单双精度浮点数的IEEE标准格式
计算机组成原理ieee754计算题
计算机组成原理ieee754计算题1. 前言在计算机科学领域中，IEEE 754标准是定义了单精度和双精度浮点数的规范，它定义了浮点数的表示和运算。
在本篇文章中，我们将通过一些计算题来深入理解IEEE 754标准，并探讨浮点数的表示和运算过程。
2. IEEE 754标准概述IEEE 754标准定义了浮点数的表示方式和运算规则，其中单精度浮点数使用32位来表示，双精度浮点数使用64位来表示。
在该标准中，浮点数分为三个部分：符号位、指数位和尾数位。
其中，符号位用来表示数的正负，指数位用来表示数的大小，尾数位用来表示数的精度。
3. 计算题接下来，我们将通过一些计算题来演示IEEE 754浮点数的表示和运算过程。
计算题1：将十进制数7.25转换为单精度浮点数表示。
解答：将7.25转换为二进制数。
整数部分为7，可以直接转换为二进制数为0111；小数部分0.25，则可以乘2取整法转换为二进制数为01。
7.25的二进制表示为0111.01。
接下来，将二进制表示规范化为科学计数法。
0111.01规范化为1.1101 x 2^2。
根据IEEE 754标准，单精度浮点数的表示形式为符号位+指数位+尾数位。
其中，符号位为0表示正数，指数位为2的补码9位表示偏移量加127，尾数位采用隐藏位法表示。
7.25的单精度浮点数表示为0 xxx xxx。
计算题2：计算单精度浮点数表示的两个数相加。
设有两个单精度浮点数A和B，A的表示形式为0 xxx xxx，B的表示形式为0 xxx xxx。
解答：首先比较A和B的指数部分，发现它们相同，因此可以直接相加。
接着将A和B的尾数部分相加。
由于A和B的尾数部分均为1.1101和1.1110，因此直接相加得到10.1011。
由于相加后的尾数部分超过规定的位数，需要进行右移并进位处理，最终得到尾数部分为1.xxx。
将A和B的符号位相加。
由于A和B的符号位均为0，相加后仍为0，表示正数。
A和B的单精度浮点数表示相加的结果为0 xxx xxx。
IEEE_754关于浮点数的规定
习题: 1.将下列十进制数用16进制IEEE 754 单精 度代码表示 (1) –35 (2) 3.75 (3) 5 2.将下列16进制IEEE 754 单精度代码转换成 十进制数 (1) 41F00000 (2) BF600000 (3) 3F800000
例1 把十进制数100.25转换成协处理器中的 浮点数 解：1、进制转换： (100.25)10＝(1100100.01)2 2、规格化： (1100100.01)2＝1.10010001×26 ＝1.10010001×2110 3、计算阶码： 110+01111111＝10000101 4、数值的符号位为：0， 阶码为：10000101， 尾数为： 1001 0001 0000 0000 0000 000
一、 IEEE754对阶码作如下规定
偏移阶码E 0 1 2 … 127 128 129 … 254 255 实际阶码值 保留做操作数 -126 -125 0 1 2 127 保留做操作数
二、对上溢和下溢的处理 当运算结果小于规格化浮点数所能表示的 最小值时，以前硬件处理策略，或者结果置0 或者产生一个下溢陷阱，这两种方案均不能 令人满意。 IEEE754 处理方法是使用非规格化数。 这时阶码为0（即移码-127），尾数没有隐含 位，最高位是0。 这样的结果是降低精度，扩大表示范围。 如原来规格化单精度最小值是 1.0x2-126, 而非 规格化单精度最小值是2-23 x2-126=2-149(只有1 位有效位) 。
255 255
任意
0 非0
规格化数
±无穷大 NaN
三、十进制数转换成浮点数的步骤 1、将十进制数转换成二进制数：整数部分用 2来除，小数部分用2来乘； 2、规格化二进制数：改变阶码，使小数点前 面仅有第一位有效数字； 3、计算阶码： 短型浮点数的阶码加上偏移量7FH 长型浮点数的阶码加上偏移量3FFH 扩展型浮点数的阶码加上偏移量3FFFH 4、以浮点数据格式存储。 把数值的符号位、阶码和尾数合在一起 就得到了该数的浮点存储形式。
IEEE 745浮点数标准
IEEE 745浮点数标准解读IEEE标准754：浮点数表示如须转载请注明作者为Lolita@，并请保持文章的完整和提供转载出处。
N的实际值n由下列式子表示：其中：★ n,s,e,m分别为N,S,E,M对应的实际数值,而N,S,E,M仅仅是一串二进制位。
★ S(sign)表示N的符号位。
对应值s满足：n>0时，s=0; n<0时，s=1。
★ E(exponent)表示N的指数位，位于S和M之间的若干位。
对应值e值也可正可负。
★ M(mantissa)表示N的尾数位，恰好，它位于N末尾。
M也叫有效数字位（sinificand）、系数位（coefficient）, 甚至被称作“小数”。
三、浮点数格式IEEE标准754规定了三种浮点数格式：单精度、双精度、扩展精度。
前两者正好对应C语言里头的float、double或者FORTRAN里头的real、double精度类型。
限于篇幅，本文仅介绍单精度、双精度浮点格式。
★ 单精度:N共32位，其中S占1位，E占8位，M占23位。
★ 双精度:N共64位，其中S占1位，E占11位，M占52位。
上图中，|E|表示E的二进制序列表示的整数值,例如E为"10000100",则|E|=132,e=132-127=5 。
k则表示E的位数，对单精度来说，k=8,则bias=127，对双精度来说，k=11,则bias=1023。
此时m的计算公式如下图所示：标准规定此时小数点左侧的隐含位为1,那么m=|1.M|。
如M="101"，则|1.M|=|1.101|=1.625,即 m=1.6252、非规格化：当E的二进制位全部为0时，N为非规格化形式。
此时e，m 的计算都非常简单。
注意，此时小数点左侧的隐含位为0。
为什么e会等于(1-bias)而不是(-bias)，这主要是为规格化数值、非规格化数值之间的平滑过渡设计的。
后文我们还会继续讨论。
ieee754浮点表示法
ieee754浮点表示法IEEE 754浮点表示法是一种用于计算机中浮点数表示和计算的标准。
它定义了浮点数的表示格式、舍入规则和算术操作，确保了在不同平台上的数值计算的一致性和可移植性。
IEEE 754浮点表示法使用科学计数法来表示浮点数。
它将一个浮点数分为三部分：符号位、指数位和尾数位。
其中，符号位表示数值的正负，指数位表示数值的大小，尾数位表示数值的精度。
在IEEE 754浮点表示法中，一个浮点数的二进制表示为：(-1)^s * M * 2^E，其中s表示符号位，M表示尾数位，E表示指数位。
符号位用于表示数值的正负。
当符号位为0时，表示数值为正；当符号位为1时，表示数值为负。
尾数位用于表示数值的精度。
它是一个二进制小数，由多个二进制位组成。
尾数位的长度取决于浮点数的精度要求。
例如，单精度浮点数使用23位的尾数位，双精度浮点数使用52位的尾数位。
指数位用于表示数值的大小。
它是一个整数，由多个二进制位组成。
指数位的长度取决于浮点数的范围要求。
例如，单精度浮点数使用8位的指数位，双精度浮点数使用11位的指数位。
在IEEE 754浮点表示法中，指数位和尾数位都采用了偏移码的表示方式。
偏移码是通过将真实值加上一个偏移量来表示的。
对于单精度浮点数，偏移量为127；对于双精度浮点数，偏移量为1023。
这样做的目的是为了方便计算机进行浮点数的比较和计算。
使用IEEE 754浮点表示法可以表示各种大小和精度的浮点数。
例如，单精度浮点数可以表示的最小正数为2^-126，最大正数为(2-2^-23) * 2^127；双精度浮点数可以表示的最小正数为2^-1022，最大正数为(2-2^-52) * 2^1023。
在进行浮点数的计算时，IEEE 754浮点表示法定义了一系列的舍入规则。
舍入规则用于确定浮点数计算结果的精度和舍入方式。
常见的舍入规则包括向上舍入、向下舍入、向零舍入和最近舍入。
不同的舍入规则适用于不同的计算场景，可以根据需要选择合适的舍入规则。
ieee 754-1985 浮点数表示方法
IEEE 754-1985 浮点数表示方法一、背景介绍IEEE 754-1985是一种用于计算机系统中浮点数表示的标准。
这一标准定义了浮点数的格式、表示范围、精度以及运算规则，是科学计算、工程计算和数据处理中广泛使用的一种标准。
它的出现改变了以往各种不同计算机系统之间浮点数表示的不一致性，促进了软件开发和数据交换的统一和规范化。
二、基本结构IEEE 754-1985标准定义了三种不同的浮点数格式：单精度、双精度和扩展双精度。
其中，单精度浮点数占用32位，双精度浮点数占用64位，扩展双精度浮点数占用80位。
这三种浮点数格式都包括三个部分：符号位(S)、指数位(E)和尾数位(M)。
具体的格式如下：1. 单精度浮点数符号位：1位指数位：8位尾数位：23位2. 双精度浮点数符号位：1位指数位：11位尾数位：52位3. 扩展双精度浮点数符号位：1位指数位：15位尾数位：64位三、浮点数表示范围根据IEEE 754-1985标准，不同格式的浮点数可以表示的范围也不同。
以双精度浮点数为例，它可以表示的范围大约是1.7 x 10^(-308)到1.7 x 10^308，而单精度和扩展双精度浮点数的表示范围也可以根据其格式类似地计算出来。
四、浮点数表示精度除了表示范围之外，IEEE 754-1985标准还规定了浮点数的表示精度。
双精度浮点数具有大约15位有效数字，这意味着它的表示精度可以达到小数点后15位。
单精度和扩展双精度浮点数的表示精度也可以通过类似的方式得出。
五、浮点数运算规则IEEE 754-1985标准还规定了浮点数的运算规则，包括加减乘除、开方、取模等一系列运算。
这些运算规则不仅规定了浮点数之间的运算规则，还规定了特殊值(如正无穷、负无穷、NaN)的处理方式，以及溢出、下溢等异常情况的处理方式。
六、浮点数表示的优缺点根据IEEE 754-1985标准，浮点数可以表示大范围的数值，并且具有较高的精度，这使得它在科学计算和工程计算中得到了广泛的应用。
ieee745浮点数表示范围
IEEE 745是IEEE（Institute of Electrical and Electronics Engineers，电气和电子工程师协会）于1985年制定的浮点数标准，定义了浮点数的表示方式，包括单精度浮点数和双精度浮点数。
IEEE 745浮点数表示范围主要包括单精度浮点数和双精度浮点数的取值范围，以及所能表示的有效数字范围。
1.单精度浮点数（32位）：
–符号位：1位
–指数位：8位
–尾数位：23位
单精度浮点数能够表示的数值范围大约是从 1.4e-45 到 3.4e38，其中
精度约为 7 位十进制数。
2.双精度浮点数（64位）：
–符号位：1位
–指数位：11位
–尾数位：52位
双精度浮点数能够表示的数值范围大约是从 4.9e-324 到 1.8e308，其
中精度约为 16 位十进制数。
这些范围是通过IEEE 745浮点数标准中规定的指数位和尾数位来确定的。
符号位确定了数值的正负，指数位决定了浮点数的数量级，尾数位决定了数值的精度。
IEEE 745浮点数表示范围的设计旨在平衡数值范围和精度，使其适用于广泛的科学和工程计算应用。
当进行计算时，需要注意浮点数的表示范围，避免数值溢出或精度丢失，以确保计算结果的准确性。
浮点数单精度浮点数与双精度浮点数在计算机中的存储
浮点数(单精度浮点数与双精度浮点数)在计算机中的存储在计算机中，浮点数是以特定的格式存储的，这种格式可以表示实数的整数部分和小数部分。
根据精度的不同，浮点数可以分为单精度浮点数（float）和双精度浮点数（double）。
这两种类型的浮点数在计算机中的存储方式略有不同。
1.单精度浮点数（float）单精度浮点数使用32位（bit）来存储，其中1位用于符号（sign），8位用于指数（exponent），23位用于尾数（mantissa）。
这种表示方法可以提供大约6位十进制的精度。
符号位（sign bit）：占用了第0位，用于表示正负。
0表示正数，1表示负数。
指数位（exponent bits）：占用了第1到第8位，用于表示浮点数的指数部分。
这部分采用了偏移编码，也就是将实际指数值加上一个偏移量（bias），一般这个偏移量是127。
尾数位（mantissa bits）：占用了第9到第31位，用于表示浮点数的小数部分。
这部分通常被归一化，即小数点移动的位置被记录在指数中，而小数点后面的具体数值被记录在尾数中。
2.双精度浮点数（double）双精度浮点数使用64位（bit）来存储，其中1位用于符号（sign），11位用于指数（exponent），52位用于尾数（mantissa）。
这种表示方法可以提供大约15位十进制的精度。
符号位（sign bit）：占用了第0位，用于表示正负。
0表示正数，1表示负数。
指数位（exponent bits）：占用了第1到第11位，用于表示浮点数的指数部分。
这部分同样采用了偏移编码，偏移量一般是1023。
尾数位（mantissa bits）：占用了第12到第63位，用于表示浮点数的小数部分。
这部分通常被归一化，即小数点移动的位置被记录在指数中，而小数点后面的具体数值被记录在尾数中。
无论是单精度浮点数还是双精度浮点数，它们都需要遵循IEEE 754标准，这个标准详细规定了浮点数的存储格式以及如何进行算术运算。
双精度浮点数与单精度浮点数转换公式
双精度浮点数与单精度浮点数是计算机中常用的数据类型，用于表示实数。
在计算机科学和工程领域，需要经常进行双精度浮点数与单精度浮点数之间的转换。
本文将对双精度浮点数与单精度浮点数的转换公式进行详细介绍，以帮助读者更好地理解和运用这些转换公式。
一、双精度浮点数与单精度浮点数的定义1. 双精度浮点数双精度浮点数是一种用于表示实数的数据类型，通常由符号位、指数位和尾数位组成。
在IEEE 754标准中，双精度浮点数占64位，其中1位用于表示符号，11位用于表示指数，52位用于表示尾数。
2. 单精度浮点数单精度浮点数也是一种用于表示实数的数据类型，与双精度浮点数相比，单精度浮点数占用的位数更少。
在IEEE 754标准中，单精度浮点数占32位，其中1位用于表示符号，8位用于表示指数，23位用于表示尾数。
二、双精度浮点数转换为单精度浮点数的公式双精度浮点数转换为单精度浮点数的公式如下：1. 将双精度浮点数的符号位、指数位和尾数位分别提取出来。
2. 根据IEEE 754标准中规定的单精度浮点数的符号位、指数位和尾数位的位数，进行相应的截断或舍入操作，使其符合单精度浮点数的表示要求。
3. 将上一步得到的符号位、指数位和尾数位组合起来，即可得到单精度浮点数的表示。
三、单精度浮点数转换为双精度浮点数的公式单精度浮点数转换为双精度浮点数的公式如下：1. 将单精度浮点数的符号位、指数位和尾数位分别提取出来。
2. 根据IEEE 754标准中规定的双精度浮点数的符号位、指数位和尾数位的位数，进行相应的扩展操作，使其填充满双精度浮点数占用的64位。
3. 将上一步得到的符号位、指数位和尾数位组合起来，即可得到双精度浮点数的表示。
四、双精度浮点数与单精度浮点数转换公式的应用双精度浮点数与单精度浮点数转换公式在实际应用中有着广泛的用途，特别是在计算机编程和计算机仿真领域。
通过这些转换公式，可以实现不同精度浮点数之间的数据传递和计算，使得计算机程序能够更加高效地处理各种复杂的数学和科学计算问题。
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单双精度浮点数的IEEE标准格式
目前大多数高级语言（包括C）都按照IEEE-754标准来规定浮点数的存储格式，IEEE754规定，单精度浮点数用4字节存储，双精度浮点数用 8字节存储，分为三个部分：符号位、阶和尾数。
阶即指数，尾数即有效小数位数。
单精度格式阶占8位，尾数占24位，符号位1位，双精度则为11为阶，53 位尾数和1位符号位，如下图所示：
31 30 23 22 0
63 62 52 51 0
细心的人会发现，单双精度各部分所占字节数量比实际存储格式都了一位，的确是这样，事实是，尾数部分包括了一位隐藏位，允许只存储23位就可以表示24位尾数，默认的1位是规格化浮点数的第一位，当规格化一个浮点数时，总是调整它使其值大于等于1而小于2，亦即个位总是为1。
例如1100B，对其规格化的结果为1.1乘以2的三次方，但个位1并不存储在23位尾数部分内，这个1是默认位。
阶以移码的形式存储。
对于单精度浮点数，偏移量为127（7FH），而双精度的偏移量为1023（3FFH）。
存储浮点数的阶码之前，偏移量要先加到阶码上。
前面例子中，阶为2的三次方，在单精度浮点数中，移码后的结果为127+3即130（82H），双精度为1026（402H）。
浮点数有两个例外。
数0.0存储为全零。
无限大数的阶码存储为全1，尾数部分全零。
符号位指示正无穷或者负无穷。
下面举几个例子：
所有字节在内存中的排列顺序，intel的cpu按little endian顺序，motorola 的cpu按big endian顺序排列。
IEEE754标准的一个规格化 32位浮点数x的真值可表示为
x=（-1）^S*（1.M）*2^（E-127）e=E－127
31 30 23 0
｜S ｜ E ｜M ｜
[例1]若浮点数x的754标准存储格式为（41360000）16，求其浮点数的十进制数值。
解：将16进制展开后，可得二进制数格式为
0 100，0001，0 011，0110，0000，0000，0000，0000
S E M
指数e=100，0001，0－01111111=00000011=（3）10
包含隐藏位1的尾数1.M=1.011，0110，0000，0000，0000，0000
于是有x=（-1）^0*（1.M）*2^（E-127）
=+（1.011011）2*2^3
=（11.375）10
[例2]将数（20.59375）10转化为754标准的32位浮点数的二进制存储格式。
解：首先分别将整数部分和小数部分转换成二进制
（20.59375）10=+（10100.10011）2
然后移动小数点使其在1，2位之间
10100.10011=1.010010011*2^4 e=4
于是得到：S=0，E=e+127=131，M=010010011
最后得到32位浮点数的二进制存储格式为
0 100，0001，1 010，0100，1100，0000，0000，0000
=（41A4C000）16
从存储结构和算法上来讲，double和float是一样的，不一样的地方仅仅是float是32位的，double是64位的，所以double能存储更高的精度。
任何数据在内存中都是以二进制（0或1）顺序存储的，每一个1或0被称为1位，而在
x86CPU上一个字节是8位。
比如一个16位（2字节）的 short int型变量的值是1000，那么它的二进制表达就是：00000011 11101000。
由于Intel CPU的架构原因，它是按字节倒序存储的，那么就因该是这样：11101000 00000011，这就是定点数1000在内存中的结构。
目前C/C++编译器标准都遵照IEEE制定的浮点数表示法来进行float,double运算。
这种结构是一种科学计数法，用符号、指数和尾数来表示，底数定为2——即把一个浮点数表示为尾数乘以2的指数次方再添上符号。
下面是具体的规格：
````````符号位阶码尾数长度
float 1 8 23 32
double 1 11 52 64
临时数 1 15 64 80
由于通常C编译器默认浮点数是double型的，下面以double为例：
共计64位，折合8字节。
由最高到最低位分别是第63、62、61、……、0位：最高位63位是符号位，1表示该数为负，0正；
62-52位，一共11位是指数位；
51-0位，一共52位是尾数位。
^P
按照IEEE浮点数表示法，下面将把double型浮点数38414.4转换为十六进制代码。
把整数部和小数部分开处理:整数部直接化十六进制：960E。
小数的处理:
0.4=0.5*0+0.25*1+0.125*1+0.0625*0+……
实际上这永远算不完！这就是著名的浮点数精度问题。
所以直到加上前面的整数部分算够53位就行了（隐藏位技术：最高位的1不写入内存）。
如果你够耐心，手工算到53位那么因该是：
38414.4(10)=1001011000001110.0110101010101010101010101010101010101(2)
(注：实际上我也没算到那么位，这个也只是意思一下，所谓的55555555CD C1E240对应却是38414.4166666666642……)科学记数法为：1.001……乘以2的15次方。
指数为15！
于是来看阶码，一共11位，可以表示范围是-1024 ~ 1023。
因为指数可以为负，为了便于计算，规定都先加上1023，在这里，15+1023=1038。
二进制表示为：100 00001110 符号位：正—— 0 ！
合在一起（尾数二进制最高位的1不要）：
01000000 11100010 11000001 11001101 01010101 01010101 01010101 01010101。