机械振动3能量法
机械振动学(第三章)-多自由度振动系统
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利用直接法，对下图所示的三自由度振动系统建立微分方程。。
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解：1）受力分析 选取 m1， m2和m3离开平衡位置的坐标x1， x2和 x3 为3 个独立 坐标。受力分析如图所示 2）建立振动微分方程 (c c ) x c x ( k k ) x k x p (t ) x m1： m 2 2 2 2 2 ( c 2 c 3 ) x 2 c2 x 1 c 3 x 3 ( k 2 k 3 ) x 2 k 2 x1 k 3 x 3 p 2 ( t ) x m2: m 2 2 2 2 3 c 3 x 3 c3 x 2 k 3 x3 k 3 x 2 p 3 (t ) x m3: m 3
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本章结束
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3 ）如果将应为能量耗散函数 D 引起的阻尼力也从其他的非势 力的广义力中分离出来，并使Qi仅代表外部作用的广义激振力， 则可将非保守系统的拉格朗日方程改为：
d dt ( T i q ) T i q U qi D i q Q i ( i 1, 2 , 3 ,...., n )
车 身 车 轮 二 自 由 度 振 动 问 题
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机械振动信号分析与故障诊断
机械振动信号分析与故障诊断一、引言机械设备在日常运行中常常会出现各种各样的故障问题，其中振动问题是比较常见的一种。
通过对机械振动信号的分析与诊断，可以提前预知机械设备的潜在故障，从而采取相应的维修措施，保证设备运行的可靠性和安全性。
本文将主要介绍一些常见的机械振动信号分析方法和故障诊断技术。
二、机械振动信号的特点机械设备在运行过程中会产生各种各样的振动信号，这些信号包含了丰富的信息，能够反映出机械设备的工作状态和故障状况。
机械振动信号的特点主要包括以下几个方面：1. 频谱特性：机械振动信号的频谱分布通常是不均匀的，其中包含了各种不同频率的分量。
通过对振动信号的频谱进行分析，可以确定频谱分量的大小和分布情况。
2. 时域特性：振动信号的时域特性主要包括振动波形的幅值、时间和频率等参数。
通过对振动信号的时域分析，可以了解振动信号的动态变化。
3. 能量特性：机械振动信号的能量分布通常是不均匀的，其中一部分能量是由于机械设备本身的运动引起的，另一部分能量则是由于机械故障引起的。
通过对振动信号的能量特性进行分析，可以判断机械设备是否存在故障问题。
三、机械振动信号分析方法为了对机械设备进行故障诊断，需要采用一些有效的机械振动信号分析方法。
下面介绍几种常用的方法：1. 频谱分析法：频谱分析法是一种将振动信号转换为频谱图的方法。
通过对振动信号进行傅里叶变换，可以得到振动信号的频谱分布情况。
通过分析频谱图，可以确定机械设备的主要频率分量和故障频率分量。
2. 小波分析法：小波分析法是一种将振动信号分解成不同频率的分量的方法。
通过小波分析，可以得到振动信号的时间-频率分布情况。
与频谱分析相比，小波分析具有更好的时间-频率分辨率。
3. 瞬时参数分析法：瞬时参数分析法是一种分析振动信号的瞬时变化的方法。
通过对振动信号的瞬时参数进行分析，可以了解到机械设备的动态变化和故障情况。
四、机械故障诊断技术机械故障诊断技术主要是通过对机械振动信号的分析，判断机械设备是否存在故障问题，并确定故障的类型和位置。
机械振动3强迫振动5-7讲解
3.5 简谐力与阻尼力的功 3.6 等效粘性阻尼 3.7 系统对周期激励的响应·傅里叶级数
3.5 简谐力与阻尼力的功
有阻尼的系统在振动时，机械能不断耗散，而振动逐渐衰减. 强迫振动时，激励对振动系统做功，不断输入能量，当输入
与耗散相等时，振动不衰减，振幅保持常值，即稳态振动.
(1) 简谐激励力在一个周期内所做的功。 设简谐激励力 F F0 sin t 作用在m上， 运动方程的解为： x X sin(t ) 则在一个周期内激励所做的功：
谐波分析方法也适用于分析任意周期惯性力激励的受迫振 动。
例3.6.1 设质量-弹簧系统受到如图2.10所示的周期方波激励：
F (t)
F0
F0
0 t T
2
T t T
2
试求此系统的响应，令λ=1/6， ζ=0.1，作出频谱图。
F(t) F0
频率为ω。利用傅里叶级数可将任意周期激励力分解为有
限个或可列无限个谐波分量，则任意周期的激励分解为有 限个或可列无限个谐波分量的简谐激励，系统的响应为对 各个谐波分量响应的叠加。这种分析方法称为谐波分析。
设周期力F(t)的频率为ω，周期为T=2π/ω。将F(t)展开为
傅里叶级数，以复数形式表示为：
其中：
(2n 1) n
例3.6.2 发电机的振动。
曲柄、连杆质量不计，发电机总
质量m，活塞质量为m1，曲柄转
速ω。设r << l，只保留α=r/l的一
次项，求发电机的响应。
解：活塞的位置坐标xB：
k
A
r
l
O0 O θ
φ
机械振动的原理和控制方法
机械振动的原理和控制方法机械振动是指物体在弹性介质作用下，出现周期性的膨胀与收缩的现象。
机械振动广泛存在于工业、军事、天文等多个领域中，对于系统的稳定性、工作性能、安全性、寿命等方面都有着重要的影响。
因此，研究机械振动的原理和控制方法显得非常必要。
一、机械振动的原理机械振动是由于物体在弹性介质作用下，出现周期性的膨胀与收缩的现象。
这里主要涉及到两种形式的振动：一种是自由振动，即物体在没有外部作用下自然地振动；另一种是强制振动，即物体受外部强制作用而振动。
自由振动的原理：自由振动的主要原理是由于物体本身的初始形态造成的。
在没有外部作用时，物体会遵循自身特定的固有频率，反复执行某些动作。
这是由于物体受到扰动后，内部的弹性介质会将能量存储起来，随后再释放出来，从而使物体开始振动。
自由振动的特点是在系统中，没有外力或外干扰，其振动的幅度与频率都是恒定的。
强制振动的原理：另一种振动形式是强制振动，其原理是由外部的作用所引起。
通过施加一个外力，物体将发生周期性振动，并随之受到外力的影响。
此外，振动还可以通过参数的变化而被改变。
二、机械振动的控制方法机械振动对于工业生产、精密制造、核航天等领域的其他安全工程具有一定的风险。
因此，开发监控和控制机械振动的方法非常重要。
以下是三种常用的控制方法：1、主动控制主动控制是利用反馈控制来控制机械振动的方法。
它将传感器和控制器紧密结合，并利用控制算法来实现反馈控制。
主动控制可以在短时间内调整扰动力，避免波动的扩大。
这种方法多为闭环控制，实现快速响应和精密控制。
2、被动控制被动控制是通过设计结构或材料本身来抵消机械振动的方法。
例如，在应用中添加减振器、吸振器等来减少机械振动的影响。
被动控制的主要优点是不会引起额外的环境破坏。
3、半主动控制半主动控制通过结合主动控制和被动控制的特点来控制机械振动。
这种控制方法通常涉及添加补偿系统来调整扰动力。
比如，使用半主动液压隔振器来实现机械振动的控制。
机械振动--第03课 单自由度系统：阻尼自由振动
c 2 k 2m m
称为系统的阻尼比，又称为相对阻尼系数。
粘性阻尼振动系统
cc 2 mk 2mn 2k /n
c cc
式 (2.3-1)可 以 写 成
mxcxkx0 x(0)x0, x(0)x0
x
2
n
x
2 n
x
0
(2.3-3)
根据 的大小，可得到三种不同形式的解：弱阻尼，临界阻尼和过阻尼。
▪ 阻尼是用来度量系统自身消耗振动能量的物理量。在理论分 析中最常用的阻尼是气体和液体的粘性阻尼，它是由于气体 或液体在某些机械部件中运动，因而扩散到气体或液体中的 热量等能量耗散的度量。
1. 引言
▪ 振动系统的无阻尼振动是对实际问题的理论抽象。 如果现实世界没有阻止运动的话，整个世界将处在 无休止的运动中。客观实际是和谐的，有振动又有 阻尼，保证了我们生活在一个相对安静的世界里。
。2粘
性
阻
尼
系
c
统的
自由2
振动k，
其
2m m
振 动 。实 际 阻 尼 小 于 临 界 阻 尼 的
位 系
统叫做欠阻尼系统或弱阻尼系统。
粘性阻尼振动系统
粘性阻尼振动系统
（ 2） 1 ， 临 界 阻 尼 （ critical damped）
这
时
，
系统
的c阻尼
系数c等于2
系
k
统
的
临
界
阻
c
尼
系2数，k这
粘性阻尼器
基于流体力学，作用于活塞上阻 力的大小近似地表示为
Fd
d 2 4
p
4L
d D
2
v
这表明，粘性阻尼器的阻尼力与 速度成正比，方向与速度相反，这时 阻尼系数为
振动能量公式
振动能量公式振动能量公式是描述振动系统能量的一个重要公式。
它可以用来计算振动系统的总能量，包括动能和势能。
振动能量公式可以表示为E = 1/2mv^2 + 1/2kx^2，其中E表示振动系统的能量，m表示质量，v表示速度，k表示弹性系数，x表示位移。
我们来看一下公式中的第一项，1/2mv^2，它表示振动系统的动能。
动能是由质量和速度决定的，质量越大、速度越大，动能也就越大。
动能可以理解为物体运动时所具有的能量。
公式中的第二项，1/2kx^2，表示振动系统的势能。
势能是由弹性系数和位移决定的，弹性系数越大、位移越大，势能也就越大。
势能可以理解为物体在弹性力的作用下所具有的能量。
振动能量公式将动能和势能结合在一起，可以全面描述振动系统的能量变化。
当振动系统处于运动状态时，动能和势能不断地相互转化，能量在系统中不断地传递。
当振动系统处于平衡位置时，动能和势能相等，总能量达到最小值。
而当振动系统处于最大位移位置时，动能为零，势能达到最大值，总能量也达到最大值。
振动能量公式的应用十分广泛。
在物理学中，它可以用来计算各种振动系统的能量，如弹簧振子、简谐振子等。
在工程中，它可以用来分析和设计各种振动系统，如机械振动系统、电子振动系统等。
在生活中，它也有很多实际应用，如音乐乐器发声的原理、地震波传播的机制等。
振动能量公式的理解和应用对于我们深入了解和研究振动现象具有重要意义。
通过对振动能量的分析，我们可以了解振动系统的能量变化规律，预测和控制振动系统的行为。
同时，振动能量公式也为我们提供了一种计算和比较不同振动系统能量大小的方法，帮助我们选择和优化振动系统。
振动能量公式是描述振动系统能量的一个重要工具。
它通过结合动能和势能，全面描述了振动系统的能量变化。
振动能量公式的理解和应用对于我们研究和应用振动现象具有重要意义，有助于我们深入探索和利用振动的力量。
1单自由度系统振动总结与习题
n
U=
max A n
1 k ( a ) 2 2 A
T max U max ；
2 1 2 2 1 2 ml A Ka 2 . A 2 n 2 2
n
a l
k ； m
周期 T=
2l a
m k
利用等效能量法求图示系统的固有频率
解:真实系统:T=
l 1 1 2 ) 2 + m2. x m1( 2 x 2 2 l4 l 1 l 1 2 2 U= k1 ( 1 .x) k 2. ( 3 .x) 2 l4 2 l4 1 2 等效系统 T e = me. x 2 1 2 V e = ke x 2 l 2 T=T e m e =m 2 +m 1 ( 2 ) l4 l 2 l 2 V=V e k e ( 1 ) +k 2 ( 3 ) l4 l4
4 、细杆 OA 可绕水平轴 O 转动，如图，在静平衡位置时成水平，杆端 重锤的质量为m，杆与弹簧的质量均可忽略不计，求自由振动的固有周期。
解: 为小球偏角时,弹簧伸长以及锤的位移可表示成 a ,l ,
1 m (l) 2 ； 2 令 A sin( n t ) A sin( )
l
x sin( n t )
因此梁上各点的速度分布为
( x, t ) A sin v
l
x n cos( n t )
因而动能最大值为 1 1q l 2 Tmax M n A 2 ( A sin x n ) 2 dx 2 2g 0 l 1 A 2 2 ( M 1 Q ) n 2 2g 1 1 48 EI 2 A 在最大振幅位置 Vmax KA 2 2 2 l3 48EI 由 Vmax Tmax 求得： n = 1 Q 3 M 2 g l
江苏专用_新教材高中物理第二章机械振动3简谐运动的回复力和能量学案新人教版选择性必修第一册
简谐运动的回复力和能量1．理解简谐运动的运动规律，掌握在一次全振动过程中位移、回复力、加速度、速度变化的规律。
2．掌握简谐运动回复力的特征。
3．对水平的弹簧振子，能定性地说明弹性势能与动能的转化过程。
知识点一简谐运动的回复力[情境导学]如图所示，O点为水平弹簧振子的平衡位置，A′、A分别是振子运动的最左端和最右端，弹簧的劲度系数为k。
请思考：(1)振子在振动过程中位于O点左侧x处时所受合外力的大小怎样表示？方向怎样？产生什么效果？(2)振子在振动过程中位于O点右侧x处时所受合外力的大小怎样表示？方向怎样？产生什么效果？提示：(1)F＝kx，方向(向右)指向平衡位置O，产生指向平衡位置的加速度，使物体回到平衡位置。
(2)F＝kx，方向(向左)指向平衡位置O，产生指向平衡位置的加速度，使物体回到平衡位置。
[知识梳理]1．回复力(1)定义：使振动物体回到平衡位置的力。
(2)表达式：F＝－kx，“－”号表示F与x反向。
(3)方向：总是指向平衡位置。
2．简谐运动：如果物体在运动方向上所受的力与它离开平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。
[初试小题]1．判断正误。
(1)回复力的方向总是与位移的方向相反。
(√)(2)回复力的方向总是与速度的方向相反。
(×)(3)回复力的方向总是与加速度的方向相反。
(×)(4)回复力F＝－kx中的k一定是弹簧的劲度系数。
(×)2．对于弹簧振子的回复力和位移的关系，下列图中正确的是( )解析：选C 由简谐运动的回复力公式F＝－kx可知，弹簧振子做简谐运动时的回复力和位移的关系图像应如图C所示。
知识点二简谐运动的能量[情境导学]如图所示，O点为水平弹簧振子的平衡位置，A′、A分别是振子运动的最左端和最右端。
请思考：(1)振子在振动过程中位于O点时的动能、弹簧的弹性势能的大小怎样？(2)振子在振动过程中位于最左端A′和最右端A时的动能、弹簧的弹性势能的大小怎样？(3)振子经历A→O→A′过程中振子的动能、弹簧的弹性势能怎样转化？提示：(1)动能最大，弹性势能为零。
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例：串联系统
在质量块上施加力 P 弹簧1变形： 1 弹簧2变形： 2
k1 k2
m
P k1
P k2
等效质量：使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要在 此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上 的等效质量
总变形： 1 2 ( 根据定义：
Ke
1 1 )P k1 k2
k mt m
弹簧的动能:
Tt 1 2 mt x 弹簧等效质量 mt 2
系统最大动能：
1 1 2 1 2 2 max mt x max max (m mt ) x mx 2 2 2 2 系统最大势能： U max 1 kxmax 2 Tmax
、 x 分别取最大值时： 当x
l
P
x 1
Me
M 3
l P x=1
设使系统在x坐标上产生单位位移需要施加力P 由材料力学知识可知
=
Pl 3 3EI
3EI 3EI 3EI P 3 3 1 3 l l l
Ke
3EI l3
25
5
m
k1
P
例：杠杆系统
k1
m
k2
杠杆是不计质量的刚体
l3 l2 l1 x
P2 k2
k2
m1 k1
由力平衡： P P 1P 2 ( k1 k2 ) 根据定义： K e
k2
m2
P k1 k2
求： 系统对于坐标 x 的等效质量和等效刚度
19
20
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1 2 mx 2
x
m
x y
静平衡位置
k
x
（弹性势能）
x 1 U mgx k x dx mgx k x kx 2 1 kx 2 0 2 2
势能： U mgx kxdx 0 1 mgx kx 2 2
k
d T U 0 dt
l
x x
x
求： 悬臂梁对于坐标 x 的等效质量和等效刚度
1 1 2 ( Al ) x 2 3
等效质量： M e Al M
1 3
1 3
23
24
4
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定义法
设使系统在x方向产生单位加速度需要施加力P 则在悬臂梁上产生惯性力，对支座取矩：
l y 1 1 Pl A 1 ydy Al 2 Ml 0 l 3 3
1 1 (ka 2 2 mgl 2 ) (ka 2 mgl ) 2 2 2
Tmax U max
max
n max
ka 2 mgl n ml 2
7
1 2 1 2 2 T I ml 动能 2 2 11 2 势能 U 2 k a mgl cos 22 1 ka 2 2 mgl 1 2 sin 2 2 2 1 1 ka 2 2 mgl mgl 2 2 2 1 2 2 (ka mgl ) mgl 2
x
k1 R M
m k2
确定系统微振动的固有频率
k2
势能： U 1 k 2 x 2 1 k1 ( 1 x) 2
2
2
2
9
1 1 ( k 2 k1 ) x 2 4 2
10
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解：
广义坐标：质量块的垂直位移 x 动能： T
注意：
k1 R M
1 3 2 (m M ) x 2 8 1 1 势能： U ( k 2 k1 ) x 2 4 2
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能量法
对于不计阻尼即认为没有能量损失的单自由度系统，也可以 利用能量守恒原理建立自由振动的微分方程，或直接求出系 统的固有频率。
第三讲 能量法、等效参数
无阻尼系统为保守系统，其机械能守恒，即动能 T 和势能 U 之和保持不变 ，即：
T U const
或：
P
k2
l3 l1
x 1
k1 1
22
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例：悬臂梁
考虑悬臂梁的质量 M Al ，忽略剪切作用
能量法
y y x 速度： x l
l 1 y dy 动能： T 0 2 A l x 2
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m
零平衡位置1
动能
1 2 T ml 2 2
k/2
k/2 l
动能
T
1 3 2 (m M ) x 2 8
k1 R
M e ml
势能
2
a
3 Me m M 8
势能 U
U
1 (ka 2 mgl ) 2 2
1 1 ( k 2 k1 ) x 2 4 2
或
P
P kk 1 2 k1 k2
1 1 1 K e k1 k 2
17
使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上 18 施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度
3
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例：并联系统
在质量块上施加力 P 两弹簧变形量相等： 受力不等：P 1 k1
m
M
K e ka 2 mgl
n
ka 2 mgl ml 2
1 K e k 2 k1 4
x
k2
15
2k 8k2 1 3M 8m
2 n
16
机：定义法 等效刚度：使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此 坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的 等效刚度
kx) x 0 ( m x
d T U 0 dt
mg kx x 0 mx
kx mg m x
不可能恒为 0 x
kx 0 m x
3
设新坐标
y x
mg x k
ky 0 m y
注意： 注意：如果重力的影响仅是改变了惯性元件的静平衡位置，那么将坐标原点 位置上，方程中就不会出现重力项 。 取在静平衡 取在静平衡位置上，方程中就不会出现重力项 4
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考虑两个特殊位置上系统的能量
静平衡位置上，系统势 能为零，动能达到最大
1 2 max Tmax mx 2 U 0
T 0 U max 1 2 kxmax 2
m
0
例：如图所示是一个倒置的摆
静平衡位置
m k/2 k/2 l a
k
x
摆球质量 m
刚杆质量忽略
每个弹簧的刚度
d T U 0 dt
2
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弹簧质量系统 动能： 势能：
mg k
弹簧原长位置
1 2 T mx 2
如果将坐标原点不是取在系统的静平衡位 置，而是取在弹簧为自由长时的位置 动能： T
m
0
静平衡位置
弹簧原长位置
mgx
（重力势能）
x
0
k ( x)dx
a
零平衡位置2
d T U 0 dt
2 ( ka 2 mgl ) 0 2ml 2 2( ka 2 mgl ) 0 2ml 2
n
ka 2 mgl ml 2
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例：铅垂平面内一个滑轮-质量弹簧系统
k1
解：
广义坐标：质量块的垂直位移 x 动能： T
R M
滑轮为匀质圆柱 ，绳子不可伸长，且 与滑轮间无滑动，绳右下端与地面固 结。
m
1 2 1 1 2 1 1 x M( x ) ( MR 2 )( ) 2 mx 2 2 2 2 2 2R 1 1 1 2 (m M M ) x 2 4 8 1 3 2 (m M ) x 2 8
T Tmax U U max
则可得出： n K e / M e
Ke：简化系统的等效刚度
x
Ke
Me
max n xmax x
n
k m mt
若忽略 mt ，则 n 增大
13
Me：简化系统的等效质量
这里等效的含义是指简化前后的系统的动能和势能分别相等 14
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k2
m2
k2
m2
l2 等效质量：M e m1 22 m2 l1
l Pl1 ( m1 1)l1 ( m2 2 )l2 l1 l2 M e P m1 22 m2 l1
m2
l2 l1
P
1 x
势能： U 1 k1 x 2 1 k2 ( l3 x) 2 1 (k1 l3 k 2 ) x 2 2
最大位移位置
k 2
最大位移位置，系统动 能为零，势能达到最大
m
0
xmax
静平衡位置
T U const
Tmax U max
k
x
求:倒摆作微幅振动时的固有频率
n k m
x 是广义的
对于转动：
max n xmax x
max n max
5 6
1
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0 k mt m x
m k2
n2
2k1 8k2 3M 8m
n