02 第二章 精度指标与误差传播
第二章：精度指标与误差传播内容及学习要求本章详细讨论偶然误差分布的规律性，衡量精度的绝对指标－中误差，相对指标－权及其确定权的实用方法；方差、协因数定义及其传播律等问题。
本章内容是是测量平差的理论基础，也是本课程的重点之一。
学习本章要求深刻理解精度指标的含义，掌握权、协方差、协因数概念，确定权及根据已知协方差、协因数的观测值求其函数的方差、协因数的方法（协因数、协方差传播律）。
§2-1概述概括本章内容，其主线是偶然误差的统计规律→衡量单个随机变量的精度指标－方差→衡量随机向量的精度指标－协方差阵→求观测值向量函数的精度指标－协方差传播律→精度的相对指标-权。
§2-2偶然误差的规律性本小节阐述偶然误差的统计规律性，提出偶然误差服从正态分布的结论任何一个观测值，客观上总是存在一个真正代表其值的量，这一数值就称观测值的真`值。
从概率统计的观点看，当观测量仅含偶然误差时，真值就是其数学期望。
某一随机变量的数学期望为：ini ip x X E ∑==1)( 或 ⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(期望的实质是一种理论平均值,可用无穷观测,以概率为权,取加权平均值的概念理解.dx x f )(表示x 出现在小区间dx 的概率。
设对n 个量进行了观测，观测值为。
、、、n L L L ⋅⋅⋅21其相应的真值分别为。
、、、n L L L ⋅⋅⋅21令i i i i L L ∆-=∆，即真误差。
由于假定测量平差所处理的观测值只含偶然误差，所以真误差i ∆就是偶然误差。
用向量形式表述为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅=⨯n b L L L L 211、⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯n n L L L L..211、⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆∆=∆⨯n n .211 则有：111⨯⨯⨯-=∆n n n L L注意：本教程中凡是不加说明，即没有下标说明的向量都是列向量，若表示行向量则加以转置符号表示，如：TTTB A L 、、等。
对单个的偶然误差而言，大小和符号都没有规律，及事先完全不可预知。
但从大量测量实践中知道，在相同的观测条件下，偶然误差就总体而言，有一定的统计规律，表现为如下几点：1、 误差绝对值有一定限值2、 绝对值小的比大的多3、 绝对值相等的正负误差出现的个数相等或接近。
教材中分别列举两个实例，以358和421个三角形闭合差的分析结果验证了上述结论（闭合差是理论值与观测值之差，故是真误差）。
注意：统计规律只有当有较多的观测量时，才能得出正确结论。
为了形象地刻画误差分布情况，以横坐标表示误差的大小，纵坐标采用单位区间频率（出现在某区间内的频率，等于该区间内出现的误差个数i v 除误差总个数n ，而采用单位频率iind V ∆为纵坐标值，使曲线（直方图）趋势不因区间间隔不同而变化）。
根据统计规律可知，在相同条件下所得一组独立观测值，n 足够大时，误差出现在各个区间的频率总是稳定在某一常数（理论频率）附近，n 越大；稳定程度越高。
n 趋于∞，则频率等于概率（理论频率）。
令区间长度0→∆d ，则长方条顶形成的折线变成光滑曲线，称概率曲线。
由其曲线特征知，这是正态分布曲线。
于是得到结论：偶然误差服从正态分布，或偶然误差的频率分布，随n 逐步增大，以正态分布为极限。
说明了偶然误差服从正态分布后，可进一步用概率术语来概括偶然误差的几个特性。
1、 在一定条件下，超过一定限值的误差出现的概率为0 2、 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大 3、 绝对值相等的正负误差出现的概率相等 4、 偶然误差的数学期望等于0前3个特性本质上与前述3个统计特性相同，后者仅仅是观测值个数无穷大时的理想状态下，以偶然误差的极限分布-正态分布的特征来描述同样的特性而已。
第四个特性从正态分布曲线以过0点的竖直轴为对称轴来看，是很自然的。
§2-3衡量精度的指标本小节阐述误差概念及几种精度指标 对一系列观测值而言，不论其观测条件如何，也不论是对同一量还是不同量进行观测，只要这些量是在相同条件下独立观测的，则产生的一组偶然误差必然具有上述4个特性。
如前所述，偶然误差服从正态分布，其概率密度函数为：222222))((2121)(σσσπσπ∆-∆-∆-==∆e ef E 或记为：∆~），（20σN 。
根据概率密度函数可见，最大值为σπ21)0(=f 。
其大小与σ成反比，由于对于一个必然事件，概率值为1，即概率密度曲线与横轴围成的面积值为1，因而f(0)越大，概率密度曲线形状越陡峭，反之则越平缓。
而σ小则f(0)大，σ大则f(0)小，所以σ决定了曲线的形状，σ为方差的平方根，称标准差，其估值在测量平差中称为中误差。
对于形状陡峭的图形，很显然随着误差绝对值的加大，概率值迅速地减小，也可说偶然误差更集中地分布在真值（0）附近，称误差分布离散度小、反之，对于形状平缓的图形，偶然误差分布较为分散，或者说离散度大。
不难理解，离散度小时，对应的观测值质量较好，或说精度高。
反之，离散度较大时，对应的观测值质量较差，精度较低。
由此可见，精度又可以定义为误差分布的离散程度。
两个（组）观测值对应的误差分布相同，则称同精度观测值，同理若误差分布不同，则是精度不同。
在相同观测条件下进行多个观测量的观测，各观测量对应同一种误差分布，各观测值都是同精度观测值。
注意：同精度观测值不等于真误差相同，这是因为真误差不可知，因而不可能以真误差大小定义精度，我们只能定义观测条件相同，精度相同。
所以对应于同一种误差分布的各观测值，尽管真误差不同，但都称为同精度观测值。
由于用观测值对应的误差分布来衡量精度高低，麻烦而且困难，测量上采用能描述其误差分布离散程度的数字指标作为衡量精度的指标。
下面介绍几种常见的精度指标。
一、方差和中误差方差即真误差平方的理论平均值，表达式为：∆∆∆=∆=∆=⎰∞∞-d f E D )(222）（）（σ。
（0=∆）（E ）如前所述，σ决定误差分布曲线的形状，反映误差的离散程度，所以可作为精度指标。
此外，根据方差的定义，可见方差实际上是偶然误差平方的理论平均值，或者说是以概率值为权，无穷观测条件下的加权幂平均。
对等精度的观测值而言，方差的计算可按下式进行：∑∑∑⎰=∞→=∞→=∞→∞∞-∆=∆=∆∆∆=∆∆∆=nk kn Nk k kn k k nk kn n n V d f d f 12)3(12)2(12122lim lim )(lim )(）（σ 。
（A ） 对于观测值有限的实际情况：只能求得标准差的估值中误差 n ][∆∆=∧σ。
今后不再区分标准差和中误差，统称中误差，用σ表示。
注意公式（A ）中等号（1）根据定积分的定义，在n →∞,0→∆k d 时成立。
等号（2）成立是根据观测值数（样本数）n →∞时，频率即等于概率的原理，用n V K代替了k k d f ∆∆)(，等号右边累计号∑上限大写N ，是划分的区间数。
等号（3）成立是将nVK 展开的结果，如果将n 1解释为每个误差出现的概率，不等于绝对值大小的误差出现的机会相同（概率相等），因为较小的k ∆出现的次数较多。
二、平均误差在一定的条件下，一组独立的偶然误差绝对值的数学期望称平均误差，设以θ表示，则有：∆∆∆=∆=⎰∞∞-d f E )(）（θ. 同理可有：[]nn ∆=∞→limθ定义中一定条件下，在这里实指消除了系统误差法的相同观测条件下。
独立的偶然误差指各个误差的大小、符号互不影响，一般而言，独立观测，误差独立。
对照中误差是偶然误差平方的理论平均值的算术根，知平均误差与中误差定义的出发点都是避免偶然误差直接取理论平均值为0，下式可以证明两者之间存在固定的比例关系：σπσπσπσπθσσσ222212)(2)(0202202222=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=-=∆∆=∆∆∆=∆∆∆=∞∆-∞∆-∆-∞∞∞∞-⎰⎰⎰⎰e ded ed f d f可见两种精度指标是完全等价的，即分别用两种精度指标衡量观测值及其函数的精度，结果相同。
同理，在观测数有限的情况下，也只能得到平均误差的估值。
三、或然误差ρ或然误差ρ又称概率误差，其定义为：在一定的观测条件下，偶然误差落入对称区间（-ρ，ρ）中的概率为二分之一，即：21)()(=∆∆=≤∆≤-⎰-ρρρρd f P 显然，对于陡峭的误差曲线，给定概率值为1/2的条件下，ρ 较小，反之则较大。
所以ρ 也能较好地反映精度的高低。
令,t =∆σ则有：dt d t σσ=∆=∆,.dt ed et 22222121--∆--⎰⎰=∆σρσρσρρππ.t 是服从标准正态分布的随机变量。
根据标准正态分布概率积分表可得：ρσσ326750.0≈≈.由此可见,或然误差与中误差也存在固定的比例关系,所以作为衡量精度的指标,理论上是等价的。
同样地,由于观测值数量有限,不可能求得或然误差.实用上是将偶然误差按绝对值大小排序,n 为奇数时取中间值，n 为偶数时取中间两个的平均值作为ρ的估值。
理论上三种精度指标是等价的，但当n 不够大时，精度估值均不太不可靠。
实践表明∧σ对较大真误差的影响较为灵敏，目前世界各国都采用∧σ作为衡量精度的指标。
四、极限误差极限误差本身不是一种误差指标，而是在一定观测条件下，以中误差为标准确定的，不大可能出的误差绝对值。
根据标准正态分布概率积分表，∆落入区间（-σ，σ）、（-2σ，2σ）、（-3σ，3σ）的概率分别为：68.3%、95.5%、99.7%。
由此可见，出现绝对值大于2-3倍中误差的偶然误差属于小概率事件。
通常小概率事件在实践中被认为是不大可能发生的，所以在测量工作中，通常根据实践确定中误差的估值，而以二倍或三倍中误差作为外业成果检核的标准，超过即视为不合格。
如三角测量时以三角形闭合差超过一定限值视为不合格等五、相对误差同样的，相对误差严格说也不是一种精度指标，而是观测值或其函数值的中误差作分子、观测值或其函数值作分母的比值。
一般而言，一些与长度有关的观测值或其函数值，单纯用中误差还不能区分出精度的高低，所以常用相对误差。
相对误差没有单位，测量中一般将分子化为1，即用N1表示。
对应的，真误差、中误差、极限误差等都是绝对误差。
§2-4协方差传播律本小节阐述由观测值（随机向量）的方差－协方差矩阵求观测值函数的方差－协方差的问题，即定义观测值向量与其函数的方差协方差矩阵之间的运算关系。
一、协方差设有观测值X 、Y ，X 、Y 都是随机变量，则它们之间的协方差定义为：))}())(({(Y E Y X E X E xy --=σ对于离散型随机变量： ij j n injin xy P Y E Y X E X))())(((lim--=∑∑∞→σij P 是（),j i Y X 同时出现的概率。
28误差传播定律及其应用
误差传播定律及其应用一、误差传播定律前面已经叙述了衡量一组等精度观测值的精度指标，并指出在测算工作中通常以中误差作为衡量精度的指标。
但在实际工作中，某些未知量不可能或不便于直接进行观测，而需要由另一些直接观测量根据一定的函数关系计算出来。
例如，要测量不在同一水平面上两点间的距离D，可以用光电测距仪测量斜距S，并用经纬仪测量竖直角α，以函数关系来推算，显然，在此情况下，函数D的中误差与观测值S及α的中误差之间，必定有一定的关系。
阐述这种函数关系的定律，称为误差传播定律。
下面以一般函数关系来推导误差传播定律。
设有一般函数：（5-3-1）式中：（χ1、χ2、…、χn）为可直接观测的未知量；Z为不便于直接观测的未知量。
设独立观测值为ℓi，其相应的真误差为∆χi。
由于∆χi的存在，使函数Z亦产生相应的真误差∆Z。
将式（5-3-1）取全微分：因误差∆χi及∆Z都很小，故在上式中，可近似用∆χi及∆Z代替dχi及d Z，于是有：（5-3-2）式中：为函数F对各自变量的偏导数。
将χi=ℓi代入各偏导数中，即为确定的常数，设则式（5-3-2）可写成：（5-3-3）为了求得函数和观测值之间的中误差关系式，设想对各χi进行了k次观测，则可写出k个类似于式（5-3-3）的关系式：将以上各式等号两边平方后，再相加得：上式两端各除以k：（5-3-4）设对各χi的观测值ℓi为彼此独立的观测，则∆χi∆χj当i≠j时，亦为偶然误差。
根据偶然误差的第四个特性可知，式（5-3-4）的末项当κ→∞时趋近于零，即：故式（5-3-4）可写成：根据中误差的定义，上式可写成：当κ为有限值时，可写为：（5-3-5）即：（5-3-6）上式即为计算函数中误差的一般形式。
应用上式时，必须注意：各观测值必须是相互独立的变量，而当ℓi为未知量χi的直接观测值时，可认为各ℓi之间满足相互独立的条件。
式（5-3-6）就是一般函数的误差传播定律，利用它不难导出5-3-1所列简单函数的误差传播定律。
误差理论与平差基础-第2章 误差分布与精度指标
一、偶然误差特性
1、偶然误差
f ()
1 1 1 2
f ( )
1 1 exp 2 ( ) 2 2 2
2 2
参数 和 2 分别是随机误差 的数学期望和方差。它们 确定了正态分布曲线的形状。
1 n i 0 对于随机误差： E () lim n n i 1
三、精度估计的标准
中误差、平均误差和或然误差都可以作为衡量精
度的指标，但由于：
中误差具有明确的几何意义（误差分布曲线的拐点
坐标）
平均误差和或然误差都与中误差存在理论关系
所以，世界上各国都采用中误差作为衡量精度的指
标，我国也统一采用中误差作为衡量精度的指标。
三、精度估计的标准
4、容许误差（极限误差）
定义：由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误 差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许（ 极限）误差。
P(| | ) 68.3% P(| | 2 ) 95.5% P(| | 3 ) 99.7%
测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差；
即Δ容=2m 或Δ容=3m 。
m1 m2，说明第一组的精度高于第二组的精度。
说明：中误差越小，观测精度越高
三、精度估计的标准
2、平均误差
在一定的观测条件下，一组独立的真误差绝对值的数学 期望称为平均误差。 [| |] E (| |) lim n n
4 0.7979 5
三、精度估计的标准
1、中误差
解：第一组观测值的中误差：
0 2 2 2 12 (3) 2 4 2 32 (2) 2 (1) 2 2 2 (4) 2 m1 2.5 10
绪论2误差传播定律
智能化技术应用
随着人工智能等技术的 发展，未来误差传播定 律的研究将更加注重智 能化技术的应用，如利 用机器学习等方法进行
误差预测和控制。
实验与理论相结合
未来研究将更加注重实 验与理论的相结合，通 过实验验证理论的正确 性和可靠性，推动误差 传播定律在实际应用中
误差控制
为了控制误差的累积和传播，提高测 量结果的准确性，需要研究和掌握误 差传播规律。
学科发展
随着测量科学和技术的不断发展，对 误差传播规律的研究逐渐深入，形成 了较为完善的理论体系。
02
误差传播定律数学表达式
单一观测值误差传播公式
误差传播定律描述了测量误差在数据处理过程中的传 递规律。对于单一观测值，其误差传播公式可表示为
缺乏统一的理论框架
目前，误差传播定律的研究缺乏统一的理论框架，不同领域和方法 之间的融合不够，限制了其应用范围和效果。
实验验证不足
误差传播定律的实验验证相对较少，缺乏充分的实验数据支持，使 得理论成果在实际应用中的可靠性受到质疑。
未来发展趋势及前景预测
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
跨学科融合研究
输标02入题
$$sigma_y = |f'(x)| cdot sigma_x$$
01
03
该公式表明，函数 $y$ 的误差与 $x$ 的测量误差及 函数在该点的导数有关。当 $|f'(x)|$ 较大时，即使
$sigma_x$ 很小，$sigma_y$ 也可能较大。
04
其中，$sigma_y$ 为函数 $y = f(x)$ 的误差，$f'(x)$ 为函数在点 $x$ 处的导数，程测量中，误差传播定律用 于评估测量结果的可靠性和精度， 指导测量方案的设计和实施。
误差传递的计算方式课件
实际应用中的误差传递实例通过具体 的应用场景和案例分析，强调了误差 传递在解决实际问题中的重要性和实 际意义。
05 误差传递的预防与控制
提高测量精度与准确度
选用高精度测量设备
规范操作
采用高精度的测量设备，可以减少测 量误差，提高测量数据的准确性。
严格按照操作规程进行测量，避免因 操作不当导致测量误差。
。
进行误差传递分析
分析误差来源
对测量过程中产生的误差 进行详细分析，找出误差 的来源和传递途径。
建立误差传递模型
根据误差来源和传递途径 ，建立误差传递模型，为 制定误差控制策略提供依 据。
预测误差影响
根据建立的误差传递模型 ，预测误差对最终结果的 影响，以便采取相应的措 施进行控制。
制定误差控制策略
定期校准设备
定期对测量设备进行校准，确保设备 处于良好的工作状态，提高测量数据 的可靠性。
选择合适的数学模型与方法
根据问题选择合适的数学模型
01
根据实际问题的特点，选择适合的数学模型，使误差传递最小
化。
优化算法
02
采用优化算法，提高计算精度和效率，减少误差传递。
验证模型与方法
03
对所选择的数学模型和方法进行验证，确保其准确性和可靠性
详细描述
二阶误差传递公式是一阶误差传递公式的扩展，它考虑了两个输入变量的变化对 输出变量的影响。二阶误差传递公式通常用于分析非线性系统的误差传播。
高阶误差传递公式
总结词
描述误差传递的数学模型中的高阶误 差传递公式。
详细描述
高阶误差传递公式是更高阶的误差传 递公式，它考虑了多个输入变量的变 化对输出变量的影响。高阶误差传递 公式通常用于分析复杂系统的误差传 播。
误差理论与测量平差基础习题集
第一章绪论§1-1观测误差1.1.01为什么说观测值总是带有误差,而且观测误差是不可避免的？1.1.02观测条件是由哪些因素构成的？它与观测结果的质量有什么联系？1.1.03测量误差分为哪几类?它们各自是怎样定义的?对观测成果有何影响？试举例说明。
1.1.04用钢尺丈量距离，有下列几种情况使量得的结果产生误差，试分别判定误差的性质及符号：（1）长不准确；（2）尺尺不水平；（3）估读小数不准确；（4）尺垂曲；（5）尺端偏离直线方向。
1.1.05在水准测量中，有下列几种情况使水准尺读数带有误差，试判别误差的性质及符号：（1）视准轴与水准轴不平行；（2）仪器下沉；（3）读数不准确；（4）水准尺下沆。
§1-2测量平差学科的研究对象1.2.06 何谓多余观测?测量中为什么要进行多余观测？1.2.07 测量平差的基本任务是什么？§1-3测量平差的简史和发展1.3.08 高斯于哪一年提出最小二乘法？其主要是为了解决什么问题？1.3.09 自20世纪五六十年代开始，测量平差得到了很大发展，主要表现在那些方面？§1-4 本课程的任务和内容1.4.10 本课程主要讲述哪些内容？其教学目的是什么？第二章误差分析与精度指标§2-1 正态分布2.1.01 为什么说正态分布是一种重要的分布？试写出一维随机变量X的正态分布概率密度式。
§2-2 偶然误差的规律性2.2.02 观测值的真误差是怎样定义的？三角形的闭合差是什么观测值的真误差？2.2.03 在相同的观测条件下，大量的偶然误差呈现出什么样的规律性？2.2.04 偶然误差*服从什么分布？它的数学期望和方差各是多少？§2-3 衡量精度的指标2.3.05 何谓精度？通常采用哪几种指标来衡量精度？2.3.06 在相同的观测条件下，对同一个量进行若干次观测得到一组观测值，这些观测值的精度是否相同？能否认为误差小的观测值比误差大的观测值精度高？2.3.07 若有两个观测值的中误差相同，那么，是否可以说这两个观测值的真误差一定相同？为什么？2.3.08 为了鉴定经纬度的精度，对已知精确测定的水平角α=45O00’00”作12次观测，结果为：45o00’06” 44o59’55” 44o59’58” 45o00’04”45o00’03” 45o00’04” 45o00’00” 44o59’58”44o59’59” 44o59’59” 45o00’06” 45o00’03”设α没有误差，试求观测值的中误差。
误差传播定律
应用误差步骤
1.列出观测值函数的表达式 Z=f(x1,x2,...xn) 2.对函数Z进行全微分 Δz=(əf/əx1)Δx1+(əf/əx2)Δx2+...+(əf/əxn)Δxn 3.写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式 mz^2=(əf/əX1)^2m1^2+(əf/əX2)^2m2^2+...+(əf/əXn)^2mn^2 4.计算观测值函数中误差
当只有一个独立的观测值时,和函数与倍数函数运用误差传播定律不会出现悖论;如果在测量工作中有多余的 直接观测值,就需用平差后的间接观测值按协方差传播律来计算,这样数学中相等的函数关系才能得到同样的函数 中误差结果 。
测量学误差
测量学误差传播定律是测绘科学基本的、简单的定律，但作用较大，比如测量规范中，水平角观测的限差确 定，导线闭合差的限差确定，水准测量线路的限差确定，等等，都可以利用误差传播定律做到。此外，研究误差 传播定律，还可以较好地解决一些测绘问题或解决较难的测绘问题，丰富和发展测量学教材误差理论，因此，尽 管我们在误差传播定律方面取得了可喜的成果，仍然需要进一步研究倍数函数：Z=KX 则有： 观测值与常数乘积的中误差，等于观测值中误差乘常数。 和(差)函数的中误差 和(差)函数：Z=X1±X2且X1、X2独立，则有mz^2=mx1^2+mx2^2 两观测值代数和的中误差平方，等于两观测值中误差的平方和。 当Z是一组观测值X1、X2……Xn代数和(差)的函数时，即Z=X1±X2±...±Xn Z的中误差的平方为mz^2=mx1^2+mx2^2+...+mxn^2 n个观测值代数和(差)的中误差平方，等于n个观测值中误差平方之和。 在同精度观测时，观测值代数和(差)的中误差，与观测值个数n的平方根成正比，即mz=m·（n）^1/2
误差理论与测量平差基础习题集1
第一章绪论§1-1观测误差1.1.01为什么说观测值总是带有误差,而且观测误差是不可避免的？1.1.02观测条件是由哪些因素构成的？它与观测结果的质量有什么联系？1.1.03测量误差分为哪几类?它们各自是怎样定义的?对观测成果有何影响？试举例说明。
1.1.04用钢尺丈量距离，有下列几种情况使量得的结果产生误差，试分别判定误差的性质及符号：（1）长不准确；（2）尺尺不水平；（3）估读小数不准确；（4）尺垂曲；（5）尺端偏离直线方向。
1.1.05在水准测量中，有下列几种情况使水准尺读数带有误差，试判别误差的性质及符号：（1）视准轴与水准轴不平行；（2）仪器下沉；（3）读数不准确；（4）水准尺下沆。
§1-2测量平差学科的研究对象1.2.06 何谓多余观测?测量中为什么要进行多余观测？1.2.07 测量平差的基本任务是什么？§1-3测量平差的简史和发展1.3.08 高斯于哪一年提出最小二乘法？其主要是为了解决什么问题？1.3.09 自20世纪五六十年代开始，测量平差得到了很大发展，主要表现在那些方面？§1-4 本课程的任务和内容1.4.10 本课程主要讲述哪些内容？其教学目的是什么？第二章误差分析与精度指标§2-1 正态分布2.1.01 为什么说正态分布是一种重要的分布？试写出一维随机变量X的正态分布概率密度式。
§2-2 偶然误差的规律性2.2.02 观测值的真误差是怎样定义的？三角形的闭合差是什么观测值的真误差？2.2.03 在相同的观测条件下，大量的偶然误差呈现出什么样的规律性？2.2.04 偶然误差*服从什么分布？它的数学期望和方差各是多少？§2-3 衡量精度的指标2.3.05 何谓精度？通常采用哪几种指标来衡量精度？2.3.06 在相同的观测条件下，对同一个量进行若干次观测得到一组观测值，这些观测值的精度是否相同？能否认为误差小的观测值比误差大的观测值精度高？2.3.07 若有两个观测值的中误差相同，那么，是否可以说这两个观测值的真误差一定相同？为什么？2.3.08 为了鉴定经纬度的精度，对已知精确测定的水平角α=45O00’00”作12次观测，结果为：45o00’06” 44o59’55” 44o59’58” 45o00’04”45o00’03” 45o00’04” 45o00’00” 44o59’58”44o59’59” 44o59’59” 45o00’06” 45o00’03”设α没有误差，试求观测值的中误差。
误差传播定律
k1为,k2常,数kn ， 误差为
相x应1, x的2,观xn测值的中
m1, m2 ,mn
mz k12m12 k22m22 kn2mn2
3、 运用误差传播定律的步骤
求观测值函数中误差的步骤：
1）列出观测值函数的表达式：
Z f (x1, x2,xn )
注意：在误差传播定律的推导过程中，要求观 测值必须是独立观测值。
误差传播定的几个主要公式：
函数名称 倍数函数
函数式
z kx
函数的中误差
mz kmx
和差函数z x1 x2 xn
mz m12 m22 mn2
线性函数 z k1x1 k2x2 knxn mz k12m12 k22m22 kn2mn2
5 测量误差基本知识
一 测量误差来源 二 测量误差分类 三 评定精度的指标 四 误差传播定律
基础测量
四、误差传播定律
误差传播定律：阐述观测值的中误差与观测值 函数中误差的关系的定律。
函数形式
倍数函数 和差函数 线性函数 一般函数
1. 一般函数
设非线性函数的一般式为：
z f (x1, x2 ,x3,, xn )
mZ2
(
f x1
)2
m12
(x误f2 )差2 m传22 播定律 的(一xfn般)2 形mn2式
mZ
(
f x1
)2
m12
(
f x2
)2
m22
(
f xn
)
2
mn2
[例]已知：测量斜边D′=50.00±0.05m，测 得倾角α=15°00′00″±30″求：水平距 离D
解：1.函数式
《误差传播定律》课件
汇报人：PPT
CONTENTS
PART ONE
PART TWO
误差传播定律是描述测量误差在测量过程中如何传播和放大的定律。
误差传播定律的核心思想是：测量误差在测量过程中会按照一定的规律进行传播和放大。
误差传播定律的数学表达式为：Δy = Δx * ∂y/∂x，其中Δy表示测量误差，Δx表示测量值，∂y/∂x表示测量值的 导数。
背景：在科学研究中，数据拟合是 常用的数据处理方法
分析：通过案例分析，了解误差传ห้องสมุดไป่ตู้播定律在实际中的应用
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
问题：数据拟合过程中，误差如何 传播和影响结果
结论：误差传播定律对于数据拟合 结果的准确性具有重要影响
控制系统：汽 车自动驾驶系
统
误差来源：传 感器误差、计 算误差、执行
PART THREE
添加标题
误差传播定律的基本公式：Δy = Δx * ∂y/∂x
添加标题
误差传播定律的误差传递系数：K = ∂y/∂x
添加标题
误差传播定律的扩展公式：Δy = Δx * ∂y/∂x + Δx * ∂y/∂x² + Δx * ∂y/∂x³ + ...
添加标题
误差传播定律的误差传递系数的平方：K² = (∂y/∂x)²
误差传播定律只适用于线性系统
误差传播定律无法处理随机误差
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
误差传播定律无法处理非线性系统 的误差传播
误差传播定律无法处理系统误差
非线性效应：在非线性系统中， 误差传播定律可能不再适用
误差传播定律
E( X ) f ( X )XdX X
其中：
D( X ) E X E( X )2
f
(
X
)
X
E(
X
)
2 dX
DXX
1 E( x1 )
E(
X
)
2 n
E( x2
E( xn
) )
X
2 x1
x1x2
x1 xn
DXX E X E( X )X E( X )T
人们从无数的测量实践中发现，在相同的观测条件下，大量偶然误差的 分布表现出一定的统计规律性，那就是它服从正态分布。
二、偶然误差的统计规律
1. 统计表
在某测区，在相同的条件下，独立地观测了358个三角形的全部内角，
由于观测值带有误差，故三角观测值之和不等于其真值180°，根据（2-2-
1）式，各个三角形内角和的真误差可由下式算出：
因为 故
E( X )
1
1t2
(t )e 2 dt
1t2
te 2 dt
1t2
e 2 dt
2
2
2
1t2
te 2 dt
1t2
-e 2 d(-
1
t2
)
0
2
1t2
e 2 dt 2
E( X ) 2 2
等号右边第二项的积分详见李庆海、陶本藻编《概率统计原理在测量中的应用》293 页。
表 2-2
误差的 区间 〃
△为负值
个数 频率 i / n
i i / n d
0.00~0.20
40
0.095 0.475
0.20~0.40
34
0.081 0.405