高数下公式总结
高数知识点总结公式
高数知识点总结公式1.极限相关公式：(1)λ-δ定义:对于任意正实数ε，其中λ和δ为常数，如果当0<|x-a| <δ时，|f(x)-L|<ε，则称函数f(x)在x趋于a时以L为极限，记为limx→af(x)=L。
（其中ε、δ、λ具有一定联系）(2)夹逼准则：设f(x)≤g(x)≤h(x) (a<x<a+δ)，且limx→af(x) = limx→ah(x) = L，则有limx→ag(x)=L。
(3)左右极限定义：右极限limx→+0f(x)=L：对任意ε>0，存在δ>0，当0<x<a时，有|f(x)-L|<ε。
左极限limx→-0f(x)=L：对任意ε>0，存在δ>0，当a<x<0时，有|f(x)-L|<ε。
(4)无穷大定义：对于任意M>0，都存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有f(x)>M或f(x)<-M，称f(x)当x趋于a时趋于正无穷或负无穷，记为limx→af(x)=+∞或-∞。
(5)无穷小定义：如果在x→a 的极限过程中，函数f(x)的值变化趋向于0，则称函数f(x)为x→a时的无穷小，记作f(x)=o(1)或limx→af(x)=0，其中o(1)是第一个震荡频率。
(6)洛必达法则：设函数f(x)，g(x)具有一阶导函数，且存在limx→a f(x)=limx→ag(x)=0，当x→a时，g'(x)≠0，则limx→af(x) / g(x) = limx→a f'(x) / g'(x)。
2.微分相关公式(1)导数的定义：函数y=f(x)在点x处的导数是指当x沿着x轴正方向变动一个无穷小量Δx时，函数值f(x)所发生的变化量Δy与Δx的比值，即：f' (x) = limΔx→0 (f (x+Δx)−f (x)) / Δx。
(2)常见函数的导数：sin x的导数是cos xcos x的导数是-sin xtan x的导数是sec^2 xcot x的导数是-csc^2 xln x的导数是1 / xe^x的导数是e^x(3)导数的运算法则和法则：(u+v)'=u'+v'差法则：(u-v)'=u'-v'乘法法则：(uv)'=u'v+uv'除法法则：(u/v)'=(u'v-uv') / v^2复合函数求导：设y=f(u)，u=g(x)，则y=f[g(x)]的导数为dy / dx = dy / du * du / dx(4)高阶导数的定义：如果函数y=f(x)在某点x0的邻域内存在导数y',则f(x)在x0处有一阶导数；如果f(x)在x0的某邻域内存在一阶导数y'，且y'在x0处也有导数，则称f(x)在x0处存在二阶导数，记为y''),y''=(y')'；一般地，如果f(x)的n-1阶导数f^(n-1)(x)在x0的邻域内存在，且f^(n-1)(x)可导，则称f(x)在x0处存在n阶导数，记为fn(x0),f^(n)(x0)或(dn / dx^n)f(x0)。
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lim[ f ( x) g ( x)]
两个重要极限
lim
sin
x
1, lim
sin
x
0; lim(1
1)x
e
lim(1
1
x) x
x0 x
x x
x
x
x0
常用等价无穷小:
1 cos x ~ 1 x2; x ~ sin x ~ arcsin x ~ arctan x; n 1 x 1 ~ 1 x;
lim n0
n i 1
f(i)1 nn
F (b) F (a) F (x)
b a
,
(F(x) f (x))
连续可积; 有界+有限个间断点可积; 可积有界; 连续原函数存在
(x) x f (t)dt (x) f (x) a
d (x) f (t)dt f [(x)](x) f [ (x)] (x)
1 x
n0
3、
弧微分公式：ds 1 y2 dx x(t) y(t)2 dt 2 2 d
平均曲率：K从点到点.(， 切: 线M斜率的M倾 角变化量；: s
弧长)
s MM
M点的曲率：K lim d s0 s ds
y
(t) (t) (t) (t)
= (1 y2 )3
Байду номын сангаас
3
[2 (t) 2 (t)]2
x2 a2 2a x a
a2 x2 2a a x
dx ln(x x2 a2 ) C;
x2 a2
x2 a2 dx x x2 a2 a2 ln(x x2 a2 ) C;
2
2
a2 x2 dx x a2 x2 a2 arcsin x C
考研数学高数重要公式总结
考研数学高数重要公式总结高等数学是考研数学中的重要科目之一，公式的掌握对于解题非常重要。
下面是高等数学中一些重要的公式总结：1.导数公式：(1)基本公式：若y=f(x)是可导函数，则有：f'(x)=lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h(2)常见函数的导数：（仅列举部分）常数函数k'(x)=0幂函数x^n的导数[nx^(n-1)]指数函数a^x的导数[a^x×ln(a)]对数函数log(a)x的导数[1/x×ln(a)](3)导数运算公式：[cf(x)]'=cf'(x)[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)[f(x)×g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)[f(g(x))]'=f'[g(x)]×g'(x)2.泰勒公式：设在x=a处进行n阶导数的计算，则：f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+(x-a)^2/2!×f''(a)+⋯+(x-a)^n/n!×f^(n)(a)3.不定积分公式：(1)基本公式：∫f'(x)dx=f(x)+C(2)常见函数的不定积分：（仅列举部分）∫c dx=cx+C∫x^(n)dx=x^(n+1)/(n+1)+C (n≠-1)∫a^xdx=a^x/ln(a)+C∫du/u=ln，u，+C(3)积分运算公式：∫[cf(x)+g(x)]dx=c∫f(x)dx+∫g(x)dx∫f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))+C4.定积分公式：(1)基本公式：∫[a, b]f(x)dx=F(b)-F(a)(2)常见函数的定积分：（仅列举部分）∫[a, b]dx=b-a∫[a, b]x^(n)dx=(b^(n+1)-a^(n+1))/(n+1) (n≠-1)∫[a, b]e^xdx=e^b-e^a∫[a, b]sinθdθ=-cosθ，^b_a(3)积分运算公式：∫[a, b][cf(x)+g(x)]dx=c∫[a, b]f(x)dx+∫[a, b]g(x)dx∫[a, b]f(g(x))g'(x)dx=∫[g(a), g(b)]f(u)du (令u=g(x))以上仅是高等数学中的一部分重要公式总结，实际上还有许多其他公式和定理。
猴博士高数公式总结 -回复
猴博士高数公式总结 -回复
以下是猴博士对高数常见公式的总结：
1. 导数的基本公式：
- 基本函数求导法则：常数函数导数为0，幂函数导数为幂
次减一乘以该函数的导数。
- 指数函数求导法则：e^x的导数仍为e^x。
- 对数函数求导法则：ln(x)的导数为1/x。
- 三角函数求导法则：sin(x)的导数为cos(x)，cos(x)的导数为-sin(x)。
2. 积分的基本公式：
- 基本函数积分法则：幂函数积分为幂次加一除以该函数的
导数，对数函数积分为xln(x)-x，三角函数积分法则与求导法
则相反。
- 定积分：使用积分上下限进行求解，结果为曲线与x轴之
间的有向面积。
3. 微分方程的解法：
- 分离变量法：将微分方程中的变量分离到一边，再对两边
进行积分。
- 变量代换法：对微分方程中的变量进行适当的代换，转化
为更容易求解的形式。
- 齐次微分方程解法：将微分方程转化为一个关于y/x的方程，进行代换后进行求解。
- 一阶线性微分方程解法：使用积分因子法解线性微分方程。
这些是高数中常见的公式和解法，希望对你有帮助！。
高数下册公式总结
高数下册公式总结高等数学下册是大多数理工类专业大学生必修的一门课程，难度较大且内容繁杂。
在学习高等数学下册的过程中，熟记常用的公式是非常重要的。
下面我将为大家总结高等数学下册常见的公式。
1. 极限与连续：- 函数极限的定义：设函数 f(x) 在点 x0 的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0 < |x - x0| < δ 时，有 |f(x) - A| < ε 成立，则称 A 是函数 f(x) 当x 趋于 x0 时的极限，记作lim(x→x0) f(x) = A。
- 函数极限的四则运算：设函数 f(x) 和 g(x) 的极限分别为 A 和 B，若A、B 均存在，则* lim(x→x0) [f(x) ± g(x)] = A ± B* lim(x→x0) [f(x) ⋅ g(x)] = A ⋅ B* lim(x→x0) [f(x) / g(x)] = A / B (B ≠ 0)- 洛必达法则：设函数 f(x) 和 g(x) 在 x0 的某个去心邻域内有定义且 f(x0) = g(x0) = 0，若lim(x→x0) [f'(x) / g'(x)] 存在或为∞，则有lim(x→x0) [f(x) / g(x)] = lim(x→x0) [f'(x) / g'(x)]。
2. 导数与微分：- 导数的定义：设函数 y = f(x) 在点 x0 的某去心邻域内有定义，若极限lim(h→0) [f(x0 + h) - f(x0)] / h 存在，则称该极限为函数 f(x) 在点 x0 处的导数，记作 f'(x0) 或 dy/dx∣(x=x0)。
- 基本导函数：设 u(x) = C (常数)、u(x) = x^n (n 为自然数) 和 y(x) = f(x) ± g(x) 是可导函数，C 为常数，则有以下基本导函数公式。
专升本高数公式大全总结
专升本高数公式大全总结以下是一些常用的高数公式总结：1. 导数公式：- 基本公式：$(c)^n = ncx^{n-1}$，其中c为常数，n为指数，x为变量。
- 基本函数的导数：$sinx' = cosx, cosx' = -sinx, tanx' = sec^2x, cotx' = -csc^2x, secx' = secxtanx, cscx' = -cscxcotx$。
2. 积分公式：- 基本公式：$\int f'(x)dx = f(x) + C$，其中C为常数。
- 基本函数的不定积分：$\int sinxdx = -cosx + C, \int cosxdx = sinx + C, \int tanxdx = -ln|cosx| + C$。
3. 三角函数公式：- 正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，其中a、b、c为三角形的边长，A、B、C为对应角，R为外接圆半径。
- 余弦定理：$c^2=a^2+b^2-2abcosC$。
- 正弦二倍角公式：$sin2x=2sinxcosx$。
- 余弦二倍角公式：$cos2x=cos^2x-sin^2x=2cos^2x-1=1-2sin^2x$。
4. 极限公式：- 基本公式：$\lim_{x\to c}f(x) = f(c)$，其中c为常数。
- 乘法法则：$\lim_{x\to c}[f(x)g(x)] = \lim_{x\to c}f(x) \cdot\lim_{x\to c}g(x)$。
- 除法法则：$\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to c}f(x)}{\lim_{x\to c}g(x)}$，其中$\lim_{x\to c}g(x) \neq 0$。
5. 级数公式：- 等比数列求和公式：$S_n = \frac{a(1-q^n)}{1-q}$，其中S_n为前n项和，a为首项，q为公比。
高数公式大全
高等数学公式汇总第一章 一元函数的极限与连续1、一些初等函数公式：sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan cot cot 1cot()cot cot ()()sh sh ch ch sh ch ch ch sh sh αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαββααβαβαβαβαβαβ±=±±=±±=⋅⋅±=±±=±±=±和差角公式：sin sin 2sincos22sin sin 2cos sin22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=+-+=+--=和差化积公式： 1sin cos [sin()sin()]21cos sin [sin()sin()]21cos cos [cos()cos()]21sin sin [cos()cos()]2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-=+--=++-=+--积化和差公式：2222222222sin 22sin coscos 22cos 1 12sin cos sin 2tan tan 21tan cot 1cot 22cot 22212 21sh sh ch ch sh ch ch sh αααααααααααααααααααααα==-=-=-=--===+==-=+倍角公式：22222222sin cos 1;tan 1sec ;cot 1csc ;1sin 2cos 21cos sin tan 2sin 1cos 1cos sin cot2sin 1cos x x x x ch x sh x αααααααααααααα+=+=+=-===-===++===-半角公式：::ln(2::ln(211::ln21x xx xx x x x e e shx arshx x e e chx archx x shx e e xthx arthx chx e e x-----==++==±+-+===+-双曲正弦；反双曲正弦双曲余弦；反双曲余弦双曲正切；反双曲正切3322()()()a b a b a ab b ±=±+，222(1)(21)126n n n n +++++=22333(1)124n n n ++++=2、极限➢常用极限：1,lim 0n n q q →∞<=;1n a >=;lim 1n =➢ ln(1())limln(1())~()()lim[()()]1/()()0,(),lim[1()]f x f x f x g x f x g x g x f x g x f x ee ++±→→∞±=−−−−−−→若则➢ 两个重要极限100sin sin 1lim 1,lim 0;lim(1)lim(1)x x x x x x x x e x x x x→→∞→∞→==+==+ ➢:常用等价无穷小2111cos ~; ~sin ~arcsin ~arctan 1~;2 1~ln ; ~1;(1)~1; ln(1)~x x a x x x x x x x n a x a e x x ax x x--++++3、连续：定义：000lim 0;lim ()() x x x y f x f x ∆→→∆==00lim ()lim ()()()x x x x f x f x f x f x -+-+→→⇔==极限存在或 第二章 导数与微分1、 基本导数公式：00000000()()()()()limlim lim tan x x x x f x x f x f x f x yf x x x x x α∆→∆→→+∆--∆'====∆∆-_0+0()()f x f x -+''⇔=导数存在1220; (); (sin )cos ; (cos )sin ; (tan )sec ; (cot )csc ;(sec )sec tan ; (csc )csc ; ()ln ;();11(log ); (ln ); (arcsin ) (arccos )ln a a x x x x a C x ax x x x x x x x x x x x x x ctgx a a a e e x x x x x a x -''''''======-''''=⋅=-⋅==''''====222211(arctan ); (cot ); ();();1111(); () ())1x arc x shx hx chx shx x x thx arshx archx arthx ch x x ''''==-==++''''====-2、高阶导数：()()()()!()()!; ()ln ()()!n k n k n n x n x n x n x n x x x n a a a e e n k -=⇒==⇒=-()()()1111(1)!1(1)!1!(); (); ()()()n n n n n n n n n n n x x x a x a a x a x +++--===++-- ()()(sin )sin(); (cos )cos();22n n n n kx k kx n kx k kx n ππ=⋅+⋅=⋅+⋅()1()(1)1(1)!1(1)[ln()]()(1)()n n n n n n nn n a x x a x x x-----+=-⇒==-+ 牛顿-莱布尼兹公式：()()()0()(1)(2)()()()()(1)(1)(1)2!!nn k n k k n k n n n n k k n uv C u v n n n n n k u v nu v u v u v uv k -=---=---+'''=++++++∑3、微分：0()()(); =()();y f x x f x dy o x dy f x x f x dx ''∆=+∆-=+∆∆=⇒⇔⇒连续极限存在收敛有界;=⇔⇔⇒可微可导左导右导连续；⇒不连续不可导第三章微分中值定理与微分的应用1、基本定理()()()(),(,)()()(),(,)()()()F()f b f a f b a a b f b f a f a b F b F a F x x ξξξξξ'-=-∈'-=∈'-=拉格朗日中值定理：柯西中值定理：当时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
考研—高数重要公式总结
【基础公式】
1、一元二次方程基础（ax2+bx+c=0）
2、立方差公式
3、经典不等式
4、三角函数
正弦定理：
在任意△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R，直径为D。
则有：
一个三角形中，各边和所对角的正弦之比相等，且该比值等于该三角形外接圆的直径（半径的2倍）长度。
余弦定理：
】
【等价无穷小（等价替换）
【极限公式】
【求导公式】1、基本求导公式
2、n阶导数
【泰勒公式】
任何可导函数f(x)一定可以写成幂函数叠加∑a n x n的形式。
1麦克劳林公式
2 六个重要的幂级数展开式
3常用泰勒公式
【积分公式】幂函数
指数函数
三角函数
其他函数
【附录：希腊字母】Α α：阿尔法Alpha
Β β：贝塔Beta
Γ γ：伽玛Gamma
Δ δ：德尔塔Delte
Ε ε：艾普西龙Epsilon Ζ ζ：捷塔Zeta
Ε η：依塔Eta
Θ θ：西塔Theta
Ι ι：艾欧塔Iota
Κ κ：喀帕Kappa
∧ λ：兰布达Lambda
Μ μ：缪Mu
Ν ν：拗Nu
Ξ ξ：克西Xi
Ο ο：欧麦克轮Omicron ∏ π：派Pi
Ρ ρ：柔Rho
∑ σ：西格玛Sigma
Τ τ：套Tau
Υ υ：宇普西龙Upsilon Φ φ：fai Phi
Χ χ：器Chi
Ψ ψ：普赛Psi
Ω ω：欧米伽Omega。
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高等数学下册公式总结1、N 维空间中两点之间的距离公式：1212,,,n ,,,n p(x x ...x ),Q(y y ...y )的距离PQ =2、多元函数z f(x,y)=求偏导时，对谁求偏导，就意味着其它的变量都暂时看作常量。
比如，zx∂∂表示对x 求偏导，计算时把y 当作常量，只对x 求导 就可以了。
3、二阶混合偏导数在偏导数连续的条件下与求导次序无关，即22z zx y y x∂∂=∂∂∂∂。
4、多元函数z f(x,y)=的全微分公式： z z dz dx dy x y∂∂=+∂∂。
5、复合函数z f(u,v),u (t),v (t)φϕ===，其导数公式：dz z du z dvdt u dt v dt∂∂=+∂∂。
6、隐函数F(x,y)=0的求导公式： X yF dydX F '=-'，其中x y F ,F ''分别表示对x,y求偏导数。
方程组的情形：0F(x,y,u,v){G(x,y,u,v)==的各个偏导数是：F F v xG Gu x v x F Fu v G G u v∂=-∂，F F u x G G v u xx F Fu v G G u v∂=-∂，F F y v G G y v u y F F u v G G u v∂=-∂，F F y uG G u yvy F Fu v G G u v∂=-∂。
7、曲线Γ的参数方程是：x (t),y (t),z (t)ϕφω===，则该曲线过点000M(x ,y ,z )的法平面方程是：0000000(t )(x x )(t )(y y )(t )(z z )ϕφω'''-+-+-=切线方程是：000000(x x )(y y )(z z )(t )(t )(t )ϕφω---=='''。
8、曲面方程(,,)F x y z ＝0在点000M(x ,y ,z )处的 法线方程是：000x y z (x x )(y y )(z z )F F F ---=='''， 切平面方程是：0000xy z F (x x )F (y y )F (z z )'''-+-+-=。
9、求多元函数z=f(x , y)极值步骤：第一步：求出函数对x , y 的偏导数，并求出各个偏导数为零时的对应的x,y 的值 第二步：求出000000xx xy yy f (x ,y )A,f (x ,y )B,f (x ,y )C ===第三步：判断AC-B 2的符号，若AC-B 2大于零，则存在极值，且当A 小于零是极大值，当A 大于零是极小值；若AC-B 2小于零则无极值；若AC-B 2等于零则无法判断 10、二重积分的性质： （1）(,)(,)DDkf x y d k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰（2）[(,)(,)](,)(,)DDDf x yg x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)12(,)(,)(,)DD D f x y d f x y d f x y d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4)若(,)(,)f x y g x y <，则(,)(,)DDf x y dg x y d σσ<⎰⎰⎰⎰（5）Dd s σ=⎰⎰，其中s 为积分区域D 的面积（6）(,)m f x y M <<，则(,)Dms f x y d Ms σ<<⎰⎰（7）积分中值定理：(,)(,)Df x y d sf σεη=⎰⎰，其中(,)εη是区域D 中的点11、双重积分总可以化简为二次积分（先对y ，后对x 的积分或先对x ，后对y 的积分形式）2211()()()()(,)(,)(,)P x P y bdDaP x cP y f x y d dx f x y dy dyf x y dx σ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，有的积分可以随意选择积分次序，但是做题的复杂性会出现不同，这时选择积分次序就比较重要，主要依据通过积分区域和被积函数来确定12、双重积分转化为二次积分进行运算时，对谁积分，就把另外的变量都看成常量，可以按照求一元函数定积分的方法进行求解，包括凑微分、换元、分步等方法 13、曲线、曲面积分：（1）对弧长的曲线积分的计算方法：设函数f （x,y ）在曲线弧L 上有定义且连续，L 的参数方程为{x (t)y (t)ϕφ==，(t )αβ<<，则Lf(x,y)ds f[(t),βαϕφ=⎰⎰（2）格林公式：DLLQ P()dxdy Pdx Qdy x y∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰⎰14、向量的加法与数乘运算：111222(,,),(,,)a x y z b x y z ==，则有111(,,)ka kx ky kz =，121212(,,)a b x x y y z z λμλμλμλμ+=+++，若a b ，则111222x y z x y z == 15、向量的模、数量积、向量积：若111222(,,),(,,)a x y z b x y z ==，则向量a 的模长2a x =+；数量积（向量之间可以交换顺序，其结果是一个数值）a b ＝121212b a x x y y z z =++＝cos ,b a a b a b =<>，其中,a b <>表示向量,b a 的夹角，且若a b ⊥，则有a b ＝0；向量积（向量之间不可以交换顺序，其结果仍是一个向量）1111221*********22()()()ij ka b x y z y z y z i x z x z j x y x y k x y z ⨯==-+-+-，其中,,i j k 是x 轴、y 轴、z 轴的方向向量16、常数项无穷级数1231......n n n u u u u u ∞=∑=+++++，令123...n n s u u u u =++++称为无穷级数的部分和，若lim n x s s →∞=，则称改级数收敛，否则称其为发散的。
其中关于无穷级数的一个必要非充分地定理是：若1n n u ∞=∑收敛，则必有lim 0n x u →∞=17、三种特殊的无穷级数： （1）调和级数11n n∞=∑是发散的，无须证明就可以直接引用 （2）几何级数1n n aq ∞=∑，当1q <时收敛，当1q >时发散（3）p 级数11pn n∞=∑，当1p >时收敛，当1p ≤时发散 18、正项级数1n n u ∞=∑的判敛方法：（1）比较判敛法：若存在两个正项级数1n n u ∞=∑，1n n v ∞=∑，且有n n v u ≤，若n u 收敛，则n v 收敛；若n v 发散，则n u 发散（2）比较判敛法的极限形式：若lim,(0)nx nu l l v →∞=>，则n u 和n v 具有相同的敛散性（3）比值判敛法：对于1n n u ∞=∑， 1limn x nu l u +→∞=，若1l <，则原级数收敛，若1l >，则原级数发散19、交错级数11(1)n n n u ∞-=∑-的判敛方法：同时满足1n n u u +>及lim 0n x u →∞=，则级数收敛，否则原级数发散20、绝对收敛和条件收敛：对于1n n u ∞=∑，若1n n u ∞=∑收敛，则称其绝对收敛；若1n n u ∞=∑发散，但是1n n u ∞=∑收敛，则称其条件收敛21、函数项无穷级数形如：1231()()()()...()...n n n u x u x u x u x u x ∞=∑=+++++，通常讨论的是幂级数形如：2301230......n n n n n a x a a x a x a x a x ∞=∑=++++++，（1）收敛半径及收敛区间：1lim,n x na a ρ+→∞=则收敛半径1R ρ=，收敛区间则为(,)R R -，但是要注意的是，收敛区间的端点是否收敛需要用常数项级数判敛方法验证（2）几种常见函数的幂级数展开式：0!n xn x e n ∞==∑，sin x =(21)n-11-1(21)!n n x n -∞=∑-（），20cos (1)(2)!n nn x x n ∞==∑-，011nn x x ∞==∑-，01(1)1n n n x x ∞==∑-+22、常微分方程的类型及解题方法：（1）可分离变量的微分方程：(,)y f x y '=，总是可以分离变量化简为()()dy dxf y f x =的形式，然后等式两边同时积分，即可求出所需的解（2）齐次方程：(,)y f x y '=，不同的是，等式右端的式子总是可以化简为()y f x的形式，令yu x=，则原方程化简为可分离变量方程形式()u xu f u '+=来求解 （3）一阶线性微分方程：形如()()y p x y f x '+=的方程，求解时首先求出该方程对应的齐次方程()0y p x y '+=的解y =()cQ x ，然后使用常熟变易法，令()c u x =，把原方程的解()()y u x Q x =带入原方程，求出()u x ，再带入()()y u x Q x =中，即求出所需的解（4）全微分方程：形如(,)(,)0p x y dx Q x y dy +=的方程，只要满足(,)(,)p x y Q x y y x∂∂=∂∂，则称其为全微分方程，其解为0(,)(,)xyu p x y dx Q x y dy =+⎰⎰（5）二阶微分方程的可降阶的三种微分方程：第一种：()y f x ''=的形式，只需对方程连续两次积分就可以求出方程的解第二种：(,)y f x y '''=的形式，首先令y z '=，则原方程降阶为可分离变量的一阶微分方程(,)z f x z '=的形式，继续求解即可第三种：(,)y f y y '''=的形式，同样令y z '=，由于dz dz dy dz y z y dx dy dx dy''''====，所以原方程转化为一阶微分方程(,)dzz f y z dy=的形式，继续求解即可 （6）二阶常系数齐次微分方程：0y py qy '''++=，求解时首先求出该方程对应的特征方程20r pr q ++=的解1,2r r ，若实根12r r ≠，则解为1212r xr xy c e c e =+；若实根12r r =，则解为112()r xy c c x e =+；若为虚根a bi ±，则解为12(cos sin )axy e c bx c bx =+（8）二阶常系数非齐次微分方程：()rxm y py qy P x e '''++=，求解时先按（7）的方法求其对应的齐次微分方程的通解1y ，然后设出原方程的特解y *＝kx ()rx m Q x e ，其中()m Q x 是和()m P x 同次的多项式，含有相应的未知系数，而k 根据特征方程的解1,2r r 与r 的关系取值，若r 与特征根不相等，则k 取0；若r 和一个特征根相等，则k 取1；若r 和特征根都相等，则k 取2，将特解代入原方程求出相应的未知系数，最终原方程的解即通解加上特解，即1y y y =+*。