简谐振动的能量
振动能量计算公式
振动能量计算公式1. 简谐振动能量。
- 对于一个弹簧振子做简谐振动，其动能E_k=(1)/(2)mv^2，其中m是振子的质量，v是振子的速度。
- 根据简谐振动的速度公式v = ω Asin(ω t+φ)（ω是角频率，A是振幅，φ是初相位），则动能E_k=(1)/(2)mω^2A^2sin^2(ω t + φ)。
- 其势能E_p=(1)/(2)kx^2，对于简谐振动x = Acos(ω t+φ)，所以E_p=(1)/(2)kA^2cos^2(ω t+φ)。
- 弹簧振子的总能量E = E_k+E_p，由于k = mω^2，将E_k和E_p表达式代入可得：- E=(1)/(2)mω^2A^2sin^2(ω t+φ)+(1)/(2)mω^2A^2cos^2(ω t+φ)- 根据sin^2α+cos^2α = 1，所以E=(1)/(2)mω^2A^2（总能量守恒，与时间t 无关）。
2. 阻尼振动能量。
- 阻尼振动的能量是逐渐减小的。
- 阻尼振动的能量E(t)=E_0e^ - (2β t)/(m)，其中E_0是初始能量，β是阻尼系数，m是振子质量，t是时间。
3. 受迫振动能量。
- 在稳定状态下，受迫振动的能量取决于驱动力的功率。
- 设驱动力F = F_0cos(ω_dt)，振子做受迫振动达到稳定时的振动方程为x = Acos(ω_dt+φ)。
- 驱动力的功率P = Fv，其中v=-Aω_dsin(ω_dt + φ)，则P=-F_0Aω_dcos(ω_dt)sin(ω_dt+φ)。
- 在一个周期T=(2π)/(ω_d)内的平均功率¯P=(1)/(T)∫_0^TPdt，通过计算可得¯P=(1)/(2)F_0Aω_dsinφ。
- 受迫振动系统的能量与平均功率有关，能量E=¯Pt（t为时间），在稳定状态下能量保持稳定。
简谐振动的能量公式
简谐振动的能量公式好嘞，以下是为您生成的关于“简谐振动的能量公式”的文章：咱先来说说啥是简谐振动。
比如说一个小球挂在弹簧上，一松手，小球就这么上上下下地动起来，这就是简谐振动。
简谐振动的能量可是有讲究的，这里面的能量公式啊，能让咱们清楚地知道这个振动系统里到底藏着多少能量。
简谐振动的能量主要包括动能和势能。
动能呢，就好比那个上蹿下跳的小球跑起来的能量；势能呢，就像被拉长或者压缩的弹簧储存的能量。
那简谐振动的能量公式到底是啥呢？E = 1/2 kA²，这里的 E 表示总能量，k 是劲度系数，A 是振幅。
咱来好好琢磨琢磨这个公式。
振幅 A 越大，就意味着振动的幅度越大，那总能量也就越大。
这就好像荡秋千，荡得越高，也就是振幅越大，需要的能量就越多。
我记得有一次在课堂上给学生们讲这个知识点。
当时我拿了一个小弹簧和一个小铁球做演示。
我把弹簧拉长，然后松手让铁球振动起来，同学们都瞪大眼睛看着。
我问他们：“你们觉得这个铁球振动的能量和什么有关？”有的同学说和弹簧拉得长短有关，有的说和铁球的重量有关。
我笑着摇摇头，然后开始给他们讲解这个能量公式。
我告诉他们，就像这个弹簧，拉得越长，振幅越大，能量也就越大。
然后我又改变了弹簧的劲度系数，让他们观察铁球振动的变化。
同学们一下子就明白了，那一张张恍然大悟的小脸，让我特别有成就感。
咱们再回到这个公式。
劲度系数 k 越大，同样的振幅下，能量也会越大。
这就好比是不同的弹簧，有的硬一些，有的软一些，硬的弹簧储存的能量相对就更多。
在实际生活中，简谐振动的例子可不少。
像钟摆的摆动，吉他弦的振动，甚至是我们的心脏跳动，都可以用简谐振动的原理和能量公式来解释。
比如说吉他弦，调弦的时候，改变弦的松紧程度，其实就是在改变劲度系数。
弦调得越紧，劲度系数越大，振动的能量就会有所变化，发出来的声音也就不同啦。
还有啊，心脏的跳动也是一种简谐振动。
当我们运动的时候，心跳会加快加强，振幅和频率都发生变化，能量的供给也得跟上，不然咱们可就没力气活动啦。
2简谐振动的能量
x2
x1
xx
结论: 结论 （1）相位差 ）
ϕ 2 − ϕ1 = 2k π
( k = 0 ， 1， ) ± ⋯
加强
A = A1 + A2
（2）相位差 ） （3）一般情况 ）
ϕ 2 − ϕ1 = (2k + 1) π ( k = 0 ， 1， ) ± ⋯ A = A1 − A2 减弱
A1 + A2 > A > A1 − A2
稳定时的振动方程 随时间很快衰减为零 在达到稳定态时，系统振动频率等于强迫力的频率。 在达到稳定态时，系统振动频率等于强迫力的频率。
d2x dx 三 共振 + 2δ + ω 02 x = f cos ω p t （resonance） dt 2 dt
x = A cos( ω p t + ψ )
稳定时的振幅为： 稳定时的振幅为： A =
ϕ
A 1
A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2 合成后仍为 频率的简谐 后仍为同 简谐运动 合成后仍为同频率的简谐运动 tanϕ = A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2 同理可证:多 方向同频率简谐运动合成仍为简谐 合成仍为简谐运动 同理可证 多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动
A = A12 + A22 + 2A1 A2 cos( 2 −ϕ1 ) ϕ
dA =0 求极值： 对A 求极值： dω p
f
2 2 2 (ω0 − ω p ) 2 + 4δ 2ω p
2 得： r = ω p = ω0 − 2δ 2 称为：共振的角频率。 ω 称为：共振的角频率。
此时振幅最大，称为位移共振 位移共振： 此时振幅最大，称为位移共振：
简谐振动的能量
Epmax
1 kA2 2
1 2
mvm2ax
2.0 103
J
·6 ·
Chapter 13. 机械振动 §13. 3 简谐振动的能量
课堂练习 如图，已知：k、m、M、u，子弹击中木块 并留在其中，求碰撞后系统振动方程 。
提示 击中后，系统初始状态：
v0
mu Mm
x0
mg k
1 mv2 1 kx2 1 kA2
2
2
2
答案： x Acos(
k M
m
t
)
A
mg k
1 ku2 (M m)g2
x k
v0 M t 0 x0
o mu
o
v0
x0
x
A t0
( The end )
·7 ·
m 2 A2
sin2
( t
)
1 k A2 sin2 ( t )
2
振动势能： Ep
1 2
kx 2
1 2
k
A2
cos2
(
t
)
·2 ·
Chapter 13. 机械振动 §13. 3 简谐振动的能量
振动总能量：
E Ek
Ep
1 mv2 2
1 kx2 2
Hale Waihona Puke 1 k A2 2t
=
0
时：
1 2
mv02
1 2
kx02
1 2
kA2
x
A
x
2 0
m k
v02
x02 v02 2
注意：
o tx
▲ 谐振子的振动势能不一定等于其弹性势能；
▲ 谐振子的振动总能量不一定等于其机械能；
简谐运动的回复力和能量
简谐运动的回复力和能量简谐运动是一种在物理学中经常出现的现象，它是指一种物体在作往复振动时，其位移随时间变化呈现出正弦曲线的运动。
简单来说，就是物体在一定的位置上来回振动，比如一个摆锤在悬挂在绳子上摆动，或者是一个弹簧在振动。
这种运动具有回复力和能量的特点，下面将分别进行讨论。
回复力的定义和特点在简谐运动中，回复力指的是弹性势能的作用力，它是当物体离开平衡位置时，受到的恢复力，使物体朝向平衡位置方向移动。
回复力的大小和方向与物体离开平衡位置的距离成正比，反向指向平衡位置。
具体来说，回复力的公式为F = -kx，其中k是弹性系数，x是物体离开平衡位置的距离。
回复力对于简谐运动来说是一个非常重要的特性，因为它是使物体朝向平衡位置恢复的力量，同时也是振动维持的关键因素。
在简谐运动中，振动的频率、周期和振幅都取决于回复力的大小和弹性系数的变化。
当振幅变大时，回复力也会变大，当弹性系数增大或减小时，回复力的大小也会发生相应的变化。
能量的定义和特点能量是指物体的运动状态所具有的“有用”的物理量。
在简谐运动中，能量由动能和势能组成，它们之间通过运动的转化实现互相转换。
简谐运动的总能量等于动能和势能的和，它是一个守恒量，也就是说在运动过程中能量的总和始终保持不变。
具体来说，当物体在平衡位置附近振动时，它具有最小的动能和弹性势能；当物体脱离平衡位置时，弹性势能会转化为动能，同时物体有更大的动能；当物体到达到最远的位置时，它的动能最大，而弹性势能为零。
这意味着，简谐运动所产生的能量是从一种形式到另一种形式的转化。
简谐运动是一种常见的物理现象，它具有回复力和能量的特点。
回复力是指物体朝向平衡位置方向恢复的力量；能量由动能和势能组成，是物体运动状态的“有用”物理量。
回复力和能量是简谐运动的关键特性，它们直接决定了运动的频率、周期和振幅变化，因此在研究简谐运动时非常重要。
4.3 简谐振动的能量
T
E
2
一个周期内的平均势能为: 一个周期内的平均势能为
1 Ep = T
∫
T
0
1 2 1 kx dt = 2 T
∫
0
1 m ω 2 A 2 cos 2 (ωt + φ )dt 2
mω 2 A2 = 2T
∫Leabharlann T0mω 2 A2 1 2 1 cos 2 (ωt + φ )dt = = kA = E 4 4 2
信息学院 物理教研室
结论: 结论 1、弹簧振子的动能和势能的平均值相等， 、弹簧振子的动能和势能的平均值相等， 且等于总机械能的一半； 且等于总机械能的一半； 2、任一简谐振动总能量与振幅的平方成 、 正比； 正比； 3、振幅不仅给出简谐振动运动的范围， 、振幅不仅给出简谐振动运动的范围， 而且还反映了振动系统总能量的大小及振动的 强度。 强度。 这些结论同样适用于任何简谐振动
信息学院 物理教研室
二、能量的平均值 简谐振动在一个周期中的平均动能为: 简谐振动在一个周期中的平均动能为 1 T1 E k = ∫ m ω 2 A 2 sin 2 (ωt + φ )dt T 0 2 T T 2 2 2 ∫0 sin (ωt + φ )dt = mω A T 2 2 = ∫0 sin (ωt + φ )dt 2T T T 2 ∫0 cos (ωt + φ )dt = mω 2 A2 1 2 1
一、简谐振动的能量 关于振动的运动方程、速度表达式为: 关于振动的运动方程、速度表达式为 x = Acos(ωt +φ ) v = −Aω sin(ωt +φ ) 则动能和势能分别为: 则动能和势能分别为
简谐振动的能量、单摆和复摆
简谐运动能量图
o
能量
x−t
T
ϕ =0 t x = A cosωt v − t v = − Aω sin ω t
1 E = kA 2 2 1 2 2 E p = kA cos ω t 2
o
T 4
T 2
3T 4
T
t
1 2 2 2 Ek = mω A sin ωt 2
（33）简谐振动的能量、单摆和复摆 33）简谐振动的能量、
− 2A/ 2
2 x1 = ± A 2
O
2A/ 2
x
x1 = ±7.07×10 m
−3
（33）简谐振动的能量、单摆和复摆 33）简谐振动的能量、
机械振动
（5）当物体的位移为振幅的一半时动能、势能 ）当物体的位移为振幅的一半时动能、 各占总能量的多少? 各占总能量的多少
1 2 1 A E Ep = kx = k = 2 2 2 4
ω = k /m
1 2 2 （振幅的动力学意义） E = Ek + Ep = kA ∝ A 振幅的动力学意义） 2
线性回复力是保守力， 简谐运动的系统机械能守恒 线性回复力是保守力，作简谐运动的系统机械能守恒 保守力 运动的系统
（33）简谐振动的能量、单摆和复摆 33）简谐振动的能量、
机械振动
x, v
（33）简谐振动的能量、单摆和复摆 33）简谐振动的能量、
（3）总能量； ）总能量；
机械振动
E = Ek ,max= 2.0 × 10 J
（4）物体在何处其动能和势能相等？ ）物体在何处其动能和势能相等？
−3
Ep1 = Ek1 = =
E 2
kA2 4
Ep1 = kx
分析简谐振动的受力和能量变化
分析简谐振动的受力和能量变化简谐振动是物理学中一种重要的运动形式，它具有周期性、匀速和可逆的特点。
在简谐振动中，物体受到的力和能量随时间的变化呈现出一定的规律性。
本文将分析简谐振动的受力和能量变化，并探讨其特点和影响因素。
简谐振动的受力主要来自恢复力和阻尼力。
恢复力是指物体由于偏离平衡位置而产生的力，与偏离量成正比。
根据胡克定律，恢复力的大小与偏离量的乘积成正比，方向与偏离量相反。
恢复力的表达式可以用F=-kx表示，其中F为恢复力的大小，k为恢复力常数，x为物体偏离平衡位置的位移量。
当物体偏离平衡位置时，恢复力的方向与位移方向相反，使物体向平衡位置回复。
阻尼力是指简谐振动中由于摩擦等因素产生的阻碍物体运动的力。
阻尼力的大小与物体的速度成正比，方向与物体的速度相反。
阻尼力的表达式可以用F_d=-bv表示，其中F_d为阻尼力的大小，b为阻尼系数，v为物体的速度。
阻尼力的作用是减小运动的振幅，使振动逐渐衰减和停止。
简谐振动的能量变化包括动能和势能的变化。
动能是物体由于运动而具有的能量，可表示为K=1/2mv^2，其中m为物体的质量，v为物体的速度。
在简谐振动中，物体在最大位移处速度最小，在平衡位置处速度最大，因此动能随时间的变化呈周期性波动。
当物体偏离平衡位置时，动能增加；当物体达到最大位移处时，动能减小至零。
势能是物体由于位置发生变化而具有的能量，可表示为U=1/2kx^2，其中U为势能，k为恢复力常数，x为物体的位移量。
在简谐振动中，势能随时间的变化也呈周期性波动。
当物体偏离平衡位置时，势能增加；当物体达到最大位移处时，势能减小至零。
在简谐振动中，恢复力与阻尼力的合力决定了物体的运动规律。
当阻尼系数较小或为零时，物体的振动呈现出理想的简谐运动，振幅保持不变，持续振动；当阻尼系数较大时，物体的振幅不断减小，振动逐渐衰减和停止。
除了受力的影响，简谐振动的频率和周期还受到质量和恢复力常数的影响。
频率是指单位时间内振动的次数，可以用f=1/T表示，其中f为频率，T为周期。
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B
0 I
4a
(sin 2 sin 1 )
B
2a
0 I
0 IL B 2 2 R 2 4R
0 I
dF Idl B
2R L mv f m qv B R
理解并熟练掌握卡诺循环。 理解热力学第二定律的两种表述及统计意义。
12
第四章:静电场
1.主要概念:点电荷、电场强度、电通量、电势、导体 静电平衡的条件及电荷分布特点、静电屏蔽、电介 质、电容。 2.主要公式:
f q1 q 2 2 r 4 0 r
Q 4 0 r
qi E dS
6
具体要求:
第一节
掌握理想气体的分子模型。 理解理想气体的压强公式及其微观本质。
理解理想气体的温度公式及温度的含义。
第二节
理解麦克斯韦速率分布函数的物理意义，掌握归一化 条件。 掌握三个特征统计速率。 7
掌握自由度的概念及单原子气体分子，刚性双原子 气体分子的自由度。 理解能量均分定理，掌握理想气体的内能公式。
2.主要公式:
f l
2 co s h gh
v1ds1 v2 ds2 C
1 2 1 2 p1 v1 gh1 p2 v2 gh2 2 2
f 6rv
pin pout
2 R
p1 p2 2 2 v R r 4l
2
3.重点:表面张力及伯努利方程,书上的例题,相关习题.
具体要求:
第二节: 掌握液体内部的压强公式。
掌握液体表面张力系数的两种测量方法(拉脱法及液 滴法),了解影响液体表面张力系数的因素。 理解拉普拉斯公式,会作相关计算。 第三节 了解理想流体的概念，定常流动的概念。 理解连续性原理的内容及其本质。 理解伯努利方程的内容，掌握相关计算（流量，流 速；解释现象等）。
2.主要公式:
P 1 nm v 2 3
k
2 p n k 3
3 kT 2
1 i k (t r )kT kT 2 2
P nkT
1 k mv 2 2
E
M i RT 2
5
v
2
3kT m
0
f ( v ) dv 1
vp
2kT m
3.主要定律及重点: (1)能量按自由度均分定律. (2)三种速率的计算及作用. (3)麦克斯韦速率分布函数的物理意义.
16
第三节
理解静电平衡状态的含义及条件。
掌握导体的电荷分布特点，（尖端放电现象，避 雷针原理）。 掌握典型电容器（同球心球壳，平行板及同轴 圆筒电容器）的电容计算。
17
第六章:磁场
1.主要概念:磁感应强度、磁力线、磁通量、霍尔 效应。
2.主要公式:
0 Idl r0 dB 4 r 2
8
第三章:热力学
1.主要概念:热力学系统、平衡过程、功 、 热 、 内能、定体摩尔热容CV、定压摩尔热容Cp 、比
热容比、循环过程、可逆过程、不可逆过程。
2.主要公式:
Q E 2 E1 W
dQ CV dT V
'
i CV R 2
CP 2i R 2
dQ dE dW
dQ ' CP dT P
PV const .
CP R 1 CV CV CP CV R 9
W Q2 1 Q1 Q1
T2(1)热力学第一定律在等值过程中的应用. (2)迈耶公式的推导. (3)热力学第二定律的两种表述及统计意义.
(1)高斯定理在求解场强方面的应用. (2)静电场的环路定理. (3)电势的计算. (4)导体的静电平衡条件及电荷分布特点. (5)常用电容器的电容计算.
14
(3) 柱形电容器： （重点）
qi E dS
S
0
Qh 2rhE 0l Q E 2 0 rl
( R1 r R2 ) ( R1 r R2 )
a
b a
R2
R1 L
u
b
a
R2 E dl
R1
Q R2 Q dr 2 l ln R h 0 1 2 0lr
Q 2 0l C u ln( R2 R1 )
U
15
第一节
具体要求:
掌握库仑定律矢量式。
掌握电场强度的计算。
理解电通量的含义与高斯定理的内容，熟练掌握运用 高斯定理计算球对称，柱对称分布和无限大带电平面 等带电模型的场强。 第二节 掌握场强积分法求电势和利用电势的叠加原理求电势 两种方法。 理解静电场环路定理。 掌握场强与电势的关系。
大学物理学(农科)复习要点:
1.基本概念、基本公式、基本理论、基本应用。 2.基本题型:填空、选择、问答、计算、作图、 证明。 3.基本概念覆盖面较广，计算题以教材的例题 及习题中的最基本题为主。 4.注意掌握一些基本理论的基本应用.
1
第一章:连续体力学
1.主要概念:表面张力,表面系数,稳定流动,理想流体.
S
L
E dl 0
p
E
Q
dE
dq
2
r
E 2 0
0
Up
E dl
13
U内
Q 4 0 R
Q 4 0 r
U外
1 R 3.主要定律及重点:
Q u Q S C 0 u d Q Q E U C U C
3
第四节
了解影响液体黏滞系数的因素。
理解泊肃叶流速公式与流量公式，掌握相关计算 （流量，测定黏滞液体η 的方法）。
第五节 理解斯托克斯公式，掌握沉降法测η 。 了解层流,湍流的概念,掌握雷诺数的定义,流体相似 律的内容。
4
第二章:气体
1.主要概念:理想气体及微观模型,自由度,对压强、 温度的理解.
(4)第一类永动机与第二类永动机.
10
具体要求:
第一节 理解内能，功，热量的概念，准静态过程含义及p-v 图意义。理解热力学第一定律，掌握理想气体热功 转换规律，能熟练求解热功转换过程内能，功，热 量． 掌握等体摩尔热容，等压摩尔热容的定义，掌握迈 耶公式的证明。
11
第二节
理解循环的概念及p-v图意义。 掌握热机效率的计算，制冷系数的计算。