1-2 简谐运动的能量及其合成
简谐振动的合成与分解(原创)
心得与体会：
用MATHCAD软件画出各种振动的图像过程，过程比较繁琐。进行分析，得出结论，虽然所做的研究比较简单，但在此过程中更好的了解振动的合成。
（3） 时， 。
（4） 为任意值时，合振动的轨迹一般为椭圆。
（5）不同频率垂直方向简谐振动的合成
一般轨迹曲线复杂，且不稳定。
而当两振动的频率成正数比时，合成轨迹Байду номын сангаас定，称为李萨如图形。如右图：
四、例子
方波信号的频谱展开。
三角函数展开式：
拓展：傅里叶级数
傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。
，
只考虑A1=A2的情况
振幅部分（振幅随时间变化）合振动频率（振动部分）
振动角频率： ；振幅： ，Amax=2A，Amin=0；
拍频（振幅变化频率）： .
下图例：
三、 两个相互垂直的同频率简谐运动的合成
质点运动方程（椭圆方程）
情况：
（1） 或2 时， 。如图1，图中A1=3，A2=4。
（2） 时， 。
李晓林在自然界和工程技术中我们所遇到的振动大多不是简谐振动而是复杂的振动处理这类问题往往把复杂振动看成由一系列不同性质频率方向等的间谐振动组合而成也就是把复杂振动分解为一系列不同性质频率方向等的间谐振动
简谐振动的合成与分解
学号：2901304019班级：29001020姓名：李晓林
简谐运动的合成
2
1 2 (
拍频（振幅变化的频率）
2 1
2 t)
的频率的两倍。
2 1
2
) 2 1
8.2
四
简谐运动的合成
第八章 机械振动
两个相互垂直的同频率简谐运动的合成 x A1 cos( t 1 )
y A 2 cos( t 2 )
( k 0 ， 1 ， 2, )
1）相位差 2 1 2 k π
x
o A
A2
x
o
T
1
t
x ( A1 A 2 ) cos( t )
A
A A1 A 2
2 1 2k π
8.2
简谐运动的合成
A
2 1 2 2
x n A n cos( t n )
A
1 A1
x x1 x 2 x n
x A cos( t )
2
A2
A3 3
o
x
多个同方
简谐运动的合成
第八章 机械振动
x 1 A 0 cos t x 2 A 0 cos( t )
2
T π
T
1
2 1
2 1
拍频（振幅变化的频率）
8.2
简谐运动的合成
第八章 机械振动
由于振幅是周期性变化的，所以合振动不再是 简谐振动。
当 与 都很大，且相差甚微时，可将 1 2 2 视为振幅部分，合成振动是以 为角频率的 ( 2 1 ) / 2 近似谐振动。 2 1 1 2
大学物理简谐振动的能量、合成
§3-3简谐振动的能量下面以弹簧振子为例来说明简谐振动的能量。
某一时刻 t ：位移 ()0c o s x A t ωϕ=+ 速度 ()0s i n v A t ωωϕ=-+振动动能 ()2222011sin 22k E mv m A t ωωϕ==+ ()2201sin 2kA t ωϕ=+振动势能 ()222011cos 22p E kx kA t ωϕ==+ 总能量 22221122k p E E E kA m A A ω=+==∝ 振幅反映了振动的强度 简谐振动系统机械能守恒！动能和势能相互转化。
简谐振动的系统都是保守系统。
动能和势能在一个周期内的平均值为()2220001111()sin 24T T k k E E t dt kA t dt kA T T ωϕ==+=⎰⎰ ()2220001111()cos 24T T p p E E t d t kA t dt kA T T ωϕ==+=⎰⎰21142k p E E kA E ===动能和势能在一个周期内的平均值相等，都等于总能量的一半。
例3.4：见第一册教材第113页。
（不讲）例：光滑水平面上的弹簧振子由质量为 M 的木块和劲度系数为 k 的轻弹簧构成。
现有一个质量为 m ，速度为 0u 的子弹射入静止的木块后陷入其中，此时弹簧处于自由状态。
（不讲） （1）试写出谐振子的振动方程；Ox（2）求出2Ax =-处系统的动能和势能。
解：（1）射入过程，水平方向动量守恒。
设射入后子弹和木块的共同速度为 0V ()00mu M m V =+00mV u M m=+ 建立坐标系如图，初始条件为00x =， 00v V = 谐振系统的圆频率为ω=初相位 032ϕπ=振幅v A ω===振动方程3o 2x π⎫=+⎪⎪⎭（2）势能 ()22220112228p m u A E kx k M m ⎛⎫=== ⎪+⎝⎭O动能 ()22222031132888k p m u E E E kA kA kA M m =-=-==+Ex ：质量为kg 10103-⨯的小球与轻弹簧组成的系统，按)SI ()328cos(1.0ππ+=t x 的规律作谐振动，求：(1)振动的周期、振幅和初相位及速度与加速度的最大值；(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等?(3)s 52=t 与s 11=t 两个时刻的相位差； 解：(1) 0.1m,8A ωπ== rad/s ， 214T πω∴==秒， 02/3ϕπ= πω8.0==A v m 1s m -⋅ 51.2=1s m -⋅ 2.632==A a m ω2s m -⋅ (2) 0.63N m m F ma ==J 1016.32122-⨯==m mv E J 1058.1212-⨯===E E E k p当p k E E =时，有p E E 2=，即 )21(212122kA kx ⋅=∴ m 20222±=±=A x (3) ππωφ32)15(8)(12=-=-=∆t t§3-4简谐振动的合成一、两个同向同频简谐振动的合成设质点同时参与两个同方向同频率的谐振动 ()1110c o s x A t ωϕ=+()2220c o s x A t ωϕ=+质点的合位移()()12110220c o sc o sx x x A t A t ωϕωϕ=+=+++下面我们用旋转矢量法求合位移：0t = 时刻，两分振动与 x 轴正方向的夹角分别为 10ϕ 和 20ϕ，以相同的角速度 ω 逆时针转动。
《简谐运动的合成》课件
演化、分支和应用
复杂演化
分支学科
摆锤波、庞加莱山丘和分形结构。
天文学、量子力学、金融市场的 年度周期、周期性疾病等。
应用
音乐制作、机械振动隔振等。
《简谐运的合成》PPT 课件
让我们一起探索简谐运动的奥秘，以及如何合成它们，理解它们的物理和声 学意义。
简谐运动
定义
在保证周期性的前提下，物体在固定外力作用下沿一个固定轨道做的运动称为简谐运动。
特点
周期性、振幅、相位、频率、能量守恒。
物理意义
简谐运动是许多自然现象的基础，例如弹簧振子、波的传播、电路中的交流电等。
4 频率
单位时间内重复运动的次数，即振动的快慢。
简谐振动的模拟
Project 1
通过模拟普通化学键中的键弹 性常数，让分子的振动成为一 个弹性团体的整体振动。
Project 2
开发一个可以模拟波的传播和 反射等现象的平台。
Project 3
设计一个工具用于分析在大量 复杂结构和流体下的流动或运 动。
总结
原理 应用 重要性
简谐运动的周期性、振幅、相位、频率、能量守 恒 声音、机械振动、电路等多个领域。
简谐振动学是理解自然现象及应用科学的基础。
力学和声学之美
1 位移
最基本的力学量，表述物体在空间三维坐标 系所占据的位置。
2 振幅
描述物体围绕平衡位置做小幅度振动的最大 位移量。
3 波长
因为波是重复的，所以它有特定的波长。
简谐振动的合成
概述
两个或多个简谐运动的合成。
合成振幅的求法
矢量法或三角函数法。
合成频率的求法
各组分振动的频率之和。
双摆实验
演示简谐振动的合成原理。
简谐振动的能量公式
简谐振动的能量公式好嘞，以下是为您生成的关于“简谐振动的能量公式”的文章：咱先来说说啥是简谐振动。
比如说一个小球挂在弹簧上，一松手，小球就这么上上下下地动起来，这就是简谐振动。
简谐振动的能量可是有讲究的，这里面的能量公式啊，能让咱们清楚地知道这个振动系统里到底藏着多少能量。
简谐振动的能量主要包括动能和势能。
动能呢，就好比那个上蹿下跳的小球跑起来的能量；势能呢，就像被拉长或者压缩的弹簧储存的能量。
那简谐振动的能量公式到底是啥呢？E = 1/2 kA²，这里的 E 表示总能量，k 是劲度系数，A 是振幅。
咱来好好琢磨琢磨这个公式。
振幅 A 越大，就意味着振动的幅度越大，那总能量也就越大。
这就好像荡秋千，荡得越高，也就是振幅越大，需要的能量就越多。
我记得有一次在课堂上给学生们讲这个知识点。
当时我拿了一个小弹簧和一个小铁球做演示。
我把弹簧拉长，然后松手让铁球振动起来，同学们都瞪大眼睛看着。
我问他们：“你们觉得这个铁球振动的能量和什么有关？”有的同学说和弹簧拉得长短有关，有的说和铁球的重量有关。
我笑着摇摇头，然后开始给他们讲解这个能量公式。
我告诉他们，就像这个弹簧，拉得越长，振幅越大，能量也就越大。
然后我又改变了弹簧的劲度系数，让他们观察铁球振动的变化。
同学们一下子就明白了，那一张张恍然大悟的小脸，让我特别有成就感。
咱们再回到这个公式。
劲度系数 k 越大，同样的振幅下，能量也会越大。
这就好比是不同的弹簧，有的硬一些，有的软一些，硬的弹簧储存的能量相对就更多。
在实际生活中，简谐振动的例子可不少。
像钟摆的摆动，吉他弦的振动，甚至是我们的心脏跳动，都可以用简谐振动的原理和能量公式来解释。
比如说吉他弦，调弦的时候，改变弦的松紧程度，其实就是在改变劲度系数。
弦调得越紧，劲度系数越大，振动的能量就会有所变化，发出来的声音也就不同啦。
还有啊，心脏的跳动也是一种简谐振动。
当我们运动的时候，心跳会加快加强，振幅和频率都发生变化，能量的供给也得跟上，不然咱们可就没力气活动啦。
简谐振动的能量要点
简谐振动的能量要点简谐振动是物体在一些平衡位置附近以固定频率来回振动的运动方式。
它是一种理想化的振动模型，常用于描述弹簧和摆钟等物理系统的振动特性。
在简谐振动中，振动物体的能量一直保持着恒定。
以下是关于简谐振动能量的几个重要要点：1.势能和动能之间的转换：在简谐振动中，振动物体的能量主要由势能和动能组成。
当物体从平衡位置偏离时，会产生弹性势能。
随着物体向平衡位置回归，弹性势能转变为动能。
两种能量形式之间的转换是周期性的，能量在势能和动能之间交替转换，始终保持总能量不变。
2.势能的表达式：简谐振动的势能可以用一个二次函数来表达。
对于弹簧振子，势能与物体偏离平衡位置的平方成正比。
势能函数可以表示为U(x) = (1/2) kx²，其中k是弹簧劲度系数，x是物体离开平衡位置的位移量。
3.动能的表达式：振动物体的动能取决于物体的质量和速度。
动能可以表示为K = (1/2) mv²，其中m是物体的质量，v是物体的速度。
由于简谐振动中物体的运动速度是周期性变化的，动能的最大值等于势能的最大值。
4.总能量的守恒：在简谐振动中，总能量一直保持恒定。
振动物体的总能量可以表示为E=U+K，其中U是势能，K是动能。
由于振动物体在势能和动能之间交换能量，总能量以恒定的方式改变，但总能量的值始终保持不变。
5.振幅和能量关系：振动物体的振幅是指物体离开平衡位置的最大位移量。
振幅越大，物体在振动过程中的最大速度和最大加速度也会增大。
根据动能的表达式K = (1/2) mv²可以看出，振幅的增加会导致动能的增加，从而增加振动物体的总能量。
6.能量的周期性变化：简谐振动的能量以周期性的方式变化。
在振动周期的不同阶段，势能和动能的值会交替变化。
具体来说，在最大位移点，势能达到最大值而动能为零；在通过平衡位置时，势能为最小值而动能最大。
这种能量的周期性变化特性与简谐振动的周期性变化是紧密相关的。
3简谐振动的能量
x
o
A
dengyonghe1@
1 2 2 2 Ek = mω A sin (ωt + ϕ ) 2 k Qω = m
2
Ek
mω = k
2
o
t
1 2 2 Ek = kA sin (ωt + ϕ ) 2
dengyonghe1@
1 2 2 Ek = kA sin (ωt + ϕ ) 2 二、简谐振动的势能 1 2 E p = kx 2 1 2 = k[ A cos(ωt + ϕ )] 2 1 2 2 = kA cos (ωt + ϕ ) 2
dengyonghe1163com简谐振动过程即有动能又有势能e平均值
第三节 简谐振动的能 量
dengyonghe1@
简谐振动过程即有动能又有势能， 交替变化。 简谐振动过程即有动能又有势能，Ek、Ep交替变化。
一、简谐振动的动能
1 2 Ek = mv 2 1 2 = m[ − Aω sin(ωt + ϕ )] 2 1 2 2 2 = mA ω sin (ωt + ϕ ) 2
Ek Ep
o
t
Ek 最大时， Ep最小， Ek 、Ep交替变化。 最大时， 最小， 交替变化。
dengyonghe1@
平均值： 平均值：
1 2 2 Ek = kA sin (ωt + ϕ ) 2 1 2 2 E p = kA cos (ωt + ϕ ) 2 o
1 Ek = T
1 Ep = T
Ek Ep
E
t
∫
∫
T
0
T
1 2 1 2 2 kA sin (ωt + ϕ )dt = kA 2 4
简谐运动的合成与分解
五、谐振分析和频谱 （自学）
在自然界和工程技术中，我们所遇到的振 动大多不是简谐振动，而是复杂的振动，处 理这类问题，往往把复杂振动看成由一系列 不同频率的间谐振动组合而成，也就是把复 杂振动分解为一系列不同频率的间谐振动， 这样分解在数学上的依据是傅立叶级数和傅 立叶积分的理论，因此这种方法称为傅立叶 分析。
如果分振动不止两个，而且它们的振动频率是基频 地整数倍（倍频）则它们的合振动仍然是周期运动， 其频 率等于倍频。按规律： x ( t ) A(cost cos 3t 3 1 1 cos5t cos 7t ) 5 7
如果增加合成的项数，就 可以得到方波形的振动：
既然一系列倍频简谐振动的合成是频率等于基频的周 期运动，那么，与之相反，任意周期性振动都可以分 解为一系列简谐振动，各个分振动的频率都是原振动 频率的整数倍，其中与原振动频率一致的分振动称为 基频振动，其它的分振动则依照各自的频率相对于基 频的倍数而相应的称为二次、三次、……谐频振动。 这种把一个复杂的周期振动分解为一系列简谐振动之 和的方法，称为谐振分析。
t0
t0 T
x( t ) cos ntdt
x ( t ) si ntdt
t0
2 2 an bn
n
an arctan bn
为了显示实际振动中所包含的各个简谐振动的振动情 况（振幅、相位），常用图线把它表示出来。若用横坐 标表示各谐频振动 的频率，纵坐标表示相应的振幅， 就得到谐频振动的振幅分布图，称为振动的频谱。不同 的周期运动，具有不同的频谱，周期运动的各谐振成分 的频率都是基频的整数倍， 所以它的频谱是分立谱。
2
A
若1= 2 ,则 不变； 若1 2 ,则 变；
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O
x
A
x
2. 简谐运动系统机械能与振幅平方成正比。
Simple Harmonic Motion (SHM)
4. 简谐运动的能量特征 说明：
3. 从机械能守恒可推导出简谐运动方程。
1 2 1 2 E mv kx 常量 2 2
d 1 2 1 2 ( mv kx ) 0 dt 2 2 dv dx mv kx 0 dt dt 2 d x k x0 2 dt m
二、简谐运动的合成
4. 两个相互垂直、同频率简谐运动的合成
x A1 cos(t 1 )
质点运动轨迹为:
y A2 cos(t 2 )
x y 2 xy cos(2 1 ) sin 2 (2 1 ) 2 2 A1 A2 A1 A2
2
2
两个相互垂直、同频率简谐运动的合成
2. 多个同方向、同频率简谐运动的合成
x x1 x2 xn
N sin 2 A A0 sin 2
xN A0 cos[t ( N 1) ]
x1 A0 cost x2 A0 cos(t ) x3 A0 cos(t 2 )
此时，合运动的轨迹形状不仅与原来的两分振动 的频率比有关，而且与两振动的初相差有关。
二、简谐运动的合成
5. 两个相互垂直、不同频率简谐运动的合成 x A1 cos(1t 1 ) y A2 cos( 2t 2 )
当频率为无理数比时： 其合成运动将永远不重复已走过的路径，它的 轨迹将逐渐密布在振幅所限定的整个矩形面内。这 种非周期性运动称为准周期运动。
NO. 1－2
第九章
振动
（Chapter 9 Vibration）
简谐运动的能量特征 Energy character of SHM
简谐运动的合成 Superposition of SHMs
Simple Harmonic Motion (SHM)
4. 简谐运动的能量特征
（1）自学教材P13-14 （2）回答下列问题: 做简谐运动的系统能量有何特点？
-A2
内容小结
1. 掌握简谐运动系统的能量特征;
2. 掌握两个同方向同频率、两个同方向不同频 率、两个相互垂直且同频率的简谐运动的合成.
今日作业
9－22、 9－25、 9－27、 9－30
与哪些因素有关？
其机械能守恒吗？
Simple Harmonic Motion (SHM)
4. 简谐运动的能量特征
x, v
x A cos(t )
o
能量
x t
T
v t
t
0 x Acost v A sin t
1 2 2 E Ek Ep kA A 2
T2
m
T1
T2 T1
o
y
o
mg
mg k y cos t k m J R2
二、简谐运动的合成
1. 两个同方向、同频率简谐运动的合成
由振动叠加原理，
x1 A1 cost 1 x2 A2 cost 2
A2
准周期运动在结构上是不稳定的， 参量稍有变化（如引入微弱的耦合）， 构成它的两个振动的频率就会被锁定到 一个相近的有理数比值上的现象称为同 步锁模现象。 —— 皮秒激光器
例3 两个同方向的简谐运动曲线如图所示， 则合振动的振幅为 ，合振动的运动方 程为 。
x
A2 A1 O -A1 1 2
T/2
T
t
Q
R
N
A0
P
A
Acos(t )
O A B 1
A2
1 N 1 2
二、简谐运动的合成
3. 两个同方向、不同频率简谐运动的合成
x1 A1 cos(1t 1 )
讨论：
x2 A2 cos(2t 2 )
A1 A2 A 设 1 2
此时的合振动不再是简谐振动！
2 1 1 2 的情况
2 1
2 t ) cos(
x(2 A cos
振幅部分
2 1
2
t )
低频振动
高频振动
当两个频率很大且比较接近时，合振动的振幅 随时间发生周期性变化。—— “拍” 拍频（振幅变化的频率）： 2 1
例1 一弹簧振子作简谐运动，当其位移为振
幅的一半时，其动能为总能量的 （
1 A. 2
）
3 E. 4
1 B. 2
C.
3 2
1 D. 4
例2 图示一轻质绳一端连接轻质弹簧，其劲度系
数为 k ，绳另一端绕过一转动惯量为 J 的薄圆盘与 物体 m 相连，圆盘半径为 R 。开始时，使弹簧处于 原长，然后静止释放物体，求物体运动的方程。
2
2
o
x A1
A2 y x A1
A2
o
y
A1
4）2 1 π 2 y
x
Байду номын сангаас
x y 2 1 2 A1 A2
2
2
A2
o
x A1
二、简谐运动的合成
5. 两个相互垂直、不同频率简谐运动的合成
x A1 cos(1t 1 )
y A2 cos( 2t 2 )
合振动比较复杂，且一般轨迹不稳定。这里只介绍 两种简单情况： （1）若两振动的频率有微小差异，则可近似看成 是同频率振动的合成。但由于相位差随时间缓慢增 加，于是合运动按直线→椭圆→直线的顺序变化。 （2）当1 2 成简单整数比时，合运动是周期运 与 动，轨迹为稳定的闭合曲线（Lissajous’ Figure）
x 2 y 2 2 xy 2 cos( 2 1 ) sin 2 ( 2 1 ) A12 A2 A1 A2 2） 2 1 π 2
A2
讨论
1） 2 1 0
y
A2
y
A2 y x A1
3） 2 1 π
o
A1
x
x y 2 1 2 A1 A2
2
O
A
x
x
x x1 x2 Acost
仍然是简谐运动！
其中:
A A1 A2 2 A1 A2cos(2 1 )
2 2
x2
1
x1
A1
A1 sin 1 A2 sin 2 tg A1 cos 1 A2 cos 2
二、简谐运动的合成
Ep 1 kA 2 cos 2 t 2
o
T 4
T 2
3T 4
T
t
1 Ek m 2 A2 sin 2 t 2
Simple Harmonic Motion (SHM)
4. 简谐运动的能量特征 说明：
1. 简谐运动系统的动能和势能均随时间做周期性 变化，但机械能守恒。 E
p
C
E
Ek
Ep
B
A