误差的基本理论与预备知识.
第二章 误差理论基础
1.非线性特性近似地视 为线性
例：激光扫描测径仪
激光光束被工件遮挡 相当于计算电路中的 计数脉冲
•设多面棱镜的转速 和角速度为n，ω， 透镜6的焦距为f •认为激光光速的扫描速度是匀速的
v 2f 4nf
•实际上，在时间t内，光束转过了2 ωt角
y f tg(2t ) f tg(4nt)
第二章 误差理论基础
例：加工一个直径为7.5mm的轴，共150只，原材料相同，同 一台机床，同一个工人 结果：直径在7.4mm到7.5mm之间变化 影响因素： 机床误差：主轴的径向偏摆、导轨的直线度和平行度误差 等 夹具误差：夹具是否有偏心 刀具误差：定尺寸刀具的尺寸误差、刀具在加工过程中的 磨损 机床-刀具-工件的变形，即刚度 温度变形：刀具、机床、工件的温度变形 材料内应力的不均匀 调整误差：特别是自动机床 测量误差 人员误差 其它
则实际速度：
dy v0 4nf sec2 (4nt) dt y 4nf [1 tg 2 (4nt)] 4nf [1 ( ) 2 ] f
V0∝y，则可得到： 离光轴垂直距离越大，扫描速度越高 被遮挡的时间越短 读到的脉冲数越少 测得值总小于被测直径的实际值
原理误差
测量杆1感受被测工件2的尺寸变化 位移s经过一级杠杆传动（正弦机构） 和两级圆柱齿轮传动，使指针l偏转 角度φ 指针末端位移L的理论值
L l l s s sin ， arcsin , a a
z1 z3 z2 z4
机械测微仪的刻度方程式 L和s是非线性的
1 绝对误差
测得值x与被测量真值x0（或相对真值）之差
误差知识与算法知识点总结
误差知识与算法知识点总结1. 误差的概念误差是指测量结果与真实值之间的差异。
在实际应用中，无法完全获得真实值，因此测量结果总会有一定的偏差，这种偏差就是误差。
误差可以分为系统误差和随机误差两种类型。
2. 系统误差系统误差是指测量结果偏离真实值的固有偏差，常常是由于仪器、环境或测量方法等因素引起的。
系统误差的存在会导致测量结果产生偏差，降低测量结果的准确性。
3. 随机误差随机误差是由于实验环境、人为操作等随机因素引起的误差，是无法完全避免的。
随机误差会导致测量结果的离散度增大，降低测量结果的精确性。
4. 误差分析误差分析是对测量结果中的误差进行定量分析的过程，其目的是评估测量结果的准确性和精确性。
误差分析通常包括误差的来源和类型、误差的大小和分布、误差的传递和积累等内容。
5. 误差传递误差传递是指当多个测量结果相互影响时，每个测量结果中的误差会随着计算和运算的进行而传递和积累。
误差传递的过程需要考虑各种因素对误差的影响，以准确评估测量结果的误差范围。
6. 误差控制误差控制是指在测量过程中采取一系列措施来减小误差的产生和传递，以提高测量结果的准确性和精确性。
误差控制的方法包括校准仪器、规范操作、提高测量精度等。
7. 误差分布误差分布是指测量结果中误差的分布情况，可以通过统计学方法进行分析和描述。
误差分布通常服从正态分布或其他概率分布，可以通过统计参数进行描述。
8. 误差评估误差评估是对测量结果中的误差进行评定和验证的过程，以确定测量结果的可靠性和可信度。
误差评估通常包括测量不确定度的计算和报告，以及误差边界的确定和验证。
二、算法知识点总结1. 算法的概念算法是指解决问题或实现功能的一系列有序步骤的描述，是计算机程序的核心。
算法描述了如何通过一定的计算过程来实现特定的功能或者处理特定的数据。
2. 算法的特性算法具有确定性、有限性、输入和输出、易实现等特性。
确定性指算法的每一步都有唯一的后续步骤，有限性指算法必须在有限的步骤内结束，输入和输出指算法需要接受输入数据并产生输出结果，易实现指算法可以通过简单的描述和规范步骤来实现。
第一章 误差基本概念
r越小，准确度越高。 越小，准确度越高。 越小
3、引用误差 、 引用误差=绝对误差 满刻度值× 绝对误差/满刻度值 引用误差 绝对误差 满刻度值×100% 即： r = ∆x × 100% n xN
例如：电流表，满刻度为 ，测量值4A，实际值为4.02A 例如：电流表，满刻度为5A，测量值 ，实际值为
例：谐振频率的测量 若通过测量U0来确定 若通过测量 来确定f0 来确定 会产生较大误差（∵峰 会产生较大误差（ 值处电压变化平坦） 值处电压变化平坦） 若在某—U1 下，测试 若在某 f1 和f2
1 f1 = ( f1 + f 2 ) 2
测量的准确度较高
图（1-4）根据与峰值对称的两点频率确 定谐振频率
第一章
误差基本概念
￡ 1- 1 误差公理及定义
一、误差公理：（必然性）一切实验结果均是有误差，误差自始至终 误差公理：（必然性）一切实验结果均是有误差， ：（必然性
存在于一切科学实验过程中。 存在于一切科学实验过程中。
二、误差定义
1、绝对真误差：绝对真误差=给出值 真值，即： ∆x = x − x 0 、绝对真误差：绝对真误差 给出值—真值， 给出值 真值 给出值X包括 测量值： 给出值 包括 ①测量值：仪表读数 标称值： 标称100mH,实际为 实际为98mH ②标称值：如 标称 实际为 近似值： & ③近似值： = 3.14, ∆π = 0.0016 等 π & 真值x0 理论真值： 度圆周。 真值 ： ①理论真值：如360度圆周。 度圆周 ②计量学约定真值：如1m，1s，1kg等。 计量学约定真值： ， ， 等 标准器相对真值：高级标准器可认为是低级标准器相对真值。 ③标准器相对真值：高级标准器可认为是低级标准器相对真值。 ④用修订值确定的真值 x 0 = x + ζ x 。 ζ 为给出值， 为绝对修正值（ 上式中的 x 为给出值， x 为绝对修正值（ ζ x = − ∆x ） 由厂家给出的修正曲线） （由厂家给出的修正曲线）。
误差理论基本知识--
誤差分類及其特性、算術平均值、衡 量精度的標準、誤差傳播定律、誤差 理論應用。
§5-1 測量誤差概述
1. 基本概念 誤差的定義：被觀測量的觀測值與其真值之 差。 真值：被觀測量的真實大小，屬理論值。 三大客觀條件：儀器條件、觀測條件、外界 條件。 誤差產生原因：實踐表明，由於三大客觀條 件的存在，對同一量進行觀測多次時，測量 結果總是存在著差異。
C
?
A
B
§5-5 誤差傳播定律的應用
解題：
① 列函數式： C=180°-A-B
② 求增量（此步可省略）：
③ 應用誤差傳播定律
mC2 mA2 mB2
A
C
? B
mB2 mC2 mA2 (5)2 (3)2 16
mB 4
即，B角需以不低於±4″的精度觀測，
才能使C角具有±5″的精度。
§5-5 誤差傳播定律的應用
次數的增多而趨於相等。
§5-1 測量誤差概述
⑶ 隨機誤差的特性 ① 有界性
在一定的觀測條件下，隨機誤 差的絕對值不會超過一定限度。 ② 範圍性
在一定的觀測條件下，絕對值 較小的隨機誤差出現的概率比絕對 值較大的誤差出現的概率大。
§5-1 測量誤差概述
③ 對稱性 在一定的觀測條件下，絕對值相等的
正、負誤差出現的概率相等。
解： 因為 m1=m2=±10″ 且角度無論大小均為兩方向讀數之差，
故只要中誤差相等，說明精度相同。
§5-3 衡量精度的標準
2. 相對誤差
結論：
經緯儀測角時，不能用相對誤差的概 念衡量精度，相對誤差用於衡量與長度、 面積、體積等有關的量。
§5-3 衡量精度的標準
3. 極限誤差與容許（允許）誤差 根據隨機誤差的有界性可知，在一定
计算方法 第1章 预备知识与误差分析
1． 误差的来源及误差类型 一般使用计算机解决实际问题须经过如下几个过程： 实际问题 数学模型 数值算法 程序设计 计算结果
根据实际问题建立数学模型的过程中通常会忽略某些次要因素而对问题进行简化， 由此 产生的误差称为模型误差； 很多数学模型都含有若干个参数， 而有些参数往往又是观测得到 的近似值， 如此取得的近似参数与真实参数值之间的误差称为参数误差或观测误差。 例如自 由落体运动规律的公式
nn
(1.2)
其矩阵形式可以表示为 Ax b, A R
, x, b R n ，由线性代数知识我们知道，当其系数
授课对象：北京工业大学计算机学院本科生
杨中华
2
编者：杨中华
计算方法讲稿
第一章 预备知识与误差分析
矩阵对应的行列式不等于零时，即 D 法则，有：
A 0 ，该线性方程组有唯一一组解，根据克莱姆
这个耗时数还不包括求解过程中的加减运算以及更耗时的读写内存数据操作所需要的时间。 但是如果用 Gauss 消去法求解此规模的线性方程组，其乘除法次数约仅为：
n3 n n 2 3060 3 3
(1.4)
从(1.3)与(1.4)式的巨大差距可以看出求解线性方程组用 Gauss 消去法非常有效， 因此对于稍 微大一点规模的线性方程组没有任何理由选择克莱姆法则解决此类问题。 对程序员的忠告：千万不要以为计算机的速度不是问题，选择数学方法不当可能让你 永远等不到最后的计算结果！ 我们再看一个实例， 从中可以发现， 有时直接使用高等数学中给出的很简单明了的数学 表达式进行计算并不一定能够得到我们预期的结果。 例1.2 考虑导数的近似计算问题，根据导数的定义
计算方法讲稿
第一章 预备知识与误差分析
误差基本知识
• 例如，在水准测量中，两点间的高差h=a-b，则h是直接 观测值a和b的函数；在三角高程测量的计算公式中，如 h=D×tanδ+i-L，高差h就是观测值i和δ的函数
10
0.32
20
0.22
50
0.14
本章小结:
• 误差产生的根源，观测条件 • 系统误差，偶然误差及其特点（难点） • 中误差的两种计算公式及应用条件（重点
） • 相对误差，允许（极限）误差（难点） • 常用函数的中误差计算公式（重点） • 算术平均值中误差计算
课后作业（书７０页）：
• 第２题. • 第３题. • 第４题. • 第６题：（１）（２）
• 限差是偶然误差的限制值，用作观测成果取舍的标 准。如果观测值的偶然误差超过限差，则认为该观 测值不合格，应舍去不用。
• 测量上常取三倍或两倍中误差作为极限误差Δ限， 也称允许误差，即：
容 3m或2m
５-５误差传播定律
• 能直接观测的量，经过多次观测后，可通过真误差或改 正数计算出观测值的中误差，作为评定观测值精度的标 准。
mZ
k12mx21
k
2 2
mx22
...
k
2 n
mx2n
1.量得某圆形建筑物得直径D=34.50m,其中误差mD 0.01m ,求建 筑物得圆周长及其中误差。
解：圆周长 P D 3.1416 34.50 108.38
中误差mP mD 3.1416 (0.01) 0.03m
分布离散， 误差就大， 精度就低。
• 中误差及其计算 • 1 中误差的定义 • 在相同的观测条件下，对同一未知量进行n次观测，
第五章误差理论的基本知识
Δi = Li - X ( i = 1,2,…,n)
|误差区间| （〃） 0.00 ~ 0.50 0.50 ~ 1.00 1.00 ~ 1.50 1.50 ~ 2.00 2.00 ~ 2.50 2.50 ~ 3.00 3.00 ~ 3.50 3.50 ~ ∞ ∑ Δ 为负值 个数 V 频率ω 121 0.148 90 0.110 78 0.095 51 0.062 39 0.048 15 0.018 9 0.011 0 0 403 0.493 Δ 为正值 个数 V 频率ω 123 0.151 104 0.127 75 0.092 55 0.067 27 0.033 20 0.024 10 0.012 0 0 414 0.507 总数 244 194 153 106 66 35 19 0 817
(例 ) 水准测量在水准点1~6各点之间往返各测了一次，各 水准点间的距离均为1km，各段往返测所得的高差见 下表。求：往返测较差的中误差？单程观测的高差测 量中误差？ 测段 高差观测值(m)
往测h 返测h
d h h
+3 -3 +5
dd 9 9
1~2 2~3 3~4
-0.185 +1.626 +1.435
偶然误差：在相同的观测条件下，对某一量进行多次 的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同， 从表面上看没有任何规律性。
2．系统误差的特点：
具有积累性，对测量结果的影响大，但可通过 一般的改正或用一定的观测方法加以消除。
例如：钢尺尺长误差、 钢尺温度误差、
水准仪视准轴误差、 经纬仪视准轴误差。
实践表明，对于在相同条件下独立进行的一组观测 来说，不论其观测条件如何，也不论是对一个量还是对 多个量进行观测，这组观测误差必然具有上述四个特性。 而且，当观测的个数n愈大时，这种特性就表现得愈明 显。偶然误差的这种特性，又称为统计规律性。
第六章-误差理论的基本知识
第六章 误差理论的基本知识1、何谓系统误差和偶然误差？偶然误差有哪些统计特性？2、什么叫多余观测，多余观测有什么实际意义？3、衡量精度的指标有哪些？用中误差来衡量观测值的精度有什么特点？在一组等精度观测中，中误差与真误差有何区别？4、何谓绝对误差，何谓相对误差，各在什么条件下被应用来描述观测值的精度？5、什么叫容许误差，容许误差等于2倍或3倍中误差的理论根据是什么？6、在等精度观测中，已知三角形内角和之闭合差为：-2″， -5″，2″, 0″, 3″，-1″，求三角形内角和之中误差。
7、有一个四等水准网，各闭合环的闭合差和相应环线长如下表所示，试评价该水准网的观8、何谓误差传播定律，试述应用它求函数中误差的步骤及其注意事项有那些？9、用同一台全站仪在相同的条件下测量两条直线，一条长550.00m,另一条长350.00m ，它们的中误差都为±10.0mm ，问这两条直线丈量的精度是否相同，为什么？10、在支水准路线水准测量中，每站观测高差的中误差均为±3.0mm ，若从已知点推算待定点的高程，要求中误差不大于2cm ，问最多设多少站？11、用钢尺丈量一段距离4次，求得平均值的中误差为±5.0mm ，若欲使平均值的精度提高一倍，需丈量几次？12、测得一长方形的两条边长分别为15.02m 和20.66m ，它们的中误差分别为±3.0mm 和±4.0mm ，求该长方形面积及其中误差。
13、等精度观测一个三角形的内角A 、B 、C ，已知测角中误差为±20″，求三角形角度闭合差的中误差，若将闭合差平均分配到三个角上，求经改正后的三角形各内角的中误差？14、用钢尺对某段距离进行6次等精度丈量，其结果为：346.535m ，346.548m ，346.520m ，346.546m ，346.550m ，346.573m 。
请计算该距离的算术平均值，观测值中误差及算术平均值中误差。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章误差的基本理论与预备知识一、内容分析与教学建议本章内容包括三个部分：课程介绍、误差的基本概念、避免误差危害的若干原则。
（一）课程介绍“数值分析”是信息与计算科学专业的专业基础课，是学习后续专业课的基础。
因此在绪论的讲解过程中，注意阐明学习数值计算方法这门课程的目的、意义和重要性，本课程的主要内容以及它在计算数学和科研过程中的地位，激发学生学习“数值分析”的积极性和兴趣。
（二）误差的基本概念1、首先阐明误差的来源和误差的分类。
明确计算数学研究的误差主要是：截断误差和舍入误差。
2、讲解绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限的定义，并通过具体的实例介绍为什么要引入相对误差的概念。
3、可结合中学介绍过的有效数字的概念，介绍有效数字的严格定义及有效数字的位数，有效数字与相对误差限的关系，并通过具体的例子介绍如何求有效数字的位数。
（三）避免误差危害的若干原则按照教材中的例子可直观地阐明避免误差危害的主要原则：●避免两个相近的数相减；●防止重要的小数被大数“吃掉”；●在除法的运算中避免出现除数的绝对值远远小于被除数的绝对值的情形；●简化计算步骤；●注意算法的稳定性。
当今科技领域中所提出的三大环节是：实验、科学计算和理论分析和研究。
由于计算机的出现和发展，使科学计算在科研与工程实际中越来越显示出它的卓越作用。
例如，在计算机上修改一个设计方案比在实地作修改要容易得多。
为此，人们往往就用科学计算来取代部分实验；更何况有些课题是无法进行实验的，而只能通过科学计算去解决；（例如，计算机模拟核爆炸）。
这种由实验向计算的巨大转变，也促使一些边缘学科的相继出现，例如，计算物理、计算力学、计算化学、计算生物学以及计算经济学等等都应运而生。
有些理论证明往往也是通过计算去解决，例如，四色问题，吴文俊院士开创的机器证明等。
也就是说，科学计算可以全部或部分地代替理论证明。
科学计算既然如此重要，那么数值分析在其中又处于一种什么地位呢？由下图可知：数值分析是处于一种承上启下的地位，它在科学计算中是重要的不可或缺的一环。
由实际问题建立数学模型一般要涉及多门学科的知识，本课程不做讨论。
由数学模型提出数值计算方法，直到编程上机计算求出结果，这一过程是计算数学的任务，也是本课程研究的对象。
计算数学是数学的一个重要分支，它主要研究用计算机求解各种数学问题的数值方法及其理论，以及软件实现。
数值计算方法（也称数值分析或计算方法）是计算数学的一个主要部分，它不同于纯数学那样研究数学本身的理论，而是一门把数学理论与计算机紧密结合起来进行研究的实用性很强的基础学科，它主要研究用计算机解决数学模型的理论与方法。
§1 计算方法的基本要求一个可行、有效的算法必须满足下列基本要求：(1) 符合计算机的要求我们知道计算机只能对有限位数进行加、减、乘、除与逻辑运算，因此对给定的数学模型提出的数值计算方法也只能包含上述五种运算。
对于具体算法还要考虑计算机的内存大小、数字字长、运算速度等。
有的算法从纯数学的观点看不够严格和完善，但通过实际计算、对比分析等手段证明是行之有效的也常被采用。
特别地，随着计算机的飞速发展，一些算法在老的计算机上无法实现，而在新型计算机上却可以实现。
总之，对于给定的数学模型，在构造算法时要面向计算机，符合计算机的要求。
(2) 在理论上收敛、稳定，在实际计算中精确度高由于计算机只能近似地表示实数，不论计算机中的数是定点表示，还是浮点表示，它所表示的数的位数都是有限的，且任一算法只能在有限的时间内通过有限次运算来完成。
这说明用计算机运算得到的结果都是近似的，因此需要考虑算法的精确度问题。
在理论上我们还要研究用计算机运算得到的结果是否收敛到实际问题的解。
此外，我们还要考虑算法的数值稳定性问题。
(3) 计算复杂性尽可能小从实际需要出发，我们还需要考虑计算量的大小，即所谓计算复杂性问题。
它是由以下两个因素决定的：使用中央处理器（CPU）的时间，这主要由四则运算的次数决定；占用内存储器的空间，这主要由使用的数据量来决定。
有时也称之为时间与空间的复杂性，简称计算复杂性。
例如，解线性方程组A x = b，若det A≠0，则可用Cramer法则来解。
设A 为20阶矩阵，计算一个20阶行列式需要的乘法运算量为19×20！，需计算21个20阶的行列式，总的乘法运算量为21×19×20！≈9.71×1020.若用10亿次/ 秒的计算机来运算，则一年可完成的乘法运算量为109×365×24×3600 ≈3.15×1016.解20阶的方程组所需乘法运算的时间为9.71×1020÷(3.15×1016) ≈3.08×104(年),即三万零八百年，显然这个运算时间在实际中是不可接受的。
而在实际问题中，例如大型水利工程、天气预报等，需要解的大型方程组的阶数一般都远远大于20，若用上述方法显然无法解决。
这个例子说明解线性方程组的Cramer法则在理论上虽然可行，但在实际应用中却不可行。
有人可能说，随着计算机的发展，运算速度提高、内存增大以及新结构计算机的涌现，以前认为过于复杂而不能求解的问题将会得到解决。
但是，不论计算机如何发展，使用计算机的代价，即计算复杂性，都是要考虑的。
对于给定的数学模型，可能有多种算法，应通过计算机进行数值试验，进行分析、比较来选定算法。
对新提出的算法，有的在理论上虽然还未证明其收敛性，但可以从具体试验中发现其规律，为理论证明提供线索。
总之，对于给定的数学模型所提出的可行、有效的算法应该是符合计算机的要求，在理论上收敛、稳定，在实际计算中精确度高，计算复杂性小，能通过试验验证的数值方法。
§2 误差及有效数字一、误差的来源1. 模型误差：数学模型与实际问题之间的误差称为模型误差。
一般来说，生产和科研中遇到的实际问题是比较复杂的，要用数学模型来描述，需要进行必要的简化，忽略一些次要的因素，这样建立起来的数学模型与实际问题之间一定有误差。
它们之间的误差就是模型误差。
2. 观测误差：实验或观测得到的数据与实际数据之间的误差称为观测误差或数据误差。
数学模型中通常包含一些由观测（实验）得到的数据，例如用21()2s t gt =来描述初始速度为0的自由落体下落时距离和时间的关系，其中重力加速度9.8g ≈2米秒是由实验得到的，它和实际重力加速度之间是有出入的。
其间的误差就是观测误差。
3. 截断误差：数学模型的精确解与数值方法得到的数值解之间的误差称为方法误差或截断误差。
例如，由Taylor 公式得21()2!!nx n x x e x R x n =+++++ 用2()12!!n n x x p x x n =++++近似代替x e ，这时的截断误差为 1(),(1)!n n e R x x n ξξ+=+介于0与x 之间。
4. 舍入误差：对数据进行四舍五入后产生的误差成为舍入误差。
在本课程中所涉及到的误差，一般是指截断误差和舍入误差。
二、误差的基本概念1. 绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限定义1 设*x 为准确值，x 是*x 的近似值，称x x e -=* (2.1)为近似值x 的绝对误差，简称误差。
显然误差e 既可为正，也可为负。
一般来说，准确值*x 是不知道的，因此误差e 的准确值无法求出。
不过在实际工作中，可根据相关领域的知识、经验及测量工具的精度，事先估计出误差绝对值不超过某个正数ε，即ε≤-=x x e * (2.2) 则称ε为近似值x 的绝对误差限，简称误差限或精度。
由(2.2)得εε+≤≤-x x x *.这表示准确值*x 在区间],[εε+-x x 内，有时将准确值*x 写成ε±=x x *.例如用卡尺测量一个圆杆的直径为350=x 毫米，它是圆杆直径的近似值，由卡尺的精度知道这个近似值的误差不会超过半个毫米，则有5.0350*≤-=-x x x (毫米).于是该圆杆的直径为5.0350*±=x (毫米).用ε±=x x *表示准确值可以反映它的准确程度，但不能说明近似值的好坏。
例如，测量一根10厘米长的圆钢时发生了0.5厘米的误差，和测量一根10米长的圆钢时发生了0.5厘米的误差，其绝对误差都是0.5厘米，但是，后者的测量结果显然比前者要准确得多。
这说明决定一个量的近似值的好坏，除了要考虑绝对误差的大小，还要考虑准确值本身的大小，这就需要引入相对误差的概念。
定义2 设*x 为准确值，x 是*x 的近似值，称 ***x x x x e e r -== (2.3) 为近似值x 的相对误差。
在实际计算中，由于准确值*x 总是未知的，因此也把xx x x e e r -==* (2.4) 称为近似值x 的相对误差。
在上面的例子中，前者的相对误差是05.0105.0=，而后者的相对误差是0005.000105.0=. 一般来说，相对误差越小，表明近似程度越好。
与绝对误差一样，近似值x 的相对误差的准确值也无法求出。
仿绝对误差限，称相对误差绝对值的上界r ε为近似值x 的相对误差限，即r r xx x e ε≤-=* (2.5) 注 绝对误差和绝对误差限有量纲，而相对误差和相对误差限没有量纲，通常用百分数来表示。
2. 有效数字、有效数字与相对误差限的联系用ε±x 表示一个近似值，这在实际计算中很不方便。
当在实际运算中遇到的数的位数很多时，如π，e 等，常常采用四舍五入的原则得到近似值，为此引进有效数字的概念。
定义3 设x 是*x 的近似值，如果x 的误差限是它的某一位的半个单位，那么称x 准确到这一位，并且从这一位起直到左边第一个非零数字为止的所有数字称为x 的有效数字。
具体来说，就是先将x 写成规范化形式m n a a a x 10.021⨯±= ， (2.6)其中n a a a ,,,21 是0到9之间的自然数，01≠a ，m 为整数。
如果x 的误差限l m x x -⨯≤-1021*， n l ≤≤1 (2.7) 那么称近似值x 具有l 位有效数字。
例1 设200169.3*=x ，确定它的近似值2001.31=x ，2002.32=x ，200.33=x ，2.34=x 分别具有几位有效数字？解 因为111032001.0⨯=x ，1=m ，331*105.010069.0--⨯<⨯=-x x ，（即1x 的误差限0.000069不超过2001.31=x 的小数点后第3位的半个单位，即0.0005），所以3-=-l m ，得4=l . 故2001.31=x 具有4位有效数字（即从2001.31=x 的小数点后第3位数0起直到左边第一个非零数字3为止的4个数字都是有效数字），而最后一位数字1不是有效数字。