2-简谐振动和能量法
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简谐运动及其旋转矢量表示法简谐运动的能量
解：(1 )A6 1 2 0 m , /3 ，
1 Hz , 2 6
T 2 1 6s, /4
（2）势能 总能
Epkx2/2, EkA 2/2
由题意， k2 x/2k2 A /4, xA/ 24.2 41 02m
（3）从平衡位置运动到 xA/ 2
的最短时间为 T / 8。
即为 6/80.75s
) )
O
A/2
x
(B)
A/2
O
x
A
x 10-2cos( t /3 - /4)，(SI)
五、两个同频率简谐运动的相位关系
x 10-2cos( t /3 - /4)，(SI)
x2 比 x1 超前
简谐运动及其旋转矢量表示法简谐运动的能量
五、两个同频率简谐运动的相位关系
(或 x1 比 x2 落后 ) 的最短时间为 T / 8。
x Acos( t )
半径
圆周运动小球 角速度
振幅
角频率 简谐振动物体
角坐标
相位
例：一物体做谐振动，振幅为 A，在起始
时刻质点的位移为 A/2 且向 x 轴的正方向
运动，代表此谐振动的旋转矢量图为：
质点运动的周期和振幅。
五、两个同频率简谐运动的相位关系
= 2 v = 2 /T
质点运动的周期和振幅。
A
，振幅A=1 cm． t=0时,速度具有负最O大值，求振动表达式．
(C ) x A/2
(D)
A/2
O
x
A
[D]
四、简谐运动的能量
1. 动能
Ek
1 mv 2
2
1 kA2 sin 2( t )
2
掌握
Ek max
1 Hz , 2 6
T 2 1 6s, /4
（2）势能 总能
Epkx2/2, EkA 2/2
由题意， k2 x/2k2 A /4, xA/ 24.2 41 02m
（3）从平衡位置运动到 xA/ 2
的最短时间为 T / 8。
即为 6/80.75s
) )
O
A/2
x
(B)
A/2
O
x
A
x 10-2cos( t /3 - /4)，(SI)
五、两个同频率简谐运动的相位关系
x 10-2cos( t /3 - /4)，(SI)
x2 比 x1 超前
简谐运动及其旋转矢量表示法简谐运动的能量
五、两个同频率简谐运动的相位关系
(或 x1 比 x2 落后 ) 的最短时间为 T / 8。
x Acos( t )
半径
圆周运动小球 角速度
振幅
角频率 简谐振动物体
角坐标
相位
例：一物体做谐振动，振幅为 A，在起始
时刻质点的位移为 A/2 且向 x 轴的正方向
运动，代表此谐振动的旋转矢量图为：
质点运动的周期和振幅。
五、两个同频率简谐运动的相位关系
= 2 v = 2 /T
质点运动的周期和振幅。
A
，振幅A=1 cm． t=0时,速度具有负最O大值，求振动表达式．
(C ) x A/2
(D)
A/2
O
x
A
[D]
四、简谐运动的能量
1. 动能
Ek
1 mv 2
2
1 kA2 sin 2( t )
2
掌握
Ek max
简谐运动的回复力和能量
0 max 0
A-O 负
↘正 ↘
正 ↘ 正↗ ↘
↗
1．简谐运动过程中动能和势能不断地 发生转化。系统的总机械能。
2．振幅越大，机械能越大。
3．势能Ep、动能Ek[来周期性变化。
ks5u精品课件
你会荡秋千吗？
你喜欢荡秋千吗？也许你很喜欢却荡不好。要知道，会荡秋千 的人，不用别人帮助推，就能越摆越高，而不会荡秋千的人则始终 也摆不起来，知道这是什么原因吗？ 请你仔细观察一下荡秋千高手的动作
【解析】选C、D.振子在平衡位置两侧往复运动，速度相同
的位置可能出现在关于平衡位置对称的两点，这时弹簧长度明显 不等，A错；振子由最低点向平衡位置运动的过程中，弹簧对振 子施加的力指向平衡位置，做正功，B错；振子运动过程中的回 复力由弹簧振子所受合力提供且运动过程中机械能守恒，故C、D 对.
小结
类型一 简谐运动的回复力
【例1】.如图所示,弹簧振子B上放一个物块A,在A与B一起做简谐运动的过程中,关于A受力 说法中正确的是( )
A.物块A受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力 B.物块A受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向都随时间变化的弹力 C.物块A受重力、支持力及B对它的恒定的摩擦力 D.物块A受重力、支持力及B对它的大小和方向都随时间变化的摩擦力
回复力—效果力，在振动方向上的合外力.
简谐运动
动力学特点： 运动学特点：
F回=–kx a kx
m
简谐运动的能量— 机械能守恒
的是简谐运动吗？
试证明光滑斜面上的小球连在弹簧上,把原来静止的小球沿斜
面拉下一段距离后释放,小球的运动是简谐运动.
【证明】
如图,小球静止时弹簧的伸长量x为0
mgsin k
大学物理-11第十一讲简谐振动、振动能量、旋转矢量法
振动方程 x0.15cos5tmxAcost
14
例：边长l的立方体木块浮于静水中，浸入水中部分 的高度为b。今用手将木块压下去，放手让其开始运 动。忽略水的阻力，证明木块作谐振动。 解：以水面为原点建立坐标OX。
任意时刻 F浮水(bx)l2g mgF浮ma
水 b l2g水 l2(bx)gm a
力使 减小.
mgsinmldd2t2
很小，sin mg
ml
d2
dt2
l m
f mg
d 2
dt 2
g
l
0
角谐振动
解为 0cos(t)
g T 2 l
l
g
12
例：如图所示装置，轻弹簧k =50N/m，滑轮 M =1kg,
半径 R =0.2m，物体 m =1.5kg。若将物体由平衡位置
X
P
xAcos(t)
◆可用该旋转矢量末端的投影点 P 的运动来表示简 谐振动。
16
旋转矢量法的应用
1.确定初位相 ●由初始位置 x0 确定旋转矢量两个可能的位置。 （特殊情况下只有一个位置） ●根据初始速度方向，由旋转矢量两个可能的位 置中确定初始位置，从而找出初相.。
A
Ox
17
例：确定下列情况的初位相 (a) 已知 t = 0 时，x = -A。 (b) 已知 t = 0时，x = 0，且向 x 轴正方向运动。 (c) 已知 t = 0，x = -A/2，且向 x 轴负方向运动。 (d) 已知 t = 0，x = -A/2，且向 x 轴正方向运动。
13
d2x dt2
k x0 m(1/2)m
d2x dt 2
14
例：边长l的立方体木块浮于静水中，浸入水中部分 的高度为b。今用手将木块压下去，放手让其开始运 动。忽略水的阻力，证明木块作谐振动。 解：以水面为原点建立坐标OX。
任意时刻 F浮水(bx)l2g mgF浮ma
水 b l2g水 l2(bx)gm a
力使 减小.
mgsinmldd2t2
很小，sin mg
ml
d2
dt2
l m
f mg
d 2
dt 2
g
l
0
角谐振动
解为 0cos(t)
g T 2 l
l
g
12
例：如图所示装置，轻弹簧k =50N/m，滑轮 M =1kg,
半径 R =0.2m，物体 m =1.5kg。若将物体由平衡位置
X
P
xAcos(t)
◆可用该旋转矢量末端的投影点 P 的运动来表示简 谐振动。
16
旋转矢量法的应用
1.确定初位相 ●由初始位置 x0 确定旋转矢量两个可能的位置。 （特殊情况下只有一个位置） ●根据初始速度方向，由旋转矢量两个可能的位 置中确定初始位置，从而找出初相.。
A
Ox
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例：确定下列情况的初位相 (a) 已知 t = 0 时，x = -A。 (b) 已知 t = 0时，x = 0，且向 x 轴正方向运动。 (c) 已知 t = 0，x = -A/2，且向 x 轴负方向运动。 (d) 已知 t = 0，x = -A/2，且向 x 轴正方向运动。
13
d2x dt2
k x0 m(1/2)m
d2x dt 2
简谐运动的回复力和能量+示范教案
简谐运动的回复力和能量教学目标(1)会分析弹簧振子的受力情况，理解回复力的概念。
(2)认识位移、速度、回复力和加速度的变化规律及相互联系。
(3)会用能量观点分析水平弹簧振子动能、势能的变化情况，知道简谐运动中机械能守恒。
教学重难点教学重点(1)理解回复力的概念。
(2)位移、速度、回复力和加速度的变化规律。
(3)简谐运动中动能和势能的变化。
教学难点从回复力角度证明物体的运动是简谐运动。
教学准备水平弹簧振子，多媒体课件教学过程新课引入教师设问：当我们把弹簧振子的小球拉离平衡位置释放后，小球就会在平衡位置附近做简谐运动。
小球的受力满足什么特点才会做这种运动呢？根据牛顿运动定律，可以作出以下判断：做简谐运动的物体偏离平衡位置向一侧运动时，一定有一个力迫使物体的运动速度逐渐减小直到减为0，然后物体在这个力的作用下，运动速度又由0逐渐增大并回到平衡位置；物体由于惯性，到达平衡位置后会继续向另一侧运动，这个力迫使它再一次回到平衡位置；正是在这个力的作用下，物体在平衡位置附近做往复运动。
我们把这样的力称为回复力。
讲授新课一、简谐运动的回复力教师活动：做简谐运动的物体受到的回复力有什么特点？下面我们以弹簧振子做简谐运动为例进行分析。
如图1甲，当小球在O 点(平衡位置)时，所受的合力为0；在O 点右侧任意选择一个位置P ，无论小球向右运动还是向左运动，小球在P 点相对平衡位置的位移都为x ，受到的弹簧弹力如图1乙所示。
从图中可以看出，迫使小球回到平衡位置的回复力应该是由弹簧弹力提供的，回复力大小为F =kx (k 为弹簧的劲度系数)，方向指向平衡位置。
同样道理，当小球在O 点左侧某一位置Q 时，迫使小球回到平衡位置的回复力还是由弹簧弹力提供，大小仍为F =kx (如图1丙所示)，方向指向平衡位置。
从上面的分析可以看出，弹簧对小球的弹力是小球做简谐运动的回复力，(1)回复力的特点：大小与小球相对平衡位置的位移成正比，方向与位移方向相反。
《简谐振动》课件
3
谐振共振现象
在一些特殊情况下，简谐振动会出现共振现象，引起丰富的物理现象和效应。
课堂练习与小结
实验：简谐振动的观测
通过实验，我们可以直观地观测 和验证简谐振动的各种特性和规 律。
练习题：简谐振动的计算
通过练习题，我们可以更加熟练 地掌握和运用简谐振动的计算方 法。
小结：简谐振动的本质及 其应用
简谐振动的本质是物体在恢复力 作用下的周期性振动，具有广泛 的应用价值和理论意义。
《简谐振动》PPT课件
什么是简谐振动？
定义
简谐振动是指物体在一个固 定轨迹上以恒定速度来回振 动的运动。
周期、频率与角频率的 关系
周期与频率是简谐振动的关 键参数，它们之间遵循特定 的数学关系。
物ห้องสมุดไป่ตู้实例
弹簧振子和单摆振动是常见 的简谐振动实例，它们展示 了简谐振动的特征。
简谐振动的数学描述
1 振动方程的一般形式
简谐振动可以用振动方程的一般形式来描述，这是简谐振动理论的核心。
2 欧拉公式及其应用
欧拉公式是描述简谐振动的数学工具，对于求解振动问题具有重要意义。
3 谐振曲线与相位差
谐振曲线和相位差是简谐振动中常见的图像表示形式，能帮助我们更好地理解振动的性 质。
简谐振动的能量
动能与势能的变化
简谐振动中的动能和势能随时 间的变化呈周期性规律，相互 转化。
振动量的计算方法
我们可以通过计算振动量来了 解简谐振动的强度和特性。
能量守恒定律
简谐振动遵循能量守恒定律， 能量在振动过程中始终保持不 变。
简谐振动的阻尼与受迫振动
1
阻尼振动的特征
阻尼振动是简谐振动受到阻碍或阻尼力的情况，具有一些特殊的行为与性质。
大学物理简谐振动
tan A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos1 A2 cos2
A2
A
A2 sin 2
2 -1
2
O
1 A1 x2
A1 sin 1
x2 x
x1x1
x2
x
A1 cos1 A2 cos2
合振动振幅：A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
1. 两个分振动的相位相同（同相）
5 (或 3 )
4
4
第六章
机械波
mechanical wave
6.1 机械波的产生、传播和描述 波动: 振动在空间中的传播过程.
机械波: 机械振动在弹性介质中的传播过程. 波动
电磁波: 交变电磁场在空间中的传播过程. 6.1.1 机械波的产生
当弹性介质中的一部分发生振动时，由于介质各个 部分之间的弹性力作用，振动就由近及远地传播出去. (1) 机械波实质上是介质中大量质点参与的集体振动;
20 0.47
(2) 30为何值时, x1+x3 的振幅为最大; 30为何值时, x2+x3的振幅为最小.
x1 0.05cos10t 3 4
x2 0.06cos10t 4
x3 0.07 cos10t 30
30
10
0 时，x1+x3 振幅最大：30
10
3
4
30 20 时，x2+x3 振幅最小：30 20
t 时刻点 P 的振动状态
P点在
t
时刻的位移
y P ,t
yO ,t x
u
A c os [ (t
x) u
0 ]
波函数 (波方程)
y( x, t )
A cos[ (t
A2
A
A2 sin 2
2 -1
2
O
1 A1 x2
A1 sin 1
x2 x
x1x1
x2
x
A1 cos1 A2 cos2
合振动振幅：A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
1. 两个分振动的相位相同（同相）
5 (或 3 )
4
4
第六章
机械波
mechanical wave
6.1 机械波的产生、传播和描述 波动: 振动在空间中的传播过程.
机械波: 机械振动在弹性介质中的传播过程. 波动
电磁波: 交变电磁场在空间中的传播过程. 6.1.1 机械波的产生
当弹性介质中的一部分发生振动时，由于介质各个 部分之间的弹性力作用，振动就由近及远地传播出去. (1) 机械波实质上是介质中大量质点参与的集体振动;
20 0.47
(2) 30为何值时, x1+x3 的振幅为最大; 30为何值时, x2+x3的振幅为最小.
x1 0.05cos10t 3 4
x2 0.06cos10t 4
x3 0.07 cos10t 30
30
10
0 时，x1+x3 振幅最大：30
10
3
4
30 20 时，x2+x3 振幅最小：30 20
t 时刻点 P 的振动状态
P点在
t
时刻的位移
y P ,t
yO ,t x
u
A c os [ (t
x) u
0 ]
波函数 (波方程)
y( x, t )
A cos[ (t
1、简谐振动的特征、能量
4
2
4
T
t
1 2 2 2 Ek m A sin t 2
1 2 E kA 2
简谐运动能量守恒，振幅不变 简谐运动势能曲线
Ep
C
E
A
O
B
Ek
Ep
x
A
x
能量守恒
推导
1 2 1 2 E mv kx 2 2
d 1 1 2 2 ( mv kx ) 0 dt 2 2 dv dx mv kx 0 dt dt
2
其解为∶
x A cos( t )
──谐振动的运动学方程 (简称振动方程)
x A cos( t )
运动学方程
描述作谐振动物体位置随时间变化的关系
dx v A sin(t ) dt
描述作谐振动物体振动速度随时间变化的关系
dv 2 a A cos(t ) dt
相位差只能在同频率的振动间比较 当 2n
当 （ 2n 1 ） 若 0
n 0, 1, 2
n 0, 1, 2
时
两振动步调相同，称同相
时
两振动步调相反，称反相
2 超前于 1 或 1滞后于 2
相位差反映了两个振动不同程度的参差错落
四、振幅和初相确定
波动篇
内容： 机械振动 机械波
波动光学
前
言
人们习惯于按照物质的运动形态，把经典物理学 分成力（包括声）、热、电、光等子学科。然而，某 些形式的运动是横跨所有这些学科的，其中最典型的 要算振动和波了。在力学中有机械振动和机械波，在 电学中有电磁振荡和电磁波，声是一种机械波，光则 是一种电磁波。在近代物理中更是处处离不开振动和 波，仅从微观理论的基石——量子力学又称波动力学 这一点就可看出，振动和波的概念在近代物理中的重 要性了。
简谐振动的能量
与(3)相同，只是质点的轨迹 沿逆时针旋转。 ～ 左旋椭圆运动
对应不同相位差的合运动轨迹
ϕ2 −ϕ1 = 0
π
4
Байду номын сангаас
π
2
3π
4
ϕ2 −ϕ1 = π
5π
4
3π
2
7π
4
五、两个相互垂直的不同频宰的简谐运动的合成
讨论：相互垂 直、频率成简 单整数比 合运动具有稳 定封闭的轨迹 李萨如图形
作业：习题 P39 14-22 14-27
∠OPQ = N∆ϕ
在三角形 OPQ 中,OQ 的长度就是和振动位移矢量的 位移,角度 ∠QOX 就是和振动的初相，得:
N∆ϕ A = 2Rsin( ) 2
∆ϕ A0 = 2Rsin( ) 2
N∆ϕ ∆ϕ A = A0 sin( ) sin( ) 2 2
ϕ = ∠QOB = ∠POB −∠POQ
当 ∆ϕ = 0 时(同相合成)，有
ω2 +ω1
2
t)
ν2 −ν1 ν2 +ν1 x = 2A cos2π t ⋅ cos2π t 1 2 2
因ω1
~ ω2 , ω2 − ω1 << ω1 或 ω2 , 有
ω2 + ω1
≈ ω1 ≈ ω2
2 在两个简谐振动的位移合成表达式中，第一项随时 间作缓慢变化, 第二项是角频率近于 ω1或ω2 的简谐 函数。合振动可视为是角频率为 (ω1 + ω2 ) 2、振幅为 2Acos (ω2 − ω1)t 2的简谐振动。
§14-3 简谐振动的能量
以水平弹簧振子为例讨论简谐振动系统的能量。 动能
势能
系统总的机械能：
对应不同相位差的合运动轨迹
ϕ2 −ϕ1 = 0
π
4
Байду номын сангаас
π
2
3π
4
ϕ2 −ϕ1 = π
5π
4
3π
2
7π
4
五、两个相互垂直的不同频宰的简谐运动的合成
讨论：相互垂 直、频率成简 单整数比 合运动具有稳 定封闭的轨迹 李萨如图形
作业：习题 P39 14-22 14-27
∠OPQ = N∆ϕ
在三角形 OPQ 中,OQ 的长度就是和振动位移矢量的 位移,角度 ∠QOX 就是和振动的初相，得:
N∆ϕ A = 2Rsin( ) 2
∆ϕ A0 = 2Rsin( ) 2
N∆ϕ ∆ϕ A = A0 sin( ) sin( ) 2 2
ϕ = ∠QOB = ∠POB −∠POQ
当 ∆ϕ = 0 时(同相合成)，有
ω2 +ω1
2
t)
ν2 −ν1 ν2 +ν1 x = 2A cos2π t ⋅ cos2π t 1 2 2
因ω1
~ ω2 , ω2 − ω1 << ω1 或 ω2 , 有
ω2 + ω1
≈ ω1 ≈ ω2
2 在两个简谐振动的位移合成表达式中，第一项随时 间作缓慢变化, 第二项是角频率近于 ω1或ω2 的简谐 函数。合振动可视为是角频率为 (ω1 + ω2 ) 2、振幅为 2Acos (ω2 − ω1)t 2的简谐振动。
§14-3 简谐振动的能量
以水平弹簧振子为例讨论简谐振动系统的能量。 动能
势能
系统总的机械能：
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简谐振动的振幅与初相角，随初始条件的不同而 改变；而振动频率和周期唯一决定于振系参数，与 初始条件无关，它们是振系的固有特征，通常称为 固有频率与固有周期。
物体偏离平衡状态后，在恢复力作用下进行的振 动，称为自由振动。
2．1简谐振动
由弹簧悬挂的物体沿铅垂方向的振动。当振 系成静平衡时，弹簧在物体重力mg的作用下将有 静伸长
K
Jபைடு நூலகம்
扭摆的动能：
T
1 2
J
•
2
扭摆的势能：
U
1 2
k
2
代入方程（2）有，
d
(1
•2
J
1
K 2 )
0
dt 2
2
化简后
• ••
•
J K 0
令
K
n
J
可得
••
2 0
n
可知其为简谐振动，
T 2 2 J
n
K
f1 1 K
T 2 J
位移表达式： Asin(
2．1简谐振动
工程中一些简单的振动有时可以简化为弹簧-质量系统的 运动问题。
光滑水平面上的小物体，质量为m，由螺旋弹簧连至定点
D沿，弹弹簧簧轴重线量取可坐以标不轴计x，，以在弹不簧受不力受时力的时长的度右为端l0，位轴置线O为成原水点平
。 ，
向右为正，假定物体只限于沿坐标轴x进行直线运动，则物体
在任一瞬时的位置都可以由坐标x完全确定。这是1自由度系统。
n
J
T 2 2 J
mgS
n
计算形状复杂的机器部件的转动惯量相当 困难。本例提供了用实验确定J的一个方法。
2.2 能量法
1、 研究的内容
讨论单自由度线性系统的自由振动，即振系在受到初始激 扰后的振动．应用牛顿运动定律，列出确定这种振动规律 的微分方程，说明其求解方法，得出位移与速度的表达式 以及频率与周期的公式．
z(从任意选定的某一基准位置量起，高出基准位
置时z为正值，反之为负值
（4）实例 铅垂圆轴，上端固定，下端装有水平圆盘，组成 扭摆。设有力矩使圆盘及圆轴下端绕铅垂轴转过 某一角度θ后突然释放，则圆盘将在水平面内进行 扭转振动．已知圆轴的扭转弹簧系数(使轴的下端 扭转1弧度所需要的力矩)为K，质量可以不计，圆 盘对转轴的转动惯量为J． 求扭摆的振动微分方 程及固有周期与频率。
Tm=Um
-----------------（3）
只要振系的自由振动是简谐振动，则由方程(3)可 以直接得出振系的固有频率，不需要列出微分方 程．
(2) 动能
平动的刚体：
T
1 m 2
2
定轴转动的刚体，对转轴的转动惯量为J, 角速度
为ω： T 1 J 2 2
平面运动的刚体，
T
2．1简谐振动
设在t=0时，物体有初位移x=x0与初速度
得
B x0 , D x0 n
x x0
即有
x x0 sin
n t x0 cos
t
n
n
解又可写为
x Asin( t ) n
A
x02 ( x0 )2 , tg 1
n
n x0 x0
s
mg k
取铅垂坐标轴x，以静平衡位置为原点
O,向下为正。在物体从静平衡位置离开x时，
弹 簧 伸 长 δs+x ， 作 用 于 物 体 的 力 等 于 k(δs+x)。物体的运动微分方程为
mx mg k( s x)
f 1 g
2 s
2．1简谐振动
例：均匀悬臂梁长为l，弯曲刚度为EI，重量不计，自由端附有重P＝mg的物 体。试写出物体的振动微分方程及固有频率。
其中A称为振幅，即振动物体离开静平衡位置的 最大距离；φ称为初相角。
由上式可的振动系统的参数： 振动周期：振动重复一次所需要的时间间隔
T 2 2 m
n
k
振动频率：在单位时间内振动的次数
f1 1 k
T 2 m
振动圆频率：
2 2f k
nT
m
2．1简谐振动
上次内容回顾：机械振动
讲述的内容
第二章 自由振动 2.1 简谐振动 2.2 能量法
第二章 自由振动
引言
1、本章研究内容
2、自由振动的求解方法
a) 根据振系的受力分析，应用牛顿运动定律，列出 确定这种振动的微分方程，说明其求解方法，得 出位移与速度的表达式，以及频率与周期的表达 式。
b)能量守恒原理：对于理想的无阻尼振系，应用能 量守恒原理，列出微分方程，或者不通过微分方 程而直接到述频率与周期的公式。
2．1简谐振动
例.可绕水平轴摆动的物体，称为复摆（物理摆），设物体质量m，对轴O的 转动惯量为J，重心G至轴O的距离为S。求复摆微幅振动微分方程及振动周 期。
解：取偏角θ为坐标，逆时针为正。复摆定轴转动微分方程
J mgS sin
圆频率和振动周期为
mgS 0
J
mgS
2．1简谐振动
设在某一瞬时t，物体位移为x，则弹簧作用于物 体的力为-kx，由牛顿运动定律有
mx kx
x 2 x 0 n
2 k nm
通解可写为 x Bsin t Dcos t
n
n
对上式求导：
•
xB
cos
tD
sin
t
n
n
n
n
其中B与D是任意常数，取决于运动的初始条件。
t )
n
•
速度表达式： A cos( t )
n
n
如果只求周期与频率，由Tm=Um
T 1 J 2 A2
m2
n
令二者相等，有
U ,
1 KA2 m2
2K nJ
作业：
弹簧不受力时，原长65厘米，下端挂上重1 公斤的物体后，弹簧长度增大到85厘米。设用手 把物体托住，使弹簧回到原来长度时，突然释放， 物体初速为零。试求物体的运动方程、振幅、周 期及弹簧力的最大值。
1 2
v m 2 c
1 2
Jc
2
式中vc表示物体质心的速度，Jc表示物体对于通过
质心且垂直于运动平面的轴的转动惯量．
(3) 势能
弹性体的势能，等于外力使弹性体产生变形过程
中所做的功弹簧伸缩x时，U
x
0 kxdx
1k 2
x2
转轴有扭转角θ时，
U
1 2
k
2
刚体的势能为： U Pz
解：摆的铅垂位置OS是静平衡位置。当摆偏离θ角时，重力的切向分量Psinθ 力图使摆回到静平衡位置。重力起着弹簧的作用。
物体的运动微分方程为
ml 2 mgl sin
g 0
l
单摆周期决定于杆长l与重力加速度g， 与摆锤重量和振幅无关。测定摆的振动周期， 就可算出当地的重力加速度。这一原理可以 用于重力探矿。
这就是应用于振系的能量守恒原理。对时间求导，
可得 d (T U ) 0 -----------------（2）
以具体dt振系的能量表达式代入上式，化简后即可
得出描述振系自由振动的微分方程．
如果取平衡位置为势能零点，在平衡位置势能为
零，动能为最大值，在振系的极端位置，其动能 为零时，势能为极大值．因此有
对理想的无阻尼振系，还应用了能量守恒原理，列出微分 方程，这种方式可以不通过微分方程而直接导出频率与周 期的公式。
2、具体分析
(1)能量法原理
在阻尼可以略去不计的条件下，振系在自由振动
时的动能与势能之和(即机械能)保持常值．令T与 U分别代表振系的动能与势能，有
T+U=常数
-----------------（1）
解：由材料力学，在物体重力作用下，梁的自由端将有静挠度
s
Pl 3 3EI
k
P
s
3EI l3
物体的运动微分方程为
固有频率为
my
3EI l3
y
f 1
2
3EI ml 3
2．1简谐振动
例.可绕水平轴转动的细长直杆，下端附有重锤(杆重不计)，组成单摆，亦称 数学摆。求摆的运动微分方程及固有周期。
物体偏离平衡状态后，在恢复力作用下进行的振 动，称为自由振动。
2．1简谐振动
由弹簧悬挂的物体沿铅垂方向的振动。当振 系成静平衡时，弹簧在物体重力mg的作用下将有 静伸长
K
Jபைடு நூலகம்
扭摆的动能：
T
1 2
J
•
2
扭摆的势能：
U
1 2
k
2
代入方程（2）有，
d
(1
•2
J
1
K 2 )
0
dt 2
2
化简后
• ••
•
J K 0
令
K
n
J
可得
••
2 0
n
可知其为简谐振动，
T 2 2 J
n
K
f1 1 K
T 2 J
位移表达式： Asin(
2．1简谐振动
工程中一些简单的振动有时可以简化为弹簧-质量系统的 运动问题。
光滑水平面上的小物体，质量为m，由螺旋弹簧连至定点
D沿，弹弹簧簧轴重线量取可坐以标不轴计x，，以在弹不簧受不力受时力的时长的度右为端l0，位轴置线O为成原水点平
。 ，
向右为正，假定物体只限于沿坐标轴x进行直线运动，则物体
在任一瞬时的位置都可以由坐标x完全确定。这是1自由度系统。
n
J
T 2 2 J
mgS
n
计算形状复杂的机器部件的转动惯量相当 困难。本例提供了用实验确定J的一个方法。
2.2 能量法
1、 研究的内容
讨论单自由度线性系统的自由振动，即振系在受到初始激 扰后的振动．应用牛顿运动定律，列出确定这种振动规律 的微分方程，说明其求解方法，得出位移与速度的表达式 以及频率与周期的公式．
z(从任意选定的某一基准位置量起，高出基准位
置时z为正值，反之为负值
（4）实例 铅垂圆轴，上端固定，下端装有水平圆盘，组成 扭摆。设有力矩使圆盘及圆轴下端绕铅垂轴转过 某一角度θ后突然释放，则圆盘将在水平面内进行 扭转振动．已知圆轴的扭转弹簧系数(使轴的下端 扭转1弧度所需要的力矩)为K，质量可以不计，圆 盘对转轴的转动惯量为J． 求扭摆的振动微分方 程及固有周期与频率。
Tm=Um
-----------------（3）
只要振系的自由振动是简谐振动，则由方程(3)可 以直接得出振系的固有频率，不需要列出微分方 程．
(2) 动能
平动的刚体：
T
1 m 2
2
定轴转动的刚体，对转轴的转动惯量为J, 角速度
为ω： T 1 J 2 2
平面运动的刚体，
T
2．1简谐振动
设在t=0时，物体有初位移x=x0与初速度
得
B x0 , D x0 n
x x0
即有
x x0 sin
n t x0 cos
t
n
n
解又可写为
x Asin( t ) n
A
x02 ( x0 )2 , tg 1
n
n x0 x0
s
mg k
取铅垂坐标轴x，以静平衡位置为原点
O,向下为正。在物体从静平衡位置离开x时，
弹 簧 伸 长 δs+x ， 作 用 于 物 体 的 力 等 于 k(δs+x)。物体的运动微分方程为
mx mg k( s x)
f 1 g
2 s
2．1简谐振动
例：均匀悬臂梁长为l，弯曲刚度为EI，重量不计，自由端附有重P＝mg的物 体。试写出物体的振动微分方程及固有频率。
其中A称为振幅，即振动物体离开静平衡位置的 最大距离；φ称为初相角。
由上式可的振动系统的参数： 振动周期：振动重复一次所需要的时间间隔
T 2 2 m
n
k
振动频率：在单位时间内振动的次数
f1 1 k
T 2 m
振动圆频率：
2 2f k
nT
m
2．1简谐振动
上次内容回顾：机械振动
讲述的内容
第二章 自由振动 2.1 简谐振动 2.2 能量法
第二章 自由振动
引言
1、本章研究内容
2、自由振动的求解方法
a) 根据振系的受力分析，应用牛顿运动定律，列出 确定这种振动的微分方程，说明其求解方法，得 出位移与速度的表达式，以及频率与周期的表达 式。
b)能量守恒原理：对于理想的无阻尼振系，应用能 量守恒原理，列出微分方程，或者不通过微分方 程而直接到述频率与周期的公式。
2．1简谐振动
例.可绕水平轴摆动的物体，称为复摆（物理摆），设物体质量m，对轴O的 转动惯量为J，重心G至轴O的距离为S。求复摆微幅振动微分方程及振动周 期。
解：取偏角θ为坐标，逆时针为正。复摆定轴转动微分方程
J mgS sin
圆频率和振动周期为
mgS 0
J
mgS
2．1简谐振动
设在某一瞬时t，物体位移为x，则弹簧作用于物 体的力为-kx，由牛顿运动定律有
mx kx
x 2 x 0 n
2 k nm
通解可写为 x Bsin t Dcos t
n
n
对上式求导：
•
xB
cos
tD
sin
t
n
n
n
n
其中B与D是任意常数，取决于运动的初始条件。
t )
n
•
速度表达式： A cos( t )
n
n
如果只求周期与频率，由Tm=Um
T 1 J 2 A2
m2
n
令二者相等，有
U ,
1 KA2 m2
2K nJ
作业：
弹簧不受力时，原长65厘米，下端挂上重1 公斤的物体后，弹簧长度增大到85厘米。设用手 把物体托住，使弹簧回到原来长度时，突然释放， 物体初速为零。试求物体的运动方程、振幅、周 期及弹簧力的最大值。
1 2
v m 2 c
1 2
Jc
2
式中vc表示物体质心的速度，Jc表示物体对于通过
质心且垂直于运动平面的轴的转动惯量．
(3) 势能
弹性体的势能，等于外力使弹性体产生变形过程
中所做的功弹簧伸缩x时，U
x
0 kxdx
1k 2
x2
转轴有扭转角θ时，
U
1 2
k
2
刚体的势能为： U Pz
解：摆的铅垂位置OS是静平衡位置。当摆偏离θ角时，重力的切向分量Psinθ 力图使摆回到静平衡位置。重力起着弹簧的作用。
物体的运动微分方程为
ml 2 mgl sin
g 0
l
单摆周期决定于杆长l与重力加速度g， 与摆锤重量和振幅无关。测定摆的振动周期， 就可算出当地的重力加速度。这一原理可以 用于重力探矿。
这就是应用于振系的能量守恒原理。对时间求导，
可得 d (T U ) 0 -----------------（2）
以具体dt振系的能量表达式代入上式，化简后即可
得出描述振系自由振动的微分方程．
如果取平衡位置为势能零点，在平衡位置势能为
零，动能为最大值，在振系的极端位置，其动能 为零时，势能为极大值．因此有
对理想的无阻尼振系，还应用了能量守恒原理，列出微分 方程，这种方式可以不通过微分方程而直接导出频率与周 期的公式。
2、具体分析
(1)能量法原理
在阻尼可以略去不计的条件下，振系在自由振动
时的动能与势能之和(即机械能)保持常值．令T与 U分别代表振系的动能与势能，有
T+U=常数
-----------------（1）
解：由材料力学，在物体重力作用下，梁的自由端将有静挠度
s
Pl 3 3EI
k
P
s
3EI l3
物体的运动微分方程为
固有频率为
my
3EI l3
y
f 1
2
3EI ml 3
2．1简谐振动
例.可绕水平轴转动的细长直杆，下端附有重锤(杆重不计)，组成单摆，亦称 数学摆。求摆的运动微分方程及固有周期。