误差理论
误差理论第五章最小二乘法
a2t
xt
)
vn ln (an1x1 an2 x2 L ant xt )
7
三、矩阵最小二乘法
设列向量分别为：
l1
L
l2
M
ln
x1
Xˆ
x2
M
xt
v1
V
v2
M
vn
a11 a12 L a1t
A a21 a22 L
a2t
M
an1 an2 L ant
对应Y的n 个直接测 量结果
t个待求 X的估计
量
为直接测 量量结果 的残差
为（n×t) 系数矩阵
则残差方程的矩阵表达式为： V L AXˆ
等精度测量最小二乘原理的矩阵形式为：
V TV 最小 或 （L AXˆ）（T L AXˆ） 最小
8
四、不等精度测量的线性参数最小二乘原理
思路一：
Pnn
p1 0 0 0 p2 0
Pnn
0 0
0 9 0 0
0
0
9
0
0 0 0 0 9
解矩阵得：
Xˆ
x1
x2
( AT PA)1 AT PL
4.186 2.227
22
三、非线性参数最小二乘处理的正规方程
针对非线性函数 yi fi (x1, x2,L , xt ) (i 1, 2,L , n)其测量 误差方程为：
v1 l1 f1(x1, x2 ,L , xt )
用，可以有效减少随机误差的影响，因而所得结果具有
最可信赖值。
6
二、等精度测量的线性参数最小二乘原理
线性参数的测量方程一般形式为： 相应的估计量为：
Y1 a11X1 a12 X 2 L a1t X t
误差理论
当数字末端的0不作为不效数 字时，要改写成用10n来表示
• 例:24600保留三位有效数字，应表 示为： • 2.46×104
• 分析化学中还经常遇到PH，logK等对 分析化学中还经常遇到PH，logK等对 PH 数值， 数值，其有效数字的位数取决于小数部 分数字的位数， 分数字的位数，因整数部分中说明该数 的方次。 PH值为12.68， 值为12.68 的方次。如PH值为12.68，即 [H+]=2.1× M,有效数字是两位 有效数字是两位， [H+]=2.1×10-13M,有效数字是两位， 而不是四位。 而不是四位。
误差和偏差
• 由于“真实值”无法准知道，因 由于“真实值”无法准确知道， 此无法计算误差。在实际工作中， 此无法计算误差。在实际工作中， 通常是计算偏差（ 平均值代替真 通常是计算偏差（用平均值代替真 实值计算误差，其结果是偏差） 实值计算误差，其结果是偏差）
四、精密度和偏差
• 1.精密度 精密度是指在相同条件下多次测定 1.精密度 结果之间相互接近的程度。（ 。（精密度用偏差表 结果之间相互接近的程度。（精密度用偏差表 示） • 2.偏差 系指测得的结果与平均值之差。 2.偏差 系指测得的结果与平均值之差。 • 偏差越小，说明分析结果的精密度越高。所以 偏差越小，说明分析结果的精密度越高。 偏差的大小是衡量分析结果的精密度高低的尺 偏差常用绝对偏差 相对偏差、 绝对偏差、 度。偏差常用绝对偏差、相对偏差、平均偏差 表示。 和相对平均偏差表示 和相对平均偏差表示。
第二章 误差理论及应用
第二章误差理论及应用第一节误差的来源与分类一、误差的来源与误差的概念每一参数的测量都是由测试人员使用一定的仪器，在一定的环境条件下按照一定的测量方法和程序进行的。
尽管被测参数在一定的条件下具有客观存在的确定的真值，但由于受到人们的观察能力、测量仪器、测量方法、环境条件等因素的影响，实际上其真值是无法得到的。
所得到的测量值只能是接近于真值的近似值，其接近于真值的程度与所选择的测量方法、所使用的仪器、所处的环境条件以及测试人员的水平有关。
测量值与真值之差称为误差。
在任何测量中都存在误差，这是绝对的，不可避免的。
当对某一参数进行多次测量时，尽管所有的条件都相同，而所得到的测量结果却往往并不完全相同，这一事实表明了误差的存在。
但也有这样的情况，当对某一参数进行多次测量时，所得测量结果均为同一数值。
这并不能认为不存在测量误差，可能因所使用的测量仪器的灵敏度太低，以致没有反映出应有的测量误差。
实际上，误差仍然是存在的。
由于在任何测量中，误差都是不可避免地存在着，因此对所得到的每一测量结果必须指出其误差范围，否则该测量结果就无价值。
测量误差分析就是研究在测量中所产生误差的大小、性质及产生的原因，以便对测量精度作出评价。
二、测量误差的分类在测量过程中产生误差的因素是多种多样的，如果按照这些因素的出现规律以及它们对测量结果的影响程度来区分，可将测量误差分为三类。
1．系统误差在测量过程中，出现某些规律性的以及影响程度由确定的因素所引起的误差，称为系统误差。
由于可以确知这些因素的出现规律，从而可以对它们加以控制，或者根据它们的影响程度对测量结果加以修正，因此在测量中有可能消除系统误差。
在正确的测量结果中不应包含系统误差。
2．随机(偶然)误差随机误差是由许多未知的或微小的因素综合影响的结果。
这些因素出现与否以及它们的影响程度都是难以确定的。
随机误差在数值上有时大、有时小，有时正、有时负，其产生的原因一般不详，所以无法在测量过程中加以控制和排除，即随机误差必然存在于测量结果之中，但在等精度(用同一仪器、按同一方法、由同一观测者进行测量)条件下，对同一测量参数作多次测量，若测量次数足够多，则可发现随机误差完全服从统计规律。
误差理论及实验数据处理
可以设法减小或排除掉的，如对试验机和应变仪等定期校准和检验。又如单向拉伸时由于夹
具装置等原因而引起的偏心问题，可以用试样安装双表或者两对面贴电阻应变片来减少这种
误差。系统误差越小，表明测量的准确度越高，也就是接近真值的程度越好。
偶然误差是由一些偶然因素所引起的，它的出现常常包含很多未知因素在内。无论怎样
差出现的可能性小。
3）随着测量次数的增加，偶然误差的平均值趋向于零。
4）偶然误差的平均值不超过某一限度。
根据以上特性，可以假定偶然误差Δ 遵循母体平均值为零
的高斯正态分布，如图Ⅰ-1 所示。
f (Δ) =
1
− Δ2
e 2σ 2
σ 2π
图Ⅰ-1 偶然误差的正态频率曲线
·97·
材料力学实验指导与实验基本训练
Δ ≤ Δ1 + Δ2 [注]：上述法则对于两个相差甚大的数在相减时是正确的。但是对两个相互十分接近的 数，在相减时有效位数大大减少，上述结论就不适用。在建立运算步骤时要尽量避免两个接 近相等的数进行相减。 2）如果经过多次连乘除后要达到 n 个有效位数，则参加运算的数字的有效位数至少要 有 (n + 1) 个或 (n + 2) 个。例如，两个 4 位有效数的数字经过两次相乘或相除后，一般只能 保证 3 位有效数。 3）如果被测的量 N 是许多独立的可以直接测量的量 x1, x2,", xn 的函数，则一个普遍的 误差公式可表示为下列形式，即
控制实验条件的一致，也不可避免偶然误差的产生，如对同一试样的尺寸多次量测其结果的
分散性即起源于偶然误差。偶然误差小，表明测量的精度高，也就是数据再现性好。
实验表明，在反复多次的观测中，偶然误差具有以下特性：
第5章 误差理论
多次观测中寻找偶然误差的规律：
对358个三角形在相同的观测条件下观测了全部内角, 三角形内角之和的真值为180°，观测值为三个内角之和 (i +i+ i)，因此其真误差(三角形闭合差)为：
i = 180°– ( i + i+ i)
观测数据统计结果列于 表5-1,据此分析三角形 内角和的真误差 i 的 分布规律。
算术平均值为何是该量最可靠的数值？可以用偶然 误差的特性来证明：
49 19
证明算术平均值是最或然值
按真值计算各个 观测值的真误差： 将上列等式相加， 并除以n,得到：
[] X [l ] n n 根据偶然误差特性： [ ] 0 lim n n
[l ] X lim n n
49
10
偶然误差的特性
1.有界性：在有限次观测
中，偶然误差不超过一定 数值； 2.趋向性：误差绝对值小 的出现的频率大，误差绝 对值大的出现的频率小； 3.对称性：绝对值相等的 正负误差频率大致相等； 4.抵偿性：当观测次数无 限增大时，由于正负相消， 偶然误差的平均值趋近于 零。用公式表示为：
按观测值的改正值计算中误差
Δ 9 4 4 16 1 0 16 9 4 9 72
2
第一组观测 观测值 l Δ -3 180°00ˊ03" -2 180°00ˊ02" +2 179°59ˊ58" +4 179°59ˊ56" -1 180°00ˊ01" 180°00ˊ00" 180°00ˊ04" 179°59ˊ57"
2
lim
n
Δ12 Δ22 Δn2 n
误差理论与数据处理
nx
×100%
◆ （4）方差（Variance） 方差（ 度量随机变量和其数学期望之间的偏离程度。 度量随机变量和其数学期望之间的偏离程度。
σ2 =
就是和中心偏离的程度。 就是和中心偏离的程度。在样本容 量相同的情况下，方差越大， 量相同的情况下，方差越大，说明 数据的波动越大， 数据的波动越大，越不稳定
2 数据处理
2.1 有效数字定义、运算规则
2.1.2 运算规则 （2）运算 ） ）：结果的末位数字所在的位置应按各量中存 ◆加（减）：结果的末位数字所在的位置应按各量中存 疑数字所在数位最少的一个为准来决定。 疑数字所在数位最少的一个为准来决定。
a. 30.4 + 4.325 = 34.725 → 34.7 b. 26.65 -3.905 = 22.745 → 22.74
106.25=1778279.41→1.8×106； pH=10.28→[H+]=5.2×10-11
2 数据处理
2.1 有效数字定义、运算规则
2.1.2 运算规则 （2）运算 ） 对数： ◆对数： lgx的有效数字位数由 的位数决定。 的有效数字位数由x的位数决定 的有效数字位数由 的位数决定。
1 误差理论
1.2 分类
1.2.2 系统误差、随机误差、过失误差
◆（3）过失误差 又称粗大误差和疏忽误差。 又称粗大误差和疏忽误差。是由过程中 的非随机事件如工艺泄漏、测量仪表失灵、 的非随机事件如工艺泄漏、测量仪表失灵、设备故障等引发的 测量数据严重失真现象， 测量数据严重失真现象，致使测量数据的真实值与测量值之间 出现显著差异的误差。 出现显著差异的误差。
2.1 有效数字定义、运算规则
2.1.1 定义
在一个近似数中，从左边第一个不是 的数字起 的数字起， 在一个近似数中，从左边第一个不是0的数字起，到精确到 的位数止，这中间所有的数字都叫这个近似数字的有效数字。 的位数止，这中间所有的数字都叫这个近似数字的有效数字。
误差理论第一章绪论
§1-3 精度
精度：反映测量结果与真值接近程度的量， 精度 反映测量结果与真值接近程度的量，与误差的大小相 反映测量结果与真值接近程度的量 对应。误差小则精度高，误差大则精度低。 对应。误差小则精度高，误差大则精度低。 分为： 分为： 反映测量结果中系统误差的影响程度。 ①准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度。 准确度 反映测量结果中系统误差的影响程度 ②精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度。 精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度。 ③精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响 精确度： 程度。 程度。 一般可用测量的不确定度（或极限误差）来表示。 一般可用测量的不确定度（或极限误差）来表示。对具体的 测量，精密度高的而准确度不一定高， 测量，精密度高的而准确度不一定高，准确度高的而精密度 也不一定高，但精确度高，则精密度和准确度都高。 也不一定高，但精确度高，则精密度和准确度都高。
第一种方法的相对误差为： v1 50.004 − L1 0.004 = = = 0.008% L1 L1 50
v2 80.006 − L2 0.006 第二种方法的相对误差为： = = = 0.0075% L2 L2 80
可见，尽管第二种方法的绝对误差大，但相对误差却较小， 可见，尽管第二种方法的绝对误差大，但相对误差却较小， 故第二种方法的精度较高。 故第二种方法的精度较高。 引用误差 误差： ③ 引用误差：是一种简化和实用方便的仪器仪表示值的相对 误差，是以某一刻度点的示值误差为分子， 误差，是以某一刻度点的示值误差为分子，以测量范围上限 5 值或全量程为分母，比值即为引用误差。 值或全量程为分母，比值即为引用误差。
测量结果应保留的位数原则是 测量结果应保留的位数原则是：其最末一位数字是不可靠 保留的位数原则 的，而倒数第二位数字应是可靠的，测量误差一般取1~2 而倒数第二位数字应是可靠的，测量误差一般取 位有效数字。 位有效数字。 在比较重要的测量中， 在比较重要的测量中，测量结果和测量误差可比上述原则 再多取一位数字作为参考，如结果 再多取一位数字作为参考，如结果15.214±0.042，倒 ± ， 数第一位数为参考数字，倒数第二位为不可靠数字， 数第一位数为参考数字，倒数第二位为不可靠数字，而倒 数第三位是可靠数字。 数第三位是可靠数字。 二、数据舍入规则 ①若舍去部分的数值，大于保留部分的末位的半个单位， 若舍去部分的数值，大于保留部分的末位的半个单位， 则末位加1； 则末位加 ； ②若舍去部分的数值，小于保留部分的末位的半个单位， 若舍去部分的数值，小于保留部分的末位的半个单位， 则末位不变； 则末位不变；
误差理论的基本知识
负
正
个数 k
46 41 33 21 16 13 5 2 0
误
差 相对个数 k/n
0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006 0.000
0″.0 ~ 0″.2 0″.2 ~ 0″.4 0″.4 ~ 0″.6 0″.6 ~ 0″.8 0″.8 ~ 1″.0 1″.0 ~ 1″.2 1″.2 ~ 1″.4 1″.4 ~ 1″.6 1″.6 ~以上
1
二.评定精度的指标
• 1.方差和中误差 由数理统计知，表示随机变量分布离散性的数字特征是方 2 差或标准差 2 D ( ) E[ E( )]
2 E( 2 )[ E( )] E( 2 )
测量上习惯用中误差表示
2 2 2 2 n M 2 D() 2 lim 1 lim n n n n
y
y=f(△)
－△
+△
1. σ与观测误差△及偶然误差概率密度f(△)的关系
D() f ()d
2 2 1 2 2 e d 2 2 2
§6-3
评定真误差精度的指标
• 一.精度的含义 一定的观测条件 确定的误差分布 条件好，误差分布密集，即离散度 2 0 小，误差曲线比较陡峭，顶峰较高----质量好---精度高，反之，则相反 •精度的含义：误 右图为不同的两组观测对应着的两条 差分布的密集与 离散程度。即离 不同的误差分布曲线。 散度 若1<2，则第一组观测，误差 分布密集，图形陡峭，精度较高； 凡能反映误差分布 第二组观测，误差分布离散，图形平 离散度大小的量， 都可作为衡量精度 缓，精度较低。 的指标。
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II 误差理论1.古典误差理论与现代误差理论的区别古典误差理论对偶然误差的研究只限于正态分布的偶然误差——研究对象，而现代误差理论在研究正态分布的基础上又进一步研究了非正态分布的偶然误差。
在古典误差理论中，长不加条件地指出偶然误差具有4点性质，即单峰性、对称性、有界性、抵偿性。
实际上，这4个性质对有些非正态分布如均匀分布就不具备。
古典误差理论对纯系统误差作一般讨论，重点是研究纯偶然误差，这是叫理想化的情况。
在实际工作中，除了纯系统误差外，还存在半系统误差、极限误差等。
所以，古典误差理论无法解决目前实际工作中遇到的一些问题，而现代误差理论除了讨论系统误差和偶然误差外，还重点讨论半系统误差（又称随机性系统误差、系统误差限）和极限误差，因此现代误差理论所讨论的问题比较符合实际工作中遇到的问题。
2．误差理论的应用在下列情况下，需要用到误差理论：（1）处理检定数据；（2）估计测量结果和测量结果的精确度；（3）建立计量标准和设计仪器；（4）设计新的测量方法、新的检定规程。
3.为什么测量结果都带有误差？完成某项测量必须要有测量仪器、测量方法和测量人员。
这三方面都可能使测量产生差。
所以，任何测量结果都带有误差。
4. 产生误差的原因（1） 仪器误差；（2） 安装调整误差，如水银柱高、滴定管垂直否等；（3） 人为误差，如视差，读数过早或过迟等；（4） 方法误差（又称理论误差）。
间接测量时，由于间接测量函数本身就是一个近似公式，存在一定的近似误差，这种误差称为间接测量误差；（5） 环境误差，由于周围环境等因素使仪器内部工作状态改变而引起的误差，习惯上称为环境误差。
示例： V T H dT dp ∆∆= Clapeyrong equation2ln RT H dT p d m vap ∆= C lausius-Clapeyrong eq.近似性：V m (g)>>V m (l),气体为理想气体。
ln(p/p ) = -Δvap H m /RT + C 假定Δvap H m 与温度无关。
式中，C 为积分常数。
有Δvap H m = - R ·斜率事实上，Δvap H m =f (T )，即Δvap H m 是温度的函数，有Δvap H m /kJ ·mol -1c T/K5.方法误差就其性质来看，它属于系统误差，因重复测量时误差值是不变的，可以对其进行修正，误差的正负号也是可以确定的。
6.直接测量法无需对待测的量与其他实测的量进行函数关系的辅助计算，而直接得到待测量值的方法称为直接测量法。
如，用电压表测电压，温度计温度，注意：若计量器具的示值是从对照曲线或表格中读出的，则这种测量仍被看作是直接测量。
7.间接测量法直接测量的量待测量已知函数关系如， R = V/I，电阻电压，电流8．组合测量法测量目的有多个，需解一方程组，才能求得测量目的。
示例：标准电阻在温度t时的电阻值为：R t = R20[1 + α(t-20) + β(t-20)2]式中，R20——20℃时的电阻值α，β——该标准电阻的一次和二次项温度系数有3个测量目的，R20，α，β。
因此，至少需3次测量。
R t1 = R20[1 + α(t1-20) + β(t1-20)2]R t2 = R20[1 + α(t2-20) + β(t2-20)2]：：：R tn = R20[1 + α(tn-20) + β(tn-20)2]n > 3, 可提高测量精度，并可以用最小二乘法处理实测数据。
9.测量与检定的区别测量——为确定被测对象的量值而进行的实验过程称为测量。
检定——为评定计量器具的匠量性能（准确度、稳定度、灵敏度等）并确定其是否合格所进行的全部工作称为检定。
因此，测量与检定是两个不同的概念，但两者又有联系，因为检定时要对被检计量器具的各项技术指标进行测量，而其测量误差要比对被检指标的额定允许误差小得多，因此从测量的观点来看，检定是测量工作在计量工作中的一种应用，并且是精确度较高的测量。
检查是用上一级精确度较高的仪器对下一级精确度较低的仪器进行检定，通过检定将量值从国家基准逐级传递给各级以至工作仪器，因此检定能达到量值传递的目的。
对一台仪器进行检定，要确定该仪器各项技术指标是否达到规定的要求，从而确定该仪器合格或不合格。
国家标准计量局省、市、县计量局,传递性10.误差分类（1）偶然（随机）误差（2）系统误差（包括半系统误差）（3）粗差11.各类误差介绍（1）绝对误差Δ=A – A0A0——被测量的真值A ——对于测量仪器，是仪器示值。
真值——一个量在被观测时，它本身所具有的真实大小称为真值。
实际值——满足规定准确度的、用来代替真值使用的量值称为实际值。
注意：量的真值是理想的概念，一般地是不可能确切地知道的。
实际上，量子效应可排除唯一的真值。
约定真值——为了给定目的，可以代替真值的量值称为约定真值。
注：一般说来，约定真值被认为是非常接近真值的，就给定目的而言，其差值可以忽略不计。
●绝对误差的特点①一般情况下，它是有单位、有量纲的，其值大小与所取单位有关。
如，A=25 V，A0=24 V，Δ =（25-24）V = 1V = 1×103 mV。
②能反映误差的大小与方向。
③不能更确切地反映出测量工作的精细程度。
示例：用一频率计测量100kHz的标准频率，示值为101 kHz, Δ = (101-100)kHz=1kHz用另一频率计测量1MHz的标准频率，示值为1.001MHz,则Δ = (1.001-1.000)MHz=0.001MHz = 1kHzΔ相同，后者测量1MHz时才差1kHz, 而前者测100kHz时就差1kHz。
由上可见，绝对误差不能确切地反映出测量工作的精细程度。
因此，除了用绝对误差外，还常用相对误差。
（2）相对误差国家标准规定指出：“测量的绝对误差与被测量的真值之比称为相对误差”。
《国际通用计量学名词》指出：“测量绝对误差除以被测量的（约定）真值称为相对误差”。
●实际相对误差δ实际 = Δ/A0 =(A-A0）/A0示例：频率计一，δ实际 = （101-100）kHz/100 kHz= 1% 频率计二，δ实际 = （1.001-1.000）MHz/1.000MHz = 0.1% 由上可知，两频率计的绝对误差相同，都是1kHz，但实际相对误差不等，说明相对误差能反映测量工作的精细程度。
若已知实际相对误差δ实际和实际值A0，即可算出绝对误差Δ=δ实际·A0●额定相对误差δ额定 = Δ/A =(A-A0）/AA为仪器示值，A0为实际值。
●引用相对误差设A为仪表示值，A0为实际值，A上为仪表测量上限，则引用相对误差为δ引用 = Δ/A上 =(A-A0）/A上引用相对误差主要用来表示仪表的准确度，多数用在电工和热工仪表方面。
示例：检定2.5级量程为100V的电压表，在50V点刻度上标准电压表示值为48V，试问此表是否合格？电表的准确度等级是以引用相对误差表示的，2.5级电表的引用相对误差为±2.5%。
已知检定点刻度值为A=50V，A0=48V，Δ=A-A0=2V，则引用相对误差δ引用 = 2/100 = 2% < 2.5%，故50V这点是合格的。
●相对误差的特点①相对误差是一个比值，其值大小与被测量所取的单位无关；②能反映误差的大小与方向；③能更确切地反映出测量工作的精细程度。
这是由于相对误差不仅与绝对误差的大小有关，同时与被测量的数值大小有关，因此它能更确切地反映出测量工作的精细程度。
示例：有一个5A的0.5级电流表，当其指针指在2.50A时，此点的实际值为 2.51A,求该电流表在此点的引用相对误差、实际相对误差、额定相对误差各为多少？解：δ引用 = Δ/A上 =(A-A0）/A上=100%×(2.50-2.51）A/5A = -0.2% δ实际 = Δ/A =(A-A0）/A0 =100%×(2.50-2.51）A/2.51A ≈-0.4%δ额定= Δ/A =(A-A0)/A =100%×(2.50-2.51)A/2.50A =-0.4%示例：量程10A的0.1级电流表，经检定最大示值误差为8mA,问该电流表是否合格？解：0.1级电流表允许的引用相对误差为±0.1%，允许的绝对误差为10×0.1% = 0.01A = 10mA。
8mA < 10mA，故该电流表合格。
示例：为什么选用电表时，不仅要考虑准确度，而且要考虑量程，在使用时应尽可能用在电表测量上限的三分之二以上？解：因电表准确度等级是以引用相对误差定义的，而电表各刻度点的额定相对误差是不同的，刻度点愈偏离测量上限，则额定相对误差愈大，而对测量者来说，真正关心的是额定相对或实际相对误差。
若测量时用在仪表测量上限的三分之二以下，则额定相对误差较大，电表准确读不能得到充分利用。
示例：用一个量程为150V的0.5 级电压表测量25V的电压，用一个30V的1.5级电压表测量25V的电压，哪一个的准确度高，为什么？解：量程为150V的0.5级电压表的测量误差（用绝对误差表示）=0.5%×150V=0.75V；量程为30V的1.5级电压表的测量误差（用绝对误差表示）=1.5%×30V=0.45V。
说明测量25V电压时用量程为30V的1.5级的电压表的测量准确度高。
●关于δ实际与δ额定1）从定义看，δ实际与δ额定是两个概念，但当误差值较小时，从数值来说二者相差极微，因此在计算时，按δ实际或按δ额定计算，所得数值是相同的，故按那种计算都可以。
2）当误差较大时，则δ实际与δ额定也相差较大。
因此，具体计算时，二者不能混用，要严格按规定的要求计算。
（3）极限误差这是极端误差，测量结果（单次测量或测量系列的算术平均值）的误差，不超过极端误差的概率为P，并使差值（1-P）可忽略。
注一：在误差为正态分布及测量次数足够多时，单次测量的极限误差由±tσ所确定，测量系列的算术平均值的极限误差由±t∧σ所确定。
常用t=3, ±3σ(或 3∧σ)对应的概率为99.73%；当P=99%时， t=2.58；当P=95%时，t=1.96。
注二：当测量次数较少时，测量系列的算术平均值的极限误差t值由t-分布计算。
置信度，置信水平，P；显著性水平，α=1-P。
由上可知，极限误差是以概率来定义的。
而仪器生产部门对极限误差的定义不引入概率因素。
以概率0.3%(置信度99.7%)来定义极限误差，检定仪器时仅测量一次或数次，其中有一次超差，严格按概率来说还不能绝对判断该仪器不合格，因为大误差虽然出现的概率小，但毕竟不是绝对不可能出现，现在这台仪器是不是碰巧出现了大误差呢？因此，生产仪器的工业部门往往不引入概率这因素，以免生产厂在检验或处理用户与生产单位之间关于产品是否合格的纠纷时，使问题的解决复杂化。