简谐振动的能量
2简谐振动的能量
x2
x1
xx
结论: 结论 （1）相位差 ）
ϕ 2 − ϕ1 = 2k π
( k = 0 ， 1， ) ± ⋯
加强
A = A1 + A2
（2）相位差 ） （3）一般情况 ）
ϕ 2 − ϕ1 = (2k + 1) π ( k = 0 ， 1， ) ± ⋯ A = A1 − A2 减弱
A1 + A2 > A > A1 − A2
稳定时的振动方程 随时间很快衰减为零 在达到稳定态时，系统振动频率等于强迫力的频率。 在达到稳定态时，系统振动频率等于强迫力的频率。
d2x dx 三 共振 + 2δ + ω 02 x = f cos ω p t （resonance） dt 2 dt
x = A cos( ω p t + ψ )
稳定时的振幅为： 稳定时的振幅为： A =
ϕ
A 1
A1 sinϕ1 + A2 sinϕ2 合成后仍为 频率的简谐 后仍为同 简谐运动 合成后仍为同频率的简谐运动 tanϕ = A1 cosϕ1 + A2 cosϕ2 同理可证:多 方向同频率简谐运动合成仍为简谐 合成仍为简谐运动 同理可证 多个同方向同频率简谐运动合成仍为简谐运动
A = A12 + A22 + 2A1 A2 cos( 2 −ϕ1 ) ϕ
dA =0 求极值： 对A 求极值： dω p
f
2 2 2 (ω0 − ω p ) 2 + 4δ 2ω p
2 得： r = ω p = ω0 − 2δ 2 称为：共振的角频率。 ω 称为：共振的角频率。
此时振幅最大，称为位移共振 位移共振： 此时振幅最大，称为位移共振：
简谐振动的能量
Epmax
1 kA2 2
1 2
mvm2ax
2.0 103
J
·6 ·
Chapter 13. 机械振动 §13. 3 简谐振动的能量
课堂练习 如图，已知：k、m、M、u，子弹击中木块 并留在其中，求碰撞后系统振动方程 。
提示 击中后，系统初始状态：
v0
mu Mm
x0
mg k
1 mv2 1 kx2 1 kA2
2
2
2
答案： x Acos(
k M
m
t
)
A
mg k
1 ku2 (M m)g2
x k
v0 M t 0 x0
o mu
o
v0
x0
x
A t0
( The end )
·7 ·
m 2 A2
sin2
( t
)
1 k A2 sin2 ( t )
2
振动势能： Ep
1 2
kx 2
1 2
k
A2
cos2
(
t
)
·2 ·
Chapter 13. 机械振动 §13. 3 简谐振动的能量
振动总能量：
E Ek
Ep
1 mv2 2
1 kx2 2
Hale Waihona Puke 1 k A2 2t
=
0
时：
1 2
mv02
1 2
kx02
1 2
kA2
x
A
x
2 0
m k
v02
x02 v02 2
注意：
o tx
▲ 谐振子的振动势能不一定等于其弹性势能；
▲ 谐振子的振动总能量不一定等于其机械能；
简谐运动的回复力和能量
简谐运动的回复力和能量简谐运动是一种在物理学中经常出现的现象，它是指一种物体在作往复振动时，其位移随时间变化呈现出正弦曲线的运动。
简单来说，就是物体在一定的位置上来回振动，比如一个摆锤在悬挂在绳子上摆动，或者是一个弹簧在振动。
这种运动具有回复力和能量的特点，下面将分别进行讨论。
回复力的定义和特点在简谐运动中，回复力指的是弹性势能的作用力，它是当物体离开平衡位置时，受到的恢复力，使物体朝向平衡位置方向移动。
回复力的大小和方向与物体离开平衡位置的距离成正比，反向指向平衡位置。
具体来说，回复力的公式为F = -kx，其中k是弹性系数，x是物体离开平衡位置的距离。
回复力对于简谐运动来说是一个非常重要的特性，因为它是使物体朝向平衡位置恢复的力量，同时也是振动维持的关键因素。
在简谐运动中，振动的频率、周期和振幅都取决于回复力的大小和弹性系数的变化。
当振幅变大时，回复力也会变大，当弹性系数增大或减小时，回复力的大小也会发生相应的变化。
能量的定义和特点能量是指物体的运动状态所具有的“有用”的物理量。
在简谐运动中，能量由动能和势能组成，它们之间通过运动的转化实现互相转换。
简谐运动的总能量等于动能和势能的和，它是一个守恒量，也就是说在运动过程中能量的总和始终保持不变。
具体来说，当物体在平衡位置附近振动时，它具有最小的动能和弹性势能；当物体脱离平衡位置时，弹性势能会转化为动能，同时物体有更大的动能；当物体到达到最远的位置时，它的动能最大，而弹性势能为零。
这意味着，简谐运动所产生的能量是从一种形式到另一种形式的转化。
简谐运动是一种常见的物理现象，它具有回复力和能量的特点。
回复力是指物体朝向平衡位置方向恢复的力量；能量由动能和势能组成，是物体运动状态的“有用”物理量。
回复力和能量是简谐运动的关键特性，它们直接决定了运动的频率、周期和振幅变化，因此在研究简谐运动时非常重要。
4.3 简谐振动的能量
T
E
2
一个周期内的平均势能为: 一个周期内的平均势能为
1 Ep = T
∫
T
0
1 2 1 kx dt = 2 T
∫
0
1 m ω 2 A 2 cos 2 (ωt + φ )dt 2
mω 2 A2 = 2T
∫Leabharlann T0mω 2 A2 1 2 1 cos 2 (ωt + φ )dt = = kA = E 4 4 2
信息学院 物理教研室
结论: 结论 1、弹簧振子的动能和势能的平均值相等， 、弹簧振子的动能和势能的平均值相等， 且等于总机械能的一半； 且等于总机械能的一半； 2、任一简谐振动总能量与振幅的平方成 、 正比； 正比； 3、振幅不仅给出简谐振动运动的范围， 、振幅不仅给出简谐振动运动的范围， 而且还反映了振动系统总能量的大小及振动的 强度。 强度。 这些结论同样适用于任何简谐振动
信息学院 物理教研室
二、能量的平均值 简谐振动在一个周期中的平均动能为: 简谐振动在一个周期中的平均动能为 1 T1 E k = ∫ m ω 2 A 2 sin 2 (ωt + φ )dt T 0 2 T T 2 2 2 ∫0 sin (ωt + φ )dt = mω A T 2 2 = ∫0 sin (ωt + φ )dt 2T T T 2 ∫0 cos (ωt + φ )dt = mω 2 A2 1 2 1
一、简谐振动的能量 关于振动的运动方程、速度表达式为: 关于振动的运动方程、速度表达式为 x = Acos(ωt +φ ) v = −Aω sin(ωt +φ ) 则动能和势能分别为: 则动能和势能分别为
简谐振动的能量、单摆和复摆
简谐运动能量图
o
能量
x−t
T
ϕ =0 t x = A cosωt v − t v = − Aω sin ω t
1 E = kA 2 2 1 2 2 E p = kA cos ω t 2
o
T 4
T 2
3T 4
T
t
1 2 2 2 Ek = mω A sin ωt 2
（33）简谐振动的能量、单摆和复摆 33）简谐振动的能量、
− 2A/ 2
2 x1 = ± A 2
O
2A/ 2
x
x1 = ±7.07×10 m
−3
（33）简谐振动的能量、单摆和复摆 33）简谐振动的能量、
机械振动
（5）当物体的位移为振幅的一半时动能、势能 ）当物体的位移为振幅的一半时动能、 各占总能量的多少? 各占总能量的多少
1 2 1 A E Ep = kx = k = 2 2 2 4
ω = k /m
1 2 2 （振幅的动力学意义） E = Ek + Ep = kA ∝ A 振幅的动力学意义） 2
线性回复力是保守力， 简谐运动的系统机械能守恒 线性回复力是保守力，作简谐运动的系统机械能守恒 保守力 运动的系统
（33）简谐振动的能量、单摆和复摆 33）简谐振动的能量、
机械振动
x, v
（33）简谐振动的能量、单摆和复摆 33）简谐振动的能量、
（3）总能量； ）总能量；
机械振动
E = Ek ,max= 2.0 × 10 J
（4）物体在何处其动能和势能相等？ ）物体在何处其动能和势能相等？
−3
Ep1 = Ek1 = =
E 2
kA2 4
Ep1 = kx
分析简谐振动的受力和能量变化
分析简谐振动的受力和能量变化简谐振动是物理学中一种重要的运动形式，它具有周期性、匀速和可逆的特点。
在简谐振动中，物体受到的力和能量随时间的变化呈现出一定的规律性。
本文将分析简谐振动的受力和能量变化，并探讨其特点和影响因素。
简谐振动的受力主要来自恢复力和阻尼力。
恢复力是指物体由于偏离平衡位置而产生的力，与偏离量成正比。
根据胡克定律，恢复力的大小与偏离量的乘积成正比，方向与偏离量相反。
恢复力的表达式可以用F=-kx表示，其中F为恢复力的大小，k为恢复力常数，x为物体偏离平衡位置的位移量。
当物体偏离平衡位置时，恢复力的方向与位移方向相反，使物体向平衡位置回复。
阻尼力是指简谐振动中由于摩擦等因素产生的阻碍物体运动的力。
阻尼力的大小与物体的速度成正比，方向与物体的速度相反。
阻尼力的表达式可以用F_d=-bv表示，其中F_d为阻尼力的大小，b为阻尼系数，v为物体的速度。
阻尼力的作用是减小运动的振幅，使振动逐渐衰减和停止。
简谐振动的能量变化包括动能和势能的变化。
动能是物体由于运动而具有的能量，可表示为K=1/2mv^2，其中m为物体的质量，v为物体的速度。
在简谐振动中，物体在最大位移处速度最小，在平衡位置处速度最大，因此动能随时间的变化呈周期性波动。
当物体偏离平衡位置时，动能增加；当物体达到最大位移处时，动能减小至零。
势能是物体由于位置发生变化而具有的能量，可表示为U=1/2kx^2，其中U为势能，k为恢复力常数，x为物体的位移量。
在简谐振动中，势能随时间的变化也呈周期性波动。
当物体偏离平衡位置时，势能增加；当物体达到最大位移处时，势能减小至零。
在简谐振动中，恢复力与阻尼力的合力决定了物体的运动规律。
当阻尼系数较小或为零时，物体的振动呈现出理想的简谐运动，振幅保持不变，持续振动；当阻尼系数较大时，物体的振幅不断减小，振动逐渐衰减和停止。
除了受力的影响，简谐振动的频率和周期还受到质量和恢复力常数的影响。
频率是指单位时间内振动的次数，可以用f=1/T表示，其中f为频率，T为周期。
简谐振动的能量与周期
简谐振动的能量与周期简谐振动是物体在弹性势能恢复力作用下进行的一种周期性振动。
在简谐振动中，能量与周期之间存在一定的关系。
下面将通过分析简谐振动的能量变化以及与周期之间的关系来探讨这一问题。
一、简谐振动的能量变化简谐振动的能量可以分为两部分，一部分是动能，另一部分是势能。
在振动过程中，物体在运动的过程中，动能和势能不断地相互转换，但其总和保持不变。
1. 动能的变化物体在振动过程中具有动能。
当物体达到最大振幅时，速度最大，此时动能也最大。
而当物体通过平衡位置时，速度为零，动能也为零。
因此，可以得出结论：动能随物体的位移而变化，与物体的位移成正比。
2. 势能的变化物体在振动过程中具有势能。
当物体位于极大位移时，弹性势能最大，此时势能也最大。
而当物体通过平衡位置时，位移为零，势能也为零。
因此，可以得出结论：势能随物体的位移而变化，与物体的位移成正比。
3. 能量守恒定律根据能量守恒定律，简谐振动中的能量保持不变。
即动能和势能之和等于常数。
可以用下式表示：E = K + U其中，E表示总能量，K表示动能，U表示势能。
因为动能和势能之和保持不变，所以在振动过程中，动能和势能的增减是互相抵消的。
二、简谐振动的周期与能量的关系简谐振动的周期是指完成一次完整振动所需要的时间。
简谐振动的周期与其能量之间存在一定的关系。
下面将从理论和实验两个方面探讨这一问题。
1. 理论推导简谐振动的周期与物体的振动频率有关。
振动频率可以用下式表示：f = 1 / T其中，f表示振动频率，T表示周期。
根据简谐振动的定义，可以得出如下的等式：ω^2 = k / m其中，ω表示角频率，k表示弹簧的劲度系数，m表示物体的质量。
角频率与振动频率之间存在如下的关系：ω = 2πf将振动频率表达式代入上式，可以得到：ω = 2π / T通过对上述等式的变换，可以得到简谐振动的周期与劲度系数和物体质量的关系：T = 2π√(m / k)由上式可以看出，简谐振动的周期与劲度系数和物体质量有关。
3-简谐振动的能量特征
1、简谐振动的定义 d 2 x 2 x 0, x A cos( t ) f kx, 2
dt
2、简谐振动的三个特征量
k/m , g/l
A
ω由振动系统本身的性质所决定， ω一定时 A、 由初始条件决定。
2
2 x0
2 v0
,
v0 arctan( ) x0
其中：0 k C , , m 2m F0 f0 m
12
稳态解：x(t ) B cos( t )
x( t ) B cos( t ) 稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化 (1)频率: 等于策动力的频率
f0 (2)振幅: B 2 [(0 2 )2 4 2 2 ]1/ 2 2 (3)初相: tg 2 0 2 f0 dB 0, B 若： 2 [(0 2 )2 4 2 2 ]1/ 2 d
4
E p 1 kA2 cos2 ( t ), Ek 1 kA2 sin2 ( t ) 2 2 1 cos 2( t ) 2 由cos ( t ) , 2
1 cos 2( t ) sin ( t ) 2 Ek 和Ep的周期为T/2。 (角频率为2ω)
若 << 0 ，则 r 0, Br
称尖锐共振。
20
f0
14
2.速度共振 速度振幅 B
f0 vm 2 [(0 / 2 1)2 4 2 ]1/ 2 f0 r 0 , Vm ,r , v ,r 0 2
速度共振时，速度与策动力同相，一周期 内策动力总作正功，此时向系统输入的能 量最大。
在一定条件下, 振幅、速度出现 极大值， 出现剧烈振动的现象-------共振
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以水平弹簧振子为例讨论简谐振动系统的能量。 动能
势能
系统总的机械能：
Qω = k m
2
1 1 2 2 2 ∴E = mω A = kA ～表明简谐振动 2 2 的机械能守恒。
能量平均值
～对任一谐振系统均成立。
谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线:
E
EP
1 2 E = kA 2
船的位移为y 时船所受合力为：
f = −(h + y)ρSg + mg = − yρSg
船在竖直方向作简谐振动，其角频率和周期为:
ω=
∵
ρSg
m
m T= = 2π ω ρgS
2π
m = ρSh,
h T = 2π g
∴
§15-5 同方向的简谐振动的合成
一、同方向同频率的两个简谐振动的合成 设：一质点同时参与沿同一方向(x 轴)的两个独 立的同频率的简谐振动，两个振动位移为：
(2) ϕ2 −ϕ1 = π ,两个分振动反相位，得
A2 y=− x A 1
(3) ϕ2 −ϕ1 = π 2，得
x y + 2 =1 2 A A2 1
2
2
～ 这是坐标轴为主轴的椭圆， 质点的轨迹是顺时针旋转。 ～ 右旋椭圆运动 (4) ϕ2 −ϕ1 = 3π 2
2 2
，得
x y + 2 =1 2 A A2 1
∠OPQ = N∆ϕ
在三角形 OPQ 中,OQ 的长度就是和振动位移矢量的 位移,角度 ∠QOX 就是和振动的初相，得:
N∆ϕ A = 2Rsin( ) 2
∆ϕ A0 = 2Rsin( ) 2
N∆ϕ ∆ϕ A = A0 sin( ) sin( ) 2 2
ϕ = ∠QOB = ∠POB −∠POQ
当 ∆ϕ = 0 时(同相合成)，有
合振动的振幅随时间作缓慢的周期性的变化，振动 出现时强时弱的拍现象。 拍频:单位时间内强弱变化的次数。
ω2 −ω1 ν= = ν2 −ν1 2π
x1
t
x2
t
x
t
四、相互垂直的同频率的简谐振动的合成
两个同频率的相互垂直的分运动位移表达式
x = A cos(ωt +ϕ1) 1 y = A2 cos(ωt +ϕ2 )
消时间参数，得
x2 y2 x y + 2 −2 cos(ϕ2 −ϕ1) = sin2 (ϕ2 −ϕ1) A2 A2 A A2 1 1
～椭圆方程 ～椭圆的性质(方位、长短轴、左右旋 )在 A1 确定之后,主要决定于 。
、 A2
几种特殊情况： (1) ϕ2 −ϕ1 = 0 , 两个分振动同相位，得
A2 y= x A 1
Q
R
∆ϕ
∆ϕ
P
r A
r A2
O
r A4
r A5
x = A cos(ωt + ϕ )
A1 = A2 = ...... = AN = A0
r A3 ∆ϕ
∆ϕ
∠OPB = ∆ϕ
X
r B A1
PO = PB = ... = PQ = R
因各个振动的振幅相同且相差依次恒为 ∆ϕ ，上图 中各个矢量的起点和终点都在以 P 为圆心的圆周上， 根据简单的几何关系，可得
与(3)相同，只是质点的轨迹 沿逆时针旋转。 ～ 左旋椭圆运动
对应不同相位差的合运动轨迹
ϕ2 −ϕ1 = 0
π
4
π
2
3π
4
ϕ2 −ϕ1 = π
5π
4
3π
讨论：相互垂 直、频率成简 单整数比 合运动具有稳 定封闭的轨迹 李萨如图形
作业：习题 P39 14-22 14-27
讨论： (1)当相位差
同相迭加，合振幅最大。 (2)当相位差
反相迭加，合振幅最小。 当A1=A2 时，A=0。 (3)通常情况下，合振幅介于 和 之间。
二、多个同方向同频率简谐振动的合成 设： N 个同方向、同频率的简谐振动，其振幅相等， 且依次间位相差恒为 ，N 个振动表达式可写成
求：它们的合振动的振幅和初相。 解:采用旋转矢量法可使问题得到简化，从而避开烦 琐的三角函数运算。 根据矢量合成法则，N 个简谐振动对应的旋转矢量 的合成如下图所示：
x1 = A cos(ωt +ϕ1) x2 = A2 cos(ωt +ϕ2 ) 1
合位移：
x = x1 + x2 = Acos(ωt +ϕ)
2 A = A2 + A2 + 2A A2 cos(ϕ2 −ϕ1) 1 1
合振动仍然是简谐振动，其方向和频率与原来相同。
旋转矢量图示法
矢量沿X 轴之投影表征了合运动的规律。
Ek
x = A cos ωt
简谐振动的机械能守恒 简谐振动的总能量与振幅的平方成正比
例1：一质量为m 的平底船，其平均水平截面积为S， 吃水深度为 h ，如不计水的阻力，求此船在竖直方向 的振动周期。 解: 船静止时，浮力与重力平衡
O
P P
y
y
ρhSg = mg
船在任一位置时，以水面为坐标原点,竖直向 下的坐标轴为y 轴，船的位移用y 表示。
ω2 +ω1
2
t)
ν2 −ν1 ν2 +ν1 x = 2A cos2π t ⋅ cos2π t 1 2 2
因ω1
~ ω2 , ω2 − ω1 << ω1 或 ω2 , 有
ω2 + ω1
≈ ω1 ≈ ω2
2 在两个简谐振动的位移合成表达式中，第一项随时 间作缓慢变化, 第二项是角频率近于 ω1或ω2 的简谐 函数。合振动可视为是角频率为 (ω1 + ω2 ) 2、振幅为 2Acos (ω2 − ω1)t 2的简谐振动。
1 1 N −1 = (π −∆ϕ) − (π − N∆ϕ) = ∆ϕ 2 2 2
A = NA0 , ϕ = 0 。
三、两个同方向不同频率简谐振动的合成
拍
两个简谐振动的频率 ω1和 ω 2 很接近，且ω 2 > ω1
设 ： 两个简谐振动合成得：
= 2A cos( 1
ω2 −ω1
2
t) ⋅ cos(