人教版期末复习(二) 勾股定理
勾股定理(人教版)(含答案)
勾股定理（人教版）一、单选题(共10道，每道9分)1.一个直角三角形两直角边长分别为5和12，下列说法正确的是( )A.斜边长的平方为119B.三角形的周长为29C.斜边长为13D.三角形的面积为60答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理2.如图，在Rt△ABC中，AC=3，BC=5，阴影部分是以AB为边的一个正方形，则此正方形的边长为( )A.16B.4C.34D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理3.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB 的长度为( )A.5B.6C.7D.25答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理4.等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为( )A.6B.C. D.5答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理5.如图，∠B=∠ACD=90°，AD=13，CD=12，BC=3，则AB的长为( )A.4B.3.5C.2D.无法确定答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理6.已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE=( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理7.如图，直线上有三个正方形A，B，C，若A，C的边长分别为3和4，则正方形B的面积为( )A.5B.25C.24D.无法确定答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：弦图8.如图，以第①个等腰直角三角形的斜边长作为第②个等腰直角三角形的腰，以第②个等腰直角三角形的斜边长作为第③个等腰直角三角形的腰，依此类推，若第⑨个等腰直角三角形的斜边长为厘米，则第①个等腰直角三角形的斜边长为( )厘米．A.1B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理9.一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为( )A.5B.C. D.5或答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：勾股定理10.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=3，以斜边AC为边作正方形ACDE，连接BE，则BE的长是( )A.5B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：弦图二、填空题(共1道，每道10分)11.如图，∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°，AB=BC=CD=1，OA=2，则OD2=____．答案：7解题思路：试题难度：知识点：勾股定理。
人教版初中数学勾股定理知识点
第十七章 勾股定理17.1 勾股定理1、勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么222a b c +＝ 勾股定理的证明：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ ∴222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证17.2 勾股定理的逆定理2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222a b c +＝，那么这个三角形是直角三角形.3、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.4、勾股数：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数常见的勾股数有：3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25等bacbac cabcab cba HG FEDCBAa bc c baED CBA例、在Rt△ABC中，a=3，b=4，求c．错解由勾股定理，得诊断这里默认了∠C为直角．其实，题目中没有明确哪个角为直角，当b＞a时，∠B可以为直角，故本题解答遗漏了这一种情况．当∠B为直角时，例、已知Rt△ABC中，∠B=RT∠，，c= b.错解由勾股定理，得诊断这里错在盲目地套用勾股定理“a2＋b2=c2”．殊不知，只有当∠C=Rt∠时，a2＋b2=c2才能成立，而当∠B=Rt∠时，则勾股定理的表达式应为a2＋c2=b2．正确解答∵∠B=Rt∠，由勾股定理知a2＋c2=b2．∴例、若直角三角形的两条边长为6cm、8cm，则第三边长为________．错解设第三边长为xcm．由勾股定理，得x2=62＋82．=10即第三边长为10cm．诊断这里在利用勾股定理计算时，误认为第三边为斜边，其实题设中并没有说明已知的两边为直角边，∴第三边可能是斜边，也可能是直角边．正确解法设第三边长为xcm．若第三边长为斜边，由勾股定理，得=10(cm)若第三边长为直角边，则8cm长的边必为斜边，由勾股定理，得x=2286-=28=27(cm)因此，第三边的长度是10cm 或者27cm.例、如图，已知Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是高，AM 是中线，且AM=12BC=23AD.又RT △ABC的周长是(6+23)cm.求AD ．错解 ∵△ABC 是直角三角形， ∴AC:AB:BC=3:4:5 ∴AC ∶AB ∶BC=3∶4∶5．∴AC=312(6+23)=33+，AB=412(6+23)=623+，BC=512(6+23)=1553+又∵12AC AB •=12BC AD • ∴AD=AC AB BC •=33623231553++⨯+ =(33)2(33)5(33)+•++=25(3+3)(cm) 诊断 我们知道，“勾三股四弦五”是直角三角形中三边关系的一种特殊情形，并不能代表一般的直角三角形的三边关系．上述解法犯了以特殊代替一般的错误．正确解法∵AM=23AD ∴MD=222(3)3AD AD -=3AD 又∵MC=MA ，∴CD=MD ． ∵点C 与点M 关于AD 成轴对称．∴AC=AM，∴∠AMD=60°=∠C．∴∠B=30°，AC=12BC，AB=3BC∴AC+AB+BC=12BC+3BC+BC=6+23.∴BC=4．∵12BC=233AD，∴AD=12233BC=3(cm)例、在△ABC中，a∶b∶c=9∶15∶12，试判定△ABC是不是直角三角形．错解依题意，设a=9k，b=15k，c=12k(k＞0)．∵a2＋b2=(9k)2＋(15k)2=306k2，c2=(12k)2=144k2，∴a2＋b2≠c2．∴△ABC不是直角三角形．诊断我们知道“如果一个三角形最长边的平方等于另外两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形”．而上面解答错在没有分辨清楚最长边的情况下，就盲目套用勾股定理的逆定理．正确解法由题意知b是最长边．设a=9k，b=15k，c=12k(k＞0)．∵a2＋c2=(9k)2＋(12k)2=81k2＋144k2=225k2．b2=(15k)2=225k2，∴a2＋c2=b2．∴△ABC是直角三角形．例、已知在△ABC中，AB＞AC，AD是中线，AE是高．求证：AB2－AC2=2BC·DE错证如图．∵AE⊥BC于E，∴AB2=BE2＋AE2，AC2=EC2＋AE2．∴AB2－AC2=BE2－EC2=(BE＋EC)·(BE－EC)=BC·(BE－EC)．∵BD=DC，∴BE=BC－EC=2DC－EC．∴AB2－AC2=BC·(2DC－EC－EC)=2BC·DE．诊断题设中既没明确指出△ABC的形状，又没给出图形，因此，这个三角形有可能是锐角三角形，也可能是直角三角形或钝角三角形．∴高AE既可以在形内，也可以与一边重合，还可以在形外，这三种情况都符合题意．而这里仅只证明了其中的一种情况，这就犯了以偏概全的错误.剩下的两种情况如图所示.，正确证明由读者自己完成．例、已知在△ABC中，三条边长分别为a，b，c，a=n，b=24n-1，c=244n+(n是大于2的偶数).求证:△ABC是直角三角形.错证1∵n是大于2的偶数，∴取n=4，这时a=4，b=3，c=5．∵a2＋b2=42＋32=25=52=c2，∴△ABC是直角三角形(勾股定理的逆定理)．由勾股定理知△ABC是直角三角形．正解∵a2+b2=n2+(24n-1)2=n2+416n-22n+1=416n+22n+1c2=(244n+)2=(214n+)2=416n+22n+1由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形. 诊断证明1错在以特殊取代一般．。
人教版勾股定理
边为c，那么 a2 + b2 = c2 结论变形
c2=a2 + b2
cb
a
学以致用
4.在 ABC中, ∠ C=90°,若AC=6,CB=8,则ABC
面积为__2_4__,斜边为上的高为_4__.8___.
5.已知：△ABC，AB＝AC＝17，
A
BC＝16，则高AD＝＿15＿＿，
4
9
13
9 25 34
sA+sB=sC
两直角边的平方和 等于斜边的平方
命题１：如果直角三角形的两直角边长分 别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2。
a
c
b
证法一：
激励引导
赵爽弦图的证法
S S 4S ＝ ＋ 大正方形
小正方形
直角三角形
c
b a
b a
c2＝(b－a)2＋4× 1
2
ab c
b
中黄实 (-b a)2
弦 勾
股
17.1 勾股定理
毕达哥拉斯(公元前572----前492年),古希腊著名的哲 学家、数学家、天文学家。
A
B
C
A、B、C的面积有什么关系？ SA+SB=SC 对于等腰直角三角形有这样的性质：
两直边的平方和等于斜边的平方
பைடு நூலகம்
那么对于一般的直角三角形是否也有这样的性质呢？
B
A C
图2
C
A
B
图3
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜
边为c，那么 a2 + b2 = c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
人教版八年级数学下册期末复习资料《勾股定理》复习题
八年级数学期末复习资料《勾股定理》期末复习题1勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c ，那____________________勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c 满足222c b a =+，那么这个三角形是 __________1. 在Rt △ABC 中，∠C=90°,若c=13，b=12，则a=________；2.已知直角三角形的两条边长分别是3和4，则此三角形的第三边长度为_____________3.直角三角形的两直角边分别为5、12，则斜边上的高为________．4.在直角坐标系中，点P （-2，3）到原点的距离是__________5.如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部 12米处.树折断之前有______米.6在等腰△ABC 中，AB=AC=13,BC=10,则高AD 的长为________7、命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是________________________， 它是 ________（填入“真”或“假”）命题。
8.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC =6cm ，BC =8cm ，现将直角边AC沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE则CD 等于_________cm.9. 在△ABC 中，∠A=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边长分别为a 、b 、c ，则下列结论错误的是（ ）A. a 2+b 2=c 2B.b 2+c 2=a 2C.a 2-b 2=c 2D.a 2-c 2=b 210、如果正方形ABCD 的面积为92，则对角线AC 的长度为（ ）；11．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米， 那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？12．印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲； 出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边， 渔人观看忙向前，花离原位二尺远； 能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识解答这个问题.《勾股定理》期末复习题21．下列各组不能构成直角三角形的是（ ）A.11 12 15B. 5 5 25C.45 143 D. 1 3 22.在△ABC 中，已知AB=12cm ，AC=9cm ，BC=15cm ，则△ABC 的面积 等于( )A 108cm 2B 90cm 2C 180cm 2D 54cm 2 3.直角三角形的两直角边分别为5、12，则斜边上的高为________．4. 如下图，数轴上有两个Rt △ABC 、Rt △ABC ，OA 、OC 是斜边，且OB=1，AB=1，CD=1，OD=2，分别以O 为圆心，OA 、OC 为半径画弧交x 轴于E 、F ，则E 、F分别对应的数是_________。
人教版勾股定理的复习课(2)
课前热身
1、在△ABC中，∠C=90°， AB＝5，则 A B 2 + A C 2+ B C 2 =_______． 2、直角三角形的三边长为连续偶数，则这 三个数分别为__________ 3、三角形的三边长分别为6,8,10，它的最 短边上的高为( )
A. 6 B. 4.5 C. 2.4 D. 4.8 4、已知a、b、c是三角形的三边长，a ＝ 2n2 2n ，b＝2n＋1，c＝ 2n22n1（n 为大于1的自然数）,试说明△ABC为直角 三角形
三、忽视图形的位置
例3 已知 ABC中，AB10,AC12，
BC边上的高AD=8，求BC的长。
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
练习：在 ABC中，已知 A B15,A C13
，AD为BC边上的高，AD12，求BC的 长。
四、忽视全面思考 例4 已知直角三角形的两边长为 6和8，求第三边的长。
易错题讲解 一、忽视定理的表达形式
例1 在 Rt ABC中， B900 a1,b 3 ，
c求 的长。
c
练习：在 Rt ABC中，B900 a1,b 3
，求 c 的长。
二、忽视定理存在的条件
例2 在边长为整数的 ABC中， AB>AC，如果AC=4，BC=3， 求AB的长。
练习：在边长为整数的 ABC中， BC>AC，如果AC=7，AB=4，求BC的 长。
练习：已知直角三角形的两边 长为3和4，求第三边的长。
五、混淆原定理和逆理的应用
例5 在 ABC中，a5,b12,c13，
问 ABC是不是直角三角形？ 解：
因为 a 2 b 2 5 2 1 2 2 1 6 9
人教版八下数学 专题二 勾股定理的常见题型
人教版八下数学专题二勾股定理的常见题型1.如图，有一块直角三角形纸片，AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，求CD长．2.如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若FN=2−√3，求CD的长．3.如图，在长方形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，将它沿着对角线对折，使B折到M，求：(1) 线段CE的长度；(2) 点E到直线AC的距离．4.在甲村至乙村的公路旁一块山地正在开发．现C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300m，与公路上的另一停靠站B的距离为400m，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围250m范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否需要暂时封锁，请通过计算进行说明．5.如图，小明在研究性学习活动中，对自己家所在的小区进行调查后发现，小区汽车入口处宽AB 为 3.3m，在入口的一侧安装了停止杆CD，其中AE为支架．当停止杆仰起并与地面成60∘角时，停止杆的端点C恰好与地面接触，此时CA=0.7m．在此状态下，若一辆货车高3m，宽2.5m，入口两侧不能通车，则这辆货车在不碰杆的情况下，能从入口通过吗？请你通过计算说明．（参考数据：√3≈1.73）6.某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的试验．如图，先在笔直的公路l旁选取一点P，在公路l上确定点O，B，使得PO⊥l，PO=100m，∠PBO=45∘．这时，一辆轿车在公路l上由B匀速驶向A，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3s，并测得∠APO=60∘．此路段限速每小时80km，试判断此车是否超速，并说明理由．（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）7.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点B，求蚂蚁爬行的最短距离．8.在等边三角形ABC中，D是BC的中点，点E，P分别是线段AC，AD上的一个动点，已知AB=2，求PC+PE的最小值．9.如图，有三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm，3dm，2dm．点A和点B是三级台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁想到点B处去吃可口的食物，求蚂蚁从点A沿着台阶面爬行到点B的最短距离．10.阅读理解：在平面直角坐标系中，任意两点A(x1,y1)，B(x2,y2)的位置有以下三种情形：①如果AB∥x轴，则y1=y2，AB=∣x1−x2∣；②如果AB∥y轴，则x1=x2，AB=∣y1−y2∣；③如果AB与x轴、y轴均不平行，如图，过点A作与x轴的平行线和过点B作与y轴的平行线相交于点C，则点C的坐标为(x2,y1)，由①得AC=∣x1−x2∣，由②得BC=∣y1−y2∣，根据勾股定理可得平面直角坐标系中任意两点的距离公式AB=√(x1−x2)2+(y1−y2)2．(1) 若点A的坐标为(4,6)，点B的坐标为(1,2)，则AB=．(2) 若点A的坐标为(3,3)，点B的坐标为(6,6)，点P是x轴上的动点，直接写出AP+PB的最小值=．(3) 已知M=√(6−x)2+16+√(3−x)2+4，利用数形结合思想，求出M的最小值．答案1. 【答案】在Rt△ABC中，∵AC=6，BC=8，∴AB=√AC2+BC2=√62+82=10．△ADE是由△ACD翻折所得，∴AC=AE=6，EB=AB−AE=10−6=4．设CD=DE=x，在Rt△DEB中，∵DE2+EB2=DB2，∴x2+42=(8−x)2，∴x=3，即CD=3．2. 【答案】设CD=x，则BF=AB=x，BM=12BC=12x，在Rt△BFM中，MF=√BF2−BM2=√32x，又因为MN=AB=x，FN=2−√3，所以2−√3+√32x=x，解得x=2，即CD=2．3. 【答案】(1) ∵AD∥BC，∴∠EAC=∠ACB，由折叠的性质可知，∠ACE=∠ACB，∴∠EAC=∠ACE，∴EA=EC．在Rt△EDC中，DE2+CD2=CE2，即(8−EC)2+62=CE2，解得CE=254．(2) 设点E到直线AC的距离为ℎ，AC=√AB2+BC2=10，由三角形的面积公式可知，12×AE×CD=12×AC×ℎ，则ℎ=254×610=154，即点E到直线AC的距离为154．4. 【答案】如图，过C作CD⊥AB，垂足为点D．∵BC=400m，AC=300m，∠ACB=90∘，根据勾股定理得AB=500m．∵12AB⋅CD=12BC⋅AC，∴CD=240m．∵240m<250m，故有危险，AB段公路需要暂时封锁．5. 【答案】不能通过．理由如下：如图，在AB之间找一点F，使BF=2.5m，过点F作GF⊥AB交CD于点G，∵AB=3.3m，CA=0.7m，BF=2.5m，∴CF=AB−BF+CA=1.5m．∵∠ECA=60∘，∴∠CGF=30∘，∴CG=2CF=3m，∴GF=√CG2−CF2=√32−1.52=32√3≈2.6(m)，∵2.6<3，∴这辆货车在不碰杆的情况下，不能从入口通过．6. 【答案】此车超速．理由如下：∵∠POB=90∘，∠PBO=45∘，∴△POB是等腰直角三角形，∴OB=OP=100m．∵∠APO=60∘，∴OA=√3OP=100√3≈173(m)，∴AB=OA−OB≈73m，∴733≈24(m/s)，24m/s≈86km/h>80km/h，∴此车超速．7. 【答案】将长方体表面展开，连接AB，分以下三种情形：（1）如图①，BD=10+5=15，AD=20，由勾股定理得AB=√AD2+BD2=√202+152=√625=25．（2）如图②，BC=5，AC=20+10=30，由勾股定理得AB=√AC2+BC2=√302+52=√925=5√37．（3）如图③，BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，在Rt△ABD中，根据勾股定理得AB=√BD2+AD2=√252+102=√725=5√29．由于25<5√29<5√37，因此爬行的最短距离为25．8. 【答案】如图，过B作BE⊥AC，垂足为E，与AD交于点P，此时PE+PC最小．∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴PC=PB，∴PE+PC=PB+PE=BE即BE就是PE+PC的最小值．∵△ABC是一个边长为2的正三角形，BE⊥AC，AC=1，∴∠BEC=90∘，CE=12∴BE=√22−12=√3，∴PE+PC的最小值是√3．9. 【答案】如图，三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为(2+3)×3dm，则蚂蚁从A点沿台阶面爬行到B点的最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁从A点沿台阶面爬行到B点的最短路程为x dm，由勾股定理得：x2=82+[(2+3)×3]2=172，解得x=17．∴蚂蚁从点A沿着台阶面爬行到点B的最短距离是17dm．10. 【答案】(1) 5(2) 3√10(3) M=√(6−x)2+16+√(3−x)2+4，当M取最小值时，M表示点(x,0)到点(6,4)的距离与点(x,0)到点(3,2)的距离之和（或M表示点(x,0)到点(6,−4)的距离与点(x,0)到点(3,−2)的距离之和），=√(6−3)2+(4+2)2=3√5．此时M最小值【解析】(1) AB=√(x1−x2)2+(y1−y2)2=√(4−1)2+(6−2)2=5．(2) 如图，∵点A的坐标为(3,3)，∴点A关于x轴对称的点Aʹ的坐标是(3,−3)，此时AP+PB=AʹB=√(6−3)2+(6+3)2=3√10．。
八年级数学人教版下册勾股定理勾股定理2
数学来源于 生活，勾股定理 的应用在生活中 无处不在……
D
C
A
B
1m
2m
人教版八年级数学 下册
17.1 勾股定理
第2课时 勾股定理在实际生活中的应用
学习目标
1. 会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问 题。
2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模 型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联 系，并进一步求出未知边长。
B3
解：由题意知有三种展开
方法，如图.由勾股定理得
B1
高三数学复习中的几个注意点
AB12 =102 +（6+8）2 =296，
4 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
B AB = 8 +（10+6） =320， 29 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
D
C
B
A
课 结堂
总
同学们，本节课你收获了什么？
课后作业 1.整理本节知识点 2.选做题： 同步检测题
一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。
由题意可知：AC=6千米，BC=8千米
距离及路径最短问题
检测目标
1．若等腰三角形中相等的两边长为 10cm,第三边长为16 cm,那么第三边上的
高为 ( D)
A. 12 cm B. 10 cm C. 8 cm D. 6 cm
检测目标
2.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成
由飞题机意 在可空知中：水平AC飞=6行千，米某，一B时C=刻8刚千好米飞到一个男孩头顶上方3千米处，过了20秒，C飞机距离这个男？孩头顶5千米.
八年级数学下册期末复习2勾股定理作业课件新版新人教版
【思路点拨】(1)由 AB＝ 26 ＝ 12＋52 ，AD＝ 17 ＝ 12＋42 ，结合网格与勾股定理可确定点 A；(2)求出 BC2，
CD2，BD2，再利用勾股定理逆定理即可判断；(3)设点 C 到 BD 的距离为 d，根据 S△BCD＝BC·CD＝BD·d 求解可得．
【解答】(1)如图，四边形 ABCD 即为所求，其面积为 5×5 －12 ×5×1－12 ×2×4－12 ×1×4－12 ×(1＋3)×1＝1312 ； (2)是，∵BC2＝22＋42＝20，CD2＝12＋22＝5，BD2＝3 BCD＝90°； (3)2.
CD2＋BD2 ＝ 242＋72 ＝25，∴PA＋PB 的最小值＝PB＋ PC＝BC＝25 千米．
解此类题的关键在于运用几何知识正确找到符合条件的 P 点的位置，会构造 Rt△BCD，勾股定理把三角形中有一个 直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此它是数 形结合运用的一个典范． A
3．如图，在笔直的高速公路旁边有 A，B 两个村庄，A 村庄 到公路的距离 AC＝8 km，B 村庄到公路的距离 BD＝14 km， 测得 C，D 两点的距离为 20 km，现要在 CD 之间建一个服 务区 E，使得 A，B 两村庄到 E 服务区的距离相等，求 CE 的长．
解：设 CE＝x，则 DE＝20－x，由勾股定理得：在 Rt△ACE 中，AE2＝AC2＋CE2＝82＋x2，在 Rt△BDE 中，BE2＝BD2 ＋DE2＝142＋(20－x)2，由题意可知：AE＝BE，所以：82＋ x2＝142＋(20－x)2，解得：x＝13.3.所以，E 应建在距 C 点 13.3 km 的位置，即 CE＝13.3 km.
正方形网格中的两个格点之间的距离可以用勾股定理求 出．勾股定理的逆定理是证明一个角等于 90°的一种思路．
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由勾股定理，得 AB′＝ AE2＋EB′2＝ 82＋62＝10， 即 AP＋BP＝AB′＝10． 故出口 P 到 A，B 两村庄的距离之和最短是 10 km．
解这类题关键在于运用几何知识正确找到适合条件的 P 点的位置， 会构造直角三角形，勾股定理把三角形中有一个直角的“形”的特征， 转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范．
＝21ab＋12c2＋12a(b－a)， ∴21ab＋12b2＋12ab＝21ab＋12c2＋12a(b－a)． ∴a2＋b2＝c2．
勾股定理的证明方法是用面积法证明恒等式的方法，通过不同的 方式表示同一个图形的面积．
1．如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形(两直角边长分别 是 a，b，斜边长为 c)和一个边长为 c 的正方形，请你将它们拼成一个 能证明勾股定理的图形．
解：根据已知，可得∠ACB＝90°． 在 Rt△ABC 中，根据勾股定理，得 AB＝ AC2＋BC2＝ 8002＋1 5002＝1 700(米)． 1 700÷50＝34(分钟)． 答：大约 34 分钟后，欢欢才能到达山顶．
18．(10 分)如图，在等边△ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上．若 CD＝2，过点 D 作 DE∥AB，过点 E 作 EF⊥DE，交 BC 的延 长线于点 F，求 EF 的长．
请参照上述证法，利用图 2 完成下面的证明． 将两个全等的直角三角形按图 2 所示摆放，其中∠DAB＝90°，求 证：a2＋b2＝c2．
【解答】 证明：连接 BD，过点 B 作 DE 边上的高 BF，则 BF＝ b－a，
∴S 五边形 ACBED＝S△ACB＋S△ABE＋S△ADE ＝21ab＋12b2＋12ab． 又∵S 五边形 ACBED＝S△ACB＋S△ABD＋S△BDE
15．如图 1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给 出的，人们称它为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图 2，其中四边形 ABCD 和四边形 EFGH 都是正方形，△ABF，△BCG，△CDH，△ DAE 是四个全等的直角三角形．若 EF＝2，DE＝8，则 AB 的长为 10 ．
16．课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙 之间(如图)，∠ACB＝90°，AC＝BC，从三角板的刻度可知 AB＝20 cm，
【思路点拨】 运用“两点之间，线段最短”先确定出 P 点在 A1B1 上的位置，再利用勾股定理求出 AP＋BP 的长．
【解答】 作点 B 关于 MN 的对称点 B′，连接 AB′交 A1B1 于点 P， 则 AP＋BP＝AP＋PB′＝AB′，易知 P 点即为到 A，B 距离之和最短的 点．
过点 A 作 AE⊥BB′于点 E，则 AE＝A1B1＝8，B′E＝AA1＋BB1＝2＋4＝6．
∵C，D 两村到 E 点的距离相等， ∴DE＝CE．∴DE2＝CE2． ∴302＋x2＝202＋(50－x)2．解得 x＝20． ∴基地 E 应建在离 A 站 20 km 的地方．
思想方法 方程思想 【例 4】 如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4， 将△ABC 折叠，使点 B 恰好落在边 AC 上，与点 B′重合，AE 为折痕， 求 EB′的长．
3．如图，某地方政府决定在相距 50 km 的 A，B 两站之间的公路 旁 E 点，修建一个土特产加工基地，且使 C，D 两村到 E 点的距离相 等，已知 DA⊥AB 于点 A，CB⊥AB 于点 B，DA＝30 km，CB＝20 km， 那么基地 E 应建在离 A 站多少千米的地方？
解：设基地 E 应建在离 A 站 x km 的地方，则 BE＝(50－x)km． 在 Rt△ADE 中，根据勾股定理，得 AD2＋AE2＝DE2，∴302＋x2 ＝DE2． 在 Rt△CBE 中，根据勾股定理，得 CB2＋BE2＝CE2，∴202＋(50 －x)2＝CE2．
20．(12 分)给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于 一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
【解答】 根据折叠可得 BE＝EB′，AB′＝AB＝3， 设 BE＝EB′＝x，则 EC＝4－x． ∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得 AC＝ AB2＋BC2＝5． ∴B′C＝5－3＝2． 在 Rt△B′EC 中，由勾股定理，得 x2＋22＝(4－x)2． 解得 x＝1．5，即 EB′的长为 1．5．
【解答】 (1)根据勾股定理可知 AB＝3 2，BC＝ 34，CD＝ 34， AD＝5 2，
∴四边形 ABCD 的周长为 8 2＋2 34．
(2)证明：连接 BD，∵BC＝ 34，CD＝ 34，BD＝ 68，∴BC2 ＋CD2＝BD2．
∴△BCD 是直角三角形，且∠BCD＝90°．
正方形网格中的两个格点之间的距离可以用勾股定理求出．勾股 定理的逆定理是证明一个角等于 90°的一种思路．本题的第(2)问还可以 通过两个三角形全等来证明．
(1)画出拼成图形的示意图；
(2)证明勾股定理． 解：(1)如图． (2)证明：c2＝(b－a)2＋4×12ab＝b2＋a2．
重难点 2 勾股定理及其逆定理 【例 2】 如图，每个小正方形的边长均为 1． (1)求四边形 ABCD 的周长； (2)求证：∠BCD＝90°．
【思路点拨】 (1)利用勾股定理求出四边形的各边长；(2)求出△ BCD 的三边长，利用勾股定理的逆定理证明．
解：由题意，得 AF＝AD＝10 cm，在 Rt△ABF 中，根据勾股定 理，有 AB2＋BF2＝AF2，
∴BF＝ AF2－AB2＝ 102－82＝ 36＝6(cm)． ∴CF＝10－6＝4(cm)． 设 EC＝x cm，则 DE＝EF＝(8－x)cm， 在 Rt△CEF 中，根据勾股定理，得 CE2＋CF2＝EF2，即 x2＋42＝(8－x)2，解得 x＝3． ∴EC 的长为 3 cm．
数学 期末复习(二) 勾股定理
01 知识结构图
02 重难点突破
重难点 1 勾股定理的证明 【例 1】 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同， 其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角 三角形如图 1 或图 2 摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪 利用图 1 证明勾股定理的过程：
方程思想常在勾股定理与折叠问题中出现，利用折叠的性质，得 到边、角相等，进而把条件转化到一个直角三角形中，利用勾股定理 构建方程求线段长度．
4．如图，在矩形 ABCD 中，BC＝6，CD＝3，将△BCD 沿对角
线 BD 翻折，点 C 落在点 C′处，BC′交 AD 于点 E，则线段 DE 的长为
5．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为 1，则△ABC
是( A )
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．以上答案都不对
6．如图，数轴上点 A，B 分别对应 1，2，过点 B 作 PQ⊥AB，以
点 B 为圆心，AB 长为半径画弧，交 PQ 于点 C，以原点 O 为圆心，
OC 长为半径画弧，交数轴于点 M，则点 M 对应的数是(B )
A．S1＋S3＝2S2 B．S1＋S3＝4S2 C．S1＝S3＝S2 D．S2＝13(S1＋S3)
二、填空题(每小题 3 分，共 18 分) 11．如果三角形的三边分别为 2， 6，2，那么这个三角形的最大 角的度数为 90° ． 12．小红同学先朝正东方向行进了 4 km，再朝正北方向行进了 8 km，此时小红离出发点的距离是 4 5 km ．
13．如图，在△ABC 中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，CD 是 AB 边上的中线，则 CD＝ 5 ．
14．(2019·荆州)如图 1，已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 4 cm，E，F，G 分别是 AB，AA1，AD 的中点，截面 EFG 将这个正方 体切去一个角后得到一个新的几何体(如图 2)，则图 2 中阴影部分的面 积为 2 3 cm2．
A． 3
B． 5
C． 6
D． 7
7．如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，AB＝17，BD＝15，DC ＝6，则 AC 的长为(B )
A．11 B．10 C．9 D．8
8．设 a，b 是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为 6，
斜边长为 2．5，则 ab 的值是( D )
A．1．5
B．2
(2)∵AG＝3，AP＝1，PG＝2 2，(2 2)2＋12＝32， ∴△APG 为直角三角形，∠APG＝90°． 又∵∠GPD＝45°， ∴∠APD＝135°．
重难点 3 勾股定理在实际生活中的应用 【例 3】 如图，高速公路的同侧有 A，B 两个村庄，它们到高速 公路所在直线 MN 的距离分别为 AA1＝2 km，BB1＝4 km，A1B1＝8 km．现要在高速公路上 A1B1 之间设一个出口 P，使 A，B 两个村庄到 P 的距离之和最短，则这个最短距离是多少千米？
A．3
(B )
B．145
C．5
D．125
03 复习自测
一、选择题(每小题 4 分，共 40 分)
1．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝8，AC＝5，则 BC 的长是(B )
A．3
B． 39
C．7
D． 89
2．小新将铁丝剪成九段，分成三个组：①2 cm，3 cm，4 cm；②
3 cm，4 cm，5 cm；③9 cm，40 cm，41 cm．分别以每组铁丝围成三
10
小聪很快就知道了砌墙砖块的厚度(每块砖的厚度相等)为 13 26 cm．
三、解答题(共 42 分) 17．(10 分)如图，已知某山的高度 AC 为 800 米，在山上 A 处与 山下 B 处各建一个索道口，且 BC＝1 500 米，欢欢从山下索道口坐缆 车到山顶，已知缆车每分钟走 50 米，那么大约多少分钟后，欢欢才能 到达山顶？