2振动的能量和合成
第6章 振动2(振动合成、其它振动)
A0e
−β⋅t
A0e-β t o 阻尼振动曲线
T=
t
2π
ω
=
2π
2 ω0 − β 2
> T0
阻尼振动周期
19
时间常量与品质因数： 时间常量与品质因数： 在欠阻尼情况下， 在欠阻尼情况下， 振幅 振动能量E： 振动能量 ： E = E0e−2β⋅t 时间常量
A = A0e
−βt
(QE ∝ A2 )
1 τ= 2β
1
旋转矢量法处理谐振动的合成 1. 分振动 x1 = A cos(ω t +ϕ1) 1 x2 = A2 cos(ω t +ϕ2 ) 2. 合振动
O
ω
A2
ϕ2
x2
ϕ
A ϕ −ϕ 2 1 A1
x = x1 + x2 = Acos(ω t +ϕ)
2 A = A2 + A2 + 2A A2 cos(ϕ2 −ϕ1) 1 1
(5)ϕ2 −ϕ1 = 其 值 它
15
二、李萨如图： 李萨如图：
如果两个振动的频率相差较大，但有简单的整数比， 如果两个振动的频率相差较大，但有简单的整数比，则合成运 动具有稳定的封闭的运动轨迹。 动具有稳定的封闭的运动轨迹。
Tx : Ty =1: 2
Tx : Ty = 2 : 3
Tx : Ty = 3: 4
ω2 −ω1
2
)t
x
ω=
ω2 +ω 1
2
t
拍的现象： ３.拍的现象：
合振动忽强忽弱的现象． 合振动忽强忽弱的现象．
拍频 : 单位时间内强弱变化的次数
ν =|ν2-ν1|
ω拍 = ω2 −ω1 或： = T
1、简谐振动的特征、能量
4
2
4
T
t
1 2 2 2 Ek m A sin t 2
1 2 E kA 2
简谐运动能量守恒，振幅不变 简谐运动势能曲线
Ep
C
E
A
O
B
Ek
Ep
x
A
x
能量守恒
推导
1 2 1 2 E mv kx 2 2
d 1 1 2 2 ( mv kx ) 0 dt 2 2 dv dx mv kx 0 dt dt
2
其解为∶
x A cos( t )
──谐振动的运动学方程 (简称振动方程)
x A cos( t )
运动学方程
描述作谐振动物体位置随时间变化的关系
dx v A sin(t ) dt
描述作谐振动物体振动速度随时间变化的关系
dv 2 a A cos(t ) dt
相位差只能在同频率的振动间比较 当 2n
当 （ 2n 1 ） 若 0
n 0, 1, 2
n 0, 1, 2
时
两振动步调相同，称同相
时
两振动步调相反，称反相
2 超前于 1 或 1滞后于 2
相位差反映了两个振动不同程度的参差错落
四、振幅和初相确定
波动篇
内容： 机械振动 机械波
波动光学
前
言
人们习惯于按照物质的运动形态，把经典物理学 分成力（包括声）、热、电、光等子学科。然而，某 些形式的运动是横跨所有这些学科的，其中最典型的 要算振动和波了。在力学中有机械振动和机械波，在 电学中有电磁振荡和电磁波，声是一种机械波，光则 是一种电磁波。在近代物理中更是处处离不开振动和 波，仅从微观理论的基石——量子力学又称波动力学 这一点就可看出，振动和波的概念在近代物理中的重 要性了。
2简谐振动的能量
x2
x1
xx
结论: 结论 （1）相位差 ）
ϕ 2 − ϕ1 = 2k π
( k = 0 ， 1， ) ± ⋯
加强
A = A1 + A2
（2）相位差 ） （3）一般情况 ）
ϕ 2 − ϕ1 = (2k + 1) π ( k = 0 ， 1， ) ± ⋯ A = A1 − A2 减弱
A1 + A2 > A > A1 − A2
稳定时的振动方程 随时间很快衰减为零 在达到稳定态时，系统振动频率等于强迫力的频率。 在达到稳定态时，系统振动频率等于强迫力的频率。
d2x dx 三 共振 + 2δ + ω 02 x = f cos ω p t （resonance） dt 2 dt
x = A cos( ω p t + ψ )
稳定时的振幅为： 稳定时的振幅为： A =
ϕ
A 1
A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2 合成后仍为 频率的简谐 后仍为同 简谐运动 合成后仍为同频率的简谐运动 tanϕ = A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2 同理可证:多 方向同频率简谐运动合成仍为简谐 合成仍为简谐运动 同理可证 多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动
A = A12 + A22 + 2A1 A2 cos( 2 −ϕ1 ) ϕ
dA =0 求极值： 对A 求极值： dω p
f
2 2 2 (ω0 − ω p ) 2 + 4δ 2ω p
2 得： r = ω p = ω0 − 2δ 2 称为：共振的角频率。 ω 称为：共振的角频率。
此时振幅最大，称为位移共振 位移共振： 此时振幅最大，称为位移共振：
2 谐振动的合成
A1
•当2- 1= /2,
2 y x 正椭圆 (b) 2 2 1 A1 A2 2
A2 x 直线(c) •当2- 1= y = A1 2 2 y •当2- 1=- /2 x 正椭圆(d) 1 2 2 A1 A2
y y y y
o
x
o
x
o
x
o
x
Δφ= 0
(a)
Δφ= /2
y 88
5 6 1 y6
x
x
A
A1
A2
2. 若Δ =2-1=(2k+1) k=0,±1,±2 ..….
A A A 2A1A2
2 1 2 2
两分振动反相位
3.若 Δ≠
= |A1- A2| x 合振幅最小 振动减弱 x 2
2k (2k+1) x
t x1
则 A1 - A 2 < A < A1 + A 2
拍－ 频率差异而引起振幅时强时弱的现象
ν＝
1 T拍
ν 2 -ν 1 次 单位时间里 •2与1“同相”和“反相”各 •合振幅加强和减弱各 ν 2 - ν 1 次；
*9-6 阻尼振动
受迫振动
共振
• 观看插播片
21
作
P.39～41
业
9－17,18，25，28
下次课§10 - 1，2
*多个同方向同频率谐振动的合成 设: x1 = A0 cost B x2 = A0 cos(t+ ) A4 R x3 = A0 cos(t + 2 ) N o'· A x4 = A0 cos(t + 3 ) A … R 3 xN = A4cos[t + (N-1) ] A
振动能量公式
振动能量公式振动能量公式是描述振动系统能量的一个重要公式。
它可以用来计算振动系统的总能量，包括动能和势能。
振动能量公式可以表示为E = 1/2mv^2 + 1/2kx^2，其中E表示振动系统的能量，m表示质量，v表示速度，k表示弹性系数，x表示位移。
我们来看一下公式中的第一项，1/2mv^2，它表示振动系统的动能。
动能是由质量和速度决定的，质量越大、速度越大，动能也就越大。
动能可以理解为物体运动时所具有的能量。
公式中的第二项，1/2kx^2，表示振动系统的势能。
势能是由弹性系数和位移决定的，弹性系数越大、位移越大，势能也就越大。
势能可以理解为物体在弹性力的作用下所具有的能量。
振动能量公式将动能和势能结合在一起，可以全面描述振动系统的能量变化。
当振动系统处于运动状态时，动能和势能不断地相互转化，能量在系统中不断地传递。
当振动系统处于平衡位置时，动能和势能相等，总能量达到最小值。
而当振动系统处于最大位移位置时，动能为零，势能达到最大值，总能量也达到最大值。
振动能量公式的应用十分广泛。
在物理学中，它可以用来计算各种振动系统的能量，如弹簧振子、简谐振子等。
在工程中，它可以用来分析和设计各种振动系统，如机械振动系统、电子振动系统等。
在生活中，它也有很多实际应用，如音乐乐器发声的原理、地震波传播的机制等。
振动能量公式的理解和应用对于我们深入了解和研究振动现象具有重要意义。
通过对振动能量的分析，我们可以了解振动系统的能量变化规律，预测和控制振动系统的行为。
同时，振动能量公式也为我们提供了一种计算和比较不同振动系统能量大小的方法，帮助我们选择和优化振动系统。
振动能量公式是描述振动系统能量的一个重要工具。
它通过结合动能和势能，全面描述了振动系统的能量变化。
振动能量公式的理解和应用对于我们研究和应用振动现象具有重要意义，有助于我们深入探索和利用振动的力量。
振动学基础-大学物理
2
A cos (t
)
7
8
特征量：
x 位移
A 振幅
广义：振动的物理量 最大位移 由初始条件决定 表征了系统的能量
9
x Acos t
圆频率 角频率
频率
2π
T 周期 T 1
系统的周期性 固有的性质 称固有频率…
t 相位 位相
初相位
初位相
取决于时间零点的选择
10
小结
S. H. V. 的判据
= /4 = /2 = 3/4
P··Q
= = 5/4 = 3/2 = 7/4
（-3/4） （-/2） （-/4）
35
§3 平面简谐波 一 机械波产生的条件 1 机械波的基本概念
一、波的产生 二、横波和纵波 三、波长 波的周期和频率 波速
36
一、机械波的产生 1、机械波——机械振动在弹性介质（固体、液 体和气体）内的传播
45
因 t' x u
yP (t)
A cos
t
x u
0
波线上任一点的质点任一瞬时的位移由上式给出， 此即所求的沿x 轴方向前进的平面简谐波的波动方程。
如果波沿x轴负方向传播,则相应的波动方程为:
yP (t)
A c os
t
x u
0
利用关系式 2 T 和 2 ，并uT概括波的两种可能的
y
hSg mg
船在任一位置时，以水面为坐标原点,竖直 向下的坐标轴为y 轴，船的位移用y 表示。
12
船的位移为y 时船所受合力为：
f (h y)Sg mg ySg
船在竖直方向作简谐振动，其角频率和周期为:
Sg
m
因 m Sh,
振动能量公式
振动能量公式振动能量公式是描述振动系统能量变化的数学公式。
振动是物体在平衡位置周围做周期性往复运动的现象，而振动能量则是描述这种运动过程中能量的变化。
在物理学中，振动能量公式可以通过振幅、角频率、质量和弹性系数来表示。
振动能量公式可以用如下形式表示：E = 1/2 * k * x^2其中，E表示振动系统的能量，k表示弹性系数，x表示振幅。
这个公式的推导过程涉及到牛顿第二定律和胡克定律等基本原理，这里不再展开。
振动能量公式的意义在于可以通过已知的参数来计算振动系统的能量。
在振动过程中，物体的能量会在平衡位置周围不断转化，从动能转化为势能，再从势能转化为动能。
振动能量公式可以用来计算系统在某一时刻的能量大小。
假设一个弹簧振子，系统的质量为m，弹性系数为k，振幅为A。
根据振动能量公式，我们可以计算出系统在任意时刻的能量。
在振动的开始阶段，物体从平衡位置开始做往复运动。
当物体位移为x时，根据振动能量公式，系统的能量为E = 1/2 * k * x^2。
在振动过程中，物体的能量会不断变化，但总能量保持不变。
当物体位移达到最大值A时，能量也达到最大值E_max = 1/2 * k * A^2。
此时，物体的动能为0，全部转化为势能。
而当物体通过平衡位置时，位移为0，能量也为0。
振动能量的变化过程是周期性的。
物体从最大位移A开始运动，能量逐渐减小，直到通过平衡位置并达到最小位移-A，能量也达到最小值E_min = 1/2 * k * (-A)^2。
之后，物体又重新回到最大位移A处，能量再次达到最大值。
振动能量的大小取决于振幅和弹性系数。
当振幅增大时，能量也相应增大。
而当弹性系数增大时，能量也会增大。
振动能量的大小与质量无关，只与弹性系数和振幅有关。
振动能量公式在实际应用中具有重要意义。
例如，在工程设计中，我们可以利用振动能量公式来计算机械振动系统的能量，从而评估系统的稳定性和安全性。
在物理实验中，我们也可以利用振动能量公式来研究振动现象和能量变化规律。
5.2 简谐振动的能量与合成
第5章 机械振动
4
2.简 谐 振 动 的 微 分 方 程 (动力学方程) 动力学方程)
k F
m
o x
x
dx 2 +ω x = 0 2 dt
2
a = −ω x
2
作者 杨 鑫
k ω = m
2
5.2 简谐振动的能量与合成
第5章 机械振动
5
3.简谐振动的运动方程(振动方程) 3.简谐振动的运动方程 振动方程)
ω
2 0 2
5.2 简谐振动的能量与合成
第5章 机械振动
8
1 ω ν= = T= ω = 2πν T 2π ω 1 1 k 弹簧 2π m k ω = T = = 2π ν = T= 2π m 振子 k m ω
2.周期 2.周期 (T )
2π
频率 ( ) ν
圆频率 (ω)
单 摆
作者 杨
鑫
g l 1 1 g 2π ω = T = = 2π ν = = g T 2π l l ω
5.2 简谐振动的能量与合成
第5章 机械振动
9
求一个振动系统固有ω,T,ν的方法 求一个振动系统固有 的方法 2 ( 1 ) 建立振动系 d x + Bx = 0 统的微分方程 2
dt
x前的系数的开方就是振
( 2 ) 利用公式
ω = 2πν = 2π T 2 (3)利用速度 vm = ωA am = ω A 和加速度幅值
5.2 简谐振动的能量与合成
第5章 机械振动
1
作者
杨
鑫
5.2 简谐振动的能量与合成
第5章 机械振动
2
一、简谐振动 的特征方程 1.回复力 1.回复力
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合位移仍在同一直线上 x(t)x1(t)x2(t)
2020/11/22
21
合振动的振幅
合振动的初相
x (t) A co t s)(
式中 11 tcsgo i n1 1s A A2 2scio n22s
1、简谐振动的描述
(1) 谐振方程：x=Acos(ωt+φ)
相位
特
振幅： A
x02
v02
2
征 量
初相：
tan v0 x0
由初始条件（x0,v0）决定
角频率： k
m
由系统自身固有性质所决定
（2）振动曲线：由x-t曲线可获得如下信息
A, T,,x(t),v(t)
（ 矢量3）A 的旋端转点矢在量X轴：上以的角投速影度点ω的沿运逆动时为针简方谐向运匀动速。转动的旋转
2020/11/22
1
（3）旋转矢量 ：以角速度ω沿逆时针方向匀速转动
的旋转矢量 A的端点在X轴上的投影点的运动为简
谐运动。
y vm t π
2
t
0
an
A
a v
x
vAcost(π)
xAcots()
2
aA 2cots ()
2020/11/22
2
2、简谐振动的特征 （1）运动学特征: （2）动力学特征:
振动势能 Ep
1 kx2 2
平衡位置处 为势能零点
2020/11/22
重力势能 单摆，复摆
弹性势能和重力势能之和 竖直放置的 弹簧振子
习题集例12－3（P.201)
17
对于单摆
F m gsin m g m gx kx
l
C
T
以最低点O(平衡位置)处为重力势 能零点，则任一位置处的重力势能为
Epm(g1lco)s
能的变化率为
(A)
(B)2 (C)4 (D) /2
解
Ek
1 mv2 2
1 kA2 sin2(t
2
)
1 2
kA2
1
cos(2t
2
2 ）
2π
' ' 2
2π
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20
§9-5 简谐振动的合成
一个质点同时参与几个振动，该质点的运动即振动的合 成。合位移是各振动位移的矢量和。
•一、同方向、同频率的简谐振动的合成 • •代数方法：设两个振动在同一直线上运动，具有相同 频率，有不同的振幅和初相位。
d2x dt2
2 x
Fkx
（3）能量特征:
EEk
Ep
1kA2 2
Ek
1 mv2 2
Ep
1 kx2 2
2020/11/22
3
例:如图m=2×10-2kg, 弹簧的静止形变为
l=9.8cm。 t=0时， x0= -9.8cm, v0=0。
（1） 证明其振动为简谐振动；取开始 m
O
振动时为计时零点， 写出振动方程；
10
10rad/s
由初始条件得
A x02(v0)2 0.09m 8 0 arc(tgvx00 )0,
由x0=Acos0=-0.098<0 cos0<0, 取0= 振动方程为：x=9.810-2cos(10t+) m
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11
(2)按题意 t=0 时 x0=0，v0>0 x0=Acos0=0 , cos0=0 0=/2 ,3/2 v0= -Asin>0 , sin0 <0, 取0=3/2
2020/11/22
14
•三、 简谐振动的总能量：
EEk
Ep
1k2 [A s2( itn ) c2 o (s t ) ]1k2A
2
2
总机械能守恒（只有保守力作功），动能与势能相互转化
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x,v
简谐运动能量图
xt 0
o
t xA co ts
T vt v A si n t
能量
o T T 3T T 42 4
E 1 kA2 2
Ep
1kA2c 2
o2st
t Ek
1m2A2sin2t
2
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讨论 简谐运动能量特征：
E E kE p1 2m v21 2k2x 1 2k2 A
力学谐振系统中的振动势能
Ep
1 kx2 2
Ep一定是弹性势能吗？
答：不一定
弹性势能 水平放置的弹簧振子
A 与 由 振 幅 A 1 、 A 2 及 初 位 相 1 、 2 决 定
结论： 合振动仍然是简谐振动，频率与原来相同， 振幅和初相不同。
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22
• •二 旋转矢量法
A1、A2 以相同的角 速度逆时针旋转， 它们之间的夹角保 持恒定，矢量合成 的四边形不变，合 矢量大小不变，并
(A）7/16 (B）9/16
(C）11/16
(D）13/16
(E）15/16
解 x1A 4
Ep 12kx2 12116kA2
E k E su m E p 1 2 k A 2 1 2 1 1 6 k A 2 1 1 6 5 E su m
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例2 、当质点以频率作简谐振动时，它的动
x=9.810-2cos(10t+3/2) m
1 g 2 2 l
固有频率
1.6Hz
对同一谐振动取不同的计时起点不同，但、A不变。
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12
§9-4 简谐运动的能量特征 • 1）简谐振动的动能： 以水平的弹簧振子为例
k
m x
ox
设在任一时刻t，振子位移为x，速度为v，则其动能Ek
O
f
mg
cos12 4 6 5, cos12
2! 4! 6!
2!
Epm(g 1lco)s1 2mg2 l
又 x l
E p1 2m gl(x l)21 2m lgx21 2kx2
竖直放置的弹簧振子情形见习题集例12－3（P.201)
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例1、 一弹簧振子作简谐振动，当其偏离平 衡位置位移的大小为振幅的1/4时，其动能 为振动总能量的（ ）
v A sin ( t ) A c o s( t ) 2
Ek1 2m v21 2m A 2 2sin 2( t )
1kA2sin2(t ) ( k / m)
2
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13
• 2)、简谐振动的势能：
k
m x
Ep1 2kx21 2kA2cos2(t) o x
系统的动能和势能都随时间周期性变化，其变化周 期为T/2(势能的零点)
（2）若取x0=0，v0>0为计时零点，写
x
出振动方程，并计算振动频率。
解： ⑴ 确定平衡位置 mg=kl , 取为原点 。
x
k=mg/ l 。令向下有位移 x, 则
f=mg-k(l +x)=-kx
作谐振动 设振动方程为 xAcos(t0)
k m
gl
9.8 1r0a/d s 0.098
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