2第二章 误差分布与精度指标
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第二章误差分布与精度指标
因为 故
E( X )
1
1t2
(t )e 2 dt
1 t 2
te 2 dt
1 t 2
e 2 dt
2
2
2
1t2
te 2 dt
1t2
-e 2 d(-
1
t2
)
0
2
1t2
e 2 dt 2
E( X ) 2 2
等号右边第二项的积分详见李庆海、陶本藻编《概率统计原理在测量中的应用》293 页。
1.60以上 0
0
0
0
0.128 0.115 0.092 0.059 0.045 0.036 0.014 0.006
0
0.640 0.575 0.460 0.295 0.225 0.180 0.070 0.030
0
d△= 0.20〃 等于 区间 左端 值的 误差 算入 该区 间内
和
181 0.505
1 ( x )2
e 2 2
由数学期望看出甲乙两射手中甲的技术好些，还需要研究谁的技术稳 定，即各次射击的环数偏离平均值的程度，也就是研究随机变量相对其均 值的离散程度，最直观的方法求偏差的数学期望，即
EX EX 但上式带有绝对值，运算不方便，通常用 E X EX 2 来度量随机变量相
E( X ) f ( X )XdX X
其中：
D( X ) E X E( X )2
f
(
X
)
X
E(
X
)
2 dX
DXX
1 E( x1 )
E(
X
)
2
E( x2
)
X
n E( xn )
2 x1
《测量平差》教案 第二章 误差分布与精度指标 (武汉大学版)
《测量平差》教案第二章误差分布与精度指标第一节正态分布一、一维正态分布绘一维正态分布图，列出分布函数，讲解，强调两个分布参数的含义。
二、n维正态分布讲解绘n维正态分布图，列出分布函数，讲解，强调两个分布参数的含义。
第二节偶然误差的规律性一、偶然误差分布1、描述误差分布的三种方法（1）列表法（通过实例列表讲解）（2）绘图法（通过实例绘图讲解）（3）密度函数法（通过实例绘图讲解）二、偶然误差的分布特性(1) 在一定的观测条件下，误差的绝对值不会超过一定的限值。
（界限性） (2) 绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率要大。
（小误差占优性）(3) 绝对值相等的正负误差出现的概率相等。
（对称性）三、两个重要概念(1) 由偶然误差的界限性，可以依据观测条件来确定误差限值(2) 由偶然误差的对称性知观测量的期望值就是其真值。
小结：偶然误差有其统计规律，研究偶然误差的分布规律是为了更好的研究偶然误差的处理问题。
第三节衡量精度的指标；第四节精度、准确度与精确度；第五节测量不确定度一、精密度指标（一）观测量的精密度指标1、观测条件与精密度配合误差分布曲线讲解精密度的定义和观测条件与精密度的关系。
2、几种常用的精密度指标（1）方差与标准差推导相应公式，给出其估值公式，讲解应用实例(2) 极限误差分析误差出现在某一范围内的概率的大小，给出极限误差定义公式(3) 相对误差给出相对精度的定义，用实例讲解其应用范围。
(4) 平均误差与或然误差给出平均误差和或然误差的定义，讲解其在国际上应用的范围和地区，以及其与中误差的关系。
（二）观测向量的精度指标1、n维随机向量的方差阵导出n维随机向量的方差阵表达形式，指出该阵是对称矩阵，并讲解矩阵中各元素的含义，同时给出当n维随机向量中各随机变量不相关时的矩阵形式。
2、两随机向量的互协方差阵导出两个随机向量互协方差阵表达形式，并讲解矩阵中各元素的含义，同时给出当维随机向量不相关时的矩阵形式。
测量平差 PT
observation） 独立观测值各个函数之间不一定独立
5、误差传播律 6、协方差传播律
Chapter 3. spread of covariance
一、观测值线性函数的方差 +两观测值线性函数的协方差
设观测向量L及其期望和方差为：
Chapter 3. spread of covariance
一、观测误差第（O一bs章ervation 绪Erro论r）
1、为什么要进行观测 必要观测、多余观测 2、误差存在的现象 3、误差产生的原因
观测条件：观测仪器、观测者、外界条件
4、误差的分类 粗差（gross error），系统误差
（systematic error），偶然误差（random error、 accident error ）
Chapter.2 Error Distribution and Index of Precision
• 3、精确度：
描述偶然误差、系统误差和粗差的集成， 精确度可用观测值的均方误差来描述，即：
当
时，即观测值中不
存在系统误差，亦即观测值中只存在偶然
误差时，均方误差就等于方差，此时精确
度就是精度。
第三章、平差数学模型和最小二乘法
三、几种基本的平差方法的线性函数模型
1、条件平差法：以条件方程为函数模型
F ( L~ ) 0 A L~ A 0 0 A W 0
2、间接平差法：以误差方程为函数模型
L~ F ( X~ ) L~ B X~ d B X~ l
3、附有参数的条件平差法:以含有参数的条件方程为函数模型
F ( L~ , X~ ) 0 A L~ B X~ A 0 0 A B X~ W 0
第三章 协方差传播律
5、误差传播律 6、协方差传播律
Chapter 3. spread of covariance
一、观测值线性函数的方差 +两观测值线性函数的协方差
设观测向量L及其期望和方差为：
Chapter 3. spread of covariance
一、观测误差第（O一bs章ervation 绪Erro论r）
1、为什么要进行观测 必要观测、多余观测 2、误差存在的现象 3、误差产生的原因
观测条件：观测仪器、观测者、外界条件
4、误差的分类 粗差（gross error），系统误差
（systematic error），偶然误差（random error、 accident error ）
Chapter.2 Error Distribution and Index of Precision
• 3、精确度：
描述偶然误差、系统误差和粗差的集成， 精确度可用观测值的均方误差来描述，即：
当
时，即观测值中不
存在系统误差，亦即观测值中只存在偶然
误差时，均方误差就等于方差，此时精确
度就是精度。
第三章、平差数学模型和最小二乘法
三、几种基本的平差方法的线性函数模型
1、条件平差法：以条件方程为函数模型
F ( L~ ) 0 A L~ A 0 0 A W 0
2、间接平差法：以误差方程为函数模型
L~ F ( X~ ) L~ B X~ d B X~ l
3、附有参数的条件平差法:以含有参数的条件方程为函数模型
F ( L~ , X~ ) 0 A L~ B X~ A 0 0 A B X~ W 0
第三章 协方差传播律
第二章 误差分析
重做!
例：加错试剂,少加试剂 仰视、俯视
• 俯视
• 仰视
思考题
1.下列情况引起什么误差？如何减免？ ⑴砝码受腐蚀；
系统误差，仪器校正 ⑵重量分析中，样品的非被测组分被共沉淀；
系统误差，另一方法测定。
⑶样品在称量过程中吸湿； 系统误差，将水分烘干后再称样。
⑷读取滴定管读数时，最后一位数字估计不准；
1 P
二、有限数据随机误差的t 分布(t-distribution)
1．正态分布——描述无限次测量数据
t 分布——描述有限次测量数据
2．正态分布——横坐标为 u ，t 分布—横坐标为 t
u
t
x
x
s
为总体均值
为总体标准偏差
s为有限次测量值的标准偏差
3.两者所包含面积均是一定范围内测量值出现的概率P 正态分布：P 随u 变化；
随机误差，读多次取平均值。
二、误差的表示方法
某一试样sample的真实值为μ，用同一方 法进行n 次测定，结果如下： x1、x2、x3、……xn 求得其平均值为 x 问：实验结果如何？或如何评价这一实验结果？
（1）计算结果的相对标准偏差，说明（精密度）
（2）计算结果的相对误差，说明结果的准确程度。
小结
●分析过程中的误差有系统误差和随机误差，
●对同一样品多次平行测得值的相互接近程度
用精密度（S）表示；其平均值是否接近真值， 用准确度（E）表示。
●必须消除系统误差减小随机误差，以提高
分析结果的准确度。
第二节
总体 抽样
随机误差的统计概念
样本 统计方法 观测 数据
基本概念：
总体population——研究对象的全体 个体individual——组成总体的每一个单位
第二章误差分布与精度指标
第二章误差分布与精度指标在机器学习中，通过建立模型来预测目标变量或进行分类的过程中，会产生误差。
误差分布是指在不同的预测结果中，误差值的分布情况。
误差分布的分析和评估对于理解模型的表现和改进模型的精度都至关重要。
因此，本章将介绍误差分布的基本概念和精度指标的计算方法。
1.误差分布的基本概念在机器学习中，误差是指模型预测结果与真实值之间的差异。
具体来说，误差可以用公式表示为e = y - y_hat，其中e表示误差，y表示真实值，y_hat表示模型的预测值。
误差分布是指在一组预测结果中，误差值的分布情况。
通常来说，我们可以通过观察误差分布来判断模型的表现是否良好，以及可能存在的问题。
例如，如果误差分布呈现正态分布，则说明模型的预测结果与真实值的差别符合正态分布的规律，这可能意味着模型的表现较好；如果误差分布呈现偏态分布，则说明模型的预测结果在一些方向上存在较大的偏差，这可能意味着模型存在一定的问题。
2.精度指标的计算方法为了评估模型的表现和对比不同模型之间的优劣，我们需要引入一些精度指标。
下面介绍几个常用的精度指标及其计算方法：- 平均绝对误差（MAE）是最简单和最直观的误差度量方法。
它表示了预测结果与真实值之间的平均差异，计算公式为： MAE = 平均(，y - y_hat，)。
对于MAE来说，数值越小表示模型的表现越好。
- 均方误差（MSE）是一个比较常用的精度指标。
它表示了预测结果与真实值之间的均方差，即差异的平方的平均值，计算公式为：MSE = 平均((y - y_hat)^2)。
对于MSE来说，数值越小表示模型的表现越好。
- 均方根误差（RMSE）是MSE的平方根，计算公式为：RMSE =sqrt(MSE)。
与MSE类似，RMSE的数值越小表示模型的表现越好。
-决定系数（R^2）是用来描述模型对样本数据的解释能力的指标，计算公式为：R^2=1-(SSR/SST)，其中SSR代表回归平方和，SST代表总平方和。
误差理论与平差基础-第2章 误差分布与精度指标
一、偶然误差特性
1、偶然误差
f ()
1 1 1 2
f ( )
1 1 exp 2 ( ) 2 2 2
2 2
参数 和 2 分别是随机误差 的数学期望和方差。它们 确定了正态分布曲线的形状。
1 n i 0 对于随机误差： E () lim n n i 1
三、精度估计的标准
中误差、平均误差和或然误差都可以作为衡量精
度的指标，但由于：
中误差具有明确的几何意义（误差分布曲线的拐点
坐标）
平均误差和或然误差都与中误差存在理论关系
所以，世界上各国都采用中误差作为衡量精度的指
标，我国也统一采用中误差作为衡量精度的指标。
三、精度估计的标准
4、容许误差（极限误差）
定义：由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误 差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许（ 极限）误差。
P(| | ) 68.3% P(| | 2 ) 95.5% P(| | 3 ) 99.7%
测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差；
即Δ容=2m 或Δ容=3m 。
m1 m2，说明第一组的精度高于第二组的精度。
说明：中误差越小，观测精度越高
三、精度估计的标准
2、平均误差
在一定的观测条件下，一组独立的真误差绝对值的数学 期望称为平均误差。 [| |] E (| |) lim n n
4 0.7979 5
三、精度估计的标准
1、中误差
解：第一组观测值的中误差：
0 2 2 2 12 (3) 2 4 2 32 (2) 2 (1) 2 2 2 (4) 2 m1 2.5 10
空间误差分析第二章 误差分布与精度指标
σ＝0.5 ＝
σ＝1 ＝ σ＝2 ＝
O
µ一定 一定
ｘ
§2-2 正态分布
4.3σ原则 4. 原则
• P(μ-σ< X <μ+σ) ≈68.3% • P(μ-2σ< X <μ+2σ) ≈95.5% • P(μ-3σ< X <μ+3σ) ≈99.7%
X 的取值几乎全部集中在 的取值几乎全部集中在[-3σ,3σ]区间 区间
§2-3 偶然误差的规律性
面积= 面积 [(vi /n)/d△]* d△= vi /n=频率 频率 误差分布曲线
§2-3 偶然误差的规律性
观测值定了其分布 也就确定了， 也就确定了，因此 一组观测值对应相 同的分布。 同的分布。不同的 观测序列， 观测序列，分布不 同。但其极限分布 均是正态分布。 均是正态分布。
σ＝0.5 ＝
σ＝1 ＝ σ＝2 ＝
O
µ一定 一定
ｘ
§2-2 正态分布
• 当μ一定时， 曲线的形状由σ确定。σ越大，曲线越 一定时， 曲线的形状由σ确定。 越大， “扁平”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越 扁平” 表示总体的分布越分散； 越小， “尖陡”，表示总体的分布越集中 尖陡” • 拐点横坐标： x = E(x) ± σ= µ ± σ 拐点横坐标：
f ( x1 , x2 ,..., xn ) =
1 (2π ) | DXX |
n 2 1 2
e
1 − ( x − µ x )T 2
D
−1 XX
( x−µx )
§2-2 正态分布
2.数学期望 2.数学期望
E ( X 1 ) µ1 E ( X ) µ 2 2 = µ x = M M n ,1 E ( X n ) µ n
σ＝1 ＝ σ＝2 ＝
O
µ一定 一定
ｘ
§2-2 正态分布
4.3σ原则 4. 原则
• P(μ-σ< X <μ+σ) ≈68.3% • P(μ-2σ< X <μ+2σ) ≈95.5% • P(μ-3σ< X <μ+3σ) ≈99.7%
X 的取值几乎全部集中在 的取值几乎全部集中在[-3σ,3σ]区间 区间
§2-3 偶然误差的规律性
面积= 面积 [(vi /n)/d△]* d△= vi /n=频率 频率 误差分布曲线
§2-3 偶然误差的规律性
观测值定了其分布 也就确定了， 也就确定了，因此 一组观测值对应相 同的分布。 同的分布。不同的 观测序列， 观测序列，分布不 同。但其极限分布 均是正态分布。 均是正态分布。
σ＝0.5 ＝
σ＝1 ＝ σ＝2 ＝
O
µ一定 一定
ｘ
§2-2 正态分布
• 当μ一定时， 曲线的形状由σ确定。σ越大，曲线越 一定时， 曲线的形状由σ确定。 越大， “扁平”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越 扁平” 表示总体的分布越分散； 越小， “尖陡”，表示总体的分布越集中 尖陡” • 拐点横坐标： x = E(x) ± σ= µ ± σ 拐点横坐标：
f ( x1 , x2 ,..., xn ) =
1 (2π ) | DXX |
n 2 1 2
e
1 − ( x − µ x )T 2
D
−1 XX
( x−µx )
§2-2 正态分布
2.数学期望 2.数学期望
E ( X 1 ) µ1 E ( X ) µ 2 2 = µ x = M M n ,1 E ( X n ) µ n
测量平差第二章精度指标与误差传播
t,
则有： t, d dt
1
2
e 2 2 d
2
1
t2
e 2 dt
2
t是服从标准正态分布的随机变量 ，根据标准正态分布概率
积分表可得： 0.6750 2
3
由此可见：或然误差与中误差 也存在固定的比例关系,所以作 为衡量精度的指标,理论上是等 价的。
观测向量：若进行n次观测，观测值：L1、 L2 ……Ln可表示为：
L1
L
n,1
L2
Ln
~
L1
~
~
L
n ,1
L2 L~n
n ,1
~
L1
~
L2
~
Ln
L1
L2
误差 区间
0.00~0.20 0.20~0.40 0.40~0.60 0.60~0.80 0.80~1.00 1.00~1.20
……
2.40~2.60 >2.60
和
个数K 40 34 31 25 20 16
…… 1 0 210
—△ 频率K/n 0.095 0.081 0.074 0.059 0.048 0.038
i
为纵坐标值，使曲线
（直方图）趋势不因区间间隔不同而变化）。
频率曲线变概率曲线
同条件下所得一组独立观测值，n足够大 时，误差出现在各个区间的频率总是稳 定在某一常数（理论频率）附近，n越 大；稳定程度越高。
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，
5 1.253 2 4
可见，同一测量条件下， 与 有着完全确定的关系，对应着相同的误差 分布曲线。因此，也可用平均误差作为精 度估计的标准。
33
§5.精度评定
三、平均误差 例 2: 以 例 1 中 第 一台经纬仪数据 为例，求观测值 的平均误差。
ˆ 1.5 0.7 0.5 9
34
§5.精度评定
2
中误差： ˆ
n
①各真误差必须对应同一测量条件。 ②可将表示测量条件的中误差附于观测值之后。 注 如： 50 3432.6 1.8 258.45m 2mm 意 “±”并不代表该误差范围，而是测量上约定 俗成的习惯。
28
§5.精度评定
二、方差和中误差
结论：
f(Δ)
0.5
' 503354.1''
30
§5.精度评定
二、方差和中误差
第一台经纬仪 第二台经纬仪
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Σ
观测值L 50°33′52.6″ 54.8 53.6 55.0 52.2 53.8 54.7 58.1 56.2
Δ -1.5 +0.7 -0.5 +0.9 -1.9 -0.3 +0.6 +4.0 +2.1
i / n d
偶然误差的四个特性
Δ
1.8 1.6 1.6 1.4 1.4 1.2 1.2 1 1 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0 - 0.2 -0.4 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1.2 -1.2 -1.4 -1.4 -1.6 -1.6 -1.8
13
§2.偶然误差的规律性
•或然误差
26
§5.精度评定
二、方差和中误差
方差：随机变量与其数学期望之差的平方数学期望。
由数学期望定义：
[] lim n n
2
2 1 2 2
[] ˆ n
2
2 n
27
[]
§5.精度评定
二、方差和中误差
[] ˆ 方差： n
乙
丙
精度表示的是观测值 与其数学期望的接近程度。 （2）特征：精度是衡量 偶然误差大小程度的指标。
甲
19
§4.精度、准确度与精确度
基本概念 2. 准确度
（1）定义：指随机变量的 ~ 真值 L与其数学期望 E ( L) 之差。
丙 乙
~ L E ( L)
（ 2）特征 ： 准确度是衡
量系统误差大小程度的指标。
第一台经纬仪 编号 1 2 3 4 观测值L 50°33′52.6″ 54.8 53.6 55.0 Δ
5 6 7 8 9
52.2 53.8 54.7 58.1 56.2 2.1
0.99
-1.5 +0.7 -0.5 +0.9 -1.9 -0.3 +0.6 +4.0 +2.1
ˆ 4 4 1.77 1.42 ˆ 5 5
0.295 0.320
0.235 0.240 0.180 0.190 0.085 ……. 0.055 0.010 0 0
21 21
16 16 13 13
0.064 0.059
0.045 0.043 0.036 0.040 0.014 …… 0.006 0.005 0 0 0.495 0.501
0.320 0.295
观测值L和偶然误差△均为随机变量，其方差为：
17
§4.精度、准确度与精确度
基本概念
精度： 观测值与其数学期望的接近程度
准确度： 观测值数学期望与其真值的接近程度 精确度： 观测值与其真值的接近程度
18
§4.精度、准确度与精确度
基本概念 1. 精度
（ 1 ）定 义 ： 描述 误差 分 布的密集或离散程度，即离 散度的大小；
Δ2 11.56 30.25 0.01 2.25 13.69 7.84 0.04 5.29 0.81
71.74
ˆ 1 28.27 / 9 1.77
ˆ 2 71.74 / 9 2.82
ˆ ˆ 因 1 2，故第一台经纬仪所得观测值的精度比第二台高。
31
§5.精度评定
§5 衡量精度的主要指标
§1.概述
几个概念：
~ L
~ L
L
3
§1.概述
4 4
§1.概述
^ L
L
5
§1.概述
常用符号向量表示——观测值
真值向量
平差值向量 观测向量
误差向量
改正数向量
β1 S2
S3
β2 S1
6
β3
§1.概述
常用符号的向量表示——未知数
真值向量
平差值向量 近似向量
改正数真值
Δ2 2.25 0.49 0.25 0.81 3.61 0.09 0.36 16.00 4.41
28.27
观测值L 50°33′50.7″ 59.6 54.2 52.6 57.8 51.3 53.9 56.4 55.0
Δ -3.4 +5.5 +0.1 -1.5 +3.7 -2.8 -0.2 +2.3 +0.9
⊿服从参数N(0,σ 2)的正态分布。
有界性
渐降性 补偿性
偶然误差的四个特性
对称性
14
§2.偶然误差的规律性
15
§3.随机变量的数字特征
1.数学期望
总体分布
数字特征
——反映随机变量集中位置 的数字特征
丙 乙
甲
16
§3.随机变量的数字特征
2.方差
——反映随机变量偏离集中位置 的离散程度
数理统计定义随机变量X的方差
11
§2.偶然误差的规律性
i / n
d
Δ
1.8
1.6 1.6 1.4 1.4 1.2 1 1 0.8 0.8 0.6
0.4 0.4
0.2 0.2 0 - 0.2 - 0.4 - 0.4 - 0.6 - 0.8 - 0.8 -1 - 1.2 - 1.2 - 1.4 - 1.4 - 1.6 - 1.8 - 1.8
测绘工程专业基础核心课程
误差理论与测量平差基础
Error Theory and fundation of surveying Adjustment
韦 建 超 湖南科技大学建筑学院
第二章：误差分布与精度指标
1
2 3
§1 概述
§2 偶然误差的规律性
§3 随机变量的数字特征
§4 精度、准确度和精确度
4
5
改正数平差值
β1 S2
S3
β2 S1
β3
X2,Y2
7
§2.偶然误差的规律性
三角形闭合差的例子
在某测区，在相同的 观测条件下，独立的观测了 358个平面三角形的全部内 角，因观测存在误差，各三 角形三个内角观测值之和不 等于其理论真值180°
b
a c
△i=(La+ Lb+ Lc) i -180° （i=1,2, ··· ··· ··358）
(K/n)/d△ (K/n)/d△
0.440 0.640 0.425 0.575 0.345 0.460
31 33
0.074 0.092
0.370 0.460
25 23
17 20 13 16
0.059 0.064
0.047 0.048 0.036 0.038 0.017 …… 0.011 0.002 0 0 0.505 0.499
0
+0.4 +0.8 +1.2 +1.6
-2.4 -2.0 -1.6 -1.2 -0.8 -0.4
0 +0.4 +0.8 +1.2 +1.6 +2.0 +2.4
23
§5.精度评定
一. 衡量观测值精度
f(Δ)
f(Δ)
Δ
左图误差分布曲线陡峭，对应的精度高 右图误差分布曲线平缓，对应的精度低
Δ
24
§5.精度评定
1.0
越小，误差曲线
越陡峭，误差分布越 密集，精度越高。相 反，精度越低。
1.5
Δ
29
§5.精度评定
二、方差和中误差 例1: 设某一角度，用两台经纬仪各观测了9次， 其观测值见表。该角已用精密经纬仪预先精确 测定，其值为 50 3354.1
' ''
(看作真值）。求
出两台经纬仪观测值的中误差并比较精度高低。
0.40~0.60 0.40~0.60 0.60~0.80 0.60~0.80 0.80~1.00 0.80~1.00 1.00~1.20 1.00~1.20 1.20~1.40 1.40~1.60 2.40~2.60 >1.60
421个三角形内角和闭合差 358个三角形内角和闭合差
+△ +△ 个数K 个数K 46 46 41 41 33 33 频率K/n 频率K/n 0.088 0.128 0.085 0.115 0.069 0.092
一. 衡量观测值精度
给出确定的数值，用以表示一定测量条件下测量 结果的精度，即为精度评定。
注意:
①只有从误差的总体分布中，才能得出反映测量 结果精度的真实数据。 ②在实用上，只能是通过对有限个误差进行统计， 所以精度评定又称为精度估计。
25
§5.精度评定
一. 衡量观测值精度
常用的精度估计的标准：
•方差和中误差（重点） •平均误差