误差理论与平差基础-第2章 误差分布与精度指标
误差理论与测量平差基础
《误差理论与测量平差基础》授课教案2006～2007第一学期测绘工程系2006年9月课程名称:误差理论与测量平差基础英文名称:课程编号：??适用专业：测绘工程总学时数: 56学时其中理论课教学56学时，实验教学学时总学分：4学分◆内容简介《测量平差》是测绘工程等专业的技术基础课，测量平差的任务是利用含有观测误差的观测值求得观测量及其函数的平差值，并评定其精度。
本课程的主要内容包括误差理论﹑误差分布与精度指标﹑协方差传播律及权﹑平差数学模型与最小二乘原理﹑条件平差﹑附有参数的条件平差﹑间接平差﹑附有限制条件的间接平差﹑线性方程组解算方法﹑误差椭圆﹑平差系统的统计假设检验和近代平差概论等。
◆教学目的、课程性质任务，与其他课程的关系，所需先修课程本课程的教学目的是使学生掌握误差理论和测量平差的基本知识、基本方法和基本技能，为后续专业课程的学习和毕业后从事测绘生产打下专业基础。
课程性质为必修课、考试课。
本课程的内容将在测绘工程和地理信息系统专业的专业课程的测量数据处理内容讲授中得到应用，所需先修课程为《高等数学》、《概率与数理统计》、《线性代数》和《测量学》等。
◆主要内容重点及深度考虑到专业基础理论课教学应掌握“必须和够用”的原则，结合测绘专业建设的指导思想，教学内容以最小二乘理论为基础，误差理论及其应用、平差基本方法与计算方法，以及平差程序设计及其应用为主线。
测量误差理论，以分析解决工程测量中精度分析和工程设计的技术问题为着眼点，在掌握适当深度的前提下，有针对性的加强基本理论，并与实践结合，突出知识的应用。
平差方法，以条件平差和参数平差的介绍为主，以适应电算平差的参数平差为重点。
计算方法，以介绍适应电子计算机计算的理论、方法为主，建立新的手工计算与计算机求解线性方程组过程相对照的计算方法和计算格式。
平差程序设计及其应用，通过课程设计要求学生利用所学程序设计的知识和平差数学模型编制简单的平差程序，熟练掌握已有平差程序的使用方法。
第二章 误差分布与精度指标
DXX E X E( X )X E( X )
T
§2.1
正态分布
正态分布曲线的性质:
1、曲线关于 x=u 对称； 成反比； 2、当x=u时，f(x)具有最大值，且与 3、当X离 u越远，f(x)的值越小； 4、曲线x=u± 处有拐点； 5、 越小，曲线顶点越高，曲线形状越陡峭
§2.4 方差—协方差阵
三、互协方差阵：
Y X 观测值向量 n 关于 的互协方差阵： 1 n1
nm
DXY E X E ( X )Y E (Y ) E X Y
T
T
x1 y 2 x2 y2 xn y 2 x1 y m x2 y m xn ym
逆矩阵的性质:
(1)( AB) B A (2)( A ) A 1 T 1 1 T (3)( I ) I (4)( A ) ( A ) (5)对称矩阵的逆仍为对称矩阵。 (6)对角矩阵的逆仍为对角矩阵且：
1 1 1
1 1
A (diag (a11, a22 , ann )) 1 1 1 diag ( , ) a11 a22 ann
x2
xn
§2.4 方差—协方差阵
观测值向量 X的自协方差阵DXX：
n1
DXX特点： 对称可逆方阵 主对角线上元素为 对应观测值的方差; 非主对角线上元素 为对应两个观测值 的协方差
E (2x1 ) E ( x1 x2 ) E (2x2 ) E ( x2 x1 ) E ( x x ) E ( x x ) n 1 n 2
《测量平差》教案 第二章 误差分布与精度指标 (武汉大学版)
《测量平差》教案第二章误差分布与精度指标第一节正态分布一、一维正态分布绘一维正态分布图，列出分布函数，讲解，强调两个分布参数的含义。
二、n维正态分布讲解绘n维正态分布图，列出分布函数，讲解，强调两个分布参数的含义。
第二节偶然误差的规律性一、偶然误差分布1、描述误差分布的三种方法（1）列表法（通过实例列表讲解）（2）绘图法（通过实例绘图讲解）（3）密度函数法（通过实例绘图讲解）二、偶然误差的分布特性(1) 在一定的观测条件下，误差的绝对值不会超过一定的限值。
（界限性） (2) 绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率要大。
（小误差占优性）(3) 绝对值相等的正负误差出现的概率相等。
（对称性）三、两个重要概念(1) 由偶然误差的界限性，可以依据观测条件来确定误差限值(2) 由偶然误差的对称性知观测量的期望值就是其真值。
小结：偶然误差有其统计规律，研究偶然误差的分布规律是为了更好的研究偶然误差的处理问题。
第三节衡量精度的指标；第四节精度、准确度与精确度；第五节测量不确定度一、精密度指标（一）观测量的精密度指标1、观测条件与精密度配合误差分布曲线讲解精密度的定义和观测条件与精密度的关系。
2、几种常用的精密度指标（1）方差与标准差推导相应公式，给出其估值公式，讲解应用实例(2) 极限误差分析误差出现在某一范围内的概率的大小，给出极限误差定义公式(3) 相对误差给出相对精度的定义，用实例讲解其应用范围。
(4) 平均误差与或然误差给出平均误差和或然误差的定义，讲解其在国际上应用的范围和地区，以及其与中误差的关系。
（二）观测向量的精度指标1、n维随机向量的方差阵导出n维随机向量的方差阵表达形式，指出该阵是对称矩阵，并讲解矩阵中各元素的含义，同时给出当n维随机向量中各随机变量不相关时的矩阵形式。
2、两随机向量的互协方差阵导出两个随机向量互协方差阵表达形式，并讲解矩阵中各元素的含义，同时给出当维随机向量不相关时的矩阵形式。
《误差理论与测量平差》第二章 误差与协方差传播
4. 水准测量的精度分析
. 支导线点位的精度
6. 水平角观测精度分析
§2-3 协方差传播律的应用
1. 独立观测值的线性函数的方差
现有独立观测向量
L
L1 L 2
n1
T
Ln
1
2
2
，其方差阵
2
D LL
nn
n
设X为的一个线性函数 X
k 1 L1
L2
k2
k
1
由协方差传播律可得：
kn
2
k
K DLL K T
DXX
1n
11
nn
k1
n1
k
2
L
2
2
n
2
k1
1
k2
2
2
kn
T
Ln
n
k2
kn
2
1
K L
0
系数平方与观测
值方差乘积和。
kn
2
k
k12
k0
k
1
k2
k
n
1
2
L2
1
k0
1n n1
1
2
X
k n L n
k2
2
+ k 22
2
2
2
n
2
+k
n
k i2
n
i
1
2
i
2. 独立同精度观测值的平均值的方差
现有独立同精度观测向量
2
2
评论：平均值的
方差为观测值方
差1/n，精度明
显高于观测值。
3. 独立同精度分段量距的累计距离的方差
1 d 2
2第二章 误差分布与精度指标
，
5 1.253 2 4
可见，同一测量条件下， 与 有着完全确定的关系，对应着相同的误差 分布曲线。因此，也可用平均误差作为精 度估计的标准。
33
§5.精度评定
三、平均误差 例 2: 以 例 1 中 第 一台经纬仪数据 为例，求观测值 的平均误差。
ˆ 1.5 0.7 0.5 9
34
§5.精度评定
2
中误差： ˆ
n
①各真误差必须对应同一测量条件。 ②可将表示测量条件的中误差附于观测值之后。 注 如： 50 3432.6 1.8 258.45m 2mm 意 “±”并不代表该误差范围，而是测量上约定 俗成的习惯。
28
§5.精度评定
二、方差和中误差
结论：
f(Δ)
0.5
' 503354.1''
30
§5.精度评定
二、方差和中误差
第一台经纬仪 第二台经纬仪
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Σ
观测值L 50°33′52.6″ 54.8 53.6 55.0 52.2 53.8 54.7 58.1 56.2
Δ -1.5 +0.7 -0.5 +0.9 -1.9 -0.3 +0.6 +4.0 +2.1
i / n d
偶然误差的四个特性
Δ
1.8 1.6 1.6 1.4 1.4 1.2 1.2 1 1 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0 - 0.2 -0.4 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1.2 -1.2 -1.4 -1.4 -1.6 -1.6 -1.8
13
误差理论与测量平差基础习题集
第一章绪论§1-1观测误差1.1.01为什么说观测值总是带有误差,而且观测误差是不可避免的？1.1.02观测条件是由哪些因素构成的？它与观测结果的质量有什么联系？1.1.03测量误差分为哪几类?它们各自是怎样定义的?对观测成果有何影响？试举例说明。
1.1.04用钢尺丈量距离，有下列几种情况使量得的结果产生误差，试分别判定误差的性质及符号：（1）长不准确；（2）尺尺不水平；（3）估读小数不准确；（4）尺垂曲；（5）尺端偏离直线方向。
1.1.05在水准测量中，有下列几种情况使水准尺读数带有误差，试判别误差的性质及符号：（1）视准轴与水准轴不平行；（2）仪器下沉；（3）读数不准确；（4）水准尺下沆。
§1-2测量平差学科的研究对象1.2.06 何谓多余观测?测量中为什么要进行多余观测？1.2.07 测量平差的基本任务是什么？§1-3测量平差的简史和发展1.3.08 高斯于哪一年提出最小二乘法？其主要是为了解决什么问题？1.3.09 自20世纪五六十年代开始，测量平差得到了很大发展，主要表现在那些方面？§1-4 本课程的任务和内容1.4.10 本课程主要讲述哪些内容？其教学目的是什么？第二章误差分析与精度指标§2-1 正态分布2.1.01 为什么说正态分布是一种重要的分布？试写出一维随机变量X的正态分布概率密度式。
§2-2 偶然误差的规律性2.2.02 观测值的真误差是怎样定义的？三角形的闭合差是什么观测值的真误差？2.2.03 在相同的观测条件下，大量的偶然误差呈现出什么样的规律性？2.2.04 偶然误差*服从什么分布？它的数学期望和方差各是多少？§2-3 衡量精度的指标2.3.05 何谓精度？通常采用哪几种指标来衡量精度？2.3.06 在相同的观测条件下，对同一个量进行若干次观测得到一组观测值，这些观测值的精度是否相同？能否认为误差小的观测值比误差大的观测值精度高？2.3.07 若有两个观测值的中误差相同，那么，是否可以说这两个观测值的真误差一定相同？为什么？2.3.08 为了鉴定经纬度的精度，对已知精确测定的水平角α=45O00’00”作12次观测，结果为：45o00’06” 44o59’55” 44o59’58” 45o00’04”45o00’03” 45o00’04” 45o00’00” 44o59’58”44o59’59” 44o59’59” 45o00’06” 45o00’03”设α没有误差，试求观测值的中误差。
误差理论与平差基础-第2章 误差分布与精度指标
一、偶然误差特性
1、偶然误差
f ()
1 1 1 2
f ( )
1 1 exp 2 ( ) 2 2 2
2 2
参数 和 2 分别是随机误差 的数学期望和方差。它们 确定了正态分布曲线的形状。
1 n i 0 对于随机误差： E () lim n n i 1
三、精度估计的标准
中误差、平均误差和或然误差都可以作为衡量精
度的指标，但由于：
中误差具有明确的几何意义（误差分布曲线的拐点
坐标）
平均误差和或然误差都与中误差存在理论关系
所以，世界上各国都采用中误差作为衡量精度的指
标，我国也统一采用中误差作为衡量精度的指标。
三、精度估计的标准
4、容许误差（极限误差）
定义：由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误 差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许（ 极限）误差。
P(| | ) 68.3% P(| | 2 ) 95.5% P(| | 3 ) 99.7%
测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差；
即Δ容=2m 或Δ容=3m 。
m1 m2，说明第一组的精度高于第二组的精度。
说明：中误差越小，观测精度越高
三、精度估计的标准
2、平均误差
在一定的观测条件下，一组独立的真误差绝对值的数学 期望称为平均误差。 [| |] E (| |) lim n n
4 0.7979 5
三、精度估计的标准
1、中误差
解：第一组观测值的中误差：
0 2 2 2 12 (3) 2 4 2 32 (2) 2 (1) 2 2 2 (4) 2 m1 2.5 10
《误差理论与测量平差基础》课程教学大纲
《误差理论与测量平差基础》课程教学大纲《误差理论与测量平差基础》课程教学大纲一、基本信息二、教学目的与任务误差理论与测量平差基础是一门专业基础课，以培养学生掌握测量数据处理的基本方法和原理为目的。
课程内容包括误差理论和测量平差基础两部分。
误差理论主要讲授误差来源、分类、性质、分布、数字特征、传播及主要应用，以误差分布、数字特征及传播律为重点。
测量平差基础主要讲授条件平差、间接平差等经典测量平差基本理论、方法、估计理论及精度评定。
通过本课程的学习，学生应掌握误差理论和测量数据处理的基本原理和方法，了解测量平差的发展过程和近代测量平差方法，能够应用测量平差基本理论和方法进行测绘数据处理和精度分析，培养学生解决工程控制网的数据处理和测绘工程实践能力，为进一步学习测量数据处理理论和后续课程的学习打下坚实的理论基础。
三、教学内容与要求（一）绪论2学时1、观测误差2、测量平差学科的研究对象3、测量平差的简史和发展4、本课程的任务和内容要求：明确观测误差产生的原因，掌握误差分类和特点、观测误差的处理方法，了解测量平差的发展历史和本课程的主要任务和特点，明确平差理论研究的对象和所要解决的问题，提出本科程的学习方法。
（二）误差分布与精度指标2学时1、偶然误差的特性2、衡量精度的指标3、精度、准确度和精确度要求：熟悉随机变量的数字特征，掌握偶然误差的规律性，理解方差、协方差阵的概念和涵义；掌握精度、准确度、精确度等概念的区别和联系。
（三）协方差传播律及权8学时1、协方差的传播2、协方差传播律的应用3、权与定权的常用方法4、协因数阵与权阵5、协因数传播律6、协方差传播律及其在测量上的应用7、系统误差的传播要求：熟记方差、协方差传播律的基本公式，掌握非线性函数线性化的方法；掌握权与定权的常用方法，理解方差、权、与协因数的关系；了解系统误差的传播规律。
（四）平差数学模型与最小二乘原理4学时1、测量平差概述2、函数模型3、函数模型线性化4、测量平差的数学模型5、参数估计与最小二乘原理要求：明确必要起算数据、必要观测数据、多余起算数据和多余观测数据的概念，掌握必要观测数和多余观测数的计算方法，熟记各种平差方法的数学模型；了解参数估计和最小二乘原理。
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三、精度估计的标准
[例4] 设对某量进行两组观测，其真误差分别为： 第一组：3，-3，2，4，-2，-1，0，-4，3，-2 第二组：0，-1，-7，2，1，-1，8，0，-3，1
求两组观测值得平均误差和中误差，并比较两组观测值的精度
三、精度估计的标准
[例5] 已知导线测量中，距离观测值是 500 m ，
一、偶然误差特性
1、偶然误差
f ()
1 1 1 2
f ( )
1 1 exp 2 ( ) 2 2 2
2 2
参数 和 2 分别是随机误差 的数学期望和方差。它们 确定了正态分布曲线的形状。
1 n i 0 对于随机误差： E () lim n n i 1
角度中误差是 1 ，
求边长观测值以什么样的精度才能与点位的横向误差匹配
第二章 误差分布与精度指标
一．偶然误差的特性
二．精度、准确度和精确度
三．衡量精度的指标
四．测量的不确定性
五．练习
测量平差的基本任务
处理一系列带有偶然误差的观测值，求出未知量的 最佳估计，并评定测量成果的精度。
基本数学概念
数学期望：随机变量取值的概率平均值 E ( X ) 方差：
D( X ) E[ X E( X )]2
极限误差的作用：区别误差和错误的界限。
三、精度估计的标准
4、容许误差（极限误差）
举例1：
m1 2.5
m2 3.2"
三、精度估计的标准
5、相对误差
相对误差 K 是中误差的绝对值 m 与相应观测值 D 之比，通 常以分母为1的分式来表示，称其为相对（中）误差。即:
K m D 1 D m
1、偶然误差
i E(li ) li
偶然误差间的相互差异与对应观测值之间的相互差异相同 ，故观测值与它所带有的偶然误差具有类型一致的分布——正 态分布。偶然误差又称随机误差
1 1 2 f ( ) exp 2 ( ) 2 2
L E ( L ) 2 f ( L) exp 2 2 2 1
2
5 1.253 2 4
[| |] ˆ n
三、精度估计的标准
2、平均误差
例：试根据下表数据，分别计算各组观测值的平均误差。
三、精度估计的标准
2、平均误差
解：第一组观测值的平均误差：
0 2 1 3 4 3 2 1 2 4 1 2.2" 10
解：
K1 m1 m K2 2
0.01 1 D1 100 10000 0.01 1 D2 200 20000
三、精度估计的标准
5、相对误差
[例2] 用钢卷尺丈量200m和40m两段距离，量距的中误差都是 ±2cm，但不能认为两者的精度是相同的
前者的相对中误差为0.02／200 ＝1／10000
一、偶然误差特性
2、偶然误差的特性
实例
三角形内角和真误差
在相同的观测条件下，观测了358个三角形的全部内角。
i= 180 - i - i - i (i = 1,2,3,........358)
7 2 2 0 6 5 8 5 10 6 3 12 0 1 4 2 16 1
第二组观测值的平均误差：
1 2 6 0 1 7 1 0 3 1 2 2.2 10
1 2 ，无法评价观测精度
说明：中误差在评价观测精度比平均误差灵敏
三、精度估计的标准
3、或然误差
或然误差 定义为：误差出现在 ( , ) 之间的概率为1/2 1 f ()d 2 由概率积分表可查得，当概率为二分之一时，积分限为 0.6745，于是可得中误差与或然误差的理论关系： 2 0.6745 3 或然误差计算：1 通过中误差计算； 2 误差按绝对值大小排列，取中数
定义：由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误 差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许（ 极限）误差。
P(| | ) 68.3% P(| | 2 ) 95.5% P(| | 3 ) 99.7%
测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差；
即Δ容=2m 或Δ容=3m 。
~ i Li Li 真误差的定义： ~ Li : 真值，Li : 观测值
真值通常是无法测知的，一般以被观测量的数学期望表示其真 ~ E ( L) L 值，
E ( L) L
误差类型是偶然误差
~ E() E( Li ) E( Li ) 0
一、偶然误差特性
n
n
ˆ mm
n
式中：
2 2 2 2 ... 1 2 3 n , i li x
中误差的理论值 m 和估值 m ˆ
本课程不区分理论值和估值，统称中误差
三、精度估计的标准
1、中误差
例：试根据下表数据，分别计算各组观测值的中误差。
准确度：
测量结果与真值的接近程度， 系统误差的影响程度
偶然误差的标准差
平均值与真值的偏差
二、精度、准确度和精确度
2、精度——偶然误差
精度：指在对某量进行多次观测中，各观测值之间的 密集或离散程度。 D( L) E[ L E( L)]2
如果两组观测误差分布相同，则其精度相同，反之亦然； 同一观测条件下进行的一组观测对应着同一误差分布，这组 的每个观测值都是等精度观测，而不论其个别误差是大是小
协方差：两随机变量 X, Y 的相关程度 XY E[( X E( X ))(Y E(Y ))]
一、偶然误差特性
1、偶然误差
在一定的观测条件下进行了一系列观测，如果观测的误差是 随机误差，且误差的算术均值随观测次数的增加而趋于零，这种 误差称为偶然误差。偶然误差是均值为零的随机误差。
三、精度估计的标准
评定精度的标准
中误差 平均误差 评定精度的标准
或然误差
容许误差
相对误差
三、精度估计的标准
1、方差和中误差
误差满足正态分布：
2 f () exp( ) E[( X E ( X )) ] E (
2
) lim
二、精度、准确度和精确度
3、准确度——系统误差
准确度：随机变量真值与其数学期望的差值。
L E(L) 真值 数学期望
~
准确度是衡量系统误差大小程度的指标
二、精度、准确度和精确度
4、精确度——偶然误差和系统误差的合成
观测值的均方误差。
描述偶然误差、系统误差和粗差的集成
~2 MSE( L) E( L L )
二、精度、准确度和精确度
测量平差的主要任务之一，就是评 定测量成果的精度。如何正确理解“精
度”的含义以及怎样衡量精度的高低？
二、精度、准确度和精确度
1、误差对观测结果的影响
L
L
系统误差
li
L L
li
偶然误差
精密性：观测数据的离散程度， 取决于偶然误差的影响
精密度：
重复测量时，测量结果的分散性
准确性：观测数据的准确程度， 取决于所有误差总的影响
n
n
[] E ( ) lim n n
2
中误差
三、精度估计的标准
1、方差和中误差
定义：在相同条件下，对某量（真值为 X ）进行 n 次独立观测 ，观测值 l1， l2，……，ln，偶然误差（真误差）Δ1，Δ2， ……，Δn，则中误差 m 的定义为：
m lim
中误差、真误差和容许误差均是绝对误差。
三、精度估计的标准
举例2
有一段距离，其观测值及其中误差为345.675m、15mm， 试估计这个观测值的实际可能范围？并求出该观测值得相 对中误差。
三、精度估计的标准
5、相对误差
[例1] 已知：D1=100m, m1=±0.01m，D2=200m, m2=±0.01m ，求： K1, K2
合计
181
0.506
177
0.494
358
1.000
一、偶然误差特性
2、偶然误差的特性
实例
频率直方图
-24 -21 -18 -15
-12
-9
-6
-3
0
+3
+6
+9 +12 +15 +18 +21 +24
一、偶然误差特性
2、偶然误差的特性
有限性：在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不
会超过一定的限值； P(| | 限 ) 0 集中性：绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现 的概率大；P(| 小 |) P(大 ) 对称性：绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相
2 L
~2 MSE( L) ( E( L) L )
偶然误差 系统误差
二、精度、准确度和精确度
测量值与真值之差为随机误差和系统误差之和；
随机误差体现为精密度；如果随机误差减小(精密度
高), 则准确度主要取决于系统误差；所以精密度高
是精确度高的前提。高的精密度不一定保证高的精确
度。
结论：精密度是精确度的基础
m1 m2，说明第一组的精度高于第二组的精度。
说明：中误差越小，观测精度越高
三、精度估计的标准
2、平均误差
在一定的观测条件下，一组独立的真误差绝对值的数学 期望称为平均误差。 [| |] E (| |) lim n n
4 0.7979 5