(完整版)勾股定理练习题(含答案)

合集下载

(完整版)勾股定理经典例题(含答案)

经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。

解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=(2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=举一反三【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?【答案】∵∠ACD=90°AD=13, CD=12∴AC2 =AD2－CD2=132－122=25∴AC=5又∵∠ABC=90°且BC=3∴由勾股定理可得AB2=AC2－BC2=52－32=16∴AB= 4∴AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.解析：作于D，则因，∴（的两个锐角互余）∴（在中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.根据勾股定理，在中，.根据勾股定理，在中，.∴.举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：.解析：连结BM，根据勾股定理，在中，.而在中，则根据勾股定理有.∴又∵（已知），∴.在中，根据勾股定理有，∴.【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

求：四边形ABCD的面积。

分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。

(完整版)勾股定理经典例题(含答案)

求：四边形ABCD的面积。

勾股定理习题集(含答案)

勾股定理习题集一、选择题（本大题共13小题，共39.0分）1.下列命题中，是假命题的是( )A. 在△ABC中，若∠B=∠C−∠A，则△ABC是直角三角形B. 在△ABC中，若a2=(b+c)(b−c)，则△ABC是直角三角形C. 在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=3：4：5，则△ABC是直角三角形D. 在△ABC中，若a：b：c=3：4：5，则△ABC是直角三角形2.已知△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，则下列条件中：①a=4，b=71；2 c=81；②a2：b2：C2=1：3：2；③∠A：∠B：∠C=3：4：5；④∠A=2∠B=2∠C.2其中能判断△ABC是直角三角形的有( )个．A. 1B. 2C. 3D. 43.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )A. 2，5，7B. 4，5，6C. √2，√3，√5D. 32，42，524.如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为( )A. 4B. 6C. 16D. 555.一位工人师傅测量一个等腰三角形工件的腰，底及底边上的高，并按顺序记录下数据，量完后，不小心与其他记录的数据记混了，请你帮助这位师傅从下列数据中找出等腰三角形工件的数据( )A. 13，10，10B. 13，10，12C. 13，12，12D. 13，10，116.直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为( )A. √37B. 5C. 25D. 77.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90∘，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4=100，S3=36，则S2=( )A. 136B. 64C. 50D. 818.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在D′处，则重叠部分△AFC的面积是( )A. 8B. 10C. 20D. 329.如图，第1个正方形(设边长为2)的边为第一个等腰直角三角形的斜边，第一个等腰直角三角形的直角边是第2个正方形的边，第2个正方形的边是第2个等腰三角形的斜边…依此不断连接下去.通过观察与研究，写出第2016个正方形的边长a2016为( )A. a 2016=4(12)2015 B. a 2016=2(√23)2015C. a 2016=4(12)2016D. a 2016=2(√22)201610. 如果将长为6cm ，宽为5cm 的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是( ) A. 8cm B. 5√2cm C. 5.5cm D. 1cm 11. △ABC 中，AB =15，AC =13，高AD =12，则△ABC 的周长为( )A. 42B. 32C. 42或32D. 37或3312. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90∘，AC =6，BC =8，AD 是∠BAC 的平分线.若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC +PQ 的最小值是( )A. 2.4B. 4C. 4.8D. 513. 如图所示，△ABC 的顶点A 、B 、C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD ⊥AC 于点D ，则BD 的长为( )A. 45√5B. 23√5 C. 25√5 D. 43√3二、填空题（本大题共15小题，共45.0分）14. 如图，AD =13，BD =12，∠C =90∘，AC =3，BC =4.则阴影部分的面积=______ ．15. 若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm ，则它的面积为______ cm 2． 16. 如图，在△ABC 中，AB =AC =13，BC =10，D 是AB 的中点，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，则DE 的长是______．17.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为3cm，则图中所有正方形的面积之和为______ cm2．18.如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是______ ．19.如图是由一系列直角三角形组成的螺旋形，OA=OA1=OA2=⋯OA n=1，则第n个直角三角形的面积为______ ．20.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN的长是______ ．21.如图，点P是等边△ABC内一点，连接PA，PB，PC，PA：PB：PC=3：4：5，以AC为边作△AP′C≌△APB，连接PP′，则有以下结论：①△APP′是等边三角形；②△PCP′是直角三角形；③∠APB=150∘；④∠APC=105∘.其中一定正确的是______ .(把所有正确答案的序号都填在横线上)22.如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x>y)，下列四个说法：①x2+y2=49，②x−y=2，③2xy+4=49，④x+y=9.其中说法正确的结论有______ ．23.已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为______ ．24.若直角三角形的两条边长为a，b，且满足(a−3)2+|b−4|=0，则该直角三角形的第三条边长为______ ．25.如图，矩形ABCD中，AB=12cm，BC=24cm，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积______ ．26.如果一架25分米长的梯子，斜边在一竖直的墙上，这时梯足距离墙角7分米，若梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将向右滑______ 分米．27.如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90∘到△CBE′的位置.若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C=______ 度.28.已知a是√13的整数部分，3+√3=b+c，其中b是整数，且0<c<1，那么以a、b为两边的直角三角形的第三边的长度是______ ．三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）29.如图，在△ABC中，∠BAC=120∘，∠B=30∘，AD⊥AB，垂足为A，CD=1cm，求AB的长．30.如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．四、解答题（本大题共8小题，共64.0分）31.如图，在笔直的铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA=10km，CB=15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等.求E应建在距A多远处？32.如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．(1)作AD⊥BC于D，设BD=x，用含x的代数式表示CD，则CD=______ ；(2)请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值；(3)利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积．33.如图，一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处.(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当AB=4，BC=4，CC1=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；(3)求点B1到最短路径的距离．34.在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A、∠B、∠C的对边长分别为a、b、c，设△ABC的面积为S，周长为l．(1)填表：三边a、b、c a+b−c Sl3、4、525、12、1348、15、176=______ ，(用含有m的代数式表示)；(2)如果a+b−c=m，观察上表猜想：Sl(3)说出(2)中结论成立的理由．35.点A，B的位置如图，在网格上确定点C，使AB=AC，∠BAC=90∘．(1)在网格内画出△ABC；(2)直接写出△ABC的面积为______．36.如图，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处.已知CE=3cm，AB=8cm.求：(1)AD的长；(2)阴影部分的面积．37.小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真的探索．【思考题】如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？(1)请你将小明对“思考题”的解答补充完整：解：设点B将向外移动x米，即BB1=x，则B1C=x+0.7，A1C=AC−AA1=√2.52−0.72−0.4=2而A1B1=2.5，在Rt△A1B1C中，由B1C2+A1C2=A1B12得方程______，解方程得x1=______，x2=______，∴点B将向外移动______米.(2)解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：【问题一】在“思考题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？请你解答小聪提出的这两个问题．38.如图，有一段15m长的旧围墙AB，现打算利用该围墙的一部分(或全部)为一边，再用32m长的篱笆围成一块长方形场地CDEF．(1)怎样围成一个面积为126m2的长方形场地？(2)长方形场地面积能达到130m2吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由．答案和解析【答案】1. C2. C3. C4. C5. B6. B7. B8. B9. B10. A11. C12. C13. A14. 2415. 12016. 601317. 2718. 4719. √n220. 12521. ①②③22. ①②③23. 6cm224. 5或√725. 90cm226. 827. 13528. √7或529. 解：在△ABC中，∠BAC=120∘，∠B=30∘，∴∠C=180∘−120∘−30∘=30∘，∠DAC=120∘−90∘=30∘；即∠DAC=∠C，∴CD=AD=1cm．=√3．在Rt△ABD中，AB=ADtan30∘30. 解：∵四边形ABCD为矩形，∴DC=AB=8，AD=BC=10，∠B=∠D=∠C=90∘，∵折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处∴AF=AD=10，DE=EF，在Rt△ABF中，BF=√AF2−AB2=√102−82=6，∴FC=BC−BF=4，设EC=x，则DE=8−x，EF=8−x，在Rt△EFC中，∵EC2+FC2=EF2，∴x2+42=(8−x)2，解得x=3，∴EC的长为3cm．31. 解：设AE=x，则BE=25−x，由勾股定理得：在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2=102+x2，在Rt△BCE中，CE2=BC2+BE2=152+(25−x)2，由题意可知：DE=CE，所以：102+x2=152+(25−x)2，解得：x=15km.(6分)所以，E应建在距A点15km处．32. 14−x33. 解：(1)如图，木柜的表面展开图是矩形或ACC1A1．故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的或AC1；(2)蚂蚁沿着木柜表面矩形爬过的路径的长是l1=√42+(4+5)2=√97．蚂蚁沿着木柜表面矩形矩形AB1C1D爬过的路径AC1的长=√97，蚂蚁沿着木柜表面ACC1A1爬过的路径AC1的长是l2=√(4+4)2+52=√89．l1>l2，故最短路径的长是l2=√89．(3)作B1E⊥AC1于E，∵∠C1EB1=∠C1A1A，∠A1C1A是公共角，∴△AA1C1∽△B1EC1，即B1EAA1=B1C1AC1，则B1E=B1C1AC1⋅AA1=4√89⋅5=2089√89为所求．34. m435. 536. 解：(1)如图，∵CD=AB=8，CE=3，∴EF=DE=8−3=5；由勾股定理得：CF=4；由题意得：AF=AD(设为λ)，∠AFE=∠D=90∘；∵∠B=∠C=90∘；∴∠BAF+∠AFB=∠AFB+∠EFC，∴∠BAF=∠EFC，而∠B=∠C，∴△ABF∽△FCE，∴ABCF =AFEF，解得：AF=10．∴AD=AF=10．(2)由题意得：S△AEF=S△ADE，∴S阴影=S矩形ABCD−2S△ADE=10×8−2×12×10×5=80−50=30．37. (x+0.7)2+22=2.52；0.8；−2.2(舍去)；0.838. 解：(1)设CD=xm，则DE=(32−2x)m，依题意得：x(32−2x)=126，整理得x2−16x+63=0，解得x1=9，x2=7，当x1=9时，(32−2x)=14当x2=7时(32−2x)=18>15(不合题意舍去)∴能围成一个长14m，宽9m的长方形场地．(2)设CD=ym，则DE=(32−2y)m，依题意得y(32−2y)=130整理得y2−16y+65=0△=(−16)2−4×1×65=−4<0故方程没有实数根，∴长方形场地面积不能达到130m2．【解析】1. 解：A、在△ABC中，若∠B=∠C−∠A，则△ABC是直角三角形，是真命题；B、在△ABC中，若a2=(b+c)(b−c)，则△ABC是直角三角形，是真命题；C、在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=3：4：5，则△ABC是直角三角形，是假命题；D、在△ABC中，若a：b：c=3：4：5，则△ABC是直角三角形，是真命题；故选C．分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．2. 解：①∵a2+b2=2894=(172)2，c2=(812)2=(172)2∴a2+b2=c2，∴此三角形是直角三角形，故本小题正确；②∵a2：b2：c2=1：3：2，∴设a2=x，则b2=3x，c2=2x，∵x+2x=3x，∴a2+c2=b2，∴此三角形是直角三角形，故本小题正确；③∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴设∠A=3x，则∠B=4x，∠C=5x．∵∠A+∠B+∠C=180∘，∴3x+4x+5x=180∘，解得x=15∘，∴∠A=45∘，∠B=60∘，∠C=75∘，∴此三角形不是直角三角形，故本小题错误；④∵∠A=2∠B=2∠C，∴设∠B=∠C=x，则∠A=2x，∴x+x+2x=180∘，解得：x=45∘，∴∠A=2x=90∘，∴此三角形是直角三角形，故本小题正确．故选C．分别根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．3. 解：A、22+52≠72，不能构成直角三角形，故不符合题意；B、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意；C、(√2)2+(√3)2=(√5)2，能构成直角三角形，故符合题意；D、(32)2+(42)2≠(52)2，不能构成直角三角形，故不符合题意．故选：C．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．4. 解：∵a、b、c都是正方形，∴AC=CD，∠ACD=90∘；∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90∘，∴∠BAC=∠DCE，∵∠ABC=∠CED=90∘，AC=CD，∴△ACB≌△DCE，∴AB=CE，BC=DE；在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，即S b=S a+S c=11+5=16，故选：C．运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可．此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强．5. 解：由题可知，在等腰三角形中，底边的一半、底边上的高以及腰正好构成一个直)2+122=132，符合勾股定理，故选B．角三角形，且(102根据等腰三角形的三线合一，得底边上的高也是底边上的中线.根据勾股定理知：底边的一半的平方加上高的平方应等于腰的平方，即可得出正确结论．考查了等腰三角形的三线合一以及勾股定理的逆定理．6. 解：设一直角边为x，则另一直角边为7−x，x(7−x)=6，根据题意得12解得：x=4或x=3，则另一直角边为3和4，根据勾股定理可知斜边长为√32+42=5，故选：B．x(7−x)，根据“面积为6”作为设一直角边为x，则另一直角边为7−x，可得面积是12相等关系，即可列方程，解方程即可求得直角边的长，再根据勾股定理求得斜边长．此题主要利用三角形的面积公式寻找相等关系，同时也考查了勾股定理的内容.找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．7. 解：由题意可知：S1=AB2，S2=BC2，S3=CD2，S4=AD2，如果连接BD，在直角三角形ABD和BCD中，BD2=AD2+AB2=CD2+BC2，即S1+S4=S3+S2，因此S2=100−36=64，故选B．连接BD，即可利用勾股定理的几何意义解答．本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边．8. 解：重叠部分△AFC的面积是矩形ABCD的面积减去△FBC与△AFD’的面积再除以2，矩形的面积是32，∵AB//CD，∴∠ACD =∠CAB ，∵△ACD′由△ACD 翻折而成，∴∠ACD =∠ACD′，∴∠ACD′=∠CAB ，∴AF =CF ，∵BF =AB −AF =8−AF ，∴CF 2=BF 2+BC 2∴AF 2=(8−AF)2+42∴AF =5，BF =3∴S △AFC =S △ABC −S △BFC =10．故选B ．解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力．9. 解：第2016个正方形的边长a 2016=2(√22)2015．故选B 第一个正方形的边长是2，设第二个的边长是x ，则2x 2=22，则x =√2，即第二个的边长是：2(√22)1；设第三个的边长是y ，则2y 2=x 2，则y =2(√22)x =2(√22)2，同理可以得到第四个正方形的边长是2(√22)3，则第n 个是：2(√22)n−1．正确理解各个正方形的边长之间的关系是解题的关键，大正方形的边与相邻的小正方形的边，正好是同一个等腰直角三角形的斜边与直角边．10. 解：易知最长折痕为矩形对角线的长，根据勾股定理对角线长为：√62+52=√61≈7.8，故折痕长不可能为8cm ．故选：A ．根据勾股定理计算出最长折痕即可作出判断．考查了折叠问题，勾股定理，根据勾股定理计算后即可做出选择，难度不大． 11. 解：此题应分两种情况说明：(1)当△ABC 为锐角三角形时，在Rt △ABD 中，BD =√AB 2−AD 2=√152 −122 =9，在Rt △ACD 中，CD =√AC 2−AD 2=√132 −122=5∴BC =5+9=14∴△ABC 的周长为：15+13+14=42；(2)当△ABC 为钝角三角形时，在Rt △ABD 中，BD =√AB 2−AD 2=√152 −122 =9，在Rt △ACD 中，CD =√AC 2−AD 2=√132 −122=5，∴BC =9−5=4．∴△ABC 的周长为：15+13+4=32∴当△ABC 为锐角三角形时，△ABC 的周长为42；当△ABC 为钝角三角形时，△ABC 的周长为32．故选C ．本题应分两种情况进行讨论：(1)当△ABC 为锐角三角形时，在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，运用勾股定理可将BD 和CD 的长求出，两者相加即为BC 的长，从而可将△ABC 的周长求出；(2)当△ABC 为钝角三角形时，在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，运用勾股定理可将BD 和CD的长求出，两者相减即为BC的长，从而可将△ABC的周长求出．此题考查了勾股定理及解直角三角形的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度．12. 解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，∵AD是∠BAC的平分线．∴PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，∵AC=6，BC=8，∠ACB=90∘，∴AB=√AC2+BC2=√62+82=10．∵S△ABC=12AB⋅CM=12AC⋅BC，∴CM=AC⋅BCAB =6×810=245，即PC+PQ的最小值为245．故选：C．过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC 的平分线.得出PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AB，再运用S△ABC=12AB⋅CM=12AC⋅BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置．13. 解：△ABC的面积=12×BC×AE=2，由勾股定理得，AC=√12+22=√5，则12×√5×BD=2，解得BD=45√5，故选：A．根据图形和三角形的面积公式求出△ABC的面积，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算即可．本题考查的是勾股定理的应用，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．14. 解：在RT△ABC中，AB=√AC2+BC2=5，∵AD=13，BD=12，∴AB2+BD2=AD2，即可判断△ABD为直角三角形，阴影部分的面积=12AB×BD−12BC×AC=30−6=24．答：阴影部分的面积=24．故答案为：24．先利用勾股定理求出AB，然后利用勾股定理的逆定理判断出△ABD是直角三角形，然后分别求出两个三角形的面积，相减即可求出阴影部分的面积．此题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，属于基础题，解答本题的关键是判断出三角形ABD为直角三角形．15. 解：设三边分别为5x，12x，13x，则5x+12x+13x=60，∴x=2，∴三边分别为10cm，24cm，26cm，∵102+242=262，∴三角形为直角三角形，∴S=10×24÷2=120cm2．故答案为：120．根据已知可求得三边的长，再根据三角形的面积公式即可求解．此题主要考查学生对直角三角形的判定及勾股定理的逆定理的理解及运用．16. 解：过A作AF⊥BC于F，连接CD；△ABC中，AB=AC=13，AF⊥BC，则BF=FC=12BC=5；Rt△ABF中，AB=13，BF=5；由勾股定理，得AF=12；∴S△ABC=12BC⋅AF=60；∵AD=BD，∴S△ADC=S△BCD=12S△ABC=30；∵S△ADC=12AC⋅DE=30，即DE=2×30AC=6013．故答案为：6013．过A作BC的垂线，由勾股定理易求得此垂线的长，即可求出△ABC的面积；连接CD，由于AD=BD，则△ADC、△BCD等底同高，它们的面积相等，由此可得到△ACD的面积；进而可根据△ACD的面积求出DE的长．此题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积的求法等知识的综合应用能力．17. 解：∵最大的正方形的边长为3cm，∴正方形G的面积为9cm2，由勾股定理得，正方形E的面积+正方形F的面积=9cm2，正方形A的面积+正方形B的面积+正方形C的面积+正方形D的面积=9cm2，∴图中所有正方形的面积之和为27cm2，故答案为：27．根据正方形的面积公式求出正方形G的面积，根据勾股定理计算即可．本题考查的是勾股定的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．18. 解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得：x2=32+52=34；y2=22+32=13；z2=x2+y2=47；即最大正方形E的边长为：√47，所以面积为：z2=47．故答案为：47．分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为x，y，z，由勾股定理得出x2=32+52，y2=22+32，z2=x2+y2，即最大正方形的面积为z2．本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．19. 解：根据题意可知：OA1=√2，OA2=√3，…∴第n个直角三角形的直角边OA n−1长为√n．∵第n个直角三角形的另一条直角边长为1．∴第n个直角三角形的面积为12×1×√n=√n2．故答案为：√n2．这是一个规律性题目，第一个三角形的斜边正好是第二个三角形的直角边，依次进行下去，且有一个直角边的边长为1.从而可求出面积．本题考查勾股定理的应用，应用勾股定理求出三角形的斜边正好是下一个三角形的直角边．20. 解：连接AM，∵AB=AC，点M为BC中点，∴AM⊥CM(三线合一)，BM=CM，∵AB=AC=5，BC=6，∴BM=CM=3，在Rt△ABM中，AB=5，BM=3，∴根据勾股定理得：AM=√AB2−BM2=√52−32=4，又S△AMC=12MN⋅AC=12AM⋅MC，∴MN=AM⋅CMAC =125．连接AM，根据等腰三角形三线合一的性质得到AM⊥BC，根据勾股定理求得AM的长，再根据在直角三角形的面积公式即可求得MN的长．综合运用等腰三角形的三线合一，勾股定理.特别注意结论：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．21. 解：△ABC是等边三角形，则∠BAC=60∘，又≌△APB，则AP= AP′，∠PAP′=∠BAC=60∘，是正三角形，①正确；又PA：PB：PC=3：4：5，∴设PA=3x，则：PP′=PA=3x，P′C=PB=4x，PC=5x，根据勾股定理的逆定理可知：是直角三角形，且∠PP′C=90∘，②正确；又是正三角形，∴∠AP′P=60∘，∴∠APB=150∘③正确；错误的结论只能是∠APC=105∘．故答案为①②③．先运用全等得出AP′=AP，∠CAP′=∠BAP，从而∠PAP′=∠BAC=60∘，得出△PAP′是等边三角形，∠AP′P=60∘，PP′=AP，再运用勾股定理逆定理得出∠PP′C=90∘，由此得解．本题主要考查了勾股定理的逆定理、全等三角形的性质以及等边三角形的知识，解决本题的关键是能够正确理解题意，由已知条件，联想到所学的定理，充分挖掘题目中的结论是解题的关键．22. 解：①∵△ABC为直角三角形，∴根据勾股定理：x2+y2=AB2=49，故本选项正确；②由图可知，x−y=CE=√4=2，故本选项正确；③由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，×xy+4=49，列出等式为4×12即2xy+4=49；故本选项正确；④由2xy+4=49可得2xy=45①，又∵x2+y2=49②，∴①+②得，x2+2xy+y2=49+45，整理得，(x+y)2=94，x+y=√94≠9，故本选项错误．∴正确结论有①②③．故答案为①②③．根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答．本题考查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，此图被称为“弦图”，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解题的关键．23. 解：∵长方形折叠，使点B与点D重合，∴ED=BE，设AE=xcm，则ED=BE=(9−x)cm，在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，∴32+x2=(9−x)2，解得：x=4，=6(cm2)，∴△ABE的面积为：3×4×12故答案为：6cm2．首先翻折方法得到ED=BE，在设出未知数，分别表示出线段AE，ED，BE的长度，然后在Rt△ABE中利用勾股定理求出AE的长度，进而求出AE的长度，就可以利用面积公式求得△ABE的面积了．此题主要考查了图形的翻折变换和学生的空间想象能力，解题过程中应注意折叠后哪些线段是重合的，相等的，如果想象不出哪些线段相等，可以动手折叠一下即可．24. 解：该直角三角形的第三条边长为x，∵直角三角形的两条边长为a，b，且满足(a−3)2+|b−4|=0，∴a=3，b=4．若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：32+42=x2，∴x=5；若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：32+x2=42，∴x=√7；∴第三边的长为5或√7．故答案为：5或√7．设该直角三角形的第三条边长为x，先根据非负数的性质求出a、b的值，再分4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．25. 解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=12CM，BC=AD=24CM，AD//BC，∠A=90∘，∴∠EDB=∠CBD．∵△CBD与△C′BD关于BD对称，∴△CBD≌△C′BD，∴∠EBD=∠CBD，∴∠EBD=∠EDB，∴BE=DE．设DE为x，则AE=24−x，BE=x，由勾股定理，得122+(24−x)2=x2，解得：x=15，∴DE=15cm，∴S△BDE=15×12=90cm2．2故答案为90．根据轴对称的性质及矩形的性质就可以得出BE=DE，由勾股定理就可以得出DE的值，由三角形的面积公式就可以求出结论．本题考查了轴对称的性质的运用，矩形的性质的运用，勾股定理的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键．26. 解：如下图所示：AB相当于梯子，△ABO是梯子和墙面、地面形成的直角三角形，△OCD是下滑后的形状，∠O=90∘，即：AB=CD=25分米，OB=7分米，AC=4分米，BD是梯脚移动的距离．在Rt△ACB中，由勾股定理可得：AB2=AC2+BC2，AC=√AB2−BC2=24分米．∴OC=AC−AC=24−4=2分米，在Rt△COD中，由勾股定理可得：CD2=OC2+OD2，OD=15分米，BD=OD−OB=15−7=8分米，故答案为：8．梯子和墙面、地面形成的直角三角形，如下图所示可将该直角三角形等价于△ABC和△EFC，前者为原来的形状，后者则是下滑后的形状.由题意可得出AB=CD=25分米，OB=7分米，AC=4分米，在Rt△ACB中，由勾股定理可得：AB2=AC2+BC2，将AB、CB的值代入该式求出AC的值，OC=AO−AC；在Rt△COD中，求出OD的值，BD=OD−OB=15−7=8分米，即求出了梯脚移动的距离．本题主要考查勾股定理在实际中的应用，通过作相应的等价图形，可以使解答更加清晰明了．27. 解：连接EE′∵△ABE绕点B顺时针旋转90∘到△CBE′∴∠EBE′是直角，∴△EBE′是直角三角形，∵△ABE与△CE′B全等∴BE=BE′=2，∠AEB=∠BE′C∴∠BEE′=∠BE′E=45∘，∵EE′2=22+22=8，AE=CE′=1，EC=3，∴EC2=E′C2+EE′2，∴△EE′C是直角三角形，∴∠EE′C=90∘，∴∠AEB=135∘．故答案为：135．首先根据旋转的性质得出，△EBE′是直角三角形，进而得出∠BEE′=∠BE′E=45∘，即可得出答案．此题主要考查了旋转的性质，根据已知得出△EBE′是直角三角形是解题关键．28. 解：∵√9<√13<√16，∴3<√13<4，∴a=3，∵1<√3<2，∴4<3+√3<5，又∵b是整数，且0<c<1，∴b=4，c=√3−1．分两种情况：①若b=4为直角边，则第三边=√a2+b2=√32+42=5；若b=4为斜边，则第三条边=√b2−a2=√42−32=√7．故答案为√7或5．先根据√9<√13<√16，可得出a的值，根据1<√3<2，结合b是整数，且0<c<1，求出b、c的值，再分情况讨论，①b为直角边，②b为斜边，根据勾股定理可求出第三边的长度．本题考查了估算无理数的大小、勾股定理的知识，注意“夹逼法”的运用是解答本题的关键．29. 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，易求得∠BAC=120∘，故∠DAC=∠C=30∘，由此可证得△ADC是等腰三角形，即可求出AD的长，再根据含30度角的直角三角形的性质即可求出AB的长．此题主要考查等腰三角形的判定和性质以及三角形内角和定理的应用；求得∠DAC= 30∘是正确解答本题的关键．30. 根据矩形的性质得DC=AB=8，AD=BC=10，∠B=∠D=∠C=90∘，再根据折叠的性质得AF=AD=10，DE=EF，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=6，则FC=4，设EC=x，则DE=EF=8−x，在Rt△EFC中，根据勾股定理得x2+42= (8−x)2，然后解方程即可．本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.也考查了勾股定理．31. 根据题意设出E点坐标，再由勾股定理列出方程求解即可．本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．32. 解：(1)∵BC=14，BD=x，∴DC=14−x，故答案为：14−x；(2)∵AD⊥BC，∴AD2=AC2−CD2，AD2=AB2−BD2，∴132−(14−x)2=152−x2，解得：x=9；(3)由(2)得：AD=√AB2−BD2=√152−92=12，∴S△ABC=12⋅BC⋅AD=12×14×12=84．(1)直接利用BC的长表示出DC的长；(2)直接利用勾股定理进而得出x的值；(3)利用三角形面积求法得出答案．此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，正确得出AD的长是解题关键．33. 根据题意，先将长方体展开，再根据两点之间线段最短．本题是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．34. 解：(1)∵Rt△ABC的面积S=12ab，周长l=a+b+c，故当a、b、c三边分别为3、4、5时，S=12×3×4=6，l=3+4+5=12，故Sl=12，同理将其余两组数据代入可得Sl 为1，32．∴应填：12，1，32(2)通过观察以上三组数据，可得出m4．(3)∵l=a+b+c，m=a+b−c，∴lm=(a+b+c)(a+b−c)=(a+b)2−c2=a2+2ab+b2−c2．∵∠C=90∘，∴a2+b2=c2，s=12ab，∴lm=4s.即sl =m4．(1)Rt△ABC的面积S=12ab，周长l=a+b+c，分别将3、4、5，5、12、13，8、15、17三组数据代入两式，可求出Sl的值；(2)通过观察以上三组数据，可得出：Sl =m4；(3)根据lm=(a+b+c)(a+b−c)，a2+b2=c2，S=12ab可得出：lm=4s，即Sl=m4．本题主要考查勾股定理在解直角三角形面积和周长中的运用．35. 解：(1)如图所示：(2)在△ABC中，∠BAC=90∘，∴AB=AC=√12+32=√10．故△ABC的面积为√10×√10÷2=5．故答案为：5．(1)先连结AB，再确定C点，连结AC，BC即可求解；(2)根据勾股定理得到AB，AC的长，再根据三角形面积公式即可求解．本题考查了勾股定理，学生作图与根据图象分析处理、以及计算面积的能力．36. (1)证明△ABF∽△FCE，列出比例式ABCF =AFEF，求出AF=10，得到AD=AF=10．(2)运用S阴影=10×8−2×12×10×5=80−50=30，即可解决问题．该题主要考查了旋转变换的性质及其应用、勾股定理及其应用等问题．37. 解：(1)(x+0.7)2+22=2.52，故答案为；0.8，−2.2(舍去)，0.8．(2)①不会是0.9米，若AA1=BB1=0.9米，则A1C=2.4米−0.9米=1.5米，B1C=0.7米+0.9米=1.6米，1.52+1.62=4.81，2.52=6.25∵A1C2+B1C2≠A1B12，∴该题的答案不会是0.9米．②有可能．设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米，则有(x+0.7)2+(2.4−x)2=2.52，解得：x1=1.7或x2=0(舍)∴当梯子顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米，即梯子顶端从A处沿墙AC 下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等．(1)直接把B1C、A1C、A1B1的值代入进行解答即可；(2)把(1)中的0.4换成0.9可知原方程不成立；设梯子顶端从A处下滑x米，点B向外也移动x米代入(1)中方程，求出x的值符合题意．本题考查的是解直角三角形的应用及一元二次方程的应用，根据题意得出关于x的一元二次方程是解答此题的关键．38. (1)首先设CD=xm，则DE=(32−2x)m，进而利用面积为126m2得出等式求出即可；(2)结合(1)中求法利用根的判别式分析得出即可．此题主要考查了一元二次方程的应用，表示出长方形的面积是解题关键．。

勾股定理练习试题附答案

勾股定理练习附答案一、相信你的选择1、如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝15，AC ＝17，以AB 为直径作半圆，则此半圆的面积为（）．A ．16πB ．12πC ．10πD ．8π2、已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（）．A ．12B ．7＋7C ．12或7＋7D ．以上都不对3、如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2m ，梯子的顶端B 到地面的距离为7m ，现将梯子的底端A 向外移动到A ′，使梯子的底端A ′到墙根O 的距离等于3m ．同时梯子的顶端B 下降至B ′，那么BB ′（）．A ．小于1mB ．大于1mC ．等于1mD ．小于或等于1m4、将一根24cm 的筷子，置于底面直径为15cm ，高8cm 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm ，则h 的取值范围是（）．A ．h ≤17cmB ．h ≥8cmC ．15cm ≤h ≤16cmD ．7cm ≤h ≤16cm二、试试你的身手5、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，且2a ＝3b ，c ＝213，则a ＝_____，b ＝_____．6、如图，矩形零件上两孔中心A 、B 的距离是_____（精确到个位）．7、如图，△ABC 中，AC ＝6，AB ＝BC ＝5，则BC 边上的高AD ＝______．8、某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要元．三、挑战你的技能9、如图，设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去．（1）记正方形ABCD 的边长为a 1=1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a 2，a 3，a 4，……，a n ，请求出a 2，a 3，a 4的值； 150o20米30米（2）根据以上规律写出a n的表达式．10、如图，某公园内有一棵大树，为测量树高，小明C处用侧角仪测得树顶端A的仰角为30°，已知侧角仪高DC＝1.4m，BC＝30米，请帮助小明计算出树高AB．（3取1.732，结果保留三个有效数字）11、如图，甲船以16海里/时的速度离开港口，向东南航行，乙船在同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后分别到达B、A两点，且知AB＝30海里，问乙船每小时航行多少海里？12、去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2km的A、B两地之间修筑一条笔直公路（即图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向、B地的西偏北45°方向C处有一个半径为0.7km的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？（3≈1.732）参考答案一、相信你的选择1、D2、C3、A4、D二、试试你的身手5．a ＝b ，b ＝4（提示：设a ＝3k ，b ＝2k ，由勾股定理，有（3k ）2＋（2k ）2＝（213）2，解得a ＝b ，b ＝4．）；6．43（提示：做矩形两边的垂线，构造Rt △ABC ，利用勾股定理，AB 2＝AC 2＋BC 2＝192＋392＝1882，AB ≈43）；7．3.6（提示：设DC ＝x ，则BD ＝5－x ．在Rt △ABD 中，AD 2＝52－（5－x ）2，在Rt △ADC中，AD 2＝62－x 2，∴52－（5－x ）2＝62－x 2，x ＝3.6．故AD ＝226.36-＝4.8）；8、150a ．三、挑战你的技能9、解析：利用勾股定理求斜边长．（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ＝1，∠B ＝90°．∴在Rt △ABC 中，AC ＝22BC AB +＝2211+＝2．同理：AE ＝2，EH ＝22，…，即a 2＝2，a 3＝2，a 4＝22．（2）a n ＝12-n （n 为正整数）．10、解析：构造直角三角形，利用勾股定理建立方程可求得．过点D 作DE ⊥AB 于点E ，则ED ＝BC ＝30米，EB ＝DC ＝1.4米．设AE ＝x 米，在Rt △ADE 中，∠ADE ＝30°，则AD ＝2x ．由勾股定理得：AE 2＋ED 2＝AD 2，即x 2＋302＝（2x ）2，解得x ＝103≈17.32．∴AB ＝AE ＋EB ≈17.32＋1.4≈18.7（米）．答：树高AB 约为18.7米．11、解析：本题要注意判断角的大小，根据题意知：∠1＝∠2＝45°，从而证明△ABC 为直角三角形，这是解题的前提，然后可运用勾股定理求解．B 在O 的东南方向，A 在O 的西南方向，所以∠1＝∠2＝45°，所以∠AOB ＝90°，即△AOB 为Rt △．BO ＝16×23＝24（海里），AB ＝30海里，根据勾股定理，得AO 2＝AB 2－BO 2＝302－242＝182，所以AO ＝18．所以乙船的速度＝18÷23＝18×32＝12（海里/时）．答：乙船每小时航行12海里．12、解如图所示，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D ，由题意可得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝45°，在Rt △CDB 中，∠BCD ＝45°，∴∠CBA ＝∠BCD ，∴BD ＝CD ．在Rt △ACD 中，∠CAB ＝30°，∴AC ＝2CD ．设CD ＝DB ＝x ，∴AC ＝2x ．由勾股定理得AD ＝22CD AC -＝224x x -＝3x ．∵AD ＋DB ＝2， ∴3x ＋x ＝2，∴x ＝3－1．即CD ＝3－1≈0.732＞0.7，∴计划修筑的这条公路不会穿过公园．。

(完整版)勾股定理练习题及答案(共6套)

勾股定理课时练（1）8. 一个部件的形状以下图，已知AC=3cm， AB=4cm，BD=12cm。

求 CD的长 .1. 在直角三角形 ABC 中，斜边 AB=1 ，则 AB 2 BC 2 AC 2的值是（）2.如图 18－2－ 4 所示 ,有一个形状为直角梯形的部件ABCD ，AD ∥ BC，斜腰 DC 的长为10 cm，∠ D=120°，则该部件另一腰 AB 的长是 ______ cm（结果不取近似值） . 第 8 题图3. 直角三角形两直角边长分别为 5 和 12，则它斜边上的高为 _______．9. 如图，在四边形 ABCD中，∠ A=60°，∠ B=∠ D=90°， BC=2，CD=3，求 AB 的长 .4.一根旗杆于离地面12 m处断裂，如同装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16 m，旗杆在断裂以前高多少m ？第 9 题图10. 如图，一个牧童在小河的南4km 的 A 处牧马，而他正位于他的小屋 B 的西 8km 北 7km 处，5. 如图，以以下图，今年的冰雪灾祸中，一棵大树在离地面 3 米处折断，树的顶端落在离树杆底部4 他想把他的马牵到小河畔去饮水，而后回家. 他要达成这件事情所走的最短行程是多少？米处，那么这棵树折断以前的高度是米 .“路”3m4m第 5 题图第 2 题图11 如图，某会展中心在会展时期准备将高5m, 长 13m，宽 2m 的楼道上铺地毯 , 已知地毯平方米 18 6. 飞机在空中水平飞翔, 某一时辰恰巧飞到一个男孩子头顶正上方4000 米处 , 过了 20 秒, 飞机距离元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道起码需要多少元钱?这个男孩头顶 5000 米, 求飞机每小时飞翔多少千米 ?13m 5m第 11 题12. 甲、乙两位探险者到荒漠进行探险，没有了水，需要找寻水源．为了不致于走散，他们用两部7. 以下图，无盖玻璃容器，高18 cm，底面周长为 60 cm，在外侧距下底 1 cm的点 C 处有一对话机联系，已知对话机的有效距离为15 千米．清晨 8：00 甲先出发，他以 6 千米 / 时的速度向蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距张口 1 cm的 F 处有一苍蝇，试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛，东行走， 1 小时后乙出发，他以 5 千米 / 时的速度向北前进，上午10： 00，甲、乙二人相距多远？所走的最短路线的长度 . 还可以保持联系吗？第 7 题图第一课时答案：1.A ，提示：依据勾股定理得BC 2 AC 2 1，所以AB 2BC 2 AC 2 =1+1=2 ；2.4 ，提示：由勾股定理可得斜边的长为 5 m，而 3+4-5=2 m ，所以他们少走了 4 步.3. 60 ，提示：设斜边的高为x ，依据勾股定理求斜边为122 52 169 13 ，再利13用面积法得，15 12 1 13 x, x 60 ；2 2 134.解：依题意， AB=16 m， AC=12 m，在直角三角形 ABC 中 ,由勾股定理 ,BC 2AB 2AC 216 212 220 2,所以 BC=20 m ,20+12=32( m ),故旗杆在断裂以前有32 m高.6. 解: 如图 , 由题意得 ,AC=4000 米 , ∠C=90° ,AB=5000 米 , 由勾股定理得BC=50002400023000(米),3所以飞机飞翔的速度为540 (千米/小时)2036007.解：将曲线沿 AB睁开，以下图，过点 C 作 CE⊥ AB于 E.在R t CEF , CEF90 ，EF=18-1-1=16（ cm ），1CE=30(cm) ，2. 60CE 2 EF 2 30 2 16 2 34( ) 由勾股定理，得CF=8.解：在直角三角形ABC中，依据勾股定理，得在直角三角形 CBD中，依据勾股定理，得2 2 2 2CD=BC+BD=25+12 =169，所以 CD=13.9.解：延伸 BC、AD交于点 E. （以下图）∵∠ B=90°，∠ A=60°，∴∠ E=30°又∵ CD=3，∴ CE=6，∴ BE=8，设 AB=x，则 AE=2x，由勾股定理。

勾股定理练习题及答案

勾股定理练习题及答案1. 直角三角形1.1 已知直角三角形的两个直角边分别为3cm和4cm，求斜边的长度。

解答：根据勾股定理，斜边的长度可以通过以下公式计算：c = √(a^2 + b^2)其中，a和b分别为两个直角边的长度。

代入已知值，可以得到：c = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5cm所以，斜边的长度为5cm。

1.2 已知直角三角形的斜边长度为10cm，其中一条直角边的长度为6cm，求另一条直角边的长度。

解答：同样根据勾股定理，可以得到以下公式：c^2 = a^2 + b^2将已知值代入，可以得到：10^2 = 6^2 + b^2100 = 36 + b^2b^2 = 100 - 36b^2 = 64b = √64 = 8cm所以，另一条直角边的长度为8cm。

2. 直角三角形的应用2.1 一根长度为12cm的电话线在地面上拉出了一个直角三角形，其中一条直角边长为9cm，求另一条直角边和斜边的长度。

解答：根据勾股定理，可以得到以下公式：c^2 = a^2 + b^2已知直角边的长度为9cm，将已知值代入公式，可以得到：c^2 = 9^2 + b^2c^2 = 81 + b^2又已知三角形的斜边是长为12cm的电话线，所以可以得到另一个公式：c = 12将这两个公式结合，可以得到以下方程：81 + b^2 = 12^281 + b^2 = 144b^2 = 144 - 81b^2 = 63b = √63 ≈ 7.94cm所以，另一条直角边的长度约为7.94cm，斜边的长度为12cm。

2.2 一根高度为10m的电线杆倒在地面上形成了一个直角三角形，其中一条直角边长为8m，求另一条直角边和斜边的长度。

解答：同样根据勾股定理，可以得到以下公式：c^2 = a^2 + b^2已知直角边的长度为8m，将已知值代入公式，可以得到：c^2 = 8^2 + b^2c^2 = 64 + b^2又已知三角形的斜边是高度为10m的电线杆，所以可以得到另一个公式：c = 10将这两个公式结合，可以得到以下方程：64 + b^2 = 10^264 + b^2 = 100b^2 = 100 - 64b^2 = 36b = √36 = 6m所以，另一条直角边的长度为6m，斜边的长度为10m。

勾股定理测试题及答案

勾股定理测试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 勾股定理适用于哪种三角形？A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 钝角三角形答案：B2. 如果直角三角形的两条直角边长分别为3和4，那么斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A3. 一个直角三角形的斜边长度为13，一条直角边为5，另一条直角边的长度是多少？A. 12B. 10C. 8D. 6答案：A4. 勾股定理的公式是什么？A. a + b = cB. a * b = cC. a^2 + b^2 = c^2D. a^2 - b^2 = c^2答案：C5. 如果一个三角形的三边长分别为7、24和25，那么这个三角形是直角三角形吗？A. 是B. 不是答案：A二、填空题（每题2分，共10分）6. 直角三角形中，如果一条直角边长为x，另一条直角边长为y，斜边长为z，根据勾股定理，我们有________。

答案：x^2 + y^2 = z^27. 如果一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，那么斜边的长度是________。

答案：108. 在一个直角三角形中，如果斜边的长度是20，一条直角边长为15，另一条直角边的长度是________。

答案：5√3 或25√3/39. 勾股定理的发现归功于古希腊数学家________。

答案：毕达哥拉斯10. 勾股定理在数学中也被称为________定理。

答案：毕达哥拉斯定理三、解答题（每题5分，共20分）11. 一个直角三角形的斜边长度为17，一条直角边长为8，求另一条直角边的长度。

答案：根据勾股定理，另一条直角边的长度为√(17^2 - 8^2) =√(289 - 64) = √225 = 15。

12. 如果一个直角三角形的两条直角边长分别为9和12，求斜边的长度。

答案：根据勾股定理，斜边的长度为√(9^2 + 12^2) = √(81 + 144) = √225 = 15。

13. 一个直角三角形的斜边长度为25，一条直角边长为15，求另一条直角边的长度。

(完整版)勾股定理经典题目及答案

勾股定理1．勾股定理是把形的特征（三角形中有一个角是直角），转化为数量关系（a 2＋b 2=c 2），不仅可以解决一些计算问题，而且通过数的计算或式的变形来证明一些几何问题，特别是证明线段间的一些复杂的等量关系. 在几何问题中为了使用勾股定理，常作高（或垂线段）等辅助线构造直角三角形.2．勾股定理的逆定理是把数的特征（a 2＋b 2=c 2）转化为形的特征（三角形中的一个角是直角），可以有机地与式的恒等变形，求图形的面积，图形的旋转等知识结合起来，构成综合题，关键是挖掘“直角”这个隐含条件.△ABC 中　∠C ＝Rt ∠a 2＋b 2=c 2⇔3．为了计算方便，要熟记几组勾股数：①3、4、5； ②6、8、10； ③5、12、13； ④8、15、17；⑤9、40、41.4．勾股定理的逆定理是直角三角形的判定方法之一.一般地说，在平面几何中，经常利用直线间的位置关系，角的相互关系而判定直角，从而判定直角三角形，而勾股定理则是通过边的计算的判定直角三角形和判定直角的. 利用它可以判定一个三角形是否是直角三角形，一般步骤是：（1）确定最大边；（2）算出最大边的平方，另外两边的平方和；（3）比较最大边的平方与另外两边的平方和是否相等，若相等，则说明是直角三角形； 5．勾股数的推算公式①罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）任取两个正整数m 和n(m>n),那么m 2-n 2，2mn,　m 2+n 2是一组勾股数。

②如果k 是大于1的奇数，那么k, ,是一组勾股数。

212-k 212+k ③如果k 是大于2的偶数，那么k, ,是一组勾股数。

122-⎪⎭⎫ ⎝⎛K 122+⎪⎭⎫⎝⎛K ④如果a,b,c 是勾股数，那么na,　nb,　nc (n 是正整数)也是勾股数。

典型例题分析例1 在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图1所示)，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1+S 2+S 3+S 4=____　依据这个图形的基本结构，可设S 1、S 2、S 3、S 4的边长为a 、b 、c 、d 则有a 2+b 2=1，c 2+d 2=3，S 1=b 2，S 2=a 2，S 3=c 2，S 4=d 2 S 1+S 2+S 3+S 4=b 2+a 2+c 2+d 2=1+3=4例2 已知线段a ，求作线段 a5分析一：a ＝＝525a 224a a +∴a 是以2a 和a 为两条直角边的直角三角形的斜边。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

勾股定理练习题
1. 下列说法正确的是（）
A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；
B.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2
；
C.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2；
D.若 a 、b 、c 是Rt△ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 2
． 2. Rt △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（）
A ．c b a =+ B. c b a >+ C. c b a <+ D. 222c b a =+
3．如果Rt △的两直角边长分别为k 2－1，2k （k >1），那么它的斜边长是（）
A 、2k
B 、k+1
C 、k 2－1
D 、k 2+1 4. 已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足(a 2－b 2)(a 2+b 2－c 2)＝0，则它的形状为（）
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形 5．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（）
A ．121
B ．120
C ．90
D ．不能确定
6． △ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（）
A ．42
B ．32
C ．42 或 32
D ．37 或 33
7.※直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（）
（A
2d （B
d （C
）2d （D
）d +
8、在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为（）
A ：3
B ：4
C ：5
D ：7
9．若△ABC 中，AB=25cm ，AC=26cm 高AD=24,则BC 的长为（）
A ．17 B.3 C.17或3 D.以上都不对
10．已知a 、b 、c 是三角形的三边长，
如果满足2(6)100a c --=则三角形的形状是（）
A ：底与边不相等的等腰三角形
B ：等边三角形
C ：钝角三角形
D ：直角三角形
11．斜边的边长为cm 17，一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是．
12. 等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则顶角的平分线为＿＿.
13. 一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为
14．一个三角形三边之比是6:8:10，则按角分类它是三角形．
15. 一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是＿＿.
16. 在Rt △ABC 中，斜边AB=4，则AB 2＋BC 2＋AC 2=_____．
17．如图，已知ABC ∆中，︒=∠90C ，15=BA ，12=AC ，以直角边BC
为直径作半圆，则这个半圆的面积是． A
C
B
18．若三角形的三个内角的比是3:2:1，最短边长为cm 1，最长边长为cm 2，则这个三角形三个角度数分别是，另外一边的平方是．
19．一长方形的一边长为cm 3，面积为212cm ，那么它的一条对角线长是．
20．如图，一个高4m 、宽3m 的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长．
21、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？
22.一个三角形三条边的长分别为cm 15，cm 20，cm 25，这个三角形最长边上的高是多少？
23．如图，要修建一个育苗棚，棚高h=3m ，棚宽a=4m ，棚的长为12m ，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？
24．如图，有一只小鸟在一棵高13m 的大树树梢上捉虫子，它的
伙伴在离该树12m ，高8m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声，
它立刻以2m/s 的速度飞向小树树梢，它最短要飞多远？这只小鸟
至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？
25．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图，，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m 处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m ，这辆小汽车超速了吗？
A 小汽车小汽车
B
C A
E C D
答案: 一、基础达标
1. 解析:利用勾股定理正确书写三角形三边关系的关键是看清谁是直角．
答案: D.
2. 解析：本题考察三角形的三边关系和勾股定理.
答案：B.
3．解析：设另一条直角边为x ，则斜边为（x+1）利用勾股定理可得方程，可以求出x ．然后再求它的周
长.
答案：C ．
4．解析：解决本题关键是要画出图形来，作图时应注意高AD 是在三角形的内部还是在三角形的外部，有
两种情况，分别求解.
答案：C.
5．解析: 勾股定理得到：22215817=-，另一条直角边是15，所求直角三角形面积为2
1158602cm ⨯⨯=．答案: 260cm ．
6．解析：本题目主要是强调直角三角形中直角对的边是最长边,反过来也是成立．
答案:222c b a =+，c ，直角，斜，直角．
7．解析:本题由边长之比是6:8:10 可知满足勾股定理，即是直角三角形．答案：直角．
8．解析：由三角形的内角和定理知三个角的度数,断定是直角三角形．答案：︒30、︒60、︒90，3．
9．解析：由勾股定理知道：2
2222291215=-=-=AC AB BC ，所以以直角边9=BC 为直径的半圆面积为10.125π．答案：10.125π．
10．解析:长方形面积长×宽，即12长×3，长4=，所以一条对角线长为5．
答案：cm 5．
二、综合发展
11．解析：木条长的平方=门高长的平方+门宽长的平方．
答案：5m ．
12解析：因为222252015=+，所以这三角形是直角三角形，设最长边（斜边）上的高为xcm ，由直角三角形面积关系，可得1115202522
x ⨯⨯=⨯⋅，∴12=x ．答案：12cm 13．解析：透阳光最大面积是塑料薄膜的面积，需要求出它的另一边的长是多少，可以借助勾股定理求出.
答案：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为5m,
所以矩形塑料薄膜的面积是：5×20=100(m 2) ．
14．解析：本题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求斜边的值是13m ，也就是两树树梢之间的距离是13m ，两再利用时间关系式求解.
答案：6.5s ．
15．解析：本题和14题相似，可以求出BC 的值，再利用速度等于路程除以时间后比较.BC=40米，时间是2s ，可得速度是20m/s=72km/h ＞70km/h ．
答案：这辆小汽车超速了．。