简谐振动的能量要点
1、简谐振动的特征、能量
4
2
4
T
t
1 2 2 2 Ek m A sin t 2
1 2 E kA 2
简谐运动能量守恒，振幅不变 简谐运动势能曲线
Ep
C
E
A
O
B
Ek
Ep
x
A
x
能量守恒
推导
1 2 1 2 E mv kx 2 2
d 1 1 2 2 ( mv kx ) 0 dt 2 2 dv dx mv kx 0 dt dt
2
其解为∶
x A cos( t )
──谐振动的运动学方程 (简称振动方程)
x A cos( t )
运动学方程
描述作谐振动物体位置随时间变化的关系
dx v A sin(t ) dt
描述作谐振动物体振动速度随时间变化的关系
dv 2 a A cos(t ) dt
相位差只能在同频率的振动间比较 当 2n
当 （ 2n 1 ） 若 0
n 0, 1, 2
n 0, 1, 2
时
两振动步调相同，称同相
时
两振动步调相反，称反相
2 超前于 1 或 1滞后于 2
相位差反映了两个振动不同程度的参差错落
四、振幅和初相确定
波动篇
内容： 机械振动 机械波
波动光学
前
言
人们习惯于按照物质的运动形态，把经典物理学 分成力（包括声）、热、电、光等子学科。然而，某 些形式的运动是横跨所有这些学科的，其中最典型的 要算振动和波了。在力学中有机械振动和机械波，在 电学中有电磁振荡和电磁波，声是一种机械波，光则 是一种电磁波。在近代物理中更是处处离不开振动和 波，仅从微观理论的基石——量子力学又称波动力学 这一点就可看出，振动和波的概念在近代物理中的重 要性了。
2简谐振动的能量
x2
x1
xx
结论: 结论 （1）相位差 ）
ϕ 2 − ϕ1 = 2k π
( k = 0 ， 1， ) ± ⋯
加强
A = A1 + A2
（2）相位差 ） （3）一般情况 ）
ϕ 2 − ϕ1 = (2k + 1) π ( k = 0 ， 1， ) ± ⋯ A = A1 − A2 减弱
A1 + A2 > A > A1 − A2
稳定时的振动方程 随时间很快衰减为零 在达到稳定态时，系统振动频率等于强迫力的频率。 在达到稳定态时，系统振动频率等于强迫力的频率。
d2x dx 三 共振 + 2δ + ω 02 x = f cos ω p t （resonance） dt 2 dt
x = A cos( ω p t + ψ )
稳定时的振幅为： 稳定时的振幅为： A =
ϕ
A 1
A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2 合成后仍为 频率的简谐 后仍为同 简谐运动 合成后仍为同频率的简谐运动 tanϕ = A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2 同理可证:多 方向同频率简谐运动合成仍为简谐 合成仍为简谐运动 同理可证 多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动
A = A12 + A22 + 2A1 A2 cos( 2 −ϕ1 ) ϕ
dA =0 求极值： 对A 求极值： dω p
f
2 2 2 (ω0 − ω p ) 2 + 4δ 2ω p
2 得： r = ω p = ω0 − 2δ 2 称为：共振的角频率。 ω 称为：共振的角频率。
此时振幅最大，称为位移共振 位移共振： 此时振幅最大，称为位移共振：
简谐振动的能量要点
简谐振动的能量要点简谐振动是物体在一些平衡位置附近以固定频率来回振动的运动方式。
它是一种理想化的振动模型，常用于描述弹簧和摆钟等物理系统的振动特性。
在简谐振动中，振动物体的能量一直保持着恒定。
以下是关于简谐振动能量的几个重要要点：1.势能和动能之间的转换：在简谐振动中，振动物体的能量主要由势能和动能组成。
当物体从平衡位置偏离时，会产生弹性势能。
随着物体向平衡位置回归，弹性势能转变为动能。
两种能量形式之间的转换是周期性的，能量在势能和动能之间交替转换，始终保持总能量不变。
2.势能的表达式：简谐振动的势能可以用一个二次函数来表达。
对于弹簧振子，势能与物体偏离平衡位置的平方成正比。
势能函数可以表示为U(x) = (1/2) kx²，其中k是弹簧劲度系数，x是物体离开平衡位置的位移量。
3.动能的表达式：振动物体的动能取决于物体的质量和速度。
动能可以表示为K = (1/2) mv²，其中m是物体的质量，v是物体的速度。
由于简谐振动中物体的运动速度是周期性变化的，动能的最大值等于势能的最大值。
4.总能量的守恒：在简谐振动中，总能量一直保持恒定。
振动物体的总能量可以表示为E=U+K，其中U是势能，K是动能。
由于振动物体在势能和动能之间交换能量，总能量以恒定的方式改变，但总能量的值始终保持不变。
5.振幅和能量关系：振动物体的振幅是指物体离开平衡位置的最大位移量。
振幅越大，物体在振动过程中的最大速度和最大加速度也会增大。
根据动能的表达式K = (1/2) mv²可以看出，振幅的增加会导致动能的增加，从而增加振动物体的总能量。
6.能量的周期性变化：简谐振动的能量以周期性的方式变化。
在振动周期的不同阶段，势能和动能的值会交替变化。
具体来说，在最大位移点，势能达到最大值而动能为零；在通过平衡位置时，势能为最小值而动能最大。
这种能量的周期性变化特性与简谐振动的周期性变化是紧密相关的。
大学物理第九章振动
⼤学物理第九章振动第9章振动本章要点：1. 简谐振动的定义及描述⽅法.2. 简谐振动的能量3. 简谐振动的合成物体在⼀定位置附近作周期性的往返运动，如钟摆的摆动，⼼脏的跳动，⽓缸活塞的往复运动，以及微风中树枝的摇曳等，这些都是振动。
振动是⼀种普遍⽽⼜特殊的运动形式，它的特殊性表现在作振动的物体总在某个位置附近，局限在⼀定的空间范围内往返运动，故这种振动⼜被称为机械振动。
除机械振动外，⾃然界中还存在着各式各样的振动。
今⽇的物理学中，振动已不再局限于机械运动的范畴，如交流电中电流和电压的周期性变化，电磁波通过的空间内，任意点电场强度和磁场强度的周期性变化，⽆线电接收天线中，电流强度的受迫振荡等，都属于振动的范畴。
⼴义地说，凡描述物质运动状态的物理量，在某个数值附近作周期性变化，都叫振动。
9.1 简谐振动9.1.1 简谐振动实例在振动中，最简单最基本的是简谐振动，⼀切复杂的振动都可以看作是由若⼲个简谐振动合成的结果。
在忽略阻⼒的情况下，弹簧振⼦的⼩幅度振动以及单摆的⼩⾓度振动都是简谐振动。
1. 弹簧振⼦质量为m的物体系于⼀端固定的轻弹簧(弹簧的质量相对于物体来说可以忽略不计)的⾃由端，这样的弹簧和物体系统就称为弹簧振⼦。
如将弹簧振⼦⽔平放置，如图9-1所⽰，当弹簧为原长时，物体所受的合⼒为零，处于平衡状态，此时物体所在的位置O就是其平衡位置。
在弹簧的弹性限度内，如果把物体从平衡位置向右拉开后释放，这时由于弹簧被拉长，产⽣了指向平衡位置的弹性⼒，在弹性⼒的作⽤下，物体便向左运动。
当通过平衡位置时，物体所受到的弹性⼒减⼩到零，由于物体的惯性，它将继续向左运动，致使弹簧被压缩。
弹簧因被压缩⽽出现向右的指向平衡位置的弹性⼒，该弹性⼒将阻碍物体向左运动，使物体的运动速度减⼩直到为零。
之后物体⼜将在弹性⼒的作⽤下向右运动。
在忽略⼀切阻⼒的情况下，物体便会以平衡位置O为中⼼，在与O点等距离的两边作往复运动。
图中,取物体的平衡位置O为坐标原点，物体的运动轨迹为x轴，向右为正⽅向。
简谐运动的回复力和能量知识讲解
kx2
Ek
1 2
mv2
a kx m
EEk Ep
（1）关于平衡位置的 对称点 ①a、F、X大小相同，方向相反； 动能势能相同
②V大小相同，方向不一定 （2）先后通过同一位置
①a、F、X，动能势能相同
②V大小相同，方向相反
3
(多选)在物体做简谐运动的过程中，t1、t2 两时刻物体 分别处在关于平衡位置对称的两点，则从 t1 至 t2 这段时间物
体的( ABD ) X大小相同 → EP相同 → Ek相同
A．t1、t2 两时刻动能一定相同
B．t1、t2 两时刻势能一定相同
C．速度一定先增大，后减小
D．加速度可能先增大，后减小，再增大
Aa
O
bB
振子连续两次通过P位置，下列 各量哪些是相同的？
位移（ √ ） 回复力（ √ ） 加速度（ √ ） 动能（ √ ）
势能（ √ ） 速率（ √ ） 速度（ × ） 动量（ × ）
x
A
O PB
二.简谐运动的能量
简谐运动中动能和势能在发生相互转化，但机械 能的总量保持不变，即机械能守恒。
简谐运动的能量由劲度系数和振幅决定.
E12kA2 12mm2
试画出物体在做简谐运动时的Ek-t和Ep-t及E-t图象
E
机械能
势能
0A O B
证明:平衡状态时有:
KX0 K（X+X0)
mg
mg
F 当向下拉动x长度时弹簧所 受的合外力为
Fk(xx0)-mg kxkx0-mg
kx
振动方向上合力F与位移X 方向相反，故 F= - kx成立， 该振动为简谐运动
分析总结：结合下图完成下表
4.3 简谐振动的能量
T
E
2
一个周期内的平均势能为: 一个周期内的平均势能为
1 Ep = T
∫
T
0
1 2 1 kx dt = 2 T
∫
0
1 m ω 2 A 2 cos 2 (ωt + φ )dt 2
mω 2 A2 = 2T
∫Leabharlann T0mω 2 A2 1 2 1 cos 2 (ωt + φ )dt = = kA = E 4 4 2
信息学院 物理教研室
结论: 结论 1、弹簧振子的动能和势能的平均值相等， 、弹簧振子的动能和势能的平均值相等， 且等于总机械能的一半； 且等于总机械能的一半； 2、任一简谐振动总能量与振幅的平方成 、 正比； 正比； 3、振幅不仅给出简谐振动运动的范围， 、振幅不仅给出简谐振动运动的范围， 而且还反映了振动系统总能量的大小及振动的 强度。 强度。 这些结论同样适用于任何简谐振动
信息学院 物理教研室
二、能量的平均值 简谐振动在一个周期中的平均动能为: 简谐振动在一个周期中的平均动能为 1 T1 E k = ∫ m ω 2 A 2 sin 2 (ωt + φ )dt T 0 2 T T 2 2 2 ∫0 sin (ωt + φ )dt = mω A T 2 2 = ∫0 sin (ωt + φ )dt 2T T T 2 ∫0 cos (ωt + φ )dt = mω 2 A2 1 2 1
一、简谐振动的能量 关于振动的运动方程、速度表达式为: 关于振动的运动方程、速度表达式为 x = Acos(ωt +φ ) v = −Aω sin(ωt +φ ) 则动能和势能分别为: 则动能和势能分别为
高中物理之简谐运动的回复力和能量知识点
高中物理之简谐运动的回复力和能量知识点回复力使振动物体回到平衡位置的力（1）回复力是以效果命名的力。
性质上回复力可以是重力、弹力、摩擦力、电场力、磁场力等，它可能是几个力的合力，也可能是某个力或某个力的分力。
如在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧在伸长和压缩时产生的弹力；在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力。
（2）回复力的作用是使振动物体回到平衡位置。
回复力的方向总是“指向平衡位置”。
（3）回复力是是振动物体在振动方向上的合外力，但不一定是物体受到的合外力。
理解（1）平衡位置是振动物体最终停止振动后振子所在的位置。
（2）平衡位置是回复力为零的位置，但平衡位置不一定是合力为零的位置。
（3）不同振动系统平衡位置不同。
竖直方向的弹簧振子，平衡位置是其弹力等于重力的位置；水平匀强电场和重力场共同作用的单摆，平衡位置在电场力与重力的合力方向上。
简谐运动的动力学特征F回＝-kx ，a回＝－kx/m，其中k为比例系数，对于弹簧振子来说，就等于弹簧的劲度系数。
负号表示回复力的方向与位移的方向相反。
也就是说简谐运动是在跟对平衡位置的位移大小成正比、方向总是指向平衡位置的力作用下的振动。
弹簧振子在平衡位置时F回=0。
当振子振动过程中，位移为x时，由胡克定律（弹簧不超出弹性限度），考虑到回复力的方向跟位移的方向相反，有F回= -kx，k为弹簧的劲度系数，所以弹簧振子做简谐运动。
简谐运动的能量特征振动过程是一个动能和势能不断转化的过程，总的机械能守恒。
振动物体总的机械能的大小与振幅有关，振幅越大，振动的能量越大。
习题解析1.（多项选择）某时刻的波形图．图是一个弹簧振子的示意图，O是它的平衡位置，在B、C之间做简谐运动，规定以向右为正方向，图是它的速度v随时间t变化的图象．下面的说法中正确的是（）A．t＝2s时刻，它的位置在O点左侧4cm处B．t＝3s时刻，它的速度方向向左C．t＝4s时刻，它的加速度为方向向右的最大值D．它的一个周期时间为8s2.在简谐运动中，振子每次经过同一位置时，下列各组中描述振动的物理量总是相同的是（）A．速度，加速度，动能B．加速度，回复力，位移C．加速度，动能，位移D．位移，动能，回复力习题演练答案1.根据振动图像可知是从经过B向左计时，T=8s，因此从B 到O要0.25T即2s，其位置应该为X=0cm，故A错；T=3s 时，质点在O到C图中，所以它的速度方向向左；t＝4 s时刻，质点在C处，位移向左最大，所以回复力与位移方向相反，即它的加速度为方向向右的最大值，C对；以上分析表明BCD正确。
简谐振动中的能量和受迫振动
因此：
3、简谐运动中的能量跟振幅有关，振幅 越大，振动的能量越大．
4、振子或单摆振动起来之后，由于是简 谐运动，所以能量守恒，此后它的振 幅将保持不的能量守恒.
二、阻尼振动
动画演示的是实际振动情况：
1、实际的振动与理想化的振动不同， 由于振动过程中要克服阻力做功， 将一部分机械能转化为其他形式的 能量，导致振动的总能量不断减小， 即振幅不断减小．
由共振曲线可知道：
当驱动力频率等于物体固有频率时， 物体振幅最大，驱动力频率与固有频 率相差越大，物体的振幅越小.
驱动力的频率接近物体的固有频率时， 受迫振动的振幅最大，这种现象叫做 共振.
四、共振的应用和防止
共振的应用：1、共振筛
2、共鸣箱（在乐器上用的比较多）
共振的危害:
大桥若共振的话!!!
如图AO回复力做正功（重力 做正功），重力势能减少，动
能增加，到O时，动能最大，势
能最小； OB，回复力做负功， 动能减小，势能增加，到达B时， 动能为零，势能最大，同理可 分析，之后过程中能量的转化 情况．
在此过程中，因为只有重力做 功，所以总机械能不变．
3、竖直弹簧振子的振动能量
沿竖直方向振动的弹簧振 子：通过回复力（重力和 弹簧弹力的合力）做功， 动能和势能（包括重力势 能、弹性势能）间相互转 化．
实验表明：物体在外力驱动下振动时， 振动稳定后的频率等于外 力驱动的频率，跟物体的 固有频率没有关系.
四、共振：下面就是一个共振
1940年，Tacoma Narrows大桥在 建成后的4个月就因风共振而倒 塌。
共振
实验表明：
受迫振动的频率 与物体的固有频 率无关，但是如 果驱动力的频率 接近或等于物体 的固有频率时， 振动物体的振幅 将达到最大.
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以水平弹簧振子为例讨论简谐振动系统的能量。 动能
势能
1 2 1 ) t ( nis A m vm KE 2 2 1 2 1 2 2 ) t ( soc Ak xk PE 2 2
2 2 2
系统总的机械能：
P
E KE E
P
E KE E
合振动的振幅随时间作缓慢的周期性的变化，振动 出现时强时弱的拍现象。 拍频 : 单位时间内强弱变化的次数。
2 1 2 1 2
x1
t
x2
t
x
t
四、相互垂直的同频率的简谐振动的合成
两个同频率的相互垂直的分运动位移表达式
x A1 cos(t 1 ) y A2 cos(t 2 )
OPQ N
在三角形 OPQ 中,OQ 的长度就是和振动位移矢量的 位移,角度 QOX 就是和振动的初相，得:
N A 2 R sin( ) 2
A0 2 R sin( ) 2
N A A0 sin( ) sin( ) 2 2
QOB POB POQ
合位移：
x x1 x2 A cos(t )
2
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos(2 1 )
nis 2A 1 nis 1A gt A 2 soc 2A 1 soc 1
合振动仍然是简谐振动，其方向和频率与原来相同。
旋转矢量图示法
船在竖直方向作简谐振动，其角频率和周期为:
∵ ∴
Sg
m
m T 2 gS
2
m Sh,
h T 2 g
§15-5 同方向的简谐振动的合成
一、同方向同频率的两个简谐振动的合成 设：一质点同时参与沿同一方向(x 轴)的两个独 立的同频率的简谐振动，两个振动位移为：
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )
A A 2A 1
2A
2
A 1
O
1
2
x
x
x
X
A 矢量沿X 轴之投影表征了合运动的规律。
讨论： (1)当相位差
)........ ,2 ,1 ,0 k(
k2 ) 1 2(
O
2A
1A
A A 2A 1
同相迭加，合振幅最大。
~ 2 , 2 1 1 或 2 , 有
2 1
1 2
2 在两个简谐振动的位移合成表达式中，第一项随时 间作缓慢变化, 第二项是角频率近于 1或 2 的简谐 函数。合振动可视为是角频率为 (1 2 ) 2 、振幅为 2 A cos ( 2 1 )t 2 的简谐振动。
设 ： 2A 1A
0 2 1
两个简谐振动合成得：
2
x 1x x 2 A1 cos(
2 1
2
t ) cos(
2 1
2
t)
2 1 2 1 x 2 A1 cos 2 t cos 2 t 2 2
因1
X
(2)当相位差
)1 k2( ) 1 2(
O
2A
)........ ,2 ,1 ,0 k(
2
1A
X
A 1A A
反相迭加，合振幅最小。 当A1=A2 时，A=0。
(3)通常情况下，合振幅介于2A 1A 和 2A 1A 之间。
二、多个同方向同频率简谐振动的合成 设： N 个同方向、同频率的简谐振动，其振幅相等， 且依次间位相差恒为 ，N 个振动表达式可写成
1 1 N 1 ( ) ( N ) 2 2 2
当 0 时(同相合成)，有
A NA0 , 0 。
三、两个同方向不同频率简谐振动的合成
拍
两个简谐振动的频率 1和 2 很接近，且 2 1
) 2 t2(soc 2A 2x ,) 1 t1(soc 1A 1x
1 1 2 2 2 ) t ( soc Ak ) t ( nis A m 2 2
2 2
k m
2
1 1 2 2 2 E m A kA ～表明简谐振动 2 2 的机械能守恒。
能量平均值
2
1 1T 1 2 2 2 Ak t d ) 0 t( nis A m 0 KE 4 2 T
t soc 1A 1x ) t(soc 2A 2x })1 N ( t{soc NA Nx
求：它们的合振动的振幅和初相。 解:采用旋转矢量法可使问题得到简化，从而避开烦 琐的三角函数运算。
......
根据矢量合成法则，N 个简谐振动对应的旋转矢量 的合成如下图所示：
2
1 1T 1 2 2 Ak t d ) 0 t( soc Ak 0 PE 4 2 T
～对任一谐振系统均成立。
2 E PE KE
谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线: 1 2 E E kA
EP
2
O
Ek
t
x
O
x A cos t
t
简谐振动的机械能守恒 简谐振动的总能量与振幅的平方成正比
例1：一质量为m 的平底船，其平均水平截面积为 S， 吃水深度为 h ，如不计水的阻力，求此船在竖直方向 的振动周期。 解: 船静止时，浮力与重力平衡
O
P P
y
y
hSg mg
船在任一位置时，以水面为坐标原点,竖直向 下的坐标轴为y 轴，船的位移用y 表示。
船的位移为 y 时船所受合力为：
f (h y ) Sg mg ySg
P
R
Q
x A cos(t )
A1 A2 ...... AN A0
A
A2
O
A5
A4
A3
OPB
X
A1
B
PO PB ... PQ R
因各个振动的振幅相同且相差依次恒为 ，上图 中各个矢量的起点和终点都在以 P 为圆心的圆周上， 根据简单的几何关系，可得