误差理论与平差基础-第10章 误差椭圆
第十章误差椭圆
第十章 误差椭圆知识点习题与解析10.01 从已知点A 确定点P 的坐标(如图10-1所示)，观测了角度L 、边长S ，T 为已知方向，已知AP 边边长为200m ，测角和测边的中误差分别为βσ=2″，S σ=3cm ，试求待定点P 的点位中误差。
10.02 角ψ和ψσ是怎样定义的?ψϕ、及E ϕ之间有什么关系?10.03 已知某平面控制网经平差后得出待定点P 的坐标平差值ˆˆˆTPP X X Y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的协因数阵为：22ˆ20(/())01X Q d m ⎡⎤="⎢⎥⎣⎦单位权中误差为0ˆ0.5σ="，试求该点的点位中误差。
10.04 已知某平面控制网经平差后得出待定点P 的坐标平差值ˆˆˆTPP X XY ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的协因数阵为：22ˆ20.5(/())0.53X Q d m ⎡⎤="⎢⎥⎣⎦单位权中误差为0ˆ0.5σ="，试求ϕ=30°方向上的位差。
10.05 在某测边网中，设待定点P 1的坐标为未知参数，即11ˆTXX Y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，平差后得到ˆX的协因数阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∧∧75.015.015.025.0XX Q ，且单位权方差220ˆ 3.0cm σ=。
(1)计算P 1点纵、横坐标中误差和点位中误差； (2)计算P 1点误差椭圆三要素E ϕ、E 、F ； (3)计算P 1点在方位角为90°方向上的位差。
10.06 在某测边网中，设待定点P 1的坐标为未知参数，即11ˆˆˆTXX Y ⎡⎤=⎣⎦，平差后得到x 的协因数阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∧∧25.125.025.075.1XX Q，且单位权中误差0ˆσ=cm 。
(1)计算P 1点误差椭圆三要素E ϕ、E 、F ； (2)计算P 2点在方位角为45°方向上的位差。
10.07 已知平差后待定点P 坐标的协因数和互协因数为∧∧∧∧Y X Y X 、Q、QQ 则当∧∧YX Q=0且∧∧YX＞QQ 时，P 点位差的极大值方向为 ，E ϕ= ；位差的极小值方向为 ，F ϕ= 。
第十章 误差椭圆
tan 2 0 tan(2 0 180 )
第十章——误差椭圆
90 既然 0 和 0 为极大值方向和极小值方向，那么哪
个是极大值方向？哪个又是极小值方向呢？下面来讨论 这个问题。 1 cos 2 0 1 cos 2 0 将三角公式 2 2 cos 0 , sin 0
知，该曲线关于E轴和F轴对 称。称该曲线为点位误差曲线。
第十章——误差椭圆
§10-4 误差椭圆
点位误差曲线不是标准曲线，在计算椭圆来近似表示（如图），并称此椭圆为点位误 差椭圆，简称误差椭圆。 由图知，此误差椭圆仅由 长半轴E、短半轴F、以及
即点位在任意方向上的方差为
2 2 2 2 2 x ( Q cos Q sin Q xy sin 2 ) 0 xx yy
（1）
习惯上，称点位在某方向上的方差为该方向上的位差。
习题：10.2.07
第十章——误差椭圆
点位在任意方向 上的协因数为：
Q Q xx cos2 Q yy sin 2 Q xy sin 2
P 2 x 2 y 2
x’
x
Δx
Δy ΔP Δs P
P’ Δu
y’
A
y
第十章——误差椭圆
ˆ, y ˆ ) 。且方差协方差矩阵为: 平差后待定点P 的坐标为 ( x
DX ˆX ˆ
2 Q Q xy x xy 2 xx 0 Q Q 2 xy yy xy y
2
第十章——误差椭圆
2 令： K (Q xx Q yy ) 2 4Q xy K为算术平方根，恒大于零。 1 则有： Q Q xx Q yy K 2 用E表示位差的极大值，F表示位差的极小值，则有： 1 2 2 2 E 0 Q E E 0 Q xx Q yy K 2 （5） 1 2 2 2 F 0 Q F F 0 Q xx Q yy K 2 （5）式就是计算位差极大值与极小值的实用公式。
误差椭圆
2 E[∆x ] = E[( x− x)2 ] = E[( x − E(x)) 2 ] = σ x 2 2 E[∆y ] = E[( y− y)2 ] = E[( y − E( y)) 2 ] = σ y 2 ~
~
σ = σ +σ
p
ϕ
p′′
p′′′
∆ϕ
y
由广义误差传播律: 由广义误差传播律
Qϕϕ = Qxx cos2 ϕ + Qyy sin2 ϕ + Qxy sin 2ϕ
2 2 2 σϕ = σ 0 Qϕϕ = σ 0 (Qxx cos2 ϕ + Qyy sin2 ϕ + Qxy sin(2ϕ)
三、位差的极大值 E和极小值 F
上
E = σ QEE =
2 2 0
σ02
2
(Qxx + Qyy + K),
∆ψ = cosψ∆E + sinψ∆F Q = QEE cos2 ψ + QFF sin2 ψ + QEF sin 2 ψ ψψ
QEF = 0
Qψψ = QEE cos2 ψ + QFF sin 2 ψ
2 2 2 σψ = σ 0 Qψψ = σ 0 (QEE cos2 ψ + QFF sin 2 ψ ),
∧
Q∧ Q∧ Q∧ Q∧ Q∧ Q∧
∧
X1 X i
∧
X1Y i
∧
L Q∧ L Q∧ L
∧
X1 X u
∧
Y1 Y1
Y1 X i
Y1 Y i
Y1 X u
误差理论与平差基础_第10章_误差椭圆
一．点位中误差 二．点位误差的计算 三．误差曲线 四．误差椭圆
一、点位中误差
控制点的平面位置是用一对平 面直角坐标来确定的。坐标是 由观测值的平差值计算所得的， 因此不可避免地带有误差。
x
A
O
Dy P¢(x, y) Du
Dx DP Ds
P(x, y)
y
在平面控制网的平差计算中，往往要评定待定点的点位精度； 待定点的点位精度通常用点位中误差简称“点位误差”的大 小来评定； 经过平差后的坐标（坐标的平差值）是估值，而不是真值！
Qxy Qyy
c s
os in
Qxx cos2 Qyy sin 2 Qxy sin 2
Dx
j
P
P¢¢ Dj
s
2 j
=
s
2 0
éëQxx
cos2
j
+
Qyy
sin2
j
+
Qxy
sin
2jùû
坐标方位角
P¢
P¢¢¢
y
二、点位任意方向的位差
x
与 j 垂直方向的位差如何求？
Q
=
æ èç
2 0.5
0.5 3
öø÷(dm2 / ('')2 )
单位权方差 0 0.5''
待定点P点到已知点A的距离为6.45km，方位角为45°，求P 点在AP方向的纵向误差和横向误差及AP边的边长相对中误 差。
s
2 j
=
s
2 0
éëQxx
cos2
j
+
Qyy
sin2
j
10 误差椭圆
1.496 ˆ 1.496 1.22
§10-3 误差曲线
误差曲线的定义 误差曲线的特点
误差曲线的用途
§10-3 误差曲线
一、误差曲线的定义
E cos F sin
2 2 2 2 2
x
以不同的Ψ 和σΨ 为极坐标 的点的轨迹所形成的一条 闭合曲线，习惯上称为误 差曲线。
P2 (x)2 (y)2
2 2 2 P x y
§10-1 概述
3.按纵、横方差来求
x
x
y
P
P ' ( x, y )
u
P s u
2 2
2
2 P
2 s
2 u
A
s
P (~ x, ~ y)
横向方差 纵向方差
o
y
§10-1 概述
E(P ) E(x ) E(y )
2 2 2 2 x
2 y
点位方差
P点真位差平方的理论平均值，定义为P点的 点位方差。
2 p 2 x
2 y
§10-1 概述
三、点位方差的计算方法
1.按纵、横坐标来求
2 p 2 x
2 y
2.按任意两个相互垂直的方向坐标方差来求
ˆP ˆ
0
Qxx Q yy
§10-2 点位误差
2.协因数的计算
• （1）间接平差
1 T 1 QXX N ( B PB ) ˆˆ bb
QX1 X1 QY1Y1 QX s X1 QYs X1
QX1Y1 QX1 X i QY1Y1 QY1 X i
误差椭圆
§6-1 概 论在测量中，点P 的平面位置常用平面直角坐标P P y x ,来确定。
为了确定待定点的平面直角坐标，通常由已知点与待定点构成平面控制网，并对构成控制网的元素（角度、边长等）进行一系列观测，进而通过已知点的平面直角坐标和观测值，用一定的数学方法（平差方法）求出待定点的平面直角坐标。
由于观测条件的存在，观测值总是带有观测误差，因而根据观测值通过平差计算所获得的待定点的平面直角坐P P y x ~,~面位置并不是 P 点的真位置，而是最或然点位， 记为 P '，在 P 和 P '对应的这两对坐标之间 存在着坐标真误差 x∆和 y∆。
由图6-1知⎭⎬⎫-=∆-=∆P P y P P x y y x x ˆ~ˆ~ (6-l-1) 由于x ∆和y ∆的存在而产生的距离P ∆称为 P 点的点位真误差，简称真位差。
由图6-1知222yxP∆+∆=∆222y xPσσσ+=(6-1-2)2．点位真误差的随机性P 点的最或然坐标Px ˆ和P yˆ是由一组带有观测误差的观测值通过平差所求得的结果，因此，它们是观测值的函数。
设P xˆ和P y ˆ与观测值向量L 之间的线性函数关系为 ⎭⎬⎫++=++=00ˆˆββααL y y L x xA P A P（6-1-3）设有两组不同的观测值向量1L 、2L ，分别代入式（6-1-3）可得010111ˆˆββαα++=++=L y yL x xA P A P 和020222ˆˆββαα++=++=L y yL x xA P A P对于同一控制网而言，如果观测量相同（如同样的角度、边长等），采取同样的平差方法，则式中的00βαβα、、、是不变量，但观测值向量1L 、2L 不会相等，因此21ˆˆP P x x ≠、21ˆˆP P y y ≠。
可见，随着观测值L 的不同，P x ˆ和P y ˆ也将取得不同的数值。
但P 点的真坐标P x ~和P y ~是唯一的，由式(6-l-1)、(6-l-2)知，就会出现不同的x ∆和y∆值以及P∆，所以说点位真误差随观测值不同而变化，即点位真误差具有随机性。
误差椭圆的定义
误差椭圆的定义嘿，朋友们！今天咱来聊聊误差椭圆呀！你说这误差椭圆，就好像是个调皮的小精灵，在测量的世界里蹦来蹦去。
想象一下哈，我们在测量一个东西的时候，就像是在黑暗中摸索，总会有些许偏差，而这个误差椭圆呢，就是把这些偏差给圈起来，告诉我们大致的范围。
它可不是随随便便就出现的，那是经过一番计算和琢磨才现身的呢！比如说我们要确定一个点的位置吧，实际测出来的可能就不是那么精准，会有这儿一点儿偏差，那儿一点儿偏差。
这时候误差椭圆就跳出来啦，说：“嘿，别担心，这个点大概就在我圈的这个范围里哦！”是不是很神奇？它就像是给我们测量结果加上了一个边界，让我们心里有个底。
就好比你要去一个地方，有人告诉你大概就在这一片儿，总比啥都不知道好吧！而且啊，误差椭圆还挺有个性的呢！它的大小和形状会根据不同的情况而变化。
有时候它扁扁的，有时候又圆圆的，就像个会变形的小怪物。
这可都是根据测量的数据来决定的呀！咱再打个比方，误差椭圆就像是一个神秘的领地，我们知道它的大致范围，但里面具体的情况还得我们去慢慢探索。
这探索的过程可有意思了，每一次测量都像是在给这个领地绘制更详细的地图。
你说要是没有误差椭圆，那我们测量出来的东西不就像没头苍蝇一样，不知道到底准不准确啦？它可是给我们指明了一个方向，让我们能更好地理解和处理测量的结果。
在实际应用中，误差椭圆可重要了呢！比如在建筑工地上，工程师们得靠它来确保建筑物的位置准确无误；在地图绘制中，它能帮助绘制出更精确的地图。
没有它，那可真是乱了套了呀！总之呢，误差椭圆这个小家伙虽然有时候让人有点头疼，但它确实是我们测量工作中不可或缺的好帮手呀！它让我们在面对不确定性的时候，能有个大概的把握，不至于两眼一抹黑。
所以啊，咱可得好好认识它、了解它，让它为我们的工作和生活发挥更大的作用呀！你们说是不是这个理儿呢？。
测量平差---误差椭圆
( )
2 1
tan 2ϕ0 =
2Qxy ˆˆ Qx −Qy ˆ ˆ
=
2×0.36 = 0.81818 3.81−2.93
13 /40
2 ϕ0 =39°17′或219°17′, ° 或 ° ϕ0=19°39′或109°39′ ° 或 °
主页
误差椭圆
ˆˆ 因为 Qxy > 0 故 ，
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1 2 3 4 5 6 7 8 9
tan 2ϕ0 =
2Qxy Qx −Qy
2 2 σϕ =σ0 (Qx cos2 ϕ0 +Qy sin 2 ϕ0 +Qxy sin 2ϕ0 )
2 =σ0 (Qx cos2 ϕ0 +Qy sin 2 ϕ0 +Qxy ⋅
极值方向的判别方法: 极值方向的判别方法 Qxy ＞0，极大值在第Ⅰ、Ⅲ象限 ，极小值方向在第Ⅱ、 极小值方向在第Ⅱ ，极大值在第Ⅰ 8 /40 Qxy，极大值在第Ⅱ 象限， 象限； ＜0，极大值在第Ⅱ、Ⅳ象限，极小值方向在 Ⅳ象限； 象限。 第Ⅰ、Ⅲ象限。
______
= cosϕ∆x + sin ϕ∆y
∆x ∆x = [cosϕ sin ϕ] ∆y
由协方差传播律得: 由协方差传播律得 或
2 2 2 σϕ =σx cos2 ϕ +σy sin 2 ϕ +σxy sin 2ϕ 2 2 σϕ =σ0 Q ϕ
7 /40
2 =σ0 Qx cos2 ϕ +Qy sin 2 ϕ +Qxy sin 2ϕ
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2 2 2 2 2 σP =σx +σ y =σs +σu ―点位方差计算式
误差椭圆
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二、点位任意方向的位差
例2：已知某平面控制网平差后得到未知点P的坐标平差值及其 协因数阵
é 0.25 0.15 ù QX ú ˆX ˆ =ê ë 0.15 0.75 û 2 ˆ0 3.0cm2 单位权方差 1) 计算P点纵、横坐标中误差和点位中误 差 2) 计算P点在方位角为90°方向上的位 差
(
)
T
一、点位中误差
2 x 2 0
——点位中误差的计算
1 2 0 Qxx px
1 2 0 Q yy py
2 y 2 0
(Qxx Qyy )
2 P 2 0
QX ˆX ˆ
æ ç ç = ( BT PB)-1 = ç ç ç ç è
Qx1x1 Qx1y1 Qx1xs Qx1ys ö ÷ Qy1x1 Qy1y1 Qy1xs Qy1ys ÷ ÷ ÷ Qxn x1 Qxn y1 Qxn xs Qxn ys ÷ Qyn x1 Qyn y1 Qyn xs Qyn ys ÷ ø
= QFF 对应的
l1 = QEE
é Q -Q EE ê xx ê Qyx ë
Qxy Qyy - QEE
ùé ù úê x ú = 0 úê y ú û ûë
Qxy y QEE - Qxx tan j E = = = x Qxy QEE - Qyy
Qxy y QFF - Qxx tan j F = = = x Qxy QFF - Qyy
y
P2 x'2 y'2
2 2 2 p x ' y'
A
O
y¢
点位方差总是等于两个相互垂直的方向的坐标方差的平方和
与坐标系无关
一、点位中误差
x
Dx
Dy P¢( x, y) Du DP
s s 纵向误差 s u 横向误差
O
Ds
, y ) P( x
A
y
纵向、横向误差与角度距离的关系？
2 2
B
b
P
K = (Qxx - Qyy ) + 4(Qxy ) = 35.369
1 QEE = (Qxx + Qyy + K ) = 135.384 2 1 QFF = (Qxx + Qyy - K ) = 100.015 2
A x A = 4578.67 yA = 3956.74 a AB = 345°18¢12¢¢
第十章 误差椭圆
一．点位中误差
二．点位误差的计算 三．误差曲线
四．误差椭圆
一、点位中误差
控制点的平面位置是用一对平 面直角坐标来确定的。坐标是 由观测值的平差值计算所得的，
x
Dx
Dy P¢( x, y) Du DP
Ds
, y ) P( x
因此不可避免地带有误差。
A
O y
在平面控制网的平差计算中，往往要评定待定点的点位精度；
E = s 0 QEE = 1.24 F = s 0 QFF = 0.95
QEE - Qxx j = 137 / 317 tan j E = = -0.932 E Qxy QFF - Qxx j = 47 / 227 tan j F = = 1.037 E Qxy
二、点位任意方向的位差
二、点位任意方向的位差
Dj = pp¢¢ + p¢¢p¢¢¢ = Dx cosj + Dy sin j
Q Qxx Qxy cos cos sin Q Q sin yx yy Qxx cos2 Q yy sin 2 Qxy sin 2
二、点位任意方向的位差 ——极大值E与极小值F
不同的 j 角，有不同的协因数， 即有不同的位差。 求解协因数的极值，即可求位差 的极值。 设极大值、极小值的权倒数分别为QEE , QFF
Qxx - l Qxy 解特征方程 QX =0 ˆX ˆ - lI = Qyx Qyy - l
1 l1 = QEE = (Qxx + Qyy + K ) 2
待定点的点位精度通常用点位中误差简称“点位误差”的大
小来评定； 经过平差后的坐标（坐标的平差值）是估值，而不是真值！
一、点位中误差
A 已知点 P 待定点的真位置 P’ 最或然点位(平差值)
x
Dx
Dy P¢( x, y) Du DP
Ds
, y ) P( x
- xü Dx = x ý - yþ Dy = y
——基于极值E、F为坐标系的任意方向 Ψ 上的位差
x
2 2 2 sY =s0 QYY = s 0 (QEE cos2 Y + QFF sin2 Y )
jE
E
Y
j
2 sY = E 2 cos2 Y + F 2 sin2 Y
360° - j E
三、误差曲线
x
2 sY = E 2 cos2 Y + F 2 sin2 Y
æ 132.874 -9.082 ö =ç ÷ 9.082 102.525 è ø
A x A = 4578.67 yA = 3956.74 a AB = 345°18¢12¢¢
b = 89°15¢42¢¢ ± 4.0¢¢ S = 600.150 m ± 10 mm
例5：求P点位差极大值及其方向
æ s2 s ç x xy ç s yx s y2 è ö æ ÷ = ç 132.874 -9.082 ö ÷ è -9.082 102.525 ÷ ø ø
y
A
O
y¢
K (Qxx Q yy ) 2 4(Qxy ) 2
二、点位任意方向的位差 ——极大值E与极小值F
jF 求位差极大值、极小值对应的j 角j E 、 j F 分别是 QXˆXˆ 的特征值 l1 = QEE jE 、
特征向量的方位角
满足特征向量方程 (Q ˆ ˆ - l I ) X = 0 XX 、l2
二、点位任意方向的位差 ——极大值E与极小值F
æ 1.236 -0.314 ö 例3：已知某平面控制网中点 P 的协因数 QXˆXˆ = ç ÷ è -0.314 1.192 ø
ˆ0 = 1 s
，试求 E、F 和 jE
K = (Qxx - Qyy )2 + 4(Qxy )2 = 0.6295
1 l1 = QEE = (Qxx + Qyy + K ) = 1.528 2 1 l2 = QFF = (Qxx + Qyy - K ) = 0.899 2
2 QFF
1 (Q xx Q yy K ) 2
2 s 2 E2 = s 0 QEE = 0 (Qxx + Qyy + K ) 2
2 s0 F = s QFF = (Qxx + Qyy - K ) 2 2 2 0
x
x¢
Dx
Dy P¢( x, y) Du DP
Ds
, y ) P( x
P 2 (s) 2 (u) 2
2 2 p s2 u s s 纵向误差 s u 横向误差
~
一、点位中误差
将坐标系O - xy 旋转一个角度j , 得另一个新坐标系O - x¢y¢ ,在新坐标 系中 P 点的点位真误差：
x
x¢
Dx
Dy P¢( x, y) Du DP
Ds , y ) P( x
tan j E =
QEE - Qxx = -0.276 j E = 164°33¢ / 344°33¢ Qxy
b = 89°15¢42¢¢ ± 4.0¢¢ S = 600.150 m ± 10 mm
QFF - Qxx tan j F = = 3.618 j F = 74°33¢ / 254°33¢ Qxy
一、点位中误差
2 x 2 0
——点位中误差的计算
1 2 0 Qxx px
1 2 0 Q yy py
2 y 2 0
(Qxx Qyy )
2 P 2 0
在间接平差中，设点的坐标为未知参数：
ˆ= X ˆ Y ˆ X ˆ Y ˆ X ˆ Y ˆ X 1 1 2 2 u u
DP 2 = Dx 2 + Dy2
2 x 2 y 2
A
点位真位差
~
O
y
E[(x E ( x)) ] E[(x x) 2 ] E[x 2 ] E[( y E ( y)) ] E[( y y) ] E[y ]
2 2 2
2 2 2 P E(P2 ) E((x)2 ) E((y)2 ) x y
æ dx ö æ cosa -1000Dy / r öæ dS ö P AB AP ç ÷ ç ÷ = ç dy ÷ ç sin a ÷ç d b ÷ 1000 D x / r ø AB AP è P ø è øè æ 0.266 -2.804 öæ dS ö =ç ÷ç d b ÷ 0.964 0.774 è øè ø æ s2 s ö æ æ 100 0 öæ 0.266 0.964 ö ç x xy ÷ = ç 0.266 -2.804 ö ÷ç ÷ç ÷ 2 ÷ ç s yx s y 0.964 0.774 0 16 2.804 0.774 è øè øè ø è ø
E
Y
P
y
F
四、误差椭圆
x
2 sY = E 2 cos2 Y + F 2 sin2 Y
E
Y
P D
o
y
F