量，1度的 角是怎样定义的呢？
周角的 1 为1度的角。 360
这种以1º角作单位来度量角的制度叫做 角度制 ，今天我们来学习另一种在数学和其 他学科中常用的度量角的制度——弧度制。
例1.把6730化成弧. 度
解： 63 7 0 6.5 7 67.5 rad 3 rad
180 8
例2.把2rad化成角. 度
解：2rad（2180） （ 18） 0
通常，“弧度r” a” d和可“省略 2，sin sin60
3
练习
把下列各角化成 2 k 0 2 ， k Ζ 的形式：
中心角等于
弧度。
解：（1）240º= 4 ，根据l=αR，得 3
l 4R
3
（2）根据S=
1 2
lR=
1 2
αR2，且S=2R2.
所以 α=4.
例4. 已知一半径为R的扇形，它的周长等于 所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧 度？合多少度？扇形的面积是多少？
解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R. 所以扇形的中心角是2(π－1) rad. 合( 360( 1) ) º
ห้องสมุดไป่ตู้
l
r
问：360度=______弧度
360=2 rad 这是弧度制和角度制互换的根基。
写出一些特殊角的弧度数 请总结出通法
角 度
0 30 45 60 90 120135150180 270 360
终边在x轴上：S={α|α=k·180°，k∈Z}； 终边在y轴上：
S={α|α=90°＋k·180°，k∈Z}.
1.1.2 弧度制
在初中几何里，我们学习过角的度量，1度的 角是怎样定义的呢？
周角的 1 为1度的角。 360
这种以1º角作单位来度量角的制度叫做 角度制 ，今天我们来学习另一种在数学和其 他学科中常用的度量角的制度——弧度制。
例1.把6730化成弧. 度
解： 63 7 0 6.5 7 67.5 rad 3 rad
180 8
例2.把2rad化成角. 度
解：2rad（2180） （ 18） 0
通常，“弧度r” a” d和可“省略 2，sin sin60
3
练习
把下列各角化成 2 k 0 2 ， k Ζ 的形式：
中心角等于
弧度。
解：（1）240º= 4 ，根据l=αR，得 3
l 4R
3
（2）根据S=
1 2
lR=
1 2
αR2，且S=2R2.
所以 α=4.
例4. 已知一半径为R的扇形，它的周长等于 所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧 度？合多少度？扇形的面积是多少？
解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R. 所以扇形的中心角是2(π－1) rad. 合( 360( 1) ) º
ห้องสมุดไป่ตู้
l
r
问：360度=______弧度
360=2 rad 这是弧度制和角度制互换的根基。
写出一些特殊角的弧度数 请总结出通法
角 度
0 30 45 60 90 120135150180 270 360
弧度制及弧度制和角度制的换算
3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：
角度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
弧度
0
π/6
π/4
π/3
π/2
2π/3
3π/4
5π/6
πHale Waihona Puke 角度210°225°
240°
270°
300°
315°
330°
360°
弧度
7π/6
5π/4
4π/3
3π/2
5π/3
7π/4
11π/6
2π
弧长公式 L=|α|r 扇形面积公式 S= Lr= |α|r2
其中α是圆心角的弧度数,L为圆心角α所对的弧长,r为圆半径.
2.无论是角度制还是用弧度制,都能在角的集合与实数集之间建立起一一对应的关系,但用弧度制表示角时,容易找出与角对应的实数.
同步练习
1.半径为5 cm的圆中,弧长为 cm的圆弧所对的圆心角等于 ( )
如上图，AB的长等于半径r，∠AOB的大小就是1弧度的角.弧AC的长度等于2r,则∠AOC=2rad.
问半圆所对的圆心角是多少弧度，圆周所对的圆心角是多少弧度？
答：半圆弧长是 半圆所对的圆心角是 弧度.
同样道理，圆周所对的圆心角（称谓周角）的大小是2 弧度.
角的概念推广后，弧的概念也随之推广.所以任意一正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零.
使学生理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。弧度的概念及其与角度的关系，是本小节的乃至本章的难点；
[教学过程]
一．引入
我们在初中几何里学习过角的度量，规定周角的 为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制度叫做角度制。下面再介绍在数学和其他科学中常用到的另一种度量角的单位制——弧度制，它的单位符号是rad，读作弧度。
角度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
弧度
0
π/6
π/4
π/3
π/2
2π/3
3π/4
5π/6
πHale Waihona Puke 角度210°225°
240°
270°
300°
315°
330°
360°
弧度
7π/6
5π/4
4π/3
3π/2
5π/3
7π/4
11π/6
2π
弧长公式 L=|α|r 扇形面积公式 S= Lr= |α|r2
其中α是圆心角的弧度数,L为圆心角α所对的弧长,r为圆半径.
2.无论是角度制还是用弧度制,都能在角的集合与实数集之间建立起一一对应的关系,但用弧度制表示角时,容易找出与角对应的实数.
同步练习
1.半径为5 cm的圆中,弧长为 cm的圆弧所对的圆心角等于 ( )
如上图，AB的长等于半径r，∠AOB的大小就是1弧度的角.弧AC的长度等于2r,则∠AOC=2rad.
问半圆所对的圆心角是多少弧度，圆周所对的圆心角是多少弧度？
答：半圆弧长是 半圆所对的圆心角是 弧度.
同样道理，圆周所对的圆心角（称谓周角）的大小是2 弧度.
角的概念推广后，弧的概念也随之推广.所以任意一正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零.
使学生理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。弧度的概念及其与角度的关系，是本小节的乃至本章的难点；
[教学过程]
一．引入
我们在初中几何里学习过角的度量，规定周角的 为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制度叫做角度制。下面再介绍在数学和其他科学中常用到的另一种度量角的单位制——弧度制，它的单位符号是rad，读作弧度。
弧度制及弧度制与角度制的换算
弧度制及弧度制与角度制的换算
例2. 把
8 5Leabharlann 化成度。解：1rad=
(
1
8
0
)
8 8 (180) 5 5
288
弧度制及弧度制与角度制的换算
例3. 填写下表：
角度 0° 30° 45° 60° 90° 120°
弧度 0
6
2
4
3
2
3
角度 135° 150° 180° 210° 225° 240°
弧度制及弧度制与角度制的换算
例5. 在半径为R的圆中，240º的中心角所对的
弧长为
，面积为2R2的扇形的
中心角等于
弧度。
解：（1）240º= 4 ，根据l=αR，得 3
l 4R
3
（2）根据S=
1 2
lR=
1 2
αR2，且S=2R2.
所以 α=4. 弧度制及弧度制与角度制的换算
例6.与角－1825º的终边相同，且绝对值最小 的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
弧度制及弧度制与角度制的换算
3. 弧度制与角度制相比：
(1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单 位制，角度制是以“度”为单位来度量角的 单位制；1弧度≠1º；
（2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆 心角的大小，而1度是圆周 1 的所对的圆心
360 角的大小；
弧度制及弧度制与角度制的换算
（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实 数表示，而角度制是六十进制； （4）以弧度和度为单位的角，都是一个与 半径无关的定值。
解：－1825º=－5×360º－25º，
所以与角－1825º的终边相同，且绝对值
最小的角是－25º.
例2. 把
8 5Leabharlann 化成度。解：1rad=
(
1
8
0
)
8 8 (180) 5 5
288
弧度制及弧度制与角度制的换算
例3. 填写下表：
角度 0° 30° 45° 60° 90° 120°
弧度 0
6
2
4
3
2
3
角度 135° 150° 180° 210° 225° 240°
弧度制及弧度制与角度制的换算
例5. 在半径为R的圆中，240º的中心角所对的
弧长为
，面积为2R2的扇形的
中心角等于
弧度。
解：（1）240º= 4 ，根据l=αR，得 3
l 4R
3
（2）根据S=
1 2
lR=
1 2
αR2，且S=2R2.
所以 α=4. 弧度制及弧度制与角度制的换算
例6.与角－1825º的终边相同，且绝对值最小 的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
弧度制及弧度制与角度制的换算
3. 弧度制与角度制相比：
(1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单 位制，角度制是以“度”为单位来度量角的 单位制；1弧度≠1º；
（2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆 心角的大小，而1度是圆周 1 的所对的圆心
360 角的大小；
弧度制及弧度制与角度制的换算
（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实 数表示，而角度制是六十进制； （4）以弧度和度为单位的角，都是一个与 半径无关的定值。
解：－1825º=－5×360º－25º，
所以与角－1825º的终边相同，且绝对值
最小的角是－25º.
初中数学圆弧基础知识点总结
初中数学圆弧基础知识点总结初中数学圆弧基础知识点总结圆弧是我们生活中常见的一个几何形状，它在数学中也有很重要的应用。
初中数学中，我们学习了关于圆弧的基础知识，包括弧长、弧度、弦长、切线等等。
本文将对初中数学圆弧基础知识点进行总结和归纳，以帮助同学们更好地理解和掌握这些知识。
一、弧长1. 弧长的定义弧长是指圆弧所对的圆心角所对应的弧长。
通常用字母“s”表示。
弧长的计算公式是：s = rθ，其中s表示弧长，r表示半径，θ表示圆心角的度数。
2. 弧长公式的推导弧长公式的推导可以通过将圆弧分成若干小弧再求和的方法进行。
假设圆心角对应的弧长为s，圆心角为θ度。
将圆周等分成n等份，每份对应的小弧长为Δs，小弧所对的圆心角为Δθ度。
那么，n趋近于无穷大时，Δs趋近于0，Δθ趋近于θ度。
则根据弧长与圆心角的关系可得：Δs = rΔθ。
将所有的小弧求和，得到整个圆弧的弧长s = Σ(rΔθ)= rΣ(Δθ)。
当n趋近于无穷大时，Σ(Δθ)趋近于θ度。
因此，s = rθ。
3. 弧长的单位弧长的单位可以是长度单位，如米、厘米等。
二、弧度制1. 弧度的定义弧度是角度的一种计量方式，它是用弧长与半径的比值来表示的。
弧度制中，一个角的弧度数等于所对圆弧的弧长与半径的比值，用字母“rad”来表示。
2. 弧度和角度的转换弧度与角度之间的关系可以通过公式进行转换。
弧度制转角度制：θ(度) = rad(弧度) x 180°/π角度制转弧度制：rad(弧度) = θ(度) x π/180°三、弦长1. 弦长的定义弦长是切割圆弧所得的弦的长度。
在一个圆内，通过两个点，可以画出无数个弦，其中一条弦对应的弦长即为弦长的长度。
2. 弦长的计算公式在计算弦长时，可以利用与弦夹角的关系来进行推导。
假设弧对应的夹角为θ弧度，该弧所在圆的半径为r，弦长为h。
则，弦对应的圆心角为2θ弧度，弦长与半径的比值等于弦对应的圆心角与直径的比值。
课件1：1.1.2 弧度制
把长度等于半 周角的1/360叫做1
单位规 径长的弧所对 度的角。
定
的圆心角叫做1
弧度的角。
换算关
系
360 2rad
180 rad
基本关系
1
rad 0.01745rad
180
180
1rad
57.30 5718
导出关系
弧度制与角度制的互化技巧
=
180 8
.
把
8
5
化成度。
解：1rad=
180
(
)
8 8 180
(
)
5
5
288Βιβλιοθήκη 度与角度的互化过程中，要掌握其中的原理和方法，必要时可以借助一些特殊角
来判断，会转换到别的地方。
题型三
将3.14 rad 换算成角度(用度数表示，
精确到0.001).
解:∵1=(180/π)0
弧度的角，用符号rad表示，读作弧度。这种
用弧度作为单位度量角的单位制叫做弧度制。
要点阐释
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的
弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，如果
半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为l，那么，
角a的弧度数的绝对值是 | a | = l / r
典例剖析
题型一
1．下列说法中，错误的说法是 (
180π°进行转化．
题型二
（1) 把112º30′化成弧度(精确到0.001)；
（2）把112º30′化成弧度（用π表示）。
解： （1）112º30′=112.5º，
1
0.0175
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弧度
π
角度 270° 300° 315° 330° 360°
弧度
2π
例4. 扇形AOB中， 所对的圆心角是60º， 半径是50米，求 的长l（精确到0.1米 ）。
解：因为60º= ,所以 l=α·r= ×50≈52.5 .
答： 的长约为52.5米.
例5. 在半径为R的圆中，240º的中心角所对的
解： （1）112º30′=112.5º，
所以112º30′≈112.5×0.0175≈1.969rad. (2) 112º30′=112.5× = .
例2. 把 化成度。 解：1rad=
例3. 填写下表：
角度 0°
弧度 0
30° 45° 60° 90° 120°
角度 135° 150° 180° 210° 225° 240°
3. 弧度制与角度制相比：
(1) 弧”为单位来度量角的单位 制；1弧度≠1º；
（2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆 心角的大小，而1度是圆周 的所对的圆心 角的大小；
（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实 数表示，而角度制是六十进制；
1.1.2 弧度制
在初中几何里，我们学习过角的度量， 1度的角是怎样定义的呢？
周角的 为1度的角。
这种用1º角作单位来度量角的制度叫做 角度制 ，今天我们来学习另一种在数学和其 他学科中常用的度量角的制度——弧度制。
1. 圆心角、弧长和半径之间的关系： 角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋
转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧， 不同的点所形成的圆 弧的长度是不同的， 但都对应同一个圆心角。
合
例7. 已知一半径为R的扇形，它的周长等于 所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧 度？合多少度？扇形的面积是多少？
解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R. 所以扇形的中心角是2(π－1) rad.
合(
)º
扇形面积是
（4）以弧度和度为单位的角，都是一个与半 径无关的定值。
4.公式：
，
表示的是在半径为r的圆中，弧长为l的弧
所对的圆心角是αrad。
5. 弧度制与角度制的换算
① 用角度制和弧度制度量角，零角既是0º 角，又是0 rad角，同一个非零角的度数和 弧度数是不同的. ② 平角、周角的弧度数： 平角= rad、周角=2 rad.
=定值，
设α=nº， 弧长为l，半径OA为r，
则
，
可以看出，等式右端不含 半径，表示弧长与半径的 比值跟半径无关，只与α的 大小有关。
结论：可以用圆的半径作单位去度量角。
2.定义： 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧 度的角，弧度记作rad。这种以弧度为单位来 度量角的制度叫做弧度制。
注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字 或rad可以略去不写。
弧长为
，面积为2R2的扇形的
中心角等于
弧度。
解：（1）240º= ，根据l=αR，得
（2）根据S= lR= αR2，且S=2R2. 所以 α=4.
例6.与角－1825º的终边相同，且绝对值最小 的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 解：－1825º=－5×360º－25º，
所以与角－1825º的终边相同，且绝对值 最小的角是－25º.
② 扇形面积公式 其中l是扇形弧长，R是圆的半径。 证明：设扇形所对的圆心角为nº(αrad)，则
又 αR=l，所以
证明2：因为圆心角为1 rad的扇形面积是
而弧长为l的扇形的圆心角的大小是 rad. 所以它的面积是
例1. （1) 把112º30′化成弧度(精确到0.001)；
（2）把112º30′化成弧度（用π表示）。
③ 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是 负数，零角的弧度数是0.
④角的弧度数的绝对值: （l为弧长，r为半径）
⑤ ∵ 360=2 rad ，∴180= rad ∴ 1= 1 rad
6. 用弧度制表示弧长及扇形面积公式： ① 弧长公式： 由公式：
比公式
简单.
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数） 的绝对值与半径的积.