误差分布与精度指标

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误差分布与精度指标

误差分布与精度指标

误差分布与精度指标引言:在数据分析和机器学习中,误差(error)是常见的概念。

误差分布是指一个或多个误差值在一定范围内的分布情况,精度指标则是用来衡量机器学习模型或数据分析结果的准确性和精确性的度量。

正确理解和评估误差分布和精度指标对于数据科学的实践和决策具有重要的意义。

一、误差分布误差分布是指在数据分析或机器学习过程中,模型预测值与真实值之间的差距的分布情况。

具体来说,误差可以表示为预测值减去真实值的差异。

常见的误差分布包括正态分布、均匀分布等。

误差分布的形状和特点直接影响了模型的性能和结果的可靠性。

对于机器学习模型来说,误差分布的形状决定了模型的偏差和方差。

偏差表示模型的平均预测值距离真实值的偏离程度,方差表示模型的预测值在不同训练集上的波动性。

在理想情况下,我们希望模型的误差分布是零均值和方差较小的正态分布,即偏差较小且稳定可靠。

误差分布的形状还与模型的表达能力和特征工程密切相关。

模型表达能力越高,误差分布越可能逼近理想的正态分布。

同时,好的特征工程可以使估计误差分布更接近真实的数据分布,从而提高模型的准确性和稳定性。

二、精度指标精度指标是用来衡量机器学习模型或数据分析结果的准确性和精确性的度量。

不同的任务和场景会有不同的精度指标。

1.分类问题的精度指标对于分类问题,常用的精度指标包括准确率(accuracy)、精确率(precision)、召回率(recall)和F1-score等。

-准确率是指分类正确的样本数占总样本数的比例,可以直观地衡量分类模型的准确性。

-精确率是指模型预测为正类的样本中实际为正类的比例,用于评估模型预测的精确性。

-召回率是指实际为正类的样本中,模型预测为正类的比例,用于评估模型的查全率。

- F1-score是精确率和召回率的调和平均值,综合考虑了精确性和查全率。

这些指标可以帮助我们了解模型的分类能力,并可以根据实际需求进行选择和调整。

2.回归问题的精度指标对于回归问题,常用的精度指标包括均方误差(Mean Squared Error,MSE)、均方根误差(Root Mean Squared Error,RMSE)、平均绝对误差(Mean Absolute Error,MAE)等。

第二章 误差分布与精度指标

第二章  误差分布与精度指标
2 2


DXX E X E( X )X E( X )

T

§2.1

正态分布
正态分布曲线的性质:
1、曲线关于 x=u 对称; 成反比; 2、当x=u时,f(x)具有最大值,且与 3、当X离 u越远,f(x)的值越小; 4、曲线x=u± 处有拐点; 5、 越小,曲线顶点越高,曲线形状越陡峭
§2.4 方差—协方差阵
三、互协方差阵:
Y X 观测值向量 n 关于 的互协方差阵: 1 n1
nm

DXY E X E ( X )Y E (Y ) E X Y
T


T

x1 y 2 x2 y2 xn y 2 x1 y m x2 y m xn ym
逆矩阵的性质:
(1)( AB) B A (2)( A ) A 1 T 1 1 T (3)( I ) I (4)( A ) ( A ) (5)对称矩阵的逆仍为对称矩阵。 (6)对角矩阵的逆仍为对角矩阵且:
1 1 1
1 1
A (diag (a11, a22 , ann )) 1 1 1 diag ( , ) a11 a22 ann



x2
xn

§2.4 方差—协方差阵
观测值向量 X的自协方差阵DXX:
n1
DXX特点: 对称可逆方阵 主对角线上元素为 对应观测值的方差; 非主对角线上元素 为对应两个观测值 的协方差
E (2x1 ) E ( x1 x2 ) E (2x2 ) E ( x2 x1 ) E ( x x ) E ( x x ) n 1 n 2

数据的误差与精度分析

数据的误差与精度分析

数据的误差与精度分析数据的准确性对于各行各业都是至关重要的。

在科学研究、工程设计、经济分析等领域,我们需要确保所采集和使用的数据具有高度的精确性和可靠性。

然而,由于各种因素的影响,数据往往会存在一定的误差。

因此,对数据的误差和精度进行分析和评估就变得尤为重要。

一、数据的误差来源数据的误差来源主要包括系统误差和随机误差。

系统误差是由于系统的固有缺陷或不完善而引起的,例如仪器的漂移、环境的影响、操作者的技术水平等。

随机误差则是由一系列不可控因素引起的,例如测量仪器的精度限制、测量结果的波动等。

二、误差的分类与描述误差可以根据其产生的原因和性质进行分类。

常见的误差分类包括绝对误差、相对误差和百分比误差。

绝对误差是指测量结果与真实值之间的差别,用来描述测量结果的准确度。

相对误差是指绝对误差与真实值之比,可以反映测量结果的精度。

百分比误差是指相对误差乘以100%得到的值,常用于表示误差的百分比。

三、误差分析方法误差分析是对数据误差和精度进行评估和分析的过程。

常用的误差分析方法包括:1. 误差传递分析:通过分析每个测量步骤中的误差来源和传递关系,确定整个测量过程中的误差产生机制,并计算其累积误差。

这种方法适用于复杂的测量系统和多步骤的测量过程。

2. 统计分析:通过对多次重复测量数据的统计处理,得到数据的平均值、标准差和置信区间等指标,从而评估测量数据的精度和可靠性。

统计分析方法可以有效地抑制随机误差对测量结果的影响。

3. 标准曲线法:通过制备一系列已知浓度的标准溶液,测量其吸光度或其他性质,构建标准曲线,从而通过测量样品的吸光度或其他性质,确定其浓度。

这种方法适用于分析化学和生物化学等领域。

四、提高数据精度的方法为了提高数据的精度,我们可以采取以下措施:1. 使用优质仪器和设备:选择具有较高精度和准确度的仪器设备,减小系统误差的影响。

2. 校正和校准:定期进行仪器的校正和校准,确保其工作状态良好,并减小测量结果的偏差。

第二章误差分布与精度指标

第二章误差分布与精度指标

第二章误差分布与精度指标在机器学习中,通过建立模型来预测目标变量或进行分类的过程中,会产生误差。

误差分布是指在不同的预测结果中,误差值的分布情况。

误差分布的分析和评估对于理解模型的表现和改进模型的精度都至关重要。

因此,本章将介绍误差分布的基本概念和精度指标的计算方法。

1.误差分布的基本概念在机器学习中,误差是指模型预测结果与真实值之间的差异。

具体来说,误差可以用公式表示为e = y - y_hat,其中e表示误差,y表示真实值,y_hat表示模型的预测值。

误差分布是指在一组预测结果中,误差值的分布情况。

通常来说,我们可以通过观察误差分布来判断模型的表现是否良好,以及可能存在的问题。

例如,如果误差分布呈现正态分布,则说明模型的预测结果与真实值的差别符合正态分布的规律,这可能意味着模型的表现较好;如果误差分布呈现偏态分布,则说明模型的预测结果在一些方向上存在较大的偏差,这可能意味着模型存在一定的问题。

2.精度指标的计算方法为了评估模型的表现和对比不同模型之间的优劣,我们需要引入一些精度指标。

下面介绍几个常用的精度指标及其计算方法:- 平均绝对误差(MAE)是最简单和最直观的误差度量方法。

它表示了预测结果与真实值之间的平均差异,计算公式为: MAE = 平均(,y - y_hat,)。

对于MAE来说,数值越小表示模型的表现越好。

- 均方误差(MSE)是一个比较常用的精度指标。

它表示了预测结果与真实值之间的均方差,即差异的平方的平均值,计算公式为:MSE = 平均((y - y_hat)^2)。

对于MSE来说,数值越小表示模型的表现越好。

- 均方根误差(RMSE)是MSE的平方根,计算公式为:RMSE =sqrt(MSE)。

与MSE类似,RMSE的数值越小表示模型的表现越好。

-决定系数(R^2)是用来描述模型对样本数据的解释能力的指标,计算公式为:R^2=1-(SSR/SST),其中SSR代表回归平方和,SST代表总平方和。

衡量精度的标准

衡量精度的标准

1 20000
谢谢观看
次序
1 2 3 4
第一组观测
观测值l
Δ
Δ2
180°00ˊ03"
-3
9
180°00ˊ02"
-2
4
179°59ˊ58"
+2
4
179°59ˊ56"
+4
16
5
180°00ˊ01"
-1
1
6
180°00ˊ00"
0
0
7
180°00ˊ04"
-4
16
8
179°59ˊ57"
+3
9
9
179°59ˊ58"
+2
4
10
180°00ˊ03"
4
180 00 00
5
179 59 56
+4
5
180 00 01
6
179 59 57
+3
6
179 59 53
7
180 00 02
-2
7
179 59 59
8
180 00 01
-1
8
180 00 00
9
179 59 58
+2
9
180 00 03
10
180 00 04
-4
10
180 00 01
真误差Δ ″
m1 m2 ,说明第一组的精度高于第二组的精度。
说明:中误差越小,观测精度越高
中误差
练习:按观测值的真误差计算中误差
次序
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 Σ||

误差理论与平差基础-第2章 误差分布与精度指标

误差理论与平差基础-第2章 误差分布与精度指标

一、偶然误差特性
1、偶然误差
f ()
1 1 1 2
f ( )
1 1 exp 2 ( ) 2 2 2
2 2

参数 和 2 分别是随机误差 的数学期望和方差。它们 确定了正态分布曲线的形状。
1 n i 0 对于随机误差: E () lim n n i 1
三、精度估计的标准
中误差、平均误差和或然误差都可以作为衡量精
度的指标,但由于:
中误差具有明确的几何意义(误差分布曲线的拐点
坐标)
平均误差和或然误差都与中误差存在理论关系
所以,世界上各国都采用中误差作为衡量精度的指
标,我国也统一采用中误差作为衡量精度的指标。
三、精度估计的标准
4、容许误差(极限误差)
定义:由偶然误差的特性可知,在一定的观测条件下,偶然误 差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许( 极限)误差。
P(| | ) 68.3% P(| | 2 ) 95.5% P(| | 3 ) 99.7%
测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差;
即Δ容=2m 或Δ容=3m 。
m1 m2,说明第一组的精度高于第二组的精度。
说明:中误差越小,观测精度越高
三、精度估计的标准
2、平均误差
在一定的观测条件下,一组独立的真误差绝对值的数学 期望称为平均误差。 [| |] E (| |) lim n n
4 0.7979 5
三、精度估计的标准
1、中误差
解:第一组观测值的中误差:
0 2 2 2 12 (3) 2 4 2 32 (2) 2 (1) 2 2 2 (4) 2 m1 2.5 10

测绘技术中的误差分析与精度评定

测绘技术中的误差分析与精度评定

测绘技术中的误差分析与精度评定导语:测绘技术是现代社会不可或缺的一项重要技术,它在国土规划、城市建设、交通运输等方面起着至关重要的作用。

然而,在测绘过程中会不可避免地产生一定的误差,这就需要进行误差分析和精度评定,以保证测绘结果的准确性和可靠性。

一、误差类型及产生原因测绘过程中的误差可分为系统误差和随机误差两种类型。

系统误差是指由某种规律或偏差引起的误差,例如仪器偏差、人为因素等;而随机误差则是不规律的、偶然的误差,如环境因素、测量操作等。

1.1 仪器误差测绘中使用的仪器往往会存在一些误差,如精度不高、零点漂移等问题。

这些误差会直接影响到测绘结果的准确性。

1.2 人为误差人为因素是测绘误差的主要原因之一。

例如测量员的操作不严谨、不规范,或者受到主观因素的影响导致的误差等。

1.3 环境误差环境因素对测绘误差的影响也不能忽视。

例如天气、地形、地貌等因素都可能对测绘结果产生一定的影响。

二、误差分析方法误差分析是指通过一系列的方法和技术手段,对测绘中产生的误差进行分析和判断,找出误差的规律和影响因素,为进一步的精度评定提供依据。

2.1 内容分析法内容分析法是一种定性的误差分析方法,主要通过对测绘数据的比对和研究,找出与真实情况不符的地方,并分析产生这些误差的原因。

2.2 数理统计法数理统计法是一种定量的误差分析方法,通过对测绘数据进行统计和分析,可以得出误差的一些基本指标,如平均误差、标准差等,更为客观地评估测绘结果的准确性。

2.3 数学建模法数学建模法是一种较为复杂的误差分析方法,通过建立误差模型,将各种误差因素纳入考虑,进而对误差进行分析和预测。

三、精度评定标准精度评定是指对测绘结果进行准确性的评定,以确定测绘数据是否符合要求。

根据测绘的具体应用领域和要求,确定相应的精度评定标准非常重要。

3.1 绝对精度评定绝对精度评定是指将测绘结果与已知准确数据进行比对,计算出其误差范围,评估其准确性。

3.2 相对精度评定相对精度评定是指对测绘成果内部的误差进行评估,即在同一测区内,通过比对不同测量点之间的误差,来评定测绘的相对精度。

测量误差分析与精度评定中的最小二乘法原理与应用

测量误差分析与精度评定中的最小二乘法原理与应用

测量误差分析与精度评定中的最小二乘法原理与应用引言:在科学研究和工程实践中,准确测量和评定误差的大小是至关重要的。

而最小二乘法则是一种常用的数据处理方法,用于识别和分析测量误差,并对测量精度进行评定。

本文将介绍最小二乘法的原理和应用,以期帮助读者更好地理解和运用该方法。

一、最小二乘法原理最小二乘法是一种通过最小化测量残差平方和来确定最优拟合曲线或其他模型参数的方法。

其基本原理是找到一组参数,使得模型预测值与实际观测值之间的误差平方和最小化。

这样做的目的是尽量减小误差的影响,提高测量结果的精度。

二、最小二乘法应用最小二乘法广泛应用于各种领域,例如物理学、工程学、经济学等。

以下是几个常见的应用案例:1. 直线拟合最小二乘法可以用于拟合一条直线,以确定直线的斜率和截距。

通过将观测点到拟合直线的垂直距离的平方和最小化,可以获得最佳拟合直线。

2. 曲线拟合最小二乘法也可以用于拟合曲线,以确定曲线的方程和参数。

通过最小化观测点到拟合曲线的垂直距离的平方和,可以找到最佳拟合曲线。

3. 数据平滑有时,测量数据中包含一些噪声或随机误差,这可能会影响对数据的分析。

最小二乘法可以用于数据平滑,通过拟合一个平滑曲线来消除噪声或误差的影响,从而得到更可靠的结果。

4. 变量选择在一些实验设计和数据分析中,为了简化模型和减少计算量,需要选择最为重要的变量。

最小二乘法可以通过评估变量的贡献程度来选择最相关的变量,从而建立一个更简化的模型。

三、最小二乘法误差分析最小二乘法不仅可以用于拟合和参数估计,还可以用于误差分析。

通过对残差进行统计分析,可以获得有关测量误差的重要信息。

以下是几种常见的误差分析方法:1. 观测误差分布分析最小二乘法可以通过统计方法来分析观测误差的分布特性,比如均值、方差等。

这有助于确定测量误差的大小和分布情况。

2. 置信区间估计最小二乘法可以根据残差的分布情况,进一步估计参数的置信区间。

这有助于评估参数估计的精度和可靠性。

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测绘工程专业基础核心课程
误差理论与测量平差基础
Error Theory and fundation of surveying Adjustment
韦建超 湖南科技大学建筑学院
第二章:误差分布与精度指标
1 §1 概述 2 §2 偶然误差的规律性 3 §3 随机变量的数字特征
4 §4 精度、准确度和精确度
8
§2.偶然误差的规律性
对闭合差结果作以下处理,以分析其规律:
误差区间( ″)
0.0~0.2 0.2~0.4 0.4~0.6 0.6~0.8 0.8~1.0 1.0~1.2 1.2~1.4 1.4~1.6 1.6″以上
Σ
负误差
个数
频率
45
0.126
40
0.112
33
0.092
23
0.064
17
0.047
Δ
13
i /n d
Δ
➢有界性 ➢渐降性 ➢对称性 ➢补偿性
14
1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1.2 -1.4 -1.6 -1.8
§2.偶然误差的规律性
⊿服从参数N(0,σ2)的正态分布。
偶然误差的四个特性
2 22 e
22
§5.精度评定
一. 衡量观测值精度 ➢组成误差分布表 ➢绘制直方图 ➢画出误差分布曲线
-1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0 +0.4 +0.8 +1.2 +1.6
-2.4 -2.0 -1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0 +0.4 +0.8 +1.2 +1.6 +2.0 +2.4
23
0.072
11
0.031
6
0.017
0
0.000
358
1
9
§2.偶然误差的规律性
10
Δ 11
频率/组距
频率
i /n
d
§2.偶然误差的规律性
1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 - 0.2 - 0.4 - 0.6 - 0.8 -1 - 1.2 - 1.4 - 1.6 - 1.8
绝对值小的偶然误差比绝对值大的偶然误 差出现的可能性大(渐降性);
绝对值相等而符号相反的偶然误差出现的 可能性大致相等(对称性);
i /n
总误差的代数和趋于零(抵偿性)。
d
1
lim n n
n i1
i
0
偶然误差的四个特性
1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1.2 -1.4 -1.6 -1.8
ˆ 2 []
n
[ ] 2 1 2 2 2 n
27
§5.精度评定
二、方差和中误差
方差:ˆ 2 []
n
中误差:ˆ
n
①各真误差必须对应同一测量条件。
②可将表示测量条件的中误差附于观测值之后。
注 意
如:
5 3 0 4 3.6 2 1 .8 25 .48 m 52mm
“±”并不代表该误差范围,而是测量上约定
33
37
§5.精度评定
有关几种精度指标的小结
①用 ˆ 、ˆ 或 ˆ 估计精度,只有当观
测值较多时,结果才可靠。 ②由一系列观测结果所求得的中误差,反
映了该观测系列的测量条件,它是每一个 观测值的中误差,也是相同测量条件下其 它观测值的中误差。
38
§5.精度评定
③当观测值个数n不大时,用中误差估计精 度更为可靠、灵敏一些。
>2.60
和 和
1270
1136 6…… 4 1 0 1081 210
0.0487
00..003386 …0.…017 0.011 0.002 0 00.505 0.499
00..224305
1166
00..119800
1133
…0.…08. 5
…5…
0.055
2
0.010
2
0
0
0
0177
211
00.0.04435
§2.偶然误差的规律性 i /n
d Δ 12
1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 - 0.2 - 0.4 - 0.6 - 0.8 -1 - 1.2 - 1.4 - 1.6 - 1.8
§2.偶然误差的规律性
在一定的观测条件下,偶然误差的绝对值不会超过一定的限值(有限性);
④中误0.差5 与0.平9 均1.1误差1.3和1或.4然2误.0差4之.0间存在着 确定的ˆ函1.3数关系ˆ 。1.2并且在ˆ 误1.2差曲线上中误 差具有明确的几何意义。 ˆ1.9 ˆ 1.6 ˆ 1.3
2
P f d
1
f
§2.偶然误差的规律性
15
§3.随机变量的数字特征
1.数学期望
总体分布
——反映随机变量集中位置 的数字特征

数字特征


16
§3.随机变量的数字特征 2.方差
——反映随机变量偏离集中位置 的离散程度
➢数理统计定义随机变量X的方差
➢观测值L和偶然误差△均为随机变量,其方差为:
果 L 与其真值 L~ 的接近
程度;

包含观测结果与其数 学期望接近程度和数学期 望与其真值的偏差。

(2)特征:精确度反 映了偶然误差和系统误差 联合影响的大小程度。

21
§5.精度评定
345281个 个三 三角 角形 形内 内角 角和 和闭 闭合 合差 差
误区误区一差间差间 、衡— 个— 个量数数△△KK观测频频值率率KK精//nn 度(K(K//nn))//dd△△
§5.精度评定
一. 衡量观测值精度
f(Δ)
f(Δ)
Δ
Δ
左图误差分布曲线陡峭,对应的精度高 右图误差分布曲线平缓,对应的精度低
24
§5.精度评定
一. 衡量观测值精度 给出确定的数值,用以表示一定测量条件下测量
结果的精度,即为精度评定。
注意:
①只有从误差的总体分布中,才能得出反映测量 结果精度的真实数据。
对值的数学期望称为平均误差,记作 。
E ( ) f( )dlim
n n
平均误差是一组独立偶然误差
ˆ
绝对值的算术平均值。
32
三、平均误差
§5.精度评定
平均误差与中误差的关系:
20.797954,
1.2535
2
4
可见,同一测量条件下, 与
有着完全确定的关系,对应着相同的误差
分布曲线。因此,也可用平均误差作为精
出两台经纬仪观测值的中误差并比较精度高低。
50o33'54.1''
30
§5.精度评定
二、方差和中误差
第一台经纬仪
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
观测值L 50°33′52.6″
54.8 53.6 55.0 52.2 53.8 54.7 58.1 56.2
Δ -1.5 +0.7 -0.5 +0.9 -1.9 -0.3 +0.6 +4.0 +2.1
00.0.04306 …0….014 0.006 0.005 0 00.495 0.501
(K/n)/d△ (K/n)/d△
00.4.64400 00.4.52755 00.3.44650
00.3.22905
00.2.21255 00.2.10800 …0….070 0.030 0.0025 0 0
度估计的标准。
33
§5.精度评定
三、平均误差
编号
第一台经纬仪
观测值L
Δ
例 2: 以 例 1 中 第 一台经纬仪数据
1 50°33′52.6″
2
54.8
3
53.6
-1.5 +0.7 -0.5
为例,求观测值
4
55.0
5
52.2
+0.9 -1.9
的平均误差。
6
53.8
7
54.7
-0.3 +0.6
8
58.1
编号 观测值L
1 50°33′52.6″
2
54.8
Δ
-1.5 +0.7
观测值的或然误差。
3
53.6
4
55.0
-0.5 +0.9
5
52.2
-1.90.3 0.5 0.6 0.7 0.9 781.5 1.55948..71 2.1 4.0++04..60
ˆ 0.9
ˆ2ˆ9 215.67.2 7 1.18+2.1
17
§4.精度、准确度与精确度 基本概念
精度: 观测值与其数学期望的接近程度
准确度: 观测值数学期望与其真值的接近程度
精确度: 观测值与其真值的接近程度
18
§4.精度、准确度与精确度
基本概念
1. 精度
(1)定义:描述误差分
布的密集或离散程度,即离
散度的大小;

精度表示的是观测值
与其数学期望的接近程度。
3331
00..007942
00..347600
3333
00.0.06992
00..6600~~00..8800
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