第二讲 衡量精度的指标
第二章误差分布与精度指标
因为 故
E( X )
1
1t2
(t )e 2 dt
1 t 2
te 2 dt
1 t 2
e 2 dt
2
2
2
1t2
te 2 dt
1t2
-e 2 d(-
1
t2
)
0
2
1t2
e 2 dt 2
E( X ) 2 2
等号右边第二项的积分详见李庆海、陶本藻编《概率统计原理在测量中的应用》293 页。
1.60以上 0
0
0
0
0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006
0
0.640 0.575 0.460 0.295 0.225 0.180 0.070 0.030
0
d△= 0.20〃 等于 区间 左端 值的 误差 算入 该区 间内
和
181 0.505
1 ( x )2
e 2 2
由数学期望看出甲乙两射手中甲的技术好些，还需要研究谁的技术稳 定，即各次射击的环数偏离平均值的程度，也就是研究随机变量相对其均 值的离散程度，最直观的方法求偏差的数学期望，即
EX EX 但上式带有绝对值，运算不方便，通常用 E X EX 2 来度量随机变量相
E( X ) f ( X )XdX X
其中：
D( X ) E X E( X )2
f
(
X
)
X
E(
X
)
2 dX
DXX
1 E( x1 )
E(
X
)
2
E( x2
)
X
n E( xn )
2 x1
2第二章 误差分布与精度指标
，
5 1.253 2 4
可见，同一测量条件下， 与 有着完全确定的关系，对应着相同的误差 分布曲线。因此，也可用平均误差作为精 度估计的标准。
33
§5.精度评定
三、平均误差 例 2: 以 例 1 中 第 一台经纬仪数据 为例，求观测值 的平均误差。
ˆ 1.5 0.7 0.5 9
34
§5.精度评定
2
中误差： ˆ
n
①各真误差必须对应同一测量条件。 ②可将表示测量条件的中误差附于观测值之后。 注 如： 50 3432.6 1.8 258.45m 2mm 意 “±”并不代表该误差范围，而是测量上约定 俗成的习惯。
28
§5.精度评定
二、方差和中误差
结论：
f(Δ)
0.5
' 503354.1''
30
§5.精度评定
二、方差和中误差
第一台经纬仪 第二台经纬仪
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Σ
观测值L 50°33′52.6″ 54.8 53.6 55.0 52.2 53.8 54.7 58.1 56.2
Δ -1.5 +0.7 -0.5 +0.9 -1.9 -0.3 +0.6 +4.0 +2.1
i / n d
偶然误差的四个特性
Δ
1.8 1.6 1.6 1.4 1.4 1.2 1.2 1 1 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0 - 0.2 -0.4 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1.2 -1.2 -1.4 -1.4 -1.6 -1.6 -1.8
13
衡量精度的标准
1 20000
谢谢观看
次序
1 2 3 4
第一组观测
观测值l
Δ
Δ2
180°00ˊ03"
-3
9
180°00ˊ02"
-2
4
179°59ˊ58"
+2
4
179°59ˊ56"
+4
16
5
180°00ˊ01"
-1
1
6
180°00ˊ00"
0
0
7
180°00ˊ04"
-4
16
8
179°59ˊ57"
+3
9
9
179°59ˊ58"
+2
4
10
180°00ˊ03"
4
180 00 00
5
179 59 56
+4
5
180 00 01
6
179 59 57
+3
6
179 59 53
7
180 00 02
-2
7
179 59 59
8
180 00 01
-1
8
180 00 00
9
179 59 58
+2
9
180 00 03
10
180 00 04
-4
10
180 00 01
真误差Δ ″
m1 m2 ，说明第一组的精度高于第二组的精度。
说明：中误差越小，观测精度越高
中误差
练习：按观测值的真误差计算中误差
次序
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 Σ||
误差理论与平差基础-第2章 误差分布与精度指标
一、偶然误差特性
1、偶然误差
f ()
1 1 1 2
f ( )
1 1 exp 2 ( ) 2 2 2
2 2
参数 和 2 分别是随机误差 的数学期望和方差。它们 确定了正态分布曲线的形状。
1 n i 0 对于随机误差： E () lim n n i 1
三、精度估计的标准
中误差、平均误差和或然误差都可以作为衡量精
度的指标，但由于：
中误差具有明确的几何意义（误差分布曲线的拐点
坐标）
平均误差和或然误差都与中误差存在理论关系
所以，世界上各国都采用中误差作为衡量精度的指
标，我国也统一采用中误差作为衡量精度的指标。
三、精度估计的标准
4、容许误差（极限误差）
定义：由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误 差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许（ 极限）误差。
P(| | ) 68.3% P(| | 2 ) 95.5% P(| | 3 ) 99.7%
测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差；
即Δ容=2m 或Δ容=3m 。
m1 m2，说明第一组的精度高于第二组的精度。
说明：中误差越小，观测精度越高
三、精度估计的标准
2、平均误差
在一定的观测条件下，一组独立的真误差绝对值的数学 期望称为平均误差。 [| |] E (| |) lim n n
4 0.7979 5
三、精度估计的标准
1、中误差
解：第一组观测值的中误差：
0 2 2 2 12 (3) 2 4 2 32 (2) 2 (1) 2 2 2 (4) 2 m1 2.5 10
衡量导线测量精度的指标
衡量导线测量精度的指标导言在电力系统中，导线测量是一项非常重要的工作，它用于确定导线的位置和长度，以确保电力系统的安全运行。
然而，由于各种因素的影响，导线测量存在一定的误差。
因此，衡量导线测量精度的指标对于评估测量结果的准确性和可靠性至关重要。
1. 导线测量精度导线测量精度是指实际测得的导线位置和长度与其真实值之间的偏差程度。
它是衡量导线测量准确性和可靠性的关键指标。
通常情况下，导线测量精度可以通过以下两个方面来评估：1.1 偏差偏差是指实际测得值与真实值之间存在的差异。
在导线测量中，偏差可以分为绝对偏差和相对偏差两种形式。
1.1.1 绝对偏差绝对偏差是指实际测得值与真实值之间的数值差异。
它可以通过计算每个样本点或整体样本点集合上所有数据点之间的平均绝对偏差来衡量。
1.1.2 相对偏差相对偏差是指实际测得值与真实值之间的相对差异。
它可以通过计算每个样本点或整体样本点集合上所有数据点之间的平均相对偏差来衡量。
1.2 精度等级精度等级是指导线测量结果的准确性和可靠性的分类标准。
通常情况下，导线测量精度等级可以根据国家或行业标准进行划分，并根据不同等级的要求来评估导线测量结果。
2. 影响导线测量精度的因素导线测量精度受到多种因素的影响，这些因素包括但不限于以下几个方面：2.1 测距仪器误差测距仪器误差是指由于仪器本身设计、制造、使用等方面存在的误差。
这些误差可能包括系统误差、随机误差和仪器固有误差等。
2.2 环境条件环境条件是指导线测量过程中存在的各种外部条件，如天气、温度、湿度、地形等。
这些因素可能会对导线测量结果产生影响，从而影响导线测量精度。
2.3 人为因素人为因素是指导线测量操作中人员的技术水平、经验和操作规范等方面的影响。
不同的人员在导线测量过程中可能存在差异，从而对导线测量结果产生影响。
2.4 数据处理方法数据处理方法是指将实际测得的数据进行处理和分析的方法。
不同的数据处理方法可能会对导线测量结果产生影响，从而影响导线测量精度。
第5章 测量误差理论的基础知识
5.1 测量误差概述 5.2 衡量精度的指标 5.3 误差传播定律及其应用 5.4 等精度直接观测平差 5.5 不等精度观测的最或然值及其中误差
§5.1 测量误差概述
大量实践表明，当对某一未知量进行多次 观测时，无论观测仪器多么精密，观测进行得
多么仔细，观测值之间总是存在着差异。例如，
2 2 2 2 mZ A12 m12 A2 m2 An mn
§5.3.2 误差传播定律的应用
例1 量得某圆形建筑物得直径 D=34.50m, 其中误差mD 0.01m,
求建筑物得圆周长及其中误差。
解：圆周长：
P D 3.1416 34.50 108.38 中误差：
将以上各式两边平方、取平均，可得
Z 2 x12 x22 xn 2 n f2 f 2 ... f 2 xi x j 1 fi f j k 1 2 n k k k k i, j
i j
因 x 的观测值 l 彼此独立，则 xi x j 在 i j 时亦为偶 i i 然误差。根据偶然误差第4特性，上式末项当 k 时趋近于 零，故：
测量某一平面三角形的三个内角，其观测值之
和常常不等于理论值180°。这说明测量结果
不可避免地存在误差。
§5.1.1 测量误差的来源
测量工作是在一定条件下进行的，外界环境、观 测者的技术水平和仪器本身构造的不完善等原因，都 可能导致测量误差的产生。通常把测量仪器、观测者 的技术水平和外界环境三个方面综合起来，称为观测 条件。观测条件不理想和不断变化，是产生测量误差 的根本原因。通常把观测条件相同的各次观测，称为 等精度观测；观测条件不同的各次观测，称为不等精 度观测。
空间误差分析第二章 误差分布与精度指标
σ＝1 ＝ σ＝2 ＝
O
µ一定 一定
ｘ
§2-2 正态分布
4.3σ原则 4. 原则
• P(μ-σ< X <μ+σ) ≈68.3% • P(μ-2σ< X <μ+2σ) ≈95.5% • P(μ-3σ< X <μ+3σ) ≈99.7%
X 的取值几乎全部集中在 的取值几乎全部集中在[-3σ,3σ]区间 区间
§2-3 偶然误差的规律性
面积= 面积 [(vi /n)/d△]* d△= vi /n=频率 频率 误差分布曲线
§2-3 偶然误差的规律性
观测值定了其分布 也就确定了， 也就确定了，因此 一组观测值对应相 同的分布。 同的分布。不同的 观测序列， 观测序列，分布不 同。但其极限分布 均是正态分布。 均是正态分布。
σ＝0.5 ＝
σ＝1 ＝ σ＝2 ＝
O
µ一定 一定
ｘ
§2-2 正态分布
• 当μ一定时， 曲线的形状由σ确定。σ越大，曲线越 一定时， 曲线的形状由σ确定。 越大， “扁平”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越 扁平” 表示总体的分布越分散； 越小， “尖陡”，表示总体的分布越集中 尖陡” • 拐点横坐标： x = E(x) ± σ= µ ± σ 拐点横坐标：
f ( x1 , x2 ,..., xn ) =
1 (2π ) | DXX |
n 2 1 2
e
1 − ( x − µ x )T 2
D
−1 XX
( x−µx )
§2-2 正态分布
2.数学期望 2.数学期望
E ( X 1 ) µ1 E ( X ) µ 2 2 = µ x = M M n ,1 E ( X n ) µ n
衡量精度的指标范文
衡量精度的指标范文精度是衡量结果与目标或实际值的接近程度的指标，适用于各种领域和任务，包括科学研究、工程设计、机器学习、数据分析等。
在各个领域中，有许多不同的方法和度量来衡量精度。
以下是一些常用的精度指标：1. 绝对误差（Absolute Error）：绝对误差是表示测量值与真实值之间差异的度量，它计算了每次测量所产生的偏差。
绝对误差可以通过以下公式计算：绝对误差 = ，预测值 - 真实值2. 相对误差（Relative Error）：相对误差是绝对误差与真实值之间的比率，它可以更好地衡量误差的规模。
相对误差可以通过以下公式计算：相对误差 =（绝对误差 / 真实值）* 100%3. 均方根误差（Root Mean Square Error，RMSE）：均方根误差是在拟合 regression model 时广泛使用的一种误差度量。
它计算了预测值与真实值之间的平均差异，并通过求平方根来消除误差为负值的问题。
均方根误差可以通过以下公式计算：RMSE = √（（Σ（预测值-真实值）²）/ n）4. 平均绝对误差（Mean Absolute Error，MAE）：平均绝对误差是真实值与预测值之间绝对误差的平均值。
它可以通过以下公式计算：MAE= Σ ，预测值 - 真实值， / n5. 均方误差（Mean Squared Error，MSE）：均方误差是预测值与真实值之间的平均差异的平方。
它用于衡量 regression model 的拟合程度，并可以通过以下公式计算：MSE = Σ（预测值 - 真实值）² / n6. 误差百分比（Percentage Error）：误差百分比是通过将绝对误差除以真实值并乘以100得到的百分比值。
这个指标用于衡量预测值与真实值之间的差异，并可以通过以下公式计算：误差百分比 =（绝对误差 / 真实值）* 100%7. 相对百分比误差（Relative Percentage Error）：相对百分比误差是真实值与预测值之间相对误差的百分比，并通过以下公式计算：相对百分比误差 =（相对误差 / 真实值）* 100%8. R平方（R-squared）：R平方是线性回归模型中一种重要的统计指标，用于度量模型对观测值变化的解释能力。
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1
179°59ˊ52" +8 64
180°00ˊ00" 0
0
179°59ˊ57" +3
9
180°00ˊ01" -1
1
24 130
m2
2 3.6 n
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第二讲 衡量精度的指标
n n
21 22 2n
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第二讲 衡量精度的指标
例1 设对某个三角形用两种不同的精度分别对 它进行了10次观测，求得每次观测所得的三角 形内角和的真误差为
第 一 组 ： 3, 2, 4, 2, 0, 4, 3, 2, 3, 1
第 二 组 ：0, 1, 7, 2, 1, 1, 8, 0, 3, 1
试求这两组观测值的中误差。 解：这两组观测值中误差计算如下：
9
179°59ˊ58" +2
4
180°00ˊ03" -3
9
24
72
中误差
m1 2 2.7 n
第二组观测
观测值l
Δ
Δ2
180°00ˊ00" 0
0
159°59ˊ59" +1
1
180°00ˊ07" -7 49
180°00ˊ02" -2
4
180°00ˊ01" -1
1
179°59ˊ59" +1
按观测值的真误差计算中误差
次序
1 2 3 4
5
6 7 8 9 10 Σ||
第一组观测
观测值l
Δ
Δ2
180°00ˊ03" -3
9
180°00ˊ02" -2
4
179°59ˊ58" +2
4
179°59ˊ56" +4
16
180°00ˊ01" -1
1
180°00ˊ00" 0
0
180°00ˊ04" -4
16
179°59ˊ57" +3
第二讲 衡量精度的指标
2）极限误差
误差落在 ( , ) 、(2 ,2 )和 (3 ,3 ) 的概率分别 为：
P( ) 68.3% P(2 2 ) 95.5% P(3 3 ) 99.7%
P( ) 68.3%
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第二讲 衡量精度的指标
例1 观测了两段距离，分别为1000m±2cm和 500m±2cm。问：中误差是否相等？它们的相对 精度是否相同？
解：这两段距离中误差是相等，均为±2cm。 它们的相对精度不相同，前一段距离的相对中误 差 为 2/100000=1/50000 ， 后 一 段 距 离 的 相 对 中 误差为2/50000=1/25000。第一条边精度高。 角度元素没有相对精度。
衡量精度的指标有很多种，下面介绍几种常用 的精度指标。
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第二讲 衡量精度的指标
2、衡量精度的指标
1）方差和中误差
误差Δ的概率密度函数为：
方差定义：
f ()
1
2
e 2 2
2
1
2
32 22 42 22 02 42 32 22 32 12 2.7 10
02 12 72 22 12 12 82 02 32 12 3.6 10
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定测量成果的精度。 5. 偶然误差的数学期望（真值）为零。
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第二讲 衡量精度的指标
1、概述 精度：是指误差分布的密集或离散的程度，也就 是观测值与数学期望的接近程度。 误差分布相同，观测成果的精度相同；反之，若 误差分布不同，则精度也就不同。 从直方图来看，精度高，则误差分布较为密集， 图形在纵轴附近的顶峰则较高，且由长方形所构成 的阶梯比较陡峭； 精度低，则误差分布较为分散，在纵轴附近顶峰 则较低，且其阶梯较为平缓。这个性质同样反映在 误差分布曲线的形态上。
2 D() E(2 ) 2 f ()d
E(2 )
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第二讲 衡量精度的指标
就是中误差：正态分布曲线具有两个拐点，它
们在横轴上的坐标为，X拐 x ，对于偶然误差，拐
点在横轴上拐 ，其大小可以反映精度的高低
，所以常用中误差作为衡量精度的指标。
对于离散型： 2 D() E(2 ) (E()) 2
E(2 ) lim
n n
方差和中误差的估值：
ˆ 2 ˆ
n
n
lim
P( 2 ) 95.5%
P(
3
)
99.7%
一般以二倍中误差作为偶然误差的极限值 限 2
，并称为极限误差。
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第二讲 衡量精度的指标
3）相对误差 对于某些长度元素的观测结果，有时单靠中误差 还不能完全表达观测结果的好坏 。 相对中误差，它是中误差与观测值之比 。 在测量中一般将分子化为1，用 1 N 表示。
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上节内容回顾
1. 观测值都是含有误差的，测量误差分为系统误差和偶 然误差，除此之外还有粗差；
2. 测量平差所处理的观测值是仅含有偶然误差的观测值； 3. 偶然误差服从正态分布，且具有四个规律特性； 4. 测量平差的两大任务：求出观测量的最可靠结果，评
真值为：180°
第二组观测
观测值l
Δ
Δ2
180°00ˊ00"
159°59ˊ59"
180°00ˊ07"
180°00ˊ02"
180°00ˊ01"
179°59ˊ59"
179°59ˊ52" 180°00ˊ00" 179°59ˊ57" 180°00ˊ01"
m2
2 n
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第二讲 衡量精度的指标
为了衡量观测值的精度高低，可以把在一组相 同条件下得到的误差，用组成误差分布表、绘制直 方图或画出误差分布曲线的方法来比较。
在实用上，是用一些数字特征来说明误差分布 的密集或离散的程度，称它们为衡量精度的指标。
按观测值的真误差计算中误差
次序
1 2 3 4
第一组观测
观测值l
Δ
Δ2
180°00ˊ03"
180°00ˊ02"
17980°00ˊ01"
6
180°00ˊ00"
7
180°00ˊ04"
8
179°59ˊ57"
9
179°59ˊ58"
10
180°00ˊ03"
Σ||
中误差
m1 2 n
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第二讲 衡量精度的指标
小结 1. 精度的概念
2. 衡量精度的指标：方差和中误差、极限 误差、相对中误差。
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