第二章 误差分布与精度指标
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第二章误差分布与精度指标
因为 故
E( X )
1
1t2
(t )e 2 dt
1 t 2
te 2 dt
1 t 2
e 2 dt
2
2
2
1t2
te 2 dt
1t2
-e 2 d(-
1
t2
)
0
2
1t2
e 2 dt 2
E( X ) 2 2
等号右边第二项的积分详见李庆海、陶本藻编《概率统计原理在测量中的应用》293 页。
1.60以上 0
0
0
0
0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006
0
0.640 0.575 0.460 0.295 0.225 0.180 0.070 0.030
0
d△= 0.20〃 等于 区间 左端 值的 误差 算入 该区 间内
和
181 0.505
1 ( x )2
e 2 2
由数学期望看出甲乙两射手中甲的技术好些，还需要研究谁的技术稳 定，即各次射击的环数偏离平均值的程度，也就是研究随机变量相对其均 值的离散程度，最直观的方法求偏差的数学期望，即
EX EX 但上式带有绝对值，运算不方便，通常用 E X EX 2 来度量随机变量相
E( X ) f ( X )XdX X
其中：
D( X ) E X E( X )2
f
(
X
)
X
E(
X
)
2 dX
DXX
1 E( x1 )
E(
X
)
2
E( x2
)
X
n E( xn )
2 x1
2第二章 误差分布与精度指标
，
5 1.253 2 4
可见，同一测量条件下， 与 有着完全确定的关系，对应着相同的误差 分布曲线。因此，也可用平均误差作为精 度估计的标准。
33
§5.精度评定
三、平均误差 例 2: 以 例 1 中 第 一台经纬仪数据 为例，求观测值 的平均误差。
ˆ 1.5 0.7 0.5 9
34
§5.精度评定
2
中误差： ˆ
n
①各真误差必须对应同一测量条件。 ②可将表示测量条件的中误差附于观测值之后。 注 如： 50 3432.6 1.8 258.45m 2mm 意 “±”并不代表该误差范围，而是测量上约定 俗成的习惯。
28
§5.精度评定
二、方差和中误差
结论：
f(Δ)
0.5
' 503354.1''
30
§5.精度评定
二、方差和中误差
第一台经纬仪 第二台经纬仪
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Σ
观测值L 50°33′52.6″ 54.8 53.6 55.0 52.2 53.8 54.7 58.1 56.2
Δ -1.5 +0.7 -0.5 +0.9 -1.9 -0.3 +0.6 +4.0 +2.1
i / n d
偶然误差的四个特性
Δ
1.8 1.6 1.6 1.4 1.4 1.2 1.2 1 1 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0 - 0.2 -0.4 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1.2 -1.2 -1.4 -1.4 -1.6 -1.6 -1.8
13
误差理论与平差基础-第2章 误差分布与精度指标
一、偶然误差特性
1、偶然误差
f ()
1 1 1 2
f ( )
1 1 exp 2 ( ) 2 2 2
2 2
参数 和 2 分别是随机误差 的数学期望和方差。它们 确定了正态分布曲线的形状。
1 n i 0 对于随机误差： E () lim n n i 1
三、精度估计的标准
中误差、平均误差和或然误差都可以作为衡量精
度的指标，但由于：
中误差具有明确的几何意义（误差分布曲线的拐点
坐标）
平均误差和或然误差都与中误差存在理论关系
所以，世界上各国都采用中误差作为衡量精度的指
标，我国也统一采用中误差作为衡量精度的指标。
三、精度估计的标准
4、容许误差（极限误差）
定义：由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误 差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许（ 极限）误差。
P(| | ) 68.3% P(| | 2 ) 95.5% P(| | 3 ) 99.7%
测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差；
即Δ容=2m 或Δ容=3m 。
m1 m2，说明第一组的精度高于第二组的精度。
说明：中误差越小，观测精度越高
三、精度估计的标准
2、平均误差
在一定的观测条件下，一组独立的真误差绝对值的数学 期望称为平均误差。 [| |] E (| |) lim n n
4 0.7979 5
三、精度估计的标准
1、中误差
解：第一组观测值的中误差：
0 2 2 2 12 (3) 2 4 2 32 (2) 2 (1) 2 2 2 (4) 2 m1 2.5 10
空间误差分析第二章 误差分布与精度指标
σ＝0.5 ＝
σ＝1 ＝ σ＝2 ＝
O
µ一定 一定
ｘ
§2-2 正态分布
4.3σ原则 4. 原则
• P(μ-σ< X <μ+σ) ≈68.3% • P(μ-2σ< X <μ+2σ) ≈95.5% • P(μ-3σ< X <μ+3σ) ≈99.7%
X 的取值几乎全部集中在 的取值几乎全部集中在[-3σ,3σ]区间 区间
§2-3 偶然误差的规律性
面积= 面积 [(vi /n)/d△]* d△= vi /n=频率 频率 误差分布曲线
§2-3 偶然误差的规律性
观测值定了其分布 也就确定了， 也就确定了，因此 一组观测值对应相 同的分布。 同的分布。不同的 观测序列， 观测序列，分布不 同。但其极限分布 均是正态分布。 均是正态分布。
σ＝0.5 ＝
σ＝1 ＝ σ＝2 ＝
O
µ一定 一定
ｘ
§2-2 正态分布
• 当μ一定时， 曲线的形状由σ确定。σ越大，曲线越 一定时， 曲线的形状由σ确定。 越大， “扁平”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越 扁平” 表示总体的分布越分散； 越小， “尖陡”，表示总体的分布越集中 尖陡” • 拐点横坐标： x = E(x) ± σ= µ ± σ 拐点横坐标：
f ( x1 , x2 ,..., xn ) =
1 (2π ) | DXX |
n 2 1 2
e
1 − ( x − µ x )T 2
D
−1 XX
( x−µx )
§2-2 正态分布
2.数学期望 2.数学期望
E ( X 1 ) µ1 E ( X ) µ 2 2 = µ x = M M n ,1 E ( X n ) µ n
σ＝1 ＝ σ＝2 ＝
O
µ一定 一定
ｘ
§2-2 正态分布
4.3σ原则 4. 原则
• P(μ-σ< X <μ+σ) ≈68.3% • P(μ-2σ< X <μ+2σ) ≈95.5% • P(μ-3σ< X <μ+3σ) ≈99.7%
X 的取值几乎全部集中在 的取值几乎全部集中在[-3σ,3σ]区间 区间
§2-3 偶然误差的规律性
面积= 面积 [(vi /n)/d△]* d△= vi /n=频率 频率 误差分布曲线
§2-3 偶然误差的规律性
观测值定了其分布 也就确定了， 也就确定了，因此 一组观测值对应相 同的分布。 同的分布。不同的 观测序列， 观测序列，分布不 同。但其极限分布 均是正态分布。 均是正态分布。
σ＝0.5 ＝
σ＝1 ＝ σ＝2 ＝
O
µ一定 一定
ｘ
§2-2 正态分布
• 当μ一定时， 曲线的形状由σ确定。σ越大，曲线越 一定时， 曲线的形状由σ确定。 越大， “扁平”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越 扁平” 表示总体的分布越分散； 越小， “尖陡”，表示总体的分布越集中 尖陡” • 拐点横坐标： x = E(x) ± σ= µ ± σ 拐点横坐标：
f ( x1 , x2 ,..., xn ) =
1 (2π ) | DXX |
n 2 1 2
e
1 − ( x − µ x )T 2
D
−1 XX
( x−µx )
§2-2 正态分布
2.数学期望 2.数学期望
E ( X 1 ) µ1 E ( X ) µ 2 2 = µ x = M M n ,1 E ( X n ) µ n
第2章 误差分布与精度指标
i j
ji
i j 1,2,...,n
称为随机变量xi关于随机变量xj的协方差。
误差分布与精度指标
误差理论与测量平差
相对误差：
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
衡量单位观测值的精度叫做相对精度。包括相对真误 差、相对中误差、相对极限误差,它们分别是真误差、中误 差和极限误差与其观测值之比。相对误差是个无名数,在测 量中经常将分子化为1。即
真误差 1 相对真误差＝ ＝ 观测值 N
10
本章主要内容
正态分布 偶然误差的分布特性 衡量精度的指标 精度、准确度与精确度
2 /27
测量不确定度
主页
ห้องสมุดไป่ตู้
误差分布与精度指标
误差理论与测量平差
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
2.1 正态分布 2.2 偶然误差的分布特性
授课目的要求：了解偶然误差的分布规律; 熟记偶然误差的三个特性和两个重要概念 。 重 点、难 点: 偶然误差的三个特性和两个 重要概念 。
2
n
0.798
或然误差: 或然误差ρ是指在一定的观测条件下, 大于与小于某 数值的偶然误差绝对值出现的概率各为一半 ρ=0.6745σ
18 /27
主页
误差分布与精度指标
误差理论与测量平差
2 观测向量的精密度指标 （1）n维随机向量的方差阵
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
设x1，x2，…，xn为随机变量，由它们组成的n维列 向量为 T ...
则有
DL D E 2
由数学期望的定义，又可将方差和标准差分别表示为 ; 2 lim lim
ji
i j 1,2,...,n
称为随机变量xi关于随机变量xj的协方差。
误差分布与精度指标
误差理论与测量平差
相对误差：
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
衡量单位观测值的精度叫做相对精度。包括相对真误 差、相对中误差、相对极限误差,它们分别是真误差、中误 差和极限误差与其观测值之比。相对误差是个无名数,在测 量中经常将分子化为1。即
真误差 1 相对真误差＝ ＝ 观测值 N
10
本章主要内容
正态分布 偶然误差的分布特性 衡量精度的指标 精度、准确度与精确度
2 /27
测量不确定度
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ห้องสมุดไป่ตู้
误差分布与精度指标
误差理论与测量平差
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
2.1 正态分布 2.2 偶然误差的分布特性
授课目的要求：了解偶然误差的分布规律; 熟记偶然误差的三个特性和两个重要概念 。 重 点、难 点: 偶然误差的三个特性和两个 重要概念 。
2
n
0.798
或然误差: 或然误差ρ是指在一定的观测条件下, 大于与小于某 数值的偶然误差绝对值出现的概率各为一半 ρ=0.6745σ
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误差分布与精度指标
误差理论与测量平差
2 观测向量的精密度指标 （1）n维随机向量的方差阵
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
设x1，x2，…，xn为随机变量，由它们组成的n维列 向量为 T ...
则有
DL D E 2
由数学期望的定义，又可将方差和标准差分别表示为 ; 2 lim lim
测量平差资料
测量平差资料第⼀章绪论⼀、观测误差1、为什么要进⾏观测必要观测、多余观测2、误差存在的现象3、误差产⽣的原因观测条件：观测仪器、观测者、外界条件4、误差的分类粗差、系统误差、偶然误差5、误差的处理办法⼆、测量平差的简史和发展三、测量平差的两⼤任务及本课程的主要内容第⼆章误差分布与精度指标⼀、偶然误差的规律性1、随机变量2、偶然误差的分布正态分布3、偶然误差的统计特性由统计分析可以看出，偶然误差具有下列特性：1、在⼀定的观测条件下，偶然误差的绝对值有⼀定的限值，即超过⼀定限值的偶然误差出现的概率为零；2、绝对值较⼩的偶然误差⽐绝对值较⼤的偶然误差出现的概率⼤；3、绝对值相等的正负偶然误差出现的概率相同；4、偶然误差的理论平均值为零⼆、随机变量的数字特征（1）反映随机变量集中位置的数字特征---数学期望（2）反映随机变量偏离集中位置的离散程度----⽅差（3）映两两随机变量x、y相关程度的数字特征---协⽅差3、协⽅差(a) 定义相关系数三、衡量精度的指标1、⽅差和中误差2、平均误差3、或然误差4、极限误差5、相对（中、真、极限）误差四、随机向量的数字特征1、随机向量2、随机向量的数学期望3、随机向量的⽅差-协⽅差阵协⽅差阵的定义协⽅差阵的特点4、互协⽅差阵协⽅差阵的定义协⽅差阵的特点五、精度准确度精确度观测值的质量取决于观测误差（偶然误差、系统误差、粗差）的⼤⼩。
1、精度：描述偶然误差，可从分布曲线的陡峭程度看出精度的⾼低。
2、准确度：描述系统误差和粗差，可⽤观测值的真值与观测值的数学期望之差来描述，即：3、精确度：描述偶然误差、系统误差和粗差的集成，精确度可⽤观测值的均⽅误差来描述，即：即观测值中只存在偶然误差时，均⽅误差就等于⽅差，此时精确度就是精度。
七、⼩结第三章协⽅差传播律⼏个概念1、直接观测量2、⾮直接观测量---观测值的函数⽔准测量导线测量三⾓形内⾓平差值3、独⽴观测值4、⾮独⽴观测值----相关观测值独⽴观测值各个函数之间不⼀定独⽴5、误差传播律6、协⽅差传播律⼀、观测值线性函数的⽅差设观测向量L及其期望和⽅差为：若观测向量的多个线性函数为三、两个函数的互协⽅差阵四、⾮线性函数的情况五、多个观测向量⾮线性函数的⽅差—协⽅差矩阵设观测向量的t个⾮线性函数为：对上式求全微分，得六、协⽅差传播律的应⽤1、⽔准测量的精度2、距离丈量的精度3、同精度独⽴观测值算术平均值的精度七、应⽤协⽅差传播律时应注意的问题（1）根据测量实际，正确地列出函数式；（2）全微分所列函数式，并⽤观测值计算偏导数值；（3）计算时注意各项的单位要统⼀；（4）将微分关系写成矩阵形式；（5）直接应⽤协⽅差传播律，得出所求问题的⽅差-协⽅差矩阵。
第二章 误差分布与精度指标
+1.3, -1.1, +0.8, +1.5, +1.1, -0.3, +0.2, +0.6, -0.5，-0.7, -2.0, +0.6, +1.2, -0.4, -0.9, -1.3, -1.1, -0.9，-0.3, +0.6, +0.8, -0.3, +0.8, -1.2, -0.8
试根据Δi计算测角精度ˆ 2 ˆ 和
第二章 误差分布与精度指标
本章主要内容
正态分布 偶然误差的分布特性
衡量精度的指标 精度、准确度与精确度
测量不确定度
§2-1 随机变量的数字特征
一、数学期望
离散型
E(x) xi pi i 1
连续型
E(x) xf (x)dx
二、方差
_
D(x) E{[ x E(x)]2}
离散型 连续型
D(x) [xi E(x)]2 pi i 1
分布。对一维随机变量服从参数为的正态分布，一般记为
x～N（ ）。
E( x ) f ( x )xdx
D( x ) E x E( x )2 f ( x )x E( x )2 dx 2
§2-2 正态分布
一维正态随机变量出现在给定区间
内的概率是：
( k , k )
P( k x k )
角度元素没有相对精度。
§2-4 衡量精度的指标
相对真误差＝ 真误差 ＝ 1 观测值 N
相对中误差＝ 中误差 ＝ 1 观测值 N
相对极限误差＝ 极限误差 ＝ 1 观测值 N
注意：
§2-4 衡量精度的指标
1.只有当n较多时， 才能够比较准确地反映测量的精度
2.当n较少时 比 更可靠反映测量的精度
误差分布与精度指标
E
f d
相同观测条件下,平均误差是一组独立的偶 然误差绝对值的算术平均值之极限值。
lim
x
|
i 1
n
i
|
n
北京建筑工程学院 测绘工程系
或然误差 probable error 定义：误差出现在（-ρ，+ρ）之间的概率等于1/2，
总结：偶然误差规律性
1．在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或 者说，超出一定限值的误差，其出现的概率为零；
2．绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；
3．绝对值相等的正负误差出现的概率相同； 4．偶然误差的数学期望为零，即
1 n E 0 或 lim i 0 n n i 1
XY
描述两随机变量X、Y的相关程度
XY E X E ( X ) Y E (Y )
相关
XY 0
不相关 XY 0
北京建筑工程学院 测绘工程系
§2.1 Character of Random Variable
四、相关系数 correlation coefficient
关于偶然误差的规律科学实验：
某测区，在相同测量条件下，独立地观测了817个三角形的
全部内角，由算得各三角形的闭合差。
i Ai Bi Ci 180 0
由于作业中已尽量剔除了粗差和系统性影响，这些三角形闭 合差，就整体而言，都是偶然因素所至，故为偶然误差。它 们的数值分布情况列于下面的表内。
第二章 误差分布与精度指标
Chapter 2 Error Distribution and Precision Indexes
§2.1随机变量的数字特征
f d
相同观测条件下,平均误差是一组独立的偶 然误差绝对值的算术平均值之极限值。
lim
x
|
i 1
n
i
|
n
北京建筑工程学院 测绘工程系
或然误差 probable error 定义：误差出现在（-ρ，+ρ）之间的概率等于1/2，
总结：偶然误差规律性
1．在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或 者说，超出一定限值的误差，其出现的概率为零；
2．绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；
3．绝对值相等的正负误差出现的概率相同； 4．偶然误差的数学期望为零，即
1 n E 0 或 lim i 0 n n i 1
XY
描述两随机变量X、Y的相关程度
XY E X E ( X ) Y E (Y )
相关
XY 0
不相关 XY 0
北京建筑工程学院 测绘工程系
§2.1 Character of Random Variable
四、相关系数 correlation coefficient
关于偶然误差的规律科学实验：
某测区，在相同测量条件下，独立地观测了817个三角形的
全部内角，由算得各三角形的闭合差。
i Ai Bi Ci 180 0
由于作业中已尽量剔除了粗差和系统性影响，这些三角形闭 合差，就整体而言，都是偶然因素所至，故为偶然误差。它 们的数值分布情况列于下面的表内。
第二章 误差分布与精度指标
Chapter 2 Error Distribution and Precision Indexes
§2.1随机变量的数字特征
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2 2
DXX E X E( X )X E( X )
T
§2.1
正态分布
正态分布曲线的性质:
1、曲线关于 x=u 对称； 成反比； 2、当x=u时，f(x)具有最大值，且与 3、当X离 u越远，f(x)的值越小； 4、曲线x=u± 处有拐点； 5、 越小，曲线顶点越高，曲线形状越陡峭
§2.4 方差—协方差阵
三、互协方差阵：
Y X 观测值向量 n 关于 的互协方差阵： 1 n1
nm
DXY E X E ( X )Y E (Y ) E X Y
T
T
x1 y 2 x2 y2 xn y 2 x1 y m x2 y m xn ym
逆矩阵的性质:
(1)( AB) B A (2)( A ) A 1 T 1 1 T (3)( I ) I (4)( A ) ( A ) (5)对称矩阵的逆仍为对称矩阵。 (6)对角矩阵的逆仍为对角矩阵且：
1 1 1
1 1
A (diag (a11, a22 , ann )) 1 1 1 diag ( , ) a11 a22 ann
x2
xn
§2.4 方差—协方差阵
观测值向量 X的自协方差阵DXX：
n1
DXX特点： 对称可逆方阵 主对角线上元素为 对应观测值的方差; 非主对角线上元素 为对应两个观测值 的协方差
E (2x1 ) E ( x1 x2 ) E (2x2 ) E ( x2 x1 ) E ( x x ) E ( x x ) n 1 n 2
§2.1
正态分布
偶然误差表现： 在相同的观测条件下进行一系列观测， 单个误差在大小和符号上都没有任何规 律，表现出随机性，每个误差对总体的影响 很小，没有哪个误差在整个误差中占优势， 但大量误差的总体却呈现出一定的统计 规律。
§2.1
正态分布
X1
（1）相互独立的随机变量：无论这些随机变量原来服从什么 分布，也无论他们是同分布或不同分布，只要它们具有有限 的均值和方差，且其中每一个随机变量对其总和的影响都是 均匀地小，那么，其总和将是服从或近似服从正态分布的随 机变量。 （2）许多种分布都是以正态分布为其极限分布的。
c11 c21 c c22 12 T C n m c1n c2 n cn1 cn 2 cnm
矩阵转置的性质：
(1)C D , 则：D C
T
T
(2)( A ) A
T T
(3)( A B) A B
T T
T
一组观测值对应一种分布，也就代表这组观测值精度相同。 不同组观测值，分布不同，精度也就不同。 提示：一组观测值具有相同的分布，但偶然误差各 不相同。精度不代表个别误差的大小,反映的是一组 观测值的观测质量 的好坏.
二、精度指标：
1、平均误差
在一定的观测条件下，一组独立的误差的绝对值的数学 期望。
(5)对于 对角阵，若a11=a22=……=ann =1，称为单位 阵，一般用E、I表示。
(6)若aij=aji，则称A为对称矩阵。
(7)转置矩阵
对于任意矩阵Cmn:
c11 c12 c1n c c c 22 2n C 21 m n c c c mn m1 m 2 将其行列互换，得到一个n×m阶矩阵，称为C的转置矩阵, 记为CT
§2.2 偶然误差的统计规律性
实验表明：
（1）闭合差在数值上不会超出一定界限，或者说 超出一定界限的闭合差出现的概率为零； （2）绝对值小的闭合差比绝对值大的闭合差出现 的概率要大； （3）绝对值相等的正负闭合差个数大致相等。
§2.2 偶然误差的统计规律性
1、在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定 的限值（界限性 ）；
由概率论知道:
k
k
( x E ( x))2 f ( x)dx exp dx 2 k 2 2 1
k
p( x ) 0.683
p( 2 x 2 ) 0.955
(4)( kA)T kAT (5)( AB)T BT AT
（6）若 A A
T
,则A为对称矩阵。
(8)逆矩阵
给定一个n阶方阵 A，若存在一个同阶方阵 B，使AB=BA=I（E），称B为A的逆矩阵。 记为：
B A1
A矩阵存在逆矩阵的充分必要条件:A的行 列式不等于0，称A为非奇异矩阵，否则 为奇异矩阵
2 x 1 x2 x1 xn x1
E ( x1 xn ) E ( x 2 x n ) 2 E ( xn )
x1 x2 2
x2
xn x2
x x 1 n x x 2 n 2 xn
p( 3 x 3 ) 0.997
限 2或3
5、相对误差
p( ) 68.3% p( 2 2 ) 95.5% p( 3 3 ) 99.7%
中误差与观测值之比，用1/N表示。
2
[] n
3、或然误差
p( ) 50%
f()
2 3
1
50%
1
0
闭合差
4、极限误差
正态随机变量出现在给定区间 ( k , k ) 内的概率是：
P( k x k )
§2.4 方差—协方差阵
二、观测值向量的方差-协方差阵：
观测值向量
n1
X:
X 的自协方差阵： 观测值向量 n 1
D XX E X E ( X )X E ( X )T E X X T nn
x1 x2 E xn x1 x1 x1 x2 x1 E x x n 1 x1 x2 x2 x2 xn x2 x1 xn x2 xn xn xn
国际上选用中误差作为精度评定指标
矩阵知识
（1）由m n 个数有序地排列成m行n列的数表叫矩阵 通常用一个大写字母表示，如：
a11 a12 a a22 21 A m n am1 am 2
a1n a2 n amn
(2)若m=n，即行数与列数相同，称A为方阵。元素a11、 a22……ann 称为对角元素。
x1 x2 ＝E y1 xn
y2
ym
x1 y1 x2 y1 E x y n 1
§2.4 方差—协方差阵
E ( x1 y1 ) E ( x1 y 2 ) E ( x2 y1 ) E ( x2 y 2 ) ＝ E ( x y ) E ( x y ) n 1 n 2 E ( x1 y m ) E ( x2 y m ) E ( xn y m )
n 2
1 T 1 X X exp X X D XX 2
N维正态随机变量的数学期望和方差是:
E ( X ) f ( X ) XdX X
D( X ) E X E ( X ) f ( X )X E ( X ) dX DXX
中误差：
[] lim n n
2
面积为1
2 1
-0.8 -0.6 -0.4 0 0.4 0.6 0.8
1 2
闭合差
提示： σ越小，误差曲线越陡峭，误差分布越密集，精度越高。相 反，精度越低。
方差的估值：当观测值n有限时,
[] n
1
1
矩阵的基本运算：
（1）若具有相同行列数的两矩阵各对应元素相同，则：
A B
（2）具有相同行列数的两矩阵A、B相加减，其行列数与A、 B相同，其元素等于A、B对应元素之和、差。且具有可交换 性与可结合性。 （3）A为m×s的矩阵，B为s×n的矩阵, C=AB，C的阶数为 m×n。
OA=AO=O，IA=AI=A，A（B+C）=AB+AC，
E ( x) f ( x) xdx
D( x) E x E ( x) f ( x)x E ( x) dx 2
2 2
§2.1
f (X )
正态分布
1 D XX
1 2
服从N维正态分布的随机向量X的概率密度函数是：
2
(3)若一个矩阵的元素全为0，称零矩阵，一般用O表示。
n (4)对于 n 的方阵，除对角元素外，其它元素全为零，称为 对角 矩阵。如：
a11 0 0 a 22 A mn 0 0 0 0 diag (a11 amn a22 ann )
E( )
f ()d lim
n
n
与中误差的关系：
4 5
[] n
2、方差/中误差
f()
方差：
[] lim D() E (2 ) n n
2
2 1 f () e 2 2
2
2 f ()d
DXX E X E( X )X E( X )
T
§2.1
正态分布
正态分布曲线的性质:
1、曲线关于 x=u 对称； 成反比； 2、当x=u时，f(x)具有最大值，且与 3、当X离 u越远，f(x)的值越小； 4、曲线x=u± 处有拐点； 5、 越小，曲线顶点越高，曲线形状越陡峭
§2.4 方差—协方差阵
三、互协方差阵：
Y X 观测值向量 n 关于 的互协方差阵： 1 n1
nm
DXY E X E ( X )Y E (Y ) E X Y
T
T
x1 y 2 x2 y2 xn y 2 x1 y m x2 y m xn ym
逆矩阵的性质:
(1)( AB) B A (2)( A ) A 1 T 1 1 T (3)( I ) I (4)( A ) ( A ) (5)对称矩阵的逆仍为对称矩阵。 (6)对角矩阵的逆仍为对角矩阵且：
1 1 1
1 1
A (diag (a11, a22 , ann )) 1 1 1 diag ( , ) a11 a22 ann
x2
xn
§2.4 方差—协方差阵
观测值向量 X的自协方差阵DXX：
n1
DXX特点： 对称可逆方阵 主对角线上元素为 对应观测值的方差; 非主对角线上元素 为对应两个观测值 的协方差
E (2x1 ) E ( x1 x2 ) E (2x2 ) E ( x2 x1 ) E ( x x ) E ( x x ) n 1 n 2
§2.1
正态分布
偶然误差表现： 在相同的观测条件下进行一系列观测， 单个误差在大小和符号上都没有任何规 律，表现出随机性，每个误差对总体的影响 很小，没有哪个误差在整个误差中占优势， 但大量误差的总体却呈现出一定的统计 规律。
§2.1
正态分布
X1
（1）相互独立的随机变量：无论这些随机变量原来服从什么 分布，也无论他们是同分布或不同分布，只要它们具有有限 的均值和方差，且其中每一个随机变量对其总和的影响都是 均匀地小，那么，其总和将是服从或近似服从正态分布的随 机变量。 （2）许多种分布都是以正态分布为其极限分布的。
c11 c21 c c22 12 T C n m c1n c2 n cn1 cn 2 cnm
矩阵转置的性质：
(1)C D , 则：D C
T
T
(2)( A ) A
T T
(3)( A B) A B
T T
T
一组观测值对应一种分布，也就代表这组观测值精度相同。 不同组观测值，分布不同，精度也就不同。 提示：一组观测值具有相同的分布，但偶然误差各 不相同。精度不代表个别误差的大小,反映的是一组 观测值的观测质量 的好坏.
二、精度指标：
1、平均误差
在一定的观测条件下，一组独立的误差的绝对值的数学 期望。
(5)对于 对角阵，若a11=a22=……=ann =1，称为单位 阵，一般用E、I表示。
(6)若aij=aji，则称A为对称矩阵。
(7)转置矩阵
对于任意矩阵Cmn:
c11 c12 c1n c c c 22 2n C 21 m n c c c mn m1 m 2 将其行列互换，得到一个n×m阶矩阵，称为C的转置矩阵, 记为CT
§2.2 偶然误差的统计规律性
实验表明：
（1）闭合差在数值上不会超出一定界限，或者说 超出一定界限的闭合差出现的概率为零； （2）绝对值小的闭合差比绝对值大的闭合差出现 的概率要大； （3）绝对值相等的正负闭合差个数大致相等。
§2.2 偶然误差的统计规律性
1、在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定 的限值（界限性 ）；
由概率论知道:
k
k
( x E ( x))2 f ( x)dx exp dx 2 k 2 2 1
k
p( x ) 0.683
p( 2 x 2 ) 0.955
(4)( kA)T kAT (5)( AB)T BT AT
（6）若 A A
T
,则A为对称矩阵。
(8)逆矩阵
给定一个n阶方阵 A，若存在一个同阶方阵 B，使AB=BA=I（E），称B为A的逆矩阵。 记为：
B A1
A矩阵存在逆矩阵的充分必要条件:A的行 列式不等于0，称A为非奇异矩阵，否则 为奇异矩阵
2 x 1 x2 x1 xn x1
E ( x1 xn ) E ( x 2 x n ) 2 E ( xn )
x1 x2 2
x2
xn x2
x x 1 n x x 2 n 2 xn
p( 3 x 3 ) 0.997
限 2或3
5、相对误差
p( ) 68.3% p( 2 2 ) 95.5% p( 3 3 ) 99.7%
中误差与观测值之比，用1/N表示。
2
[] n
3、或然误差
p( ) 50%
f()
2 3
1
50%
1
0
闭合差
4、极限误差
正态随机变量出现在给定区间 ( k , k ) 内的概率是：
P( k x k )
§2.4 方差—协方差阵
二、观测值向量的方差-协方差阵：
观测值向量
n1
X:
X 的自协方差阵： 观测值向量 n 1
D XX E X E ( X )X E ( X )T E X X T nn
x1 x2 E xn x1 x1 x1 x2 x1 E x x n 1 x1 x2 x2 x2 xn x2 x1 xn x2 xn xn xn
国际上选用中误差作为精度评定指标
矩阵知识
（1）由m n 个数有序地排列成m行n列的数表叫矩阵 通常用一个大写字母表示，如：
a11 a12 a a22 21 A m n am1 am 2
a1n a2 n amn
(2)若m=n，即行数与列数相同，称A为方阵。元素a11、 a22……ann 称为对角元素。
x1 x2 ＝E y1 xn
y2
ym
x1 y1 x2 y1 E x y n 1
§2.4 方差—协方差阵
E ( x1 y1 ) E ( x1 y 2 ) E ( x2 y1 ) E ( x2 y 2 ) ＝ E ( x y ) E ( x y ) n 1 n 2 E ( x1 y m ) E ( x2 y m ) E ( xn y m )
n 2
1 T 1 X X exp X X D XX 2
N维正态随机变量的数学期望和方差是:
E ( X ) f ( X ) XdX X
D( X ) E X E ( X ) f ( X )X E ( X ) dX DXX
中误差：
[] lim n n
2
面积为1
2 1
-0.8 -0.6 -0.4 0 0.4 0.6 0.8
1 2
闭合差
提示： σ越小，误差曲线越陡峭，误差分布越密集，精度越高。相 反，精度越低。
方差的估值：当观测值n有限时,
[] n
1
1
矩阵的基本运算：
（1）若具有相同行列数的两矩阵各对应元素相同，则：
A B
（2）具有相同行列数的两矩阵A、B相加减，其行列数与A、 B相同，其元素等于A、B对应元素之和、差。且具有可交换 性与可结合性。 （3）A为m×s的矩阵，B为s×n的矩阵, C=AB，C的阶数为 m×n。
OA=AO=O，IA=AI=A，A（B+C）=AB+AC，
E ( x) f ( x) xdx
D( x) E x E ( x) f ( x)x E ( x) dx 2
2 2
§2.1
f (X )
正态分布
1 D XX
1 2
服从N维正态分布的随机向量X的概率密度函数是：
2
(3)若一个矩阵的元素全为0，称零矩阵，一般用O表示。
n (4)对于 n 的方阵，除对角元素外，其它元素全为零，称为 对角 矩阵。如：
a11 0 0 a 22 A mn 0 0 0 0 diag (a11 amn a22 ann )
E( )
f ()d lim
n
n
与中误差的关系：
4 5
[] n
2、方差/中误差
f()
方差：
[] lim D() E (2 ) n n
2
2 1 f () e 2 2
2
2 f ()d