误差理论与平差基础 误差椭圆.
误差理论与测量平差基础
《误差理论与测量平差基础》授课教案2006～2007第一学期测绘工程系2006年9月课程名称:误差理论与测量平差基础英文名称:课程编号：??适用专业：测绘工程总学时数: 56学时其中理论课教学56学时，实验教学学时总学分：4学分◆内容简介《测量平差》是测绘工程等专业的技术基础课，测量平差的任务是利用含有观测误差的观测值求得观测量及其函数的平差值，并评定其精度。
本课程的主要内容包括误差理论﹑误差分布与精度指标﹑协方差传播律及权﹑平差数学模型与最小二乘原理﹑条件平差﹑附有参数的条件平差﹑间接平差﹑附有限制条件的间接平差﹑线性方程组解算方法﹑误差椭圆﹑平差系统的统计假设检验和近代平差概论等。
◆教学目的、课程性质任务，与其他课程的关系，所需先修课程本课程的教学目的是使学生掌握误差理论和测量平差的基本知识、基本方法和基本技能，为后续专业课程的学习和毕业后从事测绘生产打下专业基础。
课程性质为必修课、考试课。
本课程的内容将在测绘工程和地理信息系统专业的专业课程的测量数据处理内容讲授中得到应用，所需先修课程为《高等数学》、《概率与数理统计》、《线性代数》和《测量学》等。
◆主要内容重点及深度考虑到专业基础理论课教学应掌握“必须和够用”的原则，结合测绘专业建设的指导思想，教学内容以最小二乘理论为基础，误差理论及其应用、平差基本方法与计算方法，以及平差程序设计及其应用为主线。
测量误差理论，以分析解决工程测量中精度分析和工程设计的技术问题为着眼点，在掌握适当深度的前提下，有针对性的加强基本理论，并与实践结合，突出知识的应用。
平差方法，以条件平差和参数平差的介绍为主，以适应电算平差的参数平差为重点。
计算方法，以介绍适应电子计算机计算的理论、方法为主，建立新的手工计算与计算机求解线性方程组过程相对照的计算方法和计算格式。
平差程序设计及其应用，通过课程设计要求学生利用所学程序设计的知识和平差数学模型编制简单的平差程序，熟练掌握已有平差程序的使用方法。
误差理论与平差基础-第10章 误差椭圆
二、点位任意方向的位差
例2：已知某平面控制网平差后得到未知点P的坐标平差值及其 协因数阵
é 0.25 0.15 ù QX ú ˆX ˆ =ê ë 0.15 0.75 û 2 ˆ0 3.0cm2 单位权方差 1) 计算P点纵、横坐标中误差和点位中误 差 2) 计算P点在方位角为90°方向上的位 差
(
)
T
一、点位中误差
2 x 2 0
——点位中误差的计算
1 2 0 Qxx px
1 2 0 Q yy py
2 y 2 0
(Qxx Qyy )
2 P 2 0
QX ˆX ˆ
æ ç ç = ( BT PB)-1 = ç ç ç ç è
Qx1x1 Qx1y1 Qx1xs Qx1ys ö ÷ Qy1x1 Qy1y1 Qy1xs Qy1ys ÷ ÷ ÷ Qxn x1 Qxn y1 Qxn xs Qxn ys ÷ Qyn x1 Qyn y1 Qyn xs Qyn ys ÷ ø
= QFF 对应的
l1 = QEE
é Q -Q EE ê xx ê Qyx ë
Qxy Qyy - QEE
ùé ù úê x ú = 0 úê y ú û ûë
Qxy y QEE - Qxx tan j E = = = x Qxy QEE - Qyy
Qxy y QFF - Qxx tan j F = = = x Qxy QFF - Qyy
y
P2 x'2 y'2
2 2 2 p x ' y'
第3章：《误差理论与测量平差基础》 - 山东科技大学泰安校区
0 0 0 n n
Z [k 1 , k 2 , kn ] X k0 KX k0
n ,1
DZZ KDXX K
T
例4、根据极坐标法测设P点的坐标，设已知 点无误差，测角中误差为m，边长中误差ms， 试推导P点的点位中误差。
2 j 2 0
Qii为Li的协因数。
Q jj为L j的协因数。
Qij为Li关于L j的协因数 或相关权倒数。
1 ji Qij 2 pi 0
变换形式为：
2 i2 0 Qii 2 2 j 0 Q jj 2 ji 0 Qij
不难得出：
DXX
12 12 1n Q11 Q12 Q1n Q 2 Q22 Q2 n 21 2 2 n 2 21 0 2 Qn1 Qn 2 Qnn n1 n 2 n
山东科技大学山东科技大学资源与土木工程系资源与土木工程系误差理论与测量平差基础第六章附有参数的条件平差第二章误差分布与精度指标第三章协方差传播律及权第五章条件平差第七章间接平差第一章绪论第八章附有限制条件的间接平差第九章概括平差函数模型第十章误差椭圆第四章平差数学模型与最小二乘原理教材内容第十二章近代平差概论第一节协方差传播律第二节协方差传播律的应用第三节权与定权的常用方法第四节第五节协因数传播律第六节由真误差计算中误差及其实际应用直接观测值间接观测值函数关系具有一定精度也应该具有一定精度根据函数关系提出问题
2 (二) 选定了 0 ，即对应一组权。
（三）权是衡量精度的相对指标，为了使权起到比较 精度的作用，一个问题只选一个0。
误差理论与平差基础-误差椭圆.
∆X ∆P P（真）
O
显然有：
A
Y
P2 x2 y2 (其中：x x xˆ, y y yˆ)
点位误差的定义:
E(x2 ) E (x xˆ)2 E
xˆ E xˆ2
2 x
E(y2
)
由方差定义，可得：
2 P
2 x
2 y
由上讨论可的如下结论
点位方差大小不受坐标系的影响；
不同的坐标系，其位差分量大小是不同的；
点位位差可由任意两个互相垂直的方向上的坐标方差来求得。
故，点位误差计算公式为：
2 P
2 x
2 y
2 s
2 u
2
2 90
若使位差达到极值，则应使：
dQ 0
d
dQ d
d d
(Qxx cos2 Qyy sin2 Qxy sin 2 )
2Qxx cos sin 2Qyy sin cos 2Qxy cos 2
Qxx sin 2 Qyy sin 2 2Qxy cos 2
E
y
yˆ
2
E
yˆ E yˆ 2
2 y
P2 Ex(2 P2 )y2 E(x2 y2 )
E(x2 ) E(y2 )
2 x
2 y
2 P
测量上把
2 P
定义为“点位方差”，并把
《误差理论与测量平差基础》试卷A(答案)
《误差理论与测量平差基础》期末考试试题A(参考答案)一、名词解释（每题2分，共10分）1、偶然误差——在相同的观测条件系作一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性。
即从单个误差看，该误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律。
这种误差称为偶然误差。
2、函数模型线性化——在各种平差模型中，所列出的条件方程或观测方程，有的是线性形式，有的是非线性形式。
在进行平差计算时，必须首先把非线性形式的函数方程按台劳公式展开，取至一次项，转换成线性方程。
这一转换过程，称之为函数模型的线性化。
3、点位误差椭圆——以点位差的极大值方向为横轴轴方向，以位差的极值分别为椭圆的长、短半轴，这样形成的一条椭圆曲线，即为点位误差椭圆。
4、协方差传播律——用来阐述观测值的函数的中误差与观测值的中误差之间的运算规律的数学公式。
如，若观测向量的协方差阵为，则按协方差传播律，应有。
5、权——表示各观测值方差之间比例关系的数字特征，。
二、判断正误（只判断）（每题1分，共10分）参考答案：X √X √X X X √√X三、选择题（每题3分，共15分）参考答案：CCDCC四．填空题（每空3分，共15分）参考答案：1. 6个2. 13个3.1/n4. 0.45. ,其中五、问答题（每题4分，共12分）1. 几何模型的必要元素与什么有关？必要元素数就是必要观测数吗？为什么？答：⑴几何模型的必要元素与决定该模型的内在几何规律有关；（1分） ⑵必要元素数就是必要观测数；（1分）⑶几何模型的内在规律决定了要确定该模型，所必须具备的几何要素，称为必要元素，必要元素的个数，称为必要元素数。
实际工程中为了确定该几何模型，所必须观测的要素个数，称为必要观测数，X F E 、0K KL Z +=LL D T LL ZZ K KD D =220ii P σσ=0)()()()(4320020=''+∆+∆+-''+-''-W y SX X x SY Y C ACA C C ACA C ρρABAC AC X X Y Y W αββ-++--=''4300arctan其类型是由必要元素所决定的，其数量，必须等于必要元素的个数。
《误差理论与测量平差基础》考试试卷(含参考答案)
《误差理论与测量平差基础》考试试卷一、名词解释1.观测条件2.偶然误差3.精确度4.多余观测5.权6.权函数式7.相对误差椭圆8.无偏性二、填空题1.观测误差包括偶然误差、、。
2.偶然误差服从分布，其图形越陡峭，则方差越。
3.独立观测值L1和L2的协方差为。
4.条件平差的多余观测数为减去。
5.间接平差的未知参数协因数阵由计算得到。
6.观测值的权与精度成关系，权越大，则中误差越。
7. 中点多边形有个极条件和个圆周条件。
8. 列立测边网的条件式时，需要确定与边长改正数的关系式。
9. 秩亏水准网的秩亏数为个。
三、 问答题1. 写出协方差传播律的应用步骤。
2. 由最小二乘原理估计的参数具有哪些性质？3. 条件平差在列立条件式时应注意什么？什么情况下会变为附有参数的条件平差？4. 如何利用误差椭圆求待定点与已知点之间的边长中误差？5. 为什么在方向观测值的误差方程式里面有测站定向角参数？6. 秩亏测角网的秩亏数是多少？为什么？7. 什么是测量的双观测值？举2个例子说明。
8. 方向观测值的误差方程式有何特点？四、 综合题1. 下列各式中的Li （i=1,2,3）均为等精度独立观测值，其中误差为σ，试求X 的中误差：(1) 321)(21L L L X ++= ，(2)321L L L X =。
2. 如图1示，水准网中A,B,C 为已知高程点，P1,P2,P3为待定点，h1～h6为高差观测值，按条件平差方法，试求： （1） 全部条件式； （2） 平差后P2点高程的权函数式。
3. 如图2示，测边网中A,B,C 为已知点，P 为未知点，观测边长为L1～L3，设P 点坐标P X 、P Y 为参数，按间接平差方法，试求： （1） 列出误差方程式； （2） 按矩阵符号写出法方程及求解参数平差值的公式； （3） 平差后AP 边长的权函数式。
4. 在条件平差中，0=+∆WA ，试证明估计量^L 为其真值~L 的无偏估计。
（提示：~)(L L E =，须证明0)(=V E ）5. 在某测边网中，设待定点P 的坐标为未知参数，即[]TX X X 21^=，平差后得到^X 的协因数阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=yy xyxy xx XX Q Q Q Q Q ^^，且单位权中误差为0^σ，求：（1）P 点的纵横坐标中误差和点位中误差； （2）P 点误差椭圆三要素 E ϕ、E 、F 。
误差理论与测量平差基础
1
e
2 2 2
2
-0.8-0.6-0.4 0 0.4 0.6 0.8
闭合差
23
2.2正态分布
当偶然误差的个数n 时，偶然误差出现的频率就
趋于稳定。此时，若把偶然误差区间的间隔无限缩小，则直
方图将分别变为如图所示的两条光滑的曲线。
频数/d
f ()
1
e
2 2 2
2
n
i
i 1
0
知，随机误差 的数学期望等于零。
由正态分布知，正态分布曲线具有两个拐点，这两个
拐点在横轴上的坐标为 拐
方差的几何意义是：方差是正态分布曲线的拐点横坐
标。
29
2.3精度及其衡量精度指标
观测值的质量取决于观测误差（偶然误差、系统误
差、粗差）的大小。
1、精度：指误差分布的密集或离散程度，可利用方差
7
课程结构
参见目录
章节 Ch1 Ch2- Ch3 Ch4 Ch5- Ch8 Ch9 Ch10 Ch11 Ch12
Ch1 绪论
主要内容 绪论
平差基础知识 平差基本原则 四种经典平差方法 平差方法总结 点位精度讨论 统计假设检验 近代平差简介
8
Ch1 绪论
基本概念 • 误差
对未知量进行测量的过程称为观测，测量所得的结果 称为观测值。观测值与其真实值（真值）之间的差异称为 测量误差或观测误差，通常称真误差，简称误差。
采用测量平差的方法
系统误差 Systematic
error
误差在大小和符号上表 现出系统性，或按一定 规律变化，或为常数
采用适当的观测方法 校正仪器 计算加改正
粗差 Gross error
误差理论与平差基础_第10章_误差椭圆
一．点位中误差 二．点位误差的计算 三．误差曲线 四．误差椭圆
一、点位中误差
控制点的平面位置是用一对平 面直角坐标来确定的。坐标是 由观测值的平差值计算所得的， 因此不可避免地带有误差。
x
A
O
Dy P¢(x, y) Du
Dx DP Ds
P(x, y)
y
在平面控制网的平差计算中，往往要评定待定点的点位精度； 待定点的点位精度通常用点位中误差简称“点位误差”的大 小来评定； 经过平差后的坐标（坐标的平差值）是估值，而不是真值！
Qxy Qyy
c s
os in
Qxx cos2 Qyy sin 2 Qxy sin 2
Dx
j
P
P¢¢ Dj
s
2 j
=
s
2 0
éëQxx
cos2
j
+
Qyy
sin2
j
+
Qxy
sin
2jùû
坐标方位角
P¢
P¢¢¢
y
二、点位任意方向的位差
x
与 j 垂直方向的位差如何求？
Q
=
æ èç
2 0.5
0.5 3
öø÷(dm2 / ('')2 )
单位权方差 0 0.5''
待定点P点到已知点A的距离为6.45km，方位角为45°，求P 点在AP方向的纵向误差和横向误差及AP边的边长相对中误 差。
s
2 j
=
s
2 0
éëQxx
cos2
j
+
Qyy
sin2
j
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则极大、极小值为：
1 2 E2 0 (Qxx Qyy K ) 2 1 2 F2 0 (Qxx Qyy K ) 2
2 K (Qxx Qyy ) 2 4Qxy
极大、极小方向的计算公式：
QEE Qxx tan E Qxy QFF Qxx tan F Qxy
2 测量上把 P 定义为“点位方差”，并把 P叫做点位中误差， 简称“点位误差” 。
点位中误差的计算方法
1）按纵、横坐标方差来求：
2 P 2 x
2 y
回顾条件平差、间接平差的计算纵、横坐标方差过程。
2）按纵向、横向上的位差来求
X ∆P
P″
∆u P′
∆S
P A
显然，有： 由中误差的定义可得：
X ∆Y ∆X ∆P P（真） P‘（估）
A Y O
显然有：
P 2 x 2 y 2 ˆ, y y y ˆ) (其中：x x x
点位误差的定义:
ˆ E ˆ Ey ˆ E (y ) E y y y
2 ˆ ˆ Ex ˆ E (x 2 ) E ( x x ) x E 2 2 2 2
2 x 2 y
P2 x y
2 2 2 E ( P ) E ( x y ) 2 2
E (x 2 ) E (y 2 )
2 2 x y 2 P
若使位差达到极值，则应使：
dQ d
dQ
0
d (Qxx cos 2 Qyy sin 2 Qxy sin 2 ) d d 2Qxx cos sin 2Qyy sin cos 2Qxy cos 2 Qxx sin 2 Qyy sin 2 2Qxy cos 2 (Qxx Qyy ) sin 2 2Qxy cos 2 0
设φ 0为位差的极值方向，则有：
tg 2 0 2Qxy Qxx Qyy tg (2 0 1800 )
解上式得到两个根，其中一个为极大方向φE，另一个为极小方向φF； 用这两个根分别带到任意方向位差的公式就会得到极大值E和极小值F！
也可按下式求P点位差的极大、极小值：
1 QEE (Qxx Qyy K ) 2 1 QFF (Qxx Qyy K ) 2
重点和难点
误差曲线与误差椭圆的联系与区别； 误差椭圆、相对误差椭圆三要素计算。
7.1
点位误差
在平面控制网的平差计算中，往往要评定待定点的点位精 度；
待定点的点位精度通常用点位中误差简称“点位误差”的 大小来评定；
以下介绍点位误差的计算方法。
7.1.1 点位误差的概念
待定点的估值位置偏离其真实位置的距离P，简称为“真位差”。
按协因数传播律有：
Q cos Qx ˆ Q ˆy ˆ x sin Qx ˆy ˆ cos Qy ˆ sin
Q Qxx cos2 Qyy sin 2 Qxy sin 2
则，任意方向位差公式：
2 2 0 Q 2 0 (Qxx cos 2 Qyy sin 2 Qxy sin 2 )
u
S
பைடு நூலகம்
P ΔU Δβ
ΔP ΔS
P’’
P’
3）按任意两个相互垂直的方向坐标方差来求
不难看出：
P2 (x)2 (y)2
2 2 2 P x y
由方差定义，可得：
由上讨论可的如下结论
点位方差大小不受坐标系的影响； 不同的坐标系，其位差分量大小是不同的； 点位位差可由任意两个互相垂直的方向上的坐标方差来求得。
误差理论与测量平差基础
—误差椭圆
本章教学内容
7.1 点位误差
7.2 误差曲线与误差椭圆
7.3 相对误差椭圆
第 7章
本章学习的目的和要求
了解点位误差概念；
误差椭圆
掌握任意方向位差、位差极值和极值方向的计算；
掌握误差椭圆三要素计算公式;
熟悉误差曲线与误差椭圆的关系，并掌握误差椭圆的应用。
了解相对误差椭圆概念。
P 2 S 2 u 2
2 P s2 u2
Y
关于纵向、横向误差：
∆U为纵向误差、∆S为横向误差。∆P为点位真误差。
各是由什么影响而来的？ 点位精度与测角、测边精度的关系怎样？
P A S β ∆β
∆P ∆u ∆S P1
P2
B
u S
故，点位误差计算公式为：
2 2 2 P x y
s2 u2 90
2 2
7.1.2
任意方向φ的位差
说明：
1）任意方向φ 指的是方位角为φ 的方向！ 2）为求P点在任一方向上的位差，需先找P在φ 方向上的 真误差∆φ 与∆X、∆Y的函数关系；
3）真误差∆φ 就是∆P在φ 方向上的投影值。
7.1.3 位差的极值和极值方向
(Qxx cos Qyy sin Qxy sin 2 )
2 2 0 2 2
从上公式可看出：
任意方向位差的大小与方向φ 有关。 上式是一个用X、Y方向上的位差表示的任意方向上的位差。 x、y方向分别是φ 等于0度、90度等时的特殊形式。
4）根据投影再求该方向的位差。
由下图可得：
pp pp cos x sin y x cos sin y
X ∆Y φ ∆X φ P’’ P ∆P
P’
方位角=φ P’’’ 方位角=φ
∆φ
O
Y
因为：
pp pp x cos x sin y cos sin y