勾股定理测试题(含答案)

18.2 勾股定理的逆定理 达标训练

一、基础·巩固

1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）

A.三内角之比为1∶2∶3

B.三边长的平方之比为1∶2∶3

C.三边长之比为3∶4∶5

D.三内角之比为3∶4∶5

2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD ，AD ∥BC ，斜腰DC 的长为10 cm ，∠D=120°，则该零件另一腰AB 的长是________ cm （结果不取近似值）.

图18－2－4 图18－2－5 图18－2－6

3.如图18－2－5，以Rt △ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为S 1、S 2、S 3，且S 1=4，S 2=8，则AB 的长为_________.

4.如图18－2－6，已知正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 中点，F 为AD 上的一点，且AF=

4

1AD ，试判断△EFC 的形状.

5.一个零件的形状如图18－2－7，按规定这个零件中∠A 与∠BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？

图18－2－7

6.已知△ABC 的三边分别为k 2－1，2k ，k 2+1（k ＞1），求证：△ABC 是直角三角形.

二、综合·应用

7.已知a、b、c是Rt△ABC的三边长，△A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c，那么△A1B1C1是直角三角形吗？为什么？

8.已知：如图18－2－8，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD.

求证：△ABC是直角三角形.

图18－2－8

9.如图18－2－9所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（3，1），B（2，4），△OAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论.

图18－2－9

10.阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判断△ABC

的形状.

解：∵a2c2－b2c2=a4－b4，(A)∴c2(a2－b2)=(a2+b2)(a2－b2)，(B)∴c2=a2+b2，（C)∴△ABC 是直角三角形.

问：①上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号_______；

②错误的原因是______________ ；

③本题的正确结论是_________ _.

11.已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.

12.已知：如图18－2－10，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.

求：四边形ABCD的面积.

图18－2－10

参考答案

一、基础·巩固

1.思路分析：判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法：①有一个角是直角或两锐角互余；②两边的平方和等于第三边的平方；③一边的中线等于这条边的一半.

由A 得有一个角是直角；B 、C 满足勾股定理的逆定理，所以应选D.

2.解：过D 点作DE ∥AB 交BC 于E,

则△DEC 是直角三角形.四边形ABED 是矩形，∴AB=DE.∵∠D=120°，∴∠CDE=30°. 又∵在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，∴CE=5 cm.

根据勾股定理的逆定理得，DE=3551022=- cm.∴AB=3551022=- cm.

3.思路分析：因为△ABC 是Rt △，所以BC 2+AC 2=AB 2,即S 1+S 2=S 3，所以S 3=12，因为S 3=AB 2,所以AB=32123==S .

4.思路分析：分别计算EF 、CE 、CF 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断即可. 解：∵E 为AB 中点，∴BE=2.∴CE 2=BE 2+BC 2=22+42=20.

同理可求得,EF 2=AE 2+AF 2=22+12=5,CF 2=DF 2+CD 2=32+42=25.

∵CE 2+EF 2=CF 2,∴△EFC 是以∠CEF 为直角的直角三角形.

5.思路分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断△ADB 和△DBC 是否为直角三角形即可，这样勾股定理的逆定理就可派上用场了.

解：在△ABD 中，AB 2+AD 2=32+42=9+16=25=BD 2，所以△ABD 为直角三角形，∠A =90°. 在△BDC 中,BD 2+DC 2=52+122=25+144=169=132=BC 2.

所以△BDC 是直角三角形，∠CDB =90°.因此这个零件符合要求.

6.思路分析：根据题意，只要判断三边之间的关系符合勾股定理的逆定理即可.

证明：∵k 2+1>k 2－1,k 2+1－2k=(k －1)2>0,即k 2+1>2k ，∴k 2+1是最长边.

∵(k 2－1)2+(2k )2=k 4－2k 2+1+4k 2=k 4+2k 2+1=(k 2+1)2,∴△ABC 是直角三角形.

二、综合·应用

7.思路分析：如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形（例2已证）.

8.思路分析：根据题意，只要判断三边符合勾股定理的逆定理即可.

证明：∵AC 2=AD 2+CD 2，BC 2=CD 2+BD 2，∴AC 2+BC 2=AD 2+2CD 2+BD 2

=AD 2+2AD·BD+BD 2=（AD+BD ）2=AB 2.∴△ABC 是直角三角形.

9.思路分析：借助于网格，利用勾股定理分别计算OA 、AB 、OB 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断△OAB 是否是直角三角形即可.

解：∵ OA 2=OA 12+A 1A 2=32+12=10, OB 2=OB 12+B 1B 2=22+42=20,

AB 2=AC 2+BC 2=12+32=10, ∴OA 2+AB 2=O B 2.

∴△OAB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形.

10.思路分析：做这种类型的题目，首先要认真审题，特别是题目中隐含的条件，本题错在忽视了a 有可能等于b 这一条件，从而得出的结论不全面.

答案：①(B) ②没有考虑a=b 这种可能，当a=b 时△ABC 是等腰三角形；③△ABC 是等腰三角形或直角三角形.

11.思路分析：（1）移项，配成三个完全平方；(2)三个非负数的和为0，则都为0；(3)已知a 、b 、c ，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形.

解：由已知可得a 2－10a+25+b 2－24b+144+c 2－26c+169=0,

配方并化简得,(a －5)2+(b －12)2+(c －13)2=0.

∵(a －5)2≥0,(b －12)2≥0,(c －13)2≥0.∴a －5=0,b －12=0,c －13=0.

解得a=5,b=12,c=13.又∵a 2+b 2=169=c 2,∴△ABC 是直角三角形.

12.思路分析：（1）作DE ∥AB ，连结BD ，则可以证明△ABD ≌△EDB （ASA ）；

(2)DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB =3；(3)在△DEC 中，3、4、5为勾股数，△DEC 为直角三角形，DE ⊥BC ；(4)利用梯形面积公式，或利用三角形的面积可解.

解：作DE ∥AB ，连结BD ，则可以证明△ABD ≌△EDB （ASA ）,

∴DE=AB=4，BE=AD=3.∵BC=6,∴EC=EB=3.

∵DE 2+CE 2=32+42=25=CD 2,∴△DEC 为直角三角形.

又∵EC=EB=3,∴△DBC 为等腰三角形，DB=DC=5.

在△BDA 中AD 2+AB 2=32+42=25=BD 2,

∴△BDA 是直角三角形.

它们的面积分别为S △BDA =21×3×4=6;S △DBC =2

1×6×4=12. ∴S 四边形ABCD =S △BDA +S △DBC =6+12=18.