(完整版)任意角与弧度制题型小结

任意角与弧度制
【知识梳理】
1．按旋转方向分
2.
(1)角的终边在第几象限，则此角称为第几____；(2)角的终边在__上，则此角不属于任何一个象限．
3. 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝_________________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与__________的和．
【常考题型】
题型一、象限角的判断
【例1】已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．
(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.
【类题通法】象限角的判断方法
(1)根据图形判定，在直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角．
(2)根据终边相同的角的概念．把角转化到0°～360°范围内，转化后的角在第几象限，此角就是第几象限角．
【对点训练】
在直角坐标系中，作出下列各角，在0°～360°范围内，找出与其终边相同的角，并判定它是第几象限角．
(1)360°；(2)720°；(3)2 012°；(4)－120°.
题型二、终边相同的角的表示
【例2】(1)写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．
(2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．
(3)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．
【类题通法】
1．终边相同的角常用的三个结论
(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍． (2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍． (3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍． 2．区域角是指终边落在坐标系的某个区域的角，其写法可分三步 (1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；
(2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角；
(3)用不等式表示区域内的角，组成集合． 【对点训练】
已知角α的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角α的取值范围．
题型三、确定n α及
n
α
所在的象限
【例3】 若α是第二象限角，则2α，α
2
分别是第几象限的角？
【类题通法】
1．n α所在象限的判断方法
确定n α终边所在的象限，先求出n α的范围，再直接转化为终边相同的角即可． 2.αn
所在象限的判断方法
已知角α所在象限，要确定角αn
所在象限，有两种方法：
(1)用不等式表示出角αn
的范围，然后对n 的取值分情况讨论：被n 整除；被n 除余1；被n 除余2；…；被n 除余n －1.从而得出结论．
(2)作出各个象限的从原点出发的n 等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n 个区域．从x 轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n 个区域依次循环标上1,2,3,4.标号为几的区域，就是根据α终边所在的象限确定αn 的终边所落在的区域．如此，αn
所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．
【对点训练】已知角α为第三象限角，试确定角2α，α
2
是第几象限角．
题型四 轴线角与象限角
1. 终边落在x 轴正半轴上角的集合_________________
2. 终边落在x 轴负半轴上角的集合_________________
3. 终边落在y 轴正半轴上角的集合_________________
4. 终边落在y 轴负半轴上角的集合_________________
5. 终边落在x 轴上角的集合_________________
6. 终边落在y 轴上角的集合_________________
7. 终边落在坐标轴上角的集合_________________
8. βααβ与终边关于原点对称（互为反向延长线），与的关系________________
9.
x βα与终边关于轴对称,αβ与的关系_______________________
10. y βα与终边关于轴对称, αβ与的关系______________________ 11. 第一象限角的范围：__________________
12. 第二象限角的范围：__________________ 13. 第三象限角的范围：__________________ 14. 第四象限角的范围：__________________
【知识梳理】
1．角度制与弧度制 (1)角度制．
①定义：用度作为单位来度量角的单位制．②1度的角：周角的______作为一个单位． (2)弧度制．
①定义：以_____作为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于______的弧所对的圆心角． 2．任意角的弧度数与实数的对应关系
正角的弧度数是一个_____，负角的弧度数是一个_____，零角的弧度数是0. 3．角的弧度数的计算
如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r
. 4．弧度与角度的互化
题型一、角度与弧度的换算
【例1】 把下列角度化成弧度或弧度化成角度：(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－2π
9
.
【类题通法】角度与弧度互化技巧
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad ＝180°是关键，由它可以得到：度数×
π
180＝弧度数，弧度数×180
π＝度数．
【对点训练】
已知α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－π
3.
(1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们是第几象限角；
(2)将β1，β2用角度表示出来，并在－720°～0°范围内，找出与它们有相同终边的所有
角．
题型二、扇形的弧长公式及面积公式的应用
【例2】 (1)已知扇形的周长为8 cm ，圆心角为2，则扇形的面积为________． (2)已知一半径为R 的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？
【类题通法】弧度制下涉及扇形问题的攻略 (1)明确弧度制下扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12
|α|r 2
(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解． 注意：运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度．
【对点训练】已知扇形的周长是30 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
题型三、用弧度制表示角的集合
【例3】 用弧度表示终边落在下列各图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合．
用弧度制表示角应关注的三点
(1)用弧度表示区域角，实质是角度表示区域角在弧度制下的应用，必要时，需进行角度与弧度的换算．注意单位要统一．
(2)表示角的集合时，可先写出一周范围(如－π～π，0～2π)内的角，再加上2k π，k ∈Z .
(3)终边在同一直线上的角的集合可以合并为{x |x ＝α＋k π，k ∈Z }；终边在相互垂直的两
直线上的角的集合可以合并为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
x ＝α＋k ·π
2，k ∈Z
. 在进行区间的合并时，一定要做到准确无误．
【对点训练】以弧度为单位，写出终边落在直线y ＝－x 上的角的集合．
其他重要例题
1.在下列各组中，终边不相同的一组是（ ） A ．600
和 B ．2300
和950
C ．10500
和 D ．10000
和80
2.下列各角中，与60°角终边相同的角是( ) A. B. C. D .
3.{}{}
2(21),,44A k k k z B απαπαα=≤≤+∈=-≤≤，则A B ⋂=____________ 4．若角α＝2 014°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________． 半期考试补救
例1已知函数()222++=x x x f ，
（1）若R x ∈，求函数的最值；（2）若[]1,3x ∈，求函数的最值；
（3）若]3,2[-∈x ，求函数的最值；（4）若[]R a a a x ∈+∈,2,，求函数的最小值； （5）[]R a a a x ∈+∈,2,，求函数的最大值。

练习：（1）已知R k ∈，求函数322
++-=kx x y 在区间[]2,1-上的最大值。

（2）已知R k ∈，求二次函数,122
++=kx kx y []2,3-∈x 的最值。

300-0
30-︒-60︒600︒1380︒-300。