误差理论与测量平差基础第七章 间接平差

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误差理论与测量平差基础

误差理论与测量平差基础

《误差理论与测量平差基础》授课教案2006~2007第一学期测绘工程系2006年9月课程名称:误差理论与测量平差基础英文名称:课程编号:??适用专业:测绘工程总学时数: 56学时其中理论课教学56学时,实验教学学时总学分:4学分◆内容简介《测量平差》是测绘工程等专业的技术基础课,测量平差的任务是利用含有观测误差的观测值求得观测量及其函数的平差值,并评定其精度。

本课程的主要内容包括误差理论﹑误差分布与精度指标﹑协方差传播律及权﹑平差数学模型与最小二乘原理﹑条件平差﹑附有参数的条件平差﹑间接平差﹑附有限制条件的间接平差﹑线性方程组解算方法﹑误差椭圆﹑平差系统的统计假设检验和近代平差概论等。

◆教学目的、课程性质任务,与其他课程的关系,所需先修课程本课程的教学目的是使学生掌握误差理论和测量平差的基本知识、基本方法和基本技能,为后续专业课程的学习和毕业后从事测绘生产打下专业基础。

课程性质为必修课、考试课。

本课程的内容将在测绘工程和地理信息系统专业的专业课程的测量数据处理内容讲授中得到应用,所需先修课程为《高等数学》、《概率与数理统计》、《线性代数》和《测量学》等。

◆主要内容重点及深度考虑到专业基础理论课教学应掌握“必须和够用”的原则,结合测绘专业建设的指导思想,教学内容以最小二乘理论为基础,误差理论及其应用、平差基本方法与计算方法,以及平差程序设计及其应用为主线。

测量误差理论,以分析解决工程测量中精度分析和工程设计的技术问题为着眼点,在掌握适当深度的前提下,有针对性的加强基本理论,并与实践结合,突出知识的应用。

平差方法,以条件平差和参数平差的介绍为主,以适应电算平差的参数平差为重点。

计算方法,以介绍适应电子计算机计算的理论、方法为主,建立新的手工计算与计算机求解线性方程组过程相对照的计算方法和计算格式。

平差程序设计及其应用,通过课程设计要求学生利用所学程序设计的知识和平差数学模型编制简单的平差程序,熟练掌握已有平差程序的使用方法。

间接平差专题教育课件

间接平差专题教育课件

第二节 误差方程
要拟定平差问题中未知数旳个数; 选择哪些量作为未知数; 要考虑怎样列出平差值方程; 怎样选用未知救旳近似值; 怎样写出误差方程。
一、拟定未知数旳个数 未知数旳个数等于必要观察数 二、参数旳选择
参数选择旳原则:足数 独立 最简
采用间接平差,应该选定刚好足数而又独立旳一组量 作为未知数。至于应选择其中哪些量为未知数,则可根据 实际需要或是否便于计算而定。
试按间接平差法列出误差方程。 A L1L2LL34 L5
C
解:必要观察为3,设
L6
D
Lˆ1 Xˆ1, Lˆ4 Xˆ 2 , Lˆ6 Xˆ 3
E

0 1
L1
48 1701,

0 2
L4
48
3512,

0 3
L6
56
0149
L1 v1 Xˆ1 L2 v2 Xˆ1 Xˆ 2
v1 xˆ1 0
V T PV V T P V V T PB 0


BT PV 0
V B xˆ l l L (BX 0 d )
n1 nt t1 n1
以上两式称为间接平差旳基础方程,根据基础方程可得:
BT PB xˆ BT P l 0
令 N BB
tt
BT PB,W t1
BT Pl
则: NBB xˆ W 0
v2 xˆ1 xˆ2 6
L3
v3 Xˆ1 L4 v4
Xˆ 2 Xˆ 2

3
v3
xˆ1 xˆ2 xˆ3 8
v4 xˆ2 0
L5 v5 Xˆ 2 Xˆ 3 L6 v6 Xˆ 3
B
v5 xˆ2 xˆ3 6

误差理论与测量平差基础习题集3

误差理论与测量平差基础习题集3

第七章间接平差§7-1间接平差原理7.1.01 在间接平差中,独立参数的个数与什么量有关?误差方程和法方程的个数是多少?7.1.02 在某平差问題中,如果多余现测个数少于必要观测个数,此时间接平差中的法方程和条件平差中的法方程的个数哪—个少,为什么?7.1.03 如果某参数的近似值是根据某些现测值推算而得的,那么这些观测值的误差方程的常数项都会等于零吗?7.1.04 在图7-1所示的闭合水准网中,A为已知点(HA =10.OOOm),P1,P2为高程未知点,测得离差及水准路线长度为:h 1= 1.352m,S1=2km,h2=-0.531m,S2= 2km,h3= - 0.826m,S3= lkm。

试用间接平差法求各髙差的平差值。

7.1.05在三角形(图7-2)中,以不等精度测得α=78º23´12",Pα=1;β= 85º30 '06 ",Pß =2;γ=16º06'32",Pγ=1;δ=343º53'24", Pδ=1;试用间接平差法求各内角的平差值。

7. 1.06设在单一附合水准路线(图7-3)中已知A,B两点高程为HA,HB,路线长为S 1,S 2,观测高差为h 1 h 2,试用间接平差法写出P 点高程平差值的公式。

7. 1.07在测站0点观测了6个角度(如图7-4所示),得同精度独立观测值: L 1=32º25'18", L 2 =61º14'36", L 3=94º09'40",L 4 172010'17" L 5=93º39'48", L 6=155º24'20"已知A 方向方位角αA =21º10'15",试按间接平差法求各方向方位角的平差值。

误差理论与测量平差基础第七章 间接平差

误差理论与测量平差基础第七章  间接平差
例如在下图,我们选
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ X 1 X C , X 2 YC , X 3 X D , X 4 YD
ห้องสมุดไป่ตู้
第七章——间接平差
于是,误差方程为:
ˆ ˆ v1 ( X A X 3 ) 2 (Y A X 4 ) 2 L1 ˆ ˆ v 2 ( X B X 3 ) 2 (YB X 4 ) 2 L2 ˆ ˆ ˆ ˆ v3 ( X 1 X 3 ) 2 ( X 2 X 4 ) 2 L3 ˆ ˆ v 4 ( X A X 1 ) 2 (Y A X 2 ) 2 L4 ˆ ˆ v5 ( X B X 1 ) 2 (YB X 2 ) 2 L5
第七章——间接平差
1 A
ˆ ˆ v 2 AC AD v3 v4 v5 v6 v7 v8
ˆ ˆ X 2 YA X 4 YA arct an arct an L2 ˆ X ˆ X X X
3 A
ˆ ˆ YA X 4 YB X 4 ˆ ˆ DA DB arct an arct an L3 ˆ ˆ X A X3 XB X3 ˆ ˆ ˆ YB X 4 X2 X4 ˆ ˆ DB DC arct an arct an L4 ˆ ˆ X ˆ XB X3 X1 3 ˆ ˆ ˆ X4 X2 YA X 2 ˆ ˆ CD CA arct an arct an L5 ˆ X ˆ ˆ X3 X A X1 1 ˆ ˆ YA X 2 YB X 2 ˆ ˆ CA CB arct an arct an L6 ˆ ˆ X A X1 X B X1 ˆ ˆ X 4 YB X 2 YB ˆ ˆ BC BD arct an arct an L7 ˆ X ˆ X X3 X1 B B ˆ Y A YB X 4 YB ˆ BA BD arct an arct an L8 ˆ X XA XB X3 B

《土木工程测量》第7章误差与平差PPT课件

《土木工程测量》第7章误差与平差PPT课件
△1 = L1 – X △2 = L2 – X
‥‥ △n = Ln – X 取以上各式的和并除以观测次数 n得:
[] [L] nX x X nnn
lim x X
n
由此可见,当观测量n无限大时,算术平均值的极限是观测值的真值。
二、算术平均值的中误差
设等精度独立观测值 L1,L2‥‥Ln的中误差为 m,等精度独立观测量最 可靠值的计算式可写为如下形式:
三、误差传播定律的应用
(一)水准测量的精度
(1) 按测站数求高差中误差
h h1 h2 hn
m站
mh m站 n
当各测站观测高差的精度相同时,水准测量高差的中误差与测站数的平方 根成正比。
(2) 按水准路线长求高差中误差
一般情况下,各测站所测的两转点间的距离l大致都相等
令 m站
l
mh m站 n m站
其对全长的影响为: D n l
设为m′为尺段的系统中误差
m
l
全长的系统中误差为: mD D
同时考虑偶然误差和系统误差: mD 2 D 2 D 2
(四)光电测距的精度 D c0 n K 2ng f 2
m
2 D
D
2
mc20 c02
mn2g
n
2 g
m
2 f
f2
m
2 xn
应用误差传播定律时应注意以下三点: 1.要正确列立函数式。 2.函数式中观测值必须是独立的。
3.函数式中同时角度观测值和长度观测值时,单位要统一。
【例7—2】测量得某正方形建筑场地周长 ,四条边的测量结果为a=32.60m, 边长测量中误差均为ma=±0.01m。求该场地的周长及其中误差。
三、偶然误差特性

测量平差误差理论基本知识

测量平差误差理论基本知识
=±3.4mm
z 15 2 36 2 74 2 10 10 10
测量平差误差理论基本知识
一般函数
函数形式:
Zf(x1,x2 xn)
中误差关系式:
m z2 x f1 2m 1 2 x f2 2m 2 2 x fn 2m n 2
测量平差误差理论基本知识
例题: 设有某函数:zS•si n
数n的平方根成正比
测量平差误差理论基本知识
当水准路线通过平坦地区时,各测站 的视线长度大致相等,每公里的测站数也 接近相等,因而每公里的水准测量高差中 误差可以认为相同,设为mkm。当A、B两 点间的水准路线为S公里时,A、B两点间 高差中误差为: mhAB Smkm
水准测量高差的中误差,与距离S 的平方根成正比
真误差 lXl18 0
误差区间 (3″)
0-3 3-6 6-9 9-12 12-15 15-18 18-21 21-24 24以上 ∑
观测值与理论值之差
负误差
个数 (k)
相对个数 (k/n)
45
0.126
40
0.112
33
0.092
23
0.064
17
0.047
13
0.036
6
0.017
4
0.011
0
对于仪器的对中、整平、瞄准、读数等操作都会产生误 差,另外,观测者技术熟练程度也会给观测成果带来不 同程度的影响。 2.仪器的原因
测量工作是需要用测量仪器进行的,而每一种测量仪 器具有一定的精密度,使测量结果受到一定的影响。 3.外界环境的影响
测量工作进行时所处的外界环境中的空气温度、气压、 湿度、风力、日光照射、大气折光、烟雾等客观情况时 刻在变化,使测量结果产生误差。

误差理论与测量平差基础(武测)

误差理论与测量平差基础(武测)

35 -1.7 2.4
[a ] = 28 o 47'31.3" 10 ˆ = [b ] = 47 o18 '19 .4" b 10 ˆ a=
31 -3.7 -4.6 1.8 30 -3.7 1.4 29 32 32 37 0.3 3.4 2.8 3.8
2.3 -5.6 0.8 4.3 0.4 0.8
Chapter 2. Error Distribution and Index of Precision
四、随机向量的数字特征
1、随机向量 2、随机向量的数学期望 3、随机向量的方差-协方差阵

• •
协方差阵的定义 协方差阵的特点 协方差阵的定义 协方差阵的特点
4、互协方差阵 • •
Chapter 2. Error Distribution and Index of Precision 例1. 在测站D上,观测了 三个方向A、B、C,得10 个测回的方向观测读数a、 b、c,试估算各个方向观 测值的方差、协方差、相 关系数。

⎛ k11 k12 ⎛ Z1 ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ k 21 k 22 ⎜Z2 ⎟ Z = ⎜ ⎟, K = ⎜ t ×1 t ×n ⎜ ⎟ ⎜ ⎜k k ⎜Z ⎟ ⎝ t1 t 2 ⎝ t⎠
+ k1n X n + k10 + k 2n X n + k 20 + ktn X n + kt 0
k 1n ⎞ ⎛ k10 ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ k 2n ⎟ ⎜ k 20 ⎟ 0 ⎟ , K1 = ⎜ ⎟ ⎟ t× ⎜ ⎟ ⎜k ⎟ ⎟ k tn ⎠ ⎝ t0 ⎠
, ,,
⎛ ∂f1 ⎞ +⎜ ⎜ ∂X ⎟dX n ⎟ ⎝ n⎠ ⎛ ∂f 2 +⎜ ⎜ ∂X ⎝ n ⎞ ⎟dX n ⎟ ⎠

误差理论与测量平差基础CH07

误差理论与测量平差基础CH07

误差理论与测量平差基础 第七章 间接平差
第七章 间接平差
水准网如图所示:
h1 P1 h7 P2 h3 h5 h6
A h2 P4 h4 P3
按条件平差列出误差方程。 选P2 高程平差值为参数,列出全部条件方程。 选P1 、P2 和P3 高程平差值为参数,列出全部条件方程。
误差理论与测量平差基础 第七章 间接平差
X k αjk
0 +ˆ (Xk xk ) − (Xj0 + ˆ xj ) j 线性化后得到测方向坐标平差误差方程
δαjk =
0 sin αjk 0 Sjk
ˆ xj −
0 cos αjk 0 Sjk
ˆ yj −
0 sin αjk 0 Sjk
ˆ xk +
0 cos αjk 0 Sjk
ˆ yk
误差理论与测量平差基础 第七章 间接平差 7-2 误差方程
误差理论与测量平差基础 第七章 间接平差 7-1 间接平差原理
一、基础方程及其解
由于: V = Bˆ x−l 根据最小二乘原理 对ˆ x求导即得 dV T PV dV dV T PV = = V T PB = 0 dˆ x dV dˆ x 转置即有 BT PV = 0 l = L − (BX 0 + d)
误差理论与测量平差基础 第七章 间接平差 7-3 精度评定
二、测角网函数模型
观测角度Li ,设j,h,k均为待定 点,参数为(Xj , Yj ),(Xh , Yh ) 和(Xk , Yk )观测方程为 Li + vi = αjk − αjh
j 令li = Li − (αjk − αjh ),即有误 差方程 vi = δαjk − δαjh − li L k
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第七章——间接平差
第七章
§7-1 间接平差原理
间接平差
§7-2 误差方程
§7-3 非线性误差方程的线性化 §7-4 精度评定
第七章——间接平差
§7-1 间接平差原理
1、函数模型 间接平差的函数模型就是误差方程,其一般形式为
式中:
ˆ V B x l
n1 nt t 1 n1

v1 a1 v2 a2 V , B v a n n
3、不同情况下未知数的选择及误差方程的列立 (1)、水准网 在水准网平差中,通常选t个待定点的高程平差值作为 待估参数。这样选 既足数,又独立, 而且容易写出参数 与观测值之间的函 数关系。如图,选
ˆ ˆ ˆ ˆ X1 H E , X 2 H F
第七章——间接平差
于是有: ˆ v1 X 1 h1 H A ˆ v 2 X 1 h2 H B ˆ ˆ v X X h
第七章——间接平差
(4)、三边网 有足够起算数据的三边网与三角网一样,也是选m个 待定点的坐标平差值作为待估参数,即t=2m 。一般地, 边长观测值可由下图表示,于是有:
k
S
i
j
ˆ ˆ ˆ ˆ vi ( X k X j ) 2 (Yk Y j ) 2 S i
第七章——间接平差
YAB 2 A AB
ˆ v Z AB X 3 Z A Z AB ˆ v X AC X 4 X A X AC ˆ v X Y Y ˆ v Z AC X 6 Z A Z AC ˆ v X AD X 7 X A X AD ˆ v X Y Y ˆ v Z AD X 9 Z A Z AD
解只有一组。由于向量V是向量 的方法有:
ˆ x
的函数,按数学上求自由极值
V T PV V T PV V V 2V T P 2V T PB 0 ˆ ˆ ˆ x V x x
第七章——间接平差
转置后得:
B T PV 0
将此式与误差方程联立,得间接平差的基础方程为:
B T PV 0 ˆ l V Bx
3 1 2
ˆ ˆ 令X i X i0 xi,则有 ˆ v1 x1 l1
3
ˆ v 4 X 2 h4 H C ˆ v5 X 2 h5 H D
其中:
ˆ v 2 x1 l 2 ˆ ˆ v3 x1 x 2 l 3 ˆ v4 x2 l4 ˆ v5 x 2 l5
第七章——间接平差
1 A
ˆ ˆ v 2 AC AD v3 v4 v5 v6 v7 v8
ˆ ˆ X 2 YA X 4 YA arct an arct an L2 ˆ X ˆ X X X
3 A
ˆ ˆ YA X 4 YB X 4 ˆ ˆ DA DB arct an arct an L3 ˆ ˆ X A X3 XB X3 ˆ ˆ ˆ YB X 4 X2 X4 ˆ ˆ DB DC arct an arct an L4 ˆ ˆ X ˆ XB X3 X1 3 ˆ ˆ ˆ X4 X2 YA X 2 ˆ ˆ CD CA arct an arct an L5 ˆ X ˆ ˆ X3 X A X1 1 ˆ ˆ YA X 2 YB X 2 ˆ ˆ CA CB arct an arct an L6 ˆ ˆ X A X1 X B X1 ˆ ˆ X 4 YB X 2 YB ˆ ˆ BC BD arct an arct an L7 ˆ X ˆ X X3 X1 B B ˆ Y A YB X 4 YB ˆ BA BD arct an arct an L8 ˆ X XA XB X3 B
rk ( B) t
ˆ b1 t1 x1 L1 d1 ˆ b2 t 2 x2 L2 d 2 ˆ , x , l x L d bn t n n ˆt n
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 解:设 X 1 H p , X 2 H p , X 3 H p
1 2
3
0 X i0 H pi
于是误差方程为:
ˆ v1 x1 3 ˆ v2 x1 0 ˆ ˆ v3 x1 x3 1 ˆ v4 x3 0 ˆ ˆ v5 x2 x3 2 ˆ ˆ v6 x1 x2 5 ˆ v7 x 2 0
例如在下图,我们选
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ X 1 X C , X 2 YC , X 3 X D , X 4 YD
第七章——间接平差
于是,误差方程为:
ˆ ˆ v1 ( X A X 3 ) 2 (Y A X 4 ) 2 L1 ˆ ˆ v 2 ( X B X 3 ) 2 (YB X 4 ) 2 L2 ˆ ˆ ˆ ˆ v3 ( X 1 X 3 ) 2 ( X 2 X 4 ) 2 L3 ˆ ˆ v 4 ( X A X 1 ) 2 (Y A X 2 ) 2 L4 ˆ ˆ v5 ( X B X 1 ) 2 (YB X 2 ) 2 L5
第七章——间接平差
§7-2 误差方程
间接平差的关键是列误差方程,而列误差方 程的关键是选择待估参数(未知数)。
1、未知数的个数 在间接平差中,未知数的个数等于必要观测数t。 2、未知数的选择 选择原则:a、所选取t个待估参数必须相互独立; b、所选取t个待估参数与观测值的函数 关系容易写出来。
第七章——间接平差
第七章——间接平差
2、随机模型 间接平差的随机模型与条件平差的随机模型相同,即 2 2 DLL 0 QLL 0 P 1
nn nn nn
3、基础方程及其解
误差方程的个数为观测值的个数n,而未知数的个数为n+t > n。 所以误差方程有无穷组解。而满足 V T PV min
第七章——间接平差
由于观测值 y 有误差,故由上式可得曲线拟合的误 差方程为:
ˆ 由上式解出参数 x 后,代入误差方程可得到改正数V。 进而可求得观测值的平差值:
ˆ L L V
间接平差的计算步骤
1、根据平差问题的性质,选择 t 个独立量作为参数; 2、列出误差方程; 3、组成法方程; 4、解算法方程; 5、计算改正数V; ˆ 6、计算观测值的平差值 L L V
教材:7-1,7-2 习题:7.1.04,7.1.05
教材:7-5 习题:7.2.16
第七章——间接平差
(5)、导线网 导线网为特殊的边角网,其必要观测数t=2m(m为待 定点个数),其观测值为角度观测值和边长观测值两 类。所以误差方程也是角度误差方程和边长误差方程 两类。可以先列角度Yk Yi ˆ ˆ vi ik ij arctan arctan Li ˆ ˆ ˆ ˆ Xk Xi X j Xi
H 01 H B h2 5.053m p H 02 H A h7 8.452m p H 03 H C h4 7.450m p
观测值见下表,试列出误差方程。 1 2
1.100
3
2.398
4
0.200
(m)
5
6
3.404
7
3.452
hi
0.050
1.000
第七章——间接平差
Z CD 6 9 CD Z BD 3 9 BD Z BC 3 6 BC
第七章——间接平差
(3)、三角网
在三角网平差中,通常选m个待定点的坐标平差值 h 作为待估参数,即t=2m 。 这样选,既足数,又独立, 而且容易写出参数与观测 值之间的函数关系。一般 L j 地,角度观测值可由右图 k 表示,于是有: ˆ ˆ ˆ ˆ Yk Y j Yh Y j ˆ ˆ vi jk jh arctan arctan Li ˆ X ˆ ˆ X ˆ X X
习题:7.2.15
第七章——间接平差
(2)、GPS网三维无约束平差
在GPS网三维无约束平差中,常常选某点 i作为参考点,则该点 在WGS84系下的三维坐标 X i、Yi、Z i 可看作已知数据,其余各点 作为待定点。在WGS84系下,要确定一个点的空间位置,需要X、 Y、Z三个坐标分量,设GPS网中的总点数为m个,则必要观测数 为 t 3(m 1) ,因此,可选 m 1 个点的坐标平差值作为参数。 如图,以A点为参考点,即 X A , YA , Z A 已知,则t个参数为:
再列边长误差方程。
ˆ ˆ ˆ ˆ vi ( X i X j ) 2 (Yi Y j ) 2 Li
第七章——间接平差
(6)、拟合模型 a、曲线拟合 如图,观测了很多散点,要求将其拟合成一条曲线。 2 3 设此曲线为: yi a0 a1 xi a2 xi a3 xi
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ X 1 X B , X 2 YB , X 3 Z B ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ X 4 X C , X 5 YC , X 6 Z C ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ X X ,X Y ,X Z
7 D 8 D 9
D
第七章——间接平差
于是,误差方程为:
ˆ v X AB X 1 X A X AB ˆ v X Y Y
YAD 8 A AD YAC 5 A AC
ˆ ˆ v X BC X 1 X 4 X BC ˆ ˆ v YBC X 2 X 5 YBC ˆ ˆ v X X Z ˆ ˆ v X BD X 1 X 7 X BD ˆ ˆ v YBD X 2 X 8 YBD ˆ ˆ v X X Z ˆ ˆ v X CD X 4 X 7 X CD ˆ ˆ v YCD X 5 X 8 YCD ˆ ˆ v X X Z
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