平面向量的基本性质
平面向量的概念与性质
平面向量的概念与性质平面向量是数学中的一个重要概念，它在几何学、物理学和工程学等领域中被广泛应用。
平面向量具有一些独特的性质，其概念和性质对于我们理解和解决许多实际问题至关重要。
一、平面向量的定义平面向量表示平面上的一个有向线段，可以用带箭头的直线段来表示。
平面向量常用字母加箭头上方加粗体来表示，例如向量a表示为→a。
平面向量有大小和方向两个基本属性。
二、平面向量的表示方法1. 分量表示法：平面向量可以由两个分量表示，分别是在x轴和y 轴上的投影。
设平面向量→a的分量分别为a1和a2，那么→a = a1i + a2j，其中i和j分别是x轴和y轴的单位向量。
2. 基点表示法：平面向量还可以通过起点和终点来表示。
以A为起点，B为终点的向量→AB可以简写为→AB。
三、平面向量的运算平面向量有加法和数乘两种基本的运算方式。
1. 加法运算：向量的加法满足平行四边形法则。
设向量→a的起点为A，终点为B，向量→b的起点为B，终点为C，则向量→a + →b的起点为A，终点为C。
2. 数乘运算：向量的数乘是指向量与一个实数的乘积。
设实数k，向量→a的起点为A，终点为B，则k→a的起点仍为A，终点为D，且AB与AD在同一直线上，且向量BD与向量AB方向相同（k>0）或相反（k<0）。
四、平面向量的性质1. 平行性：如果两个向量的方向相同或相反，即平行或反平行，那么这两个向量是平行的。
2. 零向量：零向量是一个特殊的向量，它的大小为0，不具备明确的方向。
3. 模长：向量的模长表示向量的大小，用|→a|来表示。
根据勾股定理，模长可以通过向量的分量计算得到，|→a| = √(a1² + a2²)。
4. 单位向量：模长为1的向量称为单位向量。
可以通过将向量除以它的模长得到单位向量，→a/|→a|。
5. 共线性：如果两个向量的方向相同、相反或平行，即它们可被放大或缩小到重合或相反方向，那么这两个向量是共线的。
掌握初中数学中的平面向量解题技巧
掌握初中数学中的平面向量解题技巧平面向量是初中数学中的一个重要内容，解题技巧的掌握对于学生来说显得尤为关键。
在本文中，我们将分享一些帮助学生掌握初中数学中平面向量解题技巧的方法。
一、平面向量的定义和基本性质平面向量是一个有大小和方向的有序数对，通常表示为箭头。
在平面向量的研究中，我们需要关注以下几个关键概念：1. 向量的表示方法：向量可以使用坐标表示法、分解表示法或单位向量表示法进行表示。
每种表示方法都有其特定的应用场景和计算思路。
2. 向量的加法与减法：向量的加法与减法规律是平面向量的基本性质。
通过理解与运用这些规律，可以简化题目的计算过程。
3. 向量的数量乘法：向量的数量乘法包括正数乘法和零向量的乘法。
这些操作能够对向量的大小和方向产生影响，需要注意运算法则。
二、平面向量的应用领域平面向量解题技巧在初中数学中广泛应用于以下几个领域：1. 向量的平行与垂直关系：通过向量的点积和叉积，可以判断两个向量之间的平行关系或垂直关系。
这种技巧在解决几何问题时尤为常见。
2. 向量的共线与共面关系：通过向量的线性运算和共面性质，可以判断多个向量之间的共线关系或共面关系。
这种技巧在解决多个向量同时出现的问题时非常有效。
3. 向量的位移与坐标计算：通过向量的位移计算和坐标运算，可以求解物体在平面上的运动问题。
这种技巧在解决位移、速度和加速度等物理问题时被广泛应用。
三、平面向量解题技巧的实例分析为了更好地理解和应用平面向量解题技巧，以下是几个实际问题的解析：1. 平面向量的加法与减法：已知向量A和向量B的坐标分别为(A1,A2)和(B1,B2)，则向量A加向量B的结果为(A1+B1, A2+B2)。
根据这个规律，我们可以解决诸如平行四边形对角线相等问题等。
2. 平面向量垂直关系的判断：已知向量A的坐标为(A1, A2)，如果A1×A2=0，则向量A与坐标轴正方向垂直。
这个技巧常在解决两条线段是否垂直或平行的问题时使用。
平面向量题型归类及解题方法
平面向量题型归类及解题方法1. 平面向量的定义和性质平面向量是指在平面上具有大小和方向的量，用箭头来表示。
平面向量通常用一个字母加上一个箭头（如a→）来表示。
平面向量有以下性质： - 零向量的方向是任意的，大小为0。
- 向量的大小等于其模长，记作∥a∥。
- 向量可以相等，相等的向量有相同的大小和方向。
- 向量可以相反，相反的向量大小相等，方向相反。
- 向量可以相加，向量相加满足三角形法则。
- 向量可以缩放，即乘以一个标量。
- 向量可以平移，即使原点发生变化。
2. 平面向量的基本运算2.1 向量的加法向量a和b的和记作a + b，其几何意义是将向量b的起点放在向量a的终点，然后连接a的起点和b的终点。
2.2 向量的减法向量a和b的差记作a - b，其几何意义是将向量b的起点放在向量a的终点，然后连接a的起点和b的起点。
2.3 向量的数乘向量a与一个实数k的积记作k a，其几何意义是将向量a的长度缩放为原来的k 倍，方向不变（当k>0时）或反向（当k<0时）。
2.4 平行向量和共线向量如果两个向量的方向相同（可能大小不同），那么它们是平行向量。
如果两个向量共线，即一个向量是另一个向量的倍数，那么它们是共线向量。
2.5 两个向量的数量积（点积）设a = (x1, y1)和b = (x2, y2)，则向量a和b的数量积（点积）定义为：a·b= x1x2 + y1y2。
2.6 向量的模长和方向角设向量a = (x, y)，则向量a的模长定义为∥a∥= √(x^2 + y^2)。
向量a的方向角定义为与x轴的正方向之间的夹角θ，其中tanθ = y / x。
3. 平面向量的题型归类及解题方法平面向量的题型主要包括平面向量的加减法、数量积、平行向量和共线向量、模长和方向角等。
3.1 平面向量的加减法题型•已知两个向量，求其和或差向量。
•已知一个向量和其和或差向量，求另一个向量。
平面向量基本性质总结
平面向量基本性质总结平面向量是学习高中数学中的重要概念之一。
它具有许多基本性质，掌握这些性质能够帮助我们更好地理解和运用向量的概念。
本文将对平面向量的基本性质进行总结和说明。
一、平面向量的定义和表示平面向量是一个具有大小和方向的几何量。
在数学中，我们用有向线段来表示平面向量。
一个平面向量通常表示为向量符号上方加一个箭头，如→AB。
其中A和B是向量的起点和终点。
平面向量还可以用分量表示，表示为(AB)或AB。
二、平面向量的相等性两个向量相等的充要条件是它们的大小和方向都相等。
即，如果向量→AB与向量→CD的大小和方向相等，则→AB=→CD。
三、平面向量的加法和减法平面向量的加法和减法运算可以通过平行四边形法则和三角形法则进行。
平行四边形法则指的是，两个向量的和等于以它们为邻边的平行四边形的对角线。
三角形法则指的是，两个向量的和等于以它们为边的三角形的第三边。
对于平面向量→AB和→CD，它们的和为→AB+→CD，差为→AB-→CD。
四、向量的数量乘法和数量除法向量的数量乘法是将一个向量乘以一个实数。
即，对于给定的向量→AB和实数k，它们的数量乘积为k→AB。
向量的数量除法是将一个向量除以一个非零实数。
即，对于给定的向量→AB和非零实数k，它们的数量除法为→AB/k。
五、平面向量的数量积和夹角平面向量的数量积，也叫点积或内积，表示为→AB·→CD。
数量积的计算公式为|→AB|·|→CD|·cosθ，其中|→AB|和|→CD|分别表示向量→AB和→CD的模，θ表示两个向量的夹角。
若两个向量的数量积为零，则它们垂直。
夹角θ的范围为0到π，当θ=0时，两个向量同向；当θ=π时，两个向量反向；当θ=π/2时，两个向量垂直。
六、平面向量的法向量和单位向量对于给定的非零向量→AB，我们可以找到一个与之垂直的向量→n，称为→AB的法向量。
法向量→n的大小为|→n|=|→AB|sinθ，其中θ为→AB与→n的夹角。
高中数学平面向量知识点总结
高中数学平面向量知识点总结一、平面向量的基本概念1. 定义：平面向量是有大小和方向的量，可以用有序实数对表示。
2. 表示法：通常用小写字母加箭头表示，如 $\vec{a}$。
3. 相等：两个向量大小相等且方向相同时，这两个向量相等。
4. 零向量：大小为零的向量，没有特定方向。
二、平面向量的运算1. 加法：- 规则：平行四边形法则或三角形法则。
- 交换律：$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$。
- 结合律：$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$。
2. 减法：- 规则：与加法类似，但方向相反。
- 逆向量：$\vec{a} - \vec{a} = \vec{0}$。
3. 数乘：- 定义：向量与实数相乘。
- 规则：$k\vec{a} = \vec{a}$ 的长度变为 $|k|$ 倍，方向与$k$ 的符号一致。
- 分配律：$(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$。
- 结合律：$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$。
三、平面向量的坐标表示1. 坐标表示：$\vec{a} = (x, y)$，其中 $x$ 和 $y$ 是向量在坐标轴上的分量。
2. 几何意义：$x$ 分量表示向量在 $x$ 轴上的长度，$y$ 分量表示向量在 $y$ 轴上的长度。
3. 坐标运算：- 加法：$(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。
- 减法：$(x_1, y_1) - (x_2, y_2) = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$。
- 数乘：$k(x, y) = (kx, ky)$。
四、平面向量的模与单位向量1. 模（长度）：- 定义：向量从原点到其终点的距离。
平面向量的性质证明
平面向量的性质证明平面向量是研究空间中平面上的向量运算的重要工具，它们具有多种性质和特点。
本文将从几何和代数两个角度出发，探讨平面向量的性质，并通过证明的方式来加深理解。
一、共线性1. 定理1：若向量a与向量b共线，则存在实数k，使得a=kb。
证明：假设向量a和向量b共线，则可以找到一条直线l，使得向量a和向量b都是直线l上的向量。
设向量a的起点为点A，终点为点B；向量b的起点为点C，终点为点D。
由于向量a和向量b共线，所以直线AB和直线CD重合或者平行。
设向量a的长度为|AB|，向量b的长度为|CD|，则根据向量相等的定义，有|AB|=k|CD|，其中k为常数。
所以a=kb。
二、共面性2. 定理2：若向量a、b和向量a、c共面，则向量a与向量b和向量c共面。
证明：假设向量a、b和向量a、c共面，则可以找到一个平面P，使得向量a、b和向量a、c都是平面P上的向量。
设向量a的起点为点A，向量b的起点为点B，向量c的起点为点C。
由于向量a、b共面，所以直线AB在平面P上；向量a、c共面，所以直线AC也在平面P 上。
又由于平面P上两条直线AB和AC有一个公共点A，所以向量a、b和向量a、c共面。
三、向量运算3. 定理3：向量的数量积满足交换律和分配律。
证明：设向量a和向量b的夹角为θ。
向量a与向量b的数量积为a·b=|a||b|cosθ，向量b与向量a的数量积为b·a=|b||a|cos(180°-θ)=|b||a|(-cosθ)=-a·b。
所以a·b=b·a。
又设向量a和向量b、向量c的夹角分别为θ1和θ2。
向量a与向量b、向量c的数量积为a·(b+c)=|a||b+c|cosθ1，而a·b+a·c=(|a||b|cosθ1)+(|a||c|cosθ2)=|a||b|cosθ1+|a||c|cosθ2=|a|(|b|cosθ1+|c|cosθ2)=|a||b+c|cosθ1。
平面向量的正交和标准正交基的应用
平面向量的正交和标准正交基的应用平面向量是数学研究中常见的概念，具有广泛的应用。
其中，正交和标准正交基是平面向量领域中的重要概念和工具。
本文将探讨平面向量的正交性和标准正交基的应用。
首先，我们将介绍平面向量的基本概念和性质，然后详细阐述正交向量以及标准正交基在几何和代数中的常见应用。
1. 平面向量的基本概念和性质平面向量是平面上有大小和方向的箭头，它由两个起点相同的有向线段表示。
线段的长度表示向量的大小，线段的指向表示向量的方向。
平面向量通常用小写字母加箭头标记，例如a→或者AB→。
平面向量的性质包括平移、共线性、相等性、加法和数乘等。
其中，加法和数乘运算是平面向量的核心运算。
向量加法表示两个向量的合成，向量数乘表示一个向量与一个实数的乘积。
2. 正交向量的概念和性质正交向量是指两个向量的夹角为90度的向量。
对于平面向量a→和b→，如果它们的内积a→·b→=0，则称a→和b→正交，记作a→⊥b→。
正交向量具有以下重要性质：性质1：零向量与任意向量都正交。
性质2：如果a→⊥b→，则-b→⊥a→。
性质3：如果a→⊥b→且b→⊥c→，则a→⊥c→。
正交向量在几何中的应用广泛。
例如，在矩形中，对角线相互垂直。
此外，正交向量还能帮助求解向量的分解和求模，从而简化向量计算的过程。
3. 标准正交基的概念和性质标准正交基是指平面内正交向量构成的向量组。
标准正交基具有以下性质：性质1：标准正交基中的向量互相正交。
性质2：标准正交基中的向量彼此单位长度。
标准正交基在代数中的应用广泛。
通过标准正交基，我们可以将一个向量表示成一组系数的线性组合，从而简化向量运算。
此外，标准正交基还能用于解方程组、矩阵变换和向量空间的基的选择等问题。
4. 平面向量的正交和标准正交基的应用平面向量的正交和标准正交基在几何和代数领域有着广泛的应用。
在几何中，利用正交向量的概念，我们可以判断矩形、正方形、平行四边形等图形的性质。
通过构造正交向量的方法，我们可以求解物体之间的相对位移、速度和加速度等问题。
初二数学平面向量的基本性质
初二数学平面向量的基本性质平面向量是初中数学中的重要概念之一，它广泛应用于几何、物理等领域。
掌握平面向量的基本性质对于深入理解和应用数学知识至关重要。
本文将讨论平面向量的基本性质，包括向量的定义、零向量、相等向量、数量乘法、加法和减法等。
1. 向量的定义向量是有大小和方向的量，用箭头表示。
在二维平面上，向量通常由两个有序实数表示，分别为横坐标和纵坐标。
例如，向量AB可以表示为向量→AB=(x, y)。
向量的长度用绝对值表示，即|→AB|=√(x^2+y^2)。
2. 零向量零向量是指所有分量都为零的向量，用→0表示。
它的长度为0，方向是任意的。
对于任意向量→AB=(x, y)，与之相加的零向量满足→AB+→0=→AB。
3. 相等向量两个向量→AB=(x1, y1)和→CD=(x2, y2)相等，当且仅当它们的分量对应相等，即x1=x2，y1=y2。
相等向量具有相等的长度和方向。
4. 数量乘法向量的数量乘法是指将向量的每个分量乘以一个实数。
例如，对于向量→AB=(x, y)和实数k，其数量乘法为k→AB=(kx, ky)。
数量乘法满足结合律和分配律，即k(→AB+→CD)=k→AB+k→CD。
5. 加法和减法向量的加法是指将两个向量的对应分量相加得到新的向量。
例如，向量→AB=(x1, y1)和向量→CD=(x2, y2)的加法为→AB+→CD=(x1+x2,y1+y2)。
类似地，向量的减法是指将减数的负向量与被减数相加，即→AB-→CD=→AB+(-→CD)。
6. 向量的模向量的模是指向量的长度，用数值表示。
在二维平面上，向量→AB=(x, y)的模为|→AB|=√(x^2+y^2)。
向量的模具有非负性、齐次性和三角不等式等性质。
7. 向量的方向角向量的方向角是指向量与坐标轴正方向之间的夹角。
在二维平面上，向量→AB=(x, y)的方向角为θ=arctan(y/x)。
方向角的范围为-π到π。
8. 平面向量的基本性质根据向量的定义和运算规则，平面向量具有以下基本性质：（1）零向量的加法：→AB+→0=→AB。
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平面向量的基本定理及其坐标表示
第一部分 知识梳理
一、平面向量的基本定理：如果21,e 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使得2211e e λλ+=。
我们把不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
对于两个非零向量a 与b ，通过平移使他们的起点重合，比如a oA =，b oB =，则
()
1800≤≤=∠θθAOB 叫做向量与的夹角。
二、 平面向量的正交分解及坐标表示
（1）向量的分解：一个平面向量用一组基底21,e 表示成2211e e λλ+=,(R ∈21,λλ）的形式，我们称之为向量的分解
（2）向量的正交分解：把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解，这两个互相垂直的向量称为正交基底。
（3） 平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别去与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量,作为基底，对于平面捏的任一向量a ，由平面向量基本定理可以知，有且只有一对实数y x ,，使得j y i x a +=，这样，平面内的任一向量都可以由y x ,唯一确定，我们把有序的实数对()y x ,叫做向量的坐标，记作),(y x a =，其中x 叫做在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标，),(y x =叫做向量的坐标表示。
三、平面向量的坐标运算：
（1） 两个向量和、差的坐标运算。
已知),(),,(2211y x y x ==则 ),(2121y y x x ++=+，),(2121y y x x --=-
（2） 平面向量数乘的坐标运算。
已知()R y x a ∈=λ,,，则()y x a λλλ,=
（3） 已知A 、B 的坐标，求的坐标。
设),(),,(2211y x B y x A ，则()1212,y y x x --= 四、平面向量共线的坐标表示：
已知()11,y x =，()
0),(22≠=y x ，与共线⇔01221=-y x y x 五、线段定比分点坐标：
若点()111,y x P ，P2（ x2),(222y x P ，()y x P ,，λ为实数，且P 21PP P P λ=,则点P 的坐标y x ,满足：()y x P ,
第二部分 精讲点拨 考点1 平面向量基本定理
（1） 设1e ，2e 是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
①1e 与21e e +； ② 212e e -与122e e -； ③ 212e e -与 1224e - ④ 21e e +与21e e - 其中，不能作为平面内所有向量的一组基底是__________ (写出满足条件的序号）
[].1EX 已知1e ，2e 是平面内两个不共线的向量，,2,232121e e e e +-=-=
2147e e c -=，试用,表示c
考点2 向量夹角的计算
（2=，且与的夹角为 120，求+与的夹角，-与的夹角。
考点3 向量的正交分解及坐标表示
3．已知向量)1,0(),0,1(==，对坐标平面的任一向量，给出下列四个结论 ① 存在唯一的一对实数y x ,，使得),(y x =；
② 若R y y x x ∈2121,,,，()()2211,,y x y x a ≠=，则2121,y y x x ≠≠
③ 若R y x ∈,，(),,y x a =且0≠，则的始点坐标是()y x ,，则()y x a ,=。
其中，正确结论的个数是（ ） 1.A 2.B 3.C 4.D
[].1EX 已知O 是直角坐标系坐标原点，点A 34=， 60=∠xoA ，求向量的坐标。
考点4 平面向量的坐标运算
4．已知)4,3(),3,1(),4,2.(C B A --，若CB CA CM 32+=，求点M 的坐标。
考点5 利用向量坐标证明三点共线
5．① 已知)4,3(=,)12,7(=，)16,9(=，求证：点C B A ..共线
② 设向量)12,(k =，)5,4(=，),10(k =，求当k 为何值时，点C B A ..共线
考点6 定比分点的坐标的计算方法
（6） 若过点()3,21P ,()1,62-P 的直线上一点P ,使
3=,求出点P 的坐标。
第三部分 检测达标 一、选择题
1. 若A(x ，－1)、B(1，3)、C(2，5)三点共线，则x 的值为 （ ） A ． －3 B ． －1 C ． 1 D ． 3
3. 已知AB =(5，－3)，C(－1，3)， CD =2AB ，则点D 坐标 （ ） A ．(11，9) B ．(4，0) C ．(9，3) D ．(9，-3)
4. 设a =(23，sin α)，b =(cos α，31
)，且a ∥b ，则锐角α为 （ ）
A ． 30０
B ． 600
C ． 450
D ． 750
5. 若向量=(1，－2) ， | | = 4 ||，且，共线，则可能是（ ） A ．(4，8) B ．(－4，8) C ．(－4，－8) D ．(8，4)
6.平行四边形ABCD 的三个顶点为A （-2，1）、B （-1，3）、C （3，4），则点D 的坐标是( ) A ．（2，1） B ．（2，2） C ． （1，2） D ．（2，3）
7.己知P 1(2,－1) 、P 2(0,5) 且点P 在P 1P 2的延长线上,||2||21PP P P =, 则P 点坐标为
（ ) A. (－2,11) B.()3,34 C.(32
,3) D.(2,－7)
8. 已知a =(2,3) , b =(4-,7) ,则a 在b
上的投影值为（ ）
A.13 B 、5
13
C 、565
D 、65
二、填空题
1.设=(4，－3)，=(x ，5)，=(－1，y)，若+=，则（x ，y ）= ．
2.若=(-1，x)与=(－x ，2)共线且方向相同，则x= ．
3.若A(－1， －1)， B(1，3)， C(x ，5) 三点共线，则x= ．
4.已知=(3，2)，=(－2，1)，若λ+与+λ（λ∈R ）平行，则λ= ．
5.已知|a |=10，b =（4，－3），且a ∥b ，则向量a 的坐标是 ．
6.若向量a =(－1，x)，b =(－x ，2)，且a 与b 同向，则a －2b = ．
7.已知点O 是平行四边形ABCD 的对角线交点，=(2，5)，=(-2，3)，则CD 坐标为 ，DO 坐标为 ，的坐标为 ．
8.已知=(x 1，y 1)，=(x 2，y 2)，线段AB 中点为C ，则的坐标为 ． 三、解答题
1.已知向量=（1，2），=（x ，1），1e =+2，2e =2-且1e ∥2e ，求x ．
2.已知向量()2,3=a
，()1,1-=b ，向量m 与b a 23-平行，且m =4137，
求向量m
的坐标．
3.已知两点A(4，－2)，B(－4，4)，C(1，1)， (1)求方向与→
AB 一致的单位向量；
（2）过点C 作向量→
CD 与→
AB 共线，且4=→
CD ，求D 点坐标； （3）若A 、B 、C 都是某个平行四边形的顶点，求另一个顶点D 的坐标。