倒立摆系统的状态空间极点配置控制设计

摘要：为实现多输入、多输出、高度非线不稳定的倒立摆系统平衡稳定控制，将倒立摆系统的非线性模型进行近似线性化处理，获得系统在平衡点附近的线性化模型。

利用牛顿—欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。

在分析的基础上，基于状态反馈控制中极点配置法对直线型倒立摆系统设计控制器。

由MATLAB仿真表明采用的控制策略是有效的，设计的控制器对直线型一级倒立摆系统的平衡稳定性效果好，提高了系统的干扰能力。

关键词：倒立摆、极点配置、MATLAB仿真引言：倒立摆是进行控制理论研究的典型试验平台，由于倒立摆本身所具有的高阶次、不稳定、非线性和强耦合性，许多现代控制理论的研究人员一直将他视为典型的研究对象，不断从中发掘出新的控制策略和控制方法。

控制器的设计是倒立摆系统的核心内容，因为倒立摆是一个绝对不稳定的系统，为使其保持稳定并且可以承受一定的干扰，基于极点配置法给直线型一级倒立摆系统设计控制器1．数学模型的建立倒立摆系统其本身是自不稳定的系统，实验建模存在着一定的困难。

在忽略掉一些次要的因素之后，倒立摆系统就是一典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系中应用经典力学理论建立系统动力学方程。

下面采用牛顿-欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。

1.1微分方程的数学模型在忽略了空气阻力和各种摩擦力之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示：图1：直线一级倒立摆模型设系统的相关参数定义如下：M：小车质量m：摆杆质量b：小车摩擦系数l：摆杆转动轴心到杆质心的长度I：摆杆质量F：加在小车上的力x：小车位置Φ：摆杆与垂直方向上方向的夹角θ：摆杆与垂直方向下方向的夹角（摆杆的初始位置为竖直向下）如下图2所示为小车和摆杆的受力分析图。

其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

图2：小车和摆杆受力分析图应用牛顿方法来建立系统的动力学方程过程如下： 分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下的方程：M x F b x N ••=--由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面的等式：22(sin )d N m x l dtθ=+将此等式代入上述等式中，可以得到系统的第一个运动方程：2()cos sin M m x b x ml ml F θθθθ••••••+++-=为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面的方程：22(cos )d P mg m l dtθ-=-力矩平衡方程如下：sin cos Pl Nl I θθθ••--=注意：此方程中力矩的方向，由于cos cos sin sin θπφφθφθ=+=-=- 故等式前面有负号。

合并这两个方程，约去P 和N ，得到第二个运动方程：2()sin cos I ml mgl ml x θθθ••••++=-设θ=π+φ，当摆杆与垂直向上方向之间的夹角φ与1（单位是弧度）相比很小时，即Φ<<1时，则可以进行如下近似处理：2cos 1sin ()0d dtθθφθ=-=-= 线性化后得到该系统数学模型的微分方程表达式：2()()I ml mgl ml xM m x b x ml uφφφ••••••••⎧+-=⎪⎨⎪++-=⎩1.2状态空间数学模型控制系统的状态空间方程可写成如下形式：X AX Bu Y CX Du•=+=+ 解代数方程可得如下解：2222222222()()()()()()()()()x xI ml b m gl I ml x x u I M m Mml I M m Mml I M m Mml mlb mgl M m ml x u I M m Mml I M m Mml I M m Mml φφφφφ••••••••••⎧=⎪⎪-++=++⎪++++++⎪⎨⎪=⎪-+⎪=++⎪++++++⎩整理后可得系统的状态空间方程：22222222220100()00()()()00010()00()()()x x I ml bm gl I ml x x I M m Mml I M m Mml I M m Mml mlbmgl M m ml I M m Mml I M m Mml I M m Mml φφφφ••••••••⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++++++⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦++++++⎣⎦⎣⎦u ⎥1000000100x x x y u φφφ••⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦对于质量均匀分布的摆杆，其转动惯量为：213I ml = 代入微分方程模型中得：221()3ml ml mgl ml x φφ••••+-= 化简后可得：3344g x l lφφ••••=+设[],TX x x u x φφ••••==则有：'010000000100010330441000000100x x x x u g l l x x x y u φφφφφφφ••••••••••⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1.3实际系统模型实际系统参数如下： M ：小车质量，0.5Kg; m ：摆杆质量，0.2Kg;b ：小车摩擦系数，0.1N/m/sec ； l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度，0.3m; I ：摆杆质量，0.006Kg ·m ·m ； T ：采样时间，0.005s 。

将上述系统参数代入可得系统实际模型。

摆杆角度和小车位移的传递函数：22()0.06()0.0240.588s s X s s φ=-摆杆角度和小车加速度之间的传递函数：2()0.06()0.0240.588s V s s φ=-摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：2432()4.545()0.18231.18 4.45s s U s s s s sφ=+-- 以外界作用力作为输入的系统状态方程：100000.182 2.67270 1.81820001000.454531.1820 4.5454x x x x u φφφφ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦1000000100x x x y u φφφ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦以小车加速度作为输入的系统状态方程：'010000001000100024.50 2.5x x x x u φφφφ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦'1000000100x x x y u φφφ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦2.状态空间极点配置经典控制理论的研究对象主要是单输入单输出的系统，控制器设计时一般需要有关被控对象的较精确模型，现代控制理论主要是依据现代数学工具，将经典控制理论的概念扩展到多输入多输出系统。

极点配置法通过设计状态反馈控制器将多变量系统的闭环系统极点配置在期望的位置上，从而使系统满足瞬态和稳态性能指标。

设计要求：用极点配置方法设计控制器，使得在小车上施加0.1N 的阶跃信号时，闭环系统的响应指标为： （1）要求系统调整时间小于3s （2）稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于0.1弧度 状态方程为：X AX Bu •=+选择控制信号：u KX =-可解得：()()()x t A BK x t •=-直接利用MATLAB 极点配置函数[K ，PREC ，MESSAGE]=PLACE(A ，B ，P)来计算。

选取调整时间ts=2.0s ，阻尼比为ξ=0.5，可得期望的闭环极点：1233101022u u u j u j =-=-=-+=-- u 3，u 4为一对主导极点，u 1，u 2距离闭环主导极点5倍，可忽略其对主导极点的影响。

矩阵（A-BK ）的特征值是方程式| Is-（A-BK ）|=0的根：00001000000000011234000000001000000s s k k k k s b s a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦这是 s 的四次代数方程式，可表示为432241321()()0s k bk s a k bk s ak s ak +++-+++-=适当选择反馈系数 k1 , k2，k 3，k 4 系统的特征根可以取得所希望的值。

把四个特征根1234,,,λλλλ设为四次代数方程式的根，则有43212341223344113241232341344121234()()()0s s s s λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-+++++++++-++++=如果给出的1234,,,λλλλ 是实数或共轭复数，则联立方程式的右边全部为实数。

据此可求解出实数k1,k2,k3,k4 当将特征根指定为下列两组共轭复数时1234,,,λλλλ= 2-±，-10, -10又a = 29.4, b = 3利用方程式可列出关于k1,k2,k3,k4的方程组：24132132429.4319629.472029.41600k k k k k k +=-++=-=-=求解后得 k1=-65.3061 k2=-29.3878 k3=114.3224 k4=21.3551所以反馈矩阵：[65.306129.3878114.322421.3551]K =--即施加在小车水平方向的控制力 u ：μ = −KX = -65.3061x + -29.3878x - 114.3224φ -21.3551φ3.仿真验证图3：倒立摆极点配置仿真框图可以看出在干扰的情况下，系统在3s之内基本上可以恢复到新的平衡位置。

图4：直线一级倒立摆状态空间极点配置MA TALAB SIMULINK仿真结果图图5：直线一级倒立摆状态空间极点配置实时控制结果（施加干扰）在给倒立摆施加干扰后，系统的响应如图12所示，系统的稳定时间在3s之内，达到设计要求。

4．结论传统的非线性系统分析方法需要非线性系统的精确模型，而实际中存在的大量复杂的多变量非线性系统则表现为参数的不确定性和结构的不确定性。

本文用现代控制理论的极点配置方法对直线一级倒立摆控制进行了分析，并用Simulink进行了倒立摆的系统仿真。