(完整版)人教版八年级数学上册第十五章分式知识点总结和题型归纳(无答案)
新人教版八年级上数学《第十五章分式》考点复习小结
新人教版八年级上数学《第十五章分式》复习小结考点题型题型1、分式的概念的考查1.下列各式中是分式的（填序号）（ ） ①－x 3 ②53x ③ 21 ④ m s 72- ⑤－x 1＋２ ⑥ｂ＋3b 题型2、分式有意义的条件 2.当a 取 时，分式a a 3334--无意义。
3.当x 时，分式912-x 有意义。
题型3、分式值为零的条件4.当x = 时，分式122--x x 的值为零；5.当x = 时，分式6292--x x =0 6.当分式||33x x -+的值为零时,x 的值为( ). A.0 B.3 C.-3 D.±3 题型4、分式的符号法则7.填上使等式成立的符号：－321+-x x =（ ）321+-x x =( )321---x x 题型5、约分8.计算22()ab a b-的结果是（ ）A ．a B ．b C ．1 D ．－b 9.化简222a b a ab -+的结果为（ ）A ．b a - B ．a b a - C ．a b a + D ．b -10.化简：2222444m mn n m n -+-= ． 题型6、通分11.把下列各题中的分式通分:)4(2+m n = ，1652--m mn = 题型7、分式的运算 12.化简：2111x x x x -+=++ ． 13.化简：224442x x x x x ++-=-- ． 14.化简ba a ab a -⋅-)(2的结果是 （ ） A ．b a - B ．b a + C ．b a -1 D ．b a +1 15.计算21111a a a ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭= 16.化简a a a a a a 2422-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--的结果是（ ）A ．－4 B ．4 C ．2a D ．－2a 17.化简11y x x y ⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的结果是（ ）A ．y x - B ． x y - C ． x yD ．y x18.分式111(1)a a a +++的计算结果是（ ）A ．11a + B ．1a a + C ．1a D ．1a a + 19.化简22424422x x x x x x x ⎛⎫--+÷ ⎪-++-⎝⎭，其结果是（ ） A ．82x -- B ．82x - C ．82x -+ D ．82x + 20.①化简：xx x x x 2)242(2-÷+-+ ②化简：1a b a b b a ++--21.①化简:35(2)482y y y y -÷+---②化简：2414a ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭·2a a +．22计算：2228224a a a a a a +-⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭23化简求值：211122x x x -⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭，其中2x =．题型8、解分式方程25.①32-x x +x 235-=4 ②224xx -=21+x -1题型9、增根的用法26.已知x =-2是分式方程21+x -42-x m =1的增根，则m= 27.当m = 时，关于x 的分式方程213x m x +=--无解。
人教版八年级上册第十五章分式知识点期末总复习
分式期末总复习一、分式的判定（分母含有未知量的式子）1、下列式子中，y x +15、8a 2b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、πxy 3、y x +3、m a 1+中分式的个数为（ ）（A ） 6 （B ） 7 （C ） 4 (D) 52、下列各式中是分式的是( )A. B. C. D.3、在有理式，，，，中属于分式的有________．4、下列各式中，属于分式的是 （ ）A 、2312--x xB 、187923-+-x xC 、11+x D 、xy y x 312133-二、分式有意义1、分式有意义？满足什么条件时，下列x（1）35-x（2）12-m（3）312++x x（4）)4)(2(2+--x x x（5）x x x-2（6）x x -+212（7）)3)(1(2-+-x x x2、无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（）A ．122+x x B.12+x xC.133+x xD.25x x -三、分式的约分（1）=-2264xy yx ；（2）92-x = ；（3）22444a a a -++＝ ；（4）=y x xy2164 ；（5）=++)()(b a b b a a ；（6） =--2)(y x yx ；（7）=-+22y x ay ax ；（8）=++-1681622x x x ；（9）=+-6292x x（10）23314___________21a bc a bc -= （11）=+--96922x x x _______。
（12）．四、分式的通分1、通分：（1）z y x yz x 23324365和（2） 1111-+x x 和（3）222;33;y x x cx y b y x a +---2、通分：⑴ 3x y 与245xy ；⑵ ,36a a -与22(2)a a -；（4）⑶22y x y -与222yx xy y -+；⑷ 2386xy x +与21(43)y x +；五、分式的乘除1、计算（﹣a ）2•的结果为（ ）A ．bB ．﹣bC ．abD． 2、化简,其结果是( )A. B. 2C. D.六、分式的加减1.化简的结果是( )A. B. C. D.2、化简：xx y--yx y+，结果正确的是（）A．1B．2222x yx y+-C．x yx y-+D．22x y+3、化简的结果为（）A．B．a﹣1 C．a D．14、计算的结果为.5、．七、分式的化简求值1、先化简，再选取一个既使原式有意义，又是你喜欢的数代入求值．2、给定三个分式：、、．请你任选其中的两个构造一个分式，并化简该分式．3、请你从、、中任选两个．将其中一个作为分子，另一个作为分母组成一个分式，并将这个分式进行化简，再求当时分式的值．4、先化简，再求值221x x x ++÷1(1)1x -+，其中x ＝3．八、分式方程的计算1、解下列的分式方程；x x 3152=+3911332-=-+x x xxx x 2412x 32+=++23121--=--x x x9442313212-=-++x x x x九、分式的实际应用题应用题1、我市某校为了创建书香校园，去年购进一批图书。
人教版八年级数学上册第十五章分式知识点总结和典型题型
.
12 xy
（ 1） 2 3 1x 1 y 34
0.2a 0.03b （2）
0.04a b
题型二：分数的系数变号
【例 2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号
.
（ 1） x y xy
（ 2）
a
ab
（3） a b
题型三：化简求值题
【例 3】已知： 1 1 5 ，求 2x 3xy 2 y 的值 .
b
:
c
bc a
0
aa a
2. 异分母加减法则
b
:
d
bc da
bc
da a
0, c
0;
a c ac ac ac
【例 3】当 x 取何值时，下列分式的值为 0.
（1） x 1 x3
|x| 2 （ 2） x2 4
x2 2x 3 （ 3） x2 5x 6
题型四：考查分式的值为正、负的条件
【例 4】（ 1）当 x 为何值时，分式 4 为正； 8x
“实际问题 ———
【例 1】下列代数式中：
x1
a b x2
, x y,
,
y2 x ,
y ，是分式的有：
.
2
ab x y x y
分式方程模型 ——— 求解 ——— 解释解的合理性 ”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对
题型二：考查分式有意义的条件
培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法
式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程
（一）、分式定义及有关题型
的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等．
人教版八年级数学上册第十五章分式知识点总结和题型归纳(无答案)
分式知识点总结和题型归纳第一部分分式的运算 （一）分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义 ：A一般地，如果 A ，B 表示两个整数，并且 B 中含有字母，那么式子 A 叫做分式，A 为分子,BB 为分母。
i-y ，是分式的有: x y题型二：考查分式有意义的条件 分式有意义：分母不为 0（ B 0） 分式无意义：分母为 0（ B 0） 【例1】当x 有何值时，下列分式有意义（1）—（2）-3^ （ 3）（4）（ 5）丄x4x 22 x 21| x| 3x1x题型三：考查分式的值为 0的条件分式值为0:分子为0且分母不为0 （ A 0）B 0【例1】当x 取何值时， 下列分式的值为0.（1）Jx 3（2）|x| 2 x 242（3） x 22x 3x 5x 6【例2】当x 为何值时，下列分式的值为零:题型四：考查分式的值为正、负的条件分式值为正或大于 0:分子分母冋号（A或A 0 ）B 0B 0【例1】下列代数式中:（1）5 |x 1 | x 4（2） 2^5 xx 6x 5x 1 -，2x分式值为负或小于0：分子分母异号（A °或八°）B 0 B0【例"（1）当x为何值时，分式为正;（3）当x为何值时，分式工为非负数.【例2】解下列不等式（1）1古 °（2）U题型五：考查分式的值为1，-1的条件分式值为1 :分子分母值相等（A=B）分式值为-1 :分子分母值互为相反数（A+B=°）【例1】若也L上的值为1,-1，则x的取值分别为________________________ x 2思维拓展练习题：a b1、若a>b>0, a2+ b2—6ab=0,则一a b2、一组按规律排列的分式：b2 b5 b8b11,2 , 3, 4 , L L ( ab 0),则第n个分式为a a a a（2）当x为何值时，分式5 x23 (x 1)2为负;A3、已知x23x 1 0,求X2 -2的值。
(完整版)第十五章分式知识点归纳与整理
第十五章分式知识点归纳与整理§15.1分式1.分式的概念形如BA(A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母 整式和分式统称有理式。
特别注意：1π不是分式。
2.分式的基本性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
MB MA MB M A B A ÷÷=••=（其中0,0≠≠B M ，且M B A ,,均表示的是整式） 【分式的约分】首先要找出分子与分母的公因式，再把分子与分母的公因式约去。
【分式的通分】通分的关键是确定几个分式的公分母，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母（叫做最简公分母）。
§15.2 分式的运算1.分式的乘除【乘法法则】分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
注意：如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简。
【除法法则】分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
2.分式的加减法同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式想加减，先通分，变为同分母的分式，再把分子相加减。
3.分式的乘方【乘方法则】n n nb a b a =⎪⎭⎫⎝⎛【零指数幂】任何不等于零的数的零次幂都等于1。
【负整指数幂】任何不等于零的数的－N （N 为正整数）次幂，等于这个数的N 次幂的倒数。
【正整数指数幂运算性质】注意：这些性质在整数指数幂中同样适用。
4.科学记数法：把一个数表示成的形式10n a ⨯（其中101<≤a ，n 是整数）的记数方法叫做科学记数法。
（1）用科学记数法表示绝对值大于1的数时，应当表示为10n a ⨯的形式, 其中1≤︱a ︱＜10,n 为原整数部分的位数减1；（2）用科学记数法表示绝对值小于1的数时,则可表示为10n a -⨯的形式，其中n 为原数第1个不为0的数字前面所有0的个数(包括小数点前面的那个0)，1≤︱a ︱＜10。
人教版八年级上册数学 第十五章 分式方程 知识点及考点
第十五章分式方程知识点及考点一、知识点1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．易错提醒：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．3．增根在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．温馨提示：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．4．分式方程的应用（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝工作量工作效率，时间＝路程速度等．（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．二、考试方向（一）解分式方程分式方程的解法：①能化简的应先化简；②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； ③解整式方程；④验根． 例题：1、解分式方程：312242x x x -=--． 【解析】去分母得：6-x =x -2，解得：x =4，经检验x =4是分式方程的解．【名师点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．2、方程33122x x x-+=--的解为_______________． 【答案】1x =【解析】方程两边同乘以(2)x -，得(32)3x x -+-=-，解得1x =，检验：1x =时，20x -≠，所以1x =是原分式方程的解． 故填1x =．【名师点睛】分式方程的解题步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．同时应注意分式方程必须检验．（二）分式方程的解（1）求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根.（2）验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根；否则这个根就是原分式方程的根，若解出的根都是增根，则原方程无解.（3）如果分式本身约分了，也要代入进去检验.（4）一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.例题：3、 若关于x 的方程3111ax x x -=++的解为整数解，则满足条件的所有整数a 的和是 A ．6 B ．0 C ．1 D ．9【答案】D【解析】分式方程去分母得：ax -1-x =3，解得：x =41a -， 由分式方程的解为整数解，得到a -1=±1，a -1=±2，a -1=±4， 解得：a =2，0，3，-1，5，-3（舍去），则满足条件的所有整数a 的和是9， 故选D ．【名师点睛】此题考查了分式方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4、若关于x 的分式方程121k x -=+的解为负数，则k 的取值范围为_______________． 【答案】3k <且1k ≠【解析】分式方程去分母转化为整式方程，去分母得122k x -=+，解得32x k =-，由分式方程的解为负数，可得203k -<且10x +≠，即213k -≠-，解得3k <且1k ≠． （三）分式方程的应用分式方程解实际问题的求解步骤：审题、设未知数、列方程、解方程、检验、写出答案，检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行．例题：5、某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x 个，根据题意可列分式方程为A ．2010154x x +=+ B ．2010154x x -=+ C ．201015x x += D ．201015x x -= 【答案】A 【解析】由题意可知原计划每天生产x 个零件，则实际每天生产了(4)x +个零件，实际15天共生产了(200)1x +个零件，因此根据题意可列分式方程为2010154x x +=+． 故选A ． 6、元旦假期即将来临，某旅游景点超市用700元购进甲、乙两种商品260个，其中甲种商品比乙种商品少用100元，已知甲种商品单价比乙种商品单价高20%，那么乙种商品单价是A ．2元B ．2.5元C ．3元D ．5元【答案】B【解析】设乙种商品单价为x 元，则甲种商品单价为(1)20%x +元，由题易得，甲种商品花费300元，乙种商品花费400 解得 2.5x =元．故选B ．。
(完整版)八年级上册第十五章分式知识点总结及练习,推荐文档
第十五章分式一、知识概念：1.分式：形如A ，A、B 是整式，B 中含有字母且B 不等于 0 的整式叫B做分式.其中 A 叫做分式的分子， B 叫做分式的分母.2.分式有意义的条件：分母不等于 0.3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变.4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为 1 的数）约去，这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.7.分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为： a ±b =a ±bc c c⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a ±c =ad ±cbb d bd⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分12⑹ a = 子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为： a ⨯ c = acb d bd⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为： a ÷ c= a ⨯ d= adb db cbc⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：⎛ a ⎫n⎪ ⎝ b ⎭ = a n bn8. 整数指数幂：⑴ a m ⨯ a n = a m +n （ m 、n 是正整数）⑵ (am)n⑶ (ab )n= a mn （ m 、n 是正整数）= a n b n （ n 是正整数）⑷ a m ÷ a n ⎛ a ⎫n= a m -n （ a ≠ 0 ， m 、n 是正整数， m > n ）a n⑸ ⎪ ⎝ b ⎭= b n （ n 是正整数）- n1an （ a ≠ 0 ，n 是正整数）9. 分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程 .10. 分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母 ,将分式方程化为整式方程 );②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根 ,因为在把分式方程化为整式方程的过程中 ,扩大了未知数的取值范围 ,可能产生增根).分式常考例题精选21.若分式+ 1有意义，则a 的取值范围是( )A.a=0B.a=1C.a≠-1D.a≠02 12.把分式方程+ 4= 转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以 ( )3A.xB.2xC.x+4D.x(x+4)12 2 13.分式方程x2 ‒ 9-x‒ 3=x + 3的解为 ( )A.3B.-3C.无解D.3 或-34.今年我省荔枝喜获丰收，有甲、乙两块面积相同的荔枝园，分别收获荔枝 8 600kg 和9 800kg，甲荔枝园比乙荔枝园平均每亩少60kg，问甲荔枝园平均每亩收获荔枝多少kg?设甲荔枝园平均每亩收获荔枝xkg，根据题意，可得方程( )8 600A.9 800= +608 600B.9 800= x‒ 608 600C.x‒ 60 =9 800 8 600D. + 60=9 8005.若分式2x‒ 1 有意义，则x 的取值范围是.6.若代数式2x‒ 1 -1 的值为零，则x= .x 37.若关于x 的分式方程x‒ 1=2x‒ 2-2 有非负数解，则a 的取值范围是.4( )a ‒1 a2 ‒ 2a + 18. 化简：a÷a.56( ) () 9. 先化简，再求值：1‒ 1 m 2 ‒ 2mn + n 2mn÷mn，其中 m=-3，n=5.10. 某车队要把 4000t 货物运到雅安地震灾区(方案定后，每天的运量不变).(1) 从运输开始，每天运输的货物吨数 n(单位：t)与运输时间 t(单位：天)之间有怎样的函数关系式?(2) 因地震，到灾区的道路受阻，实际每天比原计划少运 20%，则推迟 1 天完成任务，求原计划完成任务的天数.x+ 2x ‒ 111. 先化简，再求值：负整数x‒ 4 2解 . x ‒ 2÷x‒ 4x+4，其中x 是不等式3x+7>1的712.某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球.回校后，王老师和李老师编写了一道题：请求出篮球和排球的单价各是多少元?11.分式x－1有意义，则x 的取值范围是( )A．x>1 B．x≠1 C．x<1 D．一切实数b2.下列各分式与a相等的是( )b2 A.a2b＋2B.a＋2abC.a2a＋bD.2a3.下列分式的运算正确的是( )1 2 3 a＋b a2＋b2A.a＋b＝a＋b B．( c )2＝c2a2＋b2 3－a 1 C. a＋b ＝a＋b D.a2－6a＋9＝3－a83a－4 14．化简(a＋a－3 )(1－a－2)的结果等于( )a－2 A．a－2c B．a＋2 C.a－3a－3 D.a－2a－2 15.若x＝3 是分式方程x －x－2＝0 的根，则a 的值是( )A．5 B．－5 C．3 D．－3m 36.已知关于x 的分式方程x－1＋1－x＝1 的解是非负数，则m 的取值范围是( )A．m>2 B．m≥2C．m≥2 且m≠3 D．m>2 且m≠37.小明上月在某文具店正好用20 元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜1 元，结果小明只比上次多用了4 元钱，却比上次多买了2 本．若设他上月买了x 本笔记本，则根据题意可列方程( )24 20 20 24 24 20 20 24A.x＋2－x ＝1B. x －x＋2＝1C. x －x＋2＝1D.x＋2－x ＝1x－b 2x－b8.当x＝1 时，分式x＋a无意义；当x＝2 时，分式3x＋a的值为0，则a＋b＝．95 79.方程x＝x－2的解是x＝．3x 2x 110．若(x－y－2)2＋|xy＋3|＝0，则(x－y－x－y)÷y的值是．m 111.关于x 的分式方程x2－4－x＋2＝0 无解，则m＝．12.计算或化简：2x 1(1)3 8－2－1＋| 2－1|；(2)x2－4－x－2；103－a 5(3)2a－4÷(a＋2－a－2)．13.解分式方程：1 x－2 1 13 (1)x－x ＝1; (2)2x－1＝2－4x－2.114．先化简(1＋x－2) ÷数作为x 的值，代入求值；x－1x2－4x＋4，再从1，2，3 三个数中选一个合适的1115．小明去离家2.4 km 的体育馆看球赛，进场时，发现门票还放在家中，此时离比赛还有45 min，于是他立即步行(匀速)回家取票，在家取票用时2 min，取到票后，他马上骑自行车(匀速)赶往体育馆．已知小明骑自行车从家赶往体育馆比从体育馆步行回家所用时间少20 min，骑自行车的速度是步行速度的3 倍．(1)小明步行的速度是多少？(2)小明能否在球赛开始前赶到体育馆？1213“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
人教版数学 八年级上 第十五章 《分式》精品讲义
所以 x2 y2 z2 0. yz zx xy
【解读策略】 条件分式的求值，如需把已知条件或所示条件分式变形，必 须依据题目自身的特点，这样才能到事半功倍的效果，条件分式的求值问题体现 了整体的数学思想和转化的数学思想.
所以 (x
xyz y)( y z)(x
z）
2k k 3k 3k 4k 5k
6k 3 60k 3
1 10
.
例6 已知 x a, z c, 且 abc o ,求 a b c 的值.
yz xy
a 1 b1 c 1
解: 由已知得 1 y z , ax
所以 1 1 y z 1 x y z , 即 a 1 x y z ,
同分母分式，再进行相加减.在通分时，先确定最简公分母，然后将各分式的分
子、分母都乘以分母与最简公分母所差的因式.运算的结果应根据分式的基本性
质化为最简形式.
专题 2 有关求分式值的问题
【专题解读】对于一个分式，如果给出其中字母的值，可以先将分式进行化
简，然后将字母的值代入，求出分式的值.但对于分式的求值问题,却没有直接给
知识网络结构图
分式的概念
分式的概念 分式的意义、无意义的条件
分式的值为 0 的条件
分式的基本性质
分式的基本性质 分式的约分
分式的通分
分式的乘法规则
分式的除法规则
分式
同分母分式的加减法法则
分式的运算 分式的加减法法则
异分母分式的加减法法则
运算性质
负正数指数幂
科学记数法
公式方程的概念
解分式方程的步骤
分式方程 分式方程中使最简公分母为 0 的解
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分式知识点总结和题型归纳第一部分 分式的运算 （一）分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义:一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式，A 为分子，B 为分母。
【例1】下列代数式中：y x yx y x y x ba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件分式有意义：分母不为0（0B ≠） 分式无意义：分母为0（0B =）【例1】当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=00B A ）【例1】当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x（2）42||2--x x （3）653222----x x x x【例2】当x 为何值时，下列分式的值为零：（1）4|1|5+--x x（2）562522+--x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件 分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<00B A ）分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><0B A ）【例1】（1）当x 为何值时，分式x-84为正；（2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.【例2】解下列不等式 （1）012||≤+-x x （2）03252>+++x x x题型五：考查分式的值为1，-1的条件 分式值为1：分子分母值相等（A=B ）分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 【例1】若22||+-x x 的值为1，-1，则x 的取值分别为思维拓展练习题：1、若a>b>0,2a ＋2b －6ab=0,则a ba b+=- 2、一组按规律排列的分式：25811234,,,,b b b b a a a a--（ab ≠0），则第n 个分式为3、已知2310x x -+=，求221x x +的值。
4、已知222450,x y x y +--+=求分式y xx y-的值。
（二）分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质：MB MA MB M A B A ÷÷=⨯⨯= 2．分式的变号法则：bab a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）y x yx 41313221+- （2）ba ba +-04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例1】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）y x yx --+- （2）b a a --- （3）b a ---题型三：化简求值题【例1】已知：511=+y x ，求yxy x yxy x +++-2232的值.【例2】已知：21=-x x ，求221xx +的值. 【例3】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.【例4】已知：311=-b a ，求aab b bab a ---+232的值.【例5】若0106222=+-++b b a a ，求ba ba 532+-的值.【例6】如果21<<x ，试化简x x --2|2|xx x x |||1|1+---.思维拓展练习题1、对于任何非零实数a,b,定义运算“*”如下：a *b a bab-=,求2*1+3*2+…+10*9的值 2、已知0,234x y z==≠求代数式2x y z x y z +-++的值（三）分式的运算① 分式的乘除法法则：乘法分式式子表示为：db c a d c b a ••=• 除法分式式子表示为：cc ••=•=÷b da db a dc b a② 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。
式子表示为：n n nb a b a =⎪⎭⎫⎝⎛③ 分式的加减法则：cba cb ±=±c a 异分母分式加减法：式子表示为：bdbcad d c ±=±b a 整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。
题型一：通分1．系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 2．取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.3．如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母. 【例1】将下列各式分别通分.（1）cb ac a b ab c 225,3,2--； （2）a b b b a a 22,--；（3）22,21,1222--+--x x x x xx x ； （4）aa -+21,2题型二：约分①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。
【例2】约分：（1）322016xy y x -； （2）n m m n --22； （3）6222---+x x x x .题型三：分式的混合运算【例3】计算： （1）42232)()()(abc ab c c b a ÷-⋅-；（2）22233)()()3(xy x y y x y x a +-÷-⋅+；（3）mn mn m n m n n m ---+-+22；（4）112---a a a ；（5）874321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--； （6）)5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1+++++++-x x x x x x ；（7）)12()21444(222+-⋅--+--x xx x x x x题型四：化简求值题 【例4】先化简后求值（1）已知：1-=x ，求分子)]121()144[(48122x x x x -÷-+--的值；（2）已知：432z y x ==，求22232z y x xzyz xy ++-+的值；（3）已知：0132=+-a a ，试求)1)(1(22a a a a --的值.题型五：求待定字母的值【例5】若111312-++=--x Nx M x x ，试求N M ,的值.思维拓展练习题：1、某工厂通过改造设备，平均每天节约用煤15，那么相同数量的煤，现在使用的天数是原来的几倍？2、若非零实数a,b 满足22104a ab b -+=，则ba =3、若27x y =，求222232257x xy y x xy y-++-的值4、已知abc=1,求111a b c ab a bc b ac c ++++++++的值5、已知a,b,c 为实数，且111',345ab bc ca a b b c c a ===+++，求abcab bc ca++的值第二部分 分式方程分式方程的解的步骤：⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。
（产生增根的过程） ⑵解整式方程，得到整式方程的解。
⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。
产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。
（一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程 【例1】解下列分式方程（1）x x 311=-；（2）0132=--x x ；（3）114112=---+x x x ；（4）x x x x -+=++4535题型二：特殊方法解分式方程 【例2】解下列方程（1）4441=+++x x x x ； （2）569108967+++++=+++++x x x x x x x x 提示：（1）换元法，设y x x =+1； （2）裂项法，61167++=++x x x .【例3】解下列方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+)3(4111)2(3111)1(2111x z z y y x题型三：求待定字母的值 【例4】若关于x 的分式方程3132--=-x mx 有增根，求m 的值.【例5】若分式方程122-=-+x ax 的解是正数，求a 的取值范围.题型四：解含有字母系数的方程 【例6】解关于x 的方程)0(≠+=--d c dcx b a x题型五：列分式方程解应用题1、某服装厂准备加工400套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问：原计划每天加工服装多少套？2、某商店经销一种泰山旅游纪念品，4月份的营业额为2000元，为扩大销售量，5月份该商店对这种纪念品打6折销售，结果销售量增加20件，营业额增加700元。
（1） 求该种纪念4月份的销售价格？（2） 若4月份销售这种纪念品获得800元，5月份销售这种纪念品获利多少元？3、河边两地相距50km,,船在静水中的速度是m(km/h)，水流速度是n(km/h). (1)船从河边两地往返一次需要多长时间？（2）当m=30,n=10时，求船往返一次需要的时间？ 4、“丰收1号”小麦的试验田是边长为a （m ）的正方形减去一个边长为1m 的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a-1)m 的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg（1）哪种小麦的单位面积产量高?(2)小麦高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？思维拓展练习题： 1、已知111a b a b+=+，求a b b a +的值。
（二）分式方程的特殊解法解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下： 一、交叉相乘法 例1．解方程：231+=x x二、化归法 例2．解方程：012112=---x x三、左边通分法例3：解方程：87178=----xx x四、分子对等法例4．解方程：)(11b a xb b x a a ≠+=+五、观察比较法例5．解方程：417425254=-+-x x x x六、分离常数法例6．解方程：87329821+++++=+++++x x x x x x x x七、分组通分法例7．解方程：41315121+++=+++x x x x 于x 的分式方程a x a =++112无解，试求a 的值.(三）分式方程求待定字母值的方法题型一：关于无解的情况 例1．若分式方程xmx x -=--221无解，求m 的值。